3. medidas de tendencia central y dispersión

BIOESTADISTICA

20015-I

Mg. TAMARA JORQUIERA MC

Aplica conocimientos de estadstica

descriptiva para calcular ciertas

medidas resmenes segn el tipo

de variable que se est

considerando.

Clase # 3

17 Y 19 de

Marzo 2015

3/17/2015 Tamara Jorquiera MC MSc

Al trmino de la clase el estudiante estar en condiciones de calcular, interpretar y saber usar las medidas de posicin y dispersin.


Despus de construir tablas y grficos, a

partir de una coleccin de datos, se

requieren medidas ms exactas.

La estadstica de resumen, proporciona

medidas para describir un conjunto de

datos.

Existen dos tipos de medidas de resumen:

1. De tendencia central.

De forma y de posicin

2. De dispersin.


1. Reflejan la tendencia central y la localizacin/posicin de los datos

2. Las medidas de tendencia central ms importantes son la media, la mediana y la moda.

Media

Medidas de Mediana

tendencia central Moda 3. Tambin es til conocer las medidas de

localizacin: percentiles. Estas nos indican el lugar de cada dato en relacin con los dems datos.


Las medidas de tendencia central

(denominadas tambin promedios) permiten

hallar un solo valor numrico alrededor del

cual los datos parecen agruparse de cierta

manera, como si fuera el centro de

gravedad de los datos. Debido a estas

circunstancias, suelen ser llamados de

POSICIN O TENDENCIA CENTRAL.


Moda. (Mo)

Mediana. (Me)

Media Aritmtica. (x o )

Cuartiles. (Q)


La MODA es la observacin que ms se repite en

los datos, (observacin ms COMN).

Se puede utilizar para cualquier tipo de variable

pero generalmente se utiliza cuando la

caracterstica en estudio se ha medido en escala

nominal u ordinal.

Ejemplo:

Se tiene la siguiente informacin:

2, 3, 4, 5, 5, 6, 4, 5 Mo = ?


1. Si todos los valores son diferentes, no hay

moda.

2. En una distribucin puede existir dos o

ms modas (Unimodal, Multimodal:

bimodal, trimodal).

3. Es usada para variables categricas o

cualitativas.


Nmero de hijos de 60 personas

Xi 0 1 2 3 4 5 6

fi 10 21 15 7 3 2 2

Estado Civil de 100 personas

Estado Civil fi

Soltero 30

Casado 60

Divorciado 10

Total 100


En una tabla de distribucin de frecuencias es la

marca de clase o punto medio de la clase que

tiene la mayor frecuencia absoluta simple.

La moda estar ubicado en el intervalo: ?

Clase Variable fi

I 5 - 9 3

II 10 - 4 9

III 15 - 19 15

IV 20 - 24 8

V 25 - 29 5

total 40 3/17/2015 Tamara Jorquiera MC MSc

Por lo tanto la marca

de clase ser:

Por lo tanto la marca de

clase ser:

clase variable fi

III 15 - 19 15


La mediana es un valor que divide a la distribucin

(ordenada en forma ascendente o descendente) en

dos mitades o partes iguales.

20, 3, 4, 19, 6, 7, 10, 21,12, 16


1. Es nica , existe solamente una mediana

para un conjunto de datos.

2. Los valores extremos no tienen efectos

importantes sobre la mediana.

3. Se aplica tambin a variables que

pertenecen a la escala ordinal.

4. Es muy variable de muestra a muestra.


Se ordena los datos en forma ascendente o descendente.

Si el nmero de DATOS ES PAR, el valor de la mediana ser la semisuma de los 2 valores centrales.

Los valores centrales se encuentran en las posiciones: X N/2 y X (N/2 +1)

X N/2 + X (N/2 +1)

Me = _________________

2


Dado los valores: 11, 8, 13, 20, 14, 3, 7, 12. par

Hallar la mediana


Si el nmero de DATOS ES IMPAR,

el valor de la mediana es el

valor del centro.

