3° cristallografia slides

La Struttura dei Cristalli

Distanza fra atomi/molecole Densit

Solido pochi 1022 1023 atomi/cc

Gassoso ~ 30 1019 molecole/cc (T, P

standard)

Liquido fra i due precedenti fra i due precedenti

SOLIDI. Si suddividono in solidi cristallini e solidi amorfi. Solidi cristallini : atomi sono disposti in modo regolare con struttura tridimensionale ordinata con ripetizione periodica e regolare di una stessa unit di base. La pi piccola unit ripetente in un cristallo detta cella, la disposizione spaziale periodica della cella detta reticolo. Monocristalli: allinterno di essi gli atomi sono disposti regolarmente per tutta

lestensione del pezzo. Policristalli: insieme di singoli cristalli uniti tra loro, dettigrani. Lorientazione dei diversi

grani luno rispetto allaltro solitamente casuale.

Solidi Amorfi: In un solido amorfo gli atomi sono disposti casualmente. Si ha una certa regolarit nella disposizione atomica solo su scale di ridottissime dimensioni.

STRUTTURE CRISTALLINE

a

b c

d

La cella elementare la pi piccola unit ripetente che mostra pienamente le simmetrie e la struttura del cristallo.

La cella elementare di base in tre dimensioni un parallelepipedo. La lunghezza di ogni lato dato da a, b e c (parametri della cella elementare). Langolo fra i lati dato dagli angoli a, b e g. Il regolare impilamento di questi parallelepipedi da origine ad una struttura tridimensionale Esempio: NaCl. Gli ioni Na+ sono ai vertici e ai centri delle facce, gli ioni Cl- sono al centro degli spigoli della cella cubica.

SETTE SISTEMI CRISTALLINI

Reticoli di Bravais Dal momento che i punti reticolari della cella elementare possono essere sistemati in modi diversi, allinterno di ogni sistema cristallino sono possibili diversi tipi di reticolo. Ci sono 14 diversi modi di distribuire punti reticolari per formare reticoli spaziali. Questi 14 reticoli sono detti reticoli di Bravais.

INDICIZZAZIONE DELLE DIREZIONI E DEI PIANI CRISTALLOGRAFICI. INDICI DI MILLER E DI MILLER-BRAVAIS

Si impiega un riferimento di assi ortogonali x, y, z con la convenzione che lasse x ha come Verso positivo quello uscente dal foglio

DIREZIONI. Si pu seguire la seguente procedura: 1- determinare le coordinate dei punti che giacciono lungo la direzione di interesse; 2 sottrarre alle coordinate della punta le coordinate della coda; 3 eliminare le frazioni e/o ridurre i risultati ottenuti ai minimi interi; 4 racchiudere gli indici entro parentesi quadra. Se sono presenti segni negativi, tracciare una barretta su quel numero NOTA. Una direzione e il suo negativo non sono identici: [100] diverso da [-100] Una direzione e un suo multiplo sono direzioni identiche: [100] = [200] = [300] Certi gruppi di direzioni sono equivalenti, in quanto hanno degli indici particolari solo per come si posizionato il riferimento. Ad es.:[110] = [101] = [011] = [-110] = = [1-10] = [10-1] = [-10-1] = [0-11]; un gruppo di direzioni equivalenti si indica

adottando la notazione

PIANI. Si pu seguire la seguente procedura: 1- identificare le intercette del piano con gli assi x, y, z in termini di numero di parametri cristallini; 2 fare il reciproco delle intercette; 3 eliminare le frazioni senza ridurre agli interi pi piccoli; 4 racchiudere gli indici entro parentesi tonda. Se sono presenti segni negativi, tracciare una barretta su quel numero NOTA. Un piano e il suo negativo non sono identici: (020) diverso da (0-20) Un piano e i suoi multipli non sono identici, poich possono differire i valori di densit planare e frazione di impacchettamento planare; Certi gruppi di piani sono equivalenti, in quanto hanno degli indici particolari solo per come si posizionato il riferimento. Ad es.:(110) = (101) = (011) = (-110) = (1-10) = (10-1) = (-10-1) = (0-11); un gruppo di

direzioni equivalenti si indica adottando la notazione {110}

SISTEMA ESAGONALE INDICI DI MILLER BRAVAIS A 4 ASSI (a1,a2,a3,c)

DIREZIONI. Si determina il numero di parametri cristallini necessari per spostarsi dalla coda Alla punta del vettore indicante la direzione.

PIANI. 1- identificare le intercette del piano con gli assi x, y, z in termini di numero di parametri cristallini; 2 fare il reciproco delle intercette; 3 eliminare le frazioni senza ridurre agli interi pi piccoli; 4 racchiudere gli indici entro parentesi tonda. Se sono presenti segni negativi, tracciare una barretta su quel numero

NOTA. Con il sistema a 4 assi si ha sempre (hkil) con h + k = -i

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHE I metalli sono caratterizzati da elevato numero di atomi primi vicini e da strutture compatte. Se si rappresentano gli atomi come sfere rigide di raggio pari al raggio atomico, queste hanno tipicamente dimensioni di 0.10.2 nm. I pi comuni tipi di celle elementari dei metalli sono tre: FCC (faced centered cubic): Cubico a

facce centrate; BCC (body centered cubic): Cubico a

corpo centrato; HCP (hexagonal close-packed): Esagonale

compatto.

numero di coordinazione (CN, coordination number) : numero di atomi con i quali un atomo legato, cio il numero di sfere tangenti una data sfera.

numero di atomi per cella elementare:valore unitario intero ad ogni atomo appartenente esclusivamente alla cella data, ad ogni atomo posizionato al centro di una faccia, a quelli posizionati su uno spigolo e 1/8 a quelli sui vertici.

fattore dimpacchettamento atomico (APF, atomic packing factor) : frazione di volume occupata dalle sfere allinterno della cella.

Numero di coordinazione il numero di atomi con i quali un atomo legato,

cio il numero di sfere tangenti una data sfera.

FCC: 12

BCC: 8

HCP: 12

STRUTTURE CRISTALLINE METALLICHE

Numero atomi per cella elementare Numero di atomi interi contenuti allinterno della cella elementare

- Gli atomi che appartengono a due celle diverse (cio si trovano al centro

delle facce) contano per .

- Gli atomi che appartengono a 4 celle diverse (centro degli spigoli in cella

cubica) contano per .

- Gli atomi che si trovano sui vertici della cella (cubica) contano per .

FCC: 4

BCC: 2

HCP: 6


Struttura cubica a corpo centrato

Esempi: Cr, Mo, a-Fe

NUMERO DI COORDINAZIONE = 8

ATOMI/CELLA =2

Struttura cubica a facce centrate

Esempi: Cu, Al, Ag, Au, ...



ATOMI/CELLA = 4

Struttura esagonale compatta

Esempi: Cd, Mg, Zn, Ti,



ATOMI/CELLA =6

Approssimazione di sfere rigide: consideriamo gli atomi come sfere perfettamente

rigide poste nelle posizioni di un reticolo cristallino

a contatto fra loro.

FCC: le sfere si toccano lungo la diagonale di

una faccia.

Fra le dimensioni atomiche e quelle della cella elementare

vale la relazione:

Date le dimensioni del raggio atomico possiamo dedurre le dimensioni della cella elementare

Ra 42

Ra 43


BCC: le sfere si toccano lungo la diagonale

della cella

Fra le dimensioni atomiche e quelle della cella elementare

vale la relazione:

Calcolo del fattore dimpacchettamento atomico

Frazione della cella elementare occupata dagli atomi =

numero di atomi per cella elementare volume atomico

volume cella elementare

33

3

16

3

44 RRVoccupato

74,023216

3

16

3

16

3

3

3

3

R

R

a

R

V

VAPF

cella

occupato

33 2162242 RaVRaRa cella FCC:

33

3

8

3

42 RRVoccupato

68,08

3

33

643

8

3

8

3

3

3

3

R

R

a

R

V

VAPF

cella

occupato

33

33

64

3

443 RaVRaRa cella

BCC:


Densit Planari e Lineari Il concetto di equivalenza di piani e direzioni cristallografiche riflette il fatto che piani e direzioni equivalenti presentano rispettivamente densit planari e lineari uguali. Il valore di densit planari e lineari fondamentale per comprendere le propriet di deformazione plastica di un materiale metallico. Calcoliamo la densit planare deI pianI 110 di un reticolo FCC.

(110) RaRa 2242

228)22(2)22(2 RRRaaAtotale

222 24

14

2

12 RRRAoccupata

555,02428

22

2

)110(

R

Rd FCCplanare

NOTA: CON LO STESSO METODO SI CALCOLA LA DENSITA PLANARE DEI PIANI DI MASSIMO

ADDENSAMENTO ATOMICO 111 PER CUI RISULTA d (111) FCC= 0,9

Densit lineare della direzione di un reticolo BCC.

x

y

z

[100]

La lunghezza occupata pari a: R2

RaRa 3

443

866,02

3

3

4

2]100[

R

Rd lineare

La relazione tra R e a nel c.c.c. gi stata trovata:

la densit lineare lungo sar:

NOTA: NATURALMENTE CON LO STESSO METODO SI CALCOLA LA DENSITA LINEARE DELLE DIREZIONI DI MASSIMO ADDENSAMENTO ATOMICO PER CUI RISULTA

d FCC= 1

CALCOLO DENSITA TEORICA

La densit di un materiale cristallino, r, sar pari alla densit della cella elementare,cio pari al rapporto fra il numero di atomi nella cella per la massa di un atomo e il volume della cella:

Ac NV

An

r

n = numero di atomi nella cella elementare (BCC=2, FCC=4, HCP=6);

A = peso atomico;

Vc = volume della cella elementare

NA = numero di Avogadro (pari al numero di atomi in una mole)

Peso atomico e raggio atomico si possono trovare sulla tavola periodica.

Esempio. Calcolare la densit teorica del rame (Cu) con struttura c.f.c. , Peso Atomico 63,5 g/mol. e raggio atomico 0,128 nm. n= 4 ; ACu= 63,5 g/mol ; NA= 6.023 x 10

23 atomi/mol ; V c.f.c. = 16 R321/2

r = (4x63,5)/ 16 (1,28x10-8)321/2x6.023 x 1023 = 8,89 g/cm3

STRUTTURE COMPATTE CFC E EC Impilamento di piani di massimo Impacchettamento atomico

CFC SEQUENZA DI IMPILAMENTO

ABCABCABCABC..

Nella cella elementare CFC i piani a massimo impacchettamento atomico corrispondono ai piani atomici 111 Metalli CFC : Al, Cu

HCP Sequenza di impilamento di piani a massimo impacchettamento atomico

ABABABABAB. Nella cella esagonale i piani a massimo impacchettamento atomico sono i piani basali ed hanno indici di Miller 0001 Appartengono a questa classe Cd, Mg, Zn, Ti

ALLOTROPIA Un materiale solido pu assumere pi di una forma cristallina e tale fenomeno

detto allotropia. Un esempio di allotropia ci dato dal carbonio. Il carbonio pu

formare 4 diverse strutture solide ordinate.

Il diamante e la grafite sono forme allotropiche del carbonio, queste due strutture

sono caratterizzate da differenti tipi

di legame fra gli atomi di carbonio. Inoltre esistono anche i fullereni e i nanotubi in

cui un gran numero di atomi da origine a forme sferiche e cilindriche,

rispettivamente.

ISOTROPIA/ANISOTROPIA Direzioni diverse in un cristallo hanno diverso impacchettamento. Per esempio gli atomi lungo gli spigoli della cella elementare FCC sono pi lontani di quelli lungo la diagonale delle facce. Questo causa anisotropia nelle propriet del cristallo. Ad esempio la deformazione dipende dalla direzione in cui lo sforzo applicato. In alcuni materiali policristallini lorientazione dei diversi grani random , pertanto anche se la cella elementare presenta anisotropia il solido nel suo complesso risulta isotropo. Nel caso in cui i grani del materiale policristallino abbiano un orientazione preferenziale le propriet del solido possono conservare una certa anisotropia.

METALLO MODULO DI [100]

ELASTICITA [110]

[111]

ALLUMINIO 63,7 72,6 76,1

RAME 66,7 130,3 191,1

FERRO 125,0 210,5 272,7

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