3 - esercizi: strumenti di misura, propagazione degli...

3 - Esercizi: strumenti di misura, propagazione degli errori, media,

deviazione standard, intervalli

• Esercizio 1: Si intende misurare la densità di un fluido tramite misure di massa e di volume. Lo si dispone in un contenitore e si misura una massa M=13.5 g tramite una bilancia digitale. La massa del contenitore e’ M0=0.322 g (misurata con una seconda bilancia di portata inferiore ma di sensibilità maggiore). Infine per il volume si misura il valore V0=62 ml. Esprimere il valore della densità del fluido misurata in g/cm3.

M = (13.50± 0.05) g M0 = (0.3220± 0.0005) g V0 = (62.0± 0.5) ml = (62.0± 0.5) cm3

�⇢⇢ =

q( �(M�M0)

M�M0)2 + ( �(V0)

V0)2

�(M�M0)M�M0

=p�2M+�2M0M�M0

= 0.38% �V0V0

= 0.81%

�⇢⇢ =

p(0.38%)2 + (0.81%)2 = 0.89% �⇢ = ⇢ · �⇢

⇢ = 0.0019 g/cm3

⇢ = M�M0V0

= 0.212548 g/cm3

Assunzioni: - incertezze uguali alla meta’ del valore dell’ultima cifra significativa

(“mezza-tacca” dello strumento) - le grandezze misurate hanno incertezze casuali ed indipendenti (le

incertezze statistiche si propagano con la “somma in quadratura”)

⇢best = (0.2125± 0.0019) g/cm3(con 2 cifre significative sull’errore)

⇢best = (0.212± 0.002) g/cm3(con 1 cifre significativa sull’errore)

• Soluzione Esercizio 1:

• Esercizio 2: Ad una molla e’ appesa una massa M nota con incertezza trascurabile. La costante elastica k della molla e’ nota solo al 5%. Con che incertezza e’ possibile stimare il periodo delle oscillazioni della molla?

[T = 2⇡q

Mk ]

�MM ⇠ 0 (incertezza trascurabile) �k

k = 5%

�T =q

( @T@M )2 · (�M)2 + (@T@k )

2 · (�k)2 = |@T@k |�k = |2⇡pM ·� 1

2 · (k)� 32 |�k

�TT =

2⇡pM · 12 ·(k)

� 32

2⇡pM ·k� 1

2· �k = 1

2�kk = 1

2 · 5% = 2.5%

Se y = x

n : �y

y

= |n| · �x

x

T = 2⇡pM · k� 1

2 / k�12essendo M con incertezza trascurabile

�TT = |� 1

2 | ·�kk = 1

2 · �kk = 2.5%

Formula generale della propagazione delle incertezze indipendenti:

Formula breve per le potenze:

In questo caso il periodo T dipende solo da una variabile casuale (k) essendo la massa M con incertezza trascurabile


• Esercizio 3: Si ha una bilancia a lettura digitale in cui l’ultimo digit corrisponde ad 1g. Viene appoggiato sulla bilancia “1 Kg campione” e si legge sul display il valore 1022. Si ripete la misura a distanza di qualche secondo ed il display fornisce sempre il valore 1022. Cosa di può concludere riguardo a) risoluzione, b) precisione, c) accuratezza della bilancia?

• “Caratteristiche di uno strumento di misura”

- Risoluzione: minima differenza tra le possibili uscite di uno strumento che sia “apprezzabile” (esempio: per uno strumento digitale = il digit)

- Precisione: quanto sono vicini i risultati di una misura quando la ripeto ⇒ rappresenta l’ampiezza della banda di fluttuazioni dello strumento

- Accuratezza: vicinanza tra valor vero e valore misurato ⇒ legata al concetto di errore sistematico

a) la risoluzione dello strumento e’ 1 g (che corrisponde al digit) b) la precisione dello strumento e’ <1g (in quanto l’ultima cifra indicata dal

display e’ stabile nel tempo, ovvero le sue fluttuazioni casuali caratteristiche sono inferiori alla risoluzione dello strumento). Convenzionalmente potremmo associare allo strumento una precisione = δM = 0.5 g (meta’ del digit)

c) lo strumento e’ poco accurato (scalibrato di 22 g)


Mmisurata = (1022.0± 0.5) g

Mvera = 1000 g (essendo il corpo un ”Kg campione”)

�M = Mmisurata � Mvera = (22.0 ± 0.5) g (incompatibile con il valore 0

! lo strumento misura sistematicamente una massa maggiore di 22 grammi

rispetto al valor vero )

• Esercizio 4: Uno strumento per la misura di spessori ha una risoluzione di 1μm ed una precisione di 52μm. Per misurare uno spessore vengono fatte 100 misure successive. Non si osserva nessun andamento nel tempo. Determinare la larghezza di un intervallo di quasi-certezza per la misura dello spessore.

• Esercizio 5: Utilizzando lo stesso strumento dell’esercizio 4, si vuole verificare se la posizione di una trave che regge un certo palazzo si sta spostando nel tempo. Si effettuano 2 misure, a distanza di un anno, della posizione della trave. In entrambi i casi si fanno 1000 misure e si fa la media per ciascun caso. Viene osservato uno spostamento di 48μm. E’ possibile affermare che la trave si sta effettivamente muovendo (ovvero che lo spostamento e’ significativo)?

