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IF { UFRJ { 2004/1F¶³sica 1 { IFA (prof. Marta)

GUIA DE ESTUDO 2M¶odulo 2: As Leis do Movimento

1. INTRODUC» ~AO

Neste m¶odulo, estudaremos os princ¶³pios da dinamica | a descri»c~ao do movi-mento de um corpo a partir de suas intera»c~oes. Esta discuss~ao tem por baseas Leis de Newton. Discutiremos estas leis, os conceitos de for»ca, massa,referenciais inerciais, e faremos aplica»c~oes.

Leituras indispens¶aveisOs t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 4 (se»c~oes 4.1 a 4.5) e 5(se»c~oes 5.1 a 5.3), e as se»c~oes 13.1 e 13.2 do cap¶³tulo 13 do livro texto, de H.M. Nussenzveig.

2. ATIVIDADES EM SALA DE AULA

Atividade 1

Discuss~ao

{ da lei da in¶ercia e o conceito de referenciais inerciais (se»c~oes 4.1 e4.2);

{ do conceito de for»ca e massa, e a segunda lei de Newton (se»c~oes 4.3e 4.4);

{ da terceira lei de Newton (se»c~ao 4.5);

{ das intera»c~oes fundamentais (se»c~ao 5.1);

{ e dos exemplos 1 a 6 da se»c~ao 4.5 do livro texto (p¶ag. 78 a 80).

Atividade 2

Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 1, 2 e 3 da lista 6, sobre Dinamica.

Atividades extras 1

1. Leia todo o cap¶³tulo 4 do livro.

2. Resolva os exerc¶³cios 4, 5, 10 e 11 da Lista 6.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 | p. 2

3. Resolva os problemas 4.1, 4.2, 4.4 e 4.6 do livro texto.

Atividade 3

Discuss~ao sobre as intera»c~oes fundamentais e as for»cas de contato (se-»c~oes 5.1 a 5.3 do livro texto) e os exemplos 1 a 3 da se»c~ao 5.3.

Atividade 4

Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 8 e 14 da Lista 6.

Atividades extras 2

1. Leia todo o cap¶³tulo 5.

2. Releia o cap¶³tulo 4.

3. Resolva todos os exerc¶³cios j¶a feitos novamente.

4. Resolva os exerc¶³cios 16 a 21 da Lista 6.

Atividade 5

Discuss~ao da cinem¶atica da rota»c~ao (se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto) eo exemplo 4 da se»c~ao 5.3 do livro texto.

Atividade 6

Resolu»c~ao de problemas das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Dina-mica), 7 (Movimento Relativo) e 8 (Referenciais N~ao Inerciais).

Atividades extras 3

1. Leia as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto.


3. Resolva os exerc¶³cios 18 a 24 do cap¶³tulo 3 do livro texto.

4. Resolver problemas que ¯caram para tr¶as no Guia de Es-tudo 1, das listas 1, 2 e 3.

Atividade 7

Resolu»c~ao dos problemas 20 e 25 da Lista 6.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 | p. 3

Atividade 8

Discuss~ao dos conceitos de velocidade relativa (se»c~ao 3.9), mudan»ca desistema de referencia, referenciais inerciais e n~ao inerciais (se»c~oes 13.1,13.2 e 13.3 do livro texto), exempli¯cando com exerc¶³cios das Listas 8e 9.

3. ATIVIDADES FINAIS DO M¶ODULO 2

1. Releia os cap¶³tulos 4 e 5 do livro texto.

2. Termine a lista de exerc¶³cios de 6, sobre Dinamica.

3. Fa»ca os exerc¶³cios do Cap¶³tulo 4 e 5 do livro texto.

4. Releia os cap¶³tulos 2 e 3, fazendo todos os exerc¶³cios que faltavam(inclusive os de movimento circular e de movimento relativo).

5. Leia as se»c~oes 13.1, 13.2 e 13.3 do livro texto.

6. Resolva os problemas 1, 3 e 4 do cap¶³tulo 13 do livro texto.

7. Resolva todos os exerc¶³cios das Listas 5 (Vetores Novamente), 6 (Dina-mica), 7 Cinem¶atica do Movimento Circular), 8 (Movimento Relativo)e 9 (Referenciais N~ao Inerciais).

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 4


Lista de exerc¶³cios 5

Vetores Novamente

1. Represente em termos dos unit¶arios ³, ^ das dire»c~oes x; y os vetoresrepresentados na ¯gura.

x

y

1 21−−

2

1

32−−

1−−3−−

2−−

ar

br

cr

2. Considere os vetores:

~a = 3 ³ + 2^

~b = ¡ ³ + 2^

~c = 2 ³¡ ^

~d = ¡2 ³¡ 3^

(a) Represente cada um destes vetores num plano (x; y).

(b) Represente neste plano os vetores ~a +~b e ¡ 2~c.

(c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores

(i) ~a

(ii) ~b

(iii) ~d

(iv) ~a+~b

(v) 3~c

(vi) ~a¡ 2~b

(vii) ~c+ ~d

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 5

3. O produto escalar de dois vetores ¶e uma opera»c~ao que associa a doisvetores ~a e ~b um n¶umero real de valor igual a ab cos µ , onde µ ¶e oangulo entre ~a e ~b , medido de ~a para ~b . Usa-se a nota»c~ao ² pararepresentar o produto escalar. Da ¯gura e da de¯ni»c~ao, observa-se que

~a ²~b = a b cos µ = a ba ;

onde ~ba ¶e a proje»c~ao de ~b sobre a dire»c~ao de¯nida por ~a .

abr

ar

br

θθ

Demonstre que

(a) ~a ²~a = a2.

(b) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a ²~b = 0 , ~a?~b.(c) i ² ^= 0 ; ³ ² ³ = 1 ; ^² ^ = 1 .

(d) ax = ~a ² ³

(e) ~a ²~b = ~b ²~a(f) ~a ²

³~b+ ~c

´= ~a ²~b+ ~a ² ~c.

(g) Se ~a = ax ³ + ay ^+ az k e ~b = bx ³ + by ^+ bz k , ent~ao

~a ²~b = ax bx + ay by + az bz

4. Para ~a = ³¡ 2^, ~b = 2 ³ + 3^ e ~c = ¡ ³ + ^ calcule

(a) ~a +~b

(b) ¡ 3~c

(c) 2~a ¡~b(d) ~a ²

³~b+ ~c

´

(e) ~b ² (~a¡ 2~c)

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 6

5. Um bloco de massa m est¶a apoiado e em repouso sobre um plano in-clinado de um angulo ® em rela»c~ao µa horizontal.

x

y

(a) Isole o bloco e indique todas as for»cas que atuam sobre ele.

(b) Com os eixos da ¯gura, calcule a componente x e a componente yde cada uma das for»cas atuando sobre o corpo.

(c) Calcule o m¶odulo de cada uma das for»cas e o angulo entre cadauma delas e o eixo x.

6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as for»cas constantes, ex-pressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de umsistema de coordenadas cartesianos como

~F1 = ³ + 2^¡ 3 k

~F2 = ^¡ k

~F3 = ¡ i +^

O observador que descreve este sistema ¶e um observador inercial.

(a) Calcule a for»ca resultante sobre este corpo.

(b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas for»cas e dafor»ca resultante.

(c) Calcule o angulo que a for»ca ~F1 faz com o eixo x.

(d) Calcule o angulo entre as dire»c~oes das for»cas ~F2 e ~F3.

(e) Obtenha o angulo que a for»ca resultante faz com o eixo z.

(f) Obtenha o vetor unit¶ario da dire»c~ao de¯nida pela for»ca ~F1.

(g) Qual o vetor acelera»c~ao deste corpo?

(h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale ~v± = 12^¡16 k,e sua posi»c~ao em rela»c~ao a um ponto ¯xo para o observador valevecr± = 0, qual a trajet¶oria que o corpo descreve?

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex5 | p. 7

7. Considere o vetor posi»c~ao de uma part¶³cula de massa m = 0; 5 kgmedido por um observador ¯xo a um sistema inercial:

~r(t) = 5 t2 ³ + (10 t¡ 4) ^+ 6 exp (¡2 t) k.

(a) Obtenha o valor do vetor posi»c~ao desta part¶³cula nos instantes detempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s.

(b) Obtenha a express~ao que descreve a velocidade desta part¶³culacomo fun»c~ao do tempo, ~v(t).

(c) Obtenha a express~ao que descreve a acelera»c~ao desta part¶³culacomo fun»c~ao do tempo.

(d) Calcule os valores da velocidade e da acelera»c~ao da part¶³cula nosinstantes t = 1 s e t = 4 s.

(e) Calcule a for»ca resultante sobre a part¶³cula no instante t = 4 s.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 8



Dinamica de uma Part¶³cula

1. Quais as for»cas que atuam sobre a ma»c~a da ¯gura? Onde est~ao asrea»c~oes a essas for»cas? Considere as mesmas perguntas com a ma»c~acaindo. Despreze a resistencia do ar.

2. Ao caminhar, a for»ca de atrito ¶e que aparentemente produz o movi-mento. Qual o sentido desta for»ca? Explique.

3. Um homem de peso PH, de p¶e sobre uma superf¶³cie, empurra umarm¶ario de peso PA. Considerando a existencia de atrito entre a su-perf¶³cie do sapato do homem e o ch~ao, bem como entre o arm¶arioe o ch~ao, esquematize claramente as for»cas aplicadas no arm¶ario, nohomem e no ch~ao. Especi¯que a origem de cada uma dessas for»cas.

4. Uma part¶³cula tem um peso de 22 N num ponto onde g = 9; 8m=s2. (a)Quais s~ao o peso e a massa da part¶³cula, se ela for para um ponto noespa»co onde g = 4; 9 m/s2? (b) Quais s~ao o peso e a massa da part¶³cula,se ela for deslocada para um ponto do espa»co onde a acelera»c~ao de quedalivre seja nula?

5. Suponha que no futuro a \ Companhia de Pesquisas Lunares" montelaborat¶orios na Lua e na Terra, mantendo um servi»co de foguetes entreeles. Nos dois laborat¶orios s~ao usados quilograma-padr~ao. Um bloco demasa 10 kg ¶e usado como \carrinho" para experiencias em uma mesasem atrito, sendo acelerado na Terra e na Lua. (a) Quando o blocoest¶a na Lua, sua massa ¶e igual µa massa lida na Terra?

Os experimentadores possuem uma balan»ca de mola A, calibrada emNewtons. Eles a usam para puxar o bloco por uma mesa lisa com umafor»ca de 4 N. (b) No laborat¶orio da Terra, com uma for»ca de 4 N, qualser¶a a acelera»c~ao do bloco? Explique. (c) No laborat¶orio da Lua, coma mesma for»ca de 4 N, qual ser¶a a acelera»c~ao do bloco? Explique.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 9

Os experimentadores possuem tamb¶em uma balan»ca de mola B, n~aograduada. No laborat¶orio da Terra, eles a calibram em \quilogramas-peso", suspendendo em sua extremidade quilogramas-padr~ao. Outrabalan»ca n~ao graduada C est¶a dispon¶³vel. Ela ¶e calibrada no Labo-rat¶orio da Lua, da mesma forma que B foi na Terra, e sua unidade¶e \quilograma-peso". (d) No laborat¶orio da Terra, puxa-se o mesmobloco com a balan»ca de mola B (calibrada em quilogramas no Labo-rat¶orio da Terra). Se a leitura da balan»ca for 2,0, qual ¶e a acelera»c~aodo bloco? (e) No laborat¶orio da Lua, o mesmo bloco ¶e puxado com amesma balan»ca B (calibrada na Terra e enviada de foguete para Lua).Se a leitura for 2,0, a acelera»c~ao do bloco ser¶a maior, menor ou igualµa encontrada no item anterior? Explique. (f) No laborat¶orio da Lua,o mesmo bloco ¶e puxado, agora com o aux¶³lio da balan»ca C (calibradana Lua). Se a leitura for 2,0, a acelera»c~ao do bloco ser¶a maior, menorou igual µa encontrada no item (e)?

6. Dois blocos, de massas M e m, est~ao em contato apoiados sobre umamesa horizontal lisa. Uma for»ca ~F de m¶odulo F e que faz um angulo µcom a horizontal ¶e aplicada sobre o bloco M , como mostrado na ¯gura.Calcule o valor da for»ca de contato entre os dois blocos em fun»c~ao dosdados do problema e da acelera»c~ao da gravidade g. Calcule tamb¶em osvalores da normais de contato entre os blocos e a superf¶³cie.

Fr

M mθθ

6Ex.

Fr

1m

2m

7Ex.

7. Dois blocos est~ao em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma for»cahorizontal ¶e aplicada a um dos blocos, como mostrado na ¯gura. (a) Sem1 = 2; 3 kg, m2 = 1; 2 kg e F = 3; 2 N, determine a for»ca de contatoentre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma for»ca F for aplicadaa m2, ao inv¶es de m1, a for»ca de contato entre os dois blocos vale 2,1N, que n~ao ¶e o mesmo valor obtido no item (a). Explique a diferen»ca.

8. Tres blocos s~ao ligados, como mostrado na ¯gura abaixo, por ¯os demassa desprez¶³vel. Os blocos est~ao apoiados sobre uma mesa horizontal

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 10

lisa, e s~ao puxados para a direita por uma for»ca horizontal de m¶oduloT3 = 65; 0 N. Se m1 = 12; 0 kg, m2 =24,0 kg e m3 =31,0 kg, calcule(a) a acelera»c~ao do sistema e (b) as tens~oes T1 e T2 da ¯gura.

1m 2m 3m

1T 2T

3Tr

8Ex.

9. Um arquivo, com peso de 556 N, est¶a parado sobre o ch~ao. O coe¯cientede atrito est¶atico entre ele e o ch~ao ¶e 0,68 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,56.Em quatro diferentes tentativas para move-lo, foi empurrado com for»cashorizontais de (a) 222N, (b) 334 N, (c) 445 N, (d) 556 N. Determine,para cada tentativa, se o arquivo se move, e calcule o m¶odulo da for»ca deatrito sobre ele. O arquivo est¶a sempre parado antes de cada tentativa.

10. Um bloco de massa 2 kg est¶a apoiado sobre uma mesa plana e lisa.Voce o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal de m¶odulo5,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor da for»canormal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa?

10Ex.

θθ

11Ex.

11. O bloco do problema anterior, de massa 2 kg, continua apoiado sobrea mesa plana e lisa. Voce passa a empurr¶a-lo com uma for»ca de mesmom¶odulo 5,0 N, mas agora fazendo um angulo µ = 30± com a horizontal.Qual a acelera»c~ao do bloco? E qual o valor da for»ca normal de contatoentre o bloco e a superf¶³cie?

12. Um bloco (o mesmo dos problemas anteriores), de massa 2 kg, ¶e apoiadosobre uma mesa plana mas n~ao lisa. O coe¯ciente de atrito est¶aticoentre o bloco e a superf¶³cie vale 0,25 e o coe¯ciente de atrito cin¶eticovale 0,20.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 11

(a) Voce o empurra com o dedo, exercendo uma for»ca horizontal dem¶odulo 4,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco? Qual o valor dafor»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie da mesa?

(b) Voce agora aumenta o empurr~ao, passando a exercer uma for»cahorizontal de m¶odulo 8,0 N. Qual a acelera»c~ao provocada no bloco?Qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e a superf¶³cie?

(c) Voce passa a empurrar o bloco com uma for»ca de m¶odulo 8,0 N quefaz um angulo µ = 30± com a horizontal. Qual a acelera»c~ao do bloco,agora? E qual o valor da for»ca normal de contato entre o bloco e asuperf¶³cie?

13. Um preso num c¶arcere decide escapar deslizando por uma corda forne-cida por um c¶umplice. Tem como companheiro de cela um macaco, demassa 40 kg. Para isso, ¯xa um extremo da corda a um gancho situadona parede externa da janela de sua cela. O outro extremo pende umpouco acima do solo. A corda tem uma massa de 10 kg, e o preso de60 kg. O gancho pode suportar uma tra»c~ao de 400 N sem quebrar. Ajanela est¶a a 15 m do n¶³vel do solo. Para n~ao se arriscar, o preso resolveveri¯car a possibilidade de escapar enviando na frente seu macaco. Aodescer, o macaco parte do extremo superior com velocidade inicial nula.Qual a velocidade m¶³nima com que o macaco e o preso dever~ao atingiro solo de modo a n~ao quebrar o gancho?

14. Um bloco de massa m ¶e colocado sobre outro bloco de massa M , e oconjunto ¶e apoiado sobre uma mesa horizontal. Sobre o bloco inferior,aplica-se uma for»ca horizontal ~F de m¶odulo F . Observa-se que os doisblocos movem-se juntos, o de cima n~ao deslizando sobre o de baixo. Oscoe¯cientes de atrito est¶atico e cin¶etico entre os blocos valem respec-tivamente ¹E e ¹C , e o atrito entre o bloco e a superf¶³cie de apoio ¶edesprez¶³vel. Qual o valor m¶aximo FMAX que a for»ca F pode ter paraque o bloco m n~ao se mova em rela»c~ao ao bloco M? Qual o valor,quando F = FMAX , da for»ca de contato entre os dois blocos?

m

M

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 12

15. Um bloco de 4,0 kg ¶e colocado em cima de um outro de 5,0 kg. Parafazer o bloco de cima deslizar sobre o de baixo, que ¶e mantido ¯xo,uma for»ca horizontal de pelo menos 12 N deve ser aplicada ao de cima.O conjunto de blocos ¶e agora colocado sobre uma mesa horizontal sematrito (veja a ¯gura). Determine (a) a for»ca horizontal F m¶aximaaplicada ao bloco inferior para que ainda se movimentem juntos e (b)a acelera»c~ao resultante dos blocos.

kg04,

kg05,

16. Dois blocos A e B de massas mA e mB (com mA > mB ) est~ao li-gados por um ¯o, como mostra a ¯gura. A polia e o ¯o tem massasdesprez¶³veis, e n~ao h¶a atrito entre A e a superf¶³cie horizontal.

(a) Calcule a acelera»c~ao do sistema e a for»ca F exercida pelo ¯o em A.

(b) Mantendo-se o mesmo valor de mA para A, que valor m0B deveria

ter a massa de B para que a for»ca F 0 atuando sobre A seja o dobro dafor»ca F calculada no item (a)?

(c) Comente o resultado do item (b)

para os casos em que mA = mB

e mA < mB .

A

B

16Ex.

17. Um bloco de massa m1 = 3,70 kg est¶a sobre um plano liso com in-clina»c~ao de 30±, preso por uma corda que passa por uma polia, demassa e atrito desprez¶³veis. Na outra extremidade da corda est¶a colo-cado um segundo bloco de massa m2 = 2,30 kg, que ¯ca penduradoverticalmente (veja ¯gura). Quais s~ao

(a) os m¶odulos das acelera»c~oes de cada bloco e

(b) o sentido da acelera»c~ao de m2?

(c) Qual a tens~ao na corda?

1m2m

10Ex.

18. Dois blocos s~ao ligados atrav¶es de uma polia, como mostrado na ¯gura.A massa do bloco A ¶e de 10 kg e o coe¯ciente de atrito cin¶etico ¶e 0,20.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 13

O bloco A desliza para baixo sobre o plano com velocidade constante.Qual a massa de B?

1m2m

19. A ¯gura mostra dois blocos em contato (m = 16 kg e M = 88 kg) quen~ao est~ao presos um ao outro. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre eles¶e ¹E = 0,38, mas na superf¶³cie embaixo de M n~ao h¶a atrito. Qual afor»ca horizontal m¶³nima F necess¶aria para manter m em contato comM?

atritosem

19Ex.

Fr

20Ex.

20. Uma for»ca horizontal ~F , de m¶odulo 50 N, empurra um bloco de peso20 N contra uma parede vertical. O coe¯ciente de atrito est¶atico entrea parede e bloco ¶e 0,40 e o de atrito cin¶etico ¶e 0,30. Suponha queinicialmente o bloco esteja em repouso. (a) O bloco come»car¶a a semover? (b) Qual a for»ca exercida pela parede sobre o bloco?

21. Uma part¶³cula de massa m = 2 kg oscila sobre o eixo x de acordo coma equa»c~ao x = 0;2 sen (5t ¡ ¼=6), onde x ¶e dado em metros e t emsegundos. Qual a for»ca que age sobre a part¶³cula em t = 0 s? Qual ovalor m¶aximo dessa for»ca?

22. Um corpo de massa 1 kg cai de uma altura de 5 m sobre um monte deareia, e afunda 5 cm at¶e parar. Se supusermos que a for»ca de resistenciaque atua no corpo quando ele penetra na areia ¶e constante, quanto elavale?

23. Um corpo de massa 0,5 kg, e com dimens~oes desprez¶³veis est¶a caindoverticalmente em dire»c~ao µa superf¶³cie da Terra. Quando est¶a a 10 m de

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 14

altura, com velocidade de 10 m/s, sofre a a»c~ao de um forte tuf~ao que lheimprime uma for»ca de componente horizontal dada por 3t (em Newtons,com t em segundos) e de componente vertical 10 N dirigida para cima.Quais a velocidade e a posi»c~ao da part¶³cula em cada instante? Quala equa»c~ao da trajet¶oria descrita pela part¶³cula? Esboce a curva destatrajet¶oria.

24. Um homem de 80 kg pula para um p¶atio, da beirada de uma janela queest¶a a apenas 0,50 m acima do solo. Ele esqueceu de dobrar os joelhos,quando aterrisou, e o seu movimento cessou numa distancia de 2,0 cm.(a) Qual a acelera»c~ao m¶edia do homem, entre o primeiro instante emque seus p¶es tocaram o ch~ao, ao instante em que ¯cou completamenteparado? (b) Qual a for»ca que o impacto transmitiu µa sua estrutura¶ossea?

25. Um disco de massa M que est¶a ligado por um ¯o leve a outra massam pode deslizar sobre a mesa com atrito desprez¶³vel, como mostradona ¯gura. Qual deve ser o valor da massa m para que o disco descrevaum movimento circular uniforme de raio r e velocidade angular !?

r m

M

26. Um motociclista habilidoso dirige ao longo de uma circunferencia hori-zontal em torno das paredes verticais de um po»co cil¶³indrico de raio R.(a) Com que velocidade m¶³nima ele deve andar se o coe¯ciente de atritoest¶atico entre os pneus e a parede ¶e ¹E? (b) Calcule esta velocidadepara R = 5 m e ¹E =0,9.

27. Uma curva circular de auto-estrada ¶e projetada para velocidades de60 km/h. (a) Se o raio da curva ¶e 150 m, qual deve ser o angulode inclina»c~ao da rodovia? (b) Se a curva n~ao fosse inclinada, qualdeveria ser o coe¯ciente de atrito m¶³nimo entre os pneus e a estradapara permitir o tr¶afego a essa velocidade sem derrapagem?

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex6 | p. 15

28. Uma crian»ca coloca uma cesta de piquenique na parte externa de umcarrossel que tem 4,6 m de raio e faz uma volta a cada 30 s. (a) Quala velocidade de um ponto sobre a borda do carrossel? (b) Qual deveser o coe¯ciente de atrito est¶atico entre a cesta e o carrossel, para quea cesta n~ao deslize sobre este?

29. Um pendulo conico ¶e formado por massa de 50 g presa por um cord~aode 1,2 m. A massa gira formando um c¶³rculo horizontal de 25 cm deraio. (a) Qual ¶e a sua velocidade? (b) Qual a sua acelera»c~ao? (c) Quala tens~ao no cord~ao?

30. Um estudante de 68 kg, numa roda-gigante com velocidade constante,tem um peso aparente de 56 kg no ponto mais alto. Qual o seu pesoaparente no ponto mais baixo?

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 16



Cinem¶atica do Movimento Circular

1. Um prato girat¶orio gira uniformemente, descrevendo 33,25 rota»c~oes porminuto. Qual a velocidade angular de rota»c~ao deste disco?

2. Um objeto gira em torno de um ponto O, completando uma volta acada 2 segundos. Calcule o m¶odulo da velocidade do objeto se eleestiver a uma distancia (a) 0 m ; (b) 10 cm; (c) 20 cm do ponto O.

3. Um motor gira, e no instante de tempo t = 1 s a velocidade em umponto que dista 10 cm de seu eixo de rota»c~ao vale 0; 1 ¼ m/s. Emt = 2 s, sua velocidade ¶e o dobro da velocidade em t = 1 s. (a) Qual aacelera»c~ao angular m¶edia deste corpo? (b) Supondo que a velocidadeangular est¶a aumentando uniformemente, quanto tempo ser¶a necess¶ariopara que ela passe a valer ! = 3 ¼ rad/s?

4. Um objeto de massa m = 0; 5 kg gira a uma distancia ` = 10 cm emtorno de um ponto O com per¶³odo de rota»c~ao ¯xo e igual a 4 s. Quala for»ca resultante agindo sobre este objeto?

5. O objeto do exerc¶³cio anterior num certo instante passa a descrever ummovimento circular uniformemente acelerado, com o mesmo raio. Aacelera»c~ao angular vale 0; 1¼ rad/s2. Qual a for»ca resultante agindosobre o objeto?

6. Na lista de exerc¶³cios 2, sobre Vetores, voce demonstrou no exerc¶³cio9 uma rela»c~ao entre os vetores unit¶arios na representa»c~ao polar e osvetores unit¶arios na representa»c~ao cartesiana,

r = cos µ ³ + sen µ ^

µ = ¡ sen µ ³ + cos µ^

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex7 | p. 17

Observando que a dire»c~ao destes dois vetores varia com o tempo, calcule

d r

d ted µ

dt

A partir destas express~oes, e usando que o movimento ¶e circular (r ¶econstante)

~r = r r

demonstre que~v = ! r µ

~a = ¡!2 r r + ® r µ

onde ! = dµ=dt e ® = d!=dt.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 18



Movimento Relativo

1. Um piloto de ultraleve est¶a voando, e quer ir de um ponto A a umponto B distantes entre eles de 2 km. O vento est¶a soprando a seufavor, na dire»c~ao A-B. A velocidade do vento em rela»c~ao ao ch~ao ¶e de20 km/h, e o piloto consegue imprimir ao seu aparelho uma velocidadede 40 km/h em rela»c~ao ao ar. Qual a velocidade que um observador noch~ao mede para o ultraleve? Quanto tempo ele leva para ir de A at¶eB? Se as condi»c~oes do vento continuarem iguais, e ele resolver voltarde B para A, quanto tempo ele vai levar? E qual a sua velocidade,observada do ch~ao, na volta?

2. A distancia entre dois pontos A e B ¶e L. Um avi~ao voa de A at¶e B evolta, com velocidade de m¶odulo v constante em rela»c~ao ao ar. Calculeo tempo total que gastar¶a para realizar o percurso, se o vento sopracom uma velocidade de m¶odulo u:

(a) ao longo da linha que une A a B, indo de A para B;

(b) na dire»c~ao perpendicular µa linha que une A e B.

