2561 1st 286 sheet 16 30...

เอกสารประกอบการสอน 2301286 PROB/STAT

ภาคปลาย ปการศกษา 2561 ชดท 2

เอกสารประกอบการเรยนการสอน 2301286 PROB / STAT

ภาคปลาย ปการศกษา 2561 ชดท 2

สารบญ หนา 16 การแจกแจงของคาสถตตวอยาง 1

17 การแจงแจงของคาเฉลยตวอยาง 11

18 การประมาณคาพารามเตอรดวยคาสถต 18

19 การทดสอบสมมตฐาน 30

20 การแจงแจงของผลตางของคาเฉลยตวอยาง 57

21 การแจงแจงของคาเฉลยผลตางของตวอยาง 84

22 การแจงแจงของความแปรปรวนตวอยาง 95

23 การแจงแจงของอตราสวนความแปรปรวนตวอยาง 102

24 การแจงแจงของสดสวนผลสาเรจตวอยาง 112

25 การแจงแจงของผลตางของสดสวนผลสาเรจตวอยาง 129

26 การทดสอบความเหมาะสมของการแจกแจง 142

27 การทดสอบความเปนอสระ 156

28 การถดถอยเชงเสนและสหสมพนธ 173

29 การวเคราะหความแปรปรวน 207

30 การกาหนดขนาดตวอยาง 235

2301286 PROB/STAT 1 ชดท 2

เอกสารประกอบการสอน 2301286 PROB/STAT ภาคปลาย ปการศกษา 2561

ชดท 16 การแจกแจงของคาสถตตวอยาง ประชากร (Population) และ ตวอยาง (Sample) ประชากร (Population) คอเซตของคาสงเกตทงหมดในการทดลอง หรอ ในการสารวจทางสถต ตวอยาง (Sample) หมายถงขอมลบางสวนทไดจากประชากร ประชากรอาจแบงตามขนาดไดเปน 2 ชนด คอ 1. ประชากรทมจานวนแนนอน (finite population) ตวอยางเชน เลขทาย 2 ตวของลอตเตอรในป พ.ศ. 2559 นสตของจฬาลงกรณมหาวทยาลยในปการศกษา 2560 แตมของลกเตาทไดจากการโยนลกเตา 1 ลก นสตคณะวทยาศาสตรทเรยนวชา 2301286 PROB & STAT รถยนตในกรงเทพมหานคร 2. ประชากรทมจานวนอนนต (infinite population) ตวอยางเชน จานวนครงททอดลกเตา 1 ลก จนไดแตม 6 ปรมาณสารพษในอากาศของกรงเทพมหานคร ปรมาณเชอโรคในแมนาเจาพระยา อายการใชงานของยางรถยนต



การสมตวอยาง (Random Sampling) วธการสมตวอยางทนยมใชม 4 แบบ คอ 1. การสมตวอยางแบบธรรมดา (simple random sampling) หมายถงการเลอกตวอยางโดยไมเจาะจงจากประชากรทงหมด 2. การสมตวอยางแบบแบงเปนพวก (stratified random sampling) แบงประชากรออกเปนพวก (stratum) ตามลกษณะของประชากร เชน แบงนสตเปนพวก ๆ ตามคณะทตนเรยนอยเปนตน แลวสมตวอยางแบบธรรมดาจากแตละพวก 3. การสมตวอยางแบบมระบบ (systematic random sampling) วธนเรากาหนดหมายเลขใหแกประชากรทงหมดเสยกอน เลอกสมาชกตวแรกโดย วธสม (random start) จากหมายเลข 1 ถง k ตอจากนนเลอกทก ๆ หนวยท k เมอ k =

nN โดยม N คอ ขนาดของ

ประชากร และ n คอขนาดของตวอยาง 4. การสมตวอยางแบบแบงเปนกลม (cluster random sampling) การสมตวอยางแบบน เรมดวยการแบงประชากรออกเปนกลม ๆ เสยกอน แลวเลอกเอาแตเพยงบางกลมเปนตวอยาง โดยอาจจะใชประชากรทงหมดในกลมนน หรอเลอกแตเพยงบางสวนของประชากรในกลมทถกเลอกมาเปนตวอยาง



ทฤษฎการสมตวอยาง (Sampling Theory) พารามเตอร (parameter) เปนคาทบอกสภาพของประชากร เชน คาเฉลยประชากร คาความแปรปรวน 2 คาสดสวนผลสาเรจ p จดประสงคสาคญในการสมตวอยางคอการประมาณคา พารามเตอร การทางานทางสถต คาเฉลย คาความแปรปรวน คาสดสวนผลสาเรจ ทคานวณไดจากตวอยางเรยกวา สถต (statistic) เนองจากตวอยางทสมจากประชากรอาจมไดหลายชดตาง ๆ กน คาของสถตจะเปลยนแปลงไปในแตละตวอยางทสมได ดงนนสถตจงเปนตวแปรสม สญลกษณทใชเขยนแทนสถตมกจะใชอกษรลาตน และใชอกษรกรกแทนพารามเตอร เชน

สถต พารามเตอร คาเฉลย

X ความแปรปรวน 2S 2

คาสดสวน P p

ผลตางคาเฉลย 21 XX 21

ผลตางคาสดสวน 21 PP 21 pp



ประชากร และ ตวอยาง

บทนยาม 5.3.1 ถา 1X , 2X , , nX แทนตวอยางสมขนาด n

คาเฉลยเลขคณตของตวอยาง (sample mean) คอ n

XX

n

1ii

X เปนตวแปรสม คาถามทสาคญทางสถต 1. ตวแปรสม X มการแจกแจงเปนอะไร 2. คาเฉลยของคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง X เทากบเทาใด 3. ความแปรปรวนของคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง 2

X เทากบ

เทาใด บทนยาม 5.3.5 ถา 1X , 2X , , nX แทนตวอยางสมขนาด n

ความแปรปรวนของตวอยางคอ 2S = 1n

)XX( 2i

n

1i

ทฤษฎบท 5.3.1 2S = )1n(n

)X(Xn 2i

n

1i

2i

n

1i



การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม X ประชากรมคาเฉลย = 10 สมตวอยางขนาด n = 15 ทาการทดลองทงหมด 1000 ชดตวอยางไดคาเฉลยตวอยางจานวน 1000 คาเปน 1x , 2x , 3x , ... , 1000x

สมตวอยางขนาด n = 50 ทาการทดลองทงหมด 1000 ชดตวอยางไดคาเฉลยตวอยางจานวน 1000 คาเปน 1x , 2x , 3x , ... , 1000x

สมตวอยางขนาด n = 100 ทาการทดลองทงหมด 1000 ชดตวอยางไดคาเฉลยตวอยางจานวน 1000 คาเปน 1x , 2x , 3x , ... , 1000x



การแจกแจงความนาจะเปนของตวสถต คาเฉลย X คาความแปรปรวน 2S คาสดสวนผลสาเรจ P ฯลฯ ทคานวณไดจากตวอยางเรยกวา สถต (statistic) กาหนดให เปนตวสถต

บทนยาม 5.4.1 สวนเบยงเบนมาตรฐานของการแจกแจง ความนาจะเปนของสถต เรยกวา สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard error) ของสถต

ผลจากการทดลองจะไดประชากรคาเฉลย 1x , 2x , 3x , ...

การแจกแจงความนาจะเปนของ X เรยกวา การแจกแจงของคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง

X เรยกวา คาเฉลยของคาเฉลยตวอยาง X

X เรยกวา สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยตวอยาง X 2X เรยกวา ความแปรปรวนของคาเฉลยตวอยาง X



คาเฉลยเลขคณตของ X และ ความแปรปรวนของ X กรณสมตวอยางขนาด n ออกมาพรอมกนจากประชากร N ตว

X = )X(E = )( n

X

Ei

n

1 i

= )X(E n1

i

n

1 i

=

n1

n

1 i

=

2X

= )Xvar( = )n

X

ar(vi

n

1 i = )Xar(v

n

1i

n

1i2

=

)X,Xcov( 2 )Xar(v

n

1ji

j ii

n

1 i2

=

)

1N1(1)))(n

2n2(( n

n

1 222

=

)

1N1(1)n(n n

n

1 222

= 22

n 1N1n1

n

1

= n1N

nN 2

หมายเหต เมอขนาดของประชากร N มคามาก หรอการสมตวอยางกระทาโดยการหยบแลวใสคนกบทเดมจะได คาเฉลยของคาเฉลยตวอยาง X = และคาความแปรปรวนของคาเฉลยตวอยาง 2

X =

n

2



ทฤษฎบท 5.4.1 (The Central Limit Theorem) ถา X เปนคาเฉลยเลขคณตของตวอยางสมขนาด n จาก ประชากรซงมคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวน 2 แลวการแจกแจงของตวแปรสม Z =

n

X เมอ n

จะประมาณไดดวยการแจกแจงปกตมาตรฐาน n(z ; 0, 1) หมายเหต 1. ถา n 30 การประมาณการแจกแจงนจะใหผลด กตอเมอ ประชากรมการแจกแจงใกลเคยงกบการแจกแจงปกต 2. ถาประชากรมการแจกแจงปกตแลว การแจกแจงของคาเฉลยเลขคณตของตวอยางกจะมการแจกแจงปกต โดยไมคานงถงขนาดของตวอยางวาจะมากนอยเพยงไร



ตวอยาง 5.4.1 โรงงานผลตหลอดไฟฟาแหงหนง ผลตหลอดไฟฟาซงอายการใชงานมการแจกแจงปกตทมคาเฉลยเลขคณต 800 ชวโมง และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 40 ชวโมง จงหาความนาจะเปนทตวอยางสมของหลอดไฟ 16 หลอด จะมอายเฉลยนอยกวา 775 ชวโมง วธทา เพราะวาสมตวอยางจากประชากรปกต เพราะฉะนน X มการแจกแจงปกต

X = = 800

X = n =

1640 = 10

P(X 775) = P(Z n

775

)

= P(Z 10

800775 ) = P(Z – 2.5) = 0.0062



ตวอยาง 5.4.3 จากการสารวจปรากฏวา นสตชายชนปท 1 ของมหาวทยาลยแหงหนงมสวนสงเฉลย 68.5 นว และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2.7 นว ถาสวนสงของนสตมการแจกแจงปกต สมตวอยางนสตกลมนมา 50 คน จงหาความนาจะเปนทจะไดสวนสงเฉลยของนสต 50 คนน มคามากกวา 69.0 นว วธทา ให X เปนสวนสงของนสตมการแจกแจงปกต = 68.5 และ = 2.7 เพราะฉะนน X จะประมาณไดดวยการแจกแจงปกต ซงม คาเฉลยเลขคณต 5.68X และสวนเบยงเบนมาตรฐาน

507.2

nX

ดงนน )0.69X(P = )

n

0.69

n

X(P

= )

507.2

5.680.69Z(P

= )31.1Z(P = )31.1Z(P1 = 1 – 0.9049 = 0.0951



ชดท 17 การแจกแจงของคาเฉลยตวอยาง (X ) ประชากรมการแจกแจงปกตมคาเฉลยประชากร = และ ความแปรปรวนประชากร = 2 สมตวอยางขนาด n ได 1X , 2X , ... , nX

คาเฉลยตวอยาง X = n

Xi

n

1 i

ความแปรปรวนของตวอยาง 2S = 1n

)XX( 2i

n

1 i

หรอ 2S = )1n(n

) X ( X n 2i

n

1 i

2i

n

1 i

X เปนตวแปรสม X เรยกวา คาเฉลยของคาเฉลยตวอยาง X X เรยกวา สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยตวอยาง X 2X

เรยกวา ความแปรปรวนของคาเฉลยตวอยาง X



การแจกแจงคาสถต X ประชากรมคาเฉลย X = และ ความแปรปรวน 2

X =

n

2 สมตวอยางขนาด n ตวแปรสม X มการแจกแจงตามเงอนไขตาง ๆ ดงน 1. ประชากรมการแจกแจงปกตและรคา 2 จะได Z =

n

x

2. ประชากรมการแจกแจงปกต หรอ ประชากรทมลกษณะใกลเคยงการแจกแจงปกตและไมรคา 2 2.1 ขนาดตวอยาง n 30 จะได Z =

ns

x

2.2 ขนาดตวอยาง n 30 จะได t = n

sx

มการแจกแจงท ระดบขนความเสร = n – 1 3. กรณไมไดกาหนดวาประชากรแจกแจงปกตและรคา 2 ตองทาการสมตวอยางขนาด n 30 จะได Z =

n

x

4. กรณไมไดกาหนดวาประชากรแจกแจงปกตและไมรคา 2 ตองทาการสมตวอยางขนาด n 30 ประมาณคา 2 ดวย 2s จะได Z =

n

x



แผนภมการแจกแจงของ X

ในการศกษาวชาสถตเรานาผลของการแจกแจงคาสถต X ไปประยกตใช 3 ลกษณะคอ 1. หาคาความนาจะเปนเกยวกบ X 2. ประมาณคา ของประชากร 3. ทดสอบสมมตฐาน = 0



ตวอยาง 5.7.1 โรงงานผลตหลอดไฟฟากลาวอางวา หลอดไฟทผลตไดจะใชไดนานโดยเฉลย 10000 ชวโมง เพอรกษาคาเฉลยไวตามทกลาวอางเขาจงสมตวอยางหลอดไฟออกมาทดสอบ จากตวอยางทสม 16 หลอด ไดสวนเบยงเบนมาตรฐาน s = 400 ชวโมง กาหนด เปนคาเฉลยของอายการใชงานของหลอดไฟทงหมด และ X เปนคาเฉลยของอายการใชงานของหลอดไฟทสมได จงหาคา k ททาให P( X – k) = 0.95 วธทา เพราะวาประชากรมการแจกแจงปกตและไมทราบคา และขนาดตวอยางมขนาดเลก เพราะฉะนน t =

ns

x มการแจกแจงท

ระดบขนความเสร = n – 1 = 15 เพราะวา 131.2t 15 , 025.0 และ 95.0)ttt(P 025.0025.0 เพราะฉะนน 95.0)131.2t131.2(P 95.0)131.2

ns

X131.2(P

95.0))n

s(131.2X)n

s(131.2(P 95.0))

ns(131.2|X|(P

เพราะฉะนนเลอก 1.213)16

400(131.2)n

s(131.2k จงจะไดวา 95.0)k|X|(P



ตวอยาง 9/238 สมมตวาความสงของนสตชาย 3000 คน ในมหาวทยาลยแหงหนงมการแจกแจงปกต มคาเฉลย 68.0 นว และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 3.0 นว เลอกตวอยาง 80 ชด ซงประกอบดวยนสตชดละ 25 คน จะมตวอยางกชดทมสวนสงเฉลย ก. ระหวาง 66.8 และ 68.3 นว ข. นอยกวา 67.5 นว วธทา ขนาดตวอยาง n = 25 เพราะวาประชากรการแจกแจงปกต เพราะฉะนนตวแปรสม X มการแจกแจงปกต โดยม คาเฉลยของคาเฉลยตวอยาง = X = = 68.0 ความแปรปรวนของคาเฉลยตวอยาง 22 32 n 25X

สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยตวอยาง 6.0

53

X



ก. ความนาจะเปนทสวนสงเฉลยมคาระหวาง 66.8 และ 68.3 = )3.68X8.66(P = )

3.68X8.66(P

X

X

X

X

X

X

= )6.0

0.683.68Z6.0

0.688.66(P = )50.0Z00.2(P = )50.0Z(P – )00.2Z(P = 0.6915 – 0.0228 = 0.6687 จานวนชดตวอยางทมสวนสงเฉลยระหวาง 66.8 และ 68.3 นว = 80 )3.68X8.66(P = 80(0.6687) = 53.496 53 ชด



ข. ความนาจะเปนทสวนสงเฉลยนอยกวา 67.5 นว = )5.67X(P = )

5.67X(P

X

X

X

X

= )6.0

0.685.67Z(P = )83.0Z(P = 0.2033 เพราะฉะนน จานวนชดตวอยางทมสวนสงเฉลยนอยกวา 67.5 นว = 80 )5.67X(P = 80(0.2033) = 16.264 16 ชด



ชดท 18 การประมาณคาพารามเตอรดวยคาสถต คอการนาคาสถตจากตวอยางไปอธบายคาพารามเตอรของประชากร ตวอยางเชน นาคา x ไปประมาณคาของ นาคา p ไปประมาณคาของ p นาคา 21 xx ไปประมาณคาของ 21 นาคา 21 pp ไปประมาณคาของ 21 pp นาคา 2s ไปประมาณคาของ 2

นาคา 22

21

s

s ไปประมาณคาของ 22

21

การประมาณ คาพารามเตอร ดวย คาสถต ม 2 แบบ 1. การประมาณคาแบบจด 2. การประมาณคาแบบชวง



บทนยาม 6.1.1 สถต เปนตวประมาณคาทไมลาเอยง (unbiased estimator) ของพารามเตอร ถา ˆ = E() = ตวอยาง X เปนตวประมาณคาทไมลาเอยงของ

วธทา E(X) = E(n

Xn

1ii

)

= n1E(

n

1iiX )

= n1

n

1ii )X(E

= n1

n

1i

=



ตวอยาง 2S เปนตวประมาณคาทไมลาเอยงของ 2

วธทา จาก 2i

n

1i

)XX(

= 2 i

n

1i

μ)X(μ)(X

=

n

1 i

2i

n

1i

2i μ)Xn(μ)(Xμ)X(2μ)(X

= 22i

n

1 i

μ)Xn(μ)(X

เพราะวา 1n

)X(X

S

2i

n

1 i 2

เพราะฉะนน (n – 1) 2S = 2i

n

1i

)X(X

ดงนน E( 2i

n

1 i

)X(X

) = )S(E)1n()S)1n((E 22

เพราะฉะนน E( 2S ) = E

1n

)XX( 2n

1ii

=

22n

1ii )X(n)X(E

1n1

= ]nn[1n

1 2X

2

= ]

nnn[

1n1 22

= 2 เพราะฉะนน E( 2S ) = 2



บทนยาม 6.1.2 ในบรรดาตวประมาณคาทไมลาเอยงทงหลายของพารามเตอร ตวประมาณคาซงมความแปรปรวนนอยทสดคอตวประมาณคาทมประสทธภาพมากทสด

วธตรวจสอบวาในบรรดาตวประมาณคาทไมลาเอยงของพารามเตอร ตวใดมสมบตเปนตวประมาณคาทมประสทธภาพมากทสดนนใช บทนยาม 6.1.2

ตวอยางเชน X และ X

~ ตางกเปนตวประมาณคาทไมลาเอยงของ เพราะฉะนน )X(E = = )X

~(E

เพราะวา Var )X( = n

2

และ Var )X~

( = nn2

22 = Var )X( เพราะฉะนน X จงเปนตวประมาณคาทมประสทธภาพมากกวา X

~



การประมาณคาแบบชวง (Interval Estimation) พารามเตอร (เชน , p, 2 , 21 , ...) สถต (เชน x , p, 2s , 21 xx , ...) สาหรบ 0 1 การกาหนดเปอรเซนตของความเชอมน %100)1( เราสามารถสรางชวง (a, b) ชวงหนงจากตวอยางสมชดหนง ๆ และเรยกชวงทสรางขนวาเปน ชวงความเชอมน %100)1( ของพารามเตอร



การประมาณคาพารามเตอรแบบชวงจะอยในรป a b a และ b ขนอยกบ 1. ตวประมาณคา ของพารามเตอร 2. การแจกแจงความนาจะเปนของ 3. คาของ ถาชวง (a, b) เปนชวงความเชอมน %100)1( ของพารามเตอร หมายความวา 1. เราเชอมนได %100)1( วาคา อยในชวง (a, b) หรอ 2. ความนาจะเปนทพารามเตอร อยในชวง (a, b) เทากบ 1 – เราเรยกชวง (a, b) สาหรบคา วา ชวงความเชอมน %100)1( (confidence interval) และ 1 – เรยกวา สมประสทธความเชอมน (confidence coefficent) เรยก a และ b วา ลมตความเชอมน (confidence limits) หรอ ลมตความไววางใจ (fiducial limits)



การประมาณคาเฉลยประชากร กรณประชากรปกตและทราบคาความแปรปรวนของประชากร หรอ ขนาดของตวอยางมากกวา 30 P( )zZz

22 = 1 –

แทนคา Z = n

X ดงนน P )z

n

Xz(

22

= 1 –

นนคอ P )n

zXn

zX(22

= 1 –

สรปสมตวอยางขนาด n จากประชากรปกตซงมความแปรปรวน 2 และคาเฉลยของตวอยาง x ชวงความเชอมน %100)1( ของ คอ

nzx

nzx

22

ในการสมตวอยางจากประชากรทไมมลกษณะการแจกแจงปกต ใหใชขนาดตวอยาง n 30 เมอใชขนาดตวอยางดงกลาวถงแมจะไมทราบคา 2 กใหใช 2s แทน 2 ได



การประมาณคาเฉลยประชากร กรณประชากรปกตและไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรและขนาดของตวอยางนอยกวา 30 1)ttt(P

22

P 1)t )

ns(

X t(

22

1)n

stX n

stX(P22

สาหรบตวอยางทสมมาชดหนงมขนาดเทากบ n คาเฉลย x และสวนเบยงเบนมาตรฐาน s ชวงความเชอมน %100)1( สาหรบ คอ

nstx

nstx

22



สรป การหาชวงความเชอมน %100)1( ของ * สมตวอยางขนาด n ** หาคาเฉลย x และ ความแปรปรวนตวอยาง 2s ชวงความเชอมน %100)1( ของ จาแนกตามกรณดงน 1. ประชากรมการแจกแจงปกต และรคา 2

nzx

nzx

22

2. ประชากรมการแจกแจงปกตหรอประชากรทมลกษณะใกลเคยงการแจกแจงปกต และไมรคา 2 2.1 ขนาดตวอยาง n 30

nszx

nszx

22

2.2 ขนาดตวอยาง n 30

nstx

nstx

22 , = n – 1

3. กรณไมไดกาหนดวาประชากรแจกแจงปกต และรคาความแปรปรวน 2 ตองทาการสมตวอยางขนาด n 30

nzx

nzx

22

4. กรณไมไดกาหนดวาประชากรแจกแจงปกตและไมรคา 2 ตองทาการสมตวอยางขนาด n 30 ประมาณคา 2 ดวย 2s

nszx

nszx

22



ตวอยาง 6.3.1 อายหลอดไฟฟาของบรษทอปกรณไฟฟาแหงหนงมการแจกแจงใกลเคยงกบการแจกแจงปกต ซงมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 40 ชวโมง ถาเลอกตวอยางแบบสมจากหลอดไฟฟาของบรษทมา 30 หลอด ไดขอมลเปนดงน

826.3 793.7 829.9 780.0 750.7 810.2 717.8 786.3 835.8 739.0

770.1 722.8 804.4 786.9 732.5 823.7 726.6 725.6 799.8 801.4

765.5 724.1 811.0 829.2 818.3 730.4 785.7 822.3 731.6 818.4

เมอคานวณคาเฉลยของอายหลอดไฟฟาไดเปน 780 ชวโมง จงหาชวงความเชอมน 95% ของคาเฉลยประชากรของหลอด ไฟฟาจากบรษทน วธทา ให X เปนอายหลอดไฟฟามการแจกแจงปกตซงม = 40 เพราะวาตองการหาชวงความเชอมน 95% ของ เพราะฉะนน 95100)1( ซงจะไดวา 05.0 เพราะฉะนน

