3. dinamika morskih valova - grad.unizg.hr · za bilo koju točku u vodi (tekućini) strujna...

Hidraulika Dinamika morskih valova

3. Dinamika morskih valova Morski val se može definirati kao periodski poremećaj kontinuuma ili granice kontinuuma. Razlikujemo dvije vrste morskih valova: - unutrašnji (potresi, eksplozije, razlike u temperaturi ili slanosti,…) - površinski (plivajući objekti – brodovi, plimni meteorološki – vjetrovni) Opći spektar morskih površinskih valova

Slika 3.1 Podjela valova po frekvenciji U okviru ovog tečaja promatrat će se samo površinski posebno vjetrovni valovi Morske valove formira: a) vjetar b) plivajući objekti (brodovi,...) c) poremećaj u ravnoteže fluida uslijed drugih uzroka (potres,nebeska tijela, ..) Način formiranja valova uslijed djelovanja vjetra

Ver. XI/06 Str. III-1


Slika 3.2 Način formiranja valova uslijed djelovanja vjetra Razlike tlaka na površini tekućine izazvane vjetrom ili strujanjem tekućine oko nekog tijela prouzrokuju podizanje površine tekućine na mjestima podpritiska i njeno spuštanje na mjestima nadpritiska. Kad nestane ovih vanjskih uzročnika poremećaja, tekućina se vraća u ravnotežni horizontalni položaj. Međutim, uslijed djelovanja sila inercije čestice vode se ne zaustavljaju u ravnotežnom položaju, nego titraju oko njega dok viskoznost tekućine ne priguši to gibanje. Izazvani poremećaj slobodne površine prenosi se i na susjedne čestice i širi se u vidu valova. Dok se čestice tekućine gibaju samo oko jedne fiksne (nepomične) točke u relativno malim pomacima, poremećaj ravnoteže prenesen na susjedne čestice širi se nekom određenom brzinom po cijeloj površini tekućine. Valno gibanje tekućine je oblik širenja energije, a ne prijenosa materije. Predmet postavljen na vodno lice će se nadolaskom vala podignuti, ali će se prolaskom vala vratiti praktički na isto mjesto. Već prema silama koje uzrokuju i podržavaju oscilatorno gibanje tekućine razlikuje se više vrsta valova. Za građevinarstvo su interesantni translatorni valovi koji nastaju uslijed djelovanja vjetra, a najčešći su tip morskih valova. Ovi valovi imaju veliki upliv na morske obale, hidrotehničke objekte (luke, lukobrane, platforme). Područje u kojem se čestice izdižu iznad njihovog srednjeg položaja nazivaju se valni brijegovi, a područja spuštanja ispod te razine su valni dolovi. Horizontalni razmak između odgovarajućih čestica dva susjedna valna brijega ili dola naziva se dužina vala (λ). Vrijeme potrebno da jedna dužina vala prođe kroz istu točku zove se period vala (T). Period vala za vjetrovne valove orijentaciono iznosi T = 4÷14 s. Broj perioda u jedinici vremena se naziva frekvencijom vala (τ = 2Π/T). Omjer dužine i perioda vala naziva se brzinom vala (c). Vertikalni razmak između valnog brijega i dola je visina vala (η, hw), a vertikalni razmak između srednjeg položaja vodnih čestica i valnog brijega odnosno valnog dola je amplituda vala (hA = hw/2).



Slika 3.3 Definicijska slika Kao najveće izmjerene visine vala se mogu usvojiti slijedeće vrijednosti: Senj 3.25 m Lastovo 5.00 m Atlantic 12 m Pacific 18 m Zbog oscilatornog gibanja dolazi do trenja među česticama i do pretvaranja djela energije u toplinu. Promatrajući oceanske valove, uočava se da se oni kreću praktički nepromjenjeni po veličini i obliku na velike udaljenosti. To navodi na zaključak da je efekt viskoznosti vrlo mali, odnosno može se usvojiti da je viskoznost zanemarivo mala. 3.1 Jednadžba vala Teorija oscilatornih valova je složena i u dobrom dijelu zahtjeva solidnu matematičku teoriju. U okviru ovog tečaja će se obraditi samo mali dio sa ciljem da se odredi brzina širenja vala c. Usvajaju se slijedeće pretpostavke: - voda je idealna tekućina - nema viskoznosti - za idealnu tekućinu također nema pretvaranja vala u toplinu tj. nema deformacije

vala - gravitacioni val je određen potencijalnim poljem sila teže pa se može računati

pomoću brzinskog potencija. Na osnovu gornjeg uvjeta se usvaja da je strujanje potencijalno (irotaciono).

