3. 게이트레벨 최소화
DESCRIPTION
3. 게이트레벨 최소화. Karnaugh Map 을 이용한 논리함수 간소화 방법. 논리함수식을 간소화하기 위해 체게화된 방법 K-map 을 이용하여 함수 간소화 방법 수평 , 수직으로 인접한것들끼리 묶는다 겸치는부분이 있더라도 가능하면 크게 묶는다 1, 2, 4, 8, … , 2ⁿ 개씩 묶으면 각각 0, 1, 2, 3, … n 개의 literal 수를 줄일수 있다 “ 1” 을 묶으면 f 에대한 표현식 , “0” 을 묶으면 f′ 에 대한 표현식을 얻을수 있다 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
3. 게이트레벨 최소화
Karnaugh Map 을 이용한 논리함수 간소화 방법
논리함수식을 간소화하기 위해 체게화된 방법 K-map 을 이용하여 함수 간소화 방법
수평 , 수직으로 인접한것들끼리 묶는다 겸치는부분이 있더라도 가능하면 크게 묶는다 1, 2, 4, 8, … , 2ⁿ 개씩 묶으면 각각 0, 1, 2, 3, … n 개의
literal 수를 줄일수 있다 “1” 을 묶으면 f 에대한 표현식 , “0” 을 묶으면 f′ 에
대한 표현식을 얻을수 있다 Sum of Product : “1” 을 묶어 f 에 대하여 표현한 식 입력수가 7 개 이상이면 다루기 어렵다
게이트 - 레벨 최소화 – 2- 입력 맵
0 1
0x′y′(m
0)
x′y(m
1)
1xy′(m
2)
Xy(m
3)
xy
0 1
0 0 0
1 1 1
xy
0 1
0 0 1
1 0 1
xy
0 1
0 1 1
1 0 0
xy
0 1
0 1 0
1 1 0
xy
0 1
0 1 1
1 1 1
xy
0 1
0 0 0
1 0 0
xy
xy’ + xy = x(y+y’) = x
x’y + xy = y(x+x’) = y
x’y’ + x’y = x’(y’+y) = x’
x’y’ + xy’ = (x’+x)y’ = y’
x + x’ = 1 or y + y’ = 1
0
게이트 - 레벨 최소화 – 2- 입력 맵
x y f
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
1. Bool 대수 이용
f = x’y + xy’ + xy = x’y + x(y’+y) = x’y + x = (x’+x)(y+x) = x+y
2. map 이용0 1
0 1
1 1 1
xy
f = x + y
게이트 - 레벨 최소화 – 3- 입력 맵
00 01 11 10
0x′y′z’(m
0)
x′y′z(m
1)
x′yz(m
3)
x′yz’(m
2)
1xy′z’(m
4)
xy′z(m
5)
xyz(m
7)
xyz’(m
6)
xyz
y’ y
z
x’
x
게이트 - 레벨 최소화 – 3- 입력 맵
00 01 11 10
0
1
xyz
00 01 11 10
0
1
xyz
00 01 11 10
0
1
xyz
00 01 11 10
0
1
xyz
00 01 11 10
0
1
xyz
00 01 11 10
0
1
xyz
게이트 - 레벨 최소화 – 3- 입력 맵
x y z f
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
f = ∑(3 ,5 ,6 ,7)
00 01 11 10
0 11 1 1 1
xyz
f = xy + yz + xz
x y z f
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
f = ∑(2, 3, 4 ,6 ,7)
게이트 - 레벨 최소화 – 3- 입력 맵
00 01 11 10
0 1 11 1 1 1
xyz
f = y + xz’
게이트 - 레벨 최소화 – 3- 입력 맵
(ex) f = A’C+A’B+AB’C+BC
00 01 11 10
0 1 11 1 1
ABC
f = ∑(1, 2, 4, 7)
F = A’B’C+A’BC’+AB’C’+ABC = A’(B’C+BC’)+A(B’C’+BC) = A’(B C)+A(B ᆞ C) = A’(B C)+A(B C)’ = A (B C) = A B C
+
+ ++ +
+ +
게이트 - 레벨 최소화 – 4 변수 맵