2 = 0.025 และ 025.0z = 1.96

จากขอมลขางตน n = 30 และ x = 780 ดงนนชวงความเชอมน 95% ของ คอ

x – 025.0zn x + 025.0z

n

780 – 1.9630

40 780 + 1.96 30

40

765.68 794.31



ตวอยาง 6.3.2 จากตวอยางเกรดเฉลยทเลอกมาแบบสมของนสตปสดทายจานวน 36 คน ไดขอมลดงน

2.76 3.04 2.61 2.27 2.87 2.90 2.74 2.74 2.22 2.71 3.11 2.19 2.78 3.14 2.12 2.74 2.78 2.74 2.69 2.81 2.66 2.51 2.39 2.63 2.10 2.66 2.08 2.14 3.18 2.61 2.78 2.63 2.14 2.54 2.48 2.33

จากขอมล คาของเกรดเฉลยเทากบ 2.6 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0.3 จงหาชวงความเชอมน 99 % ของเกรดเฉลยของนสตปสดทายทงหมด วธทา เพราะวาขนาดของตวอยางเกน 30 เพราะฉะนน X จงมการแจกแจงใกลเคยงกบการแจกแจงปกตและแทนคา ดวย s ไดเพราะวาตวอยางทเลอกมาแบบสมของนสตปสดทายจานวน 36 คน หาเกรดเฉลยได 2.6 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0.3 เพราะฉะนน n = 36, x = 2.6, s = 0.3 ดงนนแทนคา = 0.3 เพราะวาตองการชวงความเชอมน 99 % เพราะฉะนน 99100)1( ดงนน 01.0 เพราะฉะนน

2 =

0.005 และ 005.0z = 2.576 ชวงความเชอมน 99% ของ คอ x – 005.0z

n x + 005.0z

n

2.6 – 2.576 363.0 2.6 + 2.576

363.0

2.47 2.73



ตวอยาง 6.4.3 ภาชนะทใชบรรจกรดกามะถนมนาหนก (หนวย ออนซ) ดงน

9.8 10.2 10.4 9.8 10.0 10.2 9.6

จงหาชวงความเชอมน 95% สาหรบคาเฉลยของนาหนกภาชนะ สาหรบบรรจกรดกามะถนซงสมมตวามการแจกแจงปกต

วธทา x = 0.107

6.92.100.108.94.102.108.97

x7

1 ii

17

)0.10x(

s

7

1 i

2i

2

6

)4.0()2.0()0.0()2.0()4.0()2.0()2.0( 2222222 08.0

648.0 เพราะฉะนน 283.008.0s

เพราะวา 95100)1( เพราะฉะนน 025.02

เพราะวา ขนาดตวอยาง n = 7 เพราะฉะนนระดบขนความเสร = 6 และ 447.2t 025.0 ชวงความเชอมน 95% สาหรบ คอ

nstx

nstx

22

)7

283.0)(447.2(0.10)7

283.0)(447.2(0.10

26.00.1026.00.10 26.1074.9



ชดท 19 การทดสอบสมมตฐาน สมมตฐานสถต (Statistical Hypothesis) สมมตฐานสถต คอ ขอสมมต หรอ ขอความ ทเกยวของกบประชากรชดเดยวหรอมากกวา ซงอาจเปนจรงหรอไมกได เราไมสามารถทราบไดวาสมมตฐานนนเปนจรงหรอไม นอกเสยจากวาจะไดตรวจสอบประชากรทงหมด ซงไมอาจกระทาไดในทกสถานการณ

เพราะฉะนนจงใชวธสมตวอยางจากประชากร และใชขอมลจากวอยางนตดสนวา สมมตฐานนนจะจรงหรอไม

ถาหลกฐานจากตวอยางไมสอดคลองกบสมมตฐานทตงไว กจะทาใหสรปไดวาไมยอมรบสมมตฐานนน และ ถาหลกฐานทไดจากตวอยางสนบสนนสมมตฐานทตงไว กจะทาใหสรปไดวายอมรบสมมตฐาน

เราจะตองเขาใจวา การยอมรบสมมตฐานทตงไวกเพราะผลลพธทไดไมเปนหลกฐานเพยงพอทจะปฏเสธสมมตฐานทตงไว ทงนมไดหมายความวาสมมตฐานนนจะเปนจรง



ความผดพลาดประเภทท 1 และ ความผดพลาดประเภทท 2 (Type 1 and Type 2 Errors) ในการตดสนใจจากผลการทดสอบสมมตฐานทางสถต อาจจะเกดความผดพลาดขนได ความผดพลาดประเภทท 1 คอการปฏเสธ 0H โดยท 0H เปนจรง ความผดพลาดประเภทท 2 คอการยอมรบ 0H โดยท 0H ไมเปนจรง บทนยาม 7.2.1 ถาเราปฏเสธสมมตฐานหลก 0H เมอสมมตฐานนนเปนจรง แสดงวาไดกระทาความผดพลาดประเภทท 1 บทนยาม 7.2.2 ถาเรายอมรบสมมตฐานหลก 0H เมอสมมตฐานนนไมเปนจรง แสดงวาไดกระทาความผดพลาดประเภทท 2 ภายใตเงอนไข สรปผล

0H จรง 0H เทจ

ยอมรบ 0H – ผดพลาดประเภทท 2 ปฏเสธ 0H ผดพลาดประเภทท 1 –

บทนยาม 7.2.5 ใชแทนความนาจะเปนของการกระทาความผดพลาดประเภทท 2 จะหาไดถาทราบคาทแนนอนของพารามเตอรใน 1H เราเรยก 1 – วา อานาจของการทดสอบ (power of the test)



ตวอยาง 7.4.2 ถงใบหนงมลกปดสแดงและสขาว ทดสอบสมมตฐานวามลกปดสองสในอตราสวนเทากนโดยหยบลกปดจากถงทละลก 20 ครง โดยหยบแลวคนทเดมกอนจะหยบครงตอไป และจะยอมรบสมมตฐาน ถาหยบไดลกปดสแดงตงแต 8 ถง 12 ลก จงหาความนาจะเปนของความผดพลาดประเภทท 1 และความผดพลาดประเภทท 2 ถาความจรงแลวในถงใบนนมลกปดสแดงอยเพยง 30% เทานน วธทา ให p เปนอตราสวนของจานวนลกปดสแดงในถง ตองการทดสอบสมมตฐาน 0H : p = 0.5 แยงกบ 1H : p 0.5 โดยท p ทแทจรงคอ 0.30 ให X เปนจานวนลกปดสแดงทได ตงเกณฑการตดสนใจดงน จะยอมรบสมมตฐาน นนคอ p = 0.5 เมอ 8 X 12 จะได



ความนาจะเปนของความผดพลาดประเภทท 1 = P(ปฏเสธ 0H 0H จรง) = P(X 7 หรอ X 13 p = 0.5) = 1 – P(8 X 12 p = 0.5)

= 1 –

12

8 x b(x ; 20, 0.5)

= 0.2632 ความนาจะเปนของความผดพลาดประเภทท 2 = P(ยอมรบ 0H 0H ไมจรง) = P(ยอมรบ 0H 1H จรง) = P(8 X 12 p = 0.30)

=

12

8 x b(x ; 20, 0.30)

= 0.2264



ตวอยาง 7.4.3 ในการทดสอบประสทธภาพของยาชนดหนง สมตวอยางคนไข 1000 คน ใหการรกษาโดยใชยาชนดน ถาคนไขหายปวย 660 ถง 720 คน จะสรปวายาชนดนใชไดผล 70% จงหาความนาจะเปนของความผดพลาดประเภทท 1 และ จงหาอานาจของการทดสอบเมอประสทธภาพของการรกษาโรคเปน 75% วธทา ให p เปนประสทธภาพของการรกษาโรค (คดเปน %) (สดสวนของผปวยทหายจากโรคเมอใชยาชนดน) ในทนตองการทดสอบสมมตฐาน 0H : p = 0.70 แยงกบ 1H : p = 0.75 ให X เปนจานวนคนไขทหายปวย และตงเกณฑวา ยาชนดนใชไดผล 70% ดงน ยอมรบวา p = 0.70 เมอ 660 X 720 จะได



ความนาจะเปนของความผดพลาดประเภทท 1

= P(ปฏเสธ 0H 0H จรง)

= P(X 659 หรอ X 721 p = 0.70)

= P(X 659 p = 0.70) + P(X 721 p = 0.70)

=

659

0 x b(x ; 1000, 0.70) +

1000

721x b(x ; 1000, 0.70)

= P(X 659) + P(X 721) (ประมาณการแจกแจงทวนาม ดวย การแจกแจงปกต

= np = (1000)(0.7) = 700

และ = npq = 1000(0.7)(0.3) = 14.49)

P(Z 659.5 70014.49

) + P(Z 720.5 70014.49

)

= P(Z – 2.80) + P(Z 1.41) = 0.0026 + (1 – 0.9207) = 0.0819



ความนาจะเปนของความผดพลาดประเภทท 2

= P(ยอมรบ 0H 0H ไมจรง)

= P(660 X 720 p = 0.75)

=

720

660x

b(x ; 1000, 0.75)

= P(660 X 720) (ประมาณการแจกแจงทวนาม ดวย การแจกแจงปกต

= np = (1000)(0.75) = 750

และ = npq = 1000(0.75)(0.25) = 13.693)

P( 659.5 75013.693

Z 720.5 75013.693

)

= P( – 6.60 Z – 2.15)

= 0.0158 เพราะฉะนน อานาจของการทดสอบ = 1 – = 1 – 0.0158 = 0.9842



การปฏเสธสมมตฐาน คอการสรปวาสมมตฐานนนผด การยอมรบสมมตฐาน หมายถงวาเราไมมหลกฐานพอทจะเชอเปนอยางอน สมมตฐานหลก และ สมมตฐานทางเลอก สมมตฐานทสรางขน เรยกวา สมมตฐานหลก หรอ สมมตฐานวาง (null hypothesis) เขยนแทนดวย 0H ในการทดสอบสมมตฐาน การปฏเสธ 0H ทาใหยอมรบ สมมตฐานทางเลอก (alternative hypothesis) ซงเขยนแทนดวย 1H ตวอยางเชน ถา 0H : p = 0.5 1H อาจเปนไดหลายแบบ คอ 1H : p = 0.75 หรอ 1H : p 0.5 หรอ 1H : p 0.5 หรอ 1H : p 0.5 บทนยาม 7.2.3 บรเวณวกฤต (critical region) คอบรเวณทจะทาใหเกดการปฏเสธ 0H หรอยอมรบ 1H บรเวณการยอมรบ (acceptance region) คอบรเวณทจะทาใหเกดการยอมรบ

0H หรอปฏเสธ 1H และคาทแบงบรเวณทงสองน เรยกวา คาวกฤต (critical values)



การทดสอบขางเดยวและสองขาง (One–tailed, Two–tailed Tests) การทดสอบขางเดยวเกดขนเมอตองการทดสอบสมมตฐานดงตอไปน 0H : = 0 1H : 0 บรเวณวกฤตสาหรบ 1H : 0 จะอยปลายหางดานขวาทงหมดของการแจกแจง หรอ 0H : = 0 1H : 0 บรเวณวกฤตสาหรบ 1H : 0 อยปลายหางดานซายทงหมดของการแจกแจง การทดสอบสองขางเกดขนเมอตองการทดสอบสมมตฐาน 0H : = 0 1H : 0 เพราะวา 0 หมายถง 0 หรอ 0 บรเวณวกฤตสาหรบ 1H : 0 อยปลายหางทงสองหางของการแจกแจง



บทนยาม 7.3.1 จะกลาววา การทดสอบมนยสาคญ (significant) เทากบ ถาสมมตฐานหลกถกปฏเสธทระดบนยสาคญ หมายเหต การทดสอบมนยสาคญสง (highly significant) ถาสมมตฐานหลกถกปฏเสธทระดบนยสาคญ 0.01 การทดสอบมนยสาคญ (significant) ถาสมมตฐานหลกถกปฏเสธทระดบนยสาคญ 0.05

เรานยมเลอกคา เปน 0.05 หรอ 0.01 แลวหาคาวกฤต เชน ในการทดสอบสองขางดวยระดบนยสาคญ 0.05 สาหรบสถตซงมการแจกแจงปกตมาตรฐาน คาวกฤต คอ 96.1z 025.0 และ 96.1z 025.0 บรเวณวกฤตคอ Z – 1.96 หรอ Z 1.96 บรเวณการยอมรบคอ – 1.96 Z 1.96



การทดสอบสมมตฐานคาเฉลยประชากร ตวอยางเชน คะแนนสอบวชาคณตศาสตรมการแจกแจงปกต มคา 2 = 16 เราตองการทดสอบสมมตฐาน 0H : = 65 แยงกบ 1H : 65 เมอกาหนดระดบนยสาคญ 0.05 เมอกาหนดสมมตฐานเสรจแลว สมตวอยางนกเรยนมา 25 คน แลว คานวณคาเฉลย x เกณฑการ ยอมรบ หรอ ปฏเสธ สมมตฐานหลก อาจกลาววา ถา x นอยกวา 65 มากเกนไป แลว ปฏเสธ 0H : = 65 และยอมรบ 1H : 65 คาถาม หากเราจะตงเกณฑวา ถา x *x แลว ปฏเสธ 0H คาของ *x เทาใดจงจะด

ตวอยางเชน ถา x = 55 จะยอมรบหรอปฏเสธ 0H ถา x = 60 จะยอมรบหรอปฏเสธ 0H

เพราะฉะนน เราควรจะกาหนด *x เทาใด



คาตอบ นาคานยสาคญ มาชวยในการหาคา *x ททาให ถา x *x แลว ปฏเสธ 0H : = 65 ยอมรบ 1H : 65 ทาให P(เกดความผดพลาดประเภทท 1 ) = เพราะฉะนนการหา *x พจารณาดงน 0.05 = P(เกดความผดพลาดประเภทท 1 ) = P(ปฏเสธ 0H 0H เปนจรง ) = P(x *x = 65 ) = P(

n

65x

n

65x*

= 65 )

= P(คานวณ

z n

65x*

= 65 )

เพราะวา P(คานวณ

z – 05.0z ) = 0.05 เพราะฉะนน

n

65x*

= – 05.0z

เพราะฉะนน *x = 65 – 05.0zn

= 65 – 1.645(54 )

= 63.684



เพราะฉะนน ถา x 63.684 แลว ปฏเสธ 0H : = 65 และยอมรบ 1H : 65 เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H : = 65 และยอมรบ 1H : 65 กตอเมอ x 63.684 กตอเมอ

n

65x – 05.0z

กตอเมอ คานวณ

z – 05.0z ในทางปฏบตเราใชเกณฑ

ปฏเสธ 0H : = 65 และยอมรบ 1H : 65 กตอเมอ

คานวณ z – 05.0z

มความสะดวกในการทางานมากกวา



การหาคาวกฤตและบรเวณวกฤตกรณ 1H : 0 กาหนดใหประชากรแจกแจงปกตและรคา 2 สมมตฐานหลก 0H : = 0 สมมตฐานทางเลอก 1H : 0 กาหนดระดบนยสาคญ สมตวอยางขนาด n คานวณคาเฉลย x สงสาคญทใชในการตดสนใจ 1. ถา x 0 แลว เราไมควร ปฏเสธ 0H : = 0 และยอมรบ 1H : 0 2. ถา ปฏเสธ 0H : = 0 และยอมรบ 1H : 0 แลว x ตองมากกวา 0 พอสมควร 3. ตองเลอก *x 0 ททาให

ถา x *x แลว ปฏเสธ 0H : = 0 , ยอมรบ 1H : 0 และ P(เกดผดพลาดประเภทท 1) =



การหาคาวกฤตและบรเวณวกฤตกรณ 1H : 0 = P(เกดผดพลาดประเภทท 1) = P(ปฏเสธ 0H 0H เปนจรง) = P(x *x = 0 )

= P(n

x 0

n

x 0*

= 0 )

= P(คานวณ

z n

x 0*

= 0 )


z z ) =

เพราะฉะนน n

x 0*

= z

เพราะฉะนน *x = 0 + zn

เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H : = 0 และยอมรบ 1H : 0 กตอเมอ

คานวณ z z

กตอเมอ x 0 + zn

สรป คาวกฤตคอ z บรเวณวกฤตคอ Z z เกณฑการสรปผล ถา

คานวณ z z แลว ปฏเสธ 0H



การหาคาวกฤตและบรเวณวกฤตกรณ 1H : 0 กาหนดใหประชากรแจกแจงปกตและรคา 2 สมมตฐานหลก 0H : = 0 สมมตฐานทางเลอก 1H : 0 กาหนดระดบนยสาคญ สมตวอยางขนาด n คานวณคาเฉลย x สงสาคญทใชในการตดสนใจ 1. ถา x 0 แลว เราไมควร ปฏเสธ 0H : = 0 และยอมรบ 1H : 0 2. ถา ปฏเสธ 0H : = 0 และยอมรบ 1H : 0 แลว x ตองนอยกวา 0 พอสมควร 3. ตองเลอก *x 0 ททาให

ถา x *x แลว ปฏเสธ 0H : = 0 และ ยอมรบ 1H : 0 และ P(เกดผดพลาดประเภทท 1) =



การหาคาวกฤตและบรเวณวกฤต 1H : 0 = P(เกดผดพลาดประเภทท 1) = P(ปฏเสธ 0H 0H เปนจรง) = P(x *x = 0 )

= P(n

x 0

n

x 0*

= 0 )

= P(คานวณ

z n

x 0*

= 0 )

= P(คานวณ

z n

x 0*

= 0 )


z – z ) =


x 0*

= – z

เพราะฉะนน *x = 0 – zn


คานวณ z – z

กตอเมอ x 0 – zn

สรป คาวกฤตคอ – z บรเวณวกฤตคอ Z – z เกณฑการสรปผล ถา

คานวณ z – z แลว ปฏเสธ 0H ทระดบ

นยสาคญ



การหาคาวกฤตและบรเวณวกฤตกรณ 1H : 0 กาหนดใหประชากรแจกแจงปกตและรคา 2 สมมตฐานหลก 0H : = 0 สมมตฐานทางเลอก 1H : 0 กาหนดระดบนยสาคญ สมตวอยางขนาด n คานวณคาเฉลย x สงสาคญทใชในการตดสนใจ 1. ถา x นอยกวา 0 มากเกนไป หรอ x มากกวา 0 มากเกนไป แลว ปฏเสธ 0H : = 0 และยอมรบ 1H : 0 2. ตองเลอก 1x 0 และ 2x 0 ททาให

ถา x 1x หรอ x 2x แลว ปฏเสธ 0H : = 0 , ยอมรบ 1H : 0

และ P(เกดผดพลาดประเภทท 1) =



การหาคาวกฤตและบรเวณวกฤต 1H : 0 = P(เกดผดพลาดประเภทท 1) = P(ปฏเสธ 0H 0H เปนจรง) = P(x 1x หรอ x 2x = 0 ) = P(

n

x 0

n

x 01 หรอ

n

x 0

n

x 02 = 0 )

= P(คานวณ

z n

x 01 หรอ

คานวณz n

x 02 = 0 )


z – 2

z หรอ คานวณz

2z ) =


x 01 = –

2z และ

n

x 02 =

2z

เพราะฉะนน 1x = 0 – 2

z n และ 2x = 0 –

2z n




คานวณ z –

2z หรอ

คานวณz 2

z

กตอเมอ x 0 – 2

z n หรอ x 0 +

2z n

สรป คาวกฤตคอ – 2

z และ 2

z

บรเวณวกฤตคอ Z – 2

z หรอ Z 2

z

เกณฑการสรปผล ถา


2z หรอ

คานวณz 2

z แลว ปฏเสธ 0H

ทระดบนยสาคญ



ขนตอนการทดสอบสมมตฐานคาเฉลยประชากร กรณประชากรมการแจกแจงปกตและทราบคาความแปรปรวน 2 ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : = 0 1H : 0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยางขนาด n ขนท 4 เลอกสถตทเหมาะสม เพราะวา ประชากรมการแจกแจงปกตและรคา 2 เพราะฉะนน เลอก Z =

n

X 0

ขนท 5 หาคา คานวณ

z = n

x 0

ขนท 6 กาหนดคาวกฤตและบรเวณวกฤต คาวกฤตคอ

2

z และ 2

z

บรเวณวกฤตคอ Z 2

z หรอ Z 2

z

ขนท 7 สรปผล ถา


2z หรอ

คานวณz 2


ทระดบนยสาคญ



สรปขนตอนการทดสอบสมมตฐาน ขนท 1 กาหนด สมมตฐานหลก 0H : = 0 กาหนดสมมตฐานทางเลอกวาตองการ การทดสอบแบบทางเดยว 1H : 0 หรอ 1H : 0 หรอทดสอบแบบสองทาง 1H : 0 อยางใดอยางหนง ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ เชน = 0.05, 0.01, 0.1 ขนท 3 การสมตวอยางขนาด n ขนท 4 เลอกคาสถตทเหมาะสม เชน Z หรอ t ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยางทเราเลอกใชจากขนตอน 4 ขนท 6 เปดตารางหาคาวกฤต และ กาหนดบรเวณวกฤต หมายเหต คาวกฤตและบรเวณวกฤต ขนอยกบ 3 สงตอไปน

สมมตฐาน 1H , คานยสาคญ และ ตวสถตทเลอกใช ขนท 7 สรปผล ปฏเสธ 0H ถาคาสถตทคานวณไดจากขอ 5 อยในบรเวณวกฤตทกาหนดไวในขอ 6 และ ยอมรบ 1H ทระดบนยสาคญ ยอมรบ 0H ถาคาสถตทคานวณไดจากขอ 5 ไมอยในบรเวณวกฤตทกาหนดไวในขอ 6 และ ปฏเสธ 1H ทระดบนยสาคญ



ตวอยาง 7.5.1 อายการใชงานของหลอดไฟฟามการแจกแจงปกตซงมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 400 ชวโมง ผผลตอางวาอายหลอดไฟฟามอายการใชงานเฉลย 10000 ชวโมง เพอทดสอบคากลาวอางของผผลต จงสมเลอกตวอยางหลอดไฟฟามา 25 หลอด ไดขอมลอายการใชงานดงน

9910 9790 9890 9650 9290 10150 10070 10410 11230 10530

10620 10560 10590 10467 9610 10170 9750 10477 10040 9810

9769 9867 10410 10010 10180

จงทดสอบสมมตฐานวาคาเฉลยของอายหลอดไฟฟาไดเปน 10000 ชวโมง จรงหรอไม กาหนดนยสาคญการทดสอบ 0.05 วธทา เพราะวาเราตองการทดสอบสมมตฐานคาเฉลยของอาย หลอดไฟฟาไดเปน 10000 ชวโมง จรงหรอไม เพราะฉะนนทาการทดสอบสมมตฐานแบบ 2 ทาง ขนท 1 0H : = 10000 1H : 10000 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยางมา 25 หลอด และคานวณ x = 10130



ขนท 4 เพราะวาอายการใชงานของหลอดไฟฟามการแจกแจง ปกต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 400 ชวโมง เพราะฉะนนเลอกใชคาสถต z =

n

X

ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยาง

คานวณ z = 625.1

25400

1000010130

ขนท 6 คาวกฤตคอ 96.1z 025.0 และ 96.1z 025.0 บรเวณวกฤต คอ 96.1Z หรอ 96.1Z ขนท 7 สรปผล เพราะวา