- fluid je neograničen u horizontalnom smjeru (x - smjer) - dno je horizontalno i nepomično - utjecaj rubnih slojeva je zanemariv - utjecaj zraka iznad vode je zanemariv (zanemarujemo gustoću pa time i promjenu

tlaka, gibanje tog zraka, kao i posmična naprezanja na konturi zrak - voda) - ako je oblik vala konstantan može se usvojiti da se val propagira brzinom c u

smjeru osi x, odnosno za promatrača koji se giba brzinom c strujanje je stacionarno



Može se pretpostaviti da je za stacionarno strujanje val sinusoidalnog oblika. Ova pretpostavka nije restriktivna jer se, po Fourier-ovom teoremu kompliciranija strujanja mogu prikazati kao niz (kombinacija) sinusoidalnih.

Slika 3.4 Oblik vala Za bilo koju točku u vodi (tekućini) strujna funkcija Ψ može se opisati izrazom:

mxzfcz sin)(+=Ψ ...(3.1) cz – označava protok kroz domenu – brzinu kretanja kroz domenu pri čemu je: m = 2Π/λ valni broj z koordinata u vertikalnom smjeru cz član koji ovisi o uniformnoj brzini c i čini da se promatraču koji se giba

zajedno sa valom strujanje prikaže kao stacionarno f(z) tražena funkcija Za potencijalno strujanje funkcija Ψ mora zadovoljiti Laplaceovu jednadžbu:

02

2

2

2

=∂Ψ∂

+∂Ψ∂

zx ...(3.2)

pri čemu je:

⇒≤≤− ηzh ovo je područje domene – od dna do vodnog lica +∞≤≤∞− x

Uvrštavanjem jednadžbe (opisa) strujne funkcije Ψ (3.1) u Laplaceovu jednadžbu proizlazi

02

22 =+−

dzfdfm ...(3.3)

rješenje koje je f = A sh (B + mz) ...(3.4)



pri čemu su A i B konstante. Jednadžba (3.1) sada poprima oblik

mxmzBshAcz sin)( ++=Ψ ...(3.5) Slobodno vodno lice, kada je z=η , je također strujnica pa je ujedno:

mxmBshActcons sin)(tan ηη ++==Ψ ...(3.6) Na vrhu i u udolini vala mora biti zadovoljen uvjet dη/dx=0 (tangenta je horizontalna) a vrijednost η = 0 mora biti na polovini između vrha i udoline vala. Usvojit će se da je vodno lice strujnica Ψ = 0. Dno, na kojem je z = - h je također strujnica Ψ koja ne ovisi o x pa vrijedi sh { B+m(-h) = 0 tj. B = mh. Na osnovu toga se općenito može pisati: }

{ } mxzhmAshcz sin)( ++=Ψ ...(3.7) Dok za vodno lice vrijedi:

( ){ } mxhmshAcO sinηη ++= ...(3.8) Za oceanske valove (ako nisu blizu obale) je η mali u odnosu na h i λ, pa vodno lice ima sinusoidalni oblik opisan jednadžbom:

mxshmhcA sin⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=η ...(3.9)

Obzirom da promatramo stacionarno strujanje, uzdignuće η vodnog lica se može povezati (korelirati) s brzinom na osnovu Bernoullieve jednadže. Za to nam trebaju izrazi za brzinu i tlak. Brzina se u potencijalnom strujanju može izraziti kao derivacija strujne funkcije pa se dobiva:

( ){ }( ){ }[ ]2

2222

222

sin

cos

mxzhmAmchc

mxzhmshmAzx

v

+−−+

++=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

=

... (3.10)

Uvrštavanjem z=η dobiva se brzina na vodnom licu. Uvrštavanjem A iz jednadžbe (3.10) i zanemarivanje članova m2η2 (na osnovu pretpostavke η«λ) dobiva se ( ) ( ){ }[ ]

( )mhcthmc

hmmcV licuvodnom

η

ηη

21

coth212

2

−≈

+−=

λπ2

=m ... (3.11)

Tlak iznad vodnog lica je atmosferski, dok se tlak u tekućini mijenja zbog površinskih naprezanja. Analizom promjene tlaka nastale uslijed površinskih napona te uvrštavanjem u



Bernoullijevu jednadžbu dobiva se vertikalna komponenta brzina vala u točci Q (donja slika)

( ) xdxd

∂Θ+Θ sinsin ττ

Slika 3.4 Definicijska skica za površinska naprezanja Vertikalna komponenta sile površinskih naprezanja na elementarnu plohu PQ je

( ) xdxd

∂Θsinτ

Ako na plohi PR djeluje srednja vrijednost tlaka p , ukupna vertikalna komponenta sile na fluid u kontrolnom volumenu PQR iznosi

xpxdxd

∂+∂Θ)sin(τ

što predstavlja prirast vertikalne sile u kontrolnom volumenu PQR. Ova sila je proporcionalna i sa δx i sa δη tako da je nakon dijeljenja jednadžbe s δx i usvajanja δη →0 ovaj član sile isčezava te se dobiva izraz za tlak neposredno ispod vodnog lica

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=Θ−= 2/12

1

sin

dxddxd

dxd

dxdp

η

η

ττ ...(3.12)

Za valove u kojima je η mali u odnosu na h i λ se može pisati

mxmmxmhmcA

dxd cotcossinh ηη

=−= . ..(3.13)



i obzirom da je ovaj izraz svuda mali u odnosu na jedinicu, izraz za tlak poprima oblik:

2

2

dxdp ητ−= ...(3.14)

što se nakon uvođenja izraza za dη/dx transformira u jednadžbu:

ητ 2mp = ...(3.15) Primjenom Bernoullijeve jednadžbe između točaka η = η i η = 0 na vodnom licu i korištenjem jednadžbe za vvodnom licu proizlazi

( ) 22

21coth21

21 cgmhmcm ρηρηρητ =+−+ ...(3.16)

odnosno

( λππλ

ρλπτ /2tanh

222 hgc ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ) ...(3.17)

prvi član u zagradi u gornjem izrazu predstavlja udio površinskih napona u brzini vala dok drugi član u zagradi predstavlja doprinos gravitacije (najmanja brzina vala je cmin = 23.2 cm/s (Grčić). Ovaj izvod je napravljen pod pretpostavkom da je η mali u odnosu na h i λ i ti valovi se nazivaju Airy- ovi valovi po Sir George B. Airy (1801-1892) koji ih je prvi analizirao matematički. Valovi koji ne zadovoljavaju usvojene pretpostavke zahtijevaju znatno složeniju numeričku analizu. Airy-eva jednadžba pokazuje da je utjecaj površinskih napona zanemariv ako vrijedi relacija:

21

2.2

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⟩⟩⟨⟨

gtjg

ρτπλ

πλ

ρλπτ ...(3.18)

Za vodu posljednji član ima vrijednost 17 mm, pa se sa sigurnošću može efekt površinskih napona zanemariti kod oceanskih valova pa se dobiva brzina vala:

λπ

πλ hgc 2tanh

2= ...(3.19)

odnosno za valove u dubokoj vodi (h > λ/2)

πλ

2⋅

=gc ...(3.20)



dužina vala je

cT=λ ...(3.21) pa slijedi

λπ

πλ hgT 2tanh

2

2

= ...(3.22)

Obzirom na relativnu dubinu vode definiraju se tri tipa valova - kratki valovi (duboko more) - normalni valovi (srednje duboko more) - dugački valovi (plitko more)

Slika 3.5 Tipovi valova obzirom na relativnu dubinu vode a) kratki valovi (duboko more) Valovi u dubokoj vodi se obično usvajaju ako je h>λ/2(tj. h→∞). Tada se član tanh (2πh/λ) razlikuje od jedinice za manje od 0.004 i brzina vala se može usvojit sa

πλ

ρλπτ

222 gc += ...(3.23)

odnosno

πλ

2gc = ...(3.24)

a dužina vala je



πλ

2

2gT= ...(3.25)

b) normalni val (srednje duboko more) Za prelazno područje u kojem je normalni val odnosno srednje duboko more definirano odnosom

202λλ

⟩⟩h ...(3.26)

vrijedi Airy-eva jednadžba

λπ

πλ hgc 2tanh

2= ...(3.27)

a dužina vala

λπ

πλ hgT 2tanh

2

2

= ...(3.28)

c) dugački valovi (plitko more) U Airy-evoj jednadžbi za brzinu vala kada vrijedi λ»h, vrijednost tanh (2πh/λ)→ 2πh/λ. Ako je efekat površinskih napona zanemariv jednadžba poprima oblik c2= gh što je

jednadžba vala na mirnoj vodi odnosno vala u vrlo plitkoj vodi ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⟨

20λ

wh .

ghhgc ≈=λπ

πλ 2tanh

2 ...(3.29)

TghcT ⋅==λ ...(3.30)

3.1.1 Raspodjela tlaka u valu Iz Bernoullijeve jednadžbe (uz zanemarivanje v2)

0=++∂Φ∂ gzpt ρ

...(3.31)

se nakon uvođenja brzinskog potencijala za pozitivni val (u smjeru +x)

( ) ( ) ( )tmxmh

zhmg

htzx w σ

σ−

+−=Φ cos

coshcosh

2,, ...(3.32)

a za negativni val (smjer –x)



( ) ( ) ( )tmxmh

zhmgh

tzx w σσ

−+

+=Φ coscosh

cosh2

,, ...(3.33)

pri čemu je: m valni broj σ frekvencija Iz gornje jednadžbe se mogu izračunati komponente brzine u x i z smjeru

( ) ( )tmxmh

zhmTh

xv w

x σ−+Π

=∂Φ∂

= coscosh

cosh ..(3.34)

( ) ( )tmxmh

zhmTh

zv w

z σ−+Π

=∂Φ∂

= sincosh

sinh ...(3.35)

Pomaci čestica se mogu definirati:

ϑς sincosh

)(cosh2∫

+==

mhzhmh

dtv wx ...(3.36)

ϑη coscosh

)(sinh2∫

+==

mhzhmh

dtv wz ...(3.37)

pri čemu je ( tmx )σϑ −= fazni kut koji je ovisan o položaju i vremenu. Oblik putanje pojedine čestice se može dobiti ako se za zadani z izdvoje komponente

mhzhmh

A w

sinh)(cosh

2+

= ...(3.38)

mhzhmh

B w

sinh)(sinh

2+

= ...(3.39)

onda je putanja čestice

ϑηϑς

cossin

BA

==

odnosno

12

2

2

2

=+BAης ...(3.40)

što predstavlja jednadžbu elipse. Uvođenjem izraza za brzinski potencijal u Bernoulijevu jednadžbu se može dobiti izraz za raspored tlakova

( ) ϑρ

ρ cossin

cosh2 mh

zhmghgzp w +

+−= ...(3.41)



pri čemu smo već prije definirali ϑ kao fazni pomak koji je ovisan o položaju i vremenu i parametar A

( )mh

zhmHAsin

cosh2

+= ...(3.42)

tada izraz za raspored tlakova poprima oblik

ϑρρ cosgAgzp += ...(3.43) Prvi član gornje jednadžbe označava hidrostatsku komponentu tlaka a drugi hidrodinamičku komponentu. 3.1.2 Energija vala Iako se oblik vala kreće brzinom c to nije nužno i brzina kojom se energija pronosi kroz fluid. Energija se pronosi česticama fluida, koje se sve ne kreću brzinom c. Energija elementarnog volumena se sastoji od energije tlaka i kinetičke energije koja je proporcionalna sa kvadratom brzine.

Kp EEE += ...(3.44)

∫ ∫ ∫==λ η λ

ηρρ0 0 0

2

2dxgdydzgzE p ...(3.45)

( tmxa )τη −= cos ...(3.46)

pri čemu je 2 amplituda vala /wha = λπ /2=m valni broj pa slijedi

λρ

λρ164

22 w

phg

agE == ...(3.47)

kinetička energija se može izraziti u obliku

∫ ∫−

=∂

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Φ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Φ∂

=λ η

λρλρ

0

2222

1642 h

wK

hggadxdzzx

E ...(3.48)

pa je ukupna energija vala



pKw

Kp EEhgEEE 228

2

===+= λρ ...(3.49)

Iz gornje jednadžbe se vidi da je energija vala proporcionalna sa kvadratom visine vala. 3.1.3 Strmost vala Strmost vala je definirana izrazom

λδ wh= ...(3.50)

U slučaju da je δ < 1/10 tada je val stabilan (oceanski valovi δ = 1/30 do 1/100). U slučaju da je δ =1/10 tada se val lomi. Kada se val približava obali on postaje sve strmiji i kada strmost prekorači kritičnu

vrijednost 101

≈ktδ val gubi svoj normalni oblik i počne se kotrljati.

Slika 3.6 Strmost vala 3.1.4 Gibanje pojedinih čestica vala Pojedine čestice vode vrše povratno putovanje tj. okreću se oko jedne nepokretne točke u krugu (orbitalno gibanje). Obzirom na relativnu dubinu vode definiraju se tri tipa valova

a) duboko more (kratki valovi) 2λ

⟩H

b) umjerena dubina (normalni valovi) 252λλ

⟩⟩ H

c) veoma plitka voda (dugački valovi) 25λ

⟨H



Slika 3.7 Kretanje pojedinih čestica u valu Radijusi krugova trajektorije čestice se izračunavaju uz primjenu potencijalne teorije za gibanje morskih valova.

λπη 2

2−

= er ...(3.51)

ovi radijusi se sa dubinom naglo smanjuju (Tablica 3.1):

z R Napomena 0 η/2 Površina λ/8 0,456 η/2 λ4 0,208 η/2 λ/2 0,055 η/2 Granica između dubine i plitke vode λ 0,00187 η/2 Gibanje vala se ne osjeća

Tablica 3.1 Ovisnost radiusa gibanja čestica o njihovom položaju (dubini)



Iz ovoga se vidi da se gibanje vala odigrava na površini vode. Podmornica već na relativno maloj dubini ne osjeća velike valove na površini. 3.1.5 Refleksija vala Kada val pri svom napredovanju naiđe na čvrsti zid sa vertikalnom ili kosom stijenkom dolazi do potpunog ili djelomičnog reflektiranja vala. Reflektiranje vala je tim veće što je manja disipacija energije pri zajedeničkom uplivu stijenka – val. Na visinu reflektirajućeg vala “href” djeluje strmost i karakter stijenke (hrapavost i vodopropusnost) te duljina i visina vala. Intenzivnost reflektiranja vala “r” kod dubine H > 0,5 λ ispred stijenke se određuje po jednadžbi:

hh

Kr refhr ⋅= ...(3.52)

gdje je: Khr = koeficijent, koji ovisi o hrapavosti i vodopropusnosti stijenke (Tablica 3.2)

Opis stijenke KhrNepropusna glatka stijenka (zid) 1 Betonski zid (nepropustan i umjereno hrapav) 0,9 Kameni zid 0,75-0,8 Nabačaj od okruglog kamena (kaldrma) Nabačaj od kamena lomljenjaka (kaldrma) Nabačaj od kamenih gromada (kaldrma)

0,6 – 0,65 0,55 0,50

Tablica 3.2 Koeficijenti hrapavosti koji utjeću na refleksiju vala Ovisno o koeficijentu refleksije (r) razlikuje se: r ≤ 0,1 val je potpuno disipiran na stijenci bez reflektiranja; 0,1 < r < 0,5 val je neznatno reflektiran od stijenke; 0,5 < r < 1 javlja se znatno reflektiran val od stijenke; r = 1 val se ne disipira već potpuno reflektira.



Popis literature: Bagarić, skripta iz hidromehanike, Francis,J.R.D., P.Milton; Civil Engineering Hydraulics,Edvard Arnoold,London,1984 French,Richard H,Open-channel hydraulics, McGraw-Hill Book Company,706 str. 1985 Jović, Skripta iz hidrodinamike, Split 1975 Miletić P.,D.Mayer, Ekologija i voda III dio: O vodi, Hrvatska vodoprivreda, broj 10, Zagreb 1993 Massey B.S.; Mechanics of fluids,Van Nostrand Reinhold International) Co. Ltd. Sixth edition 1989 Rouse,H, Tehnička hidraulika 1) Čatić,Igor, Hrvatske vode, Vol.25, No 5, p 352-354, svibanj 1994 2) Tehnička enciklopedija tom 5 str. 319


3. dinamika morskih valova - grad.unizg.hr · za bilo koju točku u vodi (tekućini) strujna...

Documents