2.verovatnoca zadaci - i deo

8/13/2019 2.Verovatnoca Zadaci - i Deo

1/8

1

VEROVATNOA - ZADACI (I DEO)

U raunu verovatnoe osnovni pojmovi suopit i dogaaj.

Svaki opit se zavrava nekim ishodom koji se nazivaelementarni dogaaj.

Elementarne dogaaje profesori razliito obeleavaju, mi emo ih obeleiti sa1 2 3, , ,...e e e a vi naravno radite kak

va profesor.

Skup svih moguih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih dogaaja se najee obeleava s E .

1 2 3{ , , ,... }n E e e e e=

primer 1.

Odrediti skup svih elementarnih dogaaja za sledee opite:

a) bacanje jednog dinara

b) bacanje dva dinarac) bacanje tri dinarad) bacanje jedne kockee) bacanje dve kocke) bacanje tri kocke

Reenja:

a) bacanje jednog dinara

Naravno, prilikom bacanja dinara moe pastipismo ili moe pastigrb. GP

Ako sa 1e obeleimo pojavu pisma na gornjoj strani novia a sa2e obeleimo pojavu grba onda je

kup svih elementarnih dogaaja ovog opita 1 2{ , } E e e= , a mislimo da je bolje ovo obeleiti sa { , } E P G= .

b) bacanje dva dinara

Na gornjoj strani novia se moe pojaviti:

P P

P

P

G

G

G G

Pa je { , , , } E PP PG GP GG= , odnosno ima 4 ishoda ovog opita.


2/8

2

c) bacanje tri dinara

Ako bacamo tri novia, broj ishoda je 8. Da vidimo:

P P P

P P

P P

P

G

G

G G

G G G

G G

G G

G

P

P

P P

{ , , , , , , , }E PPP PPG PGP PGG GGG GGP GPG GPP =

d) bacanje jedne kocke

Veina nas je igrala ''ne ljuti se ovee'' ili neku slinu igricu sa jednom kockicom...

Na gornjoj strani kocke moe pasti jedan od brojeva :

1 2 3 4 5 6

pa je skup svih elementarnih dogaaja : {1,2,3,4,5,6} E = .

asno je da ih ima 6. Preko formula iz kombinatorike bi ovo izraunali kao varijacije sa ponavljanjem:6 11 6 6V = =

e)

bacanje dve kocke

Pri bacanju dve kockice, broj moguih ishoda je vei:6 22 6 36V = =

Na savet je da uvek kad je to mogue, odnosno kad ne zahteva previe pisanja, ispiete sve mogunosti

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 12

2

2

2

2

2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3

3

3

3

3

3

4 4 4 4 4

4

4

4

4 4

4

4

5

5

5

5

5

5

5 55 555

6

6

6

6

6

6 666666

1

2

3

{11,12,13,.......,66}E =


3/8

3

) bacanje tri kocke

Broj svih elementarnih dogaaja je6 33 6 216V = = . E ovde bi ve bilo preterano da piemo redom sve mogue

{111,112,113,.......,666}E =

Bitno je da znamo koliko ih ukupno ima.

E sad, u zadacima mi moramo obavezno odrediti skup svih elementarnih dogaaja, a oni od nas trae da n

verovatnou pojave jednog od njih ( ili vie njih...).

edan takav dogaaj se najee obeleava slovima latinice: A,B,C...

Sluajan dogaaj A je podskup skupa E elementarnih dogaaja.

Mi moramo precizno, navodnicima da opiemo taj dogaaj A= ..

Ako smo sigurni da neki opit izaziva pojavu dogaaja A, onda za dogaaj A kaemo da jepouzdan.

Ako se dogaaj A sigurno ne realizuje datim opitom, onda se on nazivanemogu. ( obeleava se sa )

Na primer, kad bacamo jednu kockicu , sigurni smo da e se na gornjoj strani pojaviti jedan od brojeva 1,

ako obeleimo u tom opitu da je dogaaj A: pojavio se broj 7 na gornjoj strani kockice, sigurni smo da

nemogu dogaaj.

Ako posmatramo dva dogaaja koji se mogu dogoditi u istom opitu, onda oni mogu bitizavisni i nezavisni.

Na primer, neka je opit bacanje dve kockice. Posmatramo tri dogaaja:

Dogaaj A: pao je zbir 8

Dogaaj B : pao je zbir 7

Dogaaj C: pala je bar jedna estica

spitati da li su ovi dogaaji meusobno zavisni ili ne.

Ovde je najbolje ispisati sve mogunosti...


4/8

4

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 12

2

2

2

2

2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3

3

3

3

3

3

4 4 4 4 4

4

4

4

4 4

4

4

5

5

5

5

5

5

5 55 555

6

6

6

6

6

6 666666

1

2

3

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 12

2

2

2

2

2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3

3

3

3

3

3

4 4 4 4 4

4

4

4

4 4

4

4

5

5

5

5

5

5

5 55 555

6

6

6

6

6

6 666666

1

2

3

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 12

2

2

2

2

2

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

3

3

3

3

3

3

4 4 4 4 4

4

4

4

4 4

4

4

5

5

5

5

5

5

5 55 555

6

6

6

6

6

6 666666

1

2

3

A:pao j e zb ir 8 B:pao je zbir 7 C:pala je bar jedna estica

Vidimo da su dogaaji A i B nezavisni.

Meutim , ako posmatramo dogaaje A i C, vidimo da su oni zavisni , jer se oba deavaju kad padne (2,6

Takoe su i B i C zavisni , jer kod oba dogaaja imamo (1,6) i (6,1).

Zbir ( unija)dva dogaaja A i B naziva se dogaajA+B (ili A B ) koji se sastoji u tome da se realizuje bilo

njih, to jest bilo A, bilo B, bilo A i B.Proizvod ( presek) dva dogaaja A i B se obeleava saAB( ili A B ) i predstavlja dogaaj koji se sastoji u to

e dogaaji A i B pojavljuju zajedno.

Ako se u vrenju jednog opitarealizacijom dogaaja A uvek realizuje i dogaaj B, tada kaemo da dogaaj A

povlai dogaaj B i tada je A B .

Suprotan dogaaj dogaaja A se obeleava sa A .

Dogaaji 1 2, ,..., n A A A obrazujupotpun sistem dogaaja ako je 1 2 ... n A A A = i i j A A = , to jest dva p

dva su iskljuivi dogaaji.

Verovatnoa sluajnog dogaaja A se obeleava sa P(A).

ravila:

1. 0 ( ) 1 P A

Znai, verovatnoa se meri od 0 do 1. Nula je verovatnoa nemogueg dogaaja a jedinica je verovatn

dogaaja.


5/8

5

2. ( ) ( ) 1 P A P A+ =

Kad saberemo verovatnou nekog dogaaja i verovatnou njemu suprotnog dogaaja, dobijamo siguran d

odnosno , neto il e se desi il nee...

esto je u zadacima lake izraunati verovatnou suprotnog dogaaja, pa je onda ( ) 1 ( ) P A P A=

3. Ako je A B onda je ( ) ( ) P A P B

primer 2.

Data su dva dogaaja A i B. Pomou simbolikih operacija sa datim dogaajima odrediti sledee dogaa

) realizovan je dogaaj A a nije realizovan dogaaj Bi) realizovan je dogaaj B a nije realizovan dogaaj Aii) realizovana su oba dogaaja

Reenja:

Pogledajmo najpre sledeu sliku:

A B

AB AB AB

) realizovan je dogaaj A a nije realizovan dogaaj B

To emo obeleiti sa AB , to jest , realizovan je A a nije B.

i) realizovan je dogaaj B a nije realizovan dogaaj A

Ovo moemo obeleiti sa AB

ii) realizovana su oba dogaaja

Ovde je reenje presek, odnosno to je dogaaj AB


6/8

6

primer 3.

Data su tri dogaaja A,B i C. Pomou simbolikih operacija sa datim dogaajima odrediti sledee doga

a) realizovan je dogaaj A , a nisu realizovani dogaaji B i Cb) realizovani su dogaaji A i C, a dogaaj B nijec) realizovana su sva tri dogaajad) realizovan je jedan i samo jedan od ova tri dogaaja

Reenja:

Pogledajmo opet sliku gde su dogaaji predstavljeni pomou skupova:

A B

C

ABC ABC

ABC

ABC

ABC AB C

AB C

Da odgovorimo sada na postavljena pitanja:

a) realizovan je dogaaj A , a nisu realizovani dogaaji B i C

A B

C

ABC ABC

ABC

ABC

ABC ABC

ABC

Reenje je: ABC


7/8

7

b) realizovani su dogaaji A i C, a dogaaj B nije

A B

C

ABC ABC

ABC

ABC

ABC ABC

ABC

Reenje je: ABC ili moemo zapisati ABC ABC ABC + + ( vidi sliku)

c) realizovana su sva tri dogaaja

A B

C

ABC ABC

ABC

ABC

ABC ABC

ABC

Reenje je: ABC

d) realizovan je jedan i samo jedan od ova tri dogaaja

A B

C

ABC ABC

ABC

ABC

ABC ABC

ABC

Reenje je: ABC ABC ABC + +


8/8

8

Pomenimo jo neka pravila:

Ako je A proizvoljan dogaaj , tada je :

) A = v) A A+ =

i) AA A= vi) A A A+ =

ii) AE A= vii) A A E + =

v) AA = viii) A E E + =

Ako su A, B i C proizvoljni dogaaji, tada je:

a) A B B A+ = +

b) ( ) ( ) A B C A B C A B C + + = + + = + +

c) ( ) ( ) A BC AB C ABC = =

d) ( ) A B C AB AC + = +

2.verovatnoca zadaci - i deo

Documents