คานวณ z = 1.625 ไมอยในบรเวณวกฤต

เพราะฉะนนยอมรบ 0H ปฏเสธ 1H ทระดบนยสาคญ 0.05 เพราะฉะนนจากตวอยางทสมมาไดทาใหเชอไดวาคาเฉลยอายใชงานของหลอดไฟฟาเทากบ 10000 ชวโมง ทระดบนยสาคญ 0.05



ตวอยาง 7.5.2 เทาทผานมานสตใชเวลาลงทะเบยนโดยเฉลย 50 นาท สวนเบยงเบนมาตรฐาน 10 นาท ขณะนมหาวทยาลยกาลงทดลองใหนสตลงทะเบยนเรยนโดยใชระบบคอมพวเตอร จากตวอยางทสมมา 12 คน หาคาเฉลยทใชในการลงทะเบยนเทากบ 42 นาท สวนเบยงเบนมาตรฐาน 11.9 นาท จงทดสอบสมมตฐานทวาเวลาเฉลยทใชในการลงทะเบยนดวยระบบคอมพวเตอรนอยกวา 50 นาท ใชระดบนยสาคญ 0.05 สมมตวาเวลาทใชในการลงทะเบยนมการแจกแจงปกต วธทา เพราะวาเราตองการทดสอบสมมตฐานทวาเวลาเฉลยทใชในการลงทะเบยนดวยระบบคอมพวเตอรนอยกวา 50 นาท เพราะฉะนนเราจงทาการทดสอบแบบทางเดยว ขนท 1 0H : = 50 นาท 1H : 50 นาท ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยางมา 12 คน เพราะฉะนน n = 12 และ จากตวอยางได x = 42, s = 11.9



ขนท 4 เพราะวาเวลาลงทะเบยนมการแจกแจงปกต ไมรคาความแปรปรวนประชากร และ n 30 เพราะฉะนนเลอกใชคาสถตท

ns

Xt

ระดบขนความเสร = n – 1 = 11 ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยาง

คานวณt = ns

x = 33.2)

129.11(

5042

ขนท 6 คาวกฤตคอ 796.1t 1105.0 , และบรเวณวกฤตคอ 796.1t ขนท 7 สรปผล เพราะวา

คานวณt = – 2.33 อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 0.05 เพราะฉะนนจากตวอยางทสมมาทาใหเชอไดวา คาเฉลยทแทจรง ของเวลาทใชในการลงทะเบยนดวยระบบคอมพวเตอรนอยกวา 50 นาท ทระดบนยสาคญ 0.05



กรณทวไปของการทดสอบสมมตฐาน ขนท 1 กาหนด สมมตฐานหลก 0H : = 0 กาหนดสมมตฐานทางเลอกวาตองการ การทดสอบแบบทางเดยว 1H : 0 หรอ 1H : 0 หรอทดสอบแบบสองทาง 1H : 0 อยางใดอยางหนง ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ เชน = 0.05, 0.01, 0.1 ขนท 3 การสมตวอยางขนาด n ขนท 4 เลอกคาสถตทเหมาะสม เชน Z, t, 2 , F หรอคาสถตอน ๆ ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยางทเราเลอกใชจากขนตอน 4 ขนท 6 เปดตารางหาคาวกฤต และ กาหนดบรเวณวกฤต หมายเหต คาวกฤตและบรเวณวกฤต ขนอยกบ 3 สงตอไปน สมมตฐาน 1H , คานยสาคญ และ ตวสถตทเลอกใช ขนท 7 สรปผล ปฏเสธ 0H ถาคาสถตทคานวณไดจากขอ 5 อยในบรเวณวกฤตท กาหนดไวในขอ 6 และ ยอมรบ 1H ทระดบนยสาคญ ยอมรบ 0H ถาคาสถตทคานวณไดจากขอ 5 ไมอยในบรเวณวกฤตทกาหนดไวในขอ 6 และ ปฏเสธ 1H ทระดบนยสาคญ



ชดท 20 การแจกแจงของผลตางของคาเฉลยตวอยาง ( 1X – 2X ) กรณประชากรเปนอสระตอกน

ประชากร 2 ชด มคาเฉลย 1 , 2 และความแปรปรวน 21 , 2

2 1X คอคาเฉลยเลขคณตของตวอยางขนาด 1n จากประชากรชด 1 2X คอคาเฉลยเลขคณตของตวอยางขนาด 2n จากประชากรชด 2

ถา 1n และ 2n มคามาก 1X และ 2X ตางมการแจกแจงปกต

มคาเฉลยเลขคณต 11X , 22X

และความแปรปรวน 1

212

1X n

,

2

222

2X n



ทฤษฎบท 5.5.1 ถาสมตวอยางขนาด 1n และ 2n โดยเปนอสระตอกนจากประชากร 2 ชดชนดตอเนองหรอไมตอเนองกตาม ซงมคาเฉลยเลขคณต 1 และ 2 และความแปรปรวน 2

1 และ 22

ตามลาดบ แลว การแจกแจงของผลตางของคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง 1X – 2X จะมการแจกแจงโดยประมาณเปนการแจกแจงปกต โดยม คาเฉลยเลขคณต

2X1X = 2X1X = 21

และความแปรปรวน 2

2X1X =

2

22

1

21

nσ

nσ

ดงนนตวแปรสม Z ซงกาหนดโดย

Z = (X X ) ( )1 2 1 22 21 2

n n1 2

จะมการแจกแจงโดยประมาณเปนการแจกแจงปกตมาตรฐาน n(z ; 0, 1)

หมายเหต ถากาหนดให 1n และ 2n มคามากกวาหรอเทากบ 30 การประมาณการแจกแจงของ 21 XX ดวยการแจกแจงปกต จะมความถกตองยงขน



ตวอยาง 5.5.2 โรงงานท 1 ผลตหลอดภาพโทรทศนมอายเฉลย 6.5 ป สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.9 ป โรงงานท 2 ผลตหลอดภาพซงมอายเฉลย 6.0 ป สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.8 ป จงหาความนาจะเปนทตวอยางสมขนาด 36 ซงผลตโดยโรงงานท 1 จะมอายเฉลย มากกวา อายเฉลยของหลอดภาพ 49 หลอด ซงผลตโดยโรงงานท 2 อยางนอย 1 ป วธทา โรงงานท 1 ผลตหลอดภาพโทรทศน มอายเฉลย 6.5 ป สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.9 ป เพราะฉะนน 5.61 และ 9.01 โรงงานท 2 ผลตหลอดภาพซงมอายเฉลย 6.0 ป สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.8 ป เพราะฉะนน 0.62 และ 8.02 สมตวอยางขนาด 36 ซงผลตโดยโรงงานท 1 เพราะฉะนน 36n1 สมตวอยางขนาด 49 ซงผลตโดยโรงงานท 2 เพราะฉะนน 49n 2 เพราะวาเปนการสมตวอยางทมขนาดใหญ เพราะฉะนน 21 XX มการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณต 5.00.65.6

2X1X

สวนเบยงเบนมาตรฐาน 2X1X 189.0

49)8.0(

36)9.0( 22



ความนาจะเปนทตวอยางสมขนาด 36 ซงผลตโดยโรงงานท 1 จะมอายเฉลยมากกวา อายเฉลยของหลอดภาพ 49 หลอด ซงผลตโดยโรงงานท 2 อยางนอย 1 ป เทากบ )0.1XX(P 21

)0.1XX(P 21 = )

nn

)(0.1

nn

)()XX((P

2

22

1

21

21

2

22

1

21

2121

= )189.0

5.00.1Z(P

= )65.2Z(P

= )65.2Z(P1

= 1 – 0.9960

= 0.0040



การแจกแจงของผลตางของคาเฉลย ( 1X – 2X ) กรณไมทราบคาความแปรปรวนประชากร ตวอยางขนาด 1n สมจากประชากรปกตชดท 1 ทมคาเฉลย 1 ตวอยางขนาด 2n สมจากประชากรปกตชดท 2 ทมคาเฉลย 2 ไมทราบคาของ 2

1 , 22 และ 1n , 2n มคานอย ( 21 n,n 30)

การแจกแจงของ 1X – 2X จะมการแจกแจงดงทฤษฎบทตอไปน กรณท 1 2

1 22

ทฤษฎบท 5.7.2 ถา 1X และ 2

1S เปนคาเฉลยและความแปรปรวนของตวอยางขนาด 1n ซงเลอกมาจากประชากรปกตทมคาเฉลย 1 และความแปรปรวน 21 ซงไมทราบคา 2X และ 2

2S เปนคาเฉลยและความแปรปรวนของตวอยางขนาด 2n อกชดหนงซงเปนอสระตอกน ซงเลอกมาจากประชากรปกตทมคาเฉลย 2 และความแปรปรวน 2

2 ซงไมทราบคาและ 21 2

2 จะได t =

2n

22s

1n

21s

)21()2X1X(

เปนตวแปรสมท

ระดบขนความเสร = )12n(

12)2n

22s

( )11n(

12)1n

21s(

2)2n

22s

1n

21s(



กรณท 2 21 = 2

2 = 2 จะใช 2

ps เปนคาประมาณของ 2

เมอ 2 2n 1n

22s )1 2n( 2

1s )1 1n(2ps

จะไดคาสถต t = )

n1

n1 (s

)( )X X(

11

2p

2121

มการแจกแจงท

ระดบขนความเสร เปน = 2nn 21 ทฤษฎบท 5.7.3 ถา 1X และ 2

1S เปนคาเฉลยและความแปรปรวนของตวอยางขนาด 1n ซงเลอกมาจากประชากรปกตชดท 1 ทมคาเฉลย 1 และความ

แปรปรวนทไมทราบคา 21

2X และ 22S เปนคาเฉลยและความแปรปรวนของตวอยางอกชดหนง

ขนาด 2n ซงเปนอสระตอกนเลอกมาจากประชากรปกตชดท 2 ทมคาเฉลย 2 และความแปรปรวนทไมทราบคา 2

2 ถา 2

1 = 22

แลว t = )

n1

n1 (s

)( )X X(

11

2p

2121


ระดบขนความเสร = 2nn 21



สรปการแจกแจงของผลตางของคาเฉลย 21 XX ประชากรสองชดอสระกน สมตวอยางขนาด 1n จากประชากรชดท 1 ทมคาเฉลย 1 สมตวอยางขนาด 2n จากประชากรชดท 2 ทมคาเฉลย 2 1. กรณ 1n 30 และ 2n 30 1.1 ประชากร 2 ชดแจกแจงปกตและรคา 2

1 และ 22

จะได Z =

2n

22

1n

21

)2 1( )2X1X(

1.2. ประชากร 2 ชดมการแจกแจงปกตและไมรคา 21 และ 2

2 แทนคา 2

1 ดวย 21s และ 2

2 ดวย 22s

จะได Z =

2n

22s

1n

21s

)2 1( )2X 1X(

2. กรณ 1n 30 หรอ 2n 30 2.1. ประชากร 2 ชดมการแจกแจงปกตและรคา 2

1 และ 22

จะได Z =

2n

22s

1n

21s

)2 1( )2X 1X(



2.2. ประชากร 2 ชดมการแจกแจงปกตและไมรคา 21 และ 2

2 2.2.1 ภายใตขอกาหนด 2

1 22

แทนคา 21 ดวย 2

1s และ 22 ดวย 2

2s จะได

2n

22s

1n

21s

)21()2X1X(t

ระดบขนความเสร = )12n(

12)2n

22s

( )11n(

12)1n

21s(

2)2n

22s

1n

21s(

2.2.2 ภายใตขอกาหนด 21 = 2

2

ใช 2ps เปนคาประมาณของ 2 เมอ

2 2n 1n

22s )1 2n( 2

1s )1 1n(2ps

จะได 2n

1 1n1

ps

)2 1( 2X 1Xt

ระดบขนความเสร = 2nn 21



ตวอยาง 5.7.2 โรงงานผลตหลอดไฟไดผลตหลอดไฟ 2 ชนด หลอดไฟชนดท 1 มอายเฉลย 520 ชวโมง หลอดไฟชนดท 2 มอายเฉลย 420 ชวโมง ทก ๆ เดอนโรงงานจะสมตวอยางของหลอดไฟชนดท 1 จานวน 16 หลอด และหลอดไฟชนดท 2 จานวน 9 หลอด จากตวอยางขนาด 16 ทเลอกจากหลอดไฟชนดท 1 มคา 1s = 40 และ ตวอยางขนาด 9 ทเลอกจากหลอดไฟชนดท 2 มคา 2s = 35 จงหาความนาจะเปนทคาเฉลยของตวอยางจากหลอดไฟชนดท 1 มากกวา คาเฉลยของตวอยางจากหลอดไฟชนดท 2 มากกวา 133 ชวโมง ภายใตขอกาหนด 1. ความแปรปรวนของอายหลอดไฟ 2 ชนดนมคาไมเทากน 2. ความแปรปรวนของอายหลอดไฟ 2 ชนดนมคาเทากน วธทา ภายใตขอกาหนดความแปรปรวนของอายหลอดไฟ 2 ชนด นมคาไมเทากน เพราะวา 16n1 , 40s1 , 9n 2 , 35s 2 เพราะฉะนน

3659.159

351640

ns

ns 22

2

22

1

21

2X1X

เพราะฉะนน t =

2

22

1

21

2121

ns

ns

)( )XX(




โดยมระดบขนความเสร = )12n(

12)2n

22s

( )11n(

12)1n

21s(

2)2n

22s

1n

21s(

= 196922.18

)19(12)

9

235( )116(

12)16

240(

2)9

23516

240(

ความนาจะเปนทคาเฉลยของตวอยางจากหลอดไฟชนดท 1 มากกวา คาเฉลยของตวอยางจากหลอดไฟชนดท 2 มากกวา 133 ชวโมง = )133 XX(P 21 = )

ns

ns

)-( 133

ns

ns

)-( )x x((P

2

22

1

21

21

2

22

1

21

2121

= ) 3659.15

100133 t(P = )1476125.2t(P

=

1476125.2dt)t(h

= 0.0224



ภายใตขอกาหนดความแปรปรวนของอายหลอดไฟ 2 ชนดเทากน เพราะวา 565.1469

2916)35)(19()40)(116(

s22

2p

เพราะฉะนน 334909.38sp เพราะฉะนน

2n1

1n1 ps

)21( )2X 1X(t


ระดบขนความเสร 2329162nn 21 ความนาจะเปนทคาเฉลยของตวอยางจากหลอดไฟชนดท 1 มากกวา คาเฉลยของตวอยางจากหลอดไฟชนดท 2 เปน 133 ชวโมง = )133XX(P 21 = )

n1

n1 s

)(133

n1

n1 s

)( )X X((P

21p

21

21p

2121

= )

91

161334909.38

100133t(P

= )066.2t(P เพราะวา 069.2t 23025.0 , และ 025.0)tt(P 23025.0 , เพราะฉะนน )133XX(P 21 = 0.025



การประมาณคาของผลตางคาเฉลยของประชากรสองชด ประชากร 2 ชดเปนอสระ ประชากรชดท 1 สมตวอยางขนาด 1n ประชากรชดท 2 สมตวอยางขนาด 2n เพราะวา ประชากร 2 ชดเปนอสระ เพราะฉะนน ตวอยางทเปนอสระตอกนทง 2 ชด ตวประมาณคาแบบจดของ 1 – 2 คอ 21 XX ถา ประชากรปกต แลวเราสามารถสรางชวงความเชอมนของ 1 – 2 ไดโดยอาศยการแจกแจงความนาจะเปนของสถต 21 XX การแจกแจงความนาจะเปนของ 21 XX ใกลเคยงการแจกแจงปกต คาเฉลย

2X1X = 1 – 2

สวนเบยงเบนมาตรฐาน 2X1X

= 2

22

1

21

nn

จะได

2

22

1

21

2121

nn

)()XX(Z

หมายเหต หรอถาไมแนใจวาประชากรมการแจกแจงปกตกใหใชขนาดตวอยางทง 1n 30 และ 2n 30



จาก 1)zZz(P

22

เมอแทนคา Z จะได

1z

nn

)()XX(zP

2

2

22

1

21

2121

2

α1 nσ

nσ

z)XX(μμnσ

nσ

z)XX(P 2

22

1

21

2α2121

2

22

1

21

2α21

ชวงความเชอมน %100)1( สาหรบ 21 เมอทราบคา 2

1 และ 22 คอ

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 nn

z)xx( nn

z)xx(



กรณ ประชากรทงสองชดไมใชประชากรปกต ขนาดตวอยาง 1n 30 และ 2n 30 ไมรคา 2

1 และ 22

การหาชวงความเชอมน %100)1( สาหรบ 21 ชวงความเชอมนตามสตรขางบนนกยงใชได ใช 2

1s และ 22s แทน 2

1 และ 22

ชวงความเชอมน %100)1( สาหรบ 21 คอ

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 n

sns

z)xx( ns

ns

z)xx(



ตวอยาง 6.5.1 ตวอยางสมขนาด 25n1 โดยสมจากประชากรปกตซงมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 51 ไดขอมลเปน

78.09 83.48 82.74 73.06 71.57 79.14 78.66 84.32 80.03 74.49 85.09 81.04 74.65 82.60 86.19 86.99 84.16 81.40 73.45 79.07 79.51 75.44 69.56 88.96 86.48

คาเฉลยของตวอยางชดทหนง 80x1 ตวอยางสมขนาด 36n 2 สมจากประชากรปกตชดทสองซงมสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2 = 3 ไดขอมลเปนดงน

77.39 75.23 72.44 73.80 70.42 73.78 76.56 79.65 74.72 72.71 72.60 76.82 73.00 74.24 69.63 80.31 74.82 77.00 72.73 75.82 77.25 73.34 77.52 75.24 74.88 71.19 75.53 68.93 78.52 81.54 78.98 79.52 71.79 74.76 73.49 74.71

คาเฉลยของตวอยางชดทสอง 75x 2 จงหาชวงความเชอมน 94% สาหรบ 21 วธทา เพราะวา 94100)1( เพราะฉะนน 03.0

2 และ 881.1z 03.0 จากขอมลทมจะได

25n1 , 36n 2 , 80x1 , 75x 2 , 2521 และ 92

2 เพราะฉะนนชวงความเชอมน 94% สาหรบ 21 คอ

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 nn

z)xx(nn

z)xx(

369

2525)881.1()7580(

369

2525)881.1()7580( 21

103.7897.2 21



ตวอยาง 6.5.2 ขอสอบวชาเคมชดหนง ใหนกเรยนหญง 50 คน และ นกเรยนชาย 75 คน สอบ ปรากฏผลคะแนนดงน คะแนนของนกเรยนชาย 75 คนคอ

73 85 89 76 85 71 81 82 80 78 77 81 69 87 75 77 92 85 78 78 90 90 84 81 81 85 90 71 75 90 87 69 95 78 70 78 88 82 89 89 89 79 83 92 92 84 86 97 70 76 85 96 77 81 80 93 70 87 78 84 94 80 95 61 86 79 84 64 96 65 81 75 84 87 80

คะแนนของนกเรยนหญง 50 คนคอ 78 70 87 77 71 83 74 67 73 68 69 76 75 71 77 75 78 72 72 86 66 68 77 79 78 82 74 74 90 85 74 75 74 72 80 83 79 76 76 90 74 79 77 77 79 75 58 76 74 80

ผลการคานวณจากขอมลนกเรยนชายทาคะแนนเฉลยได 82 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8 นกเรยนหญงทาคะแนนเฉลยได 76 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 6 จงหาชวงความเชอมน 96% สาหรบ 21 เมอ 1 คอคาเฉลยประชากรคะแนนสอบของนกเรยนชาย 2 คอคาเฉลยประชากรคะแนนสอบของนกเรยนหญง



วธทา เพราะวา 96100)1( เพราะฉะนน 02.0

2 และ 005.2z 02.0

จากขอมลม 75n1 , 50n 2 , 82x1 , 75x 2 , 8s1 , 6s2 เพราะฉะนนชวงความเชอมน 96% สาหรบ 21 คอ

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 n

s

n

sz)xx(

n

s

n

sz)xx(

5036

7564)055.2()7682(

5036

7564)055.2()7682( 21

577.8423.3 21



การหาชวงความเชอมน %100)1( ของ 21 กรณทประชากร 2 ชดเปน อสระตอกน สมตวอยางขนาด 1n จากประชากรชดท 1 หาคา 1x และ 2

1s สมตวอยางขนาด 2n จากประชากรชดท 2 หาคา 2x และ 2

2s 1. กรณ 1n 30 และ 2n 30 1.1 กรณประชากร 2 ชดมการแจกแจงปกตและรคา 2

1 , 22

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 nn

z)xx(nn

z)xx(

1.2. กรณประชากร 2 ชดมการแจกแจงปกตและไมรคา 21 , 2

2 ใหประมาณ 2

1 และ 22 ดวย 2

1s และ 22s

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 n

sns

z)xx(ns

ns

z)xx(



2. กรณ 1n 30 หรอ 2n 30 2.1. กรณประชากร 2 ชดมการแจกแจงปกตและรคา 2

1 , 22

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 n

sns

z)xx(ns

ns

z)xx(

2.2 กรณประชากร 2 ชดมการแจกแจงปกตและไมรคา 21 , 2

2 2.2.1 ภายใตขอกาหนด 2

1 = 22

21p

22121

21p

221 n

1n1st)xx(

n1

n1st)xx(

เมอ 2 2(n 1)s (n 1)s2 1 1 2 2sP n n 21 2

และระดบขนความเสร = n n 21 2

2.2.2 ภายใตขอกาหนด 21 2

2

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 n

sns

t)xx(ns

ns

t)xx(

เมอระดบขนความเสร = )12n(

12)2n

22s

()11n(

12)1n

21s(

2)2n

22s

1n

21s(



ตวอยาง 6.5.3 จากประชากรปกตซงเปนอสระตอกน 2 ชด และมความแปรปรวนเทากน กาหนดให ตวอยางชดท 1 มขนาด 9n1 สมมาจากประชากรชดท 1 คอ ตวอยางชดท 1 61.36 57.76 71.94 61.77 58.66 71.61 71.52 58.67 62.77

ตวอยางชดท 2 มขนาด 16n 2 สมมาจากประชากรชดท 2 คอ ตวอยางชดท 2 56.92 58.30 67.48 53.96 62.00 59.61 52.02 61.60

64.83 58.55 52.53 64.74 55.51 66.18 55.51 54.18

เมอคานวณคาเฉลยของตวอยาง และสวนเบยงเบนของตวอยางทสมมาไดมคาเปน 64x1 , 59x 2 , 6s1 , 5s 2

จงหาชวงความเชอมน 95% สาหรบ 21

เมอ 1 เปนคาเฉลยของประชากรชดท 1 และ 2 เปนคาเฉลยของประชากรชดท 2



วธทา 9n1 , 16n 2 , 64x1 , 75x 2 , 6s1 และ 6s2 เพราะฉะนน 369.5

216925)116(36)19(

sp

และ 237.2)417.0)(369.5(161

91)369.5(

n1

n1s

21p


เพราะวาระดบขนความเสร = 9 + 16 – 2 = 23 เพราะฉะนน 069.2tt 025.0

2

เพราะฉะนนชวงความเชอมน 95% สาหรบ 21 คอ

2n1

1n1

ps025.0t)2x1x(212n

1

1n1

ps025.0t)2x1x(

)237.2)(069.2()5964(21)237.2)(069.2()5964( 628.921372.0



ตวอยาง 6.5.4 จากบนทก 15 ป ทผานมาไดแสดงวาปรมาณนาฝนในเดอนพฤษภาคม ณ ตาบลทหนงไดขอมลดงน ปรมาณนาฝนของตาบลทหนง

