2algebra (jun agost)

ALGEBRA 6º PRIM.

ALGEBRA-JUNIO-JULIO-

AGOSTO-

PRIMARIA

LISTOMISS

CEL.: 993 466 317

1

ALGEBRA 6º PRIM.

2

M E S D E :

“S i no puedes tener aquello que hubieras aprec iado,aprec ia aquello que tienes”

ALGEBRA

ALGEBRA 6º PRIM.

3

ALGEBRA 6º PRIM.

ÁLGEBRA

Niels Henrik Abel, nacido el 5 de Agosto de 1802, y muerto el 16 de Abril de 1829, fue un brillante matemático noruego. Ganó un ancho reconocimiento a la edad de 18 con su primer trabajo, en que probó que la ecuación general de quinto grado es insoluble por procedimientos algebraicos.

Abel fue instrumental en establecer el análisis matemáticos en una base rigurosa. En su mayor trabajo "Recherches fonctions elliptiques" (Investigaciones en funciones elípticas, 1827), revolucionó la comprensión de las funciones elípticas al estudiar el universo de estas funciones.

4

ALGEBRA 6º PRIM.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es un conjunto de constantes y variables con exponentes racionales, relacionados

a través de las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y

radicación, es un número finito de veces.

Ejms : 4x2 + 2x – 1

x2 – 2xy +

xy–2 + x–2y + 1

ELEMENTOS DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

CLASIFICACIÓN

MONOMIO: Un monomio de una variable es una expresión de la forma:

axn

Donde a es una consonante (coeficiente del monomio) y n es un entero positivo.

POLINOMIO: Es una expresión algebraica que consta de dos o más

términos en una cantidad finita de estos.

A los polinomios de dos términos se les denomina BINOMIOS, a los de tres

términos TRINOMIOS; a los de cuatro términos CUATRINOMIOS; en general se les

llamará POLINOMIOS.

Ejemplos :

5

4 x y2 3

Variab lesC o eficien te

E xp o n en tes

2

3 2

4 2

5 6 Binomio

8 6 Trinomio Polinomio

7 3 6 4 Cuatrinomio

x x

x x

x x x

ALGEBRA 6º PRIM.

I. GRADOS DE UN MONOMIO

1. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)Está dado por la suma de exponentes de sus variables.

2. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)Está dado por el exponente de la variable referida.

Ejemplo :

2 557

x y z

II. GRADOS DE UN POLINOMIO (G.A.)

1. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (G.A.)Está dado por el MAYOR GRADO de los monomios.

2. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)

Está dado por el MAYOR DE LOS EXPONENTES de la variable referida.

Ejemplos :

A) Dado el Polinomio :

3 4 2 4 6 2 45 7 2 13

. . 7 G.A. 6 G.A. 8 G.A. 5

x y x y x y x y

G A

B) Dado el Polinomio :

4 5 2 2 4 3 7 2 55 6 3

. . 11 G.A. 9 G.A. 14

x y z x y z x y z

G A

6

( )

( )

( )

. . 2 5 1 8

. 2

. 5

. 1

x

y

z

G A

G R

G R

G R

( )

( )

. . 8

. 6

. 4

x

y

G A

G R

G R

( )

( )

( )

. . 14

. 7

. 5

. 5

x

y

z

G A

G R

G R

G R

ALGEBRA 6º PRIM.

Halla:

1. El grado relativo de cada polilnomio con respecto a la variable “x”

2. El grado absoluto de cada polinomio.

7

Polinom io G .R.(x) G .A .

6x3–x7–x5 246 +

8–x5x6–x1 1 643 +

7–yx5–yx8–xy2 63425

1 6–zyx–zyx3 23423

1b1a22–b1a2ba yx6yx5–yx2 +++ +

b1a8b5a2b3a yxyx6,0–yx4,0 +++++ +

1 1–zxy6–yzx9–xyz8 64389

2332 yx5–axy9yax6 +

532643 zyxyzx5–yzx8 +

3432343 yx4–yxb7–ybx3

62423235 zyx–zyx31byx

53 +

71 01 151 09 yx6yx2yx3 ++

324865 yx4–yx6yx32

+

25432 yx6n xy2–ym x +

zyx57–yxzyx 321 21 025 +

ALGEBRA 6º PRIM.

Halla :

1. El grado relativo de cada polinomio con respecto a la variable «m».

2. El grado absoluto de cada polinomio.

TÉRMINOS SEMEJANTES

8

a)

b)

c )

d)

e)

f )

g)

h)

i )

j )

k )

l )

m )

n)

o)

Polinom io G .R .(m ) G .A .

