Osnove proračuna armiranobetonskih elemenata prema graničnom stanju nosivosti

(GSN)

Naponska stanja u betonskoj gredi opterećenoj

koncentrisanom silom F u l/2:

Granična stanja nosivosti su u vezi s rušenjem (slomom) ili drugim oblicima

otkazivanja nosivosti konstrukcije te mogu ugroziti

sigurnost ljudi.

To su na primjer:

♦ gubitak ravnoteže konstrukcije ili kojeg od

njezinih dijelova koji se smatra krutim tijelom;

♦ otkazivanje konstrukcije zbog prekomjernog

deformisanja, zbog sloma ili gubitka stabilnosti

konstrukcije ili jednog njezinog dijela, uključujući

ležajeve i

temelje;

♦otkazivanje zbog zamora ili zbog drugih učinaka

ovisnih o vremenu.

Granična stanja upotrebljivosti su ona stanja kod čijih prekoračenja više nisu

ispunjeni propisani uslovi upotrebljivosti

konstrukcije ili konstrukcijskog elementa, udobnosti

ljudi, ili izgleda konstrukcije. To su na primjer:

♦ deformisanja ili progibi koji utiču na izgled ili

predviđenu upotrebu konstrukcije

(smetnje u pogonu na strojevima i uređajima), ili

koji uzrokuju štete na površini betona, ili na

nenosivim dijelovima;

♦vibracije koje izazivaju nelagodu kod ljudi, štete

na građevini ili njezinim uređajima ili ograničavaju

njezinu funkcionalnost;

♦ pukotine u betonu koje mogu uticati na izgled,

trajnost ili vodonepropusnost;

♦ oštećenja betona zbog prekomjernog tlačnog

naprezanja koja mogu dovesti do smanjenja trajnosti.

odgovarajuća granična stanja nisu premašena.

PRORAČUNSKE SITUACIJE Su takav skup fizičkih uslova koji prikazuju

određeno razdoblje za koje će se proračunom pokazati

da odgovarajuća granična stanja nisu premašena. Dijele se na: - stalne proračunske situacije

koje su mjerodavne u razdoblju istog reda veličine

kao i razdoblje proračunskog radnog vijeka

konstrukcije, tj. odgovaraju normalnim uslovima

upotrebe konstrukcije; - prolazne proračunske situacije

koje se primjenjuju na razdoblje koje je mnogo kraće

od proračunskog radnog vijeka konstrukcije i koje

imaju veliku vjerovatnoću pojavljivanja,

npr.privremeni uslovi za vrijeme gradnje ili

popravaka; - iznenadne proračunske situacije

koje uključuju izuzetne uslove za konstrukciju ili

njezinu izloženost, npr.požar, eksplozija, udar.

DJELOVANJA (F) (a) Djelovanje može biti:

- direktno djelovanje: sila (opterećenje) koje

djeluje na konstrukciju;

- nedirektno djelovanje: prisila (npr. spriječeno

deformisanje uzrokovano promjenom temperature, vlage

ili nejednolikim slijeganjem). (b) Djelovanja se dijele: ♦ Prema vremenskoj promjenljivosti djelovanja se dijele na:

- stalna djelovanja (G): vjerovatno će trajati u

cijelom razdoblju proračunske situacije i promjena

veličine u vremenu je zanemariva u odnosu na srednju

vrijednost, npr. vlastita težina konstrukcije,

opreme, nenosivih dijelova,tehničkih uređaja;

- promjenljiva djelovanja (Q): nije vjerovatno da će

trajati cijelo razdoblje proračunske situacije, ili

promjena veličine u vremenu nije zanemariva u odnosu

na srednju vrijednost, npr. upotrebno opterećenje,

vjetar, snijeg;

- iznenadna djelovanja (A): obično kratkotrajna, nije

vjerovatno da će se dogoditi u znatnoj veličini u

razdoblju projektovanog radnog vijeka

konstrukcije,npr. eksplozija, udar vozila. ♦Prema prostornoj promjenljivosti djelovanja se dijele na:

- nepomična djelovanja (raspodjela po konstrukciji

se ne mijenja): npr. Vlastita težina za konstrukcije

jako osjetljive na promjene vlastite težine;

- slobodna djelovanja (različita raspodjela po

konstru.): npr. Slobodna upotrebna opterećenja,

vjetar, snijeg itd.

