3 clases 3_4 2015_2 consumo ahorro e inversion certidumbre handout.ppt [modo de compatibilidad]...

Rodrigo González G. sem 2 2015

1

FinanzasICS-3413-4/3532-2

clase 3Segundo Semestre de 2015

Pontificia Universidad Católica de Chile


2

Equilibrio del consumidor


3

( )1 21 r− +

Equilibrio del Consumidor con Mdo.Capitales

( )1 21 r− +

Solución Analítica Problema de consumo y ahorro en dos períodos


4

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

1 2

1 2 1 2,

2 21 1 1 1

2 21 2 1 1 1

1 21

1 1 1

1 22

2 2

2

2 1 2 1

, ) ln( ) ln( )

:1 1

(max) ln( ) ln( ) ( )1 1

, ) 1 1: 0

, ): 0

1

1 111

(

(

(

c c

Max c c

c ysa c y a W

r r

y cL c c y a c

r r

LL

c c c

LL

c c r

r r cr

c c c c

U c c

c c

c c

β

β λ

λ λ

β λ

β βλ β

= + ⋅

+ = + + =+ +

= + ⋅ + + + − −+ +

∂= − = ⇒ =

∂

∂= − =

∂ +

+ +⇒ = ⇒ = ⇒ = +

Solución problema de consumo y ahorro en dos períodos


5

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )

1 2

2 21 2 1 2 1 1 1 1

,

1 2 1 2

1 1 2 2

2 2 2112

1 1 1

2

12 21 1 1 1 1 1

* 1 11

, ) ln( ) ln( ) :1 1

, ) , )1: ;

1

(1 ) 1

1(1 )

1 1 1

( )

(1 )

(

( (

c c

c yMax c c sa c y a W

r r

TMSc c c c

c dc ccTMS r r

c dc cc

c rc yW c y a c c

r r r

y a yc

U c c

U c c U c c

β

β

ββ β

ββ

β

= + ⋅ + = + + =+ +

∂ ∂= =

∂ ∂

⇒ = = = − = + ⇒ = +

+= + = + + = + = +

+ + +

+= +

+ ( )( )1*2 1 2

2 1 1

1; ( )

1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

W rW yc y a

r

ββ

β β β β

+= = + + =

+ + + + +

Solución problema de consumo y ahorro en dos períodos

ejercicio para la casaRodrigo González G.

sem 2 20156

( )

( )

( )

* 1 1 2 11

*

1 1 2

2

1* 22 1 1

*12 2

1 1

( );

(1 ) 1 (1 ) (1 )

1 10

(1 ) (1 ) (1 )

1( )

(1 ) (1 )

10

(1 ) (1 ) (1 )

y a y Wc

r

c W y

r r r

W ryc y a

W rc yW W

r r r

β β β

β β

ββ

β β

β β

β β

+= + =

+ + + +

∂ ∂= = − <

∂ + ∂ + +

+= + + =

+ +

∂ +∂= + = − >

∂ + ∂ + +

Equilibrio Competitivo caso 1Economía de 2 períodos y dos consumidores que

intercambian ahorro y consumo,precio de mercado

Rodrigo González G. sem

2 2015

7

Consumidor A

Consumidor B

Ax�

Bx�

By�

1

Ay

2

By

1

By

2y

1y

( )1 2,A A AU c c

( )1 2,B B BU c c

1 2(1 )r− +

Ay�

2

Ay

Equilibrio Competitivo caso 2 Economía de 2 períodos y dos consumidores que

intercambian ahorro y consumo,precio de mercado

Rodrigo González G. sem

2 2015

Consumidor A

Consumidor B

Ax�

Bx�

By�

1

Ay

2

By

1

By

2y

1y

( )1 2,A A AU c c

( )1 2,B B BU c c

1 2(1 )r− +

Ay�

2

Ay

8

En una economía multiperíodos• Ahora se transan tantos activos puros como

períodos existan• activos puros prometen HOY entregar $1 real en

el período “t” y su precio de mercado HOY, ACTUAL, PRESENTE es

• También se transan activos puros entre períodos consecutivos, que prometen, si se les compra en t-1 (lo que se puede contratar hoy), pagar $1 real en t, y su precio es :