Me = X (N+1)/2

donde (N+1)/2 es la posicin

central, de la mediana. 3/17/2015 Tamara Jorquiera MC MSc

Calcular la mediana dado los valores:

11, 19, 12, 16, 13, 15, 17


3/17/2015

Clase Intervalos Xi fi Fi hi% Hi% Lim Reales

I 1.66 1.69 1.675 6 6 7.50% 7.50% 1.655 1.695

II 1.70 1.73 1.715 9 15 11.25% 18.75% 1.695 1.735

III 1.74 1.77 1.755 26 41 32.50% 51.25% 1.735 1.775

IV 1.78 1.81 1.795 15 56 18.75% 70.00% 1.775 1.815

V 1.82 1.85 1.835 16 72 20.00% 90.00% 1.815 1.855

VI 1.86 1.89 1.875 6 78 7.50% 97.50% 1.855 1.895

VI 1.90 1.93 1.915 2 80 2.50% 100.00% 1.895 1.935

Tamara Jorquiera MC MSc

Es un valor representativo de un conjunto de datos que se est estudiando y caracteriza a toda una distribucin.

Se le conoce tambin como promedio.

x (ESTADSTICO) (PARMETRO)

En su clculo intervienen todo los valores que se estn estudiando.


Si tenemos n datos representados por: x1, x2, x3, ......xn.

La media aritmtica de estos n datos est dada

por:

__ X1 + X2 + X3 +..........+ Xn

X = ________________________

n


Xi

= _______ N es el tamao

N de la poblacin

Xi

X = _______ n es el tamao

n de la muestra


fi es frecuencia

fi Xi absoluta simple. X = ________

n Xi es una

marca de clase.


1. Es nica, puede ser un valor positivo, cero o un valor negativo.

2. Si a los valores que estudiamos le sumamos o restamos una

constante, el valor de la nueva media quedara como la media

aritmtica de los datos originales ms o menos la constante que se

ha agregado.

11,12,13 u= ?

= 12

+3 a todos los datos

14,15,16

u= ?

u= 12+3

= 15

3. Si a cada valor de la serie le multiplicamos por una constante, la

nueva media aritmtica sera igual a la media aritmtica original

multiplicada por la constante.


4. La suma de las desviaciones de los datos con respecto a la media es cero, es decir

N _ 11-12 =-1

( xi - X) = 0 12-12 = 0 -1 + 0 + +1 = 0

i=1 13-12 =+1

5. Como incluye todos los datos, puede estar afectado por valores extremos.

6. Es usada para variables medidas en escala de intervalo o de razn.


Los siguientes datos son edades de 10 madres que asisten a un centro de salud en un da :

30, 43, 58, 61, 70, 42, 58, 39, 60, 55.

La edad promedio de estas madres ser:


A continuacin se presenta las edades de 30 personas con

cncer pulmonar que pasan a

consulta en el Hospital Mara

Auxiliadora. Lima. Julio 2004:

Determinar la Media

30,43,58,61,70,42,58,39

60,55,71,70,65,39,40,61

65,56,38,57,49,61,69,43

46,69,44,59, 62,66

Edad fi Xi fi . Xi 30 - 36 1 33 33 37 - 43 7 40 280 44 - 50 3 47 141 51 - 57 3 54 162 58 - 64 8 61 488 65 - 71 8 68 544 Total 30 1648


Cuando los datos de una poblacin se

distribuyen con igual frecuencia y

alejamiento por debajo y por encima

de la media aritmtica, se dice que la

distribucin es simtrica; pero,

si los datos por debajo de la media son

ms frecuentes que aquellos por

encima de la media, o viceversa, se

dice que la distribucin es asimtrica.


0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Moda

Mediana

Media


0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Moda

Mediana

Media

Distribucin Sesgada a la Izquierda


0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Moda

Mediana

Media


Distribucin Sesgada a la Derecha

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Moda

Mediana

Media


Llamadas tambin medidas de variabilidad,

miden el grado de separacin de los datos

respecto a un valor central.

Son tiles porque:

1. Permiten juzgar la confiabilidad de la

medida de tendencia central.

2. Los datos demasiados dispersos tienen un

comportamiento especial.