2.40 2.42 1.87 2.50 2.29 1.68 2.57 1.60 1.65 1.41

1.66 1.32 2.43 1.83 1.41

คานวณไดคาเฉลยของปรมาณนาฝนเทากบ 1.94 นว สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 0.45 นว ขอมลของตาบลทสอง จากบนทก 10 ปไดขอมลเปนดงน ปรมาณนาฝนของตาบลทสอง

0.79 1.25 0.72 0.84 1.32 1.35 1.29 0.72 0.96 1.13

คานวณไดคาเฉลยของปรมาณนาฝนเทากบ 1.04 นว สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 0.26 นว จงหาชวงความเชอมน 95% สาหรบความแตกตางของคาเฉลยทแทจรงของปรมาณนาฝน สมมตวาขอมลเหลานมาจากประชากรปกตทคาความแปรปรวนแตกตางกน วธทา จากขอมลตาบลทหนง n1 = 15, x1 = 1.94, s1 = 0.45 จากขอมลตาบลทสอง n2 = 10, x2 = 1.04, s2 = 0.26



ระดบขนความเสร

)1n(1

ns

)1n(1

ns

ns

ns

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

=

)110(1

1026.0

)115(1

1545.0

1026.0

1545.0

2222

222

= 91

100676.0

141

152025.0

100676.0

152025.0

22

2

= 22.7 23


2 และ

2t 069.2t 025.0

และ 142.09

0676.0152025.0

926.0

1545.0

ns

ns 22

2

22

1

21

เพราะฉะนนชวงความเชอมน 95% สาหรบ 21 คอ

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 n

s

n

st)xx(

n

s

n

st)xx(

)142.0)(069.2()04.194.1(21)142.0)(069.2()04.194.1( 294.09.0294.09.0 21

194.1606.0 21



ตวอยาง 7.5.3 แปงโรยตวทบรรจกระปองโดยเครองจกรสองเครองคอ 1M และ 2M สวนเบยงเบนมาตรฐานของนาหนกของแปงโรยตวทบรรจกระปองเปน 0.04 และ 0.05 ออนซ ตามลาดบ สมตวอยางแปงทบรรจดวยเครองจกร 1M และ 2M อยางละ 100 กระปอง นาเนอแปงมาหานาหนกเฉลยได 1x = 6.11 และ 2x = 6.14 ออนซ โดยใชระดบนยสาคญ 0.01 จงทดสอบสมมตฐาน 0H : 1 = 2 แยงกบ 1H : 1 2 วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : 1 = 2 1H : 1 2 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.01 ขนท 3 สมตวอยาง 100n1 , 100n 2 จากตวอยาง 1x = 6.11, 2x = 6.14, 04.01 , 05.02 ขนท 4 เพราะวาตวอยางทใชมขนาดใหญ เพราะฉะนนเลอกใชคาสถต Z



ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยาง

คานวณ z =

2

22

1

21

2121

nn

)()XX(

= 1000025.0

1000016.0

0)14.611.6(

= – 4.6875

ขนท 6 คาวกฤตคอ 576.2z 005.0 และ 576.2z 005.0 บรเวณวกฤต คอ Z – 2.576 หรอ Z 2.576 ขนท 7 สรปผล เพราะวา

คานวณ z = – 4.6875 อยในบรเวณวกฤต

เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 0.01 สรป 1 2 ทระดบนยสาคญ 0.01 นนคอ นาหนกเฉลยของแปงโรยตวทบรรจกระปองโดยเครองจกร สองเครองคอ 1M และ 2M มคาไมเทากน ทระดบนยสาคญ 0.01



ตวอยาง 7.5.4 วธแยกปรมาณของนเกลในเหลกมสองวธตางกน 2 วธ ใชตวอยางวธละ 4 ครง ไดขอมลดงน เปอรเซนตนเกลในเหลกวธท 1 จากตวอยางขนาด 4 :

3.284156, 3.277432, 3.290886, 3.287523 เปอรเซนตนเกลในเหลกวธท 2 จากตวอยางขนาด 4 :

3.256596, 3.262212, 3.267829, 3.245363 สมมตวาปรมาณของนเกลในเหลกทงสองวธทแยกไดม การแจกแจงปกตและ 2

1 = 22

จงทดสอบสมมตฐาน 0H : 1 = 2 แยงกบ 1H : 1 2 โดยใชระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 0H : 1 – 2 = 0 1H : 1 – 2 0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 จากขอมลทสมมาไดมคาตาง ๆ ดงน 4n1 , 4n 2 1x = 3.285, 2x = 3.258 2

1s = 0.000033, 22s = 0.000092



ขนท 4 เพราะวาปรมาณของนเกลในเหลกทแยกไดทงสองวธม การแจกแจงปกต และ 2

1 = 22 แตไมทราบคา

และ ตวอยางทใชมขนาดเลก เพราะฉะนนเลอกใชคาสถต

21p

021

n1

n1s

d)XX(t

, 2nn 21

โดยท 2nn

s)1n(s)1n(s

21

222

211

p

ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยาง ระดบขนความเสร = 2nn 21 = 6

22n1n

22s)12n(2

1s)11n(2ps

= 0000625.0244

)000092.0)(14()000033.0)(14(

คานวณt = 8299.4

41

410000625.0

0)258.3285.3(

2n1

1n1

ps

0d)2x1x(

ขนท 6 คาวกฤตคอ 943.1t 605.0 , บรเวณวกฤต คอ t 1.943 ขนท 7 สรปผล เพราะวา

คานวณt = 4.8299 อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 0.05 สรป 1 2 ทระดบนยสาคญ 0.05 นนคอเปอรเซนตเฉลยของนเกลในเหลกวธท 1 มคามากกวาเปอรเซนตเฉลยของนเกลในเหลกวธท 2 ทระดบนยสาคญ 0.05



ชดท 21 การแจกแจงของคาเฉลยของผลตาง กรณประชากรไมเปนอสระตอกน กรณคาสงเกตทจดเปนคได (Paired Observations)

ประชากรเปนคตวอยางเชน คะแนนสอบ Calculus, PROB/STAT นาหนก, ความสง

ประชากร 1 ประชากร 2 d = X – Y 1x 1y 1d 2x 2y 2d

: : : ix iy id

: : : nx ny nd



ทฤษฎบท 5.7.4 ให 1d , 2d , ... , nd เปนผลตางของคาสงเกต n ค ผลตาง n คานจะทาใหเกดตวอยางชนดสมทมคาเฉลยเลขคณต D และความแปรปรวน 2

dS จากประชากรปกตซงมคาเฉลย เลขคณต D และความแปรปรวนทไมทราบคา 2

d การแจกแจงของคาสถต D จะได t =

nds

DD เปนคาของตวแปรสม t ซงมการแจกแจงท

โดยมระดบขนความเสร = n – 1 หมายเหต ถา n 30 แลว Z =

nds

DD แจกแจงปกตมาตรฐาน



ตวอยาง 5.7.3 กาหนดใหประสทธภาพของเครองคดเลข 2 ชนดเทากน ใหคน 6 คน คานวณเลขชดเดยวกน โดยใชเครองคดเลข 2 ชนดนหากเราทราบวา ความแปรปรวนของผลตางเทากบ 7.84 ให D เปนคาเฉลยของผลตางของเวลาของเครองคดเลขทไดจากการทดลอง จงหาความนาจะเปนท D จะมคามากกวา 1.687 วนาท วธทา n = 6, 2

Ds = 7.84, Ds = 2.8 เพราะวา ประสทธภาพของเครองคดเลข 2 ชนดเทากน เพราะฉะนน D = 0 เพราะฉะนน

ns

D

D

D มการแจกแจงท

ระดบขนความเสร = n – 1 = 5



ความนาจะเปนท D จะมคามากกวา 1.687 วนาท = P( D 1.687) = 1 – P( D 1.687) = 1 – P(–1.687 D 1.687) = 1 – )

68.2

0687.1

ns

D

68.2

0687.1 (PD

D

= 1 – P(–1.476 t 1.476) = 1 – 0.8 = 0.2 เพราะวา 476.1t 51.0 , และ 8.0)ttt(P 5 , 1.05 , 1.0 เพราะฉะนน )476.1t476.1(P = 0.8 เพราะฉะนน ความนาจะเปนท D มคามากกวา 1.687 วนาท เทากบ 0.2



การหาชวงความเชอมน %100)1( ของคาเฉลยของผลตาง กรณทประชากร 2 ชดไมเปนอสระตอกน (ขอมลเกบเปนค ๆ ) การหาชวงความเชอมนของคาเฉลย ของประชากรไมเปนอสระตอกนและความแปรปรวนไมเทากนเชนขอมลทเกดเปนค ชวงความเชอมน %100)1( ของคา D คอ

ns

td n

std D

2D

D

2

ระดบขนความเสร = n – 1 หรอ

ns

zd n

szd D

2D

D

2

เมอขนาดของตวอยาง n 30



ตวอยาง 6.5.5 จากตวอยางสมของนสตทเรยนสถต 10 คน เกบคะแนนการสอบยอยครงท 1 และครงท 2 ของนสตทง 10 คน นน ปรากฏผลดงน

คนท คะแนนสอบครงท 1 (X) คะแนนสอบครงท 2 (Y) 1 76 81 2 60 52 3 85 87 4 58 70 5 91 86 6 75 77 7 82 90 8 64 63 9 79 85

10 88 83

จงหาชวงความเชอมน 98% สาหรบผลตางทแทจรง ในการสอบยอยทง 2 ครง วธทา คานวณคา iii yxd และ 2

id คนท คะแนนสอบครงท 1 (X) คะแนนสอบครงท 2 (Y) iii yxd 2

id 1 76 81 – 5 25

2 60 52 8 64 3 85 87 – 2 4

4 58 70 – 12 144

5 91 86 5 25 6 75 77 – 2 4

7 82 90 – 8 64

8 64 63 1 1 9 79 85 – 6 36

10 88 83 5 25 รวม –16 392



6.11016

10

d

d

10

1ii

7111.4090

366490

)6.1()392(10)110(10

dd10

s2

210

1 ii

10

1 i

2i

2D

3805.67111.40sD 0177.2

1623.33805.6

103805.6

nsD

ระดบขนความเสร = n – 1 = 10 – 1 = 9 เพราะวา 98100)1( เพราะฉะนน 01.0

2

และ 2

t 821.2t 01.0

ชวงความเชอมน 98% สาหรบ D คอ

ns

tdn

std D

2D

D

2

)0177.2)(821.2(6.1)0177.2)(821.2(6.1 D 6919.56.16919.56.1 D

0919.42919.7 D



การทดสอบสมมตฐาน 0H : D = 0d กรณประชากร 2 ชดไมเปนอสระตอกน ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : D = 0d กาหนดสมมตฐานอน 1H : D 0d (กรณทดสอบแบบสองขาง) ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยางขนาด n จากประชากรชดท 1 และ ประชากรชดท 2 (ขอมลเปนค) ไดขอมลเปนดงน 1. คานวณคาผลตางของตวอยาง id = ix – iy , i = 1, 2, ... , n 2. คานวณคาเฉลยของผลตางของตวอยาง d 3. คานวณคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของผลตางของตวอยาง ds ขนท 4 เลอกคาสถตทเหมาะสม Z หรอ t กรณ n 30 เลอก

คานวณ z =

ns

dd

d

0

กรณ n 30 และภายใตขอสมมตวาผลตางของขอมลมการแจกแจงปกต เลอก

คานวณt = n

sdd

d

0 เมอ ระดบขนความเสร = n – 1

ขนท 5 คานวณคาสถตทเลอกจากขอมลตวอยาง



ขนท 6 เปดตารางสถตเพอหาคาวกฤตและบรเวณวกฤต 6.1 กรณใชคาสถต Z คาวกฤตคอ

2

z และ 2

z


z หรอ Z 2

z

6.2 กรณใชคาสถต t คาวกฤตคอ 2

t และ 2

t

บรเวณวกฤตคอ t 2

t หรอ t 2

t

ขนท 7 สรปผล 7.1 กรณใชคาสถต Z ถา

คานวณz 2

z หรอ คานวณz

2

z

แลว ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 7.2 กรณใชคาสถต t ถา

คานวณt 2

t หรอ คานวณt

2

t แลว

ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ หมายเหต กรณเปนการทดสอบแบบ 1 ทาง

1H : D 0d 1H : D 0d

คาวกฤต Z z z

บรเวณวกฤต Z z Z z คาวกฤต t

t t บรเวณวกฤต t t t t



ตวอยาง 7.5.5 จากตวอยางของสารประเภททมเหลก 5 ตวอยาง นามาวเคราะหหาปรมาณเหลกดวยวธแบงออกเปนสองตวอยางยอย และใชวธการวเคราะหหาปรมาณเหลก ปรากฏผลดงน

ตวอยาง วธวเคราะห

1 2 3 4 5

รงสเอกซ 2.0 2.0 2.3 2.1 2.4 เคม 2.2 1.9 2.5 2.3 2.4

สมมตวาประชากรมการแจกแจงปกต จงทดสอบวาทงสองวธใหผลทดเทยมกนทระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ให 1 และ 2 แทนคาเฉลยของปรมาณเหลกซงวเคราะหไดโดยวธเคมและรงสเอกซตามลาดบ เพราะวาเราตองการทดสอบวาทงสองวธใหผลทดเทยมกน เพราะฉะนนกาหนดสมมตฐาน ขนท 1 0H : D = 0 1H : D 0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 จากขอมลทสมมาได คานวณคาของ d และ 2

Ds ไดดงน รงสเอกซ เคม id 2

id

2.0 2.0 2.3 2.1 2.4

2.2 1.9 2.5 2.3 2.4

– 0.2 0.1

– 0.2 – 0.2 0.0

0.04 0.01 0.04 0.04 0.00

รวม –0.05 0.31



d = 55.0 = – 0.1

2Ds =

)1n(n

)d(dn 25

i

52i

1 i1 i =

)4(5)5.0()13.0(5 2 = 0.02

Ds = 0.14142 ขนท 4 เพราะวา ประชากรมการแจกแจงปกต ขอมลมการเกบแบบเปนค ๆ และ ตวอยางมขนาดเลก เพราะฉะนน เลอกใชคาสถต t ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยาง คานวณt =

ns

dd

D

0 = 5811.1

402.0

01.0

ระดบขนความเสร = n – 1 = 5 – 1 = 4 ขนท 6 คาวกฤตคอ 776.2t 4,025.0 และ 776.2t 4,025.0 บรเวณวกฤต คอ t – 2.776 หรอ t 2.776 ขนท 7 สรปผล เพราะวา

คานวณt = – 1.5811 ไมอยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนน ยอมรบ 0H สรปวาทงสองวธใหผลในการวเคราะหหาปรมาณเหลกได ทดเทยมกน ทระดบนยสาคญ 0.05



ชดท 22 การแจกแจงของความแปรปรวนตวอยาง ( 2S ) ทฤษฎบท 5.8.1 ถา 2S เปนความแปรปรวนของตวอยางสมขนาด n จากประชากรทมความแปรปรวน 2

จะไดตวแปรสม 2 = 2

2S)1n(

มการแจกแจงไคสแควร ระดบขนความเสร = n – 1



ตวอยาง 5.8.1 สมตวอยางสมขนาด 25 จากประชากรปกตซงมความแปรปรวน 2 = 6 (สมมตความแปรปรวนของตวอยางเปนคาตอเนอง) จงหาความนาจะเปนทจะมความแปรปรวน 2S 1. มากกวา 9.104 2. ระหวาง 3.462 และ 10.745

วธทา 2 = 2

2S)1n(

, = 24

1. P( 2S 9.104) = P( 2

6)104.9)(125( )

= P( 2 36.416) 0.05 2. P(3.462 2S 10.745) =

6745.10)(24(

6

)462.3)(24(P 2

= P(13.848 2 42.980) = P( 2 13.848) – P( 2 42.980) = 0.95 – 0.01 = 0.94



การหาชวงความเชอมน %100)1( ของ 2 2s เปนคาประมาณแบบจดของ 2

พจารณาการประมาณคาแบบชวงของ 2

เพราะวาคาสถต 2

22 S)1n(

มการแจกแจงไคสแควร

ระดบขนความเสร = n – 1 เพราะฉะนนเราสามารถหาชวงความเชอมน %100)1( สาหรบความแปรปรวนของประชากร 2 ไดดงน

1)(P 2

2

22

21

แทนคา 2

22 S)1n(

จะได

1)S)1n(

(P 2

22

22

21

1)1

S)1n(

1(P2

21

2

2

2

2

1)S)1n(S)1n(

(P2

21

22

2

2

2

เพราะฉะนนชวงความเชอมน %100)1( ของ 2 คอ

2

21

22

2

2

2 s)1n(s)1n(



ตวอยาง 6.8.1 สมตวอยางของผงซกฟอกบรษทหนงมา 10 ซอง มนาหนกวดเปนออนซดงน นาหนก 16.4 16.1 15.8 17.0 16.1 15.9 15.8 16.9 15.2 16.0

จงหาชวงความเชอมน 95% สาหรบความแปรปรวนทแทจรงของนาหนกผงซกฟอกซงบรรจซองของบรษทน วธทา โดยการเปลยนตวแปร 16XU จะได X 16.4 16.1 15.8 17.0 16.1 15.9 15.8 16.9 15.2 16.0

U 0.4 0.1 –0.2 1.0 0.1 –0.1 –0.2 0.9 –0.8 0.0 2.110

1 iiu

2U

0.16 0.01 0.04 1.0 0.01 0.01 0.04 0.81 0.64 0.0 .210

1 i

2iu

)1n(n

)u(un

ss

n

1i

2i

n

1i

2i

2u

2x

)110(10

)u(u1010

1i

2i

10

1i

2i

90

)2.1()72.2(10 2 2862.0 เพราะวา 95100)1( เพราะฉะนน 025.0

2

ระดบขนความเสร = 9, และ 023.192025.0

, 700.22975.0

ชวงความเชอมน 95% สาหรบ 2 คอ

2

21

22

2

2

2 s)1n(s)1n(

2975.0

22

025.0

)2862.0)(110()2862.0)(110(

700.2)2862.0(9

023.19)2862.0(9 2 , 9540.01354.0 2



การทดสอบสมมตฐาน 0H : 2 = 20

หลกการและขนตอนการทดสอบ ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : 2 = 2

0 กาหนดสมมตฐานอน 1H : 2 2

0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 ทาการสมตวอยางขนาด n คานวณคาความแปรปรวนของตวอยาง 2s ขนท 4 เลอกคาสถตไคสแควร ขนท 5 คานวณคาสถตไคสแควร 2

คานวณ =

20

2s)1n(

ขนท 6 เปดตารางสถตหาคาวกฤต 2

2 1

และ 2

2

ระดบขนความเสร = n – 1 บรเวณวกฤตคอ 2 2

2 1

หรอ 2 2

2

ขนท 7 สรปผล ถา 2

คานวณ 2

2 1

หรอ 2คานวณ

2

2

แลว ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ



หมายเหต กรณเปนการทดสอบแบบ 1 ทาง

1H : 2 20 1H : 2 2

0 คาวกฤต 2

1 2

บรเวณวกฤต 2 21 2 2



ตวอยาง 7.5.6 ผผลตอางวาอายการใชงานของแบตเตอรมการแจกแจงปกต และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0.9 ป เพอทดสอบคากลาวอางของผผลตจงทาการสมตวอยางแบตเตอรออกมา 10 ลกไดอายใชงานดงน 5.25, 3.76, 5.36, 3.67, 6.05, 3.89, 3.39, 6.12, 6.49, 6.03 ทานคดวา 81.02 ใชหรอไม ทระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 กาหนดสมมต 0H : 81.02 1H : 81.02 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 ตวอยางขนาด 10 ทสมไดมคา 2s = 1.44 ขนท 4 เลอกคาสถตไคสแควร ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยาง

2คานวณ =

20

2s)1n(

= 00.1681.0

)44.1)(110( , = 10 – 1 = 9

ขนท 6 คาวกฤต 919.162905.0 ,

บรเวณวกฤตคอ 2 16.919 ขนท 7 สรปผล เพราะวา 2

คานวณ ไมอยในบรเวณวกฤต

เพราะฉะนน ยอมรบ 0H ทระดบนยสาคญ 0.05 ดงนนจากหลกฐานทปรากฏจงไมอาจเชอไดวา 81.02 ทระดบนยสาคญ 0.05



ชดท 23

การแจกแจงของอตราสวนความแปรปรวนตวอยาง (22

21

S

S )

ทฤษฎบท 5.9.1 ถา 2

1S และ 22S เปนความแปรปรวนของตวอยางสม

ทไดจากตวอยางขนาด 1n และ 2n ซงเลอกมาจากประชากรปกต ซงมความแปรปรวนเปน 2

1 และ 22 ตามลาดบ

จะได F = 22

22

21

21

S

S

= 22

21

21

22

S

S

มการแจกแจงเอฟ F

ระดบขนความเสร 1n11 และ 1n22



ตวอยาง 5.9.1 ถา 2

1S และ 22S เปนความแปรปรวนของตวอยางสม

ซงเลอกมาโดยเปนอสระตอกนจากประชากรปกต ทมความแปรปรวน 2

1 = 10 และ 22 = 15

โดยมขนาดของตวอยาง 1n = 25 และ 2n = 31 ตามลาดบ

จงหาคา )26.1S

S(P

22

21

วธทา F = 22

21

21

22

S

S

= 22

21

S 01

S 15 มการแจกแจงเอฟ

ระดบขนความเสร 1n11 = 25 – 1 = 24 และ 1n22 = 31 – 1 = 30

)26.1S

S(P

22

21

= )1015)261(

S10

S15(P

22

21

.