Demonstre que a dura»c~ao da viagem sempre ¶e maior quando h¶a vento.

3. Um trecho de rio tem largura constante d, e a ¶agua move-se com ve-locidade de m¶odulo u em rela»c~ao µas margens. Um barco parte de umponto A em uma das margens, para alcan»car um ponto B na outra,desenvolvendo uma velocidade de m¶odulo v em rela»c~ao µa ¶agua. Quala orienta»c~ao que ele deve tomar, e que tempo levar¶a para atravessar orio, se

(a) o ponto B ¯ca diretamente oposto a A?

(b) o ponto B ¶e tal que o tempo de travessia ¶e o menor poss¶³vel?

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Ex8 | p. 19

4. Um navio a vapor navega em dire»c~ao ao Sul a 25 km/h em uma regi~aoonde o vento sopra de Sudeste a 18 km/h. Qual o angulo que a fuma»casaindo da chamin¶e forma com a dire»c~ao Norte?

5. Um navio est¶a navegando paralelamente a uma linha costeira reta comvelocidade de m¶odulo v. No instante que ele passa por um porto, umbarco da guarda-costeira sai para intercept¶a-lo com uma velocidade dem¶odulo u (u > v). Que dire»c~ao o barco da guarda costeira deve seguirpara alcan»car o navio no menor tempo poss¶³vel?

6. Um bebado sobe um rio num barco a remo, com velocidade constante.Ao passar sob uma ponte, deixa cair uma garrafa de cacha»ca quasevazia. Ele somente nota o fato ap¶os ter remado meio hora. Nesseinstante ele retorna, remando com a mesma intensidade at¶e encontrara garrafa, que se encontrava a um quilometro da ponte, rio abaixo.Ache a velocidade do rio. (Sugest~ao: utilize um sistema de referenciaparado em rela»c~ao µa ¶agua.)

7. Duas part¶³culas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x e y com veloci-dades constantes ~v1 = 2 ³ cm/s e ~v2 = 3^ cm/s. No instante t = 0 elasest~ao nas posi»c~oes dadas por x1 = ¡3 cm, y1 = 0, x2 = 0, e y2 = ¡3 cm.Obtenha o vetor ~r2 ¡ ~r1 que representa a posi»c~ao da part¶³cula 2 comrespeito µa part¶³cula 1, como fun»c~ao do tempo. Determine em que ins-tante de tempo elas estar~ao com a menor separa»c~ao poss¶³vel, e qual ¶eesta distancia de m¶axima aproxima»c~ao.

F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 20



Referenciais N~ao Inerciais

1. Um homem entra numa farm¶acia e pesa-se em uma balan»ca calibradaem Newtons, que indica um peso de 700 N. Ele entra num elevadorque possui uma balan»ca tamb¶em calibrada em Newtons. O que ler¶a serepetir a pesagem dentro do elevador

(a) subindo entre o primeiro e o terceiro andares com acelera»c~ao cons-tante de 2 m/s2?

(b) subindo entre o terceiro e o d¶ecimo andares com velocidade cons-tante de 7 m/s?

(c) subindo entre o d¶ecimo e o d¶ecimo segundo andares com desace-lera»c~ao de 2 m/s2?

(d) descendo da mesma forma que subiu, ou seja, primeiro acelerandoµa raz~ao de 2 m/s2, depois movendo=se com velocidade constantede 7 m/s, e ¯nalmente desacelerando µa raz~ao de 2 m/s2?

2. Um astronauta numa nave espacial treina tiro ao alvo. A nave pos-sui acelera»c~ao ~a e est¶a num local do espa»co onde n~ao existe campogravitacional algum. O alvo est¶a na mesma altura das m~aos do ob-servador, e a uma distancia L deste. A velocidade inicial do proj¶etiltem m¶odulo v0. Fa»ca um desenho mostrando a trajet¶oria seguida peloproj¶etil, vista pelo observador dentro da nave. Em termos dos dadosdo problema, ache o angulo que o proj¶etil deve fazer com a horizontalao ser arremessado para que ele atinja o alvo.

F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 21

tt6~a

¾ -L

3. Um garoto est¶a sobre a carroceria de um caminh~ao, que corre sobre osolo plano com acelera»c~ao ~a na dire»c~ao de seu movimento. Com queangulo com a vertical o garoto deve lan»car uma bola de massa m paraque, quando a bola cair, ele possa apanh¶a-la sem se mover?

4. O passageiro de um avi~ao, nervoso na decolagem, tira sua gravata edeixa-a pender molemente de seus dedos. Ele observa que, durantea corrida para al»car voo, que dura 30 s, a gravata faz um angulo de150 com a vertical. Com que velocidade o aeroplano deixou o solo, equanto necessitou de pista para a decolagem? Suponha que a pista ¶ehorizontal, e que a acelera»c~ao do motor ¶e constante.

5. Um objeto de massa m est¶a preso por uma corda de massa desprez¶³velao teto de um vag~ao. Num determinado instante, o vag~ao ¶e colocadoem movimento, com uma acelera»c~ao ~a horizontal de m¶odulo constante,para a direita. O objeto ent~ao encosta na parede (como na ¯gura). Oangulo que o ¯o faz com o teto ¶e µ. O atrito entre o objeto e a parede¶e desprez¶³vel.

-~a

¶¶

¶¶uµ

(a) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para umobservador ¯xo numa esta»c~ao,

(b) Fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre o objeto, para um ob-servador dentro do vag~ao, e diga onde est~ao atuando suas rea»c~oes.

F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 22

(c) Calcule o valor da for»ca de contato entre o objeto e a parede dovag~ao.

6. Considere um pequeno objeto de massa m apoiado sobre uma superf¶³ciesem atrito inclinada de 300 em rela»c~ao µa horizontal. Suponha que estasuperf¶³cie seja acelerada para a esquerda com acelera»c~ao ~a constante.A magnitude da acelera»c~ao ¶e tal que o objeto n~ao desliza. (a) Desenheum diagrama que mostre as for»cas que atuam sobre o objeto, em umsistema inercial ¯xo ao solo. (b) Obtenha o valor da acelera»c~ao paraque o objeto n~ao deslize. (c) Repita os itens anteriores, agora do pontode vista de um observador (n~ao inercial) que move-se junto com o planoinclinado.

© © © © © © © © © © © © © © ©

300

¾ ~a

© ©©AA© ©© AAm

7. Num centro de pesquisas de medicina espacial, dois astronautas demesma massa m s~ao colocados em cabines montadas nas extremidadesopostas de uma barra de comprimento `, e o aparelho ¶e girado comvelocidade angular num c¶³rculo vertical em torno do ponto m¶edio dabarra, O. Cada cabine possui uma balan»ca, e os astronautas se pesamsobre elas. Quando a barra com as cabines ¯car exatamente na ver-tical, (a) fa»ca um diagrama das for»cas que agem sobre cada um dosastronautas para um observador ¯xo na Terra; (b) repita este itempara um observador girando junto com as cabines. (c) Calcule a me-dida da balan»ca feita em cada uma das cabines neste instante. (d) Quevelocidade de rota»c~ao ¶e necess¶aria para produzir a sensa»c~ao de impon-derabilidade na cabine de cima? Nesta situa»c~ao, qual a leitura feita nabalan»ca da outra cabine?

F¶³s1 { 04/1 { G.2{ Ex9 | p. 23

Á ÀÂ ¿

Á ÀÂ ¿

O

8. Um corpo de massa m est¶a apoiado em um suporte dentro de umcilindro de raio R que gira com velocidade angular constante emtorno de seu eixo de simetria, como mostrado na ¯gura. Sendo ¹ ocoe¯ciente de atrito est¶atico entre o corpo e a parede interna do cilindro,pergunta-se: (a) Qual o menor valor de para que o qual se pode retiraro suporte sem que o corpo deslize em rela»c~ao µa parede do cilindro? (b)O que acontece com o valor da for»ca de atrito se for maior do que ovalor m¶³nimo encontrado no item anterior?

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 24


TEXTO COMPLEMENTAR 1

Vetores

Muitas das grandezas usadas na F¶³sica n~ao podem ser representadas porum ¶unico n¶umero. Grandezas como a posi»c~ao de um objeto, sua velocidade,a for»ca aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especi¯ca»c~aoprecisa, n~ao s¶o de um valor num¶erico { a distancia a um ponto de referencia, ovalor medido no odometro de um carro, a intensidade da for»ca { mas tamb¶emde dire»c~ao e sentido.

De uma maneira simpli¯cada, um vetor ¶e uma grandeza que pode serrepresentada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento¶e o m¶odulo do vetor, sua dire»c~ao ¶e fornecida pela dire»c~ao da reta que suportao semento, e o sentido ¶e dado pela orienta»c~ao do segmento. Um vetor emgeral ¶e representado gra¯camente por uma letra com uma seta em cima, como~a; seu m¶odulo ¶e representado por j~aj = a.

ar

Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto ¶e, umvetor ¶e um representante de um conjunto de segmentos orientados partindode diferentes pontos do espa»co. Um vetor tamb¶em ¶e um elemento de umconjunto { chamado espa»co vetorial { que associado a duas opera»c~oes, aadi»c~ao e a multiplica»c~ao por escalar, tem algumas propriedades: ¶e fechadoem rela»c~ao a estas duas opera»c~oes (a soma de dois vetores ¶e um vetor,...),o elemento neutro da adi»c~ao (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos osvetores possuem elemento inverso em rela»c~ao µa adi»c~ao, ....

Um exemplo de vetor bem conhecido ¶e o vetor deslocamento de um objetopontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser represen-tado por um vetor ~d com m¶odulo igual µa distancia entre os pontos A e B,dire»c~ao de¯nida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B.

AB

dr

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 25

Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento ¯nal que cor-responde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada.Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois doponto B ao ponto C, resulta num deslocamento ¯nal de A a C.

A

B1d

r

C2d

r

dr

A opera»c~ao de adi»c~ao de dois vetores ¶e de¯nida de forma an¶aloga µa somade dois vetores deslocamentos. O vetor ~c que resulta da soma de dois outrosvetores ~a e~b, ~c = ~a+~b, ¶e o vetor correspondente ao segmento de reta orientadoobtido de acordo com a \regra do paralelogramo". Esta regra de soma temeste nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo quepode ser formado com lados ~a e ~b.

ar

br

bacrrr +=

A adi»c~ao de vetores ¶e comutativa

~a +~b = ~b+ ~a

e ¶e distributiva:~a +

³~b +~c

´=³~a +~b

´+ ~c

o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente.Um deslocamento ~d de um ponto A a um ponto B de¯ne uma dire»c~ao,

a dire»c~ao da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre amesma dire»c~ao pode ser escrito como o produto deste deslocamento ~d porum n¶umero real ®, de forma tal que a distancia percorrida seja ® d. Se ® ¶epositivo, os sentidos s~ao os mesmos. Para voltar de B at¶e A, o deslocamentopode ser representado por um vetor com a mesma dire»c~ao, mesmo m¶odulo esentido oposto, ¡ ~d.

AB

dr

dr

2dr

−

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 26

A opera»c~ao de multiplica»c~ao de um vetor ~b por um escalar ® (um n¶umero

real) ¶e de¯nida como sendo uma opera»c~ao cujo resultado ¶e um vetor ®~b{ cujo m¶odulo ¶e dado por j®j b,{ cuja dire»c~ao ¶e a mesma dire»c~ao do vetor ~b,{ e cujo sentido ¶e o de ~b no caso em que ® > 0, e contr¶ario se ® < 0.

Desta maneira, a diferen»ca de dois vetores ¶e a soma de dois vetores, oprimeiro com o produto escalar do segundo pelo n¶umero real ¡1:

~a ¡~b = ~a+³¡~b

´:

ar

br

bacrrr +=bad

rrr−=

Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m)na dire»c~ao de A para B pode ser o padr~ao de medida de todos os vetores quetem a dire»c~ao AB.

Da mesma maneira que ¶e necess¶aria uma unidade de medida, um padr~ao,para a descri»c~ao de grandezas escalares (como temperatura, massa), pre-cisamos de um padr~ao de medida para vetores. Mas a especi¯ca»c~ao de umvetor exige m¶odulo, dire»c~ao e sentido; um padr~ao para descreve-lo n~ao podeser um simples n¶umero, tem que ter tamb¶em dire»c~ao e sentido. Ou seja, ¶etamb¶em um vetor.

Um vetor cujo m¶odulo vale 1 unidade ¶e chamado de vetor unit¶ario. A suarepresenta»c~ao ¶e feita usuamente por um \chap¶eu" (acento circun°exo) sobreuma letra: a. Da opera»c~ao de multiplica»c~ao por escalar, podemos escreverimediatamente

~d = a d :

AB

dr d

E para obter-se o vetor unit¶ario associado a um vetor qualquer basta divid¶³-lopelo seu m¶odulo:

d =1

d~d :

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 27

Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coor-denadas { cartesiano ou outro qualquer. No espa»co, s~ao necess¶arias trescoordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, por-tanto, precisamos de suas tres componentes ao longo de tres eixos { ou detres unit¶arios de dire»c~oes independentes. O sistema de tres vetores unit¶ariosmais comum ¶e um sistema constitu¶³do de tres unit¶arios mutuamente perpen-diculares, com a conven»c~ao de ordem indicada na ¯gura abaixo.

ij)

k

x

y

z

Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida comosendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamentoatrav¶es das coordenadas do ponto ¯nal. Num plano, a descri»c~ao ¯ca comona ¯gura. As coordenadas do ponto A s~ao as componentes segundo os eixosx e y: A = (xA; yA).

y

xO

A

Ax

Ay )y,x( AA=A

O vetor ~OA = ~d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo aoeixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposi»c~ao ¯ca

~rA = ~xA + ~yA

como mostrado na ¯gura. Se de¯nimos os unit¶arios das dire»c~oes x e y comosendo ³ e ^, temos

~rA = xA ³ + yA ^

y

xO

A

jyixr AAA +=r

Ax

Ay )y,x( AA=A

O vetor componente de ~rA na dire»c~ao x, ~xA, tem m¶odulo igual a jxAj, poisxA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor ~xA

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 28

coincidir ou n~ao com o sentido do unit¶ario ³. O mesmo ocorre para o vetorcomponente de ~rA na dire»c~ao de y, yA. Assim,

~xA = xA ³ ; ~yA = yA ^ :

y

xO

A

jyix

yxr

AA

AAA

+=

=+= rrr

AxrAyr

Os valores xA e yA s~ao chamadas de componentes do vetor ~rA segundo oseixos x e y , ou segundo as dire»c~oes dos unit¶arios ³ e ^.

Ar

θx

y

x

yθ=θ=

senrycosrx

Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r; µ), onde rcorresponde µa distancia µa origem de coordenadas e µ o angulo que a dire»c~aoOA faz com um eixo arbitr¶ario { no caso o eixo x. As duas descri»c~oesA = (r; µ) = (x; y) est~ao relacionadas atrav¶es das express~oes

x = r cos µ ; y = r sen µ

r =qx2 + y2 ; µ = arctg

y

xe ¶e imediatamente claro que 0 · µ < 2¼, x e y podem ser maiores, iguais oumenores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao m¶odulodo vetor ~OA.

As opera»c~oes de adi»c~ao de vetores e multiplica»c~ao por escalar podem serfeitas em termos de componentes.

ar

br

xxx bac +=

xaxb xc

bacrrr

+=cr

x

Da ¯gura, para a adi»c~ao de vetores

cx =³~a +~b

´x

= ax + bx

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 29

e de forma an¶alogacy =

³~a +~b

´y

= ay + by

Para a multiplica»c~ao de um vetor por um escalar,

ar xx ab α=

xa

abrr

α=

x

br

xb

bx = (®~a)x = ® ax ; by = (®~a)y = ®ay :

Duas outras opera»c~oes com vetores s~ao usadas para a de¯ni»c~ao de con-ceitos f¶³sicos.

A primeira opera»c~ao ¶e o chamado produto escalar de dois vetores. Nestaopera»c~ao, a um par de vetores ~a e ~b associa-se um n¶umero real ~a ¢~b de¯nidocomo

~a ¢~b = a b cosµ

onde µ ¶e o angulo entre as dire»c~oes de ~a e ~b.

ar

brθ

ba

θ= cosaab

Esta de¯ni»c~ao ¶e equivalente a dizer que o produto escalar de ~a por ~b ¶e oproduto do m¶odulo de~b pela proje»c~ao de~a na dire»c~ao de~b. Geometricamente,veri¯ca-se trivialmente que

~a ¢ ~b = ~b ¢ ~a~a ¢~a = a2

~a ¢~b = 0 (a 6= 0; b 6= 0) () ~a?~b~a ¢

³~b+ ~c

´= ~a ¢~b+ ~a ¢ ~c

Se os vetores ~a e ~b s~ao paralelos, ~a ¢~b = a b. Se s~ao anti-paralelos (seus

sentidos s~ao opostos) ~a ¢~b = ¡ ab.Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as pro-

priedades anteriores. Se ~a = ax ³ + ay ^+ az k e ~b = bx ³ + by ^+ bz k , ent~ao

~a ¢~b =³ax ³ + ay ^+ az k

´¢³bx ³ + by ^+ bz k

´= ax bx + ay by + az bz

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 30

Da de¯ni»c~ao do produto escalar, tamb¶em, pode-se demonstrar que

ax = ~a ¢ ³ ; ay = ~a ¢ ^ ; az = ~a ¢ k

cos µ =~a ¢~ba b

O produto escalar surge pela primeira vez nas discuss~oes em F¶³sica coma de¯ni»c~ao de trabalho realizado por uma for»ca ~F num deslocamento:

WFAB =

Z~F ¢ d~r :

A outra opera»c~ao, o produto vetorial entre dois vetores, associa a doisvetores ~a e ~b um terceiro vetor c

~c = ~a £~b

com o m¶odulo dado por c = a b senµ, onde µ ¶e o (menor) angulo entre ~a e ~b,

com dire»c~ao perpendicular ao plano que cont¶em ~a e ~b, e sentido dado pelachamada \regra da m~ao direita". Esta de¯ni»c~ao est¶a ilustrada na ¯gura aseguir.

ar br

cr bacrrr

×=

ar

br

θsenb

cr

áreac =

O produto vetorial de dois vetores n~ao ¶e comutativo { a ordem dos fatorestroca o sinal do resultado. Suas propriedades tamb¶em podem ser veri¯cadasfacilmente da de¯ni»c~ao,

~a £~b = ¡~b£ ~a~a £

³~b+ ~c

´= ~a £~b+ ~a£ ~c

~a£³®~b´

= ®~a £~ba~a = 0

O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos ¶e nulo.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { T1 | p. 31

Em componentes,

~a £~b = (ay bz ¡ az by) ³ + (az bx¡ ax bz) ^+ (ax by ¡ ay bx) k

O produto vetorial aparece em F¶³sica na de¯ni»c~ao de torque de uma for»caem rela»c~ao a um ponto, e momento angular de uma part¶³cula em rela»c~ao aum ponto:

¿ = ~r £ ~F

~LO = ~r £ ~p =m~r £ ~v

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 32


Lista de exerc¶³cios 6 { Respostas

1. Peso (rea»c~ao sobre a Terra) e sustenta»c~ao (rea»c~ao sobre a ponta docabo). Quando a ma»c~a est¶a caindo, atua apenas o peso.

2. No sentido do movimento do corpo.

3. No arm¶ario: peso, normal, atrito e empurr~ao do homem. No homem:peso, normal, atrito, rea»c~ao ao empurr~ao.

4. (a) Peso 11 N, massa 2; 2 kg. (b) Peso nulo, massa 2; 2 kg.

5. (Discutir com o professor.)

6. For»ca de contato entre os blocos: de m¶odulo F cos µm=(M +m), ho-rizontal, para a direita sobre m, para a esquerda sobre M . For»ca decontato entre m e a superf¶³cie: mg, vertical e para cima. For»ca decontato entre M e a superf¶³cie: Mg + F sen µ, vertical e para cima.

7. (a) 1; 1 N.

8. (a) 0; 97 m/s2; (b) T1 = 11; 6 N, T2 = 34; 8 N.

9. (a) N~ao, fat = 222 N. (b) N~ao, fat = 334 N. (c) Sim, fat = 311 N. (d)Sim, fat = 311 N.

10. a = 2; 5 m/s2, N = 20 N.

11. a = 2; 2 m/s2, N = 22 N.

12. (a) a = 0, N = 20 N; (b) a = 2; 0 m/s2, N = 20 N; (c) a = 1; 5 m/s2,N = 24 N, caso a for»ca tenha dire»c~ao e sentido como na ¯gura doexerc¶³cio 11.

13. macaco: v ¸ 0; homem: v ¸ 10 m/s2.

14. FMAX = ¹E (M +m) g; f = ¹E mg e n = mg s~ao as duas componentesda for»ca de contato entre os dois blocos.

F¶³s1 { 04/1 { G.2 { Resp { Ex6 | p. 33

15. (a) FMAX = 27 N; (b) a = 3 m/s2.

16. (a) a = mBg=(mA +mB), F =mAmBg=(mA +mB).

(b) m0B = 2mAmB=(mA ¡mB).

17. (a) 0; 75 m/s2; (b) para baixo; (c) 21; 3 N.

18. Supondo que o angulo de inclina»c~ao do plano ¶e de 30±, mB = 3; 3 kg.

19. 421 N.

20. (a) N~ao. (b) Componente vertical: 20 N, para cima; componente hori-zontal: 50 N para a esquerda.

21. F (0) = 5 N, FMAX = 10 N.

22. 1000 N.

23. Sistema de coordenadas: unit¶arios ³ na dire»c~ao horizontal, com o sen-tido do tuf~ao, ^ para cima; a origem est¶a no ch~ao, bem embaixo do pontoinicial do corpo. ~v(t) = 3t2 ³ + 10 (t¡ 1) ^, ~r(t) = t3 ³ + 5 (t2 ¡ 2t+ 2)^.

24. (a) 250 m/s2; (b) 2; 0£ 104 N.

25. m =Mg=(!2r).

26. (a) vMIN =qgR=¹E ; (b) vMIN = 13; 9 m/s = 50 km/h.

27. (a) 10±; (b) 0,19.

28. (a) 0,96 m/s. (b) 0,02.

29. (a) 0,72 m/s, tangente ao c¶³rculo; (b) 2,1 m/s2, apontando para o centrodo c¶³rculo; (d) 0,5 N.

30. 192 kg.

1


GUIA DE ESTUDO 3

M¶odulo 3: Trabalho e Energia

1. INTRODUC» ~AO

Neste m¶odulo, estudaremos os conceitos de trabalho e energia. Vamosdiscutir a lei da conserva»c~ao da energia mecanica de uma part¶³cula, o ques~ao energia cin¶etica, energia potencial, e o trabalho de for»cas. Come»care-mos abordando o movimento unidimensional e a seguir generalizaremos nossoestudo para o caso do movimento geral.

Leituras indispens¶aveisOs t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 6 (se»c~oes 6.1 a 6.5) e 7(se»c~oes 7.1 a 7.3 e parte da se»c~ao 7.6) do livro texto, de H. M. Nussenzveig.


Atividade 1

Discuss~ao

| da conserva»c~ao de energia mecanica num campo gravitacional (se»c~ao6.1),

| da de¯ni»c~ao de trabalho de uma for»ca,

| da de¯ni»c~ao de energia cin¶etica e energia potencial de um corpo.(se»c~ao 6.2).

Atividade 2

Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 1 e 4 da Lista 10, Trabalho e energia.

Atividades extras 1

1. Leia as se»c~oes 6.1 e 6.2 do cap¶³tulo 6 do livro.

2. Resolva os exerc¶³cios 2, 3, 5 e 6 da lista de trabalho eenergia.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 | p. 2

3. Resolva os problemas 1, 3, 8 e 9 da lista 5 (movimentorelativo e referencias n~ao inerciais).

4. Resolva os problemas 6.2 e 6.14 do livro texto.

Atividade 3

Discuss~ao sobre o trabalho de uma for»ca constante de dire»c~ao qualquer,introduzindo o conceito de produto escalar de dois vetores (se»c~ao 7.1);o trabalho de uma for»ca no caso do movimento geral (se»c~ao 7.2); asfor»cas conservativas (se»c~ao 7.3); e potencia (item a da se»c~ao 7.6).

Atividade 4

Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 9 e 14 da lista de Trabalho e Energia.

Atividades extras 2

1. Leia as se»c~oes 7.1 a 7.3 e item a da se»c~ao 7.6 do cap¶³tulo7 do livro texto.

2. Resolva os exerc¶³cios 8 e 10 da lista de trabalho e energia.

3. Resolva os problemas 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 e 7.19 do livrotexto.

Atividade 5

Discuss~ao sobre trabalho de uma for»ca vari¶avel (se»c~ao 6.3) e a con-serva»c~ao da energia mecanica no movimento unidimensional (se»c~ao 6.4).

Atividade 6

Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 16 e 19 da lista de trabalho e energia (ououtros, a crit¶erio do professor).

Atividades extras 3

1. Leia as se»c~oes 6.3 e 6.4 do cap¶³tulo 6 do livro.

2. Resolva os exerc¶³cios 17, 18, 20 e 21 da lista de trabalhoe energia.

3. Resolva os problemas 6.6, 6.7 e 6.13 do livro texto.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 | p. 3

Atividade 7

Discuss~ao do movimento unidimensional sob a a»c~ao de for»cas conser-vativas.

Atividade 8

Resolu»c~ao dos exerc¶³cios 24 e 25 da lista de trabalho e energia.

Atividades extras 4

1. Termine de ler o cap¶³tulo 6 do livro.

2. Resolva os exerc¶³cios 23, 26 e 27 da lista de trabalho eenergia.

3. Resolva os problemas 7.15, 7.16, 7.17, 7.18 e 7.20 dolivro texto.

Atividade 9

Resolu»c~ao de exerc¶³cios e problemas escolhidos pelo professor.

Atividades extras 5Releia os cap¶³tulos 6 e 7 (exceto as se»c~oes 7.4, 7.5 e 7.6b)do livro texto.

1. Termine a lista de exerc¶³cios de trabalho e energia.

2. Fa»ca toda a lista de exerc¶³cios 5, sobre movimento rela-tivo e referenciais n~ao inerciais.

3. Termine tudo que voce deixou para tr¶as.

4. De uma lida na discuss~ao sobre for»cas n~ao-conservativasna se»c~ao 8.12 do livro de Alonso&Finn (voce pode en-contr¶a-lo na biblioteca do Instituto de F¶³sica).