♦ Prema svojoj prirodi i/ili odzivu konstrukcije djelovanja se dijele na:

- statička djelovanja: ne prouzrokuju znatno ubrzanje

konstrukcije ili konstrukcijskih elemenata (npr.

težina konstrukcije);

- dinamička djelovanja: prouzrokuju znatno ubrzanje

konstrukcije ili konstrukcijskih elemenata (npr.

vozila na mostu, potres).

(c) Prednaprezanje (P) je stalno djelovanje.

(d) Prisilna su djelovanja ili stalna Gind (npr.

slijeganje) ili promjenljiva Qind (npr. temperature)

i primjereno se obrađuju.

KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI DJELOVANJA ( Fk ) Određuju se normama (Eurocode 1), od strane

investitora ili projektanata u dogovoru s

investitorom, kao srednje vrijednosti, a ako su

veliki koeficijenti varijacije razlikuju se dvije

karakteristične vrijednosti: gornja i donja

karakteristična vrijednost.

Oznake su npr: Gk; Qk; Ak

REPREZENTATIVNE VRIJEDNOSTI DJELOVANJA ( Frep )

Reprezentativne vrijednosti izražavaju se pomoću

karakterističnih vrijednosti Qk uz primjenu

koeficijenata kombinacije ψi koji se utvrđuju od

strane investitora s obzirom na najmanje zahtjeve

koji su propisani normama ili od strane mjerodavnih

ustanova.

To su vrijednosti koje se upotrebljavaju za provjeru

graničnog stanja.

Na primjer:

- karakteristična vrijednost (Qk) Je glavna reprezentativna vrijednost nekog

djelovanja. Ako se može odrediti statistički,

odabire se tako da odgovara propisanoj vjerovatnoći

da neće biti premašena na strani nesigurnosti tokom

“referentnog razdoblja”, uzimajući u obzir

proračunski radni vijek konstrukcije i trajanje

proračunske situacije.

- vrijednost u kombinaciji (ψ0Qk)

Uzima u obzir smanjenu vjerovatnoću istovremenog

djelovanja više promjenljivih nezavisnih opterećenja

s njihovom najnepovoljnijom vrijednošću.

Koristi se za provjeru graničnog stanja nosivosti i

nepovratnog graničnog stanja upotrebljivosti.

Ova kombinacija je vrlo rijetka i u vijeku trajanja

konstrukcije, događa se jednom ili nijednom.

PRORAČUNSKE VRIJEDNOSTI DJELOVANJA ( Fd ) Dobivaju se prema izrazu:

Fd = γF · Fk

(proraračunska veličina djelovanja = γF · karakteristična

vrijednost djelovanja)

γF = parcijalni koeficijent sigurnosti za djelovanja

(γG, γQ, γA, γP)

Uzima se u obzir mogućnost nepovoljnih odstupanja

djelovanja, mogućnost netačnog modeliranja

djelovanja, nesigurnost kod određivanja učinka

djelovanja, kao i nesigurnost kod pretpostavljanja

dotičnog graničnog stanja

Na primjer:

Gd = γG · Gk

Qd = γQ · Qk ili γQ · ψi ·Qk

Ad = γA · Ak

Pd = γP · Pk

Parcijalni koeficijenti sigurnosti za djelovanja:

PRORAČUNSKE VRIJEDNOSTI UČINAKA DJELOVANJA ( Ed ) Učinci (E) su reakcije konstrukcije na djelovanja

(npr. unutrašnje sile,naprezanja, deformisanja):

Ed = γsd· E (γgGk, γqQk, …..)