3. Es posible comparar dispersin de

diversas muestras.


Una medida de Dispersin indica

cmo las observaciones se separan

de la Media Artmetica .

Esta medida de dispersin ser grande

si las observaciones estn distantes

de la media y pequea si estn

cerca.


Rango Amplitud (A)

Varianza (V 2 s2)

Desviacin Estndar ( s)

Desviacin Cuartil (DC)


RANGO ( Amplitud Total )

Es la medida ms simple de dispersin. La que menos informacin nos ofrece sobre la agrupacin de las

variables en torno a las medidas de tendencia central.

A = Obs Max - Obs Min

Se aplica a variables cuantitativas discretas o continuas pero no a

las cualitativas.


Es una medida de dispersin

que cuantifica la

variabilidad de los datos con

respecto a la Media

Aritmetica .

Junto con la desviacin estndar, es la medida de dispersin que

mejor expresa la variabilidad del fenmeno.


Si tenemos N datos X1, X2, X3, ...., XN . La varianza de estos datos se define como: ( Xi - )2 V(X) = ____________

N

= [(Xi- )2 ]/ N


Para una muestra de tamao n:

V(X) = ( Xi - X )2

n-1

= [(Xi-X)2 ]/ n-1


Es la medida de dispersin para datos simtricos

Es la medida de dispersin ms comn para definir datos mdicos y del

rea de la salud.

Es la raz cuadrada de la varianza

= V(X) s= V(X)

Requieren datos numricos.

Cuanto menor sea la desviacin estndar, menor ser la dispersin (ms

homognea) y

Cuanto mayor sea la desviacin tpica, mayor dispersin (menos

homognea).


Es la medida de dispersin para datos asimtricos

R. I. Q

2

El Rango intercuartil se define como:

R.I. (Q) = Q3 - Q1

Q1 es el primer cuartil

Q3 es el tercer cuartil

Excluye el 25% ms alto y el 25% ms bajo, dando un rango del 50% de los datos.

3/17/2015

Rango Intercuartil

entre 2


Rango,

Desviacin estndar y

Varianza.

Son absolutas porque siempre van

acompaadas de sus unidades de medida.

Rango de 6 hijos

Desviacin estndar de 1.5 hijos


Es una medida relativa de variabilidad de los datos

entre la media y la desviacin estndar de una

poblacin o muestra. Permite comparar la

variabilidad de dos o ms conjuntos de datos

expresados en unidades diferentes.

por ejemplo

peso en Kg. y libras

peso y talla

Es el porcentaje que la desviacin estndar

representa de la media.


a) Clculos a partir de datos no agrupados

para la muestra:

para la poblacin:

As podremos decidir cul de los grupos de datos es ms disperso.

Pero slo se puede usar si la escala de medida de la variable es de razn.

Si cambiamos el cero arbitrariamente, cambia tambin la media y por lo tanto cambiar el CV.

100

CV

100x

sCV


Supongamos que de dos poblaciones se han obtenido los siguientes datos:

Grupo 1 Grupo 2

Edad = 25 aos 21 aos

= 72.5 Kg 165cm

= 5 Kg 5 cm

N = 15 15

Que grupo es ms homogneo o menos variable?

100

CV


100

CV

Grupo 1 Grupo 2 Edad = 25 aos 21 aos = 72.5 Km 165 cm = 5 Kg 5 cm N = 15 15


SI:

C.V 50% Dispersin aceptable.

distribucin homognea

C.V 50% La dispersin es muy alta.

distribucin heterognea


Sitan a un individuo en la distribucin de la

variable que se est estudiando.

Primero deben ordenarse los datos.

Se usan mucho en test psicomtricos y

medidas antropomtricas.


Son aquellos que dividen a la

distribucin en cuatro, diez o

cien partes iguales:

Cuartiles.

Deciles.

Percentiles.


Son aquellos que dividen a la distribucin en cuatro partes iguales, en donde cada uno de ellos incluye el 25% de las observaciones.