00 01 11 10
00w’x’y’z’
(m0)
w’x’y’z
(m1)
w’x’yz
(m3)
w’x’yz’
(m2)
01w’xy’z’
(m4)
w’xy’z
(m5)
w’xyz
(m7)
w’xyz’
(m6)
11wxy’z’
(m12
)wxy’z
(m13
)wxyz
(m15
)Wxyz’
(m14
)
10wx’y’z’
(m8)
wx’y’z
(m9)
wx’yz
(m11
)wx’yz
(m10
)
wxyz y’ y
w’
w
x’
z
게이트 - 레벨 최소화 – 4 변수 맵
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
게이트 - 레벨 최소화 – 4 변수 맵00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
f = ∑(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)f = A’B’C’+B’CD’+A’BCD’+AB’C’
게이트 - 레벨 최소화 – 4 변수 맵 (ex)
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
00
01
11
10
00
01
11
10
wxyz
f = ∑(0,1,2,5,8,9,10)f = ∏(3,4,6,7,11,12,13,14,15)
게이트 - 레벨 최소화 – 5 변수 맵
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00A’B’C’D’E’
(m0)
A’B’C’D’E
(m1)
A’B’C’DE
(m3)
A’B’C’DE’
(m2)
A’B’CDE’
(m6)
A’B’CDE
(m7)
A’B’CD’E
(m5)
A’B’CD’E’
(m4)
01A’BC’D’E’
(m8)
A’BCDE’
(m9)
A’BC’DE
(m11
)A’BC’DE’
(m10
)A’BCDE’
(m14
)A’BCDE
(m15
)A’BCD’E
(m13
)A’BCD’E’
(m12
)
11ABC’D’E’
(m24
)ABC’D’E
(m25
)ABC’DE
(m27
)ABC’DE’
(m26
)ABCDE’
(m30
)ABCDE
(m31
)ABCD’E
(m29
)ABCD’E’
(m28
)
10AB’C’D’E’
(m16
)AB’C’D’E
(m17
)AB’C’DE
(m19
)AB’C’DE’
(m18
)AB’CDE’
(m22
)A’BCDE
(m23
)AB’CD’E
(m21
)AB’CD’E’
(m20
)
게이트 - 레벨 최소화 – 5 변수 맵
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00
01
11
10
ABCDE
게이트 - 레벨 최소화 – 5 변수 맵
000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8 9 11 10 14 15 13 12
11 24 25 27 26 30 31 29 28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00 1 1 1 1
01 1 1
11 1 1 1
10 1 1
ABCDE
게이트 - 레벨 최소화 – 5 변수 맵
f = A’B’E’ + BD’E+ACE
f = ∑(0,2,4,6,9,13,21,23,25,29,31)
000 001 011 010 110 111 101 100
00 0 1 3 2 6 7 5 4
01 8 9 11 10 14 15 13 12
11 24 25 27 26 30 31 29 28
10 16 17 19 18 22 23 21 20
ABCDE
000 001 011 010 110 111 101 100
00 1 1 1 1
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 1
ABCDE
게이트 - 레벨 최소화 – 5 변수 맵
f = A’B’E’ + BD’E+ACE
f = ∑(0,2,4,6,9,11,13,15,17,21,25,27,29,31)
게이트 - 레벨 최소화 – 5 변수 맵 Ex 3-7) 다음 Boole 함수를 간략화하라 .