42246 nm–nmm +

3254 bmmbmb ++

65432 bmbabma5 ++

4234 yx6–m4mx +

ynmm n–nm7 47724 +

10951074 xabxa4–mba9 +

4753 abmxma4 ++

765432 nmxynm2–xnm4 +

987 m nmm ++

ynm–mm9 4779 +

879 xnm6–xy +

6752226 yx2yxmyx9 ++

34624 ym xm n–nm +

835974 ba5–mabmba6 +

455763 yx5m x11–xbca14 +

ALGEBRA 6º PRIM.

Son aquellos que tienen la misma parte variable.

Ejemplo :

2 37

T1

x y

;

4 5

T2

xy

;

2 3

T3

x y

;

4 4 2

T4

x y

;

2 3 8

T5

x y

a) Los términos T 1 , T 3 y T 5 tienen la misma parte variable 2 3 x y , por

lo tanto son SEMEJANTES.

b) Los términos T 2 y T 4 no tienen la misma parte variable, por lo

tanto NO SON SEMEJANTES.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES :

Es un proceso que consiste en transformar dos o más términos semejantes en uno

solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo a continuación del

resultado la misma PARTE VARIABLE que aparece en los términos.

Ejemplos :

Reducir :

1.2 2 2 2 28 6 3 (8 6 3) 11 x x x x x

2.

1 3 + 6 – 7 – 4 = (1 3 – 7 ) + (6 – 4 ) = 6 + 2m n m n m n m n

3.

7 + 1 0 + 2 – 4 = (7 – 4 ) + (1 0 + 2) = 3 + 12 x y x y x y x y x y xy x y xy2 7 7 7 2 7 2 7 7 2 7 7

Reduce los siguientes términos semejantes :9

M E S D E :

“U nicamente la obedienc ia,tiene derecho al mando”

ALGEBRA 6º PRIM.

1. 2x2

y – x2

y + 3x2

y =

2. 18x – 10x – +7x =

3. 14m – 3m + 4m =

4. n2

y + 20n2

y – 19n2

y =

5. 43x – 21x =

6. 8a + 9a – 16a =

7. ab2

+ 7ab2

+ 9ab2

=

8. m5

+ 4m5

+ 6m4

– 2m4

=

9. 3xm

+ 5xm

– 6xm

=

10. 26x3

– 8x3

+ 9x2

=

11. 7x2

y + 8x3

y4

– 5x3

y4

– 6x2

y =

12. 5m6

+ 4m5

– 2m6

=

13. 3m7

n + 2m5

n4

– m7

n – m5

n4

=

14. 5a7

b2

– 3a7

b2

+ 10ax5

– 5ax5

=

15. 8x4

y + 7x4

y2

– 6x4

y – 2x4

y2

=

16. x5

+ 4x6

+ 2x5

=

17. m5

+ m4

+ 3m4

=

18. 4x + 3x2

+ 5x3

+ 6x =

19. 7m8

n4

– 5m9

n8

+ 2m8

n–4

=

20. 4xy5

+ 2xy6

– xy5

=

10

ALGEBRA 6º PRIM.

11

ALGEBRA

ALGEBRA 6º PRIM.

ÁLGEBRALAGRANGE, JOSEPH LOUIS DE

El físico francés Joseph Louis, conde de Lagrange,

nacido en Ene. 25, 1736, muerto en Abr. 10, 1813, fue

uno de los científicos matemáticos y físicos más

12

ALGEBRA 6º PRIM.

importantes de finales del siglo XVIII. Inventó y maduró el cálculo de variaciones y

más tarde lo aplicó a una nueva disciplina la Mecánica Celestial, sobre todo al

hallazgo de mejores soluciones al problema de tres cuerpos. También contribuyó

significativamente con la solución numérica y algebraica de ecuaciones y con la

teoría numérica y algebraica de ecuaciones y con la teoría numérica. En su clásica

Mecanique analytique (Mecánicas Analíticas, 1788), transformó las mecánicas en

una rama del análisis matemático. El tratado resumió los principales resultados

sobre mecánicas que se saben del siglo XVIII y es notable por su uso de la teoría

de ecuaciones diferenciales. Otra preocupación central de Lagrange fueron los

fundamentos de cálculo. En un libro de 1797 él enfatizó la importancia de la serie

de Taylor y el concepto de función. Su busqueda por rigurosas fundaciones y

generalizaciones le pone la base a Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel, y Karl

Weierstrass en el siguiente siglo.