• Soluzione Esercizio 4: �x = �

x

= 52µm ed N = 100

La miglior stima della lunghezza X e’ la media delle N misure (x)

L’incertezza su questa stima e’ �x

= �

xpN

= 5.2µm

Un intervallo di quasi-certezza (3�) per la misura e’ ±3 ·�x

⇠ 16µm attorno

al valor medio.

Le due serie di N=1000 misure forniscono i valori medi x1 e x2

L’incertezza (deviazione standard) su queste medie e’

(deviazione standard sulla media)


�x1 = �

x2 = �x

= �

xpN

= 52µmp1000

= 1.6µm

�x

= 52µm (essendo lo strumento di misura lo stesso dell’esercizio 4)

La di↵erenza a distanza di un anno tra le misure e’ �x = x1 � x2 = 48µm

��x =q�

2x1

+ �

2x2

=p

2 · �2x

=p2�

x

=p2 · 1.6µm ⇠ 2.3µm

�x = (48.0± 2.3)µm (intervallo di 1�)

�x = (48.0± 6.9)µm (intervallo di quasi-certezza 3�)

Incompatibile con il valore zero !si osserva uno spostamento significativo della trave in 1 anno

• Esercizio 6: Nella misura della profondità di un pozzo dal tempo di caduta di un sasso si leggono sul display del cronometro, per i 20 diversi sassi lanciati, i seguenti valori misurati in secondi (s):

- 6.2 , 6.6 , 6.4 , 6.7 , 6.2 , 6.3 , 5.9 , 6.4 , 6.5 , 6.2 , 6.3 , 6.4 , 6.0 , 6.3 , 6.2 , 6.6 , 6.1 , 6.3 , 6.5 , 7.0

• a) Disegnare un istogramma delle misure (motivando la scelta del binning)

• b) Calcolare media e deviazione standard campionaria

• c) Fornire la miglior stima di un intervallo di quasi-certezza per la profondità del pozzo[h = 1

2gt2]

• Soluzione Esercizio 6: Scelta binning = 0.1 s (scala delle variazioni osservate nelle misure) Estremi dei bin in modo che non coincidano con i valori misurati

n. bin intervallo bin [s] Entries1 5.85-5.95 12 5.95-6.05 13 6.05-6.15 14 6.15-6.30 45 6.25-6.35 46 6.35-6.45 37 6.45-6.55 28 6.55-6.65 29 6.65-6.75 110 6.75-6.85 011 6.85-6.95 012 6.95-7.05 1

t =P

tkN = 6.355s

�2t = 1

N�1

P(tk � t)2 equivalente a �2

t = NN�1 (t

2 � t2) t2 =

Pt2k

N

�t = 0.25s

tbest = t± �t = t± �tpN

= (6.355± 0.056) s

Miglior stima del tempo di caduta

t =

h = 12gt

2 / t2 �hh = 2 · �t

t = 1.8%

�tt = �t

t= 0.056

6.355 ⇠ 0.9%

�h = h · �hh = 3.6 mh = 1

2gt2 = 197.89.. m

hbest = (198.1± 3.6) m (intervallo 1�)

hbest = (198± 11) m (intervallo di quasi-certezza, 3�)

Miglior stima della profondita del pozzo

h1_tEntries 20Mean 6.355Std Dev 0.2459

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7Tempo di caduta [s]

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Num

ero

di m

isur

e =

entri

es h1_tEntries 20Mean 6.355Std Dev 0.2459

N bins = 12

Bin size = 0.1000 [C]

• Esercizio 7: Uno strumento per misure di lunghezza con risoluzione di 1/10 mm viene calibrato rispetto ad un “metro campione”. Il risultato della misura e’: 1002.6 mm con incertezza trascurabile. Successivamente si utilizza questo strumento per la misura di una lunghezza X e, fatte 100 misure, si ottiene un valor medio 914.1 mm con una deviazione standard campionaria di 3.2 mm. Fornire la miglior stima della lunghezza X con la corrispondente incertezza, indicando le ipotesi utilizzate.

• Esercizio 8: Si vuole verificare che il sistema di condizionamento di un laboratorio non risenta delle variazioni delle temperature esterne giorno-notte. Da una sequenza di 20 misure di temperatura del laboratorio nelle ore più calde del giorno si ottengono i seguenti valori:

- T1: 11.3 , 11.6 , 11.4 , 12.1 , 11.1 , 12.2 , 11.5 , 11.8 , 11.7 , 12.0 , 11.1 , 12.1 , 11.9 , 11.4 , 11.7 , 11.6 , 12.0 , 11.4 , 11.7 , 11.3

• Da una sequenza di altre 20 misure di notte:

- T2: 11.1 , 10.9 , 11.4 , 11.3 , 10.8 , 11.1 , 11.3 , 11.4 , 11.0 , 11.3 , 11.0 , 11.0 , 11.4 , 10.9 , 11.2 , 11.3 , 11.3 , 11.1 , 11.0 , 11.3

• Disegnare gli istogrammi delle due sequenze di misure. E’ possibile affermare che il sistema di condizionamento NON risente dell’effetto giorno-notte?

h1_T1Entries 20Mean 11.64Std Dev 0.3248

10.5 11 11.5 12 12.5Temperatura [C]

0

1

2

3

4

5

6

7

8nu

mer

o di

mis

ure

= en

tries h1_T1

Entries 20Mean 11.64Std Dev 0.3248



N bins = 21

Bin size = 0.1000 [C]

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