• Todo es consistente en equilibrio


9

1

1

1

1t t

t t

pr

−

−

=+

1

1

1

1t

t

pr

=+


10

Extensión a muchos períodosPrecios intertemporales

• La secuencia de precios intertemporales de equilibrio debe satisfacer por condición de no arbitraje:

• También se expresa en tasas de interés

1 1 1 2 2 3 3 4 1 11

.....t n

n tn n tt

p p p p p p=

+ + +=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∏

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3

11 21 1 2 3 1 1

(1 )

1 1 1 1

11 1 1

1

1

t n

tnn n t t

r

rr r r r

=

=+ + +

+

= =++ + +

⋅ ⋅⋅⋅⋅+

∏��

EJERCICIO


11

1 2 1 3

1 4 1 5

1 2 2 3 3 4 4 5

1 2 1 3 1 4 1 5

0,90 0,85

0,76 0,70

Calcule los siguientes precios en ausencia de arbitraje :

, , ,

, , ,

p p

p p

p p p p

r r r r

= =

= =

1 2 2 3 3 4 4 5 , , ,

r r r r


12

Precios intertemporales y posibilidades de arbitraje

• Ejemplo con 3 momentos (dos intervalos de tiempo)

En equilibrio del MC:

Supongamos que

¿qué hacemos?

1 3 1 2 2 3(1 ) ) )(1 (1r r r+ = + ⋅ +

* *

3 3 31 3 1 2 2 2 2(1 ) (1 ) )(1r r r porque r r+ > + <⋅ +


13

Precios de mercado y tasas de interés de mercado

• La secuencia de tasas de interés

• se denomina “estructura temporal de tasas de interés de la economía”

• ¡Y se obtiene de la información del mercado!

5 5 71 2 2 3 3 4 4 6 6 1 1, , , , , ,...... ,....... ,....t nt nr r r r r r r r− −


14

Valor de Mercado y Valor Presente

Sea el precio al comienzo del

período

de un activo que permite obtener $1 al comienzo del período

Sea : = 1..n, una serie de flujos reales, transformables en consumo, al comienzo del período

(1 )C τ+

( )1 1

1 1

11

prτ

τ+

+

=+

1

1 τ+

1 τ+

τ


15


En términos de tasas de precios de equilibrio de activos puros; el valor, al comienzo del período 1 de la serie de flujos reales es:

es el “valor actual” o “valor presente”, a comienzos del período 1, de la serie de flujos futuros ponderados por su precio de mercado (factor de descuento)

1 2 1 3 1

1 2

(1) (1) (1 1) (1 2) (1 ) n

a período a períodos a n períodos

V C C p C p C n p= + + ⋅ + + ⋅ + ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅��


16


En términos de tasas de interés multiperíodo (precios del modelo), el valor al comienzo del período

1 de la serie de flujos reales es

es el “valor actual” o “valor presente”, a comienzos del período 1, de la serie de flujos descontados a la tasa de interés pertinente

( ) ( ) ( )1 2

1 1 1 1 1 2 1 1

(1 1) (1 2) (1 )(1) (1) ...

1 1 1


n

C C C nV C

r r r+ + +

+ + += + + + +

+ + +��


17


En términos de: tasas de interés iguales período a período, y evaluando a comienzos de t=1

es el “valor actual” o “valor presente”, a comienzos del período , de la serie de flujos descontados a la tasa de interés pertinente

( ) ( ) ( )1 2

1 2

(2) (3) ( 1)(1) (1) ...

1 1 1n


C C C nV C

r r r

+= + + + +

+ + +��

1


18

Valor de Mercado y Valor Presente(formulación común)

En términos de: tasas de interés iguales período a período, y evaluando a fines de t=0 (comienzo de t=1)

es el “valor actual” o “valor presente”, a fines del período , de la serie de flujos descontados a la tasa de interés pertinente

( ) ( ) ( )1 2

1 2

(1) (2) ( )(0) (0) ...

1 1 1n


C C C nV C

r r r= + + + +

+ + +��

0


19


La expresión anterior se puede pensar como

en que ( )0 1

(1) (1)(0)

1

C VV

r

+=

+

( ) ( )1

1 21

(2) ( )(1) .............