= )89.1F(P = 0.05



การหาชวงความเชอมน %100)1( ของ 22

21

โดยใชสถต 22

21

21

22

S

SF

ระดบขนความเสร 1n11 , 1n 22

เพราะวา 1)fFf(P

221

แทนคา F = 22

22

21

21

S

S

= 22

21

21

22

S

S

จะได

1)fS

Sf(P

222

21

21

22

21

1)

S

S

f1

S

S

f1(P

22

21

21

22

21

22

21

2

เพราะฉะนนชวงความเชอมน %100)1( สาหรบ 22

21

คอ

21

22

21

22

21

2

22

21

f1

s

s

f1

s

s

หมายเหต )1,2(

2

)2,1( 2

1 f

1f



ตวอยาง 6.9.1 ขอมลคะแนนสอบวชาคณตศาสตรชดหนงของนกเรยนชาย 25 คนคอ

78 73 73 80 77 71 87 60 81.5 76

80 87 84 93 92 82.5 89 88 80.5 82.5

87 99 85 81 83

และขอมลคะแนนของนกเรยนหญง 16 คนคอ 70.25 83 74 63.5 80 67 76 83 87 86

72.75 86.5 80 82 77 80

จากขอมลปรากฏวานกเรยนชายทาคะแนนเฉลยได 82 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8 นกเรยนหญงทาคะแนนเฉลยได 78 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 7 จงหาชวงความเชอมน 98% สาหรบของอตราสวนของ

ความแปรปรวนจากสองประชากร 22

21

เมอ 21 คอความแปรปรวนประชากรของคะแนนนกเรยนชาย

และ 22 คอความแปรปรวนประชากรของคะแนนนกเรยนหญง

วธทา จากขอกาหนดจะได 8s1 , 7s2 เพราะวา 98100)1( เพราะฉะนน 01.0

2



เพราะฉะนนชวงความเชอมน 98% สาหรบ 22

21

คอ

99.022

21

22

21

01.022

21

f1

s

s

f1

s

s

เมอ 01.0f และ 99.0f มระดบขนความเสร 241251n11 และ 151161n22 จากตารางคาวกฤตของคาสถตเอฟ ทระดบขนความเสร 241 , 152 จะได 29.3f 15) , (24 , 01.0 เพราะวา 29.3f )15 , 24 , (01.0 เพราะฉะนน

89.21

f1f

)24 , 15 , (01.0)15 , 24 , (99.0


21

คอ

99.022

21

22

21

01.022

21

f1

s

s

f1

s

s

4964

29.31

4964

22

21

(2.89)

775.3397.022

21



ตวอยาง 6.9.2 อายการใชงาน (หนวยเปนชวโมง)ของหลอดนออน 2 ชนดเปรยบเทยบกน โดยการเปดไวตลอดเวลาจนหลอดนออนหมดอายการใชงาน หลอดนออนชนดท 1 นามาทดลอง 8 หลอดไดอายการใชงานแตละหลอดเปนดงน

11122 10641 11208 10097 10638 12087 11759 13104

หลอดนออนชนดท 2 นามาทดลอง 11 หลอดไดอายการใชงานแตละหลอดเปนดงน

11371 14971 11714 10760 12759 11607 10796 10963

11981 12032 12265

กาหนด 1 , 2 เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรอายการใชงานหลอดนออนชนดท 1 และ 2 ตามลาดบ จงหาชวงความเชอมน 90% สาหรบ

1

2

วธทา จากขอมลจะได 11332x1 , 880.958s1 , 11929x 2 , 005.1188s2



1 = n1 – 1 = 8 – 1 = 7, 2 = n2 – 1 = 11 – 1 = 10



จากตารางคาวกฤตของคาสถตเอฟ 14.3f )10,7(05.0 , เพราะวา 14.3f )10,7(05.0 , เพราะฉะนน

64.31

f1f

)710(05.0)10,7(95.0

, ,

,

เพราะวาชวงความเชอมน 90% สาหรบ 22

21

คอ

95.022

21

22

21

05.022

21

f1

s

s

f1

s

s


1 คอ

95.02

1

2

1

05.02

1f

1s

s

f1

s

s

64.3005.1188880.958

14.31

005.1188880.958

2

1

5399.14555.02

1

เพราะฉะนน

4555.01

5399.1 1

1

2

2.1954 0.64941

2



การทดสอบสมมตฐาน 21 = 2

2 ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : 2

1 = 22

กาหนดสมมตฐานอน 1H : 21 2

2 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 ทาการสมตวอยาง คานวณคาความแปรปรวนของตวอยาง 2

1s , 22s

ขนท 4 เลอกคาสถตเอฟ F

ขนท 5 คานวณคา คานวณ f =

22

21

s

s

ขนท 6 เปดตารางสถตหาคาวกฤต ระดบขนความเสร 1 = 1n – 1 และ 2 = 2n – 1 คาวกฤตคอ

2 1

f และ

2

f

บรเวณวกฤตคอบรเวณ F 2

1f

หรอ F 2

f

ขนท 7 สรปผล ถา คานวณ

f 2

1f

หรอ คานวณ f

2

f

แลว ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ



หมายเหต 1.

)1,2( 2

)2,1(

2 1 f

1f

2. กรณเปนการทดสอบแบบ 1 ทาง 1H : 2

1 22 1H : 2

1 22

คาวกฤต 1f f

บรเวณวกฤต F 1f F f



ตวอยาง 7.5.7 วตถ 5 ชนเมอนามาชงนาหนกดวยเครองชง แบบท 1 ไดคานาหนกเปน 1.024, 0.972, 1.004, 0.986, 1.015 (หนวย มลลกรม) วตถ 6 ชนเมอนามาชงนาหนกดวยเครองชงแบบท 2 ไดคานาหนกเปน 1.017, 0.991, 1.018, 1.018, 0.983, 0.975 (หนวย มลลกรม) จงทดสอบดวยระดบนยสาคญ 0.05 วา

0H : 21 = 2

2 แยงกบ 1H : 22

21

วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : 21 = 2

2 1H : 2

221

ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 ตวอยางจากประชากรชดท 1 5n1 , 00045.0s2

1 ตวอยางจากประชากรชดท 2 6n 2 , 00039.0s2

2 ขนท 4 เลอกใชคาสถต F ระดบขนความเสร 4151n11 , 5161n 22

ขนท 5 คาสถตจากตวอยาง คานวณ f =

22

21

s

s = 1538.100039.000045.0

ขนท 6 คาวกฤต 199.5f )54(05.0 , , บรเวณวกฤต f 5.199 ขนท 7 สรปผล เพราะวา คานวณ

f = 1.1538 ไมอยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนน ยอมรบ 0H สรป 2

1 = 22 ทระดบนยสาคญ 0.05



ชดท 24 การแจกแจงของสดสวนผลสาเรขตวอยาง ประชากรทวนาม สดสวนผลสาเรจเทากบ p สมตวอยางขนาด n โดยทาการทดลองซา ๆ กน n ครง X ซงเปนจานวนครงของความสาเรจในตวอยางชนดสมขนาด n การแจกแจงของ X ใกลเคยงกบการแจกแจงปกต คาเฉลย = np และ ความแปรปรวน 2 = npq สวนเบยงเบนมาตรฐาน = npq



ประชากรแบบทวนาม สดสวนผลสาเรจ p สมตวอยางขนาด n ตวแปรสม P เปนคาของอตราสวน ของความสาเรจ คาของ

nxp

จะเปลยนไปในตวอยางชดตาง ๆ เพราะฉะนน p เปนคาสถตของ P ทฤษฎบท 5.6.1 ถาเลอกตวอยางชนดสมขนาด n จากประชากรทวนาม ซงมคาเฉลยเลขคณต = np และความแปรปรวน npq2 การแจกแจงของอตราสวนของความสาเรจ P จะประมาณไดดวยการแจกแจงปกตทม คาเฉลย pP

สวนเบยงเบนมาตรฐาน npq

P

จะไดวา npq

pPZ

เปนตวแปรสมปกตมาตรฐาน



หมายเหต ความถกตองในการใช n(z ; 0, 1) ขนอยกบ n 1. ถา n ยงมคามาก หรอ p มคาเขาใกล

21 คาโดยประมาณทหาไดก

จะยงใกลคาทแทจรงมากขน 2. แมวา p จะไมใกล

21 เราอาจพจารณาการใช n(z ; 0, 1) เพอหา

คาโดยประมาณนโดยพจารณาจากคาของ np และ nq กได ถาทงสองมคามากกวา 5 การประมาณคาความนาจะเปนโดยใช n(z ; 0, 1) จะใหผลด 3. ในทางปฏบตเมอ 30n , 5np และ 5nq การประมาณการ

แจกแจงของ npq

pPZ

เปนการแจกแจงปกตจะถกตองมากขน



การปรบคาความนาจะเปนจากตวแปรสมไมตอเนอง เปนคาความนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง สาหรบตวอยางขนาด n ความนาจะเปนท P มคาระหวาง (ตงแต) 1p และ (ถง) 2p = ความนาจะเปนท X มคาระหวาง (ตงแต) 1x และ (ถง) 2x โดยท

nx

p 11 และ

nx

p 22

การแจกแจงปกตประมาณคาของความนาจะเปน ของตวแปรสม X ซงมการแจกแจงทวนาม จงมการขยายชวง ตวอยางเชน

)5.0xX5.0x(P)xXx(P 2121

หรอแกไขคา 1p และ 2p โดยการ n5.0

1 2 1 20.5 0.5ˆ ˆP(p P p ) P(p P p )n n



ตวอยาง 5.6.1 จากตวอยางชนดสมของเดกเกดใหม 100 คน จงหาความนาจะเปนทเดกเกดใหมจะเปนชายตงแต 53% ถง 62% ถาความนาจะเปนทเดกจะเกดมาเปนหญงหรอชายเทากน วธทา ให p = ความนาจะเปนทเดกจะเกดเปนชาย เพราะฉะนน p = 0.5, n = 100

P = p = 0.5 และ P = npq

= 100

)5.0)(5.0( = 0.05

ความนาจะเปนทเดกเกดเปนชาย มอตราสวนตงแต 53% ถง 62%

= )62.0 P 53.0P( = )

1005.062.0 P

1005.053.0P(

= )625.0P525.0(P = )

05.05.0625.0Z

05.05.0525.0(P

= )5.2 Z 5.0P( = )5.0 Z P()5.2Z P( = 0.9938 – 0.6915 = 0.3023



17/139. จงหาความนาจะเปนในการโยนเหรยญเทยงตรง 120 ครง แลวไดหว ก. ตงแต 40% ถง 60% ข. มากกวาหรอเทากบ 5 ใน 8 ของจานวนครงทโยน วธทา ตวอยางขนาด n = 120 สมมาจากประชากรแบบทวนาม การแจกแจงของตวแปรสม P จะประมาณไดดวยการแจกแจงปกตซงม คาเฉลย P = p =

21

และความแปรปรวน 2P

= npq =

4801

1201

21

21

เพราะฉะนน P = npq

= 4801 = 0.04564335



ก. ความนาจะเปนทจะไดหวตงแต 40% ถง 60% ของจานวนครงทโยนมคาเทากบ ˆP(0.4 P 0.6) การหาคาของความนาจะเปนตองมการขยายชวงดวย

)120(21

n5.0

เพราะฉะนน )6.0P4.0(P

=

p

p

p

p

p

p )120(216.0P)120(2

14.0P

=

04564355.05.000416667.06.0

Z04564355.0

5.00041667.04.0P

= 28.2Z28.2P = 28.2ZP – 28.2ZP = 0.9987 – 0.0113 = 0.9774



ข. ความนาจะเปนทจะไดหวมากกวาหรอเทากบ 5 ใน 8 ของจานวนครงทโยนมคาเทากบ ˆ5P( P)

8

การหาคาของความนาจะเปนตองมการขยายชวงดวย

)120(21

n5.0

)P85(P =

p

p

p

p P)120(21

85

P

=

Z04564355.0

5.00041667.0625.0P

= Z65.2P = 1 – 65.2ZP = 1 – 0.9960 = 0.0040



การหาชวงความเชอมน %100)1( ของคาสดสวน p ตวประมาณคาแบบจดของสดสวน p คอ

nXP

ชวงความเชอมนสาหรบสดสวน p พจารณาการแจกแจงความนาจะเปนของ P ซงใกลเคยงกบการแจกแจงปกตเมอ n มคามากโดยท

pP และ npq2

P

เพราะฉะนน P

PPZ

มการแจกแจงปกตมาตรฐาน

1)zZz(P22



เพราะวา 1)zZz(P

22

แทนคา P

PPZ

จะได

1)z

Pz(P

2P

P

2

เพราะวา pP


1)zpP

z(P2P2

เพราะวาไมทราบคา 2P

จงใชตวประมาณคา 2P

= n

)P1(P


1)z

n)P1(P

pPz(P

22

1)n

)P1(PzPp

n)P1(P

zP(P22

สรปชวงความเชอมน %100)1( สาหรบคาสดสวน p คอ

nqp

zppnqp

zp22



ตวอยาง 6.6.1 จากตวอยางสมของครอบครวในเมองหลวงแหงหนงมขนาด n = 500 มโทรทศนไวในครอบครอง 160 ครอบครว จงหาชวงความเชอมน 95% สาหรบสดสวนทแทจรงของครอบครวในเมองหลวงทมโทรทศนไวในครอบครอง วธทา คาประมาณของ p คอ 32.0

500160

nxp

เพราะวา 95100)1( เพราะฉะนน = 0.05 เพราะฉะนน

2 = 0.025 และ 96.1zz 025.0

2

ชวงความเชอมน %95 สาหรบ p คอ

nqp

zppnqp

zp22

500)68.0)(32.0(

)96.1(32.0p500

)68.0)(32.0()96.1(32.0

)0209.0)(96.1(32.0p)0209.0)(96.1(32.0 04.032.0p04.032.0

36.0p28.0



การทดสอบสมมตฐาน 0H : p = 0p กรณ n 30 ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : p = 0p กาหนดสมมตฐานอน 1H : p 0p ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยางขนาด n และ n 30 คานวณสดสวน p

ขนท 4 เลอกคาสถตทเหมาะสม Z = nqp

pP

00

0

ขนท 5 คานวณคาสถต คานวณz ขนท 6 คาวกฤตคอ

2

z และ 2

z


z หรอ Z 2

z

ขนท 7 สรปผล ถา คานวณz

2

z หรอ คานวณz 2


ทระดบนยสาคญ หมายเหต กรณเปนการทดสอบแบบ 1 ทาง 1H : p 0p 1H : p 0p คาวกฤต Z

z z บรเวณวกฤต Z z Z z



ตวอยาง 7.5.9 ผผลตรายหนงอางวา ผลตภณฑของเขามขอบกพรอง 10% เมอเขาปรบปรงกระบวนการผลตใหม และคาดวาจะสามารถลดสดสวนของผลตภณฑทบกพรองใหเหลอนอยกวา 10% ในการทดลองผลตดวยวธใหมสมตวอยางมา 100 ชน พบวามผลตภณฑบกพรอง 5 ชน จากหลกฐานนเพยงพอทจะสรปวา กระบวนการผลตแบบใหมดกวาแบบเดมหรอไม โดยใชระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 กาหนด 0H : p = 0.1 1H : p 0.1 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง 100 ชน พบวามผลตภณฑบกพรอง 5 ชน ขนท 4 เพราะวาตวอยางมขนาดใหญ เพราะฉะนนเลอก Z

ขนท 5 คานวณคา คานวณz = nqp

pp

00

0 = 100

)9.0)(1.0(

1.0)100

5( = – 1.67

ขนท 6 คาวกฤต 645.1z 05.0 บรเวณวกฤต Z – 1.645 ขนท 7 สรปผล เพราะวา คานวณz = – 1.67 อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 0.05 และสรปวากระบวนการผลตใหมดกวาแบบเดมในการลดสดสวนของผลตภณฑทบกพรอง ทระดบนยสาคญ 0.05



การทดสอบสมมตฐาน 0H : p = 0p กรณ n 30 ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : p = 0p 1H : p 0p หรอ 1H : p 0p หรอ 1H : p 0p ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยาง n 30 ให x เปนจานวนความสาเรจทเกดขนในตวอยางขนาด n ขนท 4 เลอกการแจกแจงแบบทวนามชวยในการสรปผล ขนท 5 ใชตวสถตผลสาเรจจากตวอยาง x ขนท 6 หาคา Sig. (1–tailed) โดยมกฎเกณฑดงน 1. ถา 1H : p 0p แลว Sig. (1–tailed) = P(X x 0H จรง) 2. ถา 1H : p 0p แลว Sig. (1–tailed) = P(X x 0H จรง)



3. ถา 1H : p 0p และ x n 0p แลว Sig. (1–tailed) = P(X x 0H จรง) 4. ถา 1H : p 0p และ x n 0p แลว Sig. (1–tailed) = P(X x 0H จรง) ขนท 7 สรปผล กรณการทดสอบแบบ 1 ทาง 1H : p 0p หรอ 1H : p 0p ถา Sig. (1–tailed) แลว ปฏเสธ 0H

กรณการทดสอบแบบ 2 ทาง 1H : p 0p ถา Sig. (1–tailed)

2 แลว ปฏเสธ 0H



ตวอยาง 7.5.8 นกลาไกฟาผหนงอางวาสามารถยงถก 80% ทานจะเหนดวยหรอไม ถาปรากฏวาในวนหนงเขายงไกฟาได 9 ตวจากการยง 15 นด ใชระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : p = 0.8 1H : p 0.8 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง n = 15 ขนท 4 เลอกการแจกแจงแบบทวนาม ขนท 5 ผลสาเรจจากตวอยาง x = 9 ขนท 6 หาคา Sig. (1–tailed) เนองจาก x = 9 12 = n 0p ดงนน Sig. (1–tailed) = P(X 9 p = 0.8) = 9

x = 0 15

xx(0.8) 15 x(0.2)

= 0.0611 ขนท 7 เพราะวา Sig. (1–tailed) มากกวา 0.025 เพราะฉะนนจงยอมรบ 0H สรปวาจากหลกฐานทปรากฏไมเพยงพอทจะปฏเสธความ สามารถของเขาวาสามารถยงถก 80% ทระดบนยสาคญ 0.05



ตวอยาง 2 การทดสอบความแมนยาในการคนหาวตถระเบด GT2013 ไดทาการทดลอง 25 ครง คนพบวตถระเบด 2 ครง ทานจะเหนดวยหรอไมวาความแมนยาในการคนหาวตถระเบด มคานอยกวา 25% ทระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : p = 0.25 1H : p 0.25 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง n = 25 ขนท 4 เลอกการแจกแจงแบบทวนาม ขนท 5 ผลสาเรจจากตวอยาง x = 2 ขนท 6 หาคา Sig. (1–tailed) เพราะวา x = 2 6.25 = np Sig. (1–tailed) = P(X 2 p = 0.25) = 2

x = 0 25

xx(0.25) 25 x(0.75)

= 0.0321 ขนท 7 เพราะวา Sig. (1–tailed) นอยกวา 0.05 เพราะฉะนนปฏเสธ 0H สรปความแมนยาในการคนหาวตถระเบดมคานอยกวา 25% ทระดบนยสาคญ 0.05



ชดท 25 การแจงแจงของผลตางของสดสวนผลสาเรจตวอยาง



ทฤษฎบท 5.6.2 ถา สมตวอยาง 2 ชด ขนาด 1n , 2n โดยเปนอสระตอกนจากประชากรทวนามซงม คาเฉลยเลขคณต 111 pn และ 222 pn ความแปรปรวน 111

21 qpn

และ 22222 qpn ตามลาดบ

แลว การแจกแจงของผลตางของอตราสวน 21 PP จะประมาณไดเปนการแจกแจงปกต โดยม คาเฉลยเลขคณต 212P1P

pp

และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2

22

1

112P1P n

qp

n

qp

จะได 2n

2q2p

1n1q1p

)2p1p()2P1P(Z

เปนตวแปรสมปกตมาตรฐาน

ขอสงเกต 1n และ 2n จะตองมคาอยางนอย 30



ตวอยาง 5.6.3 สมตวอยางมา 2 ชด จากผมสทธออกเสยงเลอกตงในเขตหนงชดละ 200 คน จงหาความนาจะเปนทผลตางของอตราสวนทออกเสยงใหผสมครรบเลอกตงคนหนงมากกวา 10% ถาผลจากการลงคะแนนในเขตนปรากฏวาผสมครรบเลอกตงคนนไดคะแนนเสยง 65% วธทา ให 1P และ 2P เปนอตราสวนของคนทออกเสยงใหผสมครรบเลอกตงคนน ในตวอยางทสมมา 2 ชด เพราะวาสมตวอยาง 2 ชด ๆ ละ 200 คน เพราะฉะนน 200nn 21 เพราะวาผลจากการลงคะแนนในเขตน ปรากฏวาผสมครรบเลอกตงคนนไดคะแนนเสยง 65% เพราะฉะนน 65.0p1 , 65.0p2 ตวแปรสม 1P – 2P มการแจกแจงปกต โดยม 0pp 212P1P

2

22

1

112P1P n

qp

nqp

= 200

)35.0)(65.0(200

)35.0)(65.0( = 0.047697



ความนาจะเปนทผลตางของอตราสวนมากกวา 10% = ˆ ˆP( |P P | > 0.10)1 2 = 1 – ˆ ˆP( |P P | 0.10)1 2 = 1 – ˆ ˆP( 0.10 P P 0.10)1 2 = 1 – 0.10 0 0.10 0 )

(0.65)(0.35) (0.65)(0.35)200 200

P( Z

= 1 – )P( 2.01 Z 2.01 = = 2(1 – 0.9821) = 2(0.0179) = 0.0358 หมายเหต ในกรณท เราสามารถคานวณไดอกแบบหนงดงน ˆ ˆP( |P P | > 0.10)1 2

=

200)35.0)(65.0(

200)35.0)(65.0(

010.0|Z|P

= 10.2|Z|P = 2(1 – 0.9821) = 2(0.0179) = 0.0358

10.2|Z|P

0pp 212P1P



การประมาณคาผลตางระหวางสดสวนของประชากรสองชด พจารณาตวอยางอสระสองชดขนาด 1n และ 2n ทสมมาจากประชากรทวนามซงสดสวนของการเกดความสาเรจ 1p และ 2p สดสวนของการเกดความสาเรจของตวอยางคอ 1p และ 2p x1 = จานวนผลสาเรจ, p1 = x1

n1

x2 = จานวนผลสาเรจ, p2 = x2n2

คาประมาณแบบจดของ 21 pp คอ 21 pp ชวงความเชอมนของ 21 pp สามารถสรางไดโดยอาศยการแจกแจงความนาจะเปนของ 21 PP ซงใกลเคยงกบการแจกแจงปกตทม คาเฉลย 212P1P

pp และ ความแปรปรวน

2

22

1

112

2P1P n

qp

n

qp



การหาชวงความเชอมน %100)1( ของ 21 pp เพราะวา 1)zZz(P

22

เมอ 2

22

1

11

2121

nqp

nqp

)pp()PP(Z

ดงนน

1)z

nqp

nqp

pp()PP(z(P

22

22

1

11

)2121

2

1)nqp

nqp

z)PP(ppnqp

nqp

z)PP((P2

22

1

11

22121

2

22

1

11

221

ถา 1n และ 2n มคามาก เราใช 1p แทน 1p และ 2p แทน 2p ใน 2

1)n

)P1(Pn

)P1(Pz)PP(pp

n)P1(P

n)P1(P

z)PP((P2

22

1

11

22121

2

22

1

11

221

ชวงความเชอมน %100)1( สาหรบ 21 pp คอ

2

22

1

11

22121

2

22

1

11

221 n

qpnqp

z)pp(ppn

qpnqp

z)pp(

หรอ 21 pp = ( 21 pp ) 2

22

1

11

2nqp

nqp

z



ตวอยาง 6.7.1 ในการผลตอปกรณประกอบเครองจกรชนดหนง ไดมการพจารณาเพอปรบปรงกระบวนการผลต โดยเลอกตวอยางจากวธการผลตปจจบนและวธการผลตใหม เพอเปรยบเทยบดวาวธการผลตใหมจะใหผลดกวาหรอไม ตวอยางทไดมาจากการผลตปจจบน 1500 ชน มบกพรอง 75 ชน และตวอยางทไดมาจากวธการผลตใหม 2000 ชน มบกพรอง 80 ชน จงหาชวงความเชอมน 90% สาหรบผลตางทแทจรงในสดสวนของความบกพรองระหวางวธการผลตปจจบนและวธการผลตใหม วธทา 1p เปนสดสวนของความบกพรองทแทจรง ของวธการผลตปจจบน

2p เปนสดสวนของความบกพรองทแทจรงของวธการผลตใหม 05.0

150075p1 , 04.0

200080p2


2 และ 645.1z 05.0



ชวงความเชอมน %100)1( สาหรบ 21 pp คอ

2

22

1

11

22121

2

22

1

11

221 n

qpnqp

z)pp(ppnqp

nqp

z)pp(

2000)96.0)(04.0(

1500)95.0)(05.0(

)645.1()04.005.0(pp2000

)96.0)(04.0(1500

)95.0)(05.0()645.1()04.005.0( 21

)0071.0)(645.1(01.0pp)0071.0)(645.1(01.0 21 0117.001.0pp0117.001.0 21

0217.0pp0017.0 21



การทดสอบสมมตฐาน 0H : 1p – 2p = 0p ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : 1p – 2p = 0p กาหนดสมมตฐานอน 1H : 1p – 2p 0p ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยางขนาด 1n จากประชากรชดท 1 หาจานวนผลสาเรจ 1x และ 1p สมตวอยางขนาด 2n จากประชากรชดท 2 หาจานวนผลสาเรจ 2x และ 2p ขนท 4 เลอกคาสถตทเหมาะสม Z ขนท 5 คานวณคาสถต คานวณz ถา 0p = 0 แลว คานวณz =