3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA

1. Leia novamente os cap¶³tulos 6 e 7 do livro texto.

2. Fa»ca todos os problemas das Listas de 1 a 10 e os do livro (Cap. 6 e7) que voce ainda n~ao fez.

3. Leia o texto complementar anexo sobre conserva»c~ao de energia.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 4


TEXTO COMPLEMENTAR 2

A Conservac»~ao da EnergiaRichard P. Feynman

Texto extra¶³do do Cap¶³tulo 3 | Os grandes princ¶³pios de conserva»c~ao

| do livro O que ¶e uma lei f¶³sica (The Character of Physical Law),

de Richard P. Feynman, vers~ao baseada na tradu»c~ao portuguesa de

Carlos Fiolhais, editora Gradiva.

Quando estudamos as leis da f¶³sica, descobrimos que s~ao numerosas, com-plicadas e pormenorizadas. Existem leis da gravita»c~ao, da eletricidade e domagnetismo, das intera»c~oes nucleares, etc. Mas todas essas leis particularesparecem obedecer a grandes princ¶³pios gerais. Exemplos destes ¶ultimos s~aoos princ¶³pios de conserva»c~ao, algumas caracter¶³sticas de simetria, a formageral dos princ¶³pios da mecanica quantica e, infeliz ou felizmente, o fato,j¶a referido, de todas as leis terem uma natureza matem¶atica. Hoje querofalar-lhes dos princ¶³pios de conserva»c~ao.

O f¶³sico usa palavras correntes com um sentido particular. Para ele umalei de conserva»c~ao signi¯ca que existe um n¶umero que pode calcular numdado momento e que, embora a Natureza passe por uma grande profus~ao demudan»cas, se voltar a repetir o c¶alculo, o resultado ¶e o mesmo. Esse n¶umero¶e, pois, invariante. Um exemplo ¶e a conserva»c~ao de energia. Existe umaquantidade, que se calcula segundo uma certa regra. O resultado do c¶alculo¶e sempre o mesmo, independentemente do que aconte»ca.

Podemos agora ver como isso pode ser ¶util. Suponhamos que a f¶³sica, oumelhor a Natureza, ¶e um grande jogo de xadrez, com milh~oes de pe»cas, eque estamos tentando descobrir as leis desse jogo, jogado muito rapidamentepor grandes deuses, sendo dif¶³cil observ¶a-los e compreender as respectivas jo-gadas. No entanto, conseguimos apreender algumas regras e, dentre estas, h¶aalgumas que n~ao exigem a observa»c~ao de todos os movimentos. Por exemplo,suponhamos que s¶o existe um bispo branco sobre o tabuleiro. Como o bispose move nas diagonais, portanto sempre em casas da mesma cor, se deixar-mos de observar o jogo dos deuses por uns momentos e voltarmos depois a

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 5

prestar aten»c~ao ao jogo, esperamos encontrar ainda um bispo branco, talveznuma outra posi»c~ao, mas numa casa da mesma cor. ¶E essa a essencia dasleis de conserva»c~ao. N~ao precisamos ver todos os pormenores para sabermosalguma coisa sobre o jogo.

¶E certo que no xadrez esta lei particular n~ao ¶e necessariamente v¶alida emtodas as circunstancias. Se deixarmos de olhar o tabuleiro por muito tempo,pode acontecer que o bispo seja capturado, que um pe~ao seja promovido arainha ou que um deus decida que ¶e prefer¶³vel que este pe~ao seja promovidoa bispo, ¯cando o novo bispo numa casa preta. Infelizmente, pode aconte-cer que algumas das leis que compreendemos hoje n~ao sejam perfeitamenteexatas, mas vou consider¶a-las tal qual as conhecemos.

Disse-lhes que usamos palavras correntes num sentido t¶ecnico. Umapalavra que ¯gura no t¶³tulo desta palestra ¶e \grande" | \Os grandes prin-c¶³pios de conserva»c~ao". N~ao se trata de um termo t¶ecnico: foi colocado not¶³tulo apenas para obter um efeito mais dram¶atico. Podia muito bem terdito \As leis de conserva»c~ao". H¶a algumas leis de conserva»c~ao que n~ao fun-cionam totalmente; s~ao s¶o aproximadamente verdadeiras, o que n~ao impedeque muitas vezes sejam ¶uteis. Podemos chamar-lhes \pequenas" leis de con-serva»c~ao. Embora v¶a mencionar mais tarde uma ou duas destas leis que n~aofuncionam totalmente, as leis principais que vou discutir s~ao, tanto quantopodemos a¯rmar hoje, absolutamente rigorosas.

Come»carei pela lei mais f¶acil de compreender, que diz respeito µa con-serva»c~ao da carga el¶etrica. Existe um n¶umero, a carga el¶etrica total no uni-verso, que n~ao varia, seja o que for que suceda. Se perder carga num lugar,acabo por encontr¶a-la noutro. A conserva»c~ao refere-se ao conjunto de todasas cargas el¶etricas. Este fato foi descoberto experimentalmente por Faraday.

(...)Foram descobertas outras leis de conserva»c~ao, que s~ao an¶alogas aos prin-

c¶³pios de contagem que vimos. Por exemplo, os qu¶³micos pensavam a certaaltura que, em quaisquer circunstancias, o n¶umero total de ¶atomos de s¶odiose conservava. Os ¶atomos de s¶odio, por¶em, n~ao s~ao permanentes. ¶E poss¶³veltransformar ¶atomos de um elemento noutro, desaparecendo completamente oelemento original. Uma outra lei na qual se acreditou durante algum tempoa¯rmava que a massa total de um objeto ¶e invariante. A sua validade dependeda maneira como se de¯ne a massa e se esta ¶e relacionada ou n~ao com aenergia. A lei de conserva»c~ao da massa est¶a inclu¶³da numa outra lei de quevou falar a seguir: a lei de conserva»c~ao da energia.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 6

A conserva»c~ao da energia ¶e um pouco mais dif¶³cil, porque desta vez temosum n¶umero que n~ao varia com o tempo e n~ao se refere a nenhum objetoparticular. Gostaria de usar uma analogia um pouco grosseira para explicaro que se passa.

Imaginemos que uma m~ae deixa o seu ¯lho sozinho num quarto a brincarcom 28 cubos absolutamente indestrut¶³veis. A crian»ca brinca com os cubosdurante todo o dia e a m~ae, quando regressa a casa, veri¯ca que ainda existem28 cubos; constatando, assim, a conserva»c~ao dos cubos! A cena repete-sedurante algum tempo, at¶e que um dia, ao voltar a casa, encontra s¶o 27cubos. No entanto, encontra um cubo ca¶³do fora da janela, para onde acrian»ca o tinha atirado. A primeira coisa que ¶e necess¶ario compreender numalei de conserva»c~ao ¶e que tem de se veri¯car se a mat¶eria observada n~ao passapara o outro lado da parede. O inverso tamb¶em poderia ter acontecido: umamigo podia ter vindo brincar com a crian»ca, trazendo alguns cubos consigo.Obviamente, estas quest~oes tem de ser consideradas quando se discutem leisde conserva»c~ao. Suponhamos que um dia, ao contar os cubos, a m~ae notaque s¶o h¶a 25, mas suspeita de que a crian»ca escondeu tres numa caixa debrinquedos. \Vou abrir a caixa", diz ent~ao. \N~ao", responde a crian»ca, \vocen~ao pode abrir a caixa." Como a m~ae ¶e inteligente, diria: \Sei que a caixavazia pesa 600 g e que cada cubo pesa 100 g, de modo que vou pesar a caixa."Assim, para obter o n¶umero total de cubos a m~ae escreveria

N¶umero de blocos observados +Peso da caixa¡ 600g

100g

sendo o resultado 28. Este m¶etodo funciona bem durante algum tempo, masum dia a soma n~ao d¶a certo. A m~ae veri¯ca, por¶em, que o n¶³vel de ¶aguasuja numa bacia mudou. Sabe que a profundidade da ¶agua ¶e de 6 cm, se n~aohouver cubos no fundo, e que o n¶³vel subiria de 0,5 cm se um cubo estivessedentro da ¶agua. Junta ent~ao um novo termo, ¯cando agora com

N¶umero de blocos observados +Peso da caixa¡ 600g

100g+

+Altura da ¶agua¡ 6cm

0; 5cm

sendo o novo total de 28. µA medida que aumenta o engenho do rapaz, au-menta tamb¶em o da m~ae, que, de cada vez, tem de somar mais termos, todos

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 7

representando cubos. Do ponto de vista matem¶atico, trata-se de c¶alculosabstratos, uma vez que os cubos est~ao escondidos.

Gostaria agora de concluir a minha analogia e de dizer o que h¶a de seme-lhante e de diferente entre a conserva»c~ao dos cubos e a conserva»c~ao da energia.Em primeiro lugar, suponhamos que em nenhuma das situa»c~oes a m~ae viucubos. O termo \n¶umero de cubos vis¶³veis" nunca aparece. Ent~ao a m~aeestaria sempre a calcular termos como \cubos na caixa", \cubos na ¶agua",etc. O mesmo se passa com a energia: n~ao existem cubos, tanto quanto sabe-mos. Al¶em disso, ao contr¶ario do caso dos cubos, os n¶umeros que aparecemno caso da energia n~ao s~ao inteiros. Penso no que poderia acontecer µa pobrem~ae se, quando calculasse um termo, encontrasse 6 cubos e 1=8, ao calcularum outro, obtivesse 7=8 de cubo, sendo o resto 21, o que ainda totaliza 28.¶E o que acontece no caso da conserva»c~ao da energia.

Descobrimos para a energia um esquema com uma s¶erie de regras. Apartir de cada conjunto de regras podemos calcular um n¶umero para cadatipo diferente de energia. Quando adicionamos todos os n¶umeros, referentes atodas as diferentes formas de energia, resulta sempre o mesmo total. Todavia,tanto quanto sabemos, n~ao existem unidades reais, n~ao h¶a pequenas esferasde energia. Trata-se de uma abstra»c~ao, puramente matem¶atica: h¶a apenasum n¶umero que n~ao varia, qualquer que seja o modo como ¶e calculado. N~aoconsigo dar melhor interpreta»c~ao do que esta.

Esta energia assume v¶arias formas, µa semelhan»ca dos cubos na caixa, na¶agua, etc. Existe energia devida ao movimento, chamada \ energia cin¶etica",energia devida µa intera»c~ao gravitacional, chamada \energia potencial gravita-cional", energia t¶ermica, energia el¶etrica, energia da luz, energia el¶astica, porexemplo, numa mola, energia qu¶³mica, energia nuclear | e existe tamb¶em aenergia que qualquer part¶³cula tem pelo simples fato de existir, energia quedepende diretamente da respectiva massa. Esta ¶ultima deve-se a Einstein,como com certeza sabem. E = mc2 ¶e a famosa equa»c~ao que representa a leide que estou a falar.

Embora tenha mencionado um grande n¶umero de energias, gostaria de ex-plicar que n~ao somos completamente ignorantes e que conhecemos, de fato, asrela»c~oes entre algumas destas energias. Por exemplo, aquilo a que chamamos\energia t¶ermica" ¶e, em grande medida, a energia cin¶etica do movimento daspart¶³culas no interior de um objeto. A energia el¶astica e a energia qu¶³micatem ambas a mesma origem, nomeadamente as for»cas interatomicas. Quandoos ¶atomos se rearranjam segundo uma nova estrutura, veri¯ca-se que h¶a uma

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Texto 2 | p. 8

varia»c~ao de energia, implicando essa mudan»ca que algo mais tem de aconte-cer. Por exemplo, na combust~ao de qualquer coisa varia a energia qu¶³mica eocorre um °uxo de calor: o balan»co de energia tem de estar certo. As energiasel¶astica e qu¶³mica provem de intera»c~oes entre os ¶atomos. Sabemos hoje queestas intera»c~oes s~ao uma combina»c~ao de duas coisas, a energia el¶etrica e aenergia cin¶etica, embora esta ¶ultima seja descrita por uma f¶ormula quantica.A energia da luz n~ao ¶e mais do que energia el¶etrica, uma vez que a luz ¶e hojeinterpretada como uma onda eletromagn¶etica. A energia nuclear n~ao podeser representada em fun»c~ao das outras; de momento s¶o posso dizer que ¶e o re-sultado das for»cas nucleares. N~ao estou falando apenas da energia produzida.No n¶ucleo de uranio existe uma determinada quantidade de energia; quandose desintegra, a quantidade de energia nuclear muda, mas a quantidade to-tal de energia no mundo n~ao varia: no decurso da desintegra»c~ao liberta-se,portanto, calor e mat¶eria, a ¯m de que a energia seja conservada.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 9



Trabalho e Energia

1. Um bloco de massa m = 0; 5 kg move-se com velocidade ~v0 constantesobre uma mesa horizontal lisa. Calcule o trabalho realizado por todasas for»cas que atuam sobre o bloco no seu deslocamento entre os pontosA e B distantes 3 m entre si.

A B

οοvr 1Ex.

b

h

οοvr 2Ex.

2. Um bloco de massa m = 0; 2 kg move-se com velocidade ~v0 constantesobre um plano inclinado com altura h = 3 m e base b = 4 m. Calculeo trabalho realizado por cada uma das for»cas que atuam no bloco desdeo alto at¶e a base do plano inclinado.

3. Um bloco de massa m move-se sobre uma mesa horizontal. O coe-¯ciente de atrito cin¶etico entre a superf¶³cie da mesa e o bloco ¶e ¹c.Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam sobre obloco no seu deslocamento entre o ponto A, onde sua velocidade ¶e ~v0,e o ponto B, onde o bloco p¶ara, em fun»c~ao dos dados (m, ¹c, v0 e g).

4. Um bloco de massa m = 0; 5 kg sobe um plano inclinado com alturah = 3 m e base b = 4 m. O coe¯ciente de atrito cin¶etico entre o blocoe a superf¶³cie ¶e ¹ = 0; 25, a velocidade do bloco quando ele come»ca asubir o plano inclinado ¶e 8 m/s, e a acelera»c~ao da gravidade pode serconsiderada como g = 10 m=s2.

(a) Calcule o trabalho realizado por todas as for»cas que atuam nobloco desde o in¶³cio da subida at¶e o ponto que o bloco p¶ara.

(b) Calcule a varia»c~ao da energia cin¶etica do bloco.

(c) Calcule a distancia que o bloco percorreu at¶e parar.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 10

5. Para empurrar um caixote de 25; 0 kg numa rampa sem atrito quefaz um angulo de 30± com a horizontal, um oper¶ario exerce uma for»caconstante de 200 N, paralela µa rampa. Se o caixote se desloca de 1; 5 m,qual o trabalho executado sobre o caixote

(a) pelo oper¶ario,

(b) pelo peso do caixote,

(c) pela for»ca normal exercida pela rampa sobre o caixote?

(d) Qual a varia»c~ao na velocidade do caixote, se ele parte do repouso?

6. Considere um corpo de massa m movendo-se sob a a»c~ao de uma for»ca~F constante. Demonstre que neste caso | em que a for»ca resultante¶e constante | o \teorema trabalho-energia cin¶etica" ¶e equivalente µaequa»c~ao v2

f = v2i + 2~a ¢ ¢~r (µas vezes chamada de \equa»c~ao de Tor-

ricelli"), onde ~vf ¶e a velocidade ¯nal, ~vi ¶e a velocidade inicial, ~a ¶e aacelera»c~ao do corpo e ¢~r ¶e a distancia percorrida pelo corpo entre osinstantes inicial e ¯nal. Mostre que se o movimento ¶e unidimensional,esta express~ao pode ser escrita como v2

f = v2i +2 a¢x, onde ¢~r = ¢x ³.

7. Um homem de 90 kg pula de uma janela para uma rede de bombeiros,10 m abaixo. A rede se estica de 1; 0 m antes de deter a queda earremessar o homem para cima. Qual a energia potencial da rede esti-cada, supondo que a energia mecanica ¶e conservada?

8. Considere o sistema constitu¶³do por um corpo de massa m ligado aum ¯o de comprimento ` preso a um ponto A. Sabe-se que a tens~aom¶axima suportada pelo ¯o ¶e igual a 2mg. Se a massa ¶e solta de umponto B situado na mesma horizontal de A, a que distancia vertical habaixo desta horizontal a corda se rompe?

AB

l h

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 11

9. Um objeto de massa m desliza ao longo de uma pista sem atrito con-tendo uma curva circular vertical de raio r, como mostrado na ¯gura.O objeto parte do repouso de um ponto A na pista, a uma altura hacima da base da curva, passa por B, na base e d¶a a volta na curva.

(a) Determine o m¶odulo da velocidade do objeto nos pontos B, C eDda ¯gura.

(b) Determine a menor altura h para que o corpo de uma volta com-pleta na pista circular.

(c) Determine a altura h0 tal que, quando a part¶³cula atingir o pontoD, ela exer»ca sobre a pista uma compress~ao igual ao seu pr¶opriopeso.

A

B

C

Dh

r

9Ex.

θθ

°°30

10Ex.

10. Um pendulo de 1 m de comprimento ¶e amarrado ao topo de um arm¶ario,como mostra a ¯gura.O peso ¶e elevado de tal modo que a corda fa»ca umangulo de 30± com a vertical, e, ent~ao, liberado. Se o lado do arm¶ariotiver comprimento 0; 5 m, que angulo a corda far¶a com a vertical quandoo peso estiver em seu ponto mais alto sob o arm¶ario? Admita que todosos efeitos de atrito s~ao desprez¶³veis.

11. Um objeto de massa m ¶e amarrado num suporte no teto usando-seuma corda ¯na e °ex¶³vel de comprimento l. Ele ¶e deslocado at¶e que acorda esteja esticada horizontalmente, como mostra a ¯gura, e depois¶e deixado livre.

(a) Ache a velocidade atingida pela massa quando ela est¶a diretamenteabaixo do ponto de suspens~ao, na base de sua oscila»c~ao.

(b) Ache a tens~ao na corda neste ponto, imediatamente antes da cordatocar no pino.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 12

(c) A corda ¶e interceptada por um pino, como mostra a ¯gura. Quala distancia b m¶³nima para que a massa realize um giro completoem torno do pino?

l

b

11Ex.

1m

2mh

12Ex.

12. Analise, usando considera»c~oes de energia, o movimento da m¶aquina deAtwood mostrada na ¯gura. A corda e a polia tem massas desprez¶³veis,a polia n~ao tem atrito, e m1 > m2. O sistema est¶a inicialmente emrepouso.

(a) Se voce considerar o topo da mesa sobre a qual m2 repousa comoo n¶³vel de referencia, qual a energia total do sistema?

(b) O sistema ¶e liberado e m1 desce. Escreva uma express~ao para aenergia total do sistema pouco antes de m1 atingir a mesa.

(c) Com os resultados dos itens (a) e (b), determine a velocidade doscorpos pouco antes de m1 atingir a mesa.

(d) Quando m1 atinge a mesa, a corda torna-se frouxa. Use consi-dera»c~oes de energia para determinar a que distancia m2 se elevadepois disso.

13. Uma bola de 0; 5 kg ¶e lan»cada verticalmente para cima com velocidadeinicial de 20 m/s e atinge uma altura de 15m. Calcule a perda deenergia devida µa resistencia do ar. Considere g = 9; 8 m/s2.

14. (a) Usando o teorema trabalho-energia, ache a distancia m¶³nima paraparar um autom¶ovel se movendo numa superf¶³cie horizontal ondeo coe¯ciente de atrito entre os pneus e a estrada ¶e ¹ e a velocidadeinicial ¶e v0.

(b) Qual seria a distancia m¶³nima se v = 25; 82 m/s (96; 564 km/h) e¹ = 0; 8?

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 13

(c) Ache a resposta do item (a) supondo que haja um \tempo derea»c~ao" tr entre o instante em que o motorista ¶e avisado paraparar e o momento em que os freios s~ao aplicados.

(d) Qual a resposta do item (b) se o tempo de rea»c~ao do motorista forde 0; 65 s? Considere g = 9; 81 m/s2.

15. Um modo simples de se medir o coe¯ciente de atrito cin¶etico entre duassuperf¶³cies ¶e mostrado na ¯gura. Um bloco de massa m desliza numasuperf¶³cie horizontal; a interface entre os dois ¶e a interface de atrito aser estudada. Este bloco ¶e acelerado atrav¶es de uma distancia h pelaqueda da massa m0. Depois da massa m0 bater no ch~ao, a massa mcontinua a se mover ao longo da superf¶³cie, at¶e parar, devido ao atrito,ap¶os percorrer uma distancia adicional d. Usando a conserva»c~ao deenergia, determine:

(a) uma express~ao para o coe¯ciente de atrito cin¶etico em termos dasgrandezas mensur¶aveis m;m0; h e d;

(b) o coe¯ciente de atrito no caso em que m = 0; 200 kg,m0 = 20; 0 kg,h = 0; 200 m e d = 0; 500 m.

'm

m h

h

d15 Ex.

1 2 3 4 5 6 7x (m)

-3

-2

-1

0

1

2

3

F (N ) Ex. 16

16. Uma for»ca F paralela ao eixo x varia conforme o gr¶a¯co da ¯gura.

(a) Determine o trabalho realizado pela for»ca atuando sobre uma part¶³-cula que se move de x = 0 at¶e x = 3 m.

(b) Calcule o trabalho realizado por F quando a part¶³cula passa dex = 3 m a x = 6 m.

(c) Ache o trabalho realizado no percurso de x = 0 at¶e x = 6 m.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 14

17. O gr¶a¯co da ¯gura representa a varia»c~ao de uma for»ca unidimensionalem fun»c~ao da distancia µa origem do eixo x. Esta for»ca est¶a agindo sobreuma part¶³cula de massa 2 kg que est¶a com velocidade 3 m/s no pontox = 0. Qual ¶e a sua velocidade em x = 4 m?

1 2 3 4x (m )0

1

2

3

F (N ) Ex. 17

m18 Ex.

h

18. A mola representada na ¯gura tem a massa desprez¶³vel e sua constanteel¶astica tem um valor igual a k. Um bloco de massa m ¶e largado,num certo instante, de uma altura h acima do topo da mola. Supondodesprez¶³veis os poss¶³veis atritos, sabendo que o bloco desliza ao longode um cilindro vertical e que a extremidade inferior da mola est¶a ¯xa,calcule o deslocamento m¶aximo do topo da mola.

19. Um bloco de massa m ¶e empurrado por uma for»ca ~Fext contra uma molade constante el¶astica k. O bloco comprime a mola a uma velocidadeconstante, at¶e uma distancia d em rela»c~ao µa posi»c~ao de equil¶³brio damola. A velocidade do bloco (e de seu extremo) pode ser consideradacomo sendo muito pequena, de forma tal que podemos desprezar aenergia cin¶etica do bloco no processo de compress~ao da mola. Logoque a mola ¯ca comprimidade de d, solta-se o bloco e este desliza pelapista, como mostra a ¯gura. N~ao existe atrito em parte alguma.

km

extFr

d

19 Ex.

B••

••C

h

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 15

(a) Qual ¶e o trabalho Wext realizado pela for»ca ~Fext? Em que foitransformado este trabalho?

(b) Qual ¶e a velocidade ~v0 do bloco quando chega ao ponto B, a p¶eda pista curvil¶³nea?

(c) Qual a altura que o bloco atinge, ao chegar ao ponto C, onde p¶ara?

(d) Calcule os valores das grandezas obtidas nos itens anteriorespara o caso em que k = 200 dinas/cm, d = 2 m e m = 2 g.Indique as unidades de cada grandeza que calcular. Considereg = 10 m/s2.

20. Um objeto move-se ao longo do eixo x impulsionado por duas for»cas,~F1 e ~F2, como mostrado na ¯gura. O m¶odulo da for»ca ~F1 varia com xe o de ~F2 ¶e constante e igual a 20 N.

(a) Determine o trabalho realizado por ~F1 quando o objeto se movede x = 0 at¶e x = 3 m.

(b) Qual o trabalho correspondente realizado por ~F2?

(c) Qual a velocidade do objeto em x = 3 m, se ele parte do repousoem x = 0 e seu peso ¶e de 80 N? Suponha que n~ao exista atritoentre o corpo e a superf¶³cie e considere g = 10 m/s2.

1Fr

2Fr

οο60

20 Ex.

km

21 Ex. C

Ch

••

••

Bh

B

θθ

21. Um bloco de massa m = 0; 2 kg est¶a encostado em uma mola compri-mida de 8 cm em rela»c~ao ao seu comprimento normal. Ao ser liberadaa mola, o bloco desloca-se plano inclinado acima, chegando ao pontoB (altura hB = 1; 8 m) com velocidade vB = 4 m/s. Considere queno trecho at¶e B n~ao h¶a atrito. A partir de de B o atrito n~ao ¶e maisdesprez¶³vel, e o bloco ¯nalmente p¶ara no ponto C (altura hC = 2; 2 m).A inclina»c~ao do plano ¶e de 30±.

(a) Calcule, em fun»c~ao dos dados do problema, o valor da constanteel¶astica da mola.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 16

(b) Qual o trabalho realizado pela for»ca de atrito desde o instanteinicial at¶e o instante em que o bloco p¶ara?

(c) Determine o coe¯ciente de atrito entre o bloco e a superf¶³cie doplano inclinado no trecho BC.

22. Considere dois observadores, o primeiro ¯xo ao solo e o outro num tremque se move com velocidade uniforme u em rela»c~ao ao solo. Cada umdeles observa que uma part¶³cula de massa m, inicialmente em repousoem rela»c~ao ao trem, ¶e acelerada por uma for»ca constante aplicada a eladurante um intervalo de tempo t, e orientada no sentido do movimento.

(a) Mostre que, para cada observador, o trabalho realizado pela for»ca¶e igual ao acr¶escimo de energia cin¶etica da part¶³cula, mas que umobservador (no trem) mede estas grandezas como sendo 1=2ma2t2,enquanto que o outro (no solo) encontra 1=2ma2t2 +maut, ondea ¶e a acelera»c~ao da part¶³cula vista pelos dois observadores.

(b) Explique as diferen»cas entre os trabalhos realizados pela mesmafor»ca em termos das diferentes distancias nas quais os observadoresmedem a for»ca que atua durante o tempo t. Explique as diferentesenergias cin¶eticas ¯nais medidas por cada observador em fun»c~ao dotrabalho que a part¶³cula poderia realizar ao ser trazida ao repouso,em rela»c~ao ao sistema de referencia de cada observador.

23. Considere o sistema constitu¶³do por uma massa m apoiada numa mesahorizontal lisa e presa a uma extremidade de uma mola de massa des-prez¶³vel e constante el¶astica k. A outra extremidade da mola est¶a ¯xa.

(a) Calcule a energia potencial do sistema e trace o gr¶a¯co desta fun»c~ao.

(b) Se o sistema massa-mola for comprimido de uma distancia d emrela»c~ao ao seu comprimento de equil¶³brio, qual ¶e a energia total dosistema?

(c) Para a energia do item (b), quais as regi~oes do espa»co em que amassa pode ser encontrada?

(d) Calcule os valores m¶aximo e m¶³nimo da velocidade da massa. Emque pontos esses valores ocorrem?

