27 de mayo de 2016 ceros de funciones no lineales

Cálculo Numérico José Luis Quintero 1

27 de Mayo de 2016

Postgrado de Investigación de OperacionesFacultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

CEROS DE FUNCIONES

NO LINEALES(Parte 1)


Puntos a tratar

1. Problema de interés2. Convergencia3. Método de bisección4. Método de falsa posición5. Método de Newton6. Métodos Cuasi-Newton


Sea f una función de una variablereal a valores reales, se deseaencontrar (si existe) un valor talque

Problema de interés

r R∈f(r) 0.=


Puntos a tratar



Orden de convergencia

r∗

Sea la sucesión convergentea . Se define el orden deconvergencia de como elmáximo número no negativo ptal que

{ }kr

k 1

pk

k

r r0 lím

r r

∗+

→∞ ∗

−≤ < ∞

−

{ }kr



Si la sucesión tiene orden p y(como es usual) existe el límite

entonces, resulta la relaciónasintótica

k 1

pk

k

r rlím

r r

∗+

→∞ ∗

−β =

−

p p

k 1 k k 1 kr r r r e e∗ ∗

+ +− = β − ⇒ = β



Ejemplo 1. La sucesión ,donde converge a cerocon orden uno, ya que .

Ejemplo 2. La sucesión ,donde converge a cerocon orden dos, ya que .

k

kr a=

k2

kr a=

0 a 1< <k 1 kr r a+ =

0 a 1< <2

k 1 kr r 1+ =


Tasa de convergencia

r∗Si la sucesión converge a demanera que

se dice que la sucesión convergelinealmente a con tasa deconvergencia

{ }kr

k 1

k

k

r r0 lím 1

r r

∗+

∗→∞

−≤ = β <

−

r∗

β



Ejemplo 3. La sucesión

converge a cero. La convergencia es de

orden uno, pero no es lineal, pues

es decir, no es estrictamente menor

que uno.

kr 1 k=

k 1 kklím r r 1+→∞

=β



Por regla general, al comparar la efectividad

relativa de dos algoritmos, cualquiera de los

cuales puede producir sucesiones

linealmente convergentes, la comparación se

basa en sus tasas de convergencia

correspondientes eligiendo la más pequeña.

El caso extremo, donde , se denomina

convergencia superlineal

0β =



Ejemplo 4. La sucesión

es de orden unitario, pues

para . Sin embargo

y, por tanto, la convergencia es

superlineal.

kkr (1 k)=

pk 1 k

klím r r+→∞

→ ∞p 1>

k 1 kklím r r 0+→∞

→


Puntos a tratar



1. Si f es una función continua sobre elintervalo [a,b] y si entonces fdebe tener un cero en (a,b).

2. Dado que la función f cambiade signo en el intervalo [a,b] y, por lotanto, tiene por lo menos un cero en elintervalo.

3. Ésta es una consecuencia del teorema delvalor intermedio para funciones continuas.

Método de bisección

f(a)f(b) 0,<

f(a)f(b) 0,<


4. El método de bisección explota esta ideaasi: si entonces se calcula eliterado como y se investiga sise cumple . Si lo es, entonces ftiene un cero en [a,c].


f(a)f(b) 0,<12c (a b)= +

f(a)f(c) 0<



Método de

Bisección


Sea f continua en [a,b] y supongaque , entonces el métodode bisección genera una sucesióndenotada que se aproxima a rcon la propiedad


f(a).f(b) 0<

n{c }

n n 1

b ac r ; n 0

2 +

−− ≤ ≥



←←←

==

←

inicio

leer (a,b,iteraciones,cotaerror,cotaimagen)

u f(a)

v f(b)

e b-a

escribir (a,b,u,v)

si signo(u) signo(v) entonces stop

desde k 1 hasta iteraciones hacer

e e 2

← +←

< <≠

c a e

w f(c)

escribir (k,a,u,c,w,b,v,e)

si e cot aerror o w cot aim agen entonces stop

si signo(w) signo(u) entonces

←←

←←

b c

v w

sino

a c

u w

fin_si

fin_desde

fin


1. El script bisecgraf.m realiza el cálculo deuna raíz de una función aplicando elmétodo de bisección.

2. El archivo bisecgraf.m es una función enMATLAB. Para ejecutar el algoritmo escribaen el ambiente MATLAB:

bisecgraf('biseccion',2,6,0,7,100)