Lagrange sirvió como profesor de geometría en la Escuela Real de Artillería en

Turín (1755 - 66) y ayudó allí a fundar la Academia Real de Ciencias en 1757. A

causa del exceso de trabajo y pobre paga, su salud desmojoró, dejándolo con una

debilidad de por vida. Cuando Leonhard Euler dejó la Academia de Ciencias de

Berlin, Lagrange tuvo éxito como director de la sección matemática en 1766. En

1787 salió de Berlín para llegar a ser miembro de la Academia de Ciencias de

Paris, donde se mantuvo por el resto de su carrera.

Un hombre dócil y diplomático, Lagrange sobrevivió la revolución francesa.

Durante los 1790s trabajo en el sistema métrico y defendió la base decimal.

También enseñó en el Ecole Polytechnique, que ayudó a fundar. Napoleón lo

nombró miembro de la legión de Honor y del Imperio en 1808.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

1) ADICIÓN DE POLINOMIOS

* La suma suele indicarse incluyendo los sumandos dentro del paréntesis; así:

Ejemplo: Dado los polinomios:

13

ALGEBRA 6º PRIM.

2 2

2 2

2 2 2 2

3 3 5

2 2 Hallar A+B

3 3 5 2 2

A x xy y

B x xy y

A B x xy y x xy y

Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de otros con sus propios signos y tendremos:

A + B = x + x y + y + x – x y – y3 3 5 2 22 2 2 2

A+B = 4x2 + xy + 3y2

* En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros de modo que los términos semejantes queden en columna, luego se efectúa la reducción de dichos términos.

2 2

2 2

2 2

3 3 52 2

4 3

A x xy yB x xy y

A B x xy y

OBSERVACIÓN: Un signo de agrupación precedido del signo (+) se elimina,

sin cambiar de signo a todos los términos escritos dentro del signo de

agrupación

2) SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Ejemplo: Dados polinomios

P = 6x4 + 4x2 + 4

Q=– 4x4 + 2x2 + 3 Hallar P – Q

* La sustracción se indica incluyendo el sustraendo en un paréntesis precedido del signo - así:

14

ALGEBRA 6º PRIM.

P – Q= 6x4 + 4x2 + 4 – (– 4x4 + 2x2 + 3)

Ahora dejamos el minuendo con su propio signo y a continuación escribimos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos.

P – Q = x + x + + x – x – 6 4 4 4 2 34 2 4 2

P – Q = 10x4 + 2x2 + 1

* En la práctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de modo que los términos semejantes queden en columna, luego se efctúa la reducción de dichos términos.

4 22

4

4 2

6 4 44 2 3

10 2 1

P x xB x x

P Q x x

OBSERVACIÓN: "Un signo de agrupación precedido del signo (–) se

elimina, cambiando de signo a todos los términos escritos dentro del signo de

agrupación".

IMPORTANTE

Ejemplo :

Efectuar : 8x2 + 7x + 6 –(–2x2 + 5x – 9)

Solución :8 7 6 2 5 9x + x + + x – x +2 2

210 2 15x x

15

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

ALGEBRA 6º PRIM.

1. Dados los polinomios :

A = 5x3 + 6x2 + 6x + 9

B = –2x3 – 2x2 – 4x + 6

C = x3 – 3x2 + 3x – 8

Hallar A + B + C


A = 3x4 + 8x2 + 2x3 + x + 6

B = 6x2 – x3 + 8 + 5x4

C = 9x4 – 7x2 + 13x – 4

Calcular A + B + C

3. Hallar A – B sabiendo que :

A = 4x3 + 5x2 + x + 8

B = –3x2 + 6

4. Hallar A – B sabiendo que :

A = 10x2 – 7x4 + 6x + 9

B = 4x2 – 5 + 3x


16

ALGEBRA 6º PRIM.

A = 3x5 + 2x4 + 6x + 16

B = 10x4 + 2x3 – 5x + 4

C = 2x5 – 8x4 + x3 + 12

Calcular : (A + B – C)

6. Elimina los signos de agrupación y halla el resultado :

a) 6x4 – (3x4 – 2x + 1) =

b) 2x3 – (– 4x – 2x3) =

c) 7x4 – ( 6x – 5 – 2x4) =

d) 8x3 – 3x4 + 1 + (2x2 + 3x2 + 5) =

e) 5x3 – (2x3 – 4) + (3x2 + 6) =

f) 3x4 – [– 3x4 + 6x2 + x – (2x4 + 3)] =

g) 8x4 + [– 5x4 – (2x4 – 3x + 4)] =


A = 3x5 + 2x4 + 7x2 + 8x + 9

B = 5x4 + 8x3 – 5x2 – 3x + 4

C = 2x5 – 2x2 – 6

17

ALGEBRA 6º PRIM.