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 17

24. Uma part¶³cula desloca-se sobre um eixo x sob a»c~ao de uma for»ca resul-tante conservativa cuja energia potencial est¶a representada no gr¶a¯co.No instante inicial a part¶³cula estava no ponto x1, afastando-se daorigem do eixo x.

x7x

8x

9x4 x5x2 x3

x6x

1

x

U(x)

(a) Descreva o movimento da part¶³cula quando a energia mecanica total¶e E1. Caso existam, quais s~ao os pontos de invers~ao neste movimento?

(b) Repita o item (a) no caso em que a energia mecanica total ¶e E2.

(c) Idem para o caso em que a energia mecanica total ¶e E3.

(d) Em que regi~oes do eixo x a for»ca resultante aponta para a origemdo eixo x? Justi¯que todas as suas respostas.

25. Um corpo de massa 1 kg que se move sobre o eixo x est¶a sujeito a umafor»ca dada por

F (x) = ¡2x

onde x ¶e dado em metros e F em Newtons.

(a) Determine a energia potencial U em fun»c~ao de x, considerandoU (0) = 0.

(b) Trace o gr¶a¯co de U contra x.

(c) Qual o ponto de equil¶³brio est¶avel e qual a energia do corpo nestasitua»c~ao?

(d) Se em x = 0 o corpo tem velocidade v0 = 1 m/s, qual a regi~ao dex para a qual o corpo oscila?

26. Uma part¶³cula de massa m = 2 kg move-se ao longo de uma linha retaem uma regi~ao em que a sua energia potencial varia como na ¯gura.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Ex.10 | p. 18

N~ao h¶a for»cas dissipativas agindo. Quando x!1, a energia potencialse anula.

x2

x1

6

-5

x

U(x )

(a) Sabendo-se que a part¶³cula se aproxima da origem (x = 0) e quesua energia cin¶etica quando est¶a muito longe dela ¶e de 10 J, determineo m¶odulo de sua velocidade ao passar pelos pontos x1 e x2.

(b) Em que regi~ao a part¶³cula pode ser encontrada se sua energia totalfor de ¡3 J?

(c) Neste caso, quanta energia deve ser fornecida µa part¶³cula para queela se afaste inde¯nidamente da origem?

27. A energia potencial de uma part¶³cula de massa m em fun»c~ao de suaposi»c~ao x esta indicada na ¯gura. Calcule o per¶³odo de uma oscila»c~aocompleta, caso a part¶³cula tenha uma energia mecanica total dada porE = 3U0=2.

E

2U 0

U 0

0 b x

U(x)

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 19



1. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 0 J.

2. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6; 0 J; WATRITO = ¡ 6; 0 J.

3. WNORMAL = 0 J ; WPESO = 6; 0 J; WATRITO = ¡12 mv2

±.

4. (a) WNORMAL = 0 J; WPESO = 0 J; WATRITO = ¡ 4; 0 J;

(b) ¢Ec = ¡ 16; 0 J; (c) 4; 0 m.

5. (a) 300; 0 J; (b) ¡ 187; 5 J; (c) 0 J; (d) 3; 0 m/s.

6. (Leia a demonstra»c~ao no livro texto, e discuta com seu professor.)

7. 9; 9 £ 103 J.

8. 23 `.

9. (a) vB =p

2 g h ; vC =q

2g (h¡ r) ; vD =q

2g (h¡ 2r) ;

(b) h = 5 r=2; (c) h0 = 3r.

10. arccos 0; 73 = 43±.

11. (a)p

2g` ; (b) 3mg ; (c) 25`.

12. (a) m1 g h ; (b) 12

(m1 +m2) v2 +m2 g h ;

(c)q

m1¡m2m1+m2

2g h ; (d) m1¡m2m1+m2

h.

13. ¡ 25 J.

14. (a) v2±=(2¹g); (b) 42 m; (c) v2

±=(2¹g) + v± tr ; (d) 59 m.

15. (a) ¹= (m0 h) = [(m+m0) d +mh]; (b) 0; 39.

16. (a) 7; 5 J; (b) ¡ 3; 0 J; (c) 4;5 J.

17. 3; 9 m/s.

F¶³s1 { 04/1 { G.3 { Resp.Ex.10 | p. 20

18. mg=k³1 +

q1 + 2kh=(mg)

´.

19. (a) WEXT = 12 kd

2; em energia potencial el¶astica; (b) v± =qk=md;

(c) h = kd2=(2mg); (d) WEXT = 0; 4 J, v± = 20 m/s, h = 20 m.

20. (a) 0 J; (b) considerando o angulo entre ~F2 e a horizontal como sendode 60±, 30 J; (c) 2; 7 m/s.

21. Usando g = 10 m/s2, (a) k = 1625 N/m, (b) WAT = ¡ 0; 8 J, (c) 0; 6.

22. (Discuta com o seu professor).

23. (a) Considerando a energia potencial el¶astica igual a zero quando a molan~ao est¶a comprimida nem distendida, Ep = 1

2 k x2 (x ¶e o deslocamento

da massa em rela»c~ao µa posi»c~ao de equil¶³brio do sistema). (b) E = 12k d2.

(c) ¡ d · x · +d. (d) vMAX = +qk=m; d e vMIN = ¡

qk=m; d; ambas

ocorrem quando x = 0.

24. As energias n~ao est~ao indicadas na ¯gura; considere E1 como sendo aenergia associada µa linha pontilhada mais baixa, E2 a seguinte, e E3 µamais alta. (a) Movimento oscilat¶orio entre os pontos x1 e x3; pontos deinvers~ao x1 e x3. (b) O corpo move-se aumentando sua velocidade at¶ex2, e come»ca, a partir da¶³, a ter sua velocidade reduzida, at¶e parar emx4; nesse ponto, ¶e acelerado para x = 0. (c) O corpo move-se at¶e x9 eretorna. (d) At¶e o primeiro m¶aximo (n~ao indicado na ¯gura, antes dex1) a for»ca ¶e negativa (aponta para a origem do eixo); a for»ca tamb¶emaponta para x = 0 em: x2 < x < x4 e x > x6.

25. (a) U (x) = x2. (c) x = 0; para ocorrer equil¶³brio est¶avel, E = 0. (d)¡0; 7 · x · 0; 7.

26. (a) T (x1) = 4 J, T (x2) = 15 J. (b) Substitua no enunciado \se suaenergia total for de ¡ 3J" por \se sua energia total for de ¡ 5 J": emx = x1. (c) Nesse caso, 11 J.

27. Na ¯gura, falta a indica»c~ao do valor de x para o qual a energia potencialsalta do valor U± para o valor 1; 5U±; considere esse valor como sendo1; 5 b.

per¶³odo completo = 2 bq

712m=U±.

1


GUIA DE ESTUDO 4

M¶odulo 4: A Rotac»~ao de um Corpo

1. INTRODUC» ~AO

Neste m¶odulo, estudaremos o movimento de rota»c~ao de um corpo, e asgrandezas que usamos para descreve-lo: coordenada, velocidade e acelera»c~aoangulares. Introduziremos o conceito de torque ~¿ de uma for»ca em rela»c~ao aum ponto, e momento angular ~L de um corpo em rela»c~ao a um ponto. Dis-cutiremos a rela»c~ao entre eles, a \segunda lei" para rota»c~oes. Tudo ilustradocom o movimento planet¶ario e as leis de Kepler.

Leituras indispens¶aveis:Os t¶opicos citados acima correspondem a parte dos cap¶³tulos 10 (se»c~oes 10.1a 10.8), 11 (se»c~oes 11.3 e 11.4, e parte da se»c~ao 11.2) e a revis~ao do cap¶³tulo3 (se»c~oes 3.7 e 3.8) do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica,Vol. 1 { Mecanica, 3a edi»c~ao, Editora Edgard Blucher Ltda.


Atividade extra 1

1. Resolva os exerc¶³cios 1 a 4 da Lista de Exerc¶³cios 11, maisuma sobre vetores.

Atividade 1

Discuss~ao sobre as leis de Kepler e sobre a lei da gravita»c~ao universalde Newton (se»c~oes 10.1 a 10.8 do livro texto); e uma revis~ao sobre adescri»c~ao do movimento circular (se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto), coma obten»c~ao da rela»c~ao entre raio m¶edio da ¶orbita e per¶³odo (a terceiraLei de Kepler).

Atividade 2

Demonstrar, a partir da lei da gravita»c~ao universal de Newton, a ter-ceira lei de Kepler para uma ¶orbita circular (o problema inverso doresolvido na se»c~ao 10.6 do livro texto).

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 2

Atividades extras 2

1. Leia as se»c~oes 10.1 a 10.8 do cap¶³tulo 10 do livro texto.

2. Resolva os problemas 3, 4 e 6 da Lista de exerc¶³cios 12(Rota»c~oes, Torque e Momento Angular da Part¶³cula).

3. Resolva o problema 7 da Lista 11 (... E Mais Vetores).

4. Resolva os problemas 3.18, 3.19 e 3.20 do cap¶³tulo 3 dolivro texto.

5. Resolva os problemas 10.1, 10.2 e 10.3 do cap¶³tulo 10 dolivro texto.

Atividade 3

Discuss~ao:

| o que ¶e o produto vetorial de dois vetores, quais suas propriedadese maneiras de calcul¶a-lo (pequeno trecho µas p¶aginas 229 e 230 da se»c~ao11.2 do livro texto);

| o conceito de torque de uma for»ca;

| o conceito de momento angular de um corpo;

| e como reescrever a segunda lei de Newton para rota»c~oes: d~L±dt

= ~¿ res± ;

| e, ¯nalmente, como demonstrar as leis de Kepler a partir da lei dagravita»c~ao universal de Newton.

Atividade 4

Resolu»c~ao dos problemas 9, 11, 12, 13 e 14 da Lista 12.

Atividades extras 3

1. Leia (releia!) as se»c~oes 3.7 e 3.8 do livro texto.

2. Leia a parte da se»c~ao 11.2 referente ao produto vetorialde dois vetores.


4. Resolva todos os exerc¶³cios (os que faltam) da Lista 11,sobre vetores e produto vetorial.

5. Resolva todos os exerc¶³cios (os que faltam) da Lista 12.

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 3

Atividade 5

Resolu»c~ao de problemas, a crit¶erio do professor.

Atividades extras 4

1. Releia tudo que foi indicado nas aulas anteriores.

2. Resolva todos os problemas da Lista 12 (rota»c~oes, torquee momento angular) que voce ainda n~ao resolveu.

3. Leia as se»c~oes 3.4, 3.5 e 3.6 do cap¶³tulo 3.

3. ATIVIDADES DE ESTUDO EM CASA

1. Releia tudo: cap¶³tulos 1 (todo), 2 (todo), 3 (todo), 4 (todo), 5 (excetose»c~ao 5.4), 6 (todo), 7 (se»c~oes 7.1, 7.2, 7.3 e parte a da se»c~ao 7.6), 10(exceto se»c~oes 10.9, 10.10 e 10.11), 11 (apenas as se»c~oes 11.3 e 11.4,mais a de¯ni»c~ao de produto vetorial na se»c~ao 11.2).

2. Refa»ca todos os exemplos resolvidos do livro.

3. Termine ou refa»ca todos os problemas indicados neste e nos guias an-teriores.

4. Fa»ca o que voce ainda n~ao fez.

F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 4



... e Mais Vetores

1. O produto vetorial de dois vetores ¶e uma opera»c~ao que associa a doisvetores ~a e ~b um terceiro vetor ~c = ~a £~b de¯nido por um vetor:

{ de m¶odulo c = a b sen µ , onde µ ¶e o menor angulo entre ~a e ~b ;

{ de dire»c~ao perpendicular tanto µa dire»c~ao de ~a quanto µa dire»c~ao de ~b;

{ de sentido (por conven»c~ao) obtido atrav¶es da regra da m~ao direita:colocando a m~ao direita com a palma aberta na dire»c~ao do vetor~a, tente fechar a palma levando-a de ~a para ~b atrav¶es do menorangulo; quando o movimento de ir de ~a para ~b fechar a m~ao, osentido que o polegar apontar ¶e o sentido de ~c.

Usa-se a nota»c~ao £ para representar o produto vetorial. Da ¯gura eda de¯ni»c~ao, observa-se que

c = j~a £~bj = a b sen µ = ab? ;

onde ~b? ¶e a proje»c~ao de ~b sobre a dire»c~ao perpendicular a ~a .

) θθar

br

⊥⊥br

bacrrr

××==

ar

bacrrr

××==

br

1

2

Demonstre que

(a) j~a £ ~bj = S , onde S ¶e a ¶area do paralelogramo de lados de¯nidos

por ~a e ~b.

F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 5

(b) ~a £~a = 0.

(c) ~a £~b = ¡~b£ ~a.(d) Se a 6= 0, b 6= 0, ent~ao ~a £~b = 0 , ~a k ~b.(e) Se ® ¶e um n¶umero real qualquer, ~a£

³®~b´

= (®~a)£b = ®³~a£ ~b

´=

®~a£~b.(f) ~a £

³~b +~c

´= ~a £~b+~a £ ~c.

2. Considere um sistema de eixos cartesianos x; y; z

como na ¯gura. Os unit¶arios destes eixos s~ao os

vetores ³, ^ e k respectivamente.

Demonstre as express~oes a seguir.x

y

z

(a) ³£ ³ = ^£ ^= k £ k = 0 ; ³£ ^ = k ; ³£ k = ¡^; ^£ k = ³ .

(b) Se ~a = ax ³ + ay ^+ az k e ~b = bx ³ + by ^+ bz k , ent~ao

~a£~b = (aybz ¡ azby) ³ + (azbx ¡ axbz) ^+ (axby ¡ aybx) k

3. Para ~a = ³ + ^, ~b = ³¡ ^ , ~c = ³¡ ^+ 2 k , e ~d = ¡ 2 ³ +^¡ k calcule

(a) ~a +~b

(b) ~a ¡~b(c) ~a ²~b(d) ~a £~b(e)

³~a+~b

´²³~a¡ ~b

´

(f)³~a+~b

´£³~a ¡~b

´

(g) ~c ² ~d(h) ~c£ ~d

(i) ~a £³~c + ~d

´

(j)³~a£ ~b

´£ ~c

F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 6

4. Calcule o produto vetorial ~a £~b entre os vetores ~a e ~b onde

(a) ~a = 3 ³¡ ^+ k e ~b = ¡6 ³ + 2^¡ 2 k;

(b) ~a ¶e o vetor que liga os pontos O e B, e ~b ¶e o vetor que liga ospontos A e B do cubo de aresta 1 m da ¯gura.

A B¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

O

C

5. Mostre, baseado na de¯ni»c~ao geom¶etrica do produto vetorial ou usandosua express~ao em componentes, que:

(a) a ¶area do paralelogramo cujos lados s~ao formados pelos vetores ~a

e ~b ¶e j~a £~b j;(b) a ¶area do triangulo cujos lados s~ao formados pelos vetores ~a e ~b

¶e 12 j ~a£~b j;

(c) se ~a e ~b s~ao dois vetores quaisquer, ent~ao

j~a £~b j 2 = a2 b2 ¡³~a ¢~b

´2;

(d) se ®, ¯, ° s~ao os angulos opostos aos tres lados ~a , ~b , ~c de umtriangulo, ent~ao (lei dos senos)

a

sen®=

b

sen¯=

c

sen°;

(e) se ~a , ~b s~ao dois vetores quaisquer,

³~a +~b

´£³~a ¡~b

´= 2~a £~b

(interprete geometricamente este resultado);

(f) ~a £³~b£ ~c

´= ~b (~a ¢ ~c ) ¡ ~c

³~a ¢~b

´;

(g)³~a £~b

´¢ ~c =

³~b£ ~c

´¢ ~a = (~c£ ~a ) ¢~b.

F¶³s1 { 04/1 { G.4 { Ex. 11 | p. 7

6. (a) Mostre que o m¶odulo do produto triplo

j³~a£~b

´¢ ~c j

¶e o volume do paralelep¶³pedo cujos lados s~ao de¯nidos pelos ve-tores ~a , ~b e ~c .

(b) Calcule a ¶area da superf¶³cie deste paralelep¶³pedo.

(c) Considere ~a = ³ +^, ~b = ³¡ ^ e ~c = ³ + 2 k . Calcule a ¶area dasuperf¶³cie e o volume do paralelep¶³pedo de¯nido por estes vetores.Considere as unidades dadas no S.I.

7. De¯ne-se o vetor torque de uma for»ca em rela»c~ao a um ponto como

~¿FO = ~r £ ~F

onde ~r ¶e o vetor que de¯ne a posi»c~ao, em rela»c~ao ao ponto O, do pontode aplica»c~ao da for»ca.

O

rv

Fr

aplicada é força a

que em ponto

Considere um objeto num ponto cuja posi»c~ao em rela»c~ao a um obser-vador ¯xo a um ponto O ¶e descrito por

~r = ³ + 2^¡ k

Sobre este corpo a for»ca resultante atuando vale

~F = 3 ³¡ ~(todas as unidades est~ao em unidades do SI.)

Calcule o torque da for»ca ~F em rela»c~ao ao ponto O.

Calcule o torque da for»ca ~F em rela»c~ao ao ponto O' cuja posi»c~ao emrela»c~ao a O ¶e descrita por ~OO0 = ³.

Os dois valores s~ao iguais?

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 8



Rotac»~oes, Torque e Momento Angular

1. Um LP (tamb¶em chamado de \disco de vinil") gira num toca-discosque descreve 33 rpm. Estime a velocidade de um ponto pr¶oximo µaperiferia, no in¶³cio do disco, e pr¶oximo a seu centro, no ¯nal do disco,ambas medidas por um observador ¯xo µa Terra.

2. Para o problema anterior, estime a desacelera»c~ao do prato do toca-discos quando a agulha chega a seu ¯m e o prato p¶ara, supondo adesacelera»c~ao constante e o tempo de parada da ordem de 10 s.

3. Quais os m¶odulos da velocidade e da acelera»c~ao, para um observadorsuposto inercial, ¯xo ao seu eixo de rota»c~ao, de um corpo parado sobrea superf¶³cie da Terra (a) sobre o Equador; (b) na latitude de 23± (Riode Janeiro); (c) no p¶olo Sul? Despreze o movimento da Terra em tornodo Sol.

4. Quais os m¶odulos da velocidade e da acelera»c~ao da Terra em seu movi-mento de rota»c~ao em torno do Sol? Suponha a ¶orbita da Terra circular,e procure em tabelas os dados que voce precisa.

5. Um motor que move um moinho ¶e desligado quando este ¶ultimo gira a240 rpm. Ap¶os 10 s, a velocidade angular ¶e 180 rpm. Se a desacelera»c~aoangular permanecer constante, quantas rota»c~oes adicionais ele faz at¶eparar?

6. As duas polias de uma m¶aquina est~ao ligadas por uma correia que n~aodesliza, conforme mostra a ¯gura. Se os raios das duas polias s~ao R1 eR2, determine a raz~ao entre as velocidades angulares das duas polias.Qual das duas gira mais rapidamente?

& %' $R1

¹ ¸º ·R2

h h h h h h h h

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 9

7. O volante de uma m¶aquina a vapor desenvolve uma velocidade angu-lar constante de 150 rpm. Quando o motor ¶e desligado, o atrito dosmancais e do ar fazem com que a roda p¶are em 2,2 horas. (a) Qual ¶ea acelera»c~ao angular m¶edia da roda? (b) Quantas rota»c~oes far¶a a rodaantes de parar? (c) Qual ¶e a acelera»c~ao tangencial de uma part¶³culadistante 50 cm do eixo de rota»c~ao, quando o volante estiver girandoa 75 rpm? (d) Qual ¶e o m¶odulo da acelera»c~ao total da part¶³cula noinstante do item (c)?

8. (*) Demonstre que para um corpo que move-se girando num movi-mento circular em torno de um ponto O com velocidade angular ~! (ve-tor de¯nido como tendo o m¶odulo dado pela velocidade angular usual,dire»c~ao perpendicular ao plano que cont¶em o c¶³rculo do movimento, esentido dado usando a \regra da m~ao direita") podemos escrever, paraum observador inercial ¯xo ao ponto O (o centro do c¶³rculo)

~v = ~! £ ~r

~a = ~®£ ~r + ~! £ (~! £ ~r)~® ¶e o vetor acelera»c~ao angular, de¯nido de forma an¶aloga ao vetorvelocidade angular.

9. Considere uma part¶³cula que est¶a num dado instante na posi»c~ao indi-cada na ¯gura. Sobre ela atuam as duas for»cas ~F1 e ~F2 indicadas, ondeF1 = 10 N e F2 = 20 N. (a) Calcule o torque de cada uma das for»casem rela»c~ao ao ponto O. (b) Calcule o torque da for»ca resultante emtorno do ponto O. (c) Repita o problema para o ponto A da ¯gura.

- x (m)

6

y (m)

O '1A

{1 { { {''''

¾~F1

@@R

~F2

45±

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 10

10. De¯ne-se o vetor torque de uma for»ca em rela»c~ao a um ponto O como

~¿F± = ~r £ ~F

onde ~r ¶e o vetor que de¯ne a posi»c~ao, em rela»c~ao ao ponto O, do pontode aplica»c~ao da for»ca. De¯ne-se o vetor momento angular de umapart¶³cula em rela»c~ao a um ponto O como

~L± = ~r £ ~p =m~r £ ~v

onde ~r ¶e o vetor que de¯ne a posi»c~ao da part¶³cula em rela»c~ao ao pontoO, ~v ¶e a sua velocidade (~v = d~r=dt ) e ~p =m~v ¶e o momento linear dapart¶³cula.

O

rv

Fr

aplicada é força a

que em ponto

O

rv v

r

Demonstre que, se O ¶e um observador num referencial inercial, ent~ao a\segunda lei de Newton para as rota»c~oes" ¶e

d~L±dt

= ~¿ RES± :

11. Um pequeno objeto de massa m est¶a preso a uma extremidade de um¯o de comprimento `. A outra extremidade do ¯o est¶a pendurada noteto de uma sala. O objeto oscila em um plano vertical, em torno desua posi»c~ao de equil¶³brio est¶avel.

(a) Indique todas as for»cas que atuam sobre o objeto.

(b) Calcule o trabalho realizado por cada uma destas for»cas e pelafor»ca resultante quando este corpo desloca-se do ponto mostradona ¯gura (no qual o ¯o faz um angulo ® com a vertical) at¶e oponto de equil¶³brio est¶avel (quando o ¯o est¶a na vertical).

(c) Calcule o torque de cada uma destas for»cas em rela»c~ao ao pontode sustenta»c~ao do ¯o (no teto).

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 11

(d) Supondo que o objeto foi largado do repouso da posi»c~ao mostradana ¯gura a, calcule o valor de sua velocidade no instante em queele passa pela sua posi»c~ao de equil¶³brio.

(e) Neste ponto (¯o na vertical), calcule o momento angular do objetoem rela»c~ao ao ponto de sustenta»c~ao.

ααl

m

⊕⊕

a figura

ααl

m

⊕⊕

b figura

12. Considere um planeta de massa m nas vizinhan»cas de uma estrela demassa M >> m. Supondo que este sistema est¶a isolado de intera»c~oesexternas, e considerando que a estrela est¶a no ponto O (¯xo num refe-rencial inercial),

(a) indique as for»cas que atuam sobre o planeta;

(b) calcule o torque destas for»cas em rela»c~ao ao ponto O.

(c) O momento angular deste planeta ¶e constante? Por que?

13. Um objeto de massa m desliza sobre uma mesa lisa. Nesta mesa, umponto O ¶e tomado como ponto de referencia. No instante t = 0, suavelocidade ¶e ~v± , e ele est¶a no ponto indicado na ¯gura, no qual seuvetor posi»c~ao, de m¶odulo b, ¶e perpendicular µa sua velocidade.

⊕⊕O

οοrr

οοvr

br ==οο

(a) Calcule o torque de cada uma das for»cas que atuam sobre o corpoe o torque da resultante, em rela»c~ao ao ponto O.

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 12

(b) Calcule o momento angular do corpo em rela»c~ao ao ponto O noinstante t = 0.

(c) Quanto vale o momento angular em rela»c~ao ao ponto O em uminstante de tempo t qualquer?

14. O vetor posi»c~ao de uma part¶³cula de massa 2 kg em rela»c~ao a umobservador inercial ¯xo num ponto O ¶e dado por ~r = 2 t2 ³ + t ^+ t4 k,onde todas as unidades empregadas est~ao no S.I. (a) Qual ¶e a for»caresultante que age sobre esta part¶³cula? (b) Qual ¶e o torque destafor»ca em rela»c~ao a O? (c) Qual ¶e o momento angular desta part¶³culaem rela»c~ao a O? (d) Veri¯que se a segunda lei de Newton para asrota»c~oes ¶e v¶alida neste caso.

15. O momento angular de uma part¶³cula, calculado em rela»c~ao a um pontoO parado em rela»c~ao µa Terra, ¶e dado por ~L = b t ³ +c t2 ^, onde b = 2 J,c = 2 J/s, e t ¶e dado em segundos. (a) Determine o torque sobre apart¶³cula em rela»c~ao ao ponto O. (b) Calcule o m¶odulo deste torquepara t = 1 s.

16. Um proj¶etil de massa m ¶e lan»cado com uma velocidade ~v0 que faz umangulo µ0 com a dire»c~ao horizontal. Tomando como origem do sistemade coordenadas o ponto de lan»camento O, calcule o momento angulardo proj¶etil em rela»c~ao a O como fun»c~ao do tempo. Calcule o torqueda for»ca resultante sobre este corpo em rela»c~ao ao mesmo ponto, everi¯que se

d~L0

dt= ~¿0 :

{ { { { { { { { { {O

© © © ©*~v0µ0

17. Quando a Terra est¶a no af¶elio (posi»c~ao em que est¶a mais afastada doSol), no dia 21 de junho, a sua distancia ao Sol ¶e de 1,52 £ 1011 m, esua velocidade orbital ¶e de 2,93 £ 104 m/s. Determine sua velocidadeorbital no peri¶elio (posi»c~ao mais pr¶oxima do Sol), cerca de 6 meses ap¶oso af¶elio, quando sua distancia ao Sol ¶e de 1,47 £ 1011 m. Determinetamb¶em em cada caso a velocidade angular de rota»c~ao da Terra emtorno do Sol.

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 13

18. Um pendulo conico ¶e constitu¶³do por uma bola de massa m presa µaextremidade de um ¯o de comprimento d, amarrado a um suporte ¯xono laborat¶orio. O pendulo gira com velocidade ! constante, com o¯o fazendo um angulo constante ® com a vertical. Qual ¶e o momentoangular ~L0 da bola em rela»c~ao ao ponto de sustenta»c~ao O? Mostrediretamente que a taxa de varia»c~ao de ~L0 em rela»c~ao ao tempo ¶e medidapelo torque em rela»c~ao a O das for»cas que agem sobre a bola.