__25%_._25%__.__25%__.__25%__

Q1 Q2 Q3

Me


I 1.66 1.69 1.675 6 6 7.50% 7.50% 1.655 1.695

II 1.70 1.73 1.715 9 15 11.25% 18.75% 1.695 1.735

III 1.74 1.77 1.755 26 41 32.50% 51.25% 1.735 1.775

IV 1.78 1.81 1.795 15 56 18.75% 70.00% 1.775 1.815

V 1.82 1.85 1.835 16 72 20.00% 90.00% 1.815 1.855

VI 1.86 1.89 1.875 6 78 7.50% 97.50% 1.855 1.895

VI 1.90 1.93 1.915 2 80 2.50% 100.00% 1.895 1.935


CUARTILES

Mnimo Mximo Cuartil 1

Q1 Cuartil 3

Q3 MedianaCuartil 2

Q2

25% 25% 25% 25%

25% 75%

25% 75%


Son aquellos que dividen a la distribucin en diez partes iguales en donde cada uno de ellos incluye el 10% de las observaciones

_10%_._10%_.10%_._10%_._10%_._10%_._10%_._10%_._10%_._10%_

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Q2 Me


I 1.66 1.69 1.675 6 6 7.50% 7.50% 1.655 1.695

II 1.70 1.73 1.715 9 15 11.25% 18.75% 1.695 1.735

III 1.74 1.77 1.755 26 41 32.50% 51.25% 1.735 1.775

IV 1.78 1.81 1.795 15 56 18.75% 70.00% 1.775 1.815

V 1.82 1.85 1.835 16 72 20.00% 90.00% 1.815 1.855

VI 1.86 1.89 1.875 6 78 7.50% 97.50% 1.855 1.895

VI 1.90 1.93 1.915 2 80 2.50% 100.00% 1.895 1.935


Son aquellos que dividen a la distribucin en cien partes

iguales en donde cada

uno de ellos incluye el 1% de las observaciones:

_1%_._1%_. 1%_._1%_._1%_. .........._1%_._1%_._1%_._1%_._1%_

P1 P2 P3 P4 ........... P96 P97 P98 P99


I 1.66 1.69 1.675 6 6 7.50% 7.50% 1.655 1.695

II 1.70 1.73 1.715 9 15 11.25% 18.75% 1.695 1.735

III 1.74 1.77 1.755 26 41 32.50% 51.25% 1.735 1.775

IV 1.78 1.81 1.795 15 56 18.75% 70.00% 1.775 1.815

V 1.82 1.85 1.835 16 72 20.00% 90.00% 1.815 1.855

VI 1.86 1.89 1.875 6 78 7.50% 97.50% 1.855 1.895

VI 1.90 1.93 1.915 2 80 2.50% 100.00% 1.895 1.935 3/17/2015 Tamara Jorquiera MC MSc

PERCENTILES

Mnimo Mximo Percentil 20

P20

20% 80%


Como los clculos de los cuantiles, deciles y percentiles

son similares se calcular el Q3 de la siguiente distribucin:

1. Q3:

2. P45:

3. P90:

Variable fi Fi hi Hi 55 - 58 20 20 8% 8% 59 - 62 30 50 12% 20% 63 - 66 80 130 32% 52% 67 - 70 70 200 28% 80%

71 - 74 40 240 16% 96%

75 - 78 10 250 4% 100%

Total 250

INTERPRETAR


Q1 = P25

Q2 = Mediana = P50

Q3 = P75


Con distribuciones simtricas (no sesgadas) se emplean la media y la desviacin estndar de datos numricos.

Cuando la distribucin no es simtrica(sesgada) se emplean la mediana y Percentiles y rango intercuartilicos y desviacin cuartil.


El rango es una medida apropiada

para datos numricos cuando el

propsito es enfatizar valores

extremos.

El coeficiente de variacin es til

cuando la intencin es comparar dos

distribuciones numricas medidas en

escalas diferentes.


Es un grfico representativo de las distribuciones de un conjunto de datos en cuya construccin se usan cinco medidas descriptivas: mediana, primer cuartil, tercer cuartil, valor mximo y valor mnimo.