Hallar :

a) A + B b) A + C c) A + B + C d) A – C


A = 3x4 + 2x2 + 6x3 + 8

B = 7x2 + 9x + 11

C = –7x + 5x3

D = x2 – 4x4 + 1

Hallar :

a) A + B b) B + C c) B + D

d) B – D e) A + B + C f) A – C

3. Elimina los signos de agrupación y halla el resultado :

a) (a + b) + (b + c) + (c + d) + (a – c) =

b) (5x + 7y + 8) – (2x + 3y – 4) =

c) (a + b + c) + (2a + 2b – c) =

d) (m2 + 2mn) – (mn + n2) =

e) (x3 + 8xy2 + y3) – (5xy2 + x3 – y3) =

f) (5ab – 3bc + 4cd) + (2ab – 3cd) =

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar expresiones algebraicas, estudiaremos los siguientes casos :

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Se multiplican los coeficientes y las partes literales de cada monomio.

Ejem. : Multiplicar : (2a2) (3a3)

(2a2) (3a3) = 2.3.a2.a3 = 6a2+3 = 6a5

18

ALGEBRA 6º PRIM.

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo

en cuenta, en cada caso, la regla de los signos y se separan los productos

parciales con sus propios signos.

Ejem. : Multiplica :

(3x2 – 6x + 7) (4ax2)

(3x2 – 6x + 7) (4ax2) = 3x2 (4ax2) – 6x (4ax2) + 7 (4ax2)

= 12ax4 – 24ax3 + 28ax2

MULTIPLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN POLINOMIO

Se multiplican todos los términos del 1er. factor por cada uno de los términos del

2do. factor; y SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES.

Ejem. : Multiplica :

(a2 - 2a + a3) (a3 + 1)

Existen 2 formas de desarrollar que son :

Primera Forma:

(a2 – 2a + a3) (a3 + 1) =

a2 (a3) + a2 (1) – 2a (a3) – 2a (1) + a3 (a3) + a3 (1) =

a5 + a3 – 2a4 – 2a + a3 + a3

Ordenando :

a5 + a2 – 2a4 – 2a + a6 + a3

Segunda Forma:

(a2 – 2a + a3) (a3 + 1) =

Ordenando :

a3 + a2 – 2a

a3 + 1

__________

+ a3 + a2 – 2a

a6 + a5 – 2a4

________________________

a6 + a5 – 2a4 + a3 + a2 – 2a19

ALGEBRA 6º PRIM.

Multiplicar:

1. (x2+xy + y2) (x – y) 2. (a2+b2 - 2ab) (a – b)

3. (a2 + b2 + 2ab) (a + b) 4. (x3 – 3x2 + 1) (x + 3)

5. (a3 – a + a2) (a – 1) 6. (m4 + m2n2 + n4) (m2 –

n2)

7. (x3 – 2x2 + 3x – 1) (2x + 3) 8. (3y3 + 5 – 6y) (y2 + 2)

1. (m3 – m2 + m) (am + a)

20

6to. G rado

LÓ GI CO M A T E M Á T I CO

ALGEBRA 6º PRIM.

2. (3a2 – 5ab + 2b2) (4a – 5b)

3. (5m4 – 3m2n2 + n4) (3m – n)

4. (a2 + a + 1) (a + 1)

5. (x3 + 2x2 – x) (x2 – 2x)

6. (x2 + 1 + x) (x2 + x)

7. (m3 – 4m + m2) (m3 + 1)

8. (n2 – 2n + 1) (n2 – 1)

9. (2y3 + y – 3y2) (2y + 5)

10. (3x3 – a3 + 2ax2) (2a2 – x2)

21ALGEBRA

ALGEBRA 6º PRIM.

22

ALGEBRA 6º PRIM.