ααd

Rm

O

ωω

19. Uma part¶³cula de massa m move-se sob a»c~ao de uma for»ca atrativaque varia com o inverso do quadrado da distancia a um ponto ¯xo:F = ¡k=r2. A trajet¶oria descrita ¶e um c¶³rculo de raio a. Mostreque a energia total ¶e E = ¡k=(2a), que o m¶odulo da velocidade ¶e

v =qk=(ma), e que o m¶odulo do momento angular em rela»c~ao ao

centro do c¶³rculo ¶e L =pmka.

20. Um objeto espacial, A, de massa m, aproxima-se de uma estrela B quepermanece ¯xa.

B

A

Dd

Inicialmente, quando A est¶a muito distante de B (r ! 1), A temvelocidade de m¶odulo v0 dirigida ao longo da linha mostrada na ¯gura.A distancia entre esta linha e B ¶e D. O objeto A desvia-se de sua

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 14

trajet¶oria inicial devido µa presen»ca de B, e move-se segundo a trajet¶oriaindicada na ¯gura. A menor distancia entre esta trajet¶oria e B ¶e d.Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da constanteG da gravita»c~ao.

21. A Lua gira em torno da Terra de forma tal que um observador na Terrave sempre a mesma face da Lua. (a) Qual ¶e a raz~ao entre a velocidadeangular orbital da Lua em redor da Terra e a velocidade angular derota»cµao da Terra em torno de seu pr¶prio eixo? (b) Determine a raz~aoentre o momento angular orbital e o momento angular de rota»c~ao daLua, chamando de r a distancia do centro da Terra ao centro da Lua ede RL o raio da Lua.

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 15



1. As demonstra»c~oes podem ser veri¯cadas em textos sobre vetores.


3. (a) 2 ³; (b) 2^; (c) 0; (d) ¡2 k; (e) 0; (f) 4 k; (g) ¡5; (h) ¡ ³¡ 3^¡ k;(i) ³¡ ^+ k; (j) ¡2 ³¡ 2^.

4. (a) 0 (os dois vetores s~ao antiparalelos); (b) ~OC (o vetor que liga ospontos O e C).


6. (a) (demonstra»c~ao). (b) S = 2³¯¯~a £~b

¯¯ + j~a £ ~c j+

¯¯~b£ ~c

¯¯´.

(c) Volume = 4 m3; ¶area = 16 m2.

7. ~¿O = ¡ ³ + 3^¡ 7 k; ~¿O0 = ¡ ³ + 3^¡ 6 k; n~ao.


1. Supondo que os raios interno e externo do LP s~ao respectivamenteiguais a Ri = 5 cm e Re = 15 cm, obt¶em-se para as velocidades osvalores vi = 18 m/s e ve = 52 m/s.

2. a ' 1; 7 m/s2.

3. (a) vE ' 470 m/s, aE ' 0; 03 m/s2; (b)vR ' 430 m/s, aR ' 0;03 m/s2;(c)vP = 0, aP = 0.

4. v ' 3£ 104 m/s, a ' 6 £ 10¡3 m/s2.

5. Ele leva 40 s para parar. Portanto, o n¶umero de rota»c~oes at¶e parar ¶e 4.

6. !2=!1 = R1=R2 > 1; a roda de raio menor gira mais rapidamente.

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 16

7. (a) ® ' 2£ 10¡3 s¡2; (b) aproximadamente 9900 rota»c~oes;

(c) 0; 001 m/s2; (d) aproximadamente 31 m/s2.

8. (demonstra»c~ao)

9. (a) ~¿1 = 10 k (J), ~¿2 = ¡ 20p

2 k (J); (b) ~¿R =³10¡ 20

p2´k (J); (c)

~¿1 = 10k, ~¿2 = ¡10p

2 k, ~¿R = 10³1 ¡

p2´k = ¡0; 4k (J).

10. d~L±dt

= d(~r£~p)dt

= d~rdt£ ~p + ~r £ d~p

dt= ~v £ (m~v) + ~r £ ~FRES = ~¿ RES± :

11. (a) peso e tra»c~ao da corda; (b) W (T ) = 0, W (P ) =mg` (1¡ cos®);

(c) considerando o unit¶ario k como o unit¶ario do eixo Oz perpendicularao plano do papel e para fora deste, ~¿O(T ) = 0, ~¿O(P ) = ¡mg ` sen® k;(d) a velocidade ¶e tangente ao c¶³rculo e aponta da esquerda para a direi-

ta com m¶odulo v =q

2g` (1¡ cos®) ; (e) ~L = ¡m`q

2g` (1¡ cos®) .

12. (a) A for»ca que atua no planeta ¶e a for»ca de atra»c~ao gravitacional entreele e a estrela; (b) 0; (c) sim, porque o torque da for»ca resultante ¶enulo.

13. Usando um sistema de eixos radial, tangencial e perpendicular ao planocom unit¶arios r (dire»c~ao da reta que une o corpo ao ponto O, indo deO para o corpo), t (dire»c~ao perpendicular a r e mesmo sentido davelocidade no instante mostrado na ¯gura) e k (perpendicular ao plano

da mesa, e para dentro dela): (a) ~¿O( ~N ) = bmg t, ~¿0( ~P ) = ¡b mg t,

~¿O(~FRES) = 0; (b) ~LO(t = 0) = bmv± k; (c) ~LO(t) = ~LO(t = 0).

14. (a) FRES =m~a = m ddt

³d~rdt

´= 8 ³ + 24 t2 k;

(b) ~¿RESO = 24 t3 ³¡ 40 t4 ^¡ 8 t k;

(c) ~LO = 6 t4 ³¡ 8 t5^¡ 4 t2 k;

(d)~LOdt = 24 t3 ³¡ 40 t4 ^¡ 8 t k = ~¿RESO .

15. (a) ~¿ = b ³ + 2 c t ^= 2 ³ + 4 t ^; (b) ~¿ (1) = 2 ³ + 4^, ¿ (1) =p

20 J.

16. Usando um sistema de eixos x (a dire»c~ao horizontal para a direita), y(a dire»c~ao perpendicular a x, no plano do papel, de baixo para cima)

F¶³s1 { 04/1 { G.4 | p. 17

e z (perpendicular ao papel, para fora), podemos escrever para os ve-tores acelera»c~ao, velocidade e posi»c~ao: ~a = ~g = ¡g ^, ~v = ~v± ¡ ~g t =v± cos µ± + (v± sen µ± ¡ g t) ^, ~r = ~r± + ~v± t + 1

2~g t2 = v± cos µ± t ³ +³

v± sen µ± t¡ 12g t2

´^. Ent~ao

LO = ¡ 12m gv± cos µ± t2,

¿0 = ¡mg v± cos µ± t,

e veri¯ca-se diretamente que d~L=dt = ~¿ .

17. 3; 03£ 104 m/s; !A = 1; 93 £ 10¡7 rad/s, !P = 2:06£ 10¡7 rad/s.

18. ~LO = md2 ! sen® cos ® ½+m d2 ! sen2 ® k. O torque da tens~ao ¶e nulo.O torque da for»ca peso ¶e ~¿O(P ) = md2 !2 sen2 ® t. Como a derivadado unit¶ario da dire»c~ao radial ¶e o vetor unit¶ario da dire»c~ao tangencialmultiplicado por !, ou d½

dt= ! t, veri¯ca-se diretamente que d~L=dt = ~¿.

19. (Sugest~ao: escreva a segunda lei de Newton e obtenha a velocidade dapart¶³cula.)

20. M = ¡ v2±(d2¡D2)2Gd .

21. (a) As duas velocidades angulares s ao iguais.

(b) LeixoLTerra

=R2Lr2 .

1


GUIA DE ESTUDO 5

M¶odulo 5: Sistema de Part¶³culas:Momento Linear e sua Lei de Conservac»~ao,

Centro de Massa e Colis~oes

1. INTRODUC» ~AO

Neste m¶odulo, daremos in¶³cio µa descri»c~ao de um sistema de part¶³culas, cor-respondendo µa descri»c~ao de sistemas f¶³sicos que n~ao podem ser tratados comoobjetos pontuais. Come»caremos de¯nindo o momento linear de um sistemade part¶³culas e vendo como aplicar e generalizar a segunda lei de Newtonpara este sistema. Estudaremos em que situa»c~oes o momento linear de umsistema de part¶³culas ¶e conservado. Veremos que no estudo de um sistemade part¶³culas um conceito fundamental ¶e o de centro de massa do sistema,ao qual associaremos a for»ca externa total agindo sobre o sistema.

Leituras indispens¶aveis:Os t¶opicos citados acima correspondem aos cap¶³tulos 8 (se»c~oes 8.1 a 8.4) e 9do livro texto, H.M. Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mecanica,3a edi»c~ao, Editora Edgard Blucher Ltda.


Atividade 1

Discuss~ao

| da de¯ni»c~ao de momento linear para um sistema de duas ou maispart¶³culas (se»c~oes 8.1 e 8.2);

| da lei de conserva»c~ao do momento linear (se»c~ao 8.3).

Atividade 2

Resolu»c~ao do problema 26 da lista de exerc¶³cios 13 (sobre Sistema depart¶³culas: momento linear, centro de massa, conserva»c~ao do momento,e colis~oes). Este problema corresponde µa primeira atividade experi-mental do M¶odulo 5, feito no laborat¶orio; pense as condi»c~oes que a

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 2

experiencia deve ser realizada para que haja conserva»c~ao do momentolinear.

Atividades extras 1

1. Leia as se»c~oes 8.1, 8.2 e 8.3 do cap¶³tulo 8 do livro texto.

2. Resolva os exerc¶³cios 6 e 8 da lista de exerc¶³cios 13.

3. Demonstre (com o livro fechado) que para um sistema depart¶³culas

d~P

dt= ~F ext

onde ~P ¶e o momento linear total e ~F ext ¶e a resultantedas for»cas externas aplicadas sobre o sistema.

Atividade 3

Discuss~ao (novamente) dos conceitos apresentados na aula anterior,com a resolu»c~ao dos exerc¶³cios 5 e 2 da lista 13.

Atividade 4

Discuss~ao do conceito de centro de massa, obtendo a equa»c~ao que des-creve o movimento deste ponto (se»c~ao 8.3); e c¶alculos de alguns centrosde massa para sistemas simples (se»c~ao 8.4).

Atividades extras 2

1. Leia novamente as se»c~oes 8.1, 8.2 e 8.3 do livro texto.

2. Leia a se»c~ao 8.4 do livro texto.

3. Resolva os exerc¶³cios 1,2,3,7,8,9,11,14 e 16 da lista 13.

Atividade 5

Discuss~ao dos conceitos envolvidos na an¶alise de colis~oes usando oExemplo A a seguir.

Exemplo A

Consideremos a colis~ao de duas bolas de borracha numa mesasem atrito. As duas bolas tem massas m1 e m2 , e supomosconhecidas as suas velocidades iniciais ~v1i e ~v2i . Durante um

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 3

curto intervalo de tempo as duas bolas permanecem em contato,e depois se afastam com velocidades ¯nais ~v1f e ~v2f .

Esquematicamente, podemos ver como se d¶a a \evolu»c~ao tem-poral" deste sistema, como na ¯gura abaixo.

As duas part¶³culas antes, durante e depois da colis~ao.

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡

t±

v©* v©¼

m1

~v1im2

~v2i

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡

t1 t2

vv¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡

t3

v@I v@R

m1 m2

~v1f

~v2f

Nosso problema fundamental ¶e encontrar as velocidades ¯nais~v1f e ~v2f . Podemos fazer um gr¶a¯co das for»cas que agem sobreos dois corpos como fun»c~ao do tempo. Este gr¶a¯co tem a formamostrada abaixo.

- t

F1(t)

F2(t)

t± t1 t2 t3´¦¦

¥EEEµ³

EE§ ¦¦¦¦

¶

Podemos escrever a segunda lei de Newton para cada um dosdois corpos; tanto antes quanto depois da colis~ao, se ~p1 e ~p2

s~ao os momentos lineares dos corpos,

d ~p1

dt= 0 ;

d ~p2

d t= 0

nos intervalos de tempo t0 < t < t1 e t2 < t < t3 . Poroutro lado, durante a colis~ao | isto ¶e, no intervalo de tempot1 < t < t2 , a segunda lei de Newton nos diz que

d ~p1

d t= ~F1 ;

d~p2

d t= ~F2 :

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 4

Se conhecessemos estas for»cas, poder¶³amos (tentar) resolver oproblema de encontrar as velocidades ¯nais dos corpos. Masna maioria dos casos de colis~oes a forma destas for»cas nos ¶edesconhecida. Sabemos, por¶em, pela terceira lei de Newton,que elas constituem um par a»c~ao e rea»c~ao,

~F1 + ~F2 = 0 :

Embora n~ao tenhamos uma solu»c~ao completa, podemos usaresta propriedade para obter informa»c~oes ¶uteis sobre o que est¶aacontecendo com o sistema considerado.

Se somarmos as duas equa»c~oes, obteremos uma rela»c~ao que ser¶av¶alida antes, durante e depois da colis~ao:

d ~p1d t

+d ~p2

d t=d (~p1 + ~p2)

dt= 0

Podemos de¯nir uma nova grandeza, a qual chamaremos demomento linear total do sistema, ou quantidade de movimentototal do sistema, como sendo a soma do momento de cada umadas part¶³culas que comp~oem o sistema

~P = ~p1 + ~p2

e, olhando para a equa»c~ao anterior, temos

d ~P

d t= 0

Esta equa»c~ao signi¯ca que o momento linear total do sistema| que ¶e \isolado" | ¶e uma grandeza conservada; isto ¶e, seuvalor ¶e sempre o mesmo, antes, durante e depois da colis~ao:

(~p1 + ~p2)inicial = (~p1 + ~p2)final

Duas quest~oes s~ao fundamentais.

A primeira: o momento linear total de um sistema de part¶³culas¶e sempre conservado? A resposta ¶e n~ao! Se tivermos for»cas

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 5

externas atuando sobre o sistema (por exemplo, atrito) n~ao te-remos o valor nulo para a soma das duas equa»c~oes anteriores.

A segunda: a energia cin¶etica ¶e conservada nesta colis~ao? Aresposta ¶e n~ao necessariamente! Discutiremos a seguir o porquedesta a¯rma»c~ao.

Um ¶ultimo coment¶ario: o que discutimos aqui se aplica emgeral. N~ao ¯zemos nenhuma restri»c~ao sobre a for»ca interna queatua entre as part¶³culas durante a colis~ao (a ¶unica restri»c~ao foiexigir que ela satis¯zesse ao princ¶³pio de a»c~ao e rea»c~ao). Assim,qualquer que seja a for»ca interna, o momento linear total de umsistema isolado ¶e conservado.

Atividade 6

Discuss~ao

| do conceito de impulso de uma for»ca (se»c~ao 9.2), ilustrando com oexerc¶³cio 22;

| e do que ocorre com o momento linear total e com a energia cin¶eticanum processo de colis~ao (se»c~ao 9.3), classi¯cando as colis~oes em el¶asti-cas e inel¶asticas;

| e resolu»c~ao do caso geral de uma colis~ao el¶astica unidimensional.

Atividades extras 3

1. Leia as se»c~oes 9.1, 9.2 e 9.3 do livro texto.

2. Resolva os exerc¶³cios 21 e 22 da lista 13.

3. Leia a se»c~ao 9.4.

4. Com o livro fechado, obtenha as equa»c~oes (9.4.11) dolivro texto e aplique estas equa»c~oes ao caso particularem que as duas massas s~ao iguais.

5. Escreva um modelo te¶orico que descreva a atividade 2da experiencia do laborat¶orio - colis~ao el¶astica entre doiscorpos de mesmas massas - e compare com a observa»c~aofeita no laborat¶orio.

6. Resolva os exerc¶³cios 23 e 24 da lista 13.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 6

Atividade 7

Discuss~ao do problema das colis~oes unidimensionais n~ao el¶asticas, e emparticular o caso da colis~ao totalmente inel¶astica (se»c~ao 9.5); e resolu»c~aodo exerc¶³cio 41 (pendulo bal¶³stico).

Atividade 8

Rediscuss~ao de conceitos relacionados µa lei de conserva»c~ao do momentolinear de um sistema de part¶³culas e ao conceito de centro de massausando o Exemplo B a seguir.

Exemplo B

Consideremos agora o caso de dois corpos (part¶³culas) de mas-sas m1 e m2. Esses dois corpos n~ao est~ao, como no caso doExemplo A, isolados. Sobre eles, atuam tanto for»cas internas |a intera»c~ao de um com o outro, como no caso anterior, quantofor»cas externas | por exemplo, a for»ca peso, o atrito, etc.

Podemos, para cada um dos dois corpos, separar a for»ca resul-tante em duas partes: uma, correspondente µas for»cas internasao sistema, e outra correspondente µas for»cas externas. Assim,sobre os corpos 1 e 2 a resultante das for»cas ¶e escrita como

~F1 = ~F int1 + ~F ext

1 ; ~F2 = ~F int2 + ~F ext

2

e a segunda lei de Newton ¯ca

d ~p1d t

= ~F int1 + ~F ext

1 ;d ~p2

d t= ~F int

2 + ~F ext2 :

A \for»ca interna" que atua sobre o corpo 1 deve-se µa intera»c~aodeste corpo com outros corpos do sistema; no caso, o outrocorpo do sistema ¶e o corpo 2. O mesmo ¶e v¶alido para o corpo2. As for»cas ~F int

1 e ~F int2 constituem um par a»c~ao-rea»c~ao, e a

terceira lei de Newton nos d¶a

~F int1 + ~F int

2 = 0 :

De¯nimos o momento linear total de nosso sistema de part¶³cu-las como sendo

~P ´ ~p1 + ~p2 :

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 7

Ent~ao podemos escrever

d ~P

dt=d (~p1 + ~p2)

d t=³~F int

1 + ~F int2

´+³~F ext

1 + ~F ext2

´

Se ~F ext = ~F ext1 + ~F ext

2 ¶e a resultante das for»cas externas queatuam sobre as part¶³culas de nosso sistema,

d ~P

d t= ~F ext :

Desta express~ao, podemos ver imediatamente sob que condi»c~oeso momento linear total de um sistema ¶e conservado. Todas asvezes que a resultante das for»cas externas ¶e nula, o sistematem momento linear constante | e n~ao apenas quando o sis-tema ¶e isolado. Por este motivo, um sistema de duas part¶³culasem colis~ao sobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito pode sertratado como sendo isolado: as for»cas externas, pesos e normais,se anulam, dando uma resultante externa nula e conservando omomento total.

A equa»c~ao que de¯ne o momento linear total do sistema nosinspira para uma outra observa»c~ao. Como ~p1 = m1 ~v1 e ~p2 =m2 ~v2, o momento total ¶e dado por

~P = (m1 ~v1 +m2~v2)

Esta express~ao nos faz pensar que talvez fosse conveniente de-¯nir um ponto especial de nosso sistema. Este ponto mover-se-ia com uma velocidade que ¶e uma \m¶edia ponderada" dasvelocidades dos corpos

~V =m1

m1 +m2

~v1 +m2

m1 +m2

~v2 :

Os pesos nesta m¶edia s~ao as massas dos corpos envolvidos. Aeste ponto damos o nome de centro de massa do sistema depart¶³culas.

Este ponto especial tem algumas propriedades interessantes eque se tornam bastante ¶uteis para a discuss~ao de sistemas de

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 8

part¶³culas. Sua posi»c~ao ¶e de¯nida como um ponto do espa»coque tem coordenadas dadas por

~Rcm ´m1

m1 +m2~r1 +

m2

m1 +m2~r2 :

Se escrevemos para a massa total do sistema M = m1 +m2,temos das de¯ni»c~oes acima

~Rcm =m1

M~r1 +

m2

M~r2

~Vcm =m1

M~v1 +

m2

M~v2

e observamos (primeira propriedade interessante!) que

~P = M ~Vcm :

Este ponto especial tem uma velocidade que corresponde aomomento total do sistema dividido pela massa total do sistema| ou seja, tem a velocidade que teria um corpo de massa Mque possu¶³sse um momento linear ~P .

Tamb¶em a equa»c~ao que escrevemos acima para a conserva»c~aodo momento linear pode ser reescrita. A acelera»c~ao do centrode massa ¶e

~Acm =m1

M~a1 +

m2

M~a2 :

Temos que

d ~P

d t=d ~p1

d t+d ~p2

dt= m1~a1 +m2~a2 ;

ou seja,~F ext =M ~Acm :

A¶³ temos mais uma propriedade interessante do centro de massa:sua acelera»c~ao corresponde µa raz~ao entre a for»ca externa resul-tante sobre o sistema e a massa total do sistema | a acelera»c~aode uma part¶³cula de massaM sobre a qual agisse uma for»ca ~F ext.

Com esta discuss~ao, podemos ver que o centro de massa ¶eum ponto bastante ¶util na discuss~ao do movimento de um sis-tema de part¶³culas, ou de um corpo constitu¶³do de mais de uma

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 9

\part¶³cula". Este ponto nos permite fazer uma an¶alise global domovimento do sistema, independente do movimento interno dascomponentes do sistema em rela»c~ao umas µas outras. Este ponto¶e tal que tudo se passa como se sobre ele estivesse concentradatoda a massa do sistema e agissem todas as for»cas externas aosistema. Ele ¶e um auxiliar bastante ¶util na discuss~ao de cor-pos mais complexos, dos quais n~ao temos muitas indica»c~oes (outemos e s~ao complicadas) de como s~ao as intera»c~oes dentro dosistema, como num corpo r¶³gido, etc. Ele nos permite de umaprimeira maneira intuitiva entender porque colocamos a for»capeso agindo sobre o \centro" dos corpos, e a for»ca gravitacionalde um objeto sobre a Terra agindo sobre o centro da Terra, etc,resultados que ser~ao formalizados com mais clareza e exatid~aoposteriormente em nosso curso.

Atividade 9

Discuss~ao

| de como a descri»c~ao de uma colis~ao pode ser feita usando tanto oreferencial do laborat¶orio quanto o referencial do centro de massa dosistema, usando as transforma»c~oes galileanas de velocidade para passarde um sistema de referencia inercial para o outro; e

| e aplica»c~ao ao Exemplo C a seguir.

Exemplo C

Duas bolas de bilhar de massas m1 e m2 movendo-se comvelocidades ~v1 e ~v2 no referencial do laborat¶orio colidem.

A colis~ao ¶e totalmente inel¶astica, isto ¶e, as duas bolas saemjuntas ap¶os a colis~ao.

1. Calcule a velocidade do centro de massa do sistema antese depois da colis~ao no referencial do laborat¶orio.

2. Calcule as energias cin¶eticas inicial e ¯nal do sistema noreferencial do laborat¶orio.

3. Calcule as velocidades ~u1 e ~u2 de cada uma das duasbolas antes da colis~ao no referencial do centro de massa dosistema.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 10

4. Descreva a colis~ao para um observador que anda junto como centro de massa.

5. Calcule as energias cin¶eticas inicial e ¯nal do sistema noreferencial do centro de massa.

Atividades extras 4

1. Leia as se»c~oes 9.1 a 9.4 do livro texto.

2. Resolva os exerc¶³cios 27, 28, 29 da lista 13.

3. Resolva os exerc¶³cios 30, 31 e 32 da lista 13.

Atividade 10

Discuss~ao sobre colis~oes no caso geral, bidimensional (se»c~oes 9.6 e 9.7)tanto el¶asticas quanto inel¶asticas, exempli¯cando com o problema 36da lista 13.

Atividade 11

Discuss~ao de um processo de colis~ao do ponto de vista do referencialdo laborat¶orio e do ponto de vista do referencial do centro de massa dosistema, resolvendo com o problema 39 da lista 13.

Atividades extras 5

1. Leia as se»c~oes 9.6 a 9.7 do livro texto.

2. Releia a se»c~ao 13.1 do livro texto (transforma»c~oes deGalileu).

3. Refa»ca exerc¶³cios da lista 8, sobre mudan»ca de sistemade referencia.

4. Resolva os exerc¶³cios 37, 38, 39 da lista 13.

Atividade 12

Demonstra»c~ao de que podemos escrever a energia cin¶etica de um sis-tema de duas part¶³culas como sendo

Ec =1

2M V 2

cm +1

2

m1m2

m1 +m2(~v1 ¡ ~v2)2

e discuss~ao do exerc¶³cio 28 em vista desta equa»c~ao.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 | p. 11

Atividades extras 6

1. Releia todo o guia, e todo o cap¶³tulo 9.

2. Fa»ca tudo que voce ainda n~ao fez.

Atividade 13

Resolu»c~ao de problemas da lista 13 e dos cap¶³tulos 8 e 9 do livro texto,a crit¶erio do professor.



2. Releia a se»c~ao 13.1 do livro texto.

3. Refa»ca todos os exemplos deste guia e do livro texto.

4. Fa»ca todos os exerc¶³cios da lista 13 que voce ainda n~ao fez.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 12



Sistema de Part¶³culas:Momento Linear, Centro de Massa,Conservac»~ao do Momento, Colis~oes

1. Um corpo de massa m1 est¶a sobre o eixo x no ponto x1. Outro corpode massa m2 est¶a sobre o eixo x no ponto x2. Determine o valor dadistancia entre o centro de massa do sistema constitu¶³do pelos doiscorpos e o corpo de massa m1. Aplique este resultado aos casos em quem2 =m1 e m2 = 2m1.

2. Um sistema de part¶³culas ¶e composto de dois objetos de massas m1 em2. Demonstre que o centro de massa est¶a deste sistema est¶a sobrea linha que une os dois, entre os dois, e a raz~ao entre a distancias d1

e d2 de cada um dos dois corpos ao centro de massa ¶e inversamenteproporcional µa raz~ao entre as massas: d1=d2 =m2=m1.

w1 u2cm

d1 d2

3. Obtenha a posi»c~ao do centro de massa de um sistema de duas part¶³cu-las, de massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg, em repouso nas posi»c~oes~r1 = 5 ³ + 2^ e ~r2 = ³¡ 3^. Calcule a distancia de cada uma das massasao centro de massa do sistema. As posi»c~oes est~ao dadas em metros.

4. Um n¶ucleo de r¶adio 226 (com 88 pr¶otons e 128 neutrons, 22688 Ra) sofre

decaimento radioativo, emitindo uma part¶³cula ® (que corresponde aon¶ucleo do ¶atomo de h¶elio, com 2 pr¶otons e 2 neutrons, 4

2He). As mas-sas do pr¶oton e do neutron s~ao aproximadamente iguais. Se o n¶ucleooriginal estiver inicialmente em repouso, a part¶³cula ® ¶e emitida comvelocidade de 1; 5£ 107 m/s. Qual ¶e a velocidade do n¶ucleo residual?