)n1

n1)(p1(p

pp

21

21

เมอ 21

21nnxx

p

ถา 0p 0 แลว คานวณz = 2

22

1

11

021

n)p1(p

n)p1(p

p)pp(



ขนท 6 คาวกฤตคอ 2

z และ 2

z


z หรอ Z 2

z

ขนท 7 ถา คานวณz

2

z หรอ คานวณz แลว ปฏเสธ 0H

ทระดบนยสาคญ หมายเหต กรณการทดสอบแบบ 1 ทาง 1H : 1p – 2p 0p 1H : 1p – 2p 0p คาวกฤต Z

z z บรเวณวกฤต Z z Z z

2

z



ตวอยาง 7.5.10 ในการหยงเสยงผอยอาศยในเมอง และ ผอยอาศยบรเวณชานเมองแหงหนง เพอตองการทราบความรสกของประชาชนในการทจะสรางโรงงานอตสาหกรรม วาประชาชนจะพอใจตอขอเสนอทจะสรางโรงงานอตสาหกรรมทบรเวณชานเมองหรอไม ผอยบรเวณชานเมองคาดวาผอยในเมองคงจะมความพอใจมากกวาเพราะโรงงานอตสาหกรรมนนตงอยบรเวณชานเมอง จงหยงเสยงจากผอยในเมอง 200 คน ม 120 คนพอใจ และหยงเสยงจากผอยชานเมอง 500 คน ม 240 คนพอใจ ทานเหนดวยหรอไมวาผอยในเมองพอใจมากกวาผอยชานเมอง ดวยระดบนยสาคญ 0.025 วธทา ให

1p เปนสดสวนของผอาศยอยในเมองท พอใจทจะสรางโรงงานอตสาหกรรมทบรเวณชานเมอง

2p เปนสดสวนของผอาศยอยชานเมองท พอใจทจะสรางโรงงานอตสาหกรรมทบรเวณชานเมอง



ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : 1p = 2p หรอ 1p – 2p = 0 1H : 1p 2p หรอ 1p – 2p 0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.025 ขนท 3 สมตวอยาง การหยงเสยงจากผอยในเมอง 200 คน ม 120 คนพอใจ

200n1 , 120x1 , 1p = 1

1nx =

200120 = 0.60

การหยงเสยงจากผอยชานเมอง 500 คน ม 240 คนพอใจ 500n 2 , 240x 2 , 2p =

2

2nx =

500240 = 0.48

ขนท 4 เพราะวา และ เปนตวอยางขนาดใหญ

เพราะฉะนนเลอกใชคาสถต )

n1

n1)(P1(P

PPZ

21

21

เมอ x x1 2p n n1 2

=

500200240120

=

3518

200n1 500n 2



ขนท 5 คานวณคาสถตจากตวอยาง คานวณz =

)n1

n1)(p1(p

pp

21

21

=

)5001

2001)(

35181)(

3518(

48.060.0

= 2.87 ขนท 6 คาวกฤตคอ 96.1z 025.0 บรเวณวกฤต คอ Z 1.96 ขนท 7 สรปผล เพราะวา คานวณz = 2.87 อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 0.025 สรป ผอาศยในเมองมความพอใจกบการตงโรงงานอตสาหกรรมทบรเวณชานเมอง มากกวาผอาศยบรเวณชานเมอง ทระดบนยสาคญ 0.025



ชดท 26 การทดสอบความเหมาะสมของการแจกแจง เปนการทดสอบวาประชากรมการแจกแจงตามทคาดไวจรงหรอไม เชน ประชากรมการแจกแจงตามอตราสวนทเราคาดไวจรงหรอไม ประชากรมการแจกแจงทวนามจรงหรอไม ประชากรมการแจกแจงปกตจรงหรอไม ประชากรมการแจกแจงปวสซองจรงหรอไม

หลกการทางสถต 1. ให N = ขนาดตวอยาง 2. ให O เปนความถของการเกดคาของตวแปรสม X 3. ถา ตวแปรสม X มการแจกแจงตามทคาดไว แลว ความถของตวแปรสม X มคาเทากบ PN (X = x) ให E เปนความถของตวแปรสม X ซงมการแจกแจงตามทคาดไว เพราะฉะนน E = PN (X = x) 4. ให X = 1x , 2x , ... , kx เพราะฉะนน ie = PN (X = ix ) ให io เปนคาสงเกตทไดจากตวอยาง

5.

k

1 i i

2ii

e)eo( มการแจกแจงไคสแควร



ทฤษฎบท 7.7.1 การทดสอบความเหมาะสมของการแจกแจง ความถทไดจากการทดลอง และความถทคาดวาจะไดตามทฤษฎ

ขนอยกบคาของ

k

1 i i

2ii2

e)e(o

χ =

k

1i i

2i N

eo

เมอ 2 เปนคาของตวแปรสมซงมการแจกแจงใกลเคยงกบการแจกแจงไคสแควรมากทสด io คอ ความถทไดจากการทดลอง และ ie คอ ความถทคาดวาจะไดตามทฤษฎ

ขอตกลง

k

1 i i

2ii

e)e(o เรยกวา 2

คานวณ

ทฤษฎบท 7.7.2 ระดบขนความเสร ในการทดสอบความเหมาะสมของการแจกแจงโดยไคสแควร เทากบจานวนเซลลลบดวยจานวนพารามเตอรทตองประมาณคาเพอนามาใช ในการคานวณความถทคาดวาจะไดตามทฤษฎและลบออก 1 = k – m – 1 เมอ k = จานวนเซลล m = จานวนพารามเตอรทตองประมาณคาเพอหาคา ei



แนวคดของการสรปผล

1. ถา 2คานวณ =

k

1 i i

2ii

e)e(o = 0

แลว ความถจากการทดลอง = ความถทคาดวาจะไดทางทฤษฎ เพราะฉะนน ขอมลมการแจกแจงตามทคาดไว 2. ถาความถทไดจากการทดลองมคาใกลเคยงกบความถทคาดวาจะไดตามทฤษฎ แลว คาของ 2χ คานวณ กจะมคานอย 3. ถาความถทไดจากการทดลองกบความถทคาดวาจะไดตามทฤษฎมคาตางกนมากแลวคาของ 2 กจะมากดวย 4. ถา 2

คานวณ มคามากเกนไป แลว ความถจากการทดลองจะแตกตางจากความถทคาดวาจะไดทางทฤษฎ ซงอาจมผลทาใหไมสามารถยอมรบไดวาขอมลมการแจกแจงตามทคาดไว 5. เมอกาหนดระดบนยสาคญคอ ขอบเขตทยอมรบไดคอ 2 2


หมายเหต ขอบเขตทยอมรบไดนจะใชได กตอเมอความถทควรไดในแตละเซลลมคาอยางนอย 5



สรปขนตอนการทดสอบความเหมาะสมของการแจกแจง ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : การแจกแจงความถของคาสงเกตมการแจงแจง เปน (ชอของการแจกแจงตามทเราคาดไว) 1H : การแจกแจงความถของคาสงเกตมการแจงแจง ไมเปน (ชอของการแจกแจงตามทเราคาดไว) ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกคาสถตไคสแควร

ขนท 5 คานวณคา 2คานวณ

k

i

2ii

e

)eo(

1 i

เมอ io เปนความถจากการสงเกตตวท i ie เปนความถจากการคาดคะเนตามทฤษฎตวท i ระดบขนความเสร = k – m – 1 เมอ k = จานวนของคาสงเกต io และ m = จานวนพารามเตอรทตองประมาณคาเพอหาคา ie ขนท 6 คาวกฤตคอ 2

v , และ บรเวณวกฤต 2v

2 ,

ขนท 7 สรปผล ถา 2

คานวณ 2v , แลว ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ

หมายเหต ถา ie ตวใดนอยกวา 5 ใหรวมกบตวทอยใกลเคยง และเมอปฏบตเชนใดกบ ie ใหปฏบตเชนเดยวกนกบ io



ตวอยาง 7.7.1 ในการโยนเหรยญ 3 เหรยญ 240 ครง ให X เปนจานวนหวทไดในการโยนเหรยญแตละครง ปรากฏผลดงน

X 0 1 2 3 ความถทได ( io ) 24 8 95 23

เปรยบเทยบความถทไดจากการทดลอง ( io ) และความถทคาดวาจะไดโดยทฤษฎ ( ie ) ดงน

X io ความถทได จาก การทดลอง

P(X = x) ie ความถทคาด วาจะได

io – ie ความแตกตาง

0 24 81 30 – 6

1 98 83 90 8

2 95 83 90 5

3 23 81 30 – 7

240 1 240

จงทดสอบสมมตฐานวา เหรยญทงสามเหรยญมความเทยงตรง กาหนดระดบนยสาคญ 0.05



วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : p = 0.5 1H : p 0.5 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถตไคสแควร ขนท 5 หาคาสถตจากตวอยาง 2

คานวณ

x io ie ii eo i

2ii

e)eo(

0 24 30 –6 3036

1 98 90 8 9064

2 95 90 5 9025

3 23 30 –7 3049

240 240 3.822

2คานวณ

=

4

1 i i

2ii

e)e(o = 3.822



ขนท 6 หาคาวกฤตและบรเวณวกฤต เพราะวา การหาคา ie เราไมตองประมาณคาพารามเตอรของประชากร เพราะฉะนน m = 0 ดงนนระดบขนความเสร = k – m – 1 = 4 – 0 – 1 = 3 เพราะวาระดบนยสาคญ = 0.05 เพราะฉะนน คาวกฤตคอ 815.72

3 , 05.0 เพราะฉะนน บรเวณวกฤตคอ 815.72 ขนท 7 สรปผล เพราะวา 2

คานวณ ไมอยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนยอมรบ 0H สรป เหรยญนนมความเทยงตรงทระดบนยสาคญ 0.05



หมายเหต การสรปผลโดยใชคา Sig. (1–tailed) คา Sig. (1–tailed) ของคาสถตไคสแควร 2 = k มคาเทากบ P( 2 k) เพราะวา 2

คานวณ อยในบรเวณวกฤต กตอเมอ Sig. (1–tailed) ของ 2

คานวณ นอยกวา เพราะฉะนน ถา Sig. (1–tailed) ของ 2

คานวณ นอยกวา แลว ปฏเสธ 0H



จากตวอยางขางตน Sig. (1–tailed) ของ 2

คานวณ = 3.822 มคาเทากบ 0.2813 เพราะวา Sig. (1–tailed) 0.05 เพราะฉะนนยอมรบ 0H ทระดบนยสาคญ 0.05 การคานวณโดยใช Instat



ตวอยาง ทอดลกเตาลกหนง 600 ครง ไดผลดงน

แตม 1 2 3 4 5 6 จานวนครง 88 122 104 112 94 80 จงทดสอบสมมตฐานวาลกเตาเทยงตรงหรอไม กาหนดระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 สมมตฐานหลก 0H : ลกเตามความเทยงตรง สมมตฐานอน 1H : ลกเตาไมมความเทยงตรง ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกคาสถตไคสแควร ขนท 5 คานวณคา 2

คานวณ

i คาสงเกต io ความถทคาดวาจะได ie 1 88 100 2 122 100 3 104 100 4 112 100 5 94 100 6 80 100

รวม 600 600



2คานวณ =

6

1 i i

2ii

e)eo( = 12.2

ขนท 6 คาวกฤตคอ 070.1125 ,05.0

บรเวณวกฤตคอ 070.112 7. สรปผล เพราะวา 2

คานวณ อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนปฏเสธ 0H สรป ลกเตาไมเทยงตรง ทระดบนยสาคญ 0.05 หมายเหต การสรปผลโดยใช Sig. (1–tailed) Sig. (1–tailed) = )24.12(P 2 0.0316

เพราะวา Sig. (1–tailed) 0.05 เพราะฉะนนปฏเสธ 0H สรป ลกเตาไมเทยงตรง ทระดบนยสาคญ 0.05 การคานวณโดยใช Instat



แบบฝกหด 1. ในการผสมพนธพช 2 ชนดตามกฎของเมนเดล คาดวาจะได ผลเปนพนธพชชนดใหม 4 ชนด ดวยอตราสวน ดงน ชนดท 1 : ชนดท 2 : ชนดท 3 : ชนดท 4 = 9 : 3 : 3 : 1 ผลการทดลองทงหมด 1600 ครง ไดจานวนของชนดท 1, 2, 3, 4 เปน 870, 340, 300, 90 ตามลาดบ จงทดสอบสมมตฐานวาผลทไดเปนไปตามกฎของเมนเดลหรอไม กาหนดระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1. สมมตฐานหลก 0H : ................................ สมมตฐานอน 1H : ............................................

ขนท 2. กาหนดระดบนยสาคญ = .................... ขนท 3. สมตวอยางเพอหาคาสงเกต io ขนท 4. เลอกคาสถต................................................

ขนท 5. 2คานวณ = ............ ระดบขนความเสร = ............

ขนท 6. คาวกฤตคอ ................... บรเวณวกฤตคอ .................................... Sig. (1-tailed) = ............................................. ขนท 7. สรปผล .......................................................



2. ทอดลกเตาลกหนง 180 ครง ไดจานวนครงทขนแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6 เปน 28, 36, 36, 30, 27, 23 ตามลาดบ จงทดสอบสมมตฐานวาลกเตาเทยงตรงหรอไม กาหนดระดบนยสาคญ 0.01 วธทา ขนท 1. สมมตฐานหลก 0H : ................................ สมมตฐานอน 1H : ............................................






3. ในการโยนเหรยญ 4 เหรยญ 400 ครง ให X เปน จานวนหวทไดในการโยนเหรยญแตละครง ปรากฏผลดงน

X 0 1 2 3 4 ความถทได ( io ) 20 80 140 100 60

จงทดสอบสมมตฐานวาเหรยญเทยงตรงหรอไม กาหนดระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1. สมมตฐานหลก 0H : ................................ สมมตฐานอน 1H : ............................................






ชดท 27 การทดสอบความเปนอสระ (Test for Independence) การตรวจสอบความสมพนธระหวางตวแปรขอมลเชงคณภาพ ตวอยางเชน 1. การฉดวคซนมผลตอการเปนหรอไมเปนอหวาตกโรคหรอไม ในการการทดสอบสมมตฐาน เราให เหตการณ A คอ ฉดวคซนหรอไมฉดวคซน และ เหตการณ B คอ เปนหรอไมเปนอหวาตกโรค

จานวนผทไมเปน อหวาตกโรค

จานวนผเปนอหวาตกโรค

รวม

จานวนผรบการฉดวคซน 431 14 445 จานวนผไมไดรบการฉดวคซน 291 14 305

รวม 722 28 750

เกบขอมลและสรปผลใหไดวา เหตการณ A และ B เกยวของกนหรอไม



2. ถนทอยอาศยกบการนบถอศาสนาเกยวของกนหรอไม

โปรเทสตน คาธอลค ยว รวม ฝงตะวนออก 182 215 203 600 ฝงตะวนตก 154 136 110 400

รวม 336 351 313 1000

ในการการทดสอบสมมตฐาน เราให เหตการณ A คอการนบถอศาสนา โปรเทสตน คาธอลค ยว และ เหตการณ B คอถนทอย ฝงตะวนออก หรอ ฝงตะวนตก เกบขอมลและสรปผลใหไดวา เหตการณ A และ B เกยวของกนหรอไม



จากการเกบขอมล 1. จาแนกเหตการณ A เปนเหตการณยอย c เหตการณ 2. จาแนกเหตการณ B เปนเหตการณยอย r เหตการณ แจงความถของขอมลตวอยางเปนตารางความถแบบ 2 ทาง เรยกวา ตารางการณจร (contingency table) ถาตารางนประกอบดวย r แถว (row) และ c หลก (column) สมมตมตารางการณจรของความถทไดจากการทดลอง

1A 2A 3A ... cA

1B 2B

:

rB

11o 12o 13o ... c1o 21o 22o 23o ... c2o

: 1ro 2ro 3ro ... rco

1R 2R

:

rR

1C 2C 3C ... cC N

ijo เรยกวาความถหรอคาสงเกตทไดจากขอมลตวอยาง

jC เรยกวาผลบวกของหลกท j เพราะฉะนน )A(P j = N

Cj

iR เรยกวาผลบวกของแถวท j เพราะฉะนน )B(P i = iRN

เพราะฉะนน )A(P 1 = NC1 , )A(P 2 =

NC2 , ... , )A(P c =

NCc

)B(P 1 = NR1 , )B(P 2 =

NR2 , ... , )B(P r =

NR r



หลกสถต ถา เหตการณ A และเหตการณ B เปนอสระตอกน แลว P( 1A 1B ) = P( 1A )P( 1B ) =

N

R

N

C 11

P( 1A 2B ) = P( 1A )P( 2B ) = N

RNC 21

:

P( iA jB ) = P( iA )P( jB ) = N

R

NC ji

ije เรยกวาความถหรอคาสงเกตทไดเมอสมมตฐานเปนจรง เพราะฉะนน ije หาไดโดยการคณความนาจะเปนแตละคาดวย ผลรวมของความถทงหมด N เชน 11e = N P( 1A 1B ) = N

N

R

N

C 11 = NRC 11

12e = N P( 2A 1B ) = N NR

NC 12 =

NRC 12

: ije = N P( jA iB ) = N

N

C

NR ji =

N

CR ji

จะได 2 =

r

1 i

c

1 j ij

2ijij

e

)e(o มการแจกแจงไคสแควร

ระดบขนความเสร = (r – 1)(c – 1)



การสรปผล

1. ถา 2คานวณ =

r

1 i

c

1 j ij

2ijij

e

)e(o มคามากเกนไป

แลว ปฏเสธ 0H 2. คาวกฤตคอ 2

v, และบรเวณวกฤตคอ 2v,

2

3. ถา 2คานวณ 2

แลว ปฏเสธ 0H หมายเหต การสรปผลโดยใช Sig. (1–tailed) ให Sig. (1–tailed) = P( 22

คานวณ ) ถา Sig. (1–tailed) แลวปฏเสธ 0H



ขนตอนการทดสอบความเปนอสระ ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : เหตการณ A และ B เปนอสระกน 1H : เหตการณ A และ B ไมเปนอสระกน ขนท 2 กาหนดนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกสถตไคสแควร

ขนท 5 คานวณ 2 คานวณ =

r

1 i

c

1 j ij

2ijij

e

)e(o ,

N

CRe ji

ij

ขนท 6 คาวกฤตคอ 2, ระดบขนความเสร = (r – 1)(c – 1) บรเวณวกฤตคอ 2 2, ขนท 7 สรปผล แบบท 1 ถา 2

คานวณ 2, แลว ปฏเสธ 0H

แบบท 2 ถา Sig. (1–tailed) แลว ปฏเสธ 0H



ตวอยาง 7.8.1 จากขอมล จงทดสอบสมมตฐานวาการฉดวคซนปองกนอหวาตกโรคไดผลหรอไม


จานวนผทเปนอหวาตกโรค รวม

จานวนผรบการฉดวคซน 431 14 445 จานวนผไมไดรบการฉดวคซน 291 14 305

รวม 722 28 750

โดยใชระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 0H : การฉดวคซนปองกนอหวาตกโรคไมไดผล (การฉดวคซนและการเปนโรคอหวาเปนอสระกน) 1H : การฉดวคซนสามารถปองกนอหวาตกโรคไดผล (การฉดวคซนและการเปนโรคอหวาไมเปนอสระกน) ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถตไคสแควร ขนท 5 หาคา 2

คานวณ


จานวนผทเปน อหวาตกโรค

รวม

จานวนผรบการฉดวคซน 11o = 431 12o = 14 1R 445 จานวนผไมไดรบการฉดวคซน 21o = 291 22o = 14 2R 305 รวม 1C = 722 2C = 28 N = 750



39.428750

)722)(445(NCR

e 1111

61.16750

)28)(445(NCR

e 2112

61.293750

)722)(305(NCR

e 1221

39.11750

)28)(305(NCR

e 2222

หมายเหต การคานวณคา 12e , 21e , 22e เมอทราบคา 11e สามารถใชเหตผลวา 11e + 12e = 1R , 11e + 21e = 1C และ 22e + 21e = 2R เพราะฉะนน 12e = 1R – 11e = 445 – 428.39 = 16.61

21e = 1C – 11e = 722 – 428.39 = 293.61 22e = 2R – 21e = 305 – 293.61 = 11.39

2

คานวณ =

2

1 i

2

1 j ij

2ijij

e

)e(o

= 39.11

2)39.1114(

61.293

2)61.293291(

61.16

2)61.1614(

39.428

2)39.428431(

= 1.0473 = (r – 1)(c – 1) = 1 ขนท 6 คาวกฤต 2

0.05, 1 = 3.84 บรเวณวกฤต 2 3.84 ขนท 7 สรปผล เพราะวา 2

คานวณ ไมอยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนยอมรบ 0H



หมายเหต การสรปผลโดยใชคา P – value หรอ Sig. (1–tailed) เมอระดบขนความเสร = 1 คา Sig. (1–tailed) ของคา 2 คานวณ = 1.0473 มคาเทากบ Sig. (1–tailed) = P( 2 1.0473) = 0.3061

เพราะวา Sig. (1–tailed) 0.05 เพราะฉะนนยอมรบ 0H สรปการฉดวคซนหรอไมฉดวคซน ใหผลไมแตกตางกน ทระดบนยสาคญ 0.05 การคานวณดวย Instat



ตวอยาง 7.8.2 ในการศกษาความสมพนธระหวางการนบถอศาสนาและถนทอยอาศย เลอกคนมา 2 กลมโดยวธสม กลมหนงอาศยอยแถบชายฝงทะเลตะวนออกของประเทศหนง อกกลมหนงอาศยอยแถบชายฝงทะเลตะวนตก ปรากฏจานวนผนบถอศาสนาตาง ๆ มดงน


รวม 336 351 313 1000

จงทดสอบวา การนบถอศาสนาและถนทอยอาศยมความสมพนธกนหรอไม โดยใชระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน

0H : การนบถอศาสนาและถนทอยอาศย ไมมความสมพนธกน (การนบถอศาสนาและถนทอยอาศยเปนอสระกน)

1H : การนบถอศาสนาและถนทอยอาศย มความสมพนธกน (การนบถอศาสนาและถนทอยอาศยไมเปนอสระกน) ขนท 2 กาหนดนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง



ขนท 4 เลอกใชคาสถตไคสแควร 5. หาคา 2

คานวณ


รวม 336 351 313 1000

6.2011000

)336)(600(NCR

e 1111

6.2101000

)351)(600(NCR

e 2112

8.1871000

)313)(600(NCR

e 3113

4.1341000

)336)(400(NCR

e 1221

4.1401000

)351)(400(NCR

e 2222

2.1251000

)313)(400(NCR

e 3223

2

คานวณ =

2

1 i

3

1 j ij

2ijij

e

)e(o

= 8.187

)8.187203(6.210

)6.210215(6.201

)6.201182( 222

2.125

)2.125110(4.140

)4.140136(4.134

)4.134154( 222 = 8.0693 ระดบขนความเสร 2)13)(12()1c)(1r(



ขนท 6 คาวกฤตคอ 991.52205.0 ,

บรเวณวกฤตคอ 2 5.991 ขนท 7 สรปผล เพราะวา 2

คานวณ อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนปฎเสธ 0H

หมายเหต การสรปผลโดยใชคา Sig. (1–tailed) เมอ 2 คา Sig. (1–tailed) ของ 2

คานวณ = 8.0693 มคาเทากบ )0693.8(P 2 0.0177 เพราะวา Sig. (1–tailed) 0.05 เพราะฉะนนปฏเสธ 0H สรปวาการนบถอศาสนาและถนทอยอาศย มความสมพนธกนทระดบนยสาคญ 0.05



การคานวณดวย Instat



แบบฝกหด 1. เพอศกษาวาคณภาพของผลตภณฑจากการผลตตาง เวลากน อสระตอกนหรอไม เกบขอมลไดดงน

เวลา ผลตภณฑ

กลางวน เยน กลางคน

บกพรอง 155 145 132 ด 545 355 468

จงทดสอบสมมตฐาน คณภาพสนคากบชวงเวลาการผลตเปนอสระกนหรอไม กาหนดระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1. สมมตฐานหลก 0H : ................................ สมมตฐานอน 1H : ...................................... ขนท 2. กาหนดระดบนยสาคญ = ................ ขนท 3. การสมตวอยาง ขนท 4. เลอกคาสถต .................................... ขนท 5. หาคา 2

คานวณ



เวลา กลางวน เยน กลางคน รวม

ผลตภณฑ บกพรอง

คาสงเกต

คาทคาดวาจะได

ด คาสงเกต

คาทคาดวาจะได

รวม

2คานวณ = .............................