3. El código de la función biseccion setranscribe a continuación. Llame al scriptcomo biseccion.m . La función bisecciónes a quien se le calcula la raíz.

function y = biseccion(x)y = (1-x.*cos(x)).*x;




0 1 2 3 4 5 6 7-40

-30

-20

-10

0

10

20

x

f(x)


x=a x=c

1 23

Solucion final


Orden y tasa de convergencia

En el método de bisección sesabe que

Por otro lado

n n

n 1 n 1 n 1 n 1

(b a )1 1e c r (b a )

2 2 2∗

+ + + +

−= − ≤ − =

n n n n

1e c r (b a )

2∗= − ≤ −



Por lo tanto

El método de bisección convergelinealmente a con tasa deconvergencia igual a ½.

n 1 n

1e e

2+ ≈

r∗


Puntos a tratar



Como el método de Bisección converge muylentamente, se intentó diseñar un método queconverja más rápidamente pero con la mismapropiedad que el método de Bisección:asegurar la convergencia encerrando la raízen cada paso.

Como antes, se supone que y seaproxima el gráfico de f por una recta quepase por los puntos y y la raízde esta recta “c” será una aproximación a laraíz r de f(x).

Método de falsa posición

f(a).f(b) 0<

(a, f(a)) (b,f(b))


Se descarta uno de los extremos y sereemplaza por c para obtener un nuevointervalo que contenga a r y se repite elproceso. La ecuación de la recta será


f(b) f(a)g(x) f(b) (x b)

b a

− = + − −


Si se llama c a la raíz de esta recta, entoncesse tiene así que

por lo tanto


g(c) 0,=

f(b) f(a)f(b) (c b) 0

b a

− + − = −

b ac b f(b)

f(b) f(a)

−= − −



←←

==

← − − −

inicio

leer (a,b,iteraciones,cotaimagen,cotalongitud)

u f(a)

v f(b)

escribir (u,v)

si signo(u) signo(v) entonces stop


c b v (b a)(v [ ]←

< − <≠

←

u)

w f(c)

escribir (k,a,u,c,w,b,v)

si w cot aimagen o b a cotalo ngitud entonces stop

si signo(w) signo(u) entonces

b c

←

←←

v w

sino

a c

u w

fin_si

fin_desde

fin


1. El script falsi.m realiza el cálculo de unaraíz de una función aplicando el método defalsa posición.

2. El archivo falsi.m es una función enMATLAB. Para ejecutar el algoritmo escribaen el ambiente MATLAB:

falsi('falsa',0,5,0.001,100)



3. El código de la función falsa se transcribe acontinuación. Llame al script como falsa.m .La función falsa es a quien se le calcula laraíz.

function y = falsa(x)y = x.*x-9;



Puntos a tratar



En este método se continua con la misma ideadel método anterior: aproximar el gráficode en la vecindad de la raíz por unarecta, pero se usa ahora la tangente a f en uniterado y la raíz de esa recta será unaaproximación a r.

Método de Newton

y f(x)=

nx


Dado un punto inicial suficientementepróximo a r, se traza la tangente a f(x) en elpunto lo cual deja como método:

dado,

Método de Newton

0x

0 0(x , f(x )),

0x

nn 1 n

n

f(x )x x ; n 0

f '(x )+ = − ≥

Cálculo Numérico José Luis Quintero

Este es un método local e iterativo en el cuál aproximamos el entornode la función suponiendo que se comporta como su primera derivada.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Método de Newton


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x0

f (x) ≅ f (x0) + f ' (x0)(x − x0)

Método de Newton


0 = f (x0) + f ' (x0)(x1 − x0)

x1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x0

y = f (x0) + f ' (x0)(x − x0)

x1

x1 = x0 −f (x0)

f ' (x0)