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 13

5. Um proj¶etil ¶e lan»cado com velocidade inicial de 400 m/s numa dire»c~aoque faz um angulo de 60± com a horizontal. No ponto mais alto desua trajet¶oria, ele explode em dois fragmentos iguais, um dos quais caiverticalmente, levando 20 s para chocar-se com o solo. A que distanciado ponto de queda do primeiro cai o outro fragmento, supondo-se osolo horizontal?

6. Um n¶ucleo radioativo, inicialmente em repouso, desintegra-se, emitindoum el¶etron e um neutrino em dire»c~oes perpendiculares entre si. Om¶odulo do momento linear do el¶etron ¶e 1; 2 £ 10¡22 kg m/s e o doneutrino 6; 4£ 10¡23 kg m/s.

(a) Ache a dire»c~ao e o m¶odulo do momento adquirido pelo n¶ucleo aorecuar.

(b) A massa do n¶ucleo residual ¶e de 5; 8£10¡26 kg. Qual a sua energiacin¶etica de recuo?

7. Um corpo de massa igual a 8,0 kg desloca-se com velocidade de 2,0 m/ssem in°uencia de qualquer for»ca externa. Num certo instante, ocorreuma explos~ao interna e o corpo divide-se em dois fragmentos, de 4,0 kgcada. Com a explos~ao, uma energia cin¶etica de transla»c~ao de 36 J ¶etransmitida ao sistema formado pelos dois fragmentos. Nenhum dosdois deixa a linha do movimento inicial. Determine a velocidade e osentido do movimento de cada fragmento depois da explos~ao.

8. Duas part¶³culas P e Q est~ao inicialmente em repouso, separadas poruma distancia de 1 m. A part¶³cula P tem massa m1 = 3; 0 kg, e Qtem massa m2 = 5; 0 kg. Elas atraem-se mutuamente com uma for»caconstante de m¶odulo 0,35 N. Nenhuma for»ca externa atua sobre estesistema.

(a) Descreva o movimento do centro de massa do sistema.

(b) A que distancia da posi»c~ao original de P as part¶³culas v~ao colidir?

9. Um homem de massa m est¶a pendurado numa escada de corda, sus-pensa por um bal~ao de massa M. O bal~ao est¶a estacion¶ario em rela»c~aoao solo.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 14

(a) Se o homem come»car a subir pela escada com velocidade de m¶o-dulo v (em rela»c~ao µa escada), em que dire»c~ao e com que velocidade(em rela»c~ao µa Terra) o bal~ao mover-se-¶a?

(b) Como se mover¶a o bal~ao depois que o homem parar de subir?

10. Um avi~ao, cuja massa total ¶e M, em voo horizontal planado (com motordesligado) com velocidade de m¶odulo v0 dispara para frente um foguetede massa m. O foguete sai com velocidade horizontal de m¶odulo vc emrela»c~ao ao avi~ao (medida pelo piloto ap¶os o lan»camento). Calcule asvelocidades do avi~ao e do foguete em rela»c~ao µa Terra imediatamenteap¶os o disparo.

11. Um cachorro de 5,0 kg est¶a de p¶e, parado dentro de um barco cujoextremo encontra-se a 6 m da margem, como mostrado na ¯gura. Eleanda 2,4 m sobre o barco em dire»c~ao µa margem, e depois p¶ara. O barcotem uma massa de 20 kg, e sup~oe-se n~ao haver atrito entre ele e a ¶agua.A que distancia da margem estar¶a o barco no ¯nal da caminhada docachorro?

12. Um casal passeia num bote a remo de 100 kg e 3 m de comprimento emuma lagoa de ¶aguas calmas. Em um dado momento, o homem cai forado barco, perdendo o remo, e ¯ca a uma distancia de 1,5 m da popado barco na dire»c~ao de seu comprimento. Como nenhum dos dois sabenadar, a mulher, de 50 kg, resolve andar em dire»c~ao µa proa do barco, a¯m de salvar seu companheiro. Desconsiderando o atrito entre o barcoe a ¶agua, determine se a mulher ser¶a ou n~ao bem sucedida. Suponhaque o centro de massa do barco est¶a em seu centro geom¶etrico.

13. Um homem de massa M , em repouso, de p¶e com patins sobre umasuperf¶³cie supostamente sem atrito, atira uma bola de massa m ho-rizontalmente, com velocidade de m¶odulo v, para outro patinador demesma massa, em repouso, que a apanha e a devolve com a mesmavelocidade v. (A velocidade dada corresponde µa velocidade em rela»c~aoao patinador antes dele lan»car a bola.)

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 15

(a) Calcule a velocidade do primeiro patinador logo ap¶os lan»car abola.

(b) Calcule a velocidade do segundo patinador logo ap¶os receber abola.

(c) Calcule a velocidade do segundo patinador ap¶os lan»car a bola devolta.

14. Determine o centro de massa de um sistema composto por tres part¶³-culas de massas 1,0 kg, 3,0 kg e 6,0 kg, localizadas nos v¶ertices de umtriangulo equil¶atero de 2 m de lado.

15. Num instante particular, tres part¶³culas move-se como mostrado na¯gura. Elas est~ao sujeitas apenas µas suas intera»c~oes m¶utuas. Ap¶osum certo tempo, elas s~ao novamente observadas; ve-se que m1 move-secomo mostrado na ¯gura, enquanto m2 est¶a parada. Ache a velocidadede m3. Considere m1 = 2 kg, m2 = 0; 5 kg, m3 = 1 kg, v1 = 1 m/s,v2 = 2 m/s, v3 = 4 m/s e v01 = 3 m/s.

x

yI N

Í C I O

1vr 2vr1

2

030

33vr

x

yF I M

'v1

r

2

?

1

3

16. Um conjunto de part¶³culas possui massa total M = 2 kg. O momentolinear do sistema ¶e dado por ~P = b t ³ + c t2^, onde b = 2 kg m/s2,c = 4 kg m/s3 e t ¶e dado em segundos. Todas as massas permanecemconstantes.

(a) Determine a velocidade do centro de massa em fun»c~ao do tempo.

(b) Obtenha uma express~ao para a for»ca que atua sobre o sistemacomo fun»c~ao do tempo.

(c) Calcule o m¶odulo da for»ca externa para t = 1 s.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 16

17. A posi»c~ao do centro de massa de um sistema constitu¶³do de 4 part¶³culasde massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg e m4 = 4 kg ¶e dadapor XCM = ¡0; 4 m e YCM = ¡0; 1 m. Sabendo que as tres primeiraspart¶³culas est~ao localizadas nas posi»c~oes (1; 0), (¡1;¡1) e (¡1; 1), ondeas coordenadas est~ao dadas em metros, determine a posi»c~ao da quartapart¶³cula.

18. Um observador mede as velocidades de duas part¶³culas de massas m1

e m2 e obt¶em os valores ~v1 e ~v2. Determine:

(a) a velocidade do centro de massa das duas part¶³culas;

(b) a velocidade de cada uma das part¶³culas em rela»c~ao ao centro demassa do sistema;

(c) o momento linear de cada part¶³cula em rela»c~ao ao centro de massado sistema.

19. Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m1 =1 kg e m2 = 3 kg ligadas por uma haste r¶³gida de massa desprez¶³vele comprimento igual a 20 cm est¶a em repouso na posi»c~ao indicada na¯gura. Num certo instante t = 0, passam a atuar as for»cas ~F1 = 3^ e~F2 = ¡4 ³ (dadas em Newtons) respectivamente sobre as massas 1 e 2.Despreze o atrito com a mesa.

- x (cm)-5 5 10 15

6y (cm)

w y(a) Encontre a acelera»c~ao do centro de massa do sistema.

(b) Calcule a posi»c~ao do centro de massa do sistema como fun»c~ao dotempo.

(c) Que tipo de trajet¶oria descrever¶a o centro de massa?

(d) Responda aos itens anteriores no caso em que a haste r¶³gida forsubstitu¶³da por uma mola de comprimento natural 20 cm e cons-tante el¶astica k = 0; 1 N/cm.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 17

20. Considere uma chapa homogenea de massa M , na forma de um trian-gulo equil¶atero de lado a, sobre uma mesa horizontal sem atrito. De-termine o vetor posi»c~ao do centro de massa da chapa como fun»c~ao dotempo, sabendo que as for»cas constantes ~F1 e ~F2 mostradas na ¯guras~ao aplicadas na chapa e que esta parte do repouso na posi»c~ao indicadana ¯gura. De sua resposta em fun»c~ao dos parametros M , a e F , onde

F = j~F1j= j ~F2j :

- x

6y

¢¢

¢¢

¢¢

¢¢

¢¢

AA

AA

AA

AA

AA

6~F1

HHHY

~F2

21. Um taco atinge uma bola de bilhar, exercendo sobre ela uma for»ca de50 N durante um intervalo de tempo de 0,010 s. Se a massa da bola ¶ede 0,20 kg, que velocidade ela ter¶a ap¶os o impacto?

22. Uma bola de 1,0 kg cai verticalmente sobre o solo, com velocidadede 25 m/s. Ela ¶e rebatida para cima e volta com uma velocidade de10 m/s.

(a) Que impulso age sobre a bola, durante o contato com o solo?

(b) Se a bola ¯cou em contato com o solo durante 0,020 s, qual a for»cam¶edia exercida sobre o solo?

23. Uma bola de borracha de massa 1 kg, que move-se sobre uma mesaplana sem atrito com velocidade constante de 2 m/s, colide frontal-mente com um bloco de massa 100 kg, em repouso. O choque ¶e per-feitamente el¶astico. Quais as velocidades da bola e do bloco depois dochoque?

24. Uma massa m1, com velocidade de m¶odulo v , choca-se frontalmentecom uma massa m2. Ap¶os a colis~ao, m2 possui velocidade de m¶odulou2. A massa m1, chocando-se com a mesma velocidade de m¶odulo vcom a massa m3, faz com que esta adquira uma velocidade de m¶odulo

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 18

u3. Os choques s~ao el¶asticos e as massas m2 e m3 est~ao inicialmenteem repouso.

(a) Calcule m1 e v em termos de m2, m3, u2 e u3.

(b) Em 1932, num hist¶orico trabalho de pesquisa, James Chadwickobteve um valor para a massa do neutron, estudando colis~oesel¶asticas de neutrons r¶apidos com n¶ucleos de hidrogenio e de ni-trogenio. Ele encontrou que a m¶axima velocidade ¯nal do n¶ucleode hidrogenio inicialmente em repouso era 3; 3 £ 107 m/s e quea m¶axima velocidade ¯nal do n¶ucleo de nitrogenio 14 era 4; 7 £106 m/s. A massa do n¶ucleo de hidrogenio ¶e uma unidade demassa atomica (u.m.a.) e a do n¶ucleo de nitrogenio 14 ¶e de 14u.m.a.. Queremos saber, em u.m.a., qual a massa do neutron, e avelocidade inicial dos neutrons utilizados na rea»c~ao.

25. Num reator de ¯ss~ao nuclear, os neutrons produzidos pela ¯ss~ao de umn¶ucleo de uranio devem ser freados, de forma que possam ser absorvidospor outros n¶ucleos e produzam mais ¯ss~oes. Esta frenagem ¶e obtidapor meio de colis~oes el¶asticas com n¶ucleos, na regi~ao de modera»c~aodo reator. Se desejarmos frear os neutrons com o m¶³nimo de colis~oesposs¶³vel, que elementos devem ser usados como material moderador?Por que?

26. Considere dois blocos A e B, de massas iguais a 1 kg e 2 kg, respectiva-mente, colocados sobre uma mesa sem atrito. Uma mola de constanteel¶astica k = 3 N/cm e de massa desprez¶³vel est¶a presa ao bloco B.Prende-se o bloco A ao bloco B por meio de um ¯o, e neste processocomprime-se a mola de 10 cm. Num dado momento o ¯o se rompe.Determine a velocidade de cada bloco ap¶os a separa»c~ao.

A

A γγγγγγγγ γγγγγγγγ

γγγγγγγγγγγγγγγγ

B

B

a n t e s

depo i s

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 19

27. Considere um choque el¶astico unidimensional de um corpo A que seaproxima de um corpo B inicialmente em repouso. Como voce escolhe-ria a massa de B, em rela»c~ao µa massa de A, para que ap¶os o choque Btenha:

(a) a m¶axima velocidade poss¶³vel;

(b) o maior momento linear poss¶³vel;

(c) a m¶axima energia cin¶etica?

28. Uma part¶³cula de massa m1 e energia cin¶etica inicial T1 colide elastica-mente com uma part¶³cula de massa m2 inicialmente em repouso. Qual¶e a energia m¶axima que a primeira part¶³cula pode perder durante estacolis~ao? (Sugest~ao: use o referencial do centro de massa do sistema.)

29. Dois corpos de massas m1 = 4 kg e m2 = 2 kg, com velocidades dem¶odulos v1 = 5 m/s e v2 = 2 m/s, como indicado na ¯gura, colidem epermanecem juntas ap¶os o choque.

m1

m2

v2

v1

(a) Calcule a velocidade das part¶³culas ap¶os o choque e a varia»c~ao naenergia cin¶etica total durante o choque.

(b) Calcule as velocidades iniciais e ¯nais dos corpos num referencialligado ao centro de massa do sistema. Fa»ca o esquema da colis~aoneste referencial.

(c) Calcule a varia»c~ao da energia cin¶etica no referencial do centro demassa do sistema.

30. Como mostrado na ¯gura, observa-se um bloco de madeira com massaM = 0; 49 kg em repouso num plano horizontal. O coe¯ciente de atritoentre o bloco e o plano ¶e ¹ = 0; 25. Uma bala de massa m = 0; 01 kg ¶eatirada contra o bloco, atingindo-o horizontalmente com velocidade de500 m/s, ¯cando nele engastada.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 20

(a) Calcule a velocidade do conjunto imediatamente ap¶os o impacto.

(b) Ache a distancia que o conjunto percorre at¶e parar.

M-m~v0

31. Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superf¶³cie hori-zontal, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente de atrito entre o bloco e asuperf¶³cie ¶e ¹. Uma extremidade de uma mola, de constante el¶astica k,est¶a ligada ao bloco, e a outra extremidade est¶a presa a uma parede.Inicialmente a mola n~ao est¶a distendida. Uma bala de massa m1 atingeo bloco e ¯ca grudada nele. Se a de°ex~ao m¶axima da mola for x,obtenha a velocidade da bala em fun»c~ao de m1, m2, k, ¹, g e x.

°°°°°°° m2t¾ m1

32. Um vag~ao de massa m desce uma colina de altura h. Ao ¯nal da colinao solo ¶e horizontal, e o vag~ao colide com um vag~ao igual inicialmenteem repouso. Os dois se engatam e come»cam a subir uma outra colina.Que altura eles alcan»cam?

Considere o atrito desprez¶³vel.

h

33. Considere o sistema da ¯gura, formado por um conjunto de n massassuspensas por ¯os de massas desprez¶³veis de forma a n~ao existir contatoentre elas. A primeira massa tem um valor f m0, a segunda f2m0,a terceira f3m0 e assim sucessivamente at¶e a n-¶esima, f nm0. Umapart¶³cula de massa m0 e velocidade ~v0 choca-se com a primeira massa.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 21

kfm0

k k k¢ ¢ ¢ kfnm0

{ -~v0

m0

(a) Supondo todas as colis~oes entre as massas perfeitamente el¶asticas,mostre que a ¶ultima massa ¶e ejetada com velocidade

~vn =

"2

1 + f

#n~v0 :

(b) Mostre que, para valores de f pr¶oximos da unidade (f = 1 + »,» ¿ 1), este sistema pode ser usado para transferir praticamentetoda a energia cin¶etica da part¶³cula incidente para a ¶ultima massasuspensa, mesmo para grandes valores de n.

(c) Calcule, para f = 0; 9 e n = 20, a massa, a velocidade e a energiacin¶etica da ¶ultima massa suspensa em fun»c~ao de m0 e de ~v0 dapart¶³cula incidente. Compare com o resultado que seria obtidonuma colis~ao direta entre a part¶³cula incidente e a ¶ultima part¶³culasuspensa.

34. Um ¶atomo de deut¶erio (cujo n¶ucleo, o deuteron, cont¶em um pr¶oton eum neutron) com energia cin¶etica de 0; 81 £ 10¡13 J colide com um¶atomo similar em repouso. Ocorre uma rea»c~ao nuclear, e ¶e emitido umneutron cuja velocidade faz um angulo reto com a dire»c~ao da velocidadedo primeiro ¶atomo. Nesta rea»c~ao, ¶e liberada uma energia de 5; 31 £10¡13 J, que ¶e transformada em energia cin¶etica das part¶³culas emitidas.Determine a energia cin¶etica do neutron, dado que o outro produto ¶eum ¶atomo de H¶elio 3 e que as massas do neutron, do deut¶erio e do 3Hes~ao respectivamente 1,67 , 3,34 e 5,00 em unidades de 10¡27 kg.

35. Uma part¶³cula de massa m0 com velocidade de m¶odulo v0 atinge umapart¶³cula estacion¶aria de massa 2m0. Como resultado, a part¶³cula demassa m0 tem a dire»c~ao de seu movimento de°etida de um angulo de45± e o m¶odulo de sua velocidade passa a ser v0=2. Ache o vetor ve-locidade da part¶³cula de massa 2m0 ap¶os a colis~ao. Houve conserva»c~aoda energia cin¶etica do sistema?

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 22

36. Mostre que em uma colis~ao el¶astica n~ao frontal de duas esferas identi-cas, em que uma delas est¶a inicialmente em repouso, o angulo formadopelas dire»c~oes das velocidades ¯nais das duas esferas ¶e sempre ¼=2.

37. Uma part¶³cula de massa m1 e velocidade u1 atinge uma part¶³cula emrepouso de massa m2. O choque ¶e perfeitamente el¶astico. Observa-seque depois do choque as part¶³culas tem velocidades iguais e opostas.Ache:

(a) a rela»c~ao m2m1

;

(b) a velocidade do centro de massa do sistema;

(c) a energia cin¶etica total das part¶³culas no referencial do centro demassa do sistema, em fun»c~ao da energia cin¶etica inicial de m1,T1 = 1

2 m1 u21 ;

(d) a energia cin¶etica ¯nal de m1 no sistema de laborat¶orio.

38. Uma part¶³cula de massa m movendo-se com velocidade v sobre umamesa plana sem atrito incide sobre outra part¶³cula de massa 2m, emrepouso. Ap¶os o choque, observa-se que a massa m tem velocidadede m¶odulo 2v=3 fazendo um angulo de 60± com a dire»c~ao original domovimento, do ponto de vista de um observador no laborat¶orio.

(a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e depoisdo choque?

(b) Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa dosistema, da part¶³cula de massa 2m ap¶os o choque?

39. Uma part¶³cula de massa m, que move-se com velocidade de m¶odulo v,choca-se com uma part¶³cula em repouso de massa 2m. Em consequenciadisto, a part¶³cula de massa m ¶e desviada de 30± da sua dire»c~ao deincidencia, e ¯ca com uma velocidade ¯nal de m¶odulo v=2. Obtenhaa velocidade ¯nal da part¶³cula de massa 2m (em m¶odulo, dire»c~ao esentido) depois desta colis~ao. A energia cin¶etica se conserva durantea colis~ao? Resolva este mesmo problema no referencial do centro demassa do sistema. Observe que angulos medidos em referenciais que semovem um em rela»c~ao ao outro n~ao s~ao necessariamente iguais.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 23

40. Uma bola de a»co de massa 0,5 kg est¶a presa a um cord~ao de 70 cm decomprimento e ¶e abandonada quando o cord~ao est¶a na horizontal. Naparte mais baixa de sua trajet¶oria, a bola atinge um bloco de a»co demassa 2,5 kg, inicialmetne em repouso sobre uma superf¶³cie lisa, comomostrado na ¯gura. A colis~ao ¶e el¶astica. Determine as velocidades dabola e do bloco ap¶os a colis~ao.pw p

w41. O arranjo da ¯gura ¶e chamado de pendulo bal¶³stico. Ele ¶e usado para

determinar a velocidade de um proj¶etil, atrav¶es da medida da altura hque o bloco sobe ap¶os ter sido atingido pelo proj¶etil.

Mtm -~v

AA

AAM

h

(a) Prove que a velocidade do proj¶etil ¶e dada por

v =q

2 g hm+M

m;

onde m ¶e a massa da bala e M a massa do bloco.

(b) Calcule a energia gasta pelo proj¶etil para penetrar no bloco.

42. Uma bala de massa m e velocidade v passa atrav¶es do bulbo de umpendulo de massa M e emerge com velocidade v=2. O ¯o que suporta obulbo tem comprimento `. Qual ¶e o menor valor de v para que o bulbodo pendulo gire uma volta completa?

m

v v /2M

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex. 13 | p. 24

43. Demonstre que, para um sistema de part¶³culas, a varia»c~ao da energiacin¶etica total ¶e igual µa soma do trabalho total das for»cas internas e dotrabalho total das for»cas externas.

44. Considere duas part¶³culas de massas m1 e m2 sujeitas apenas µa in-tera»c~ao m¶utua do tipo newtoniano (satisfazendo µa terceira lei de New-ton). Escreva a segunda lei de Newton para cada uma das part¶³culas.Subtraia uma das equa»c~oes da outra e mostre ent~ao que \o movimentorelativo de duas part¶³culas, sujeitas apenas µas suas intera»c~oes m¶utuas,¶e equivalente, em rela»c~ao a um observador inercial, ao movimento deuma part¶³cula de massa ¹ = m1m2=(m1 +m2) | a massa reduzida dosistema | sob a a»c~ao de uma for»ca igual µa for»ca de intera»c~ao".

45. Seja um sistema de duas part¶³culas de massas m1 e m2 e velocidades~v1 e ~v2.

(a) Mostre que para um observador que se move com o centro demassa do sistema a energia cin¶etica vale

Tcm =1

2¹v02 ;

onde ¹ = m1m2=(m1 + m2) ¶e a massa reduzida do sistema e~v0 = ~v1 ¡ ~v2 ¶e a velocidade relativa das duas part¶³culas.

(b) Mostre que para um observador num sistema de referencia qual-quer a energia cin¶etica do sistema ¶e

T = Tcm +1

2M V 2

cm ;

onde M = m1+m2 ¶e a massa total do sistema e ~Vcm ¶e a velocidadede seu centro de massa.

(c) Qual ¶e o maior valor da energia que pode ser perdida atrav¶es decolis~oes das duas part¶³culas? Suponha o sistema isolado.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 25


Respostas { Lista de exerc¶³cios 13

Sistema de Part¶³culas:Momento Linear, Centro de Massa,Conservac»~ao do Momento, Colis~oes

1. d1 = m2m1+m2

(x2 ¡ x1); se m1 = m2, d1 = 12 (x2 ¡ x1).

w1 u2cm

d1 d2

2. Se d = j~r1 ¡ ~r2j ¶e a distancia entre os dois objetos, d1 = m2m1+m2

d,d2 = m1

m1+m2d, e portanto d1=d2 =m2=m1.

3. ~R = 2 ³¡ 74 ^; d1 = 4; 8 m, d2 = 1; 6 m.

4. 0; 66£ 105 m/s.

5. 60 m.

6. (a) Fazendo um angulo de 118± com a dire»c~ao do momento do el¶etron,com m¶odulo 1; 36£ 10¡22 kg.m/s.

(b) 1; 6£ 10¡19 kg.

7. Um dos fragmentos tem velocidade igual a 5 m/s com a mesma dire»c~aoe o mesmo sentido da velocidade inicial do corpo; o segundo fragmentotem velocidade de 1 m/s, com a mesma dire»c~ao e sentido oposto aosentido da velocidade inicial do corpo.

8. (a) O centro de massa est¶a em repouso inicialmente, e permanece emrepouso.

(b) A 0,75 m de P (sobre o centro de massa do sistema).

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 26

9. (a) A velocidade do homem em rela»c~ao µa Terra vale u = v + V (emm¶odulo), e V ¶e o m¶odulo da velocidade do bal~ao em rela»c~ao µaTerra; ent~ao V = mv= (M ¡m) { o bal~ao sobe em rela»c~ao µa Terrase sua massa for maior do que a massa do homem, e desce se suamassa for menor.

(b) Ficar¶a em repouso.

10. Avi~ao: (M ¡m)v±=(M ¡ 2m); foguete: mv±=(2m ¡M ), onde o sinalpositivo corresponde ao movimento no mesmo sentido original do avi~ao.

11. A 6,6 m da margem.

12. N~ao (supondo que o bra»co do homem mede menos de 0,5 m).

13. (a) u1 = mv=M , com sentido oposto ao da bola.

(b) u2 = mv=(M +m), com o mesmo sentido da velocidade da bola.

(c) u4 = (m=M)m v=(M +m), com sentido oposto ao da velocidadeda bola.

14. Usando um sistema de eixos coordenados onde a dire»c~ao x ¶e de¯nidapelas posi»c~oes das massas de 1,0 kg e de 3,0 kg, com a origem colocadasobre a posi»c~ao da massa de 1,0 kg, e com a posi»c~ao da massa de 6,0 kgcom coordenadas positivas, ~R = 1; 2 ³ + 1; 0^ (em metros).

15. ~v 03 = 4; 5 ³¡ ^ (em m/s).

16. (a) ~V = t ³ + 2 t2 ^ (em m/s).

(b) ~FEXTRES = 2 ³ + 8 t ^ (em N).

(c) F (t = 1) = 8; 2 N.

17. (0;¡0; 5).

18. (a) ~V = (m1~v1 +m2~v2)=(m1 +m2).

(b) ~v¤1 = m2 (~v1 ¡ ~v2) =M e ~v¤2 = ¡m1 (~v1 ¡ ~v2)=M , onde M =m1 +m2

(c) ~p¤1 = ¡~p¤2 =m1m2 (~v1 ¡ ~v2)=M

19. (a) ~A = ¡ ³ + 0; 75^.

F¶³s1 { 04/1 { G.5 { Ex.13 | p. 27

(b) Considerando a massa 1 como sendo a que est¶a em x1 = ¡5 cm,~R(t) = (0; 1 ¡ 0; 5 t2) ³ + 0; 38 t2^.

(c) Uma reta; a equa»c~ao da trajet¶oria ¶e X = 0; 1 ¡ (4=3) Y , ou Y =3=4 (0; 1 ¡X).

(d) Todas as respostas anteriores ¯cam iguais, pois o movimento docentro de massa n~ao depende de for»cas internas ao sistema.

20. ~R(t) =³a2 ¡

p3

4FM t2

´³ +

³a

2p

3+ 3

4FM t2

´^

21. 2; 5 m/s.

22. (a) 35 N.s.

(b) 1; 75 £ 103 N.

23. vbola = 4=101 = 0; 04 m/s; vbloco = ¡99=101 = ¡0; 98 m/s.

24. (a) m1 = (m3u3 ¡m2 u2) = (u2 ¡ u3);

v = 0; 5 [(m3 ¡ 2m2) u3 +m2 u2] = (m3 u3 ¡m2 u2).

(b) m = 1; 16 u.m.a., v = 0; 8£ 106 m/s.

25.

26. v1 = 1; 4 m/s, v2 = 0; 7 m/s, na mesma dire»c~ao e em sentidos opostos.

27. (a) mB >>> mA, ou mA=mB ! 0 (e nesse caso, vB = 2v±, com v± avelocidade inicial do corpo A).

(b) mB <<mA, ou mB=mA ! 0 (e nesse caso, pB = 2mBv±).

(c)

28.

29. (a) ~vf = 8=3 v1 (em m/s); ¢T = ¡ 98=3 J.

1


GUIA DE ESTUDO 6

M¶odulo 6: Rotac»~oes

1. INTRODUC» ~AO

Neste m¶odulo, continuamos o estudo de um sistema de part¶³culas, dis-cutindo movimentos de rota»c~ao, em particular em torno de um eixo ¯xo.Generalizaremos para um sistema de part¶³culas os conceitos de torque e mo-mento angular introduzidos no M¶odulo 4 para uma part¶³cula, e discutiremosa lei de conserva»c~ao do momento angular para um sistema de part¶³culas.

Leituras indispens¶aveis:Os t¶opicos citados acima correspondem ao cap¶³tulo 11 do livro texto, H.M.Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mecanica, 3a edi»c~ao, EditoraEdgard BlÄucher Ltda.


Atividade 1

Revis~ao dos conceitos de torque de uma for»ca e momento angular deuma part¶³cula em torno de um ponto O e a \segunda lei de Newtonpara rota»c~oes" (se»c~oes 11.3 e 11.4).

Atividade 2

Discuss~ao da conserva»c~ao do momento angular de uma part¶³cula soba»c~ao de for»cas centrais, exempli¯cando a discuss~ao com o problema5 da lista de exerc¶³cios 14 (sobre Sistemas de Part¶³culas: Rota»c~oes eMomento Angular).

Atividade 3

Discuss~ao do problema 7 da Lista 14, ilustrando a dependencia domomento angular com o ponto em rela»c~ao ao qual ele ¶e calculado, eobservando um caso simples em que o momento angular precessa.

F¶³s1 { 04/1 { G.6 | p. 2

Atividades extras 1


2. Veri¯que se voce sabe fazer c¶alculos de produto vetorial.

3. Volte ao Guia 4 e refa»ca a Lista 12, sobre Rota»c~oes.

4. Resolva os exerc¶³cios 1 a 7 da Lista 14.

Atividade 4

Apresenta»c~ao dos conceitos de momento angular e torque para um sis-tema de part¶³culas, e demonstra»c~ao da rela»c~ao existente entre o mo-mento angular em rela»c~ao a um ponto O e o momento angular emrela»c~ao ao centro de massa (equa»c~ao 11.5.6 do livro texto, e parte doexerc¶³cio 21 da lista 14).

Atividade 5

Demonstra»c~ao da \lei de conserva»c~ao do momento angular" para umsistema de part¶³culas (se»c~ao 11.6) e discuss~ao de exemplos (parte (a)da se»c~ao 11.7 do livro texto).

Atividades extras 2

1. Leia a se»c~ao 11.6 do texto, obtendo novamente (com olivro fechado) todas as equa»c~oes.

2. Leia a parte (a) da se»c~ao 11.7 do texto.

3. Resolva os exerc¶³cios de 7 a 11 da Lista 14.

4. * Resolva o problema 11.5 do livro texto.

Atividade 6

Resolu»c~ao dos problemas 12 e 16 da Lista 14.

Atividade 7

Discuss~ao de problemas escolhidos pelo professor.

Atividades extras 3


2. Fa»ca os problemas 12 a 16 da Lista 14.

F¶³s1 { 04/1 { G.6 | p. 3

Atividade 8

Discuss~ao da situa»c~ao em que um corpo gira em torno de um eixo¯xo, com a introdu»c~ao do conceito de momento de in¶ercia em rela»c~ao aum eixo; e demonstra»c~ao da rela»c~ao entre a componente do momentoangular na dire»c~ao do eixo de rota»c~ao e a velocidade angular, equa»c~ao(12.1.4) do livro texto (se»c~ao 12.1 do livro texto).

Atividade 9

Discuss~ao sobre a energia cin¶etica de rota»c~ao de um corpo girando emtorno de um eixo ¯xo.

Atividade 10

Resolu»c~ao do problema 12.9 do livro texto, que constitui o arranjoexperimental que est¶a sendo utilizado na experiencia do M¶odulo 6 deF¶³sica Experimental I.

Atividades extras 4

1. Leia novamente o cap¶³tulo 11.

2. Leia a se»c~ao 12.1 do livro texto.

3. Resolva os exerc¶³cios 17 a 21 da lista 14.

Atividade 11

Discuss~ao do conceito de momento de in¶ercia de um corpo, ilustradacom alguns exemplos simples (se»c~ao 12.2 do livro texto).

Atividade 12

Resolu»c~ao de exerc¶³cios.



2. Termine tudo que voce ainda n~ao terminou do M¶odulo 4.

3. Termine os problemas que faltam da lista 14.

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 4



Sistema de Part¶³culas:Rotac»~oes e Momento Angular

1. Considere uma part¶³cula que est¶a num dado instante na posi»c~ao des-crita pelo vetor ~r = ³ +^ (em rela»c~ao a um observador ¯xo a um pontoO situado na origem de nosso sistema de coordenadas). Sobre estapart¶³cula atuam duas for»cas, ~F1 = ¡10 ³ e ~F2 = 20³ ¡ 20´, onde asunidades s~ao dadas no Sistema Internacional (SI) de unidades. (a)Calcule o torque de cada for»ca em rela»c~ao ao ponto O. (b) Calcule otorque da for»ca resultante em torno do ponto O. (c) Repita o c¶alculopara o ponto A = (1,0).

2. A posi»c~ao de uma part¶³cula de massa m = 1 kg, em rela»c~ao a um obser-vador inercial ¯xo no ponto O, ¶e dado pelo vetor ~r = t³+(5¡ 2t2)^+t3k,onde todas as unidades empregadas s~ao do SI. (a) Qual ¶e a for»ca re-sultante agindo sobre a part¶³cula? (b) Qual ¶e o torque desta for»ca emrela»c~ao ao ponto O? (c) Qual o valor deste torque no instante t = 2 s?(c) Qual ¶e o momento angular desta part¶³cula em rela»c~ao a O? (d)Veri¯que se a segunda lei de Newton para as rota»c~oes ¶e v¶alida nestecaso.

3. Um corpo de massa m est¶a livre, n~ao agindo sobre ele nenhuma for»ca.Um observador inercial O ve este corpo num certo instante junto a si,com velocidade ~v. Descreva o movimento do corpo visto pelo obser-vador inercial O. Obtenha o momento angular deste corpo e o torqueresultante sobre ele em rela»c~ao ao ponto O . Considere agora um outroobservador O', que ve O em repouso e cuja menor distancia ao corpovale d. Calcule o momento angular e o torque em rela»c~ao a O'.

4. Uma barra r¶³gida de comprimento ` est¶a presa pelo seu centro O, po-dendo girar em torno dele num movimento plano. Sobre esta barra atuaum \bin¶ario" de for»cas, como mostrado na ¯gura: em pontos sim¶etricosem rela»c~ao ao ponto O, atuam for»cas de mesmo m¶odulo, mesma dire»c~aoe sentidos opostos. Descreva o movimento do centro de massa (onde

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 5

est¶a o centro de massa?) desta barra. Calcule o torque das for»cas queatuam sobre a barra. Qual o movimento descrito pela barra?

sO

?

6

~F

¡ ~F

5. Considere um corpo de massa m que move-se sobre uma mesa hori-zontal lisa preso a um ponto ¯xo O por um ¯o de comprimento ¯xo` e massa desprez¶³vel . Este corpo descreve um movimento circularuniforme em torno do ponto O. (a) Indique as for»cas que agem sobreo corpo num instante de tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque dafor»ca resultante sobre o corpo em torno do ponto O no instante t0 .(c) Calcule o momento angular deste corpo em torno do ponto O noinstante t0 . (d) Qual o momento angular deste corpo num instantequalquer?

6. Considere agora o mesmo corpo de massa m do problema anterior,descrevendo agora um movimento circular n~ao uniforme em torno doponto O. (a) Indique as for»cas que agem sobre o corpo num instantede tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque da for»ca resultante sobreo corpo em torno do ponto O no instante t0 . (c) Calcule o momentoangular deste corpo em torno do ponto O no instante t0 . (d) Qual omomento angular deste corpo num instante qualquer?

7. Considere um corpo de massa m que move-se sobre uma mesa hori-zontal lisa preso a um ponto ¯xo O por um ¯o de comprimento ¯xo` e massa desprez¶³vel . Este corpo descreve um movimento circularuniforme em torno do ponto O. O eixo z ¶e perpendicular ao plano domovimento circular, e a uma distancia h do ponto O sobre este eixomarcamos um ponto O'. (a) Indique as for»cas que agem sobre o corponum instante de tempo t0 qualquer. (b) Calcule o torque da for»caresultante sobre o corpo em torno do ponto O' no instante t0 . (c) Cal-cule o momento angular deste corpo em torno do ponto O' no instantet0 . (d) Qual o momento angular deste corpo num instante qualquer?

8. A ¯gura mostra algumas for»cas aplicadas a um corpo que gira em tornode um eixo passando pelo ponto O e perpendicular ao plano da folha.

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 6

Calcule o torque de cada for»ca e o torque resultante em rela»c~ao ao pontoO. Caso o objeto seja solto do repouso na posi»c~ao da ¯gura, em quesentido come»car¶a a girar? Dados: F1 = 10 N, r1 = 1; 0 m, F2 = 6; 0 N,r2 = 1; 5 m, F3 = 8; 0 N, r3 = 0; 5 m, F4 = 4; 0 N, r4 = 0; 5 m.

tO

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¡¡µ~r1

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@@I~r3@

@@

@110±

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¢¢®~r4

¢¢

¢¢®

~F4

9. Considere um hex¶agono regular de raio r. Suponha que em cada v¶erticedeste hex¶agono existe uma massa m, conforme mostra a ¯gura, e queeste hex¶agono gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro e ¶eperpendicular ao plano do papel. (a) Calcule o vetor momento angular~L0 do sistema em rela»c~ao ao seu centro de massa. (b) Considerando a

¯gura, calcule o vetor momento angular ~L do sistema em rela»c~ao a umdos v¶ertices do hex¶agono. (c) Qual a rela»c~ao entre ~L e ~L0? Por que

este resultado j¶a deveria ser esperado? (d) Usando que ~L = I~! (porque?), calcule a velocidade angular do sistema.

t

t©©©©©©

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10. Considere duas part¶³culas de mesma massa m, respectivamente, unidaspor um bast~ao sem massa de comprimento 2a, girando com velocidade

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 7

angular ~! em torno de um eixo perpendicular ao bast~ao e passandopelo seu centro, como mostra a ¯gura. (a) Qual ¶e o momento angulardo sistema em torno do ponto C? (b) Qual ¶e o momento angular emtorno dos pontos O e O', situados sobre o eixo de rota»c~ao a distanciasd e d0, respectivamente, de C? (c) Qual ¶e o torque em torno de cadaum dos pontos C, O e O'? Interprete seu resultado.

ym ymC

6~!

a¾ - a¾ -

sO

sO'

6

d

?

6

d0

?

11. Considere duas part¶³culas de massas m e 2m, respectivamente, unidaspor um bast~ao sem massa de comprimento 2a, girando com velocidadeangular ~! em torno de um eixo perpendicular ao bast~ao e passandopelo seu centro, como mostra a ¯gura. (a) Qual ¶e o momento angulardo sistema em torno do ponto C? (b) Qual ¶e o momento angular emtorno dos pontos O e O', situados sobre o eixo de rota»c~ao a distanciasd e d0, respectivamente, de C? (c) Qual ¶e o torque em torno de cadaum dos pontos C, O e O'? Interprete seu resultado.

ym ~ 2mC

6~!

a¾ - a¾ -

sO

sO'

6

d

?

6

d0

?

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 8

12. Dois patinadores de mesma massa m movem-se um em rela»c~ao aooutro com velocidades de mesmo m¶odulo v0 e em sentidos opostos.A distancia entre eles ¶e d. Quando passam um pelo outro, se d~ao asm~aos. s -A

~v0

s¾ B¡~v0

6

?

d

| | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | |

(a) Calcule a velocidade angular de rota»c~ao dos dois patinadores emtorno de seu centro de massa.

(b) Calcule a varia»c~ao na energia cin¶etica do sistema constitu¶³do pelosdois patinadores antes e depois de se darem as m~aos. Discuta ejusti¯que o resultado encontrado.

(c) De repente, os dois patinadores se puxam um na dire»c~ao do outro,e a distancia entre eles passa a ser a metade do valor anterior,d0 = d=2. Qual ser¶a a nova velocidade angular de rota»c~ao !0 dosistema em torno de seu centro de massa?

(d) Qual a varia»c~ao na energia cin¶etica do sistema, e o que a causou?

(e) Obtenha os resultados acima para m = 70 kg, v0 = 4 m/s ed = 1; 5 m.

(f) Repita o problema supondo massas e velocidades diferentes: mA =100 kg, mB = 50 kg, vA = 6 m/s e vB = 6 m/s.

13. Um corpo de massa M = 2 kg preso a um ¯o de comprimento d = 7 mest¶a em repouso sobre uma superf¶³cie plana e horizontal numa posi»c~aodescrita pelo vetor ~r = ³ +^, como mostra a ¯gura a seguir. Um outrocorpo menor, de massa m = 0; 5 kg, move-se com velocidade ~v = 3^ evai se chocar com o corpo de massa M , permanecendo preso a ele ap¶oso choque. As unidades utilizadas s~ao as do SI.

(a) Qual ¶e a velocidade do conjunto imediatamente ap¶os o choque?

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 9

(b) Qual ¶e a velocidade angular de rota»c~ao do conjunto ap¶os a cordaser esticada?

- y6z

¡¡

¡ªx uMsm -

~v{ { { { { { { { {

H H H H Hj

14. Considere um sistema de duas massas iguais m ligadas por uma barrade massa desprez¶³vel e comprimento h. O sistema est¶a suspenso peloponto m¶edio da barra, e gira num plano horizontal com velocidadeangular !, como mostrado na ¯gura. Suponha que no instante t = 0 o¯o se rompa e o sistema comece a cair sob a»c~ao da gravidade. Qual omomento angular total do sistema para t = 0 e para t = t0 em rela»c~aoa um ponto O situado no plano inicial de rota»c~ao, a uma distancia ddo centro da barra? ³³³³³³³³³³³³

6~!

s s- y6z

¡¡ªx O¾ d -

15. Uma part¶³cula de massa m est¶a presa num dos extremos de uma haster¶³gida de comprimento ` e massa M = 2m. Num certo instante, umaoutra massa m, que move-se com velocidade ~v0, incide perpendicu-larmente µa barra, atingindo-a em seu outro extremo, e grudando-se aela. N~ao h¶a for»cas externas atuando sobre o sistema descrito. Des-creva quantitativamente o movimento do sistema ap¶os a colis~ao. Quala quantidade de energia cin¶etica perdida nesta colis~ao? Seria poss¶³velhaver uma perda maior de energia cin¶etica?

Suponha agora que a barra ¶e substitu¶³da por uma mola ideal de con-stante el¶astica k. Descreva qualitativamente o movimento do sistemaap¶os a colis~ao.

us-

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 10

16. Uma part¶³cula de massa m e velocidade de m¶odulo v colide com umhaltere em repouso. O haltere ¶e formado por duas part¶³culas, cada umadelas com massa m=2, ligadas por uma barra de massa desprez¶³vel ecomprimento a. Depois da colis~ao, a part¶³cula incidente possui veloci-dade

p2

10 v e sua trajet¶oria faz um angulo de ¼=4 com o eixo de colis~ao.Calcule a velocidade ¯nal do centro de massa do haltere e a veloci-dade angular em torno de seu centro de massa. A energia cin¶etica seconserva?

17. Um haltere de comprimento 2a, tendo uma massa 2m em sua extre-midade B e uma massa m em sua extremidade A, repousa sobre umamesa horizontal lisa. A barra r¶³gida que une A a B tem massa des-prez¶³vel. Um objeto de massa m aproxima-se de A com velocidade ~v0perpendicular µa barra, como mostra a ¯gura, grudando-se µa massa map¶os o choque. (a) Veri¯que se h¶a conserva»c~ao do momento angulardo sistema. Justi¯que. (b) Qual a velocidade do centro de massa dosistema ap¶os a colis~ao? (c) Qual a velocidade angular de rota»c~ao dosistema em torno do centro de massa ap¶os a colis~ao? (d) Qual a varia»c~aoda energia cin¶etica durante o processo de colis~ao?

mB 2m

iA mi -m~v0{ { { { { { { { { { { { { {

18. Duas massas iguais M s~ao ligadas por um bast~ao r¶³gido de massa des-prez¶³vel e comprimento a. O centro de massa deste sistema est¶a esta-cion¶ario num espa»co livre de gravidade, e o sistema gira em torno deseu centro de massa com velocidade angular !. Uma das massas emrota»c~ao atinge uma terceira massa estacion¶aria M , que gruda a ela.(a) Localize o centro de massa do sistema de tres part¶³culas no instanteimediatamente anterior µa colis~ao. Qual ¶e a velocidade do centro demassa? (b) Qual ¶e o momento angular do sistema em torno de seucentro de massa no instante imediatamente anterior µa colis~ao? E noinstante seguinte µa colis~ao? (c) Qual ¶e a velocidade angular do sistema

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 11

em torno de centro de massa ap¶os a colis~ao? (d) Quais s~ao as energiascin¶eticas inicial e ¯nal do sistema?

19. Considere um haltere constitu¶³do de duas massas m ligadas por umahaste r¶³gida de comprimento a e massa desprez¶³vel deslocando-se comvelocidade constante ~v sobre uma mesa horizontal sem atrito. O hal-tere choca-se ent~ao com uma massa m, originalmente em repouso, quepor sua vez adere ao conjunto como mostra a ¯gura. Determine a ve-locidade do centro de massa do sistema e a velocidade de cada corpoem rela»c~ao ao centro de massa ap¶os a colis~ao.

wm

wm

-~v

wm

antes depois

¡¡

¡¡

w}

20. Um estudante est¶a em cima de uma plataforma que pode girar quasesem atrito, segurando em suas m~aos uma roda de bicicleta que giracom uma velocidade angular ! em torno do eixo vertical. Inicialmentea plataforma est¶a em repouso. O que vai ocorrer quando o estudante

(a) mover o eixo da roda para longe do centro da plataforma e depoiso trouxer de volta;

(b) inverter o eixo de rota»c~ao da roda;

(c) voltar o eixo para a orienta»c~ao inicial;

(d) tocar a roda com seu bra»co e fazer com que ela p¶are com o atrito.

21. Demonstre que para um sistema de part¶³culas valem as rela»c~oes

~¿O = ~¿CM +M ~R £ ~F

~LO = ~LCM +M ~R£ ~V

d~LOdt

= ~¿ext0 (apenas se O for inercial)

F¶³s1 { 04/1 { G.6 { Ex. 14 | p. 12

d~LCMdt

= ~¿ extCM

onde ~¿O ¶e o torque total em rela»c~ao ao ponto O, ~¿CM ¶e o torque total emrela»c~ao ao centro de massa, ~LO ¶e o momento angular total em rela»c~aoa O, ~LCM ¶e o momento angular total em rela»c~ao ao centro de massa,~¿ extO ¶e o torque das for»cas externas em rela»c~ao ao ponto O, ~¿CM ¶e o

torque das for»cas externas em rela»c~ao ao centro de massa, ~R ¶e o vetorposi»c~ao do centro de massa do sistema do ponto de vista de O, ~V ¶e ovetor velocidade do centro de massa do sistema, e ~F ¶e a resultante dasfor»cas externas sobre o sistema.

1


GUIA DE ESTUDO 7

M¶odulo 7: Corpos R¶³gidos

1. INTRODUC» ~AO

Neste m¶odulo, encerramos a F¶³sica 1 discutindo um exemplo particular deum sistema de part¶³culas, o chamado corpo r¶³gido. Vamos estudar a dinamicado movimento de um corpo r¶³gido no caso simples do movimento plano docorpo r¶³gido, e faremos a discuss~ao da situa»c~ao em que h¶a rolamento semdeslizamento.

Leituras indispens¶aveis:Os t¶opicos citados acima correspondem ao cap¶³tulo 12 do livro texto, H.M.Nussensveig, Curso de F¶³sica B¶asica, Vol. 1 { Mecanica, 3a edi»c~ao, EditoraEdgard Blucher Ltda.


Atividade 1

Revis~ao de rota»c~oes em torno de um eixo ¯xo (se»c~ao 12.1 do livro texto).

Atividade 2

Exemplos de c¶alculos de momentos de in¶ercia para corpos r¶³gidos (se»c~ao12.2 do livro texto).

Atividade 3

Discuss~ao do problema 21 da lista de exerc¶³cios 15, Corpos R¶³gidos.

Atividades extras 1


2. Releia o cap¶³tulo 11 do livro texto.

3. Resolva os exerc¶³cios 1, 3, 4, 5, 6, 20 e 22 da lista 15.

4. Fa»ca o exerc¶³cio 9 e um dos exerc¶³cios entre o 11 e o 14da lista 15.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 | p. 2

Atividade 4

Discuss~ao do movimento plano de um corpo r¶³gido, com a decomposi»c~aodo movimento como uma transla»c~ao mais uma rota»c~ao em torno docentro de massa (se»c~ao 12.3).

Atividade 5

Exemplos e exerc¶³cios sobre os conceitos discutidos: o io-io, o rolamentonum plano inclinado e a tacada numa bola de bilhar (se»c~ao 12.4).

Atividades extras 2

1. Leia as se»c~oes 12.3 e 12.4 do texto.

2. Refa»ca, com o livro fechado, os exemplos da se»c~ao 12.4.

3. Resolva os exerc¶³cios de 19, 20, 23, 25, 26, 28, 29 e 30da lista 15.

Atividade 6

Discuss~ao sobre est¶atica (equil¶³brio) de corpos r¶³gidos (se»c~ao 12.8 dolivro texto) e resolu»c~ao do problema 44 da lista 15.

Atividades extras 3

1. Releia os cap¶³tulos 11 e 12.

2. Refa»ca os problemas que o professor resolveu em sala.

3. Fa»ca os problemas 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 e 38 dalista 15.

Atividade 7

Resolu»c~ao de problemas.

Atividades extras 4

1. Leia novamente o cap¶³tulo 12.

2. Resolva os exerc¶³cios 41, 42, 44 e 45 da lista 15.



2. Termine tudo que voce ainda n~ao terminou das aulas anteriores.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 3



Corpos R¶³gidos

1. Considere um sistema formado por dois corpos de mesma massa mligados por uma barra r¶³gida de comprimento 2` e massa desprez¶³vel,articulada em seu centro com o eixo de rota»c~ao do sistema, que giracom velocidade angular ~! (ver ¯gura).

(a) Mostre que para µ 6= ¼2 , ~L n~ao ¶e paralelo a ~!.

(b) Calcule Lz.

(c) Mostre que para µ = ¼2, ~L = I~!.

(d) Mostre que d~Ldt

= ~! £ ~L.

z

θl

ωr

l

Exercício 1 Exercício 2

θd

ωr

a

d

2. A ¯gura acima (2) mostra um corpo r¶³gido formado por duas massasiguais unidas por um bast~ao sem massa girando com velocidade angular~! em torno de um eixo preso rigidamente ao bast~ao e suportado pordois mancais sem atrito. Calcule a for»ca exercida pelo eixo sobre cadamancal e indique sua dire»c~ao.

3. Uma barra r¶³gida, uniforme, de massa m e comprimento `, tem presaa cada uma de suas pontas duas pequenas esferas, tamb¶em de massa

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 4

m, formando um haltere. As esferas s~ao t~ao pequenas que podem serconsideradas como massas pontuais.

(a) Qual ¶e o momento de in¶ercia deste objeto em torno de um eixoperpendicular µa barra passando pelo seu centro?

(b) Qual o momento de in¶ercia do sistema em torno de um eixo per-pendicular µa barra que passa atrav¶es de uma das massas puntiformes?

4. Calcule o momento de in¶ercia de um cilindro homogeneo de massa M ,raio R e altura H em torno dos eixos principais de in¶ercia que passampelo centro de massa (eixos x, y e z da ¯gura). (Sugest~ao: decomponhao cilindro em pequenos discos de altura dz e some os momentos dein¶ercia de cada disco.)

x

y

z

5. Demonstre que a soma dos momentos de in¶ercia de uma lamina plana,relativos a dois eixos perpendiculares quaisquer situados no plano dalamina, ¶e igual ao momento de in¶ercia da lamina em rela»c~ao a umeixo perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto de interse»c~aodos outros dois eixos (teorema dos eixos perpendiculares). Utilize esteresultado para calcular:

(a) o momento de in¶ercia de um disco circular em rela»c~ao a um dosdiametros;

(b) o momento de in¶ercia de uma placa retangular de lados a e b emrela»c~ao ao eixo perpendicular que passa pelo seu centro.

6. Calcule o momento de in¶ercia de um disco ¯no uniforme de raio R emassaM em torno de um eixo pertencendo ao plano do disco e tangentea ele.

R

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 5

7. Calcule o momento de in¶ercia de uma placa quadrada uniforme demassa M e lado a em torno de um eixo paralelo a um dos lados daplaca e passando por ele.

8. Determine o momento de in¶ercia de um disco uniforme, de raio R emassa M com um buraco circular excentrico de raio r, em rela»c~ao aoeixo perpendicular que passa pelo centro do disco. A distancia entre oscentros do disco e do buraco ¶e a, onde a < R ¡ r.

R

ra

Exercício 8

L

A

Fr

Exercício 9

9. Uma barra homogenea e estreita, de massa M e comprimento L, re-pousa sobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito. Subitamente a barra¶e golpeada perpendicularmente em sua extremidade A, recebendo umimpulso horizontal que a p~oe em movimento. Que distancia D ter¶a sidopercorrida pelo centro de massa, no instante em que a barra tiver dadomeia volta?

10. Uma barra homogenea, de comprimento 2 h, sofre a a»c~ao de uma for»caimpulsiva (por exemplo, uma pancada), a uma distancia d do seu centrode massa (ver ¯gura). Qual o ponto da barra que ¯ca inicialmente emrepouso? (Observa»c~ao: pense se isto tem algo a ver com o local ondeseguramos uma raquete de tenis.)

h2•CM

d

Exercício 10

a2dCM

Exercício 11

11. Um haltere, formado por duas massas m unidas por um bast~ao semmassa de comprimento 2a, repousa sobre uma mesa horizontal sematrito. Um corpo de massa M = 2m move-se com velocidade ~v± e

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 6

atinge o bast~ao a uma distancia d do centro de massa do haltere, comomostrado na ¯gura. Ap¶os a colis~ao, a massa M passa a mover-se comvelocidade 1

3~v±.