ขนท 6. คาวกฤต = ......... ระดบขนความเสร = ....... บรเวณวกฤต ................................................... Sig. (1-tailed) = ............................ ขนท 7. สรปผล ....................................................



2. สมตวอยางหวหนาครอบครว จาแนกตามวฒการศกษา และ จานวนบตรทม ไดขอมลทแจกแจงความถดงน

จานวนบตรวฒการศกษา

0-1 2-3 มากกวา 3

ประถมศกษา 32 24 44 มธยมศกษา 57 87 64 อดมศกษา 12 17 24

จงทดสอบสมมตฐานทระดบนยสาคญ 0.05 วา ขนาดของ ครอบครวไมไดขนอยกบวฒการศกษาของหวหนาครอบครว วธทา ขนท 1. สมมตฐานหลก 0H : ................................ สมมตฐานอน 1H : ...................................... ขนท 2. กาหนดระดบนยสาคญ = ................ ขนท 3. การสมตวอยาง ขนท 4. เลอกคาสถต .................................... ขนท 5. หาคา 2

คานวณ



จานวนบตร

0-1 2-3 มาก

กวา 3

รวม

วฒการศกษาของหวหนาครอบครว

ประถม

ศกษา


คาทคาด

จะได

มธยม

ศกษา


คาทคาด

จะได

อดม

ศกษา


คาทคาด

จะได

รวม

2คานวณ = .............................

ขนท 6. คาวกฤต = ......... ระดบขนความเสร = ....... บรเวณวกฤต ................................................... Sig. (1-tailed) = ............................ ขนท 7. สรปผล ....................................................



ชดท 28 การถดถอยเชงเสนและสหสมพนธ 9.1 การปรบเสนโคง (Curve Fitting) ตวแปรทางสถตตงแต 2 ตวขนไปอาจมความสมพนธกนหรอไมกได ตวอยางเชน สวนสง (x) และ นาหนก (y) ของเดกแรกเกด คาโฆษณา (x) และ ผลกาไร (y) นาหนกของรงผง (x) กบ ปรมาณนาผง (y) ปรมาณถานหนทถกเผา (x) และ ปรมาณฝนในอากาศ (y) การศกษาทางดานสถตเราสนใจวาตวแปรเหลานจะมความสมพนธกนหรอไม ถามความสมพนธกนจะอยในรปใด เชน

xy xlny xlnyln การถดถอยเชงเสนเชงเดยว (simple linear regression) เปนการศกษาความสมพนธเชงเสนตรงของตวแปร สหสมพนธ (correlation) เปนการวดระดบและทศทางความสมพนธของตวแปร



แนวคดในการหารปแบบความสมพนธ ขนแรกรวบรวมขอมลทตองการจะพจารณา

X Y

1x 2x

:

nx

1y 2y

:

ny

เขยนกราฟ แผนภาพกระจาย (scatter diagram) จากแผนภาพกระจายจะมองเหน แนวโนม (trend) ซงอาจจะเปนเสนตรงหรอเสนโคงแบบตาง ๆ ถาเปนเสนตรง เรยกวา ความสมพนธเชงเสน (linear relationship) ถาไมเปนเสนตรง เรยกวา ความสมพนธไมใชเชงเสน (non – linear relationship)



9.2 การถดถอยเชงเสน (Linear Regression) ให Y x เปนตวแปรสม Y เมอกาหนดคา x คงท และมฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปน f(y x)

ถา x = ix สญลกษณ ix|Y จะแทนดวยตวแปรสม iY เราสนใจเซตของตวแปรสม { iY i = 1, 2, 3, ... , n } ซงสมมตวาเปนอสระตอกน และมการแจกแจงปกตทงนเพอจดประสงคทจะสรางชวงความเชอมนและตรวจสอบสมมตฐาน ในการพยากรณเราให

Y x| = E(Y x) เปนคาเฉลยของตวแปรสม Y เมอกาหนดคา x และ 2

Y | x เปนความแปรปรวนของ Y เมอกาหนดคา x เปนคาคงท ในรปท x = 1x , x = 2x และ x = 3x เสนทโยงคา Y | xi

เรยกวา เสนโคงถดถอย (regression curve) และถาคาเฉลยทไดอยบนเสนตรงกจะเปนการถดถอยเชงเสน



การหาสมการเสนถดถอยของ Y เทยบกบ x ใหสมการของการถดถอยเชงเสนของประชากรเปน

Y x| = + x เมอ และ เปนพารามเตอร เรยกวา สมประสทธการถดถอย (regression coefficients) และใหสมการถดถอยเชงเสนซงประมาณจากตวอยางเปน y = a + bx เมอ a และ b เปนคาประมาณของ และ ตามลาดบ และ y เปนคาประมาณของ Y | x

ตารางท 9.1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 yi 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3

นาขอมลมาเขยนแผนภาพกระจาย จะเหนไดวาการกระจายมแนวโนมเปนเสนตรง เสนถดถอยทประมาณไดจากตวอยางและเสนถดถอยทแทจรง



9.3 การถดถอยเชงเสนเชงเดยว (Simple Linear Regression) ในกรณทม x และ y อยในรปของคลาดบ ( ix , iy ), i = 1, 2, ... , n ในการทดลองทไดวางแผนไวคา ix ไดถกเลอกไว แลวสงเกตคา iy ตาง ๆ ตามคา ix ทกาหนดไว สมมตวาคาเฉลยทงหมด ix|Y อยบนเสนตรง x|Y = + x ตวแปรสม iY = Y ix เขยนไดเปน iY = ix|Y + iE = + ix + iE เมอตวแปรสม iE มคาเฉลยเปน 0 แตละคลาดบ ( ix , iy ) สอดคลองความสมพนธ iy = + +

i ในทานองเดยวกนถาสมการของการถดถอยเชงเสนท ประมาณจากตวอยางเปน y = a + bx แตละคลาดบ ตองสอดคลองกบความสมพนธ iy = a + b ix + ie เรยก ie วา สวนเหลอ (residual) กราฟแสดงผลตางระหวาง ie และ i

ix



การหาคา a และ b ของสมการ y = a + bx โดยวธกาลงสองนอยทสด (Method of Least Squares) ie = iy – iy , i = 1, 2, ... , n iy คอ คาสงเกตทเกดขนตามคาของ ix

iy คอ คาทไดจากเสนถดถอย iy = a + b ix ถา 2

n22

21 e...ee มคานอยทสดจะไดเสนถดถอยทดทสด

ผลบวกกาลงสองของความเคลอนคลาด (Sum of squares of error) เขยนแทนดวย SSE

เพราะฉะนน SSE =

n2ie

1 i

= 2i

n

1ii )yy(

เพราะวาสมการของเสนตรงคอ bxay

เพราะฉะนน SSE = 2i

n

1 i i )bx a (y

เพราะฉะนน SSE เปนฟงกชนคาจรงของ 2 ตวแปร a และ b



การหาคา a และ b ททาให SSE นอยทสด

มขนตอนการคานวณดงน จาก SSE = 2i

n

1i i )bx a (y

โดยการหาอนพนธยอยเทยบกบ a และ b

n

1 i ii )1) (bxa(y 2

a(SSE)

... (1)

n

1 i iii )x) (bxa(y 2

b(SSE)

... (2)

จากทฤษฎบทของการหาคาตาสด เราตองหาคา a และ b ททาให

a)SSE(

= 0 และ

b)SSE(

= 0

จาก (1) ได n n

i ii 1 i 1

y an b x

= 0 ... (3)

จาก (2) ได

n

1iii yx –

n

1iixa –

n

1i

2ixb = 0 ... (4)

จากสมการ (3) และสมการ (4) ได

n

1 i iy = n

ii 1

an b x

... (5)

n

1 i iiyx =

n

1 i ixa +

n

1i

2ixb

... (6)

เราเรยกสมการ (5) และ (6) วา สมการปกต ของสมการ y = a + bx



โดยการหาคาตอบของระบบสมการ (5) และ (6)

เพราะฉะนน b = 2n

1 i i

n

1 i

2i

n

1 i i

n

1 i i

n

1 i ii

x xn

yxyxn

หรอ b = 2

n

1 i i

i

n

1 i i

)x(x

)y ) (yx(x

คา b ทเปนความชน (slope) ของเสนถดถอย bxay เรยกวา สมประสทธการถดถอย

จาก

n

1 i iy =

n

1i i xb na

หารตลอดดวย n จะได n

x

b an

yn

1 i i

n

1 i i

เพราะฉะนน y = a + bx แสดงวาจด (x, y) อยบนเสนถดถอย ดงนน a = y – bx เสนตรง bx a y เปนเสนตรงถดถอยของ y เทยบกบ x หมายถงเสนถดถอยทมการกาหนดคาของ x ไวลวงหนา ความเคลอนคลาดทเกดขนเปนความเคลอนคลาดของ y



ตวอยาง 9.3.1 จากตารางท 9.1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

xi 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 yi 4.8 5.7 7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6 15.3

จงประมาณเสนถดถอยของ y เทยบกบ x และ เขยนกราฟของเสนถดถอยของ y เทยบกบ x วธทา จากขอมลทกาหนดเมอคานวณในรปแบบตาราง

x y 2x 2y xy

1.5 4.80 2.25 23.04 7.20

1.8 5.70 3.24 32.49 10.26

2.4 7.00 5.76 49.00 16.80

3.0 8.30 9.00 68.89 24.90

3.5 10.90 12.25 118.81 38.15

3.9 12.40 15.21 153.76 48.36

4.4 13.10 19.36 171.61 57.64

4.8 13.60 23.04 184.96 65.28

5.0 15.30 25.00 234.09 76.50

30.3 91.1 115.11 1036.65 345.09

9

1 i

9

1i iii

9

1 i i 09.345yx , 1.91y , 3.30x

1222.10y , 3667.3x , 65.1036y , 11.115x9

1 i

9

1 i

2i

2i



b = 9303.2)3.30()11.115(9

)1.91)(3.30()09.345(92

a = 10.1222 – (2.9303) (3.3667) = 0.2568 เพราะฉะนน y = 0.2568 + 2.9303x กราฟของเสนถดถอย



การหาชวงความเชอมน %100)1( ของ สาหรบสมประสทธ ในเสนถดถอย Y | x = + x คอ

xx2xx2 Sstb

Sstb

เมอ 2

t เปนคาของการแจกแจงท ระดบขนความเสร = n – 2

2S = 2n

SSE

โดยมขนตอนการหาคา SSE ดงน

xxS =

n

1 i

2n

1 i i

2i

n

1 i

2i n

x

x)x(x

yyS =

n

1 i

2n

1 i i

2i

n

1 i

2i n

y

y)y(y

xyS =

n

1i

n

1 i i

n

1 i i

ii

n

1 i ii n

yx

yx)y) (yx(x

เราอาจจะเขยน SSE ใหมไดดงน

SSE =

n

1 i

2ii )bxa(y = 2

n

1i ii ])xb (x)y[(y

=

n

1i

2i

2i

n

1 i

n

1 i i

2i )x(xb)y(y)x(xb2)y(y

= xx2

xyyy SbbS2S

เนองจาก xx

xy

S

Sb ดงนน SSE = xyyy bSS



ตวอยาง 9.4.1 จงหาชวงความเชอมน 95 % สาหรบ ใน เสนถดถอย Y | x = + x จากขอมลในตารางท 9.1 วธทา ในตวอยาง 9.3.1

9

1i

9

1i iii

9

1 i i 09.345yx , 1.91y , 3.30x

65.1036y , 11.115x9

1 i

9

1 i

2i

2i

และ b = 2.9303

ดงนน xxS = 1000.139

)3.30(11.115

9

x

x29

1 i

29

1 i i

2i

yyS = 5156.1149

)1.91(65.1036

9

y

y29

1 i

29

1 i i

2i

xyS = 3867.389

)1.91)(3.30(09.345

9

yx

yx9

1 i

9

1 i i

9

1 i i

ii

2s = 2n

bSS

2nSSE xyyy

= 2902.029

)3867.38)(9303.2(5156.114

เพราะฉะนน s = 0.5387



การหาชวงความเชอมน 95% ของ

2 = 0.025 = n – 2 = 7 t0.025 = 2.365 และ s = 0.5387 เพราะฉะนนชวงความเชอมน 95% ของ คอ

xx2xx2 Sstb

Sstb

1.135387.0)365.2(9303.2

1.135387.0)365.2(9303.2

2823.35783.2



การทดสอบสมมตฐาน 0H : = 0 ใชคาสถต t =

xx

0

Ss

b ระดบขนความเสร = n – 2

ตวอยาง 9.4.2 โดยใชคาประมาณ b = 2.9303 ของตวอยาง 9.3.1 จงทดสอบสมมตฐานวา = 2.5 ทระดบนยสาคญ 0.01 แยงกบสมมตฐาน 2.5 วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : = 2.5 1H : 2.5 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.01 ขนท 3 ใชขอมลจากตวอยางขางตน ขนท 4 ใชสถต t ขนท 5

คานวณt = 1.13

5387.05.29303.2 = 2.8911

ขนท 6 คาวกฤตคอ 998.2t 7,01.0 บรเวณวกฤตคอ t 2.998 ขนท 7 เพราะวา

คานวณt ไมอยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนยอมรบสมมตฐานหลก เพราะฉะนน ไมมความแตกตางจาก 2.5 ทระดบนยสาคญ 0.01



การทดสอบสมมตฐาน 0H : = 0 โดยใชตวสถตเอฟ สามารถทาการทดสอบโดยใชตวสถตท และ ตวสถตเอฟ การทดสอบโดยใชตวสถตเอฟ วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน : = 0 : 0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 ใชขอมลจากตวอยางขางตน ขนท 4 ใชสถตเอฟ ขนท 5 หาคาสถต

f คานวณ มแนวคดและขนตอนการคานวณดงน

n = จานวนคของขอมลตวอยาง SSE = 2)yy( และ y = a + bx จากสมการปกต ( normal equations) iy = n a + b ix iiyx = a ix +b 2

ix

จะได b = xx

xy

S

S = i i2

i

(x x)(y y)

(x x)

และ a = xby

เมอ xyS = n

yxyx ii

ii , xxS =

n

xx

2i2

i

yyS = n

yy

2i2

i

0H

1H



2x|YS = MSE =

2nSSE

SSE = SST – SSR

SST = n

yy

2i2

i

SSR = b xyS = 2b xxS ระดบขนความเสร 11 , 2n2 การคานวณคาสถตเอฟโดยใชตาราง ANOVA ทาไดดงน

ANOVA TABLE SOV SS DF MS

f คานวณ

REGRESSION SSR 1 MSR MSEMSR

ERROR SSE n – 2 MSE TOTAL SST n – 1

คาสถตเอฟทคานวณไดจากตวอยางคอ คานวณ f =

MSEMSR

ขนท 6 คาวกฤตคอ )21(f , , และ บรเวณวกฤตคอ F )21(f , , ขนท 7 การสรปผล ถา คานวณ

f )21(f , , แลว ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ หมายเหต Sig. (1–tailed) ของ

fคานวณ มคาเทากบ P(F

fคานวณ )

ถา Sig. (1–tailed) แลว ปฏเสธ ทระดบนยสาคญ

0H



ตวอยาง 9.4.3 เพอการศกษาความสมพนธระหวางผลผลตของมนฝรง y และระดบของการใสปย x จงแบงแปลงทดลอง 8 แปลง ใสปยระดบตาง ๆ และเกบผลผลตของมนฝรง ไดดงน

x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 y 25 31 27 28 36 35 32 34

ก. จงหาสมการถดถอยเชงเสนตรง y = a + bx ข. จงทดสอบสมมตฐาน 0H : = 0 แยงกบ 1H : 0 ทระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ก. จากขอมลจะได 22xi , 71x2

i 248yi , 7800y2

i , 707yx ii

yyS = n

yxyx ii

ii = 112

8)248(

78002

xxS = n

xx

2i2

i = 5.10

8)22(

712

xyS = n

yy

2i2

i = 25

82480)(22(

707

b = 381.225.10

25S

S

xx

xy

a = 4524.24)822)(

10525(

8248xby

เพราะฉะนน y = 24.4524 + 2.381x



ข. ขนท 1 กาหนดสมมตฐานหลก 0H : = 0 1H : 0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถตเอฟ ขนท 5 คานวณคา

f คานวณ

จากการคานวณขางตนจะได SST = yyS = 112 SSR = b xyS = (2.381)(25) = 59.525 SSE = SST – SSR = 112 – 59.525 = 52.475

ANOVA TABLE SOV SS DF MS F

REGRESSION 59.525 1 59.525 6.8061

ERROR 52.475 6 8.7458

TOTAL 112 7

คาสถตเอฟทคานวณไดจากตวอยางคอ f คานวณ = 6.8061

ขนท 6 คาวกฤตคอ )6 , 1 , (05.0f = 5.99 และ บรเวณวกฤตคอ F 5.99 ขนท 7 สรปผล เพราะวา คานวณ

f 5.99 เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H สรป ผลตผลของมนฝรงมความสมพนธกบระดบของการใสปยเสนตรง ทระดบนยสาคญ 0.05



9.5 สหสมพนธ (Correlation) สหสมพนธ คอ ตววดความสมพนธระหวางตวแปรตงแต 2 ตวขนไปวามความสมพนธกนมากนอยเพยงใดหรอไม เชน ก. ความสงกบนาหนกและอาย ข. คะแนนสอบคณตศาสตรกบคะแนนสอบสถต ค. ปรมาณอาหารทรบประทานกบการเจรญเตบโตของรางกาย ง. การสบบหรกบการเปนมะเรงในปอด

ในการหาความสมพนธระหวางตวแปรสมตงแตสองตวขนไป ถามตวแปรสมเพยง 2 ตว จะเรยกความสมพนธระหวางตวแปร ทงสองวา สหสมพนธเชงเดยว (simple correlation)

ถามตวแปรสมมากกวาสองตวขนไปเรยก สหสมพนธพหคณ (multiple correlation)



สหสมพนธเชงเดยว (simple correlation) ในการแสดงความสมพนธระหวางขอมล 2 ชด อาจหาไดในรปสมการกาลงหนงซงแสดงถงความสมพนธเปนเสนตรง หรอสมการกาลงสองซงแสดงถงความสมพนธเปนพาราโบลา หรอสมการกาลงสาม กาลงส ฯลฯ ในทนจะพจารณาเฉพาะการหา สหสมพนธเชงเสน (linear correlation) Y | x = + x ถงแมจะทราบเสนถดถอยทแสดงความสมพนธของขอมล 2 ชด เรากยงไมทราบวาขอมล 2 ชดมความสมพนธกนมากนอยเพยงไร จงตองสรางดชนเพอใชวดความมากนอยของสหสมพนธเชงเสนน



สมบตของสมประสทธสหสมพนธ (correlation coefficient) 1. คา = 0 เมอ = 0 แสดงวาไมมการถดถอยเชงเสน 2. เนองจาก 2

Y 2 เพราะฉะนน – 1 1 3. ถา = 1 กตอเมอ 2 = 0 แสดงวา X และ Y มความสมพนธแบบเชงเสนอยางสมบรณ 4. = +1 เสนตรงจะมความชนเปนบวก และเมอ = –1 เสนตรงมความชนเปนลบ 5. ถา เขาใกล 1 จะได X และ Y มสหสมพนธหรอมความสมพนธเชงเสนอยางด 6. ถา มคาเขาใกล 0 กแสดงวามสหสมพนธเลกนอย หรอไมมเลย



ตวอยางลกษณะแผนภาพการกระจายของขอมลทมสมประสทธสหสมพนธมคาบวก สมประสทธสหสมพนธมคาลบ ตวอยางลกษณะแผนภาพการกระจายของขอมลทมไมมความสมพนธ ไมมความสมพนธ



หมายเหต 1. ถาคาของตวแปรสมทงสองมการเปลยนแปลงไปในทางเดยวกน สมประสทธสหสมพนธจะมเครองหมายบวก 2. ถาคาของตวแปรสมทงสองมการเปลยนแปลงไปในทางกลบกน สมประสทธสหสมพนธจะมเครองหมายลบ 3. ถาไมมสหสมพนธ คาของสมประสทธสหสมพนธเปน 0 สมประสทธสหสมพนธ (correlation coefficient) คาประมาณของสมประสทธสหสมพนธ คอสมประสทธสหสมพนธตวอยาง(sample correlation) r

r = yy

xx

yyxx

xy

S

Sb

SS

S

เพราะวา SSE = xyyy bSS ; yy

xy

yy S

Sb1

SSSE

yyyy

xy

SSSE1

S

Sb

yyyy

xy

xx

xy

SSSE1

S

S

S

S

yy

2SSSE1r

จาก SSE = xyyy bSS และ 0S

SbS

xx

2xy

xy เพราะฉะนน SSESyy และ 1

SSSE1r

yy

2



ขอควรจา 1. 0 2r 1 และ – 1 r 1 2. r มคา 1 เมอ SSE = 0 แสดงวาเสนถดถอยผานทก ๆ จด หรอไมมความเคลอนคลาดเลย 3. คาสงสดของ r คอ 1 คาตาสดของ r คอ –1 4. r มเครองหมาย + แสดงทศทางวาขอมลแปรตามกน 5. r มเครองหมาย – แสดงทศทางวาขอมลแปรคาสวนทางกน