GAUSS, CARL

Carl Friedrich Gauss, nacido el 30 de Abril de 1777 y muerto el 23 de Febrero de 1855, fue un matemático alemán quien dominó la comunidad matemática durante y después de su vida. Un prodigio de niño, Gauss aprendió a leer y la aritmética a la edad de tres años. Al reconocer su talento, el Duque de Brunswick en 1792 le proveyó con un sueldo para así permitirle seguir su educación. Mientras todavía asiste a la

23

ALGEBRA 6º PRIM.

Universidad de Caroline (1792-95), Gauss formuló el método de los menos-cuadrados y una conjetura en la distribución de números primos entre todos los números; el más reciente fue probado por Jacques Hadamard en 1896. Durante este período Gauss no tenía acceso a una buena biblioteca matemática y por eso redescubrió muchos teoremas ya aceptados. La situación cambió en 1795, cuando fue a Gottingen con su excelente biblioteca.

En 1795 Gauss descubrió el teorema fundamental de residuos cuadráticos, que tratan del concepto de congruencia en la teoría del número. En 1796 hizo su primera marca como un matemático serio por probar la posibilidad de construir un polígono regular de 17 lados usando sólo una regla y un compás. Los próximos 4 años le fueron muy productivos. Le venían ideas tan rápidamente que podría seguir sólo algunas de ellas. En 1799 la Universidad de Helmstedt le concedió a Gauss un Ph.D. grado por una disertación que dio la primera prueba del teorema fundamental del álgebra.

Gauss tuvo dos realizaciones mayores en 1801. La primera fue la publicación de su Disquisiciones aritméticas, un tratado en teoría del número, que contuvo sus soluciones a muchos problemas sin liquidar. Este libro fija bases para investigaciones futuras dándole un mayor reconocimiento entre los matemáticos de su tiempo. La segunda fue debido al descubrimiento del asteroide Ceres. Se había observado brevemente en el enero de 1801 pero entonces había desaparecido de vista. Gauss calculó la órbita usando una mejor teoría y predijo donde y cuando Ceres reaparecería. Cuando la predicción fue probada correcta, la fama de Gauss se extendió a lo lejos y ancho. Subsiguientemente aceptó una segura posición financiera como astrónomo en el Observatorio Gottingen.

Para cumplir su sentido de responsabilidad cívica, Gauss emprendió un estudio geógrafo de su país el cual le dio mucho campo de trabajo. En su “trabajo teórico en topografía”, Gauss desarrolló resultados que requirió de estadísticas y geometría diferencial. Durante los 1820 con la colaboración del físico Wilhelm Weber, exploró muchas áreas de física, incluso magnetismo, mecánica, acústica, y óptica. En 1833 construyó el primer telégrafo. Se pulieron las publicaciones de Gauss y se finalizaron algunos de sus trabajos lo que abrió nuevos caminos para la investigación y sembró semillas para mucho trabajo en el futuro. Hasta la fecha se han publicado 12 volúmenes de su trabajo.

Sabias que!! Las áreas de las figuras geométricas nos permiten "demostrar" identidades algebraicas. Ejemplo:

24

ALGEBRA 6º PRIM.

a

a

a– b

a

a– b=

a–b

2 2a b (a b)(a b)

DIVISIÓN DE MONOMIOS

Para dividir monomios, procedemos a dividir los coeficientes y aplicamos la teoría de exponentes (división de bases iguales) para la parte literal.

Ejemplo:

5 8 102 6 0 2 6

3 2 1065

13 135

x y zx y z x y

x y z

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

El procedimiento para dividir un polinomio entre un monomio es el mismo que realizamos en la división entre monomios sólo que ahora el monomio dividirá a cada término del polinomio.

Ejemplo:5 9 4 7 10 15 5 9 4 7 10 15

3 5 3 5 3 5 3 5

2 4 1 2 7 10

30 10 4 30 10 4

2 2 2 2

15 5 2

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

4 5 3 4 5 3

3 3 3 3

2 0

2

16 24 32 16 24 328 8 8 8

2 3 4

2 3 4

x x x x x xx x x x

x x x

x x

P R A C T IQ U E M O S

25

N o ta: ( – ) ( – )= (+ )(+ )(+ )= (+ )( – )(+ )= ( – )(+ )( – )= ( – )

L ey d e sign o s:

ALGEBRA 6º PRIM.

Dividir :

1.

2 a aba 2.

2 3 2 4

29 6

3

x y a y

x

3.

3 2 2 33 – 5 – 6–

a ab a ba 4.

8 6 4

34 –10 – 6

2x x x

x

5.

10 15 16 10 8 12

4 820 –18 14

2a b a b a b

a b 6.

6 12 10 18 8 20

4 1016 – 20 32

–4

x y x y x y

x y

7.

6 4 5 12 10 13

4 35 –10 5

5

x y x y x y

x y

8.

12 18 10 16 12 17

7 12

24 – 18 102

x y x y x yx y

9.

5 9 10 8 3 4

3 4

30 15 – 55

x y x y x yx y 10.

6 7 3 10 5 4

2

4 – 2 82

x y x y x yx y

TRABAJEMOS EN CASA

Dividir :

26

ALGEBRA 6º PRIM.

1.

7 5 6 7 7 6

2

12 – 6 153

x y x y x yx y

2.

4 12 9 10 6 7

3 6

44 – 24 16–4

x y x y x yx y

3.

6 7 12 18 18 12 7 9

2 5

10 – 5 15 – 205

x y x y x y x yx y

4.

5 6 6 10 4 5

3 4

2 – 8 42

x y x y x yx y

5.

6 5 4 6 3 5

3

10 –15 55

x y x y x yxy

6.

5 6 9 15 7 10

4 5

12 – 48 66

x y x y x yx y

7.

4 5 3 9 7 10

4

20 –12 164

x y x y x yxy

8.

10 12 25 17 12 10

7 8

32 – 64 168

x y x y x yx y

9.

8 7

5 2

162

x yx y 10.

5 7

6

93x yxy

PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellos productos que al presentar cierta forma particular, evita que se efectué la operación de multiplicación escribiendo directamente el resultado.

27

ALGEBRA 6º PRIM.

I. CUADRADO DE UN BINOMIO

2 2 2

2 2 2

2

2

a b a ab b

a b a ab b

Ejemplos:

1.

2 2 2

2

5 2 5 5

10 25

x x x

x x

2.

2 2 2

2

3 2 3 3

6 9

y y y

y y

3.

2 2 23 3 3

6 3

3 2 3 3

6 9

Z Z Z

Z Z

4.

2 2 2

2 2

2 3 2 2 2 3 3

4 12 9

a b a a b b

a ab b

5.

2 2 23 3 3

6 3 2

2 5 2 2 2 5 5

4 20 25

a y a a y y

a a y y


Efectuar :

1. (x + 1)2 =

28

ALGEBRA 6º PRIM.

2. (m – 8)2 =

3. (x4 + 3)2 =

4. (4x + y)2 =

5. (2a – b)2 =

6. (3a3 + 8b)2 =

7. (x7 – 6)2 =

8. (2a + 6b)2 =

9. (2a3 + 4b4)2 =

10. (x4 – 3y3)2 =

PRACTIQUEMOS EN CASA

Resolver :

1. (3x + 8b)2 2. (7x + 11)2 3. (a2 + 10b)2 4. (m + n)2

5. (y + 4)2 6. (6 + a)2 7. (2a – b2)2 8. (10m3 – 8y5)2

9. (x – 3)2 10. (m3 - 4)2

29

ALGEBRA 6º PRIM.

II. CUBO DE UN BINOMIO

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3

3 3

a b a a b ab b

a b a a b ab b

Ejemplos :

1.

3 3 2 2 3

3 2

3 3 3 3 3 3

9 27 27

y y y y

y y y

2.

3 3 2 2 3

3 2

4 3 4 3 4 4

12 48 64

m m m m

m m m

3.

3 2 2 2 3

2 2 2 3

4 2 4 3 4 2 3 4 2 2

16 96 48 8

x y x x y x y y

x x y xy y

4.

3 2 2 2 33 3 3 3

6 6 3 2 3

2 3 2 3 2 2

6 12 8

x b x x b x b b

x x b x b b


Efectuar :

1. (4x + 5)3 =

30

ALGEBRA 6º PRIM.

2. (a + 3)3 =

3. (2m + 3n)3 =

4. (a2 – 2b)3 =

5. (2a + x)3 =

6. (1 + x)3 =

7. (a2 + 8)3 =

31

ALGEBRA 6º PRIM.

8. (a2 + 2b)3 =

9. (1 – b2)3 =

10. (1 – 3m)3 =

PRACTIQUEMOS EN CASA Resolver :

1. (x – 1)3 2. (x – 2)3 3. (4a + 5)3 4. (m2 – 3n)3

5. (n + 2)3 6. (a – 1)3 7. (x + 3)3 8. (a – 4)3

9. (2x + 1)3 10. (4c – 3)3

32

2algebra (jun agost)

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