(a) Quais as grandezas que se conservam durante este processo? Justi-¯que.

(b) Qual a velocidade do centro de massa do haltere ap¶os a colis~ao?

(c) Qual a velocidade angular de rota»c~ao do haltere em torno de seucentro de massa?

(d) Existe algum d para o qual a energia cin¶etica se conserva no proces-so? Qual ¶e ele?

12. Uma haste de comprimento ` est¶a sobre uma mesa horizontal, sematrito. Sua massa ¶e M e ela pode mover-se livremente. Um pequenodisco de massam, que move-se como indicado na ¯gura, com velocidadede m¶odulo v±, colide elasticamente com a haste.

(a) Que grandezas s~ao conservadas?

(b) Qual deve ser a massa m do disco para que ele permane»ca emrepouso ap¶os o choque?

ldCM

0vrm

M

Exercício 12

l2

0vr

M31

MExercício 13

13. Um proj¶etil de massa 13 M e velocidade ~v± penetra e se aloja na ex-

tremidade de uma barra de massa M e comprimento 2`, que estavaoriginalmente em repouso sobre uma mesa sem atrito. Num instanteinicial t = 0 o proj¶etil estava a uma distancia D da barra. Sabendoque ~v± tem dire»c~ao horizontal e perpendicular µa face lateral da barra,como mostra a ¯gura, determine:

(a) a velocidade do centro de massa do conjunto barra-proj¶etil antes edepois do choque;

(b) as componentes do vetor posi»c~ao do centro de massa (indique osistema de coordenadas) como fun»c~ao do tempo t ap¶os o choque;

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 7

(c) a velocidade angular do conjunto barra-proj¶etil em torno do centrode massa ap¶os o choque.

14. Uma barra de comprimento d e massa M , na posi»c~ao vertical, podegirar livremente em torno de um pino colocado em A. Um proj¶etil demassa m e velocidade ~v atinge a barra a uma distancia a de A, comomostra a ¯gura, ¯cando alojada nela. Despreze o atrito entre o pino ea barra.

(a) Calcule a velocidade angular de rota»c~ao da barra imediatamenteap¶os a colis~ao.

(b) Que rela»c~ao deve existir entre a e d para que no instante da colis~aon~ao haja uma for»ca extra (al¶em da que j¶a existia inicialmente) no pinoda barra?

(c) Quanta energia ¶e transformada em calor no processo?

dvr

m

M

a

A

Exercício 14 Exercício 15

15. Uma barra homogenea e estreita de comprimento h ¶e mantida verti-calmente com uma de suas extremidades apoiada ao ch~ao. Deixa-secair a barra de modo que a extremidade apoiada no ch~ao n~ao deslize.Determine a velocidade da outra extremidade quando toca o ch~ao.

16. Uma barra homogenea de massa m e comprimento h ¶e solta do repousoquando forma um angulo µ± com a vertical, como mostra a ¯gura.Despreze o atrito entre o pino e a barra.

(a) Qual a velocidade angular da barra quando esta estiver na vertical?

(b) Supondo que nesta posi»c~ao o pino que sustenta a barra se solta,descreva o movimento da barra a partir deste instante.

17. Considere uma barra homogenea de massa M e comprimento h, quetem uma de suas extremidades presa a um pino ¯xo e sem atrito. A

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 8

barra ¶e abandonada na posi»c~ao horizontal com velocidade inicial nula,como mostra a ¯gura. Calcule, em termos de M , h, e da acelera»c~ao dagravidade g,

(a) a for»ca exercida pelo pino na barra no exato momento em que abarra ¶e abandonada;

(b) a velocidade angular instantanea da barra quando esta atinge aposi»c~ao vertical;

(c) a for»ca exercida pelo pino na barra no momento em que esta atingea posi»c~ao vertical.

0θh

Exercício 16

A B

A

B

h

gr

Exercício 17 m

MR

r

Exercício 18

18. Um disco cil¶³ndrico de raio R, massa M e momento de in¶ercia 12MR2

est¶a apoiado em mancais sem atrito por um eixo de raio r e in¶erciarotacional desprez¶³vel, conforme mostra a ¯gura. Uma massam ¶e atadaa uma corda enrolada em torno do eixo e atua para produzir umaacelera»c~ao angular no sistema. Calcule

(a) a acelera»c~ao angular do sistema;

(a) a acelera»c~ao linear da massa m; e

(a) a tens~ao na corda, em termos de m, M , r, g e R.

19. Um caminh~ao de massa M, com tra»c~ao nas rodas traseiras, est¶a ace-lerado para a frente com uma acelera»c~ao a, em uma rodovia retil¶³nea.Cada uma de suas quatro rodas possui massa m e raio R, e suponhaque cada uma delas ¶e um cilindro homogeneo.

(a) Qual a for»ca de atrito nas rodas dianteiras?

(b) Qual a for»ca de atrito nas rodas traseiras?

20. Uma carro»ca ¶e constitu¶³da de uma plataforma de massa M , montadaatrav¶es de rolamentos sem atrito sobre duas rodas de raio R, cada uma

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 9

com massa m. Considere cada roda como sendo aproximadamente umanel de raio R. Que for»ca F o cavalo precisa exercer na carro»ca paraque ela adquira uma acelera»c~ao de m¶odulo a em um terreno plano?

Fr

Exercício 20

Fr

Exercício 21

21. Um cilindro de massa M est¶a rolando sem deslizar em uma superf¶³ciehorizontal, sendo puxado por uma for»ca F , como est¶a mostrado na¯gura. Determine:

(a) os torques em rela»c~ao ao centro de massa das for»cas peso, F e atrito;

(b) a acelera»c~ao adquirida pelo cilindro.

22. O cilindro de a»co de um rolo compressor tem 1 m de raio e massa20 toneladas. Ele ¶e empurrado pela m¶aquina atrav¶es de uma for»cahorizontal aplicada no seu eixo, como mostra a ¯gura. O coe¯ciente deatrito est¶atico entre o asfalto e o cilindro ¶e 0,4. Fa»ca um diagrama dasfor»cas que atuam sobe o cilindro e calcule a m¶axima acelera»c~ao a queele pode ser submetido sem que derrape. (IC = 1

2MR2.)

23. O sistema da ¯gura a seguir representa dois cilindros que se movemmediante a a»c~ao de uma for»ca F . Cada cilindro possui massa M e raioR. Entre o ch~ao e os cilindros existe atrito, de maneira que os cilindrosrolam sem deslizar. Em termos dos dados do problema, calcule:

(a) a acelera»c~ao do sistema;

(b) a for»ca de atrito em cada roda (explicitando o sentido).

Fr

Exercício 23

x

y

zFr

Exercício 24

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 10

24. Um disco uniforme de raio R e massa M est¶a inicialmente em repousosobre uma superf¶³cie horizontal sem atrito. A partir do instante t± = 0,puxa-se o ¯o com uma for»ca ~F = F ³, horizontal e constante, comomostra a ¯gura. Pede-se calcular, para um instante t > t±:

(a) a velocidade do centro de massa do disco;

(b) a velocidade angular do disco em torno de seu centro de massa.

25. Considere um disco de massa M e raio R, tendo um ¯o de massa des-prez¶³vel enrolado nele. A outra extremidade do ¯o est¶a presa numaparede. Escreva as equa»c~oes do movimento do disco, calcule a acelera-»c~ao angular e a acelera»c~ao do centro de massa do disco e determine atens~ao no ¯o.

Exercício 25 Exercício 26m

R,M

26. Uma massa m est¶a suspensa por um ¯o de massa desprez¶³vel enroladoem uma polia homogenea de massa M e raio R (ver ¯gura) que podegirar em torno de um eixo perpendicular a ela passando pelo seu centro.

(a) Calcule a acelera»c~ao da massa m.

(b) Calcule a acelera»c~ao angular da polia.

(c) Calcule a tens~ao na corda quando a massa est¶a descendo.

Suponha que a distribui»c~ao de massa na polia seja equivalente µa de umdisco.

27. Considere dois discos de mesma espessura colocados como na ¯gura.

'mm

1R

2R

Exercício 27

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 11

(a) Sendo M a massa total dos discos e R1 e R2 seus raios, determineo momento de in¶ercia do disco.

(b) Conhecendo-se m e m0, determine a acelera»c~ao angular do discocomposto e a velocidade angular do disco composto, supondo-se queele partiu do repouso.

(c) Calcule no caso do item anterior a tens~ao nas cordas.

28. Quando um corpo r¶³gido rola sobre uma superf¶³cie, sem deslizar, pode-mos considerar que o corpo gira, em cada instante, em torno de umponto que est¶a momentaneamente em contato com a superf¶³cie. Esteponto ¶e o que chamamos de centro instantaneo de rota»c~ao. Seja oseguinte problema, que posde ser resolvido facilmente com este con-ceito: as ¯guras a seguir representam v¶arias maneiras de puxar umcarretel pela linha enrolada sobre o cilindro interno. Considere que oatrito seja su¯ciente para que o carretel role sem deslizar. Fa»ca vocemesmo esta experiencia. Qual o sentido da for»ca de atrito em cada umdos casos?

29. Um io-io de massa M , raio maior R e momento de in¶ercia I est¶a sobreuma mesa horizontal e pode rolar sem deslizar. Uma for»ca ~F ¶e apli-cada no raio interior r atrav¶es do ¯o, que forma um angulo ® com ahorizontal.

R

r α

Fr

29Exercício

RH

30Exercício

(a) Para quais valores de ® o io-io ir¶a rolar para frente? E para tr¶as?

(b) Calcule a acelera»c~ao do io-io e a for»ca de atrito entre o io-io e amesa supondo que ele n~ao se eleve da mesa.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 12

(c) Qu~ao forte precisa ser ~F para um angulo ® de forma que o io-io selevante da mesa?

30. Um estudante de F¶³sica Experimental deseja medir a velocidade docentro de massa de uma esfera de massa M e raio R, que desce umacanaleta inclinada (cuja se»c~ao transversal est¶a mostrada na ¯gura). Dea previs~ao te¶orica da velocidade com que a esfera chega ao ¯nal doplano inclinado de altura H.

31. Um cilindro de raioR e massaM rola sem deslizar, partindo do repouso,do topo de um plano inclinado de altura 2h at¶e a altura h. A partir daaltura h o cilindro desliza, pois n~ao existe atrito (ver ¯gura).

h2h

A

B

C

31Exercício

Calcule:

(a) a velocidade do centro de massa do cilindro no ponto B;

(b) a velocidade angular do cilindro em rela»c~ao ao centro de massa noponto B;

(c) a velocidade do centro de massa no ponto C;

(d) a velocidade angular em torno do centro de massa no ponto C.

32. Considere um cilindro homogeneo de massa total M = 100 kg e raioR = 0; 5 m, contendo um dispositivo interno que lhe proporciona umtorque bin¶ario constante ¿ em rela»c~ao ao eixo do cilindro. Este sobeum plano inclinado de inclina»c~ao µ = 30± rolando sem deslizar comacelera»c~ao igual a 1 m/s2. Sabendo que I± = 1

2MR2 e g = 10 m/s2,

determine:

(a) o valor de ¿ ;

(b) o m¶odulo e a dire»c~ao da for»ca de atrito;

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 13

(c) o valor m¶³nimo do coe¯ciente cde atrito est¶atico entre a superf¶³ciedo plano e do cilindro para que este possa subir o plano semdeslizar.

32Exercício

1m

2m

I

33Exercício

33. Considere na ¯gura que n~ao existe atrito entre o bloco e a superf¶³cie.A corda que liga os blocos de massas m1 e m2 passa por uma poliacujo momento de in¶ercia ¶e I, raio R e massa M . Calcule as tens~oes nacorda, a acelera»c~ao dos blocos, e a acelera»c~ao angular da polia.

34. Nas duas ¯guras a seguir temos um cilindro de massa M e raio Rque pode rolar sem deslizar. Na primeira ¯gura, um ¯o ¶e enrolado nocilindro, passa por uma polia sem massa e tem a extremidade presaa um corpo de massa m. Na segunda ¯gura, o ¯o ¶e colocado de talmaneira que ¯que preso ao eixo central do cilindro.

(a) Fa»ca o diagrama das for»cas para os dois casos.

(b) Calcule e compare as acelera»c~oes da massa m para os dois casos.

fig. 1 fig. 2

34Exercício

Rr

35Exercício

35. Um cilindro de massa 2m e raio 2b est¶a ligado por uma corda de massadesprez¶³vel a um bloco de massa 4m, como mostrado na ¯gura. Ocilindro tem uma ranhura muito estreita, de tal forma que a corda ¯caenrolada a uma distancia b de seu eixo. O cilindro rola sem deslizarsobre o plano horizontal; a corda passa por uma polia de massa des-prez¶³vel e o atrito entre a polia e o seu eixo ¶e desprez¶³vel. Sabendo-se

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 14

que o raio de gira»c~ao do cilindro em quest~ao em rela»c~ao ao seu eixo desimetria ¶e k, calcule:

(a) as acelera»c~oes do cilindro e do bloco, mostrando em um diagramaas for»cas que atuam no cilindro e no bloco;

(b) a acelera»c~ao angular do cilindro;

(c) a for»ca de atrito;

(d) a tens~ao que atua no bloco.

36. Considere um plano inclinado (de um angulo µ) com uma polia (disco)de massa MP e raio RP . Uma esfera de raio RE e massa ME tem oseu centro ligado por um ¯o, que passa pela polia e que tem em suaoutra extremidade uma massa M , como na ¯gura. Considerando quea esfera rola sem deslizar e que a polia ¶e um disco delgado, calcule aacelera»c~ao da massa M e a tens~ao na parte vertical do ¯o.

θ

36Exercício

37. (Mecanica do Bilhar, Sommerfeld, Mechanics) Uma bola de bilhar deraio a est¶a sobre uma mesa plana. O taco atinge a bola a uma alturah da superf¶³cie, exercendo sobre ela uma for»ca ~F horizontal. Conside-remos que esta for»ca ¶e t~ao intensa que podemos desprezar a for»ca deatrito entre as superf¶³cies do bloco e da bola durante a aplica»c~ao de ~F .

Fr

ha

37Exercício

(a) Mostre que a velocidade angular de rota»c~ao da bola em tornode seu centro de massa e a velocidade do centro de massa est~ao

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 15

relacionadas, imediatamente ap¶os a tacada, por

!± =5

2

(h ¡ a)

a2V±

(b) Por que voce n~ao obteve V± = !± a ? O que acontece se h = a?E se h < a? Qual deve ser o valor de h para que haja rolamentosem deslizamento?

(c) Considere a situa»c~ao em que a bola ¶e atingida no seu centro.Mostre que neste caso a velocidade do centro de massa da bolano instante t ¶e dada por V = V± ¡ 2

5a !, onde V± ¶e a velocidade

inicial do centro de massa da bola e ! ¶e a velocidade angularno instante t. Por que a velocidade do centro de massa da bolan~ao ¶e constante? Ap¶os um certo instante, a bola passar¶a a rolarsem deslizar. Qual o valor de V em termos de V± a partir deste in-stante? A partir da¶³, a velocidade do centro de massa ¶e constante?Calcule a energia dissipada desde o in¶³cio at¶e este instante.

38. Um truque interessante que pode ser feito com uma bola de gude, colo-cada sobre uma mesa horizontal, ¶e pression¶a-la com o dedo de maneiraa projet¶a-la ao longo da mesa com velocidade angular inicial ~!± nadire»c~ao de um eixo horizontal perpendicular µa velocidade inicial de seucentro de massa ~v±. O coe¯ciente de atrito est¶atico entre a bola degude e a mesa ¶e constante. A bola possui raio R.

(a) Que rela»c~ao precisamos ter entre v±, !± e R para que a bola deslizeat¶e parar completamente?

(b) Que rela»c~ao devemos ter entre v±, !± e R para que a bola deslizeat¶e parar e depois volte at¶e sua posi»c~ao inicial com uma velocidade¯nal constante de 3

7v±?

οvr

οωr

38Exercício

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 16

39. Um palha»co est¶a andando num monociclo cuja roda pode ser conside-rada como um anel homogeneo de raio TR e massa m. A massa doconjunto palha»co-monociclo ¶e M . Qual o torque que deve ser aplicadoao pedal para dar ao conjunto uma acelera»c~ao para a frente de m¶oduloa? Suponha que a roda rola sem deslizar.

40. Um disco plano uniforme de massa M e raio R est¶a girando em tornode um eixo ¯xo perpendicular a ele e passando pelo seu centro de massacom velocidade angular ! constante. Ache o momento angular do discoem rela»c~ao ao seu centro de massa.

41. ¶E poss¶³vel distingÄuir um ovo cru de um ovo cozido fazendo-os girarsobre uma mesa? Como?

42. O que aconteceria ao per¶³odo de rota»c~ao da Terra se as camadas polaresse derretessem? Explique por que.

43. Dois discos pesados s~ao ligados por um pequeno eixo de raio bem menorque o dos discos, formando um haltere. O conjunto ¶e colocado sobreum plano inclinado estreito de forma tal que s¶o o eixo do haltere ¯caapoiado, e rola para baixo sem deslizar. Pr¶oximo ao solo, os discostocam a superf¶³cie e passam a se deslocar com velocidade muito maior.Explique por que.

44. Calcule a tra»c~ao na corda e a rea»c~ao na r¶otula do sistema da ¯gura,sendo de 400 N o peso da barra e de 800 N o da carga. Suponha que acorda tem massa desprez¶³vel.

45o

((

43Exercício

AB

οο45

d44Exercício

45. Uma barra de massaM est¶a apoiada num buraco, como mostra a ¯gura.A largura do buraco ¶e d = 1

3 L, onde L ¶e o comprimento da barra. Oangulo que a barra faz com a horizontal ¶e de 45±. A for»ca de atrito noponto de contato A ¶e a m¶axima poss¶³vel, por¶em pode ser desprezada

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 | p. 17

no ponto B. Qual ¶e o valor do coe¯ciente de atrito em A? Determine adire»c~ao, o m¶odulo e o sentido da for»ca de atrito em B.

46. A barra uniforme ANB da ¯gura tem 4,0 m de comprimento e pesa1000 N. H¶a um ponto ¯xo C, que dista 3,0 m de A, em torno do qualela pode girar. A barra est¶a inicialmente em repouso apoiada sobreo ponto A. Um homem de massa 75 kg est¶a andando sobre a barra,partindo de A. Calcule a maior distancia que o homem pode se afastarde A sem que a barra se desequilibre.

AB

C

45Exercício

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 18



1. (b) Lz = 2md2 sen2 µ !.

2. A for»ca do eixo sobre cada mancal tem m¶odulo

F =1

2dm!2 a2 sen(2µ)

¶e perpendicular (em cada instante) ao eixo, na dire»c~ao da reta que unecada part¶³cula ao centro do c¶³rculo descrito por ela, e apontando parafora do eixo.

3. (a) 712m d2 , (b) 4

3 m d2.

4. Iz = 12MR2 , Ix = Iy = 1

4MR2.

5. (a) 14 MR2 , (b) 1

12 M (a2 + b2).

6. 54MR2.

7. 13 M a2.

8. 12 M

hR2 + r2 ¡ 2 a2 r2

R2¡r2i

9. D = 16 ¼ L.

10. O ponto que ¯ca a uma distancia d + h2=(3d) do local da pancada.

11. (a) d~Pdt

=P ~F ext = 0 =) momento linear total do sistema haltere +

massa ¶e conservado.d~L±dt =

P~¿ext± = 0 =) momento angular do sistema (em rela»c~ao a

qualquer ponto O da mesa) ¶e constante.

(b) 23 ~v±. (c) 2d

3a2 v± , (d) Sim, se d = a.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 19

12. (a) O momento linear total do sistema (poisP ~F ext = 0), o momento

angular total (poisP~¿ext = 0) e a energia cin¶etica (o enunciado in-

forma que a colis~ao ¶e el¶astica).

(b) M h2= (12d2 + h2).

13. (a) ComoP ~FEXT = 0, ~P = MT

~VCM = constante; portanto antes,

durante e depois da colis~ao, ~VCM = 14~v±.

(b) Fa»camos ³ o unit¶ario da dire»c~ao de ~v±, isto ¶e, ~v± = v± ³, ^ o unit¶arioda dire»c~ao da barra (perpendicular a ³) e k o unit¶ario da dire»c~ao perpen-dicular ao plano do papel e saindo dele, como na ¯gura; e escolhamoscomo origem do sistema de coordenadas o ponto O onde ocorre o toqueentre a massa m e a barra (a extremidade da barra antes da colis~ao):

ιj

k •O⊗O⊗

CMVr ω

⊗

R(t) = 14 [(¡D + v± t) + 3` ^].

(c) ! = 3v±=(7`), no sentido anti-hor¶ario.

14. (a) ! = 3Mv amd2+3ma2

; (b) d = 32a ;

(c) ¢T = Tf ¡ Ti = ¡ 12 mv2 M d2

M d2+3ma2

15.p

3 g h .

16. (a)q

3 gh (1¡ cos µ ) .

(b) O centro de massa descrever¶a um movimento uniformemente aceler-

ado com acelera»c~ao inicial horizontal de m¶odulo 12

q3g h (1 ¡ cos µ±) ;

a barra girar¶a em torno do centro de massa com velocidade angularq3 gh (1¡ cos µ±) em torno de um eixo perpendicular µa barra.

17. (a) 14 M g, vertical e para cima. (b)

q3 g=h . (c) 5

2 M g, vertical epara cima.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 20

18. (a) gr

1

1+ M R2

2mr2

; (b) g

1+M R2

2mr2

; (c) mg

1+ 2m r2

M R2

.

19. (b) 12 (M +m) a , para frente.

20. (M + 4m)a.

21. (a) ~¿ 0peso = 0 , ~¿ 0F = 0 , ~¿ 0fa = 13 F Rk, onde k ¶e o unit¶ario da

dire»c~ao do eixo do cilindro, para dentro.

(b) 23M

~F .

22. Amax = 8 m/s.

23. (a) 2F3M . (b) Cilindro da frente: 2

3~F (mesmo sentido de ~F ); cilindro de

tr¶as: ¡ 13~F .

24. (a) ¡ Fmt ³ ; (b) 2F

M Rt k.

25. (a) Acm = g¡ TM ; ® = 2 T

M R, onde T ¶e a tens~ao no ¯o.

(b) 23gR; (c) 2

3 g ; (d) 13 M g .

αα

CMAr

26. (a) 2mgM+2m ; (b) 2mg

R(M+m) ; (c) MmgM+2m.

27. (a) M2

R41+R4

2R2

1+R22;

(b) ® = g mR1¡m0R2I+mR2

1+m0 R2

2;

(c) mR1¡m0 R2

I+mR21+m0R2

2g t;

(d) T = mg I+m0R2 (R1+R2)I+mR2

1+m0R2

2.

αα

Tm 'm

'T

29. (a) Para frente, se cos® > r=R; para tr¶as, se cos® < r=R.

(b) a = FM

cos®¡r=R1+ I

MR2, fa =

cos®+M RrI

1+M R2

I

, para tr¶as.

(c) F ¸ Mgsen®

.

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 21

30. Primeiro modelo: desprezando a energia cin¶etica de rota»c~ao da bola,v =

p2gH.

Segundo modelo: h¶a rolamento sem deslizamento na canaleta, com um¶unico ponto de contato (a bola vem girando e rolando sem tocar nas

laterais da canaleta e encostando apenas no fundo dela): v =q

10gH=7.

Terceiro modelo: h¶a rolamento sem deslizamento, com o contato en-tre a canaleta e a bola dando-se nos dois pontos da ¯gura; k ¶e adistancia do centro da esfera ao eixo que passa pelos dois pontos:

v =q

2gH= (1 + 2R2=(5k2)).

kR

31. (a) 2q

13 g h ; (b) 2

R

q13 g h ; (c)

q103 g h ; (d) 2

R

q13 g h .

32. (a) 325 N.m; (b) 600 N; (c) 0,69.

33 (a) Em m1:m1 m2 g

m1+m2+ IR2

; em m2: m2 gm1+

IR2

m1+m2+ IR2

.

(b) m2 gm1+m2+ I

R2; (c) m2 g

R(m1+m2+IR2 )

.

34. (a) Caso 1: Caso 2:Tr

afr

Nr

Pr

Tr

afr

Nr

Pr

(b) a1 = mgm+3

8M, a2 = mg

m+32M

(a1 > a2).

35. (a) abloco = 18 gb2

22b2+k2Tr

afr

Nr P

r

'Pr

'Tr

(b) 6 gb22b2+k2 ; (c) 4m g 2b2¡k2

22b2+k2, para a frente; (d) 4mg 4 b2+k2

22 b2+k2.

36. (a) M¡Me senµM+1

2Mp+

75Meg ; (b)

12 Mp+(7

5 +senµ)Me

M+12Mp+

75Me

M g .

F¶³s1 { 04/1 { G.7 { Ex. 15 { resp. | p. 22

37. (b) Por que se h ¶e qualquer, a bola pode rolar e deslizar.

Se h = a, !± = 0 e a bola come»ca a deslizar sem rolar.οv

οω

Se h < a, a bola rola em sentido anti-hor¶ario.

Para que haja rolamento sem deslizamento, h = 75 a.

οv

οω

(c) Vcm n~ao ¶e constante porque a resultante das for»cas externas nabola n~ao ¶e nula (h¶a atrito cin¶etico). Quando passarmos µa situa»c~ao derolamento sem deslizamento, V = 5

7V± , e a partir da¶³a velocidade do

centro de massa ¯ca constante por queP ~F ext = 0. A energia dissipada

¶e 17 M V 2

± , e corresponde ao trabalho da for»ca de atrito no deslizamento.

38. (a) v± = 25!±R ; (b) v± = 1

4!±R.

39. (M +m) aR.

40. 12MR2 ~! (~! = ! k, onde k ¶e o unit¶ario da dire»c~ao do eixo).

41. Sim. O ovo cru n~ao ¶e um corpo r¶³gido...

42. O per¶³odo aumentaria, pois a velocidade angular diminuiria (devido aoaumento do momento de in¶ercia).

43. Discuta com o seu professor.

44. Tra»c~ao na corda: 1000p

2 N

Rea»c~ao na r¶otula: ¡ ~R, onde R ' 1020 N,

® = arctg 0; 2 ' 11±.

Rr

α

Tr

ο45

45. ¹C = 4p

23 ¡ 1 ' 0; 9 ; fa = (1 ¡ 3

p2

8 )M g ' 0; 47M g, tangente µaparede do buraco e para cima.

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