11

Cálculo por recursión hacia atrás

n

t

tt

C C nV

rr

=−

= + ++

+∏

( ) ( )( ) ( )1

0 1 0 1 1 21

(1) (2) ( )(0) .............

1 1 11

n

t

tt

C C C nV

r r rr

=−

= + + ++ + +

+∏


20

Rentabilidad de una inversiónen equilibrio

( )

�

rendimiento del flujo ganancia en valor

0 1

0 1

(1) (1) (0)

(

( (1)) ( (1))Sabemos que: (0)

1

definamos rentabilidad efectiva a un período como

Si el mercado

0)

de capitales está en e u l

(0)

q i

E

C V V

V V

C E VV

r

ρ

+

−+

=

=

+

��

1

1

0 1 00

ibrio (no arbitraje)

1 ¡y se cumplen ex-post las expectativas!

de lo contrario se puede arbitrar.

rp

ρ = =

Ejercicio personal• Las tasas de interés de mercado son

(0r1; 1r2; 2r3)=(0,02; 0,04; 0,05)

• Cuáles son los precios de los activos puros en este modelo?

• Calcule el Valor presente (fin de t=0 de los flujos futuros siguientes(C0,C1,C2,C3)=(50,100,150,200)directamente y por recursión hacia atrás


21


22

FinanzasICS-3413-4/3532-2

clase 4Segundo Semestre de 2015

Pontificia Universidad Católica de Chile


23

Decisiones de Inversión-Consumo y Ahorro

Se introduce la posibilidad de invertir en procesos productivos

reales


24

La función de producción intertemporalPosibilidades de Inversión

Productiva

Formalización


25

1 2

1

2 1

1

Pr :

( , ) : función de utilidad intertemporal en el consumo

: dotación inicial de recursos en t=1

(I ): Función de producción

I : Inversión inicial

Problema del Consumidor-Product

Consumidor oductor

U c c

y

K

−

1 2

1 1 1

2 2 1

or

( , )

. . :

: ( )

MaxU c c

s a c I y

c K I

+ ≤

=

Sol. Problema Consumidor s/MC


26

Suponemos regularidad en la función de utilidad- contínua, creciente y diferenciable en ambos argumentosSuponemos función de producción se comporta normalmente- contínua, diferenciable, productividad

�

´1

1 1 1 1 1 1

1

1* * * *

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

* *´ * 1 2

1

1( )

marginal decreciente solución interior

max ( ) ( , ( )) . :

( )En el óptimo: 0

( )

(( , ( )) (( , ( )) ( )1 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ,( )

K I

v c U c K y c s a c y

v c

c

U c K y c U c K y c K I I

c K I c

U c cK I

−

=>

≡ = − ≤

∂=

∂

∂ − ∂ − ∂ ∂⋅ + ⋅ ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂=

��

* *

1 212

1 2

) ( , )U c cTMS

c c

∂=

∂ ∂


27

Equilibrio sin mercado de capitales


28

Equilibrio sin mercado de capitales

Cada consumidor-productor toma decisión de inversión óptima, que depende de sus preferencias


29

Inversión óptima con mercado de capitales


30


La inversión es óptima desde el punto del vista del productor consumidor en el punto:

• TMTr en la producción es igual a la TMTr del mercado (1+r)

• Si inversión física da más que la inversión en MC, ¡hágala!


31

INVERSIÓN ÓPTIMA , Y SEPARACIÓN DECISIONES DE INVERSIÓN Y

CONSUMO

• Inversión óptima – Maximiza el valor presente neto para todos

los dueños de la empresa


32

Inversión óptima, y separación decisiones de inversión y consumo

El equilibrio final del consumidor se logra en dos etapas: Teorema de la Separación (Fischer)

1) Inversión óptima: no depende de las preferencias de los consumidores: regla técnica

2) Consumo óptimo dada la inversión óptima, y la posibilidad de actuar en el mercado de capitales

Planteamiento Formal


33

1 2

1

2 1

1

1 2

Pr

( , ) : función de utilidad intertemporal en el consumo

: dotación inicial de recursos en t=1

(I ): Función de producción

I : Inversión inicial

: precio d

Consumidor oductor Mercado de Capitales

U c c

y

K

p

− −

1 2

1 2

1 1 1 1

2 2 1 1 1 2

el activo puro del mercado de capitales

: tasa de interés a un período del mercado de capitales

Problema del Consumidor-Productor

( , )