F(A,B,C,D,E)=Σ(0,2,4,6,9,13,21,23,25,29,31)
F = A'B'E' + BD'E + ACE
합의 곱 (Product of Sum) 간략화
(1) “0” 을 묶어 f’ 의 Sum of Product 를 구한 후 (2) f’ 의 보수를 취하여 f 를 구한다
00
01
11
10
00
1 1 1
01
1
11
10
1 1 1
wxyz
f = ∑(0,1,2,5,8,9,10) 00
01
11
10
00
0
01
0 0 0
11
0 0 0 0
10
0
wx
yz
Sum of Product f = B’C’ + B’C’ + A’C’D
Product of Sum f’ = AB + CD + BD’ f = (f’)’ f = (A’+B’)(C’+D’)(B’+D)
Don’t-Care 조건
논리값이 규정 (“0” or “1”) 되어있지 않은 Minterm 의 집합 Don’t Care 조건항을 포함하여 묶어도 관계없다
00
01
11
10
00
x 1 1 X
01
X 1
11
1
10
1
wxyz
f = ∑(1,3,7,11,15)d = ∑(0,2,5)
f = yz + w’x’
00
01
11
10
00
x 1 1 X
01
X 1
11
1
10
1
wxyz
f = yz + w’z
or
00
01
11
10
00
1 1
01
X X 1 1
11
1 X
10
1
wxyz
f = ∑(1,3,6,7,11,15)d = ∑(4,5,14)
f = w’x + yz + w’z
00
01
11
10
00
1 1
01
X X 1 1
11
1 X
10
1
wxyz
f = yz + xy + w’z
Don’t-Care 조건
B8
B4
B2
B1
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
Don’t-Care 조건 (ex:7-Segment Display)
Don’t-Care 조건
NAND 와 NOR 의 구현
NAND 와 NOR 게이트가 집적회로로 제작 , 구현하기가 용이 Digital 회로는 대부분 NAND/NOR/NOT 게이트로 구성 NAND/NOR/NOT 게이트를 digital logic family 의 universal gate 라 함
AND 게이트의 구현 OR 게이트의 구현
((xy)’)’ = xy
(x’+y’)’ = xy
((x+y)’)’ = x+y
(x’y’)’ = x+y
NAND 와 NOR 의 구현
NAND 와 NOR 게이트로의 변환
(xyz)’
=
x’ + y’ + z’ = (xyz)’
(x + y + z)’ x’y’z’ = (x + y + z)’
=
NAND 회로의 구현[ 방법 1] 게이트의 변환을 이용
(ex) [ 방법 1] f = AB + CD+ E
NAND 회로의 구현
00 01 11 10
0 11 1
xyz
[ 방법 2] “1” 를 묶어 f 의 sum of product 를 구한후 , f 에 보수를 두번 취한다
f = x’y’z’ + xyz’ = ((x’y’z’+xyz’)’)’ = ((x’y’z’)’(xyz’)’)’
zyx
(ex) f = ∑(0, 6)
NAND 회로의 구현
00 01 11 10
0 0 0 01 0 0 0
xyz
[ 방법 3] “0” 을 묶어 f’ 의 sum of product 를 구한후 , 다시 보수를 두번 취하여 f’ 에 대한 NAND 회로로 구현한후 , 출력에 NOT 게이트를 연결
f’ = x’y + xy’+z = ((x’y+xy’+z)’)’ = ((x’y)’(xy’)’(z)’)’
zyx
f'
f
NAND 회로의 구현
00 01 11 10
0
1
xyz
(ex) f = ∑(0, 2, 4)
00 01 11 10
0
1
xyz
[ 방법 2] [ 방법 3]
NAND 회로의 구현
[ 방법 1] 게이트의 변환을 이용
NAND 회로의 구현[ 방법 2] “0” 를 묶어 f’ 의 sum of product 를 구한다 f’ 에 보수를 취하여 f 를 구한후 , f 에 보수를 두번 취한다
f’ = x’y+xy’+z(f’)’ = (x’y+xy’+z)’ = (x+y’)(x’+y)z’((f)’)’ = (((x+y’)(x’+y)z’)’)’ = ((x+y’)’+((x’+y)’+z)’
(ex) f = ∑(0, 6)
00 01 11 10
0 0 0 01 0 0 0
xyz
zyx
f
NAND 회로의 구현[ 방법 3] “1” 를 묶어 f 의 sum of product 를 구한 후 , f 에 보수를 취하여 f’ 에 대한 NOR 회로로 구현 후 출력에 NOT 게이트를 연결한다
00 01 11 10
0 11 1
xyz
f = x’y’z’+xyz’ f’ = (x’y’z’+xyz’)’ = (x’y’z’)’(x+y+z’)’ = (x+y+z)(x’+y’+z) = ((x+y+z)’+(x’+y’+z)’)’
zyx
f
f
패리티의 생성과 검사
P = x y z
Exclusive-OR 함수
Exclusive-OR 함수
C = x y z P