สมประสทธสหสมพนธตวอยางมคาบวก

สมประสทธสหสมพนธตวอยางมคาลบ

สมประสทธสหสมพนธตวอยางมคาเทากบ 0



ตวอยางการแปรความหมายของขอมลจากคาสหสมพนธ 1. ถาคาสมบรณของ r ใกล 1 มาก แสดงวามความสมพนธเชงเสนอยางด 2. ถาคาสมบรณของ r ไมมากนก (ประมาณ 0.6) แสดงวามความสมพนธเชงเสนดพอสมควร 3. ถาคาสมบรณของ r ตากวาน แสดงวามความสมพนธเชงเสนนอย 4. ถาคาสมบรณของ r ใกล 0 (ประมาณ 0.1) แสดงวาไมม ความสมพนธเชงเสน 5. สาหรบคา r ทอยระหวาง –1 และ 1 เชน r = 0.3 และ r = 0.6 เราทราบวามสหสมพนธทเปนบวกทงค แตสหสมพนธคาหนงมากกวาอกคาหนง จะเปนการไมถกตอง ถาจะสรปวาเมอ r = 0.6 แสดงถงความสมพนธเชงเสนทเปน 2 เทาของคา r = 0.3 6. ถาพจารณาคาของ 2r จะไดวา 100 2r % ของการแปรผนในคาของ Y เปนผลเนองมาจากการมสมพนธเชงเสนกบตวแปร X ดงนนสหสมพนธทมคา 0.6 หมายความวา 36% ของการแปรผนของตวแปรสม Y เปนผลเนองมาจากมความสมพนธเชงเสนกบ ตวแปรสม X



ตวอยาง 9.5.1 ในการศกษาเรองสหสมพนธระหวางปรมาณอากาศเปนพษทถกกาจดออกไปดงขอมลทรวบรวมได คอ

ปรมาณนาฝนประจาวน ( x ) (0.01 นว)

ปรมาณอากาศเปนพษทกาจดออกไป (y) (ไมโครกรมตอลกบาศกเมตร)

4.3 126 4.5 121 5.9 116 5.6 118 6.1 114 5.2 118 3.8 132 2.1 141 7.5 108

จงคานวณสมประสทธสหสมพนธตวอยางและใหความหมายของสมประสทธสหสมพนธตวอยาง วธทา xxS = 19.26, yyS = 804.22, xyS = – 121.80 สมประสทธสหสมพนธ r = S

S Sxy

xx yy = 9786.0

(804.22) )26.19(80.121

แสดงวามความสมพนธเชงเสนอยางดยงระหวาง X และ Y และ 2r = 0.9581 กลาวไดวาประมาณ 95.81% ของการแปรผนในคาของ Y เปนผล เนองมาจากมความสมพนธเชงเสนกบตวแปร X



การทดสอบสมมตฐานสหสมพนธ = 0 ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน : = 0 : 0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถต Z หรอ t 4.1 ถา 0 0 แลวใชคาสถต Z = n 3

2 ln((1 r

1 r

)( 0

0

11

))

4.2 ถา 0 = 0 แลวใชคาสถต Z = n 3

2 ln(1 r

1 r

) หรอคาสถต t = r ระดบขนความเสร = n – 2

ขนท 5 คานวณคา

z คานวณ หรอ t คานวณ

0H

1H

2r1

2n



ขนท 6 การหาคาวกฤตและบรเวณวกฤต 6.1 กรณใชคาสถต Z คาวกฤตคอ –

2

z และ 2

z

และบรเวณวกฤต Z –2

z หรอ Z 2

z

6.2 กรณใชคาสถต t คาวกฤตคอ –2

t และ 2

t

และบรเวณวกฤต Z –2

t หรอ Z 2

t

ขนท 7 สรปผล 7.1 ถา

z คานวณ อยในบรเวณวกฤต แลว ปฏเสธ ทระดบ

นยสาคญ 7.2 ถา

t คานวณ อยในบรเวณวกฤต แลว ปฏเสธ ทระดบ

นยสาคญ หมายเหต กรณเปนการทดสอบแบบ 1 ทาง

1H : 0 1H : 0

คาวกฤต Z z z

บรเวณวกฤต Z z Z z คาวกฤต t

t t บรเวณวกฤต t t t t

0H

0H



ตวอยาง 9.5.2 ขอมลขางลางนแสดงปรมาณของยา x (หนวย : %) และเวลาทยาออกฤทธ y (หนวย : วนาท)

x y 1 1 2 1 3 2 4 2 5 4

จงทดสอบสมมตฐาน 0H : = 0.95 แยงกบ 1H : 0.95 กาหนดระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : = 0.95 1H : 0.95 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถต Z ขนท 5 คานวณคา

z คานวณ = n 3

2 ln((1 r

1 r

)( 0

0

11

))

การคานวณคาสถต z จากขอมลตวอยาง 15xi 10yi 55x 2

i 37yx ii 26y2

i

yyS = 6

51026

5

yy

22i2

i



xyS = 7

5)10)(15(

375

yxyx ii

ii

xxS = 10

51555

5

xx

22i2

i

904.0SS

Sr

yyxx

xy


2 ln((1 r

1 r

)( 0

0

11

))

= 5 32 ln((1 0.904

1 0.904

)(1 0.951 0.95

)) = –0.4731 ขนท 6 คาวกฤตคอ – 0.05z = –1.645 และ บรเวณวกฤตคอ Z – 1.645 ขนท 7 สรปผล เพราะวาคาสถต z คานวณ ไมอยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนน ยอมรบ 0H ทระดบนยสาคญ 0.05 เพราะฉะนนสมประสทธสหสมพนธประชากรมคาเทากบ 0.95 ทระดบนยสาคญ 0.05



ตวอยาง 9.5.3 จากตวอยาง 9.5.1 ใชระดบนยสาคญ 0.05 จงทดสอบสมตฐานวาตวแปรทงคไมมความสมพนธเชงเสนโดยใชคาสถต t และ Z วธทา การทดสอบโดยใชคาสถต t ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน : = 0 : 0 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถต t ขนท 5 คานวณคา

t คานวณ จากตวอยางขางตน

t คานวณ = 58.12)9786.0(1

299786.02

ระดบขนความเสร = 7 ขนท 6 คาวกฤต – 0.025, 7t = –2.365 และ 0.025, 7t = 2.365 บรเวณวกฤตคอ t – 2.365 หรอ t 2.365 ขนท 7 สรปผล เพราะวาคา t คานวณ อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนปฏเสธ 0H เพราะฉะนนตวแปรทงคมความสมพนธเชงเสน ทระดบนยสาคญ 0.05

0H

1H



การทดสอบโดยใชคาสถต Z วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน : = 0.95 : 0.95 ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถต Z ขนท 5 คานวณคา


2 ln((1 r

1 r

)( 0

0

11

))

z คานวณ = 9 3

2 ln((1 0.9786

1 0.9786

)(1 01 0

)) = 6

3ln( 0.0214

1.9786)

= –5.544 ขนท 6 คาวกฤตคอ 96.1z 025.0 และ 96.1z 025.0 บรเวณวกฤต Z – 1.96 หรอ Z 1.96 ขนท 7 สรปผล เพราะวา

z คานวณ อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนไมยอมรบ 0H

แสดงวาตวแปรทงคมความสมพนธเชงเสน ทระดบนยสาคญ 0.05 หมายเหต การทดสอบ 00 :H เมอ 0 0 ตองใช Z

0H

1H



ขอสงเกต 1. ในการพจารณาสหสมพนธ ในปญหาของการถดถอยเชงเสนผลทไดรบจะดเพยงใดกขนอยกบรปแบบทสมมตไว 2. ในเรองของสหสมพนธนเราสมมตวาตวแปร X และ Y มการแจกแจงปกตสองตวแปร คาเฉลยของ Y สาหรบแตละคาของ x จะมความสมพนธเชงเสนกบ x ทเราเรมดวยการเขยนแผนภาพการกระจายของขอมลทไดจากการทดลองเพอชวยในการตงสมมตฐานวาควรใชแบบเชงเสนหรอไม 3. ควรจาไววาสมประสทธสหสมพนธระหวางตวแปร 2 ตว คอคาทใชวดความสมพนธเชงเสน คา r = 0 แสดงวาไมมความสมพนธเชงเสน แตไมไดหมายความวาไมมความสมพนธกนเลยอาจจะมความสมพนธในรปอน เชน X และ Y มความสมพนธในรปของสมการกาลงสอง



ชดท 29 การวเคราะหความแปรปรวน การวเคราะหความแปรปรวน คอการทดสอบความแตกตาง ระหวางคาเฉลยของประชากรตงแต 2 ชดขนไป

เงอนไขของขอมลทสามารถวเคราะหความแปรปรวนได 1. ขอมลตองมการแจกแจงปกต 2. ขอมลทกกลมตองมความแปรปรวนเทากน 3. ขอมลแตละกลมตองเปนอสระตอกน

การวเคราะหความแปรปรวนทเราสนใจศกษาม 2 แบบคอ 1. แบบการจาแนกทางเดยว (one – way classification) 2. แบบทมการสมอยางสมบรณในแตละกลม (randomized complete block designs หรอ 2 – way classification)



การวเคราะหความแปรปรวนแบบการจาแนกทางเดยว

วธการปฏบต (Treatment) 1 2 ... j ... k 1

11x 12x ... j1x ... k1x

2 21x 22x ... j2x ...

k2x

: : : : : i

1ix 2ix ... ijx ... ikx

: : : : 11nx : ... : ... kknx

22nx : jjnx

รวม 1.T 2.T j.T

k.T ..T

ijx = คาสงเกตตวท i ซงเลอกจากวธการปฏบตท j j.T = ผลรวมของคาสงเกตจากตวอยางทมวธการปฏบตท j

..T = ผลรวมทงหมดของคาสงเกต



ขนตอนการคานวณ N = จานวนคาสงเกตทงหมด

SST = NT

x 2..2

ij

jn

1 i

k

1 j

SSTR = 2kj

jj 1

T

n.

–

2TN..

ทฤษฎบท SSE = SST – SSTR

MSTR = 1k

SSTR

MSE = SSE

N k

ทฤษฎบท ถา 0H : 1 = 2 = ... = k เปนจรง แลว

MSEMSTRF มการแจกแจงเอฟ

ระดบขนความเสร 1k1 , kN2



หมายเหต

SST = NT

x 2..2

ij

jn

1 i

k

1 j

= ( ijx แตละตวยกกาลงสองกอนแลวบวกกน) – ((( ijx ทกตวบวกกน) แลว ยกกาลงสอง) หารดวยจานวนคาสงเกตทงหมด) หมายเหต

SSTR =

N

Tn

T 2..

j

2j.k

1j

= ((ผลบวกในหลกท 1) ยกกาลงสอง) หารดวยจานวนสมาชก ในหลกท 1 + ((ผลบวกในหลกท 2) ยกกาลงสอง) หารดวยจานวน สมาชกในหลกท 2 + ... + ((ผลบวกในหลกท k) ยกกาลงสอง) หารดวยจานวนสมาชก ในหลกท k – ((( ijx ทกตวบวกกน) แลว ยกกาลงสอง) หารดวยจานวน คาสงเกตทงหมด)



ANOVA TABLE แหลงของการ

แปรผน (SOV)

ผลบวก กาลงสอง (SS)


(DF)

คาเฉลยของผลบวกกาลง

สอง (mean square)

(MS)

คาเอฟ ทคานวณ

ได (F)

วธการปฏบต (treatments)

SSTR k – 1 1k

SSTR MSTR

คานวณ f =

MSEMSTR

ความคลาดเคลอน (error)

SSE N – k SSEMSEN k

ทงหมด (total) SST N – 1



สรปการวเคราะหความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดยว ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : 1 = 2 = ... = k แยงกบ 1H : มคาเฉลยอยางนอย 2 คาไมเทากน ขนท 2. กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกคาสถต F ขนท 5 หาคาสถต F คานวณ (สรางตาราง ANOVA)


Treatments SSTR k – 1 1k

SSTR MSTR

f คานวณ = MSE

MSTR

Error SSE N – k SSEMSEN k

Total SST N – 1

ขนท 6 หาคาวกฤตและบรเวณวกฤต หาคา Sig. (1–tailed) คาวกฤตคอ , (k 1, N k)f บรเวณวกฤตคอ f , (k 1, N k)f ขนท 7 สรปผล 7.1 ถาคาสถต คานวณf มากกวาคาวกฤต แลว ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 7.2 Sig. (1–tailed) = P(F คานวณf ) ถา Sig. (1–tailed) แลว ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ



ตวอยาง 1 โรงงานผลตเชอกมเครองจกรเครองท 1, 2, 3, 4 ในการผลต สมขนาดตวอยาง 4, 5, 6, 5 จากเชอกซงผลตโดย เครองจกรเครองท 1, 2, 3, 4 ตามลาดบ แลวทดสอบความทนทานในการรบนาหนก (กโลกรม) ของเชอกเหลานนไดผลดงแสดงในตาราง

เครองท 1 เครองท 2 เครองท 3 เครองท 4 2 2 2 3 1 3 2 4 2 2 3 2 3 1 4 3 1 4 4 3

สมมต ความทนทานในการรบนาหนกของเชอกมการแจกแจงปกต และความแปรปรวนทกกลมมคาเทากน จงทดสอบวาความทนทานในการรบนาหนกเฉลยของเชอกซงผลตโดยเครองจกรทงสเครองตางกนหรอไม ทระดบนยสาคญ 0.05



วธทา ให j แทนคาเฉลยความทนทานในการรบนาหนกเฉลยของ เชอกซงผลตโดยเครองจกรเครองท j ; j = 1, 2, 3, 4 ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : 1 = 2 = 3 = 4 1H : มคาเฉลยอยางนอย 2 คาไมเทากน ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถตเอฟ ขนท 5 หาคา

f คานวณ โดยการสรางตาราง ANOVA

เครองท 1 เครองท 2 เครองท 3 เครองท 4 2 2 2 3 1 3 2 4 2 2 3 2 3 1 4 3

x 1.T = 8 2 .T = 9 3.T = 18 4.T = 16 . .T = 51

2x 18 19 58 54 149

จานวนขอมล N = 20



SST = NT

x 2..2

ij

jn

1 i

4

1 j

= ( 22 + 21 + 22 + 23 ) + ( 22 + 23 + 22 + 21 + 21 ) + ( 22 + 22 + 23 + 24 + 24 + 23 ) + ( 23 + 24 + 22 + 23 + 24 ) –

20512

= 18 + 19 + 58 + 54 – 20

512 = 18.950

SSTR = NT

n

T 2..

2j.

k

1 j

= 4

82 + 5

92 + 6

182 + 5

162 – 20

512 = 7.35

SSE = SST – SSTR = 18.95 – 7.35 = 11.6



ANOVA TABLE SOV SS DF MS F Sig. (1–tailed)Type 7.35 3 2.45 3.379 0.044 Error 11.60 16 0.725 Total 18.95 19

ขนท 6 คาวกฤตคอ f0.05, (3, 16) = 3.24

บรเวณวกฤต F 3.24 ขนท 7 สรปผล เพราะวา

f คานวณ = 3.379 ทคานวณไดตกอยในบรเวณวกฤต

เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 0.05 สรปผล มเครองจกรอยางนอย 2 เครองผลตเชอกทมคาเฉลยความทนทานแตกตางกน ทระดบนยสาคญ 0.05



การวเคราะหโดยใช Instat



ตวอยาง 2 วศวกรผหนงสนใจในการหาคาเฉลยของการดด ความชนในคอนกรตอดแรง 5 ชนด ไดนาตวอยางมาทดลอง ชนดละ 6 หนวย นาน 48 ชวโมงปรากฏผลดงน

ชนด 1 ชนด 2 ชนด 3 ชนด 4 ชนด 5 551 595 639 417 563 457 580 615 449 631 450 508 511 517 522 731 583 573 438 613 499 633 648 415 656 632 517 677 555 679

1 , 2 , 3 , 4 , 5 คอคาเฉลยประชากรของการดดความชน ในคอนกรตอดแรง 5 ชนดตามลาดบ จงทดสอบสมมตฐาน 0H : 1 = 2 = 3 = 4 = 5

1H : มคาเฉลยอยางนอย 2 คาไมเทากน ทระดบนยสาคญ 0.05



วธทา ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน 0H : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 แยงกบ 1H : มคาเฉลยอยางนอย 2 คาไมเทากน ขนท 2 กาหนดนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกคาสถต F ขนท 5 สรางตาราง ANOVA



ตาราง ANOVA SOV SS DF MS f คานวณ คอนกรตอดแรง

ความเคลอนคลาด

85356.4667

124021.3333

4

25

21339.117

4960.813

4.302

ทงหมด 209377.8000 29

ขนท 6 คาวกฤตคอ f0.05, (4, 25) = 2.76

บรเวณวกฤต F 2.76 ขนท 7 สรปผล เพราะวา คานวณ

f = 4.302 ทคานวณไดตกอยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนน ปฏเสธ 0H ทระดบนยสาคญ 0.05 สรปผล มคอนกรตอยางนอย 2 ชนดมคาเฉลยของการดดความชนไมเทากน ทระดบนยสาคญ 0.05



การวเคราะหความแปรปรวนแบบจาแนก 2 ทาง หรอการวเคราะหความแปรปรวน แบบทมการสมอยางสมบรณในแตละกลม (Randomized Complete Block Designs : RCB) รปแบบทวไปของการเกบขอมล

วธการปฏบต

1 2 ... j ... k รวม คาเฉลย

กลมท 1 11x 12x ... j1x ...

k1x .1T .1x

กลมท 2 21x 22x ... j2x ...

k2x .2T .2x

กลมท 3 31x 32x ... j3x ...

k3x .3T .3x

: : : : : : : กลมท i

1ix 2ix ... ijx ... ikx .iT .ix

: : : : : : : กลมท b

1bx 2bx ... bjx ... bkx .bT .bx

รวม 1.T 2.T ... j.T ...

k.T ..T คาเฉลย

1.x 2.x ... j.x ... k.x

..x

j. = คาเฉลยประชากรของวธการปฏบตท j, j = 1, 2, ... , b .i = คาเฉลยประชากรของกลมท i, i = 1, 2, ... , k



สมมตฐานของวธการปฏบต '

0H : 1. = 2. = 3. = ... = k. = '

1H : มคาเฉลยของวธการปฏบตอยางนอย 2 วธ ตางกน สมมตฐานของกลม "

0H : .1 = .2 = .3 = ... = .b = "

1H : มคาเฉลยของกลมอยางนอย 2 กลม ตางกน ijx คอคาสงเกตของวธการปฏบตท j ในกลมท i ijX เปนตวแปรสมอสระทมการแจกแจงปกต

ซงมคาเฉลย ij และความแปรปรวน 2 เหมอนกน j.x = คาเฉลยของวธการปฏบตท j ( thj treatment mean)

..x = คาเฉลยทงหมด (grand mean หรอ overall mean) .ix = คาเฉลยของกลมท i ( thi block mean) j.T = ผลรวมของคาสงเกตทได

จากวธการปฏบตท j ( thj treatment total) .iT = ผลรวมของคาสงเกตทไดจากกลมท i ( thi block total)

..T = ผลรวมทงหมด (grand total หรอ overall total)



ทฤษฎบท 10.2.1 SST = SSTR + SSBL + SSE

เมอ SST = k

j 1

b

i 1 2

ijx – 2T

bk..

SSTR =

k2j

j 1

T

b

.

– 2T

bk..

SSBL =

b2 i

j 1

T

k

.

– 2T

bk..

เพราะฉะนน SSE = SST – SSTR – SSBL



ANOVA TABLE แหลงของการ

แปรผน (SOV)

ผลบวก กาลงสอง

(SS)

ระดบขน ความเสร

(DF)

คาเฉลยของผล บวกกาลงสอง

(MS)

คาสถต

(F) วธการปฏบต (treatment)

SSTR k – 1 MSTR =

1 kSSTR

treatmentf

=

MSEMSTR

กลม (block)

SSBL b – 1 MSBL =

1 bSSBL

blockf =

MSEMSBL

ความเคลอนคลาด (Error)

SSE (k – 1)(b – 1) MSE =

)1b)(1k(SSE

ทงหมด (Total)

SST bk – 1



การวเคราะหความแปรปรวนแบบจาแนกสองทาง ขนท 1 กาหนดสมมตฐาน สมมตฐานของคาเฉลยของวธการปฏบต '

0H : 1. = 2. = 3. = ... = k. = '

1H : มคาเฉลย (ของวธการปฏบต) อยางนอย 1 คแตกตางกน สมมตฐานของคาเฉลยของกลม "

0H : .1 = .2 = .3 = ... = .b = "

1H : มคาเฉลย (ของกลม) อยางนอย 1 คแตกตางกน ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกใชคาสถต F ขนท 5 สรางตาราง ANOVA หาคา treatmentf และ blockf




Treatment SSTR k – 1 MSTR =

1kSSTR

treatmentf

= MSE

MSTR Block SSBL b – 1 MSBL =

1bSSBL

blockf

= MSE

MSBL Error SSE (k – 1)(b – 1) MSE =

)1b)(1k(SSE

Total SST bk – 1 ขนท 6 หาคาวกฤตและบรเวณวกฤต คาวกฤตของวธการปฏบตคอ ))1b)(1k( , 1k( , f บรเวณวกฤตของวธการปฏบตคอ f ))1b)(1k( , 1k( , f หาคานยสาคญของ treatmentf Sig. (1–tailed) = P(F treatmentf )

คาวกฤตของกลมคอ ))1b)(1k( , 1(b , f บรเวณวกฤตของกลมคอ f ))1b)(1k( , 1(b , f หาคานยสาคญของ blockf Sig. (1–tailed) = P(F blockf )



ขนท 7 สรปผลของวธการปฏบต ถา treatmentf อยในบรเวณวกฤต แลว ปฏเสธ '

0H ถา Sig. (1–tailed) แลว ปฏเสธ '

0H การรายงานผล มคาเฉลยของวธปฏบตอยางนอย 2 วธแตกตางกน ทระดบนยสาคญ

สรปผลของกลม ถา blockf อยในบรเวณวกฤต แลว ปฏเสธ "

0H ถา Sig. (1–tailed) แลว ปฏเสธ "

0H การรายงานผล มคาเฉลยของกลมอยางนอย 2 กลมแตกตางกน ทระดบนยสาคญ



ตวอยาง 10.2.1 ในการเปรยบเทยบประสทธภาพของ เครองจกร 4 ชนด ทใชผลตสนคาอยางหนง ไดจดเจาหนาท 5 คน ซงทางานดวยอตราเรวตางกน การใชเครองจกรเหลานตองการความสามารถพอควร เวลาทใชผลตสนคาเปรยบเทยบเครองจกร(หนวยเปน วนาท) คอจานวนวนาททงหมดทผลตจนสาเรจ ขอมลทไดมปรากฏอยในตารางท 10.10

เจาหนาท เครองจกร

1 2 3 4

1 44 38 47 36

2 46 40 52 43

3 34 36 44 32

4 43 38 46 33

5 38 42 49 39

จงทดสอบสมมตฐาน '0H ทระดบนยสาคญ 0.05 วาเครองจกรม

อตราเรวเฉลยเทากน และจงทดสอบสมมตฐาน "

0H วาเจาหนาททง 5 คน ปฏบตการ ดวยอตราเรวเฉลยอยางเดยวกน



วธทา j. = คาเฉลยของอตราเรวในการทางานของเครองจกรเครองท j ;

j = 1, 2, 3, 4 .i = คาเฉลยของอตราเรวในการทางานของเจาหนาทคนท i ;

i = 1, 2, 3, 4, 5 ขนท 1 กาหนดสมมตฐานของวธการปฏบต (เครองจกร) '

0H : 1. = 2. = 3. = 4. '

1H : มคาเฉลย (ของวธการปฏบต) อยางนอย 1 คแตกตางกน กาหนดสมมตฐานของกลม (เจาหนาท) "

0H : .1 = .2 = .3 = .4 = .5 "

1H : มคาเฉลย (ของกลม) อยางนอย 1 คแตกตางกน ขนท 2 กาหนดระดบนยสาคญ = 0.05 ขนท 3 สมตวอยาง ขนท 4 เลอกคาสถต F ขนท 5 สรