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Unidad Nº 3 – Física I – año 2013 1/24

Dpto. de Física y Química – Escuela de Formación Básica

FÍSICA I

UNIDAD Nº 3: LAS FUERZAS Y EL MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA

Nota: Recordar que siempre es conveniente realizar un esquema claro de la situación a resolver indicando las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo que interviene en la misma y sus reacciones, esto es, realizar el correspondiente Diagrama de Cuerpo Libre (DCL). Debe establecerse, además, un sistema de coordenadas que será utilizado para expresar las fuerzas por componentes escalares, efectuar los cálculos y expresar los resultados. Es importante realizar el análisis dimensional de los resultados, observando su lógica y sentido físico.

1) Para los siguientes casos, y para todas las situaciones posibles de cada uno de ellos, realizar los diagramas de cuerpo libre indicando pares de acción y reacción:

j) k) l)

m

a) cuerpo que cae b)

m

d) m

µ

θ

e) m1

m2

µ1

µ2

m2

m1

g) h)

m

α F m M

µ1 µ2

i)

k

F

m r o

c) cuerpo moviéndose en una trayectoria circular vertical

M µ

m

F f)


123F�

1

2

3

1

2

3θ

F�

2)

Tres bloques de igual masa y tres cuerdas inextensibles y de masa despreciable se vinculan entre sí en las tres situaciones que se muestran en las figuras siguientes. En la primera: los tres bloques se mantienen en equilibrio colgados del techo mediante el uso de las cuerdas; en la segunda: los bloques están sobre una mesa horizontal lisa y sobre el primero de ellos se aplica una fuerza de tracción F con la intención de mover el sistema con velocidad constante; y en la tercera: los bloques se hallan sobre una superficie inclinada lisa y sobre el primero de ellos se realiza una fuerza de tracción F con la intención de mover el sistema hacia arriba con velocidad constante.

Ante la necesidad de extraer resultados y conclusiones en base a lo estudiado, con la justificación física correspondiente, se considera una serie de ítems a contestar:

a- Identificar las fuerzas que actúan sobre los bloques en cada una de las situaciones. b- Las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos en las tres situaciones, ¿son iguales en módulo?

¿Cuál es la expresión matemática de cada una de estas fuerzas en función de las magnitudes que considere relevantes al estudio (por ejemplo: masa m, fuerza de tracción F, etc.)?

c- Identificar las fuerzas que actúan en cada cuerda. Describir cuáles serían los efectos de ellas sobre cada cuerda.

d- ¿Cuál es el módulo de las fuerzas que soportan las cuerdas (dar la expresión en función de las magnitudes que considere relevantes al estudio)?

e- ¿Son iguales en módulo las fuerzas que actúan sobre el bloque 2? f- Identificar cuál es la fuerza que provoca el movimiento de los bloques 2 y 3, en la segunda y

tercera disposición. g- Comparar entre sí los módulos de las fuerzas que tensionan las cuerdas ubicadas entre cada par de

bloques en las tres situaciones. h- Explicar en forma clara las diferencias que encuentre entre la segunda y tercera configuración. i- Si en la primera configuración se procede a cortar la cuerda que sostiene al sistema unido al techo,

¿cuál será el módulo de las fuerzas que actúan sobre las cuerdas?

3) En base a los resultados anteriores, obtenidos considerando ausencia de roce entre los bloques y la superficie (problema ideal), estudiar la posibilidad de remolcar dos vagones de diferente masa, unidos por una cuerda que soporta una fuerza máxima dada. Conociendo esta situación límite ¿cómo procedería a remolcarlos: tirando del vagón de de mayor o de menor masa?

¡Unamos Bloques y cuerdas!


¡Un paso más en nuestro estudio:

Incorporemos el roce!

4) Los bloques 1, 2 y 3, conforman el sistema bajo

estudio y se acomodan en tres disposiciones diferentes correspondientes a las figuras A, B y C. En cada una de ellas, se hace actuar una fuerza horizontal F tal como se muestra. Si la aceleración del sistema en cada caso es de 2 m/s2 y considerando que la correspondiente fuerza F aplicada desplaza los bloques como si estuvieran unidos: a- Determinar el módulo de la fuerza F en cada disposición. b- ¿La fuerza de contacto que ejerce el bloque 1 sobre el 2 en la disposición A es menor que la que efectúa en la disposición B? c- ¿La fuerza de contacto que ejerce el bloque 1 sobre el 2 en la disposición B es menor que la que efectúa en la disposición C? Las masas respectivas de los bloques son: 2 kg, 4 kg y 1 kg, y sus coeficientes de roce, con el plano horizontal, respectivos son 1/4, 1/8 y 1/2. Nota: considere el módulo de g=10 m/s².

5) De acuerdo a lo que muestran las figuras 1, 2 y 3, calcular en cada caso la máxima fuerza F que se puede ejercer sobre la masa B para que permanezca en reposo. Calcular además, la fuerza que actúa en la cuerda. Datos: mA = 0.5 mB=1Kg µAB estático = µBpiso estático=0,2 µAB dinámico = µBpiso dinámico=0,1

Te sugerimos consultar el primer problema resuelto al

final de esta práctica

1

1

1

2

2

2

3

3

3

AF�

BF�

CF�

A

B

C

Incorporemos no sólo bloques, cuerdas y roce, sino también

poleas y resortes!


Am

Bm

Cm

Si se aumenta en 1N el módulo de la fuerza F en los casos 2 y 3, ¿cuál será la aceleración y las fuerzas que tensionan las cuerdas, si se parte del reposo?

6) Determinar las aceleraciones correspondientes a cada bloque, al liberarse ellos desde el reposo.

Datos: mA=3 kg, mB=20 kg, mc=10 kg θ=30°, µA=µC=0,1

7) En el sistema mostrado, analizar: a) ¿Cuál es el máximo valor que

puede tener µ para que el sistema esté acelerado?

b) Si µ = 50% del valor máximo calculado ¿cuál será la aceleración del sistema y el estiramiento que experimenta el resorte?

Datos: M = 2 m Nota: comenzar a resolver el problema cuando el resorte haya alcanzado su estado estacionario y todo el sistema se esté moviendo.

8) Un bloque está ubicado sobre un plano inclinado suficientemente largo. El plano se levanta

gradualmente de 0º a 90º, ¿cuál es el gráfico que representa la fuerza de rozamiento actuando sobre el bloque como función del ángulo de inclinación? El coeficiente de rozamiento estático es mayor que el coeficiente de rozamiento cinético. (problema extraído de la 5º Olimpíada Internacional de Ciencia Junior)

M k

m

M

µ

Am

ABµ

BPµ

F�

2

Bm

Antes de continuar: te sugerimos consultar el segundo y tercer problema resuelto al final de

esta práctica

Am

Bm

ABµ

BPµ

F�

1

Am

Bm

ABµ

BPµ

F�

3

θ


(A) (B)

(C) (D)

9) Cuando un ascensor comienza su movimiento acelera brevemente y continúa luego con velocidad

constante hasta que se aproxima al piso deseado, tanto en su movimiento hacia arriba o abajo. Considerando que dentro de él se encuentra un hombre de masa m sobre una balanza de resorte ubicada en el piso, hallar el peso efectivo de este hombre si el ascensor: a) acelera hacia arriba a 0,2 g, siendo g la aceleración de la gravedad, b) acelera hacia abajo a 0,2 g, c) sube o baja con velocidad constante. Si la masa del ascensor (incluido su ocupante) es de 1000 kg ¿cuál es la fuerza en el cable que produce el movimiento, en cada una de las situaciones consideradas en los ítems dados anteriormente? Supongamos que se dispone de un cable que puede aguantar una fuerza máxima de 12000 N ¿cuál es la máxima aceleración posible hacia arriba del ascensor?

Nota: se entiende por peso efectivo el indicado por la balanza.

10) Se lanza un bloque de masa m con velocidad de módulo v0 en una plataforma horizontal sin roce, con el fin de colocarlo sobre el trineo (de masa M) que lo transportará. Al entrar en contacto, desliza sobre la superficie del trineo hasta finalmente quedar en reposo respecto a él. El trineo puede deslizarse sin roce sobre el hielo. El coeficiente de roce entre el paquete y el trineo es µ. a), ¿Cuál es la velocidad del trineo una vez que el bloque queda en reposo con respecto a él? b) ¿Cuánto tiempo demora el bloque en quedar en reposo con respecto al trineo? v0= 2 m/s , m=1 kg , M=5 kg , µ=0,2

11) Un vagón detenido en la estación de trenes, mediante un mecanismo montado en él lanza una esfera

hacia arriba en dirección perpendicular a la vía con una velocidad de módulo 8 m/s. Determinar la altura máxima alcanzada por la esfera.

m

M

ov�


12) Suponer que el vagón del problema anterior, avanza en línea recta por una vía horizontal con velocidad constante de módulo 5 m/s, cuando lanza la esfera. Determinar:

a) la altura máxima alcanzada por la esfera, b) la posición del vagón y de la esfera cuando esta última vuelve al nivel desde el que partió, c) el desplazamiento de ambos.

13) Resolver el problema anterior para el caso en que el vagón posea una velocidad de módulo 5 m/s en el

instante en que se lanza la esfera y una aceleración de 1 m/s2 durante todo el tiempo en el que dicha esfera esté en el aire.

14) Resolver el problema 12), pero ahora para el caso en que el vagón esté circulando por una curva

horizontal de 250 m de radio, con velocidad de módulo constante de 5 m/s. 15) Un camión que circula por una autopista con pendiente longitudinal nula, pasa sobre una pequeña piedra

provocando que ésta sea despedida hacia atrás, con una velocidad de módulo 20 m/s y un ángulo de inclinación de 60º con respecta a la autopista. a) ¿Cuál debe ser la mínima distancia de un automóvil que circula detrás del camión, a una velocidad

constante de 90 km/h, para que la piedra no impacte en su parabrisas? Considerar que la parte inferior del parabrisas está a una altura de 0,90 m con respecto al piso.

b) Graficar la posición en función del tiempo del auto y de la piedra, desde el instante en que la piedra es despedida por el camión hasta que impacta en el auto.

Nota: se entiende por pendiente longitudinal de un camino el ángulo que forma el eje del mismo con la horizontal.

16) Papá Noel se disponía a entrar por la chimenea a dejar sus regalos, ignorando que una fina capa de hielo sobre el techo lo haría deslizar. Determinar: a) la velocidad de Papá Noel cuando deja el techo y cuando llega al piso, b) la distancia a la que golpeará con el suelo, c) el tiempo trascurrido desde que comienza a deslizar

hasta que llega al suelo. d) analizar si tiene alguna importancia en estos cálculos

que Papá Noel esté algo excedido en peso. Datos: el techo forma un ángulo de 40º con la horizontal, su extremo inferior está a 2 m de altura, Papá Noel comienza a deslizar desde una altura de 3,5 m (ambas alturas están tomadas con respecto al piso) Las botas de Papá Noel tienen una suela muy lisa.

17) Un niño se desplaza en bicicleta por una calle recta a una velocidad constante de 30 Km/h. Un amigo que se encuentra en la terraza de su casa, a los efectos de hacer una broma, le arroja una pelota de

tenis. Si lanza la pelota con la dirección indicada en el gráfico y hace impacto sobre su cabeza justo cuando pasa por enfrente de él, calcular: a) la velocidad con que es lanzada la pelota, b) el desplazamiento de la pelota desde el momento en que la arroja

hasta impactar sobre la cabeza del otro niño, c) la velocidad media de la pelota en el mismo intervalo, d) la distancia que recorre la bicicleta en el mismo intervalo. Datos h = 3 m d = 4 m θ = 30º

Nota: Recordar que se debe indicar el sistema de referencia utilizado para los cálculos, en este caso en tres dimensiones (xyz) y expresar los resultados según ese sistema.

v0 θ

h

d


18) Dos niños están en la terraza de un edificio de 30 metros de altura, cada uno con una pequeña pelota. Uno de ellos la lanza con una velocidad inicial de módulo 3 m/s en dirección horizontal y el otro, al verlo, arroja la suya 1 segundo después. Si ambas llegan al piso en el mismo instante y lugar, a) determinar la velocidad con que se arroja la segunda pelota, b) para cada pelota, realizar una gráfica de la posición, de la velocidad y de la aceleración en función

del tiempo. c) determinar la ecuación de la trayectoria para cada pelota y graficarla.

19) Un vehículo de masa 1300 kg describe una curva circular de 80 m de radio con una velocidad de módulo

constante de 25 m/s. El coeficiente de rozamiento del vehículo con la superficie por la que circula es 0,6. Determinar: a) la velocidad media cuando el vehículo recorrió un arco de 15º, b) si la superficie fuese horizontal, ¿cuál sería la velocidad máxima que podría llevar el vehículo para

no deslizarse lateralmente?, c) si no hubiese rozamiento, ¿cuál debería de ser el peralte de la curva para que a esa velocidad no se

deslice lateralmente? 20) Las curvas de una pista de carrera de bicicletas tienen un ángulo de peralte

de 30º, y un radio de curvatura de 50 m. Un ciclista recorre dicha pista a una velocidad de módulo constante de 40 km/h. Para un sistema de referencia fijo a la pista, determinar: a) la fuerza de rozamiento entre la bicicleta y la pista, b) el ángulo girado por el ciclista en 3 segundos, el desplazamiento y la

velocidad media en el mismo tiempo.

21) Un piloto de masa m conduce el avión ejecutando un loop, como se muestra en la figura. En esta maniobra, la aeronave se mueve en un círculo vertical de radio 2,7 km manteniendo el módulo de su velocidad constante de 225 m/s. Según el sistema de referencia mostrado: a- Determinar la velocidad angular y la aceleración en el instante de tiempo correspondiente a la posición de la aeronave en el punto B. b- ¿Cuál es la velocidad media y aceleración media entre los instantes de tiempo correspondientes a la posición en B y a la máxima altura del loop (C)? c- Realizar diagrama de cuerpo libre, marcando pares de acción y reacción, y determinar la fuerza ejercida por el asiento sobre el piloto de masa m= 80 kg: (a) en la posición correspondiente a la mínima altura del loop (A); y (b) en la posición correspondiente a la máxima altura del loop (C).

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1) ¿Cómo se pueden calcular los coeficientes de roce

estático y dinámico entre la superficie de una mesa y la de un plato situado sobre ella? ¿Qué instrumentos de medición se necesitan?

Nota: la mesa tiene la posibilidad de inclinarse con respecto a uno de sus bordes. En el caso de hacer la experiencia, tratar de utilizar un plato de plástico.

M

m1

m2

µ

F

xo

y

B

A

C


Datos: m = 1 Kg, l = 1,65 m, h = 15 cm, vB = 6,96 m/s, ∆tAB = 0,47 s, d = 1 m

2) En el problema anterior, ¿qué fuerza horizontal debe aplicarse a la masa M con el propósito de que los bloques m1 y m2 queden estacionarios con respecto a ella? Suponer que entre m1 y M, entre m2 y M y entre la cuerda y la polea no hay rozamiento. Datos: m1 =1 kg m2=0,5 kg M = 2 kg µ = 0,3

3) Un niño juega con su avión de 500 gramos de masa, haciéndolo describir una circunferencia contenida

en un plano horizontal: a) realizar el diagrama de cuerpo libre del avión, marcando pares de acción

y reacción, b) si el niño aumenta la velocidad angular del avión ¿qué sucede con el ángulo

que forma el hilo con la vertical? ¿podrá llegar a ser de 90º? c) si ahora lo hace describir una circunferencia de 1 metro de radio dando

una vuelta cada 2 segundos, calcular la fuerza que realiza la cuerda y la resultante de las fuerzas que actúan sobre el avión.

4) Se arroja verticalmente hacia abajo un cuerpo con una

velocidad de módulo 0,2 m/s, desde una altura de 3 m ¿Con qué velocidad deberá dispararse un proyectil desde una distancia horizontal de 4 m, una altura de disparo (hd) de 10 cm y con un ángulo de inclinación de 15° para que, en su máxima altura, se encuentre con el cuerpo que está cayendo?

5) Una actividad de laboratorio consiste en disparar un proyectil con diversos ángulos de inclinación, y

medir su alcance, para luego compararlo con el valor calculado. El tubo lanzador posee un sensor para medir la velocidad de salida del proyectil. La superficie desde la que se dispara tiene un ángulo de inclinación de 5º con la horizontal, elevándose a partir del punto de disparo. Si se dispara desde una altura de 15 cm, con una velocidad de módulo 5 m/s y un ángulo de elevación de 60º con respecto a la horizontal, calcular las coordenadas del punto en el que debería caer el proyectil. Al medir las coordenadas del punto en el que realmente impacta el proyectil, se encuentra una diferencia del 3% con las del punto calculado. Discutir las posibles causas.

6) La masa m representada en la figura gira en un plano vertical atada a una cuerda de longitud l, en el

sentido de las agujas del reloj. Pasa por el punto superior de la trayectoria (A) con velocidad crítica, entendiendo por tal a la mínima velocidad que puede tener en la parte superior de su recorrido para continuar describiendo un movimiento circular.

a) Aislar el cuerpo en A y B marcando pares de acción y reacción. b) Indicar en un gráfico dirección y sentido de la velocidad y de la aceleración en A y B. Calcular sus

módulos. (tener en cuenta que módulo de vB es dato) c) Calcular la aceleración angular media entre los

puntos A y B. d) Luego de algunas vueltas, se dispara un proyectil

desde el cañón de juguete indicado en la figura, haciendo impacto sobre la piedra cuando ambos se encuentran en su máxima altura. Determinar la velocidad y el ángulo de inclinación del proyectil cuando es disparado.

e) Calcular la velocidad y aceleración del proyectil al cabo de 0,3 segundos de haberse disparado.

A

l B

m

d

h

vo

hd α


7) Parte de un juguete consiste en un cono, como se observa en la figura, sobre cuya superficie gira un pequeño objeto de 500 g de masa, describiendo una circunferencia en un plano horizontal cada 3 segundos. Por medio de un hilo de 40 cm de longitud, el objeto se sujeta a una varilla vertical fija al vértice del cono. Despreciando el rozamiento entre ambas superficies, determinar la tensión en el hilo.

8) Una balanza calibrada en Newton se coloca sobre una plataforma que se mueve sobre un terreno

ondulado con rapidez constante de 14 m/s (ver figura). Sobre la balanza se coloca una caja que pesa 500 N. Determine la lectura en la balanza: a) cuando la plataforma pasa sobre la cresta de una colina con radio de curvatura de 100 m, y b) cuando la plataforma pasa por la parte inferior de una depresión con radio de curvatura de 80 m.

PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN 1) Un automóvil transita por una carretera y en

determinado se encuentra con una depresión existente en ella (considerada circular – ver figura). Al llegar a su fondo, su velocidad es de 30 m/s. El coeficiente de roce cinético entre los neumáticos y la carretera es de 0,8, y el radio de su trayectoria en la depresión es de 60 m. Si en ese preciso instante su conductor aplica los frenos y se traban las ruedas del vehículo, según el sistema de referencia (xoy) mostrado: a- realizar el diagrama de cuerpo libre del auto

marcando pares de acción - reacción; b- determinar la desaceleración resultante en la dirección tangente a su trayectoria c- Si esta desaceleración se mantiene constante en la trayectoria circular, determinar según el

sistema de referencia (xoy) mostrado la velocidad media entre los instantes de tiempo correspondiente a su paso por el fondo y a su máxima posición angular (cuando se detiene en esta trayectoria).

Rta: b) 2

2 2( ) 19,85 ( 9,81 )

t

v m ma g i i g

R s sµ= − + − =

� ��

� c) (14,73 2,83 )m

mv i j

s+� ��

�

2) Un niño que está de pie sobre un bloque de madera pretende avanzar con el mismo tirando de una cuerda atada a una columna (figura a). Como resultado de su acción avanza una distancia L, pero a la vez se desliza sobre el bloque (figura b): a) realizar el diagrama de cuerpo libre del niño y del bloque,

marcando pares de acción y reacción, b) calcular el tiempo que tardan en alcanzar la posición que se

muestra en la figura b, c) calcular la distancia que recorre el bloque. Datos: mbloque = 40 kg, mniño = 28 kg, F = 150 N, L = 2,5 m, µNB = 0,2, µBP = 0,05.

Rta: b) t=1,21s; c) d=0,40m

µNB

µBP

m

20º

ω


3) En un partido de futbol, un jugador intenta convertir un gol cuando el arquero está adelantado. Para ello patea la pelota con una velocidad de módulo 15 m/s y un ángulo de inclinación sobre la horizontal de 50º, de manera de pasarla sobre el arquero. Si este último se encuentra 10 m delante del jugador, comienza a correr 0,3 s después del lanzamiento y le pega a la pelota cuando está a 2,10 m por encima de la altura a la que fue pateada, calcular con qué velocidad supuesta constante, corre el arquero.

Rta: v=6,49 m/s (corre en el mismo sentido de mov. de la pelota) 4) Como puede observarse en la figura, un juego en la playa

consiste en deslizarse por el inflable que está apayado en el agua. Si se desprecian los rozamientos y se considera que la chica comienza a deslizar desde una altura h con respecto al agua, determinar la distancia que se desplazó el inflable en el momento en que ella llega al agua.

Datos: m=M/2; θ=45º

Rta: Mm

mtghd

+θ=

5) Un juego de los parques de diversiones llamado “alfombra mágica”, consiste en un tobogán ondulado por el que hay que deslizarse sobre una alfombra. Para la posición indicada en el esquema y considerando que en ese momento se desliza sobre un arco de circunferencia: a) indicar todas las fuerzas que actúan sobre el niño, b) calcular la máxima velocidad que puede tener el niño para no

despegarse del tobogán, c) para esa velocidad, calcular la velocidad angular y la aceleración

angular.

Datos: θ = 30º R = 4 m µ = 0.1 (entre el niño y el tobogán) Rta: b) vmáx=4,42m/s; ω=1,46rad/s

6) El tren de levitación magnética está soportado por fuerzas de repulsión magnéticas normales a las vías. El movimiento transversal a las vías del tren es impedido por soportes laterales. Pocos metros después de comenzar su recorrido, el tren de 20 toneladas de masa, comienza a circular por una curva de 150 m de radio y un ángulo de inclinación (de los soportes laterales) de 40º. Gira un total de 30º y varía el módulo de su velocidad de 25 m/s cuando comienza la curva, a 40 m/s cuando la termina.

a) Un trocito de metal que viajaba sobre el techo del tren, a una altura de 8 m del piso, se desprende cuando comienza la curva. ¿A qué distancia de ese punto llegará al piso?

b) ¿Qué fuerza debe ejercer el sistema de levitación magnética para soportar al tren y qué fuerza total ejercen los soportes laterales? Calcularlo para el instante anterior a abandonar la curva.

c) Suponiendo que la aceleración es constante durante la curva, calcular su valor (α y at).

Rta: a) x=31,94m; b) N=14,36m[N]; fs=1,87m[N]; c) α=0,041rad/s2; at=6,21m/s2

M

m

θ

θ R θ


e d

µ µ e d

µ µ

PROBLEMAS RESUELTOS Para aprender a utilizar las leyes de Newton en la resolución de problemas, y así poder comprender su significado, consideramos que lo mejor es ilustrar su uso en algunas situaciones concretas. De acuerdo a esto, te presentamos una serie de problemas resueltos que pueden ser de interés en tu estudio. 1) Considere el sistema de la figura, que consiste en dos bloques de masas m y M respectivamente, unidos

por una cuerda inextensible y de masa despreciable (condiciones ideales), de lomgitud L. a) Suponiendo que el coeficiente de roce estático entre los bloques y el suelo es el mismo, e igual a µe,

¿cuál es la máxima fuerza F�

que se puede aplicar a M sin que el sistema se mueva? b) Si el coeficiente de roce dinámico entre los bloques y el suelo es µd, ¿qué fuerza F

�

se debe aplicar al bloque de masa M para que ambos bloques aceleren con aceleración a

�

?. ¿Cuál es el valor de la tensión de la cuerda en ese caso?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Antes de resolver el problema, te sugerimos la lectura de la sección 3.4.4 correspondiente al capítulo 3 del libro Mecánica (Creuss, Massa, Cortés, UNR editora), referente a las fuerzas originadas en las superficies de apoyo y en especial fuerza de rozamiento de fricción. En nuestro nivel actual de conocimiento, reconocemos que si un cuerpo desliza sobre otro, tarde o temprano se detendrá a menos que exista una fuerza externa que perpetúe su movimiento. La fuerza que se opone al deslizamiento relativo entre los dos cuerpos se denomina fuerza de roce y su origen es debido a la interacción de las superficies en contacto. Esta fuerza de roce no sólo está presente cuando dos cuerpos se encuentran en contacto y con movimiento relativo entre sí, sino que también puede estar presente cuando los dos cuerpos se encuentran en contacto y en reposo relativo. En efecto, si, por ejemplo, inclinamos una mesa con algunos cuerpos en reposo sobre ella, notamos que algunos, o todos, no comienzan a deslizar. Aparece una fuerza que impide que este deslizamiento comience y se la denomina fuerza de roce estático. También las fuerzas de roce aparecen en diversas circunstancias donde el movimiento relativo está presente (por ejemplo, el roce rodante, el roce viscoso, etc). Nuestro interés primario se centra en las fuerzas de roce dinámica y estática. Todas ellas tienen un origen común, el microscópico. Una característica de la fuerza de roce es la dificultad que se presenta al tratar de cuantificarla, dado que dependen no sólo de la naturaleza de los materiales y de propiedades de la superficie como el pulido, la existencia de óxidos en la interface, etc., sino también de la historia de las superficies: el paso del roce estático al roce dinámico depende del hecho que las superficies se han deslizado previamente o no. Recordemos algunos resultados experimentales y cualitativos sobre del roce: Intentemos deslizar un bloque de masa M, que descansa sobre una superficie horizontal, aplicando sobre él una fuerza horizontal F�

, que incrementamos paulatinamente. Designemos por

rf�

a la fuerza de roce que está presente debido a la fricción entre las dos superficies en contacto, y describamos los resultados experimentales sobre la forma en que varía esta fuerza. a) Mientras la fuerza horizontal externa F

�

se incrementa desde 0 hasta un cierto valor (max)

eF�

(max)(0 )eF F< < , el bloque de masa M no se desplazará. Como no hay aceleración, la fuerza neta horizontal sobre el bloque debe ser nula, o sea, debe haber actuar otra fuerza horizontal sobre el bloque que exactamente cancele a la fuerza F

�

aplicada. Esta es la fuerza de roce estática ref�

. Se tiene, por lo

tanto, que ref F= −� �

; siendo (max) (max)

re ef F= −� �

.

b) Cuando la fuerza horizontal externa F�

sobrepasa cierto valor (max)

eF�

(max)( )eF F> , la fuerza de roce no sigue aumentando. Como ahora la componente horizontal de la fuerza neta no es nula, el bloque comenzará a acelerar. Tan pronto como los cuerpos se deslizan con cierta velocidad relativa, la fuerza de roce se

m MF�


vuelve constante, siendo su magnitud algún valor rdf�

(max)( )rd ef F< y su sentido opuesto al movimiento relativo (tener en cuenta que esta fuerza de roce en realidad depende las velocidades relativas de las superficies en contacto, pero para intervalos de velocidades de cm/s a varios m/s podemos considerarla aproximadamente constante). De ahí en adelante, si se desea mantener el bloque deslizándose con una velocidad constante, debe aplicarse una fuerza horizontal de módulo igual a

rdf�

, en la dirección de movimiento. Este comportamiento fenomenológico recién descrito, que muestra la fuerza de roce, se muestra en la figura. Empíricamente se ha observado que, para dos superficies (secas) en contacto, tanto la fuerza de fricción dinámica

rdf�

como el máximo de la fricción estática (max)

eF�

, son proporcionales a la fuerza normal entre ambas superficies, o sea

rd df Nµ= y (max)

e eF Nµ= . N es la fuerza normal entre las superficies (es decir, perpendicular a la interface formada por las dos superficies) y µd y µe son los coeficientes de rozamiento. De una manera u otra, estos coeficientes de rozamiento muestran una cierta ignorancia de los distintos parámetros que intervienen en el problema. En la mayoría de los casos se tiene que el coeficiente de roce dinámico es menor al coeficiente de roce estático: µe > µd. Ambas fuerzas de roce actúan en la dirección paralela a las superficies. El sentido de la fuerza de roce estático es opuesto a la fuerza horizontal neta que actúa sobre el cuerpo, mientras que el sentido de la fuerza de roce dinámico es siempre opuesto al movimiento relativo (y no a la fuerza) entre las dos superficies. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Retornemos a nuestro problema: Como inicio general en la resolución de problemas, debemos seleccionar el sistema bajo estudio: en nuestro caso, se compone de los dos bloques, de masa m y M, y de la cuerda que los une, con la consideración que es de masa despreciable e inextensible (se constituye en un vínculo de movimiento entre los bloques, las características cinemáticas de uno se trasladan al otro a través de este vínculo). El paso siguiente consta de realizar el llamado diagrama de cuerpo libre de cada objeto que forme parte de nuestro sistema, identificando los pares de acción-reacción. Recordemos: “Al analizar las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo es conveniente aislarlo del resto de los objetos que interactúan con él. Para ello cada objeto que interactúa con este cuerpo es sustituido por una fuerza que cumple con la tercera ley de Newton. El resultado de esta operación es el así llamado diagrama de cuerpo libre del objeto”. Si aplicamos una fuerza a una cuerda, ésta no sólo cambiará su estado de reposo en este caso, sino que también la tensarlá- Sobre cada uno de los cuerpos actúan, además de las fuerzas ejercidas por las cuerdas, la fuerza gravitatoria o peso y las fuerzas de contacto (normal y roce), mostradas en la figura.

rf

F

rdf

(m ax)

ref

o (m ax)

eF

Tierra

Agente exterior que ejerce la fuerza F

m M

F�

*

MT�

MT�

1T�

mT�

*

mT�

*

1T�

mN�

MN�

*

mN� *

MN�

mP�

*

mP�

MP�

*

MP�

rmf�

*

rmf�

rMf�

*

rMf�

Pares de acción-reacción:

F�

y *F�

, M

P�

y *

MP�

, m

P�

y *

mP�

MN�

y *

MN�

, m

N�

y *

mN�

rMf�

y *

rMf�

,rm

f�

y *

rmf�

MT�

y *

MT�

, 1T�

y *

1T�

, m

T�

y *

mT�

*F�

o

y

x


1Mx M rM Mx

My M M My

F T T f Ma

F N P Ma

= − − =

= − =

∑∑

mx m rm mx

my m m my

F T f ma

F N P ma

= − =

= − =

∑∑

0

mx m rm mx

my m m my m m

F T f ma

F N P ma N P mg

= − =

= − = = → = =

∑∑ (ver item a)

rm mf N mgµ µ= =

m x m m xF T m g m aµ= − =∑

Apliquemos ahora la segunda Ley de Newton. Para su descripción matemática, dado su carácter vectorial, necesitamos un sistema de coordenadas cuya selección y orientación, si bien es arbitraria, debe simplificar la resolución. En nuestro problema, seleccionamos un par de ejes cartesianos ortogonales, x e y, fijos al plano horizontal donde los bloques deslizan. El eje x horizontal (paralelo a la superficie de la Tierra) y el eje y vertical (perpendicular a la superficie de la Tierra) (como se muestra figura siguiente).

Bloque M Bloque m La aplicación de la segunda Ley de Newton, y su expresión en componentes escalares, matemáticamente se traduce en la resolución de un sistema de ecuaciones. Este sistema será resoluble (compatible) cuando tengamos a nuestra disposición un número igual de ecuaciones que de incógnitas. Este análisis deberá hacerse no sólo considerando los datos numéricos que tengamos a nuestra disposición, sino también con las características de movimiento que puedan tener las partes que conforman el sistema de estudio. Ilustremos estas últimas consideraciones: al analizar las cuatro ecuaciones que tenemos a nuestra disposición, correspondientes a ambos bloques, observamos que en ellas aparecen en principio varias incógnitas (no tenemos datos dados sobre ellas) a saber: TM, T1, frM, aMx, NM, aMy, Tm,frm, Nm y amy. No consideramos los pesos como incógnitas, ya que si sabemos que la masa de un bloque, por ejemplo, es m, su peso en módulo es mg (donde g es la llamada aceleración de la gravedad). Tenemos 4 ecuaciones y en principio. 10 incógnitas, es decir, es un sistema incompatible. La pregunta que nos tendríamos que realizar, es si podemos de alguna manera disminuir el número de incógnitas. ¡La respuesta es sí!. Para ello consideremos que: a- los bloques sólo pueden deslizan sobre la superficie horizontal donde apoyan, por lo tanto, la componente “y” de su posición al transcurrir el tiempo no cambia. Esto lleva a que ambas componentes en y de las aceleraciones de los bloques son iguales a cero. (aMx = aMy =0) b- Si existe roce entre ambos bloques y la superficie horizontal donde apoyan, podemos obtener las fuerzas de roce actuantes según la condición de movimiento (estática o dinámica) al considerar el coeficiente de roce correspondiente: - Bloque M -Bloque m

MN�

M

MT�

1T�

MP�

rMf�

y

x m

mT�

mN�

mP�

rmf�

y

x

1

0

Mx M rM Mx

My M M My M M

F T T f Ma

F N P Ma N P Mg

= − − =

= − = = → = =

∑∑ (ver item a)

rM Mf N Mgµ µ= =

1Mx M MxF T T Mg Maµ= − − =∑ (Ecuación dinámica de movimiento del bloque M)

(Ecuación dinámica de movimiento del bloque m)


* *

1 0cx m c cx

F T T m a= − = =∑ * 0cx M c cx

F F T m a= − = =∑( 0)

cm = ( 0)

cm =

( )pares de acción reacción−

*

M MF T T= =

Después de considerar los ítems anteriores, tenemos a nuestra disposición:

1Mx M MxF T T Mg Maµ= − − =∑

mx m mxF T mg maµ= − =∑

Continuemos nuestro análisis considerando la cuerda que une los bloques y aquella con la cual el agente exterior tira del bloque M. En el enunciado se indica que todas las cuerdas poseen masa despreciable (mc=0). Si aplicamos la 2º ley de Newton sobre ellas se obtiene: Con estos resultados, nuestro sistema de ecuaciones nos queda:

1Mx M MxF T T Mg Maµ= − − =∑ Mx MxF F T Mg Maµ= − − =∑

mx m mxF T mg maµ= − =∑ mx mxF T mg maµ= − =∑

La condición de cuerdas inextensibles y con masa despreciable hace que, una vez tensas, las mismas actúen como un vínculo rígido (como si fuese una barra rígida) de movimiento entre los bloques: las características cinemáticas de uno se trasladan al otro a través de este vínculo. En este caso, se traduce en la igualdad de las aceleraciones de los bloques una vez que se tensa la cuerda por acción de la fuerza exterior F. Por lo tanto:

Mx MxF F T Mg Maµ= − − =∑ Mx xF F T Mg Maµ= − − =∑

mx mxF T mg maµ= − =∑ mx xF T mg maµ= − =∑

Cabe aclarar que lo queremos decir con dos incógnitas, es que tenemos en este problema a nuestra disposición un par de ecuaciones de movimiento, una por cada bloque. Estas ecuaciones serán resolubles cuando el número de incógnitas sea igual que el número de ecuaciones, podrían ser (T, ax) la pareja de incógnitas y necesariamente deberíamos conocer (datos) las otras magnitudes físicas que aparecen en las ecuaciones de movimiento. También, podrían ser (F, ax), etc. Una vez conocidas las ecuaciones de movimiento relevantes a la resolución del problema, sólo queda adecuarlas al problema particular (características de movimiento, el sistema se mueve acelerado, no se mueve, etc.) El ítem a) del problema nos dice que suponiendo que el coeficiente de roce estático entre los bloques y el suelo es el mismo, e igual a µe, ¿cuál es la máxima fuerza F que se puede aplicar a M sin que el sistema se mueva? Claramente la información relevante es que se aplica una fuerza de tracción F y el sistema no se mueve. Solamente tensa las cuerdas, y una vez que lo hace, su módulo resulta incapaz de mover al sistema (el sistema logra el equilibrio) debido a la presencia del roce estático. Por lo tanto

Mx mx xa a a= = =0.

Si analizamos las ecuaciones para ambos bloques, tenemos que:

*

mT�

*

1T� F

�*

MT�

o

y

x

* *

1 1 m mT T T T T= = = =

( )pares de acción reacción−

Dos ecuaciones con tres incógnitas (T, aMx y amx) Subsiste la

incompatibilidad

(Cuerda inextensible, Mx mx x

a a a= = )

Dos ecuaciones con dos incógnitas (T, ax) Sistema compatible

Dos ecuaciones con cinco incógnitas en principio. (TM, T1, aMx, Tm, y amx).

Subsiste la incompatibilidad


0Mx reM e xF F T f F T Mg Maµ= − − = − − = =∑ reM e M e

f N Mgµ µ≤ =

0mx rem e xF T f T mg maµ= − = − = =∑ rem e m e

f N mgµ µ≤ =

Si sumamos las dos ecuaciones de movimiento, obtenemos de inmediato ( )Mx mx reM rem eF F F f f g M mµ+ → = + ≤ +∑ ∑

De modo que max ( )

eF g M mµ= +

El ítem b) del problema nos dice que suponiendo el coeficiente de roce dinámico entre los bloques y el suelo es µd, ¿qué fuerza F

�

se debe aplicar al bloque de masa M para que ambos bloques aceleren con aceleración a

�

? ¿Cuál es el valor de la tensión de la cuerda en ese caso? Claramente la información relevante es que se aplica una fuerza de tracción F

�

y el sistema se mueve. Esta fuerza F

�

tensa las cuerdas, y su intensidad es tal que provee una fuerza resultante capaz de mover al sistema acelerándolo. Como las cuerdas son inextensibles:

Mx mx xa a a= = .

Analizando las ecuaciones de movimiento, observamos que:

Mx rdM d xF F T f F T Mg Maµ= − − = − − =∑ rdM d M d

f N Mgµ µ= =

mx rdm d xF T f T mg maµ= − = − =∑ rdm d m d

f N mgµ µ= =

Si sumamos las dos ecuaciones de movimiento, obtenemos de inmediato ( ) ( )Mx mx d xF F F g M m M m aµ+ → − + = +∑ ∑

De modo que ( )( )

x eF M m a gµ= + +

2) Sea un plano inclinado un ángulo θ=30° sobre el que se apoya un cuerpo de masa m2=10 kg que, a su vez, tiene encima otro de masa m1=5 kg. El coeficiente dinámico de rozamiento entre ambos cuerpos es µ12=0,15 y entre el plano y m2 es µ2p=0,3. Se trata de determinar las aceleraciones de ambos cuerpos y el valor mínimo de µ2p para que m2 permanezca en reposo. Seguiremos los pasos de la resolución del problema anterior, para lo cual seleccionamos como sistema bajo estudio los dos cuerpos, m1 y m2, confeccionado los DCL correspondientes.

θ

1m

2m


θ

θ

ox

1 1 12 1 12 1 1

1 1 1 1 1 1 1

sin

cos

x x r r x

y y y

F P f m g f m a

F N P N m g m a

θ

θ

= − = − =

= − = − =

∑∑

* *

2 2 12 2 2 12 2 2 2

* *

1 2 2 1 2 2 2 2 2

sin

cos

x x r r p r r p x

y y y

F P f f m g f f m a

F N P N N m g N m a

θ

θ

= + − = − − =

= − − = − − =

∑∑

12 12 1 12 1 cosr

f N m gµ µ θ= =

1 1 12 1 1 1sin cosx xF m g m g m aθ µ θ= − =∑

El sistema de coordenadas que utilizaremos es un par de ejes cartesianos ortogonales fijos a Tierra, orientados de la siguiente manera. Según este sistema de coordenadas, la expresión de la segunda Ley de Newton para cada uno de los cuerpos, es: - Para el cuerpo m1: - Para el cuerpo m2:

Observación: 12r

f , es la fuerza de rozamiento entre m1 y m2, aplicada a m1 (su par de acción-reacción es *

12rf , aplicada a m2). Para definir su sentido hemos supuesto como hipótesis que m1 se desliza más rápido

sobre m2, que lo que lo hace m2 sobre el plano inclinado, (la 12rf es opuesta el movimiento relativo entre m1

y m2). Recordar que el sentido de la fuerza de roce estático es opuesto a la fuerza horizontal neta que actúa sobre el cuerpo, mientras que el sentido de la fuerza de roce dinámico es siempre opuesto al movimiento relativo (y no a la fuerza) entre las dos superficies. Si en la resolución del problema se detectase que esta hipótesis no se puede cumplir, tendríamos que rehacer los DCL de cada cuerpo, dibujando 12r

f en sentido contrario (por supuesto su par también). Los cuerpos sólo pueden deslizan sobre la superficie inclinada donde apoyan, por lo tanto la componente “y” de su posición al transcurrir el tiempo no cambia. Esto lleva a que ambas componentes “y” de las aceleraciones de los bloques son iguales a cero. (a1y = a2y =0)

1 1 12 1 12 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

sin

cos 0 cos

x x r r x

y y y y

F P f m g f m a

F N P N m g m a N P m g

θ

θ θ

= − = − =

= − = − = = → = =

∑∑


1P�

y *

1P�

, 2P�

y *

2P�

, 1N�

y *

1N�

, 2N�

y *

2N�

12rf�

y *

12rf�

, 2r pf�

y *

2r pf�

(Ecuación dinámica de movimiento del cuerpo m1)

y

θ

Tierra

*

2r pf�

2P�

*

2P�

*

1P�

1m

2m

1N�

*

2N�

2N�

12rf�

*

12rf�

2r pf�

1P�

*

1N�


M

m θ

(Ecuación dinámica de movimiento del cuerpo m2)

2 2 2 2 1 2( ) cosr p p pf N m m gµ µ θ= = +

1 1 12 1 1 1sin cosx xF m g m g m aθ µ θ= − =∑

*

1 1N N=

2 2 12 1 2 1 2 2 2sin cos ( ) cosx p xF m g m g m m g m aθ µ θ µ θ= + − + =∑

2

1 12 (sin cos ) 3,63 /xa g m sθ µ θ= − �

21 1 22 12 2

2 2

( )(sin cos cos 1,72 /

x p

m m ma g m s

m mθ µ θ µ θ

+= + − �

2( 9,81 / )g m s�

1 1 2

2 12 2

2 2

( )(sin cos cos 0x p

m m ma g

m mθ µ θ µ θ

+= + − �

1

2 12

2

2

1 2

(sin cos )

0, 435( )cos

p

mm

m

m m

θ µ θ

µθ

+

=+

�

* * *

2 2 12 2 2 12 2 2 2 12 12 12 1 12 1

* * *

2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2

sin cos

cos 0 ( ) cos

x x r r p r r p x r r

y y y y y

F P f f m g f f m a f f N m g

F N P N N m g N m a N P N P N m m g

θ µ µ θ

θ θ

= + − = − − = → = = =

= − − = − − = = → = + = + = +

∑∑

2 2 12 1 2 1 2 2 2sin cos ( ) cosx p xF m g m g m m g m aθ µ θ µ θ= + − + =∑

Cabe aclarar que en este caso, no hay vínculo entre el movimiento de un cuerpo y del otro, por ejemplo, no hay una cuerda inextensible uniéndolos. Por lo tanto, a priori, 1 2x x

a a≠ .

Entonces, del sistema de ecuaciones obtenemos el valor de las aceleraciones que poseen cada bloque:

El valor mínimo de µ2p para que m2 permanezca en reposo, se obtiene al considerar que debe ser nula su velocidad respecto al observador 2( 0)v =

��

a medida que transcurre el tiempo y, por lo tanto, su

aceleración es cero 2( 0)a =�

�

. De esta manera, 2 0xa = , en la ecuación correspondiente:

3) Consideremos el dispositivo experimental que se muestra en la figura. Las masas de la cuerda y de la polea son despreciables. La cuerda es inextensible. Supongamos que los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque de masa M y el plano inclinado son µeM=0,4 y µdM respectivamente. ¿Cuál es el rango de valores puede tener la masa m del bloque que cuelga de la cuerda para que el sistema se encuentre en equilibrio estático? Si la masa m justo sobrepasa ese valor máximo, ¿con qué aceleración se moverá el bloque sobre el plano? M=4 kg


cosreM eM M eM

f N Mgµ µ θ≤ =

sin 0Mx M reMF T Mg fθ= − − =∑

Nuestro sistema bajo estudio consta de los dos bloques, de masa m y M, la cuerda que los une y la polea, que, como en el caso de las cuerdas, es de masa despreciable (sólo se utiliza para cambiar de dirección la fuerzas que ejercen las cuerdas). Resolvamos inicialmente el problema estático, para ello realizamos el DCL para cada cuerpo del sistema considerado.

A priori no sabemos el sentido de la fuerza de roce

reMf�

. Recordemos que el sentido de la fuerza de roce estático es opuesto a la fuerza horizontal neta que actúa sobre el cuerpo. En nuestro caso, no conocemos el valor de la masa m, por lo tanto, no sabemos si la misma se moverá verticalmente hacia abajo o hacia arriba. Si analizamos la situación globalmente, veremos que el sentido de movimiento dependerá de la relación entre las masas m y M y la inclinación del plano θ. Para iniciar la solución, supongamos que el movimiento es inminente en el sentido contrario de las agujas del reloj: el bloque de masa m baja y el bloque de masa M sube por el plano inclinado.

De esta manera, dibujamos la reM

f�

orientada a lo largo del plano hacia abajo (contraria a la posible fuerza neta sobre este bloque que lo movería según el sentido de movimiento seleccionado). Como en el problema anterior, el sistema de coordenadas que utilizaremos es un par de ejes cartesianos ortogonales fijos a Tierra, orientados para cada bloque de la siguiente manera:

Según este sistema de coordenadas, la expresión de la segunda Ley de Newton para cada uno de los cuerpos en reposo (y en equilibrio), es: - Bloque M

0Mx M Mx reM xF T P f Ma= − − = =∑

cos 0 cosMy M My M My M MyF N P N Mg Ma N P Mgθ θ= − = − = = → = =∑


MP�

y *

MP�

, m

P�

y *

mP�

MN�

y *

MN�

, m

N�

y *

mN�

reMf�

y *

reMf�

,M

T�

y *

MT�

, m

T�

y *

mT�

M

m

θ

Tierra

*

mP�

*

MP�

MP�

mP�

mT�

*

mT�

MT�

*

MT�

MN�

*

MN�

reMf�

*

reMf�

o

y

x

Bloque m Bloque M

Dirección de movimiento supuesta, observar que al considerar estos sistemas de coordenadas,

podemos relacionar las componentes en x de las aceleraciones de cada bloque, ya que están unidos por una cuerda inextensible (vínculo

rígido de movimiento).

θ

o

yx

θ


cosreM eM M eMf N Mgµ µ θ≤ =

reMf�

- Bloque m 0mx mx m xF P T ma= − = =∑ 0mx mF mg T= − =∑

0 my myF Ma= =∑

Considerando que las cuerdas y poleas poseen masa despreciable, observamos que: Por lo tanto:

sin 0Mx reMF T Mg fθ= − − =∑ 0mxF mg T= − =∑

Entonces, claramente observamos que como la masa m no acelera, el módulo de la fuerza T que tensa la cuerda debe ser igual al módulo del peso del bloque de masa m: mg. Luego, de la primera ecuación se deduce que:

sin sinreM

f T Mg mg Mgθ θ= − = −

Si ahora suponemos que el bloque de masa m asciende, entonces en el DCL se invertirá el sentido de la Resolviendo en forma análoga encontraremos que:

- sin sinreM

f T Mg mg Mgθ θ= − = − En consecuencia, el cuerpo m descenderá si m > M sinθ y ascenderá si m < M sinθ. Ésta es la relación que vincula la masa m con la masa M y la inclinación θ del plano. También se tiene que De las ecuaciones anteriores se deduce que:

sin cos m>Msin .

sin cos m<Msin

reM eM M eM

reM eM M eM

mg Mg f N Mg si

mg Mg f N Mg si

θ µ µ θ θ

θ µ µ θ θ

− = + ≤ =

− + = − ≤ =

O sea, no hay deslizamiento del bloque de masa M por el plano inclinado si:

i) Para sin M mθ < , se cumple que ( cos sin ),reMm M µ θ θ≤ +

ii) Para sin M mθ > , se cumple que (sin cos ).reMm M θ µ θ≥ − Considerando, los valores numéricos del enunciado, el bloque de masa M no se deslizará por el plano si:

0,61 3,4 Kg m Kg< <

¿Qué sucede si m sobrepasa (aunque sea en forma infinitesimal) al valor de ( cos sin )reMM µ θ θ+ ? En este caso, el bloque de masa M comenzará a deslizarse hacia arriba por el plano inclinado. La fuerza de roce, por lo tanto, será dinámica o cinética:

ˆcos rdM dM

f Mg iµ θ= −�

* *

m m M MT T T T T= = = =

( 0 0)c pm y m� �

(Por ser pares acción-reacción)


θ

?ϕ m

Donde ˆ i , es el versor asociado al eje x. La fuerza neta sobre el bloque de masa M y su aceleración, en la dirección y sentido ˆ i , vendrán dados por:

sin cos neta

Mx Mx rdM dMMxF F T P f T Mg Mgθ µ θ= = − − = − −∑

Y

(sin cos ) neta

Mx Mx Mx rdMMx dM

FF T P f Ta g

M M M Mθ µ θ

− −= = = = − −

∑

Por otra parte, la fuerza neta sobre la masa m y su aceleración vertical (ver sistema de coordenada utilizado para m) serán:

neta

mx mxmxF F T P T mg= = − = −∑

sin neta

mx mx mxmx Mx x

FF T P Ta g a a

m m m mθ

−= = = = − = =

∑

Las dos últimas igualdades en la ecuación anterior se debe que a ambos bloques, m y M, los une una cuerda inextensible y de masa despreciable (vínculo rígido de movimiento) y por lo tanto

Mx mx xa a a= = . Por

consiguiente, cuando el bloque de masa M acelera hacia arriba, la masa m acelerará con la misma magnitud, pero hacia abajo. De las ecuaciones anteriores se deduce que:

( cos sin )

1

dM

x

m

Ma gm

M

µ θ θ

− − =

+

Este resultado también lo podemos escribir de otra manera. Consideremos que m sobrepasa en una magnitud infinitesimal al valor ( cos sin )reMM µ θ θ+ , luego

( cos sin )reMm M µ θ θ= + o sea

cos sinreM

m

Mµ θ θ= +

Sustituyendo esto en la expresión para ax se obtiene ( )cos

1 cos sin

reM dMx

reM

a gµ µ θ

µ θ θ

−=

+ +

Con los valores numéricos el enunciado, se obtiene 0,047 .xa g� Note que la fuerza que tensa la cuerda es distinta en el caso estático que en el caso dinámico. En el primer caso es T mg= , mientras que en el segundo caso viene dada por ( )xT m g a= − . 4) Un marco de forma rectangular de masa M desliza por un plano inclinado de ángulo θ = 30º como se muestra la figura. En él, cuelga una masa m en forma de plomada. Una vez iniciado el movimiento, la masa m se estabiliza formando un cierto ángulo respecto de la vertical. Calcular: a) El ángulo que forma la cuerda de la plomada respecto de la vertical si no existe rozamiento entre las superficies. b) El ángulo que forma la cuerda de la plomada respecto de la vertical si existe rozamiento entre las superficies del marco y el plano donde desliza es µ = 0,2. M=5 kg , m=1 kg


Ma�

En la figura a la izquierda, se representa el DCL del marco de masa M, de la masa m y de la cuerda que une esta última con el marco (nuestro sistema bajo estudio). Esta cuerda se considera inextensible y de masa despreciable. De acuerdo a esto, y en base al sistema de coordenadas elegido fijo a Tierra que se muestra, las ecuaciones resultantes al aplicar la segunda Ley de Newton a la masa m y M son: -masa m

sinmx m mxF T maϕ= =∑

cosmy m myF T mg maϕ= − =∑

-masa M sin cosMx M rM MxF N f Maθ θ= − =∑

cos sinMy M rM MyF N f Mg Mg Maθ θ= + − =∑

Observaciones: i. * *

1 1 1 1m mT T T T= = = (¿Por qué?)

ii. m M

a a≡� �

, “una vez iniciado el movimiento, la masa m se estabiliza formando un cierto ángulo respecto de la vertical”, todo el sistema bajo estudio desliza acelerado hacia abajo por el plano inclinado con la misma aceleración en todas sus partes.

El sistema de coordenadas fue elegido con la premisa de simplificar considerablemente las ecuaciones matemáticas asociadas, no sólo en su expresión sino también en su resolución. (Una vez analizada la resolución de este problema, trata de resolverlo nuevamente considerando un sistema de coordenadas fijo a Tierra, con su eje x paralelo al plano inclinado y su eje y perpendicular a él. ¿Se simplifica la resolución al considerar este último sistema de coordenadas?) Por lo tanto, si queremos obtener la respuesta al ítem a) vemos que este caso no existe roce entre el marco y el plano por donde desliza, y de acuerdo esto 0

rMf = :

sin cosMx M Mx MF N Ma Maθ θ= = =∑ sin cosM MN Maθ θ=

cos ( sin )My M My MF N Mg Ma M aθ θ= − = = −∑ cos sinM MN Mg Maθ θ= −

cos

tansin

M

M

a

g a

θθ

θ=

−

sin 0,5Ma g gθ= = Resultado esperado, ya que al no haber roce, el marco de masa M se acelera sobre el plano por acción de la componente en esa dirección (paralela al plano) de su propio peso (=Mg sinθ). El resultado anterior debe ser considerado en las ecuaciones correspondientes a la masa m, recordar que

m Ma a≡� �

:

sin cosmx m mx Mx MF T ma ma maϕ θ= = = =∑ sin cosm M

T maϕ θ=

cos ( sin )my m my My MF T mg ma ma m aϕ θ= − = = = −∑ cos sinm M

T mg maϕ θ= −

cos

tansin

M

M

a

g a

θϕ

θ=

−

30ϕ θ≡ = °

θ

xo

y

Tierra

y

ϕθ

x o

ϕ

rMf�

MP�

mP�

*

rMf�

*

MN�

MN�

mT�

*

mT�

*

1T�

*

1T�

M

m

*

mP�*

MP�


El mismo resultado se obtiene por un método quizás más gráfico, al considerar el polígono de vectores sobre la masa m formado por

mT�

, m

P�

y m

ma�

de la manera siguiente:

De acuerdo a la segunda Ley de Newton m m mF T P ma= + =∑� � � �

De la ley del seno aplicada al triángulo de los tres vectores considerados, tenemos:

sin(30 )

sin(120 ) sin

mg mg

ϕ ϕ

°=

° −

Trabajando con esta expresión obtenemos el mismo resultado: 30ϕ θ≡ = °

c) Cuando hay rozamiento entre el marco y el plano donde desliza, la aceleración sinMa g θ= cambia al

valor (sin cos )Ma g θ µ θ= − . ¿Puedes comprobarlo dando la justificación correspondiente?

Con los valores numéricos dados: (sin 30 0,2.cos30 ) 0,327M ma a g g= = ° − ° � Considerando nuevamente la ley del seno, obtenemos:

(0,327 )

sin(120 ) sin

mg m g

ϕ ϕ=

° − 18,7ϕ = °

5) En la figura se muestra un regulador centrífugo que consta de dos esferas de masa m unidas con una masa M, por cables flexibles de masa despreciable. Este dispositivo sólo tiene libertad de rotar respecto al eje vertical, y según varíe su velocidad angular, la masa M sube o baja, provocando el cierre de una válvula. Si la altura H es de 25 cm cuando el sistema gira con una velocidad angular ω

�

de 21 s-1, determinar: a) la masa M, b) el aumento de velocidad ω∆

�

que provocará que M se levante una altura h de 3 cm sobre la posición anterior. En las figuras de arriba, se representan tres posiciones del regulador, a saber: se encuentra en reposo, gira con ω

�

y en la última ha aumentado su velocidad en ω∆�

.

ω�

mm

M

0ω =�

mm

M

H ω ω+ ∆� �

mm

Mh

ω�

mm

M

2,5m Kg=

H

mT�

mP�

mma�

ϕ

θ

30θ = °

mma�

mP�

mT�

ϕ

(120 )ϕ° −


En la figura de la izquierda, se representa el DCL de la masa M y de una de las esferas (no es necesario representar el DCL de la otra esfera ya que el sistema bajo estudio tiene un eje de simetría que coincide con el eje vertical donde tiene libertad de rotar). Las esferas son consideradas como partículas (¿Por qué?) y las masas de los cables flexibles son despreciables, así como también los consideramos como inextensibles. De acuerdo a esto, y en base al sistema de coordenadas elegido que se muestra, las ecuaciones resultantes al aplicar la segunda Ley de Newton a la masa m y M son: -masa m

2 1sin sinmx m m mxF T T maθ θ= + =∑

2 1cos cosmy m m myF T T mg maθ θ= − − =∑

-masa M

1 1sin sin 0Mx M M MxF T T Maθ θ= − = =∑

12 cosMy M MyF T Mg Maθ= − =∑

Observaciones:

i. * *

1 1 1 1 1m m M MT T T T T= = = = y * *

2 2 2m mT T T T T= = = = (¿Por qué?)

ii. 2 ; =0 centrípeta

mx m mya a R aω≡ = , rota en un círculo horizontal

con ω�

. iii. =0 ; =0

Mx Mya a , la masa M está en equilibrio, sólo cambia a

una nueva posición de equilibrio cuando cambia ω�

en ω∆�

. Por lo tanto, en las ecuaciones correspondientes a la masa m:

2

2 1sin sinmxF T T m Rθ θ ω= + =∑ 2 2

2 1sin cos

R HT T m m

ω ω

θ θ+ = = , ( tan )R H θ=

2 1cos cos 0myF T T mgθ θ= − − =∑ 2 1cos

gT T m

θ− =

y en aquellas correspondientes a la masa M:

1 1sin sin 0MxF T Tθ θ= − =∑

12 cos 0MyF T Mgθ= − =∑ 12cos

TM

gθ=

De las tres últimas ecuaciones recuadradas, obtenemos

2

1H

M mg

ω = −

mm

M

H

R

θ

θ

θ

θθ

mP�

MP�

1MT�

*

1MT�

*

1mT�

1mT�

2mT�

*

2mT�

1MT�

*T�

T�

*

1MT�

o

y

xθ

Tierra

*

mP�

*

MP�


y al introducir los datos numérico, la respuesta al ítem a) es:

2

1 25,6H

M m Kgg

ω = −

�

Para calcular la velocidad angular a la que debe girar el dispositivo para que la masa M se eleve una altura h, debemos tener presente que, dada la simetría del aparato, las esferas de masa m suben una altura hd cuyo valor es exactamente la mitad de h.

Basta aplicar la ecuación 2

1H

M mg

ω = −

, sustituyendo los valores de ω por

dω y de H por

dH :

2

1d dH

M mg

ω = −

con

2d

hH H= −

resultando:

21

2d

H

H hω ω ω ω

∆ = − = − −

Sustituyendo con los datos, se obtiene:

10,66sω −∆ =

3 - din mica de part cula 2013) - wordpress.com...considerando que dentro de él se encuentra un...

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