1|P a g e

2. Direktna kinematika

2.1 Uvod

Direktna kinematika manipulatora omoguava odreivanje poloaja i orijentacijekrajnjeg efektora prihvatnice (engl. endeffector) u funkciji varijabli zglobovaizraenihuosnovnomsistemureference.

Slika2.1Kinematikastruktura

Pridefiniranjuzadatkazaprihvatnicupotrebnojeznatinjegovpoloajiorijentacijuufunkcijivremena.Tonijetekozapoloaj.Meutim,akojeorijentacijadataprekotrijedinina vektora ( )n s a to je dosta sloeno, jer treba devet komponentispecificiratiipritomeonimorajuzadovoljitiuvjeteortonormalnosti.

Problem se pojednostavljuje ako se orijentacija predstavi koristei jednu odminimalnihpredstava,npr.Euleroveuglove.Natajnainkonfiguracijamanipulatorasemoepredstavitipomouvektoravanjskihkoordinata:

, = p

x (2.1)

gdjepopisujepoloajkrajnjegefektora,anjegovuorijentaciju.Vektorvanjskihkoordinataxjedefiniranuprostoruukojemsezadajeradnizadatak.Ovajseprostornazivaprostorzadatkailioperacioniprostor.

2|P a g e

S druge strane prostor zglobova predstavlja prostor vektora varijabli zglobova(vektorunutranjihiliupravljanihkoordinata):

1

2 ,:

n

qq

q

=

q (2.2)

pritomeje:

ako je zgob rotacioni,ako je zgob translatorni

= i

ii

qd

(2.3)

anukupanbrojzglobova.Jednainadirektnekinematikejedataizrazom:

( ),=x K q (2.4)i predstavlja ovisnost poloaja i orijentacije krajnjeg efektora od varijabli zgloba.Drugim rijeina na osnovu poznatog vektora unutranjih koordinata ili kretanja uzglobovima izraunavaju se poloaj i orijentacija prihvatnice. Jednaina (2.4)prikazujetransformacijuizprostorazglobovauprostorzadatka.Rjeenjedirektnekinematikedefiniranojematricomhomogenihtransformacija

( ) ( )(0) (0)(0) ,1 =

n nn T

R q pT q

0 (2.5)

gdje je rotacionommatricom ( )(0)nR q definiranaorijentacijaprihvatnice,odnosnoposljednjeg koordinatnog sistema smjetenog u sreditu prihvatnice, a radijusvekorom ishoditaovogkoordinatnog sistema (0)np odreen jepoloajprihvatnice.Vrlo se estokodprikazivanjavektorau sistemu reference (uvjetnonepokretnom)indeks0ueksponentuizostavlja.Ako se na temelju poznatog vektora vanjskih koordinata x odreuju kretanja uzglobovima, odnosno vektor unutranjih koordinata q, radi se o inverznomkinematikommodelu:

( )1 .=q K x (2.6)

2.2 Pretpostavke

Manipulatorsesastojiodkrutihtijelalanakavezanihkinematikimparovima(zglobovima),

Bie koriteni zglobovi sa jednim stepenom slobode kretanja i to rotacioni(revolutni) iprizmatini (translatorni),pa je varijabla zglobaugao zakretanja ililinearnipomak.

3|P a g e

Cijelastrukturainikinematikilanac,slika2.1,jedankrajlancavezanjezabazu,azadrugijevezankrajnjiefektor(prihvatnicahvataljka,alatilisenzorovisnooprimjenirobota,engl.endeffector).

Dvasuvanakoordinatnasistemaito:

1. Koordinatni sistem smjeten u sreditu prihvatnice definiran jedininimvektorima ( )n s a ,gdjeje: ajedininivektorpristupanjailiprilaenjaobjektu, sjedininivekoruravniklizanjai nvektorkojisaprvadvainidesnoorijentiranitriedarosa.

2. KoordinatnisistemosnoveO0x0y0z0.Posmatrajmomanipulatorsan+1lankominzglobova.Poloajiorijentacijakrajnjegefektora,datisusa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 ,0 0 0 1n n n nn = n q s q a q p q

T q (2.7)

gdjejeqvektorunutranjihkoordinatadefiniranjednainom(2.2).

2.3 Denavit-Hartenbergova konvencija

Slika2.2.DenavitHartenbergovakonvencija Izabratiosuziduosei+1zgloba, PostavitiishoditeOinapresjekuosaziizajednikenormalepovuenenaosezi

izi1.TakoerpostavitiOi'napresjekutezajednikenormaleiosezi1.

4|P a g e

Odabratiosuxiduzajednikenormalenaose,usmjerenuodzgloba ipremai+1.

Odabratiosuyitakodainidesnitriedar.Unekimsluajevimaovakonvencijanedefinirakoordinatnesistemenajednoznaannain:

Zasistem0,samojedefiniransmjerosez0,dokx0iO0mogubitiproizvoljni. Za sistemn, samo jedefiniran smjerose xn (morabitiokomitna zn1),kakone

postojin+1zglobtoseosaznmoeuzetipovolji. Kadasudvijeoseparalelnezajednikanormalanijedefinirana. Kadasedvijeuzastopneosepresjecajuujednojtaki,smjerosexijeproizvoljan. Kadajezglobprizmatiansamojesmjerzi1odreen.Openito,osetrebabiratitakodasepostupaktovieuprosti.

Nakon to supridrueni koordinatni sistemi,njihovipoloaj iorijentacijamogu sedefiniratipomousljedeihparametara:

ai udaljenostOiiOi',

di koordinataOi'duosezi1.

i ugaoizmeuosaziizi1,okoosexiuzetpozitivanakojerotacija suprotnokretanjukazaljkenasatu.

i ugaoizmeuosaxiixi1,okoosezi1uzetpozitivanakojerotacija suprotnokretanjukazaljkenasatu.