. . :

: ( ) (1 )

r

MaxU c c

s a c I ah y

c K I ah r

⇒

+ + ≤

≤ + ⋅ +

Sol.Consumo-Inversión c/MC


34

1 1 1 2 1 1 2 1 1 1

Suponemos regularidad en la función de utilidad y

función de producción iguales al problema sin

mercado de capitales solución interior

max ( , ) ( , ( ) (1 )( ))

(En el óptimo: (1)

v c I U c K I r y c I

v c

=>

≡ = + + − −∂ 1 1

1 1* * * * * *

1 2 1 2 1 1 2 1 1 11 2

1* * * *

´ *1 2 1 1 2 1 1 12 1 1 2

´ *

2 1 1 2

) ( )0; (2) 0

( ) ( )

( , ) ( , ( ) (1 )( ))(1) 1 (1 ) 0

( ) ( ....)

( , ( ) (1 )( ))(2) 0 ( ( ) (1 )) 0

( ....)

(2) : ( ) (1 ) ya q

v c

c I

U c c U c K I r y c Ir

c K

U c K I r y c IK I r

K

de K I r

∂= =

∂ ∂

∂ ∂ + + − −⋅ − ⋅ + =

∂ ∂

∂ + + − −+ ⋅ − + =

∂

= +* * * *

1 2 1 212 1 2

1 2

ue U(.,.) es creciente en argumentos

( , ) ( , )(1) : / (1 )

U c c U c cde TMS r

c c

∂ ∂= = +

∂ ∂

|


35

Equilibrio final del consumidor

1y


36

Determinantes del precio (tasa de interés) de equilibrio

• Dotación intertemporal de los individuos• Formas de las funciones de utilidad

intertemporal de los individuos– Impaciencia– Curvatura de la función de la utilidad (grado

de aversión a los cambios)

• Cambio no anticipado en las dotaciones futuras


37

Determinantes tasa de interés real


38

Determinantes tasa de interés real


39



40

Equilibrio General MC con producción

• Determinantes de la tasa de interés con producción

– Impaciencia consumidores– Expectativas de crecimiento ingreso futuro– Rentabilidad real del capital


41

Imperfección en el mercado de capitales

Cuando el mercado de capitales es imperfecto, se rompe el principio de separación de las decisiones de inversión y de consumo

Ya no hay unanimidad en cuanto invertir.


42

Imperfección en mercado de capitales


43

Conclusiones del modelo de consumo y ahorro

• Existencia Mercado de Capitales aumenta utilidad que alcanzan individuos, al lograr óptimo de Pareto

• Precios se determinan por utilidades marginales• No existe el precio justo. Precios reflejan utilidades

marginales, y qué tienen consumidores para gastar• Todo se refiere a canastas de ingresos reales, de

igual poder adquisitivo• Este modelo supone que los contratos se cumplen


44

Conclusiones del modelo de consumo, ahorro e Inversión

• Teorema Fundamental: Valor de mercado de un activo financiero es el valor presente del flujo futuro de bienes reales que entrega

• Precios de mercado de distintos períodos, (tasas reales) influenciado por impaciencia, aversión al cambio, expectativas de ingreso consumidores y rentabilidad de las Inversiones reales

• Sistema financiero se justifica sólo por aumentar el bienestar de individuos de la economía, al expandir intertemporalmente las posibilidades de consumo.


45

Conclusiones del modelo de inversión consumo y ahorro

• Las posibilidades de inversión productiva aumentan la riqueza de los consumidores

• Las decisiones productivas en la empresa se pueden separar de las decisiones de consumo

• Contamos con criterios objetivos para valorizar instrumentos financieros y proyectos

• Contamos con un criterio objetivo para determinar la bondad de una decisión de inversión

• Las imperfecciones del mercado nos alejan del óptimo bienestar y hacen no tan evidente la separación de las decisiones de inversión de las decisiones de consumo

3 clases 3_4 2015_2 consumo ahorro e inversion certidumbre handout.ppt [modo de compatibilidad]...

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