Método de Newton


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1

x0

x1

x1 = x0 −f (x0)

f ' (x0)

Método de Newton


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x1

x0

x1

x1 = x0 −f (x0)

f ' (x0)

x2

x2 = x1 −f (x1)

f ' (x1)

Método de Newton


Método de Newton

←

<=

← −

0

0

0

1 0 0

inicio

leer (x ,iteraciones,cot alongitud,cot aimagen)

v f(x )

escribir (0,x , v)

si v cot aimagen entonces stop


x x v f '(x )

←

− < <←

1

1

1 0

0 1

v f(x )

escribir(k,x , v)

si x x cot alongitud o v c ot aimagen entonces stop

x x

fin_desde

fin


Situaciones particulares del método de Newton


nn 1 n

n

f(x )x x ;

f '(x )

n 0

+ = −

≥

Método de Newton


Calcule el punto de la curva y = 1/x más próximo al punto (2,1).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Una aplicación del Método de Newton


La distancia entre dos puntos del plano (x1,y1) y (x2,y2)viene dada por:

d = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2

luego la distancia de los puntos sobre la curva y = 1/x alpunto (2,1) es:

d(x) = (x − 2)2 + (1

x−1)2



Se quiere minimizar la función anterior d(x); pero eso esequivalente a minimizar la siguiente función, g(x), que noes más que su cuadrado:

g(x) = (x − 2)2 + (1

x− 1)2

Para encontrar el mínimo de esta función se tiene que ver dónde se anula su 1ª derivada:

g' (xmin) = 0 → xmin ?



Como:

g' (x) = 2(x − 2)−2

x2 (1

x−1)= 2x − 4 −

2

x3 +2

x2

se tiene que encontrar para qué valor de x se anula lafunción:

f (x) = x − 2−1

x3 +1

x2



Se tomará como punto de partida x0 = 1:

f (x0) = −1

f ' (x) = 1+3

x4 −2

x3

x1 = x0 −f (x0)

f ' (x0)= 1−

1− 2 −1

13+

1

12

1+ 3

14− 2

13

=1.5

→ f (x1) ≅ −0.351852



x2 = x1 −f (x1)

f ' (x1)≅ 1.85185→ f (x2) ≅ −0.0140139

x3 = x2 −f (x2)

f' (x2)≅ 1.86676 → f (x3) ≅ −3.75063 10−7



Encuentre dos números tales que suman 20 y al añadirle acada uno su raíz cuadrada positiva, su producto es 155.55 .

El problema equivale a encontrar un cero de la siguientefunción:

f (x) = (x + x )(20− x + 20− x ) −155.55

Tomando como punto de partida x0 = 11:

f (x0) ≅16.2495

Newton:



1 1f '(x) 1 (20 x 20 x) (x x) 1

2 x 2 20 x

= + − + − − + +

−

x1 = x0 −f (x0)

f ' (x0)≅ 16.6156 → f (x1) ≅ −47.4544



x2 = x1 −f (x1)

f ' (x1)≅ 14.2952 → f (x2) ≅ −9.25521

x3 = x2 −f (x2)

f' (x2)≅ 13.5662 → f (x3) ≅ −0.817527

x4 = x3 −f (x3)

f ' (x3)≅ 13.4881 → f (x4) ≅ −0.00969977

x5 = x4 −f (x4)

f ' (x4)≅ 13.4872 → f (x5) ≅ −0.000498109

x6 = x5



1. El script newtongraf.m realiza el cálculo deuna raíz de una función aplicando elmétodo de Newton.

2. El archivo newton.m es una función enMATLAB. Para ejecutar el algoritmo escribaen el ambiente MATLAB:

newtongraf('newton',2,-1,3,100)

Método de Newton


3. El código de la función newton se transcribea continuación. Llame al script comonewton.m . La función newton es a quien sele calcula la raíz.

function y = newton(x)y = (1-x.*cos(x)).*x;

Método de Newton


Método de Newton

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2

0

2

4

6

8

10

12

x

f(x)

Método de Newton

5678

Solucion final


Si f pertenece a la clase , escreciente, convexa y tiene un cero,entonces el cero es único y el métodode Newton convergerá a él a partir decualquier punto inicial.

Teorema

2C (R)


Sea continua y dos vecescontinuamente diferenciable en ytal que verifica

Entonces, el método iterativo de Newtonconverge si se toma detal forma que .

Regla de Fourier

a,b

f : a,b R→

f(a).f(b) 0< f '(x) 0, x a,b≠ ∀ ∈ f ''(x) 0, x a,b≠ ∀ ∈

0 0

x a o x b= =0 0

f(x ).f ''(x ) 0>


Sean y

El método de Newton converge si setoma ya que .

Regla de Fourier

2f(x) x 9 ; f '(x) 2x ; f ''(x) 2= − = =

f(1).f(4) 0< f '(x) 0, x 1,4≠ ∀ ∈ f ''(x) 0, x 1,4≠ ∀ ∈

0x 4= f(4).f ''(4) 0>

a,b 1,4=


Suponga las hipótesis de Fourier y quese escoge el iterado inicial según esecriterio. Entonces, una cota del errorcometido en la n-ésima iteraciónviene dado por

donde

Cota del error método de Newton

n(e )

2

n n n 1

Me x x

2m −≤ −

x a,bx a,b

M max f ''(x) , m min f '(x)∈∈

= =


Sean y

Se sabe que

Cota del error método de Newton

2f(x) x 9 ; f '(x) 2x ; f ''(x) 2= − = =

a,b 1,4=

x 1,4x 1,4

M max 2 2 , m min 2x 2∈∈

= = = =

2 2

2 2 1

1 1e x x 3.0025 3.125

2 2

0.007503

≤ − = −

≈

2e 0.0025=



En el método de Newton se tiene

Usando desarrollo de Taylor

n nn 1 n n 1 n

n n

n n n nn 1 n

n n

f(x ) f(x )x x ; n 0 , x r x r

f '(x ) f '(x )

f(x ) e f '(x ) f(x )e e

f '(x ) f '(x )

+ +

+

= − ≥ − = − −

−= − =

210 0 0 02

21n n n n2

21n n n n2

f(x) f(x ) f '(x )(x x ) f ''( )(x x )

0 f(r) f(x ) f '(x )(r x ) f ''( )(r x )

0 f(x ) f '(x )e f ''( )e

= + − + ξ −

= = + − + ξ −

= − + ξ



El método de Newton convergecon orden dos a r con tasa deconvergencia aproximada a.

2 2n n nn 1 n n

n n

e f '(x ) f(x ) f ''( ) f ''(r)e e e

f '(x ) 2f '(x ) 2f '(r)+− ξ= = ≈

f ''(r)

2f '(r)


Puntos a tratar



Al igual que en el método de la falsa posición,el gráfico de es aproximado por unarecta secante en la vecindad de la raíz r pero,sin obligar a los iterados a encerrar a la raíz. Elmétodo es

dos iterados iniciales dados,

De esta manera el método no aseguraconvergencia, pero se demuestra que siconverge es más rápido que los anteriores.

Método de la secante

y f(x)=

0 1x , x

n n 1n 1 n n

n n 1

x xx x f(x ) ; n 1

f(x ) f(x )−

+−

−= − ≥ −



←←← −

=<

inicio

leer (a,b,iteraciones,cotalongitud,cotaimagen)

u f(a)

v f(b)

e b a

escribir (0,a,u)

escribir (1,b,v)


si u v entonces

↔↔

← − −←←← −←

a b

u v

fin_si

s (b a)(v u)

a b

u v

b b vs

v f(b)

escribir (k,b,v)

− < < si b a cot alongitud o v cot aimagen entonces stop

fin_desde

fin


1. El script secante.m realiza el cálculo de unaraíz de una función aplicando el método dela secante.

2. El archivo secant.m es una función enMATLAB. Para ejecutar el algoritmo escribaen el ambiente MATLAB:

secante('secant',0,5,0.001,100)



3. El código de la función secant se transcribea continuación. Llame al script comosecant.m . La función secant es a quien sele calcula la raíz.

function y = secant(x)y = x.*x-9;




En el método de la secante setiene que

n n 1n 1 n n

n n 1

n n n 1 n n n 1n 1

n n 1

n n 1 n 1 nn 1

n n 1

x xx x f(x ) ; n 1

f(x ) f(x )

x (f(x ) f(x )) f(x )(x x )x

f(x ) f(x )

f(x )x f(x )xx

f(x ) f(x )

−+

−

− −+

−

− −+

−

−= − ≥ −

− − −=−

−=−



n n 1 n 1 nn 1

n n 1

n n 1 n 1 nn 1

n n 1

n n 1 n 1 nn 1

n n 1

n n 1 n n n 1 n 1n 1 n n 1

n n 1 n n 1

f(x )x f(x )xx r r

f(x ) f(x )

f(x )(x r) f(x )(x r)x r

f(x ) f(x )

f(x )e f(x )ee

f(x ) f(x )

x x f(x ) e f(x ) ee e e

f(x ) f(x ) x x

− −+

−

− −+

−

− −+

−

− − −+ −

− −

−− = −−

− − −− =

−

−=

−

− −= − −



Usando desarrollo de Taylor

Se tiene

21f(x) f(r) f '(r)(x r) f ''(r)(x r)

2≈ + − + −

21n nn 2 1

n2n n

21n 1 n 1n 1 2 1

n 12n 1 n 1

n n 1 1n n 12

n n 1

f '(r)e f ''(r)ef(x )f '(r) f ''(r)e

e e

f '(r)e f ''(r)ef(x )f '(r) f ''(r)e

e e

f(x ) f(x )f ''(r)(e e )

e e

− −−−

− −

−−

−

+≈ = +

+≈ = +

− ≈ −



Por lo tanto

1n n 1n n 1 2

n 1 n n 1

n n 1 n n 1

1n n 1n n 1 2

n 1 n n 1

n n 1 n n 1

n 1 n n 1 n 1 n n 1

f ''(r)(e e )x xe e e

f '(r)(e e ) x x

f ''(r)(x x )x xe e e

f '(r)(x x ) x x

f ''(r) f ''(r)e e e e e e

2f '(r) 2f '(r)

−−+ −

− −

−−+ −

− −

+ − + −

−−≈ − −

−−≈ − −

≈ ⇒ ≈

n 1 n n 1e C e e+ −⇒ ≈



Se postula la relación asintótica

Sustituyendo en lo anterior:

p p 1 1 pn 1 n n n 1 n 1 ne K e e K e e (K e )−

+ − −≈ ⇒ ≈ ⇒ ≈

p 1 p p 1 1 p1 p 1 pn n n n n

1 p 1 p1 1 p 1n

K e C e K e K e CK e

K C e

+− −

− ++ −

≈ ⇒ ≈

⇒ ≈



Como la constante izquierda espositiva y distinta de cero mientrasque se concluye que

y

ne 0→

21 1 51 p 0 p p 1 0 p 1.62

p 2

+− + = ⇒ − − = ⇒ = ≈

( 5 1) 2

1 1 p p (p 1) f ''(r)K C K C K

2f '(r)

−+ +≈ ⇒ ≈ ⇒ ≈



Por lo tanto el método de lasecante tiene orden deconvergencia superlineal y tasade convergencia dada por

( 5 1) 2f ''(r)

2f '(r)

−


Una de las desventajas del método de Newtones que utiliza la derivada de la función cuyocero se busca. Para superar esta dificultad sehan propuesto una serie de métodos. Porejemplo, la iteración de Steffensen

da una manera de atacar el problema

Método de Steffensen

2

nn 1 n

n n n

[f(x )]x x

f(x f(x )) f(x )+ = −+ −


Pensamiento de hoy

“A medida que la complejidadcrece, los planteamientos precisospierden significado y losplanteamientos llenos de significadopierden precisión”.

Lofti Zadeh

27 de mayo de 2016 ceros de funciones no lineales

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