Presenta, al mismo tiempo, informacin sobre la tendencia central, dispersin y simetra de los datos de estudio.

Adems, permite identificar con claridad y de forma individual, observaciones que se alejan de manera poco usual del resto de los datos. A estas observaciones se les conoce como valores atpicos. outliers (valores extremos).

Al igual que el histograma y el grfico de Tallos y Hojas permite tener una idea visual de la distribucin de los datos (simetra y variabilidad)

Alternativa grfica a pruebas estadsticas

http://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htmhttp://www.cesma.usb.ve/~npena/estadistica_1/BOXPLOT-ayudaenlinea4.htm

1. Dibujar una caja cuyo lmite inferior ser Q1 y

el superior Q3. Dentro de la caja trazar una

lnea que localice la mediana.

2. Calcular el rango intercuartlico:

R.I. (Q) = RIQ = Q3 Q1

3. Dibujar un bigote del borde inferior de la

caja hasta Q1-1.5 x RIQ .


5. Dibujar otro bigote del borde

superior de la caja hasta Q3+1.5 x RIQ .

6. Dibujar cualquier observacin que se

ubique fuera de los bigotes (estos sern

los outliers).


EDAD fi EDAD fi


EDAD fi Fi EDAD fi Fi


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/8/89/Boxplot_vs_PDF.png

Cajas anchas nos sugieren distribuciones muy

dispersas en la parte central.

Cajas angostas nos muestran una gran

concentracin de datos.

La longitud de las colas por su parte nos

dirn la mayor o menor concentracin de los

datos en las zonas extremas.


Mientras ms larga la caja y los bigotes, ms dispersa es la distribucin de datos.

La distancia entre las cinco medidas descritas en el boxplot (sin incluir la media aritmtica) puede variar, sin embargo, recuerde que la cantidad de elementos entre una y otra es aproximadamente la misma. Entre el lmite inferior y Q1 hay igual cantidad de opiniones que de Q1 a la mediana, de sta a Q3 y de Q3 al lmite superior. Se considera aproximado porque pudiera haber valores atpicos, en cuyo caso la cantidad de elementos se ve levemente modificada.

La lnea que representa la mediana indica la simetra. Si est relativamente en el centro de la caja la distribucin es simtrica. Si por el contrario se acerca al primer o tercer cuartil, la distribucin pudiera ser sesgada a la derecha (asimtrica positiva) o sesgada a la izquierda (asimtrica negativa respectivamente. Esto suele suceder cuando las opiniones de los estudiantes tienden a concentrase ms hacia un punto de la escala.

La mediana puede inclusive coincidir con los cuartiles o con los lmites de los bigotes. Esto sucede cuando se concentran muchos datos en un mismo punto


Las medidas de resumen numrico

empleadas para variables cualitativas son:

Razn

Proporcin

Tasa


Es la comparacin por cociente entre dos cifras de diferentes o similar naturaleza en donde el numerador y el denominador son excluyentes.

Por ejemplo, si tenemos 380 camas hospitalarias y 95 enfermeras y queremos encontrar la razn entre ellas, tenemos que dividir:

380 camas hospitalarias/95 enfermeras=

4 camas/enfermera

Este nmero constituye un valor que refleja una relacin.

En este caso, el nmero 4 se interpreta como que por cada cuatro camas hospitalarias hay una enfermera.


Es la comparacin por cociente entre el nmero de elementos de un subconjunto y el nmero de elementos de un conjunto al que pertenece dicho subconjunto. En este caso el numerador est incluido en el denominador, por este motivo los valores siempre van a ser menores que la unidad.

Por ejemplo, si en la poblacin hubo 175 casos de cncer pulmonar de un total de 1925 casos de todos los tipos de cncer, la proporcin se calcular.

175 / 1925 = 0.09


Es la comparacin por cociente entre un

nmero de eventos ocurridos en un tiempo y

lugar determinados y la poblacin que estuvo

expuesta al riesgo de que le ocurriera dichos

eventos en la misma poca y en ese lugar.



GRACIAS

3. medidas de tendencia central y dispersión

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