SVOJSTVA MATERIJALA KARAKTERISTIČNE VRIJEDNOSTI ZA SVOJSTVO MATERIJALA (Xk)

Svojstvo materijala dato je s karakterističnom

vrijednošću Xk koja odgovara određenoj fraktili (5

%-tna) u pretpostavljenoj statističkoj raspodjeli

analiziranog svojstva (npr. čvrstoća, granica

popuštanja).

Vrijednosti se određuju iz normiranih opita koji se

izvode pod određenim uslovima. PRORAČUNSKE VRIJEDNOSTI ZA SVOJSTVO MATERIJALA (Xd) Dobivaju se prema izrazu:

Xd = Xk /γM

(proračunska vrijednost čvrstoće materijala = karakteristična

čvrstoća /γM)

γM = parcijalni koeficijent sigurnosti za svojstvo

materijala

Parcijalni koeficijenti sigurnosti za svojstvo materijala:

ZAHTJEVI KOD PROJEKTOVANJA KONSTRUKCIJA OPŠTE:

◘ Treba dokazati da mjerodavna granična stanja nisu

prekoračena.

◘Treba uzeti u obzir sve proračunske situacije i

slučajeve opterećenja.

◘ Treba uzeti u obzir sva odstupanja djelovanja od

pretpostavljenog smjera ili mjesta.

◘Proračune treba provoditi uz primjenu

odgovarajućih proračunskih modela (koji se prema

potrebi dopunjuju ispitivanjima), uz uzimanje u

obzir svih mjerodavnih parametara. Proračunski

modeli moraju biti dovoljno tačni da bi mogli

predvidjeti ponašanje konstrukcije u skladu s

ostvarivom tačnošću izvedbe i pouzdanošću ulaznih

podataka.

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI ►Ako nastupi granično stanje sloma ili prekomjerno

deformisanje jednog poprečnog presjeka dijela

građevine ili spoja, treba dokazati da je:

Sd ≤ Rd

Sd = proračunska vrijednost neke sile ili momenta

(uslijed djelovanja)

Rd = proračunska vrijednost otpornosti konstrukcije

(nosivost)

GRANIČNA STANJA UPOTREBLJIVOSTI Za razliku od graničnih stanja nosivosti,

vrijednosti opterećenja ne množe se s parcijalnim

koeficijentima sigurnosti, nego se uzimaju s

osnovnom

vrijednošću tj. γG,j = γQ,j = 1,0.

Takođe, ako drugačije nije određeno, vrijedi γM =

1,0. Treba dokazati da je:

Ed ≤ Cd ili Ed ≤ Rd

Ed = proračunska vrijednost učinka opterećenja jedne

od kombinacija

Cd = nazivna vrijednost koja se odnosi na promatrane

proračunske učinke ili funkcija određenih svojstava

materijala

Rd = proračunska vrijednost otpornosti konstrukcije

TRAJNOST Za postizanje dovoljne trajnosti konstrukcije treba uzeti u obzir slijedeće faktore:

◘ namjenu konstrukcije

◘ zahtijevana svojstva konstrukcije

◘ očekivane uslove okoline

◘ sastav, svojstva i ponašanje materijala

◘ oblik elementa i izvedbu

◘ kvalitet građenja i obim nadzora

◘ naročite mjere zaštite

◘ očekivano održavanje za vrijeme predviđene

upotrebe

Uslove okoline treba procijeniti u fazi projektovanja da bi se predvidjelo njihovo značenje s obzirom na trajnost, a da bi se preduzele potrebne mjere zaštite materijala u konst.

DIMENZIONISANJE ARMIRANOBETONSKIH ELEMENATA Proračunski kriteriji Za armirani beton zaštita armature od korozije osigurana je ispunjenjem ovih zahtjeva:

◘ ograničenjem naprezanja u upotrebi

◘ određivanjem graničnog stanja raspucavanja

◘ određivanjem graničnog stanja deformisanja

◘ određivanjem zaštitnog sloja

◘ razradom detalja(pojedinosti)

Za odreĎivanje nosivosti armiranobetonskog presjeka potrebno je: 1) definisati pretpostavke

2) usvojiti radne i proračunske σ-ε - dijagrame

betona i čelika za armiranje. 1) Pretpostavke : ◘ ravni presjeci i nakon deformacije ostaju ravni

◘ deformacije armature spregnute s betonom u

vlačnom i tlačnom području betonskog presjeka

jednake su deformaciji betonskog vlakna koje se

nalazi u istom nivou

◘ vlačna čvrstoća betona se zanemaruje

◘ raspodjela tlačnih naprezanja betona odgovara

proračunskom dijagramu naprezanje-deformacija

◘ naprezanja u armaturi ili čeliku za

prednaprezanje izvode se iz proračunskog dijagrama

naprezanje-deformacija

◘ za presjeke naprezane samo uzdužnom tlačnom silom

tlačna deformacija betona ograničava se na -

0,002(2,0 ‰)

◘ za presjeke koji nisu po cijeloj visini naprezani

na tlak, tlačna deformacija betona ograničava se na-

0,0035(-3,5 ‰)

2) σ-ε - dijagrami za beton i čelik za armiranje: σ-ε dijagram za beton: σ-ε dijagram čelika za armiranje:

- Proračunski σ-ε dijagrami za beton (u tlaku):

εcu - najveća tlačna deformacija betona je -0,0035 (-3,5

‰)

fcd = fck /γc - proračunska tlačna čvrstoća

α - koeficijent kojim se uzima u obzir nepovoljno

djelovanje dugotrajnih opterećenja na tlačnu čvrstoću

betona, te druga nepovoljna djelovanja koja proizlaze iz

načina nanošenja opterećenja:

α = 0,85 - uzima se uobičajeno

α = 0,80 - uzima se za trougaone, kružne, trapezaste presjeke, te one kojima se širina smanjuje udaljavanjem od n.o.(neutralne ose) prema tlačnom rubu, te kod dijagrama s pravougaonom raspodjelom naprezanja

- Proračunski σ-ε dijagram čelika za armiranje (tlak -

vlak):

εsu - najveća deformacija čelika je 0,020 (20 ‰

horizontalna gornja grana), ili 0,010 (10 ‰ kosa gornja

grana)

fyd = fyk /γs - proračunska granica popuštanja čelika

U proračunu nosivosti presjeka uzima se mogućnost

da dijagram deformacija prolazi kroz jednu od tri

tačke:

A, B ili C.

Dimenzionisanje presjeka na moment savijanja DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONOG PRESJEKA NA MOMENT SAVIJANJA

Jednostruko armirani pravougaoni presjek

opterećen na moment savijana ( MSd ≤ MRd )

Na osnovu radnog dijagrama betona određujemo:

◘ Koeficijent punoće RDB-a (αv):

◘Koeficijent položaja tlačne sile (rezultanta tlačnih

naprezanja u betonu) ka - težište dijagrama:

Tablice za dimenzionisanje armiranobetonskih presjeka

Primjer 1: dimenzionisanje jednostruko armiranog pravougaonog presjeka na moment savijanja.

Prikaz armature u poprečnom presjeku grede:

Primjer 2: dimenzionisanje jednostruko armiranog

pravougaonog presjeka na moment savijanja.

MINIMALNA POVRŠINA ARMATURE ◘ Kod slabo armiranih presjeka slom nastaje

trenutačno.

Da se takav slom ne dogodi potrebno je presjek

armirati s minimalnom armaturom.

◘ Količina armature u zatežućoj zoni mora biti

tolika da primi silu zatezanja koju je prije

otvaranja pukotine preuzimala zatežuća zona betona

(s vlačnom armaturom). Uslov glasi:

As1,min · fyk· z ≥ fct,m · Wct

(moment nosivosti armature u presjeku) ≥ (moment nosivosti betona u vlačnoj zoni)

gdje je: Wct – moment otpora betonskog presjeka

fct,m – srednja vlačna čvrstoća betona

z – krak unutrašnjih sila

fyk – karakteristična granica popuštanja čelika

Za pravougaoni presjek grede:

Pretpostavimo: ◘ krak unutrašnjih sila z ≈ 0.9· d

◘ moment otpora betonskog presjeka:

Wct ≈ b·h2/6 ≈ b·(1.1d)2/6 ≈ 0.2 b·d2

◘ vlačna čvrstoća betona: fct ≈ 0.1·fck

slijedi: As1,min· fyk· 0.9 · d = 0.1 · fck· 0.2· b · d2

Minimalni koeficijent armiranja: ρ1,min = As1,min/ b · d = 0.022 · fck/fyk

Minimalna površina armature za ploče i grede računa se prema izrazu:

As1,min ≥ 0.6 ·bt · d/ fyk ≥ 0.0015 ·bt ·d [fyk u N/mm2]

d – statička visina presjeka bt – srednja širina zatežuće zone Maksimalna površina armature za ploče i grede računa se prema izrazu:

(1) As1,max = 0.04 ·Ac

Ac – površina betonskog presjeka

(2) zavisno o razredu betona i vrsti armature,

maksimalna armatura iznosi:

PRIKAZ NASTAJANJA T – PRESJEKA

a) Zatežući naponi se prihvataju armaturom, a

funkcija betona u zatežućoj zoni je zaštita

armature od korozije i prenos posmičnih napona.

Za velike raspone potrebna je velika visina

konstrukcije, znatno se povećava,vlastita težina i

konstrukcija postaje masivna.

b) Armatura se može grupisati. Za vezu s tlačnom

zonom betona dovoljno je ostaviti rebra, dok se

ostatak zatežuće zone izostavi. Tako se smanji

suvišna masa, te se konstrukcija olakša. Još uvijek

je konstrukcija suviše masivna.

c) Uklanja se beton koji statički nije dobro

iskorišten (beton oko neutralne osi), a s obzirom

da površina betonskog presjeka preuzima to veći Ms

što je dalje od n.o., konstrukcijski element bi se

trebao sastojati od tanke ploče i visokog rebra

(širina rebra uslovljena je smještajem vlačne

armature i prenosom posmičnih napona).

DIMENZIONISANJE T- PRESJEKA NA MOMENT SAVIJANJA

Sudjelujuća širina T-presjeka

◘ beff = bw + l0/5 – za T- presjek

◘ beff = bw + l0/10 – za jednostrani ili poluT presjek(Γ

presjek)

gdje je: l0 – udaljenost nul-tačaka momentnog dijagrama

L – raspon nosača

Lk – dužina konzole ◘ za krajnja polja kont.nosača l0 = 0,85 · L

◘ za srednja polja kont. nosača l0 = 0,70 · L

◘ za konzolu l0 = 2 · Lk

(b2) beff < 5bw

(takav T- presjek treba računati tako da se tlačni

dio presjeka zamijeni pravougaonim širine bi kojem

neutralna os prolazi donjim rubom)

Odnosno:

bi = λb · beff

koeficijent λb pronaći u tablici zavisno o:

hf/d i beff/bw , te ξ=x/d (εc2 = - 0.0035 i εs1=

0.01)

nakon toga provodi se dimenzionisanje kao za

pavougaoni presjek bi/h. (Proračuna se μSd te se u tablicama za dimenzionisanje

pronalazi koeficijent ξ .Vrijednosti koeficjenata ξ

(pretpostavljena i proračunata) se uspoređuju, te ako ima

razlike postupak se ponavlja sa zadnjim koeficijentom ξ.)

Primjer 2: Dimenzionisanje T- presjeka na moment savijanja Zadat je betonski T presjek prema crtežu, kvaliteta

materijala:

beton C 25/30 i čelik B 500B, proračunsko

opterećenje: Msd = 3000 kNm.

beff < 5· bw

150 < 5· 40

(2) Proračun armature na ležaju: za (–MSd)

VAŽNO!

Greda T- presjeka na ležaju (tlačno područje

dolje), neutralna os siječe rebro, proračunava se

kao pravougaoni presjek širine bw i visine h.

Dvostruko armirani pravougaoni presjek opterećen na moment savijanja ( MSd > MRd,lim )

Primjer 1: dimenzionisanje dvostruko armiranog pravougaonog

presjeka na moment savijanja.