Odovaetiriparametrasamojejedanvarijabilanipredstavljavarijabluzgloba:

Akojezglobrevolutanvarijablajei, Akojezglobprizmatianvarijablajedi,Sadsemoedefiniratitransformacijaizmeusistemalankaiilankai1:

1. Odabratikoordinatnisistemkojisepoklapasasistemomlankai1,

2. Transliratisistemzadiduosezi1irotiratiokoosezi1zaugaoi:

1'

0 00 0

0 0 10 0 0 1

i i

i i iii

i

c ss c

d

=

T , (2.8)

Ovdjesusacisoznaenicosisinodgovarajuegugla.

3. Transliratinovisistemzaaiduosexi'irotiratiokoosexixi'zaugaoi:

5|P a g e

'

1 0 00 00 00 0 0 1

i

i iii

i i

ac ss c

=

T , (2.9)

4. Rezultirajuamatricaje:

1 1 '' 0

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i ii i ii i i

i i i

c s c s s a cs c c c s a s

s c d

= =

T T T , (2.10)

2.4 Postupak rjeavanja problema direktne kinematike

Temeljeno na DenavitHartenbergovoj konvenciji moe se formulirati sljedeipostupakrjeavanjaproblemadirektnekinematike:

1. Utvrditiinumerisatiosezglobovaz0,z1,....zn,2. OdreditiishoditaOinapresjekuosaziizajednikenormalepovuenenaose

ziizi1.Akosuoseziizi1paralelneodabratiOitakodajedi=0.3. Osexipostavitidunormalapomenutihpod2.4. Oseyipostavitidainedesnitriedar.5. Odreditiparametreai,diiiizasvesisteme,6. Odreditimatricehomogenihtransformacija ( )1 ,ii iqT (i=1,2,...n).7. Izraunatimatricudirektnekinematike

( )(0) 0 1 11 2 .... .nn n = T q T T T (2.11)

2.5 Direktna kinematika tipinih struktura

a)PlanarnarukasatrilanaTablica2.1DHparametri

lanak ai i di i1 L1 0 0 12 L2 0 0 23 L3 0 0 3

6|P a g e

Slika2.3Planarnatrolanarukasak.s.

Premajednaini(2.10),matricehomogenihtransformacija ( )1 ,ii iqT (i=1,2,3)su:

1

00

0 0 1 00 0 0 1

i i i i

i i i iii

c s L cs c L s

=

T , (2.12)

paslijedi:

1 1 1 1

1 1 1 101

00

0 0 1 00 0 0 1

c s L cs c L s

=

T , (2.12a)

12 12 1 1 2 12

12 12 1 1 2 120 0 12 1 2

00

,0 0 1 00 0 0 1

c s L c L cs c L s L s

+ + = =

T T T (2.12b)

123 123 1 1 2 12 3 123

123 123 1 1 2 12 3 1230 0 1 23 1 2 3

00

,0 0 1 00 0 0 1

c s L c L c L cs c L s L s L c

+ + + + = =

T T T T

(2.12c)

Matricadefiniranajednainom(2.12c)rjeenjejedirektnogkinematikogmodelazatrolanuravanskuruku.

7|P a g e

b)AntropomorfnarukaTablica2.DHparametri

lanak ai i di i1 0 /2 0 12 L2 0 0 23 L3 0 0 3

Slika2.4Antropomorfnastrukura

Premajednaini(2.10),matricehomogenihtransformacija ( )1 ,ii iqT (i=1,2,3)su:1 1

1 101

0 00 0

0 1 0 00 0 0 1

c ss c =

T , (2.13a)

1

00

0 0 1 00 0 0 1

i i i i

i i i iii

c s L cs c L s

=

T ,(i=2,3) (2.13b)

Rjeenjedirektnekinemaikezaantropomorfnurukuje:

( )( )( )

1 23 1 23 1 1 2 2 3 23

1 23 1 23 1 1 2 2 3 230 0 1 23 1 2 3

23 23 2 2 3 23,

00 0 0 1

c c c s s c L c L cs c s s c s L c L cs c L s L s

+ + = = +

T T T T

(2.14)

8|P a g e

c)Sfernaruka

Slika4.SfernarukaNa slici 4 prikazana je konfiguracija sferne ruke, komponirana od dva rotaciona ijednogtranslatornogzgloba.NaovojsusliciprikazaniipridruenikoordinatnisistemizakojevrijedeDHparametrinavedeniutablici3.Tablica3.DHparametri

lanak ai i di i1 0 /2 0 12 0 /2 L2 23 0 0 d3 0

Uvodei ove parametre u DH matricu dobijaju se sljedee matrice homogenihtransformacija:

1 1 2 2

1 1 2 20 1 21 2 3

2 3

0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0

, ,0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

c s c ss c s c

L d

= = =

T T T (2.15)

Slijednimmnoenjemnavedenihmatricadobija se rjeenjedirektnogkinematikogmodelazasfernuruku:

1 2 1 1 2 1 2 3 1 2

1 2 1 1 2 1 2 3 1 203

2 2 2 3.0

0 0 0 1

c c s c s c s d s Ls c c s s s s d c Ls c c d

+ =

T (2.15)

9|P a g e

d)SfernaakaTablica4.DHparametri

lanak ai i di i1 0 /2 0 42 0 /2 0 53 0 0 L6 6

Slika5.SfernaakaRjeenjedirektnekinemaikezasfernuakuje:

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 1 6 4 5

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 1 6 4 53 3 4 56 4 5 6

5 6 5 6 6 5,0

0 0 0 1

c c c s s c c s s c s L c ss c c c s s c s c s c L s s

s c s c L c

+ + = =

T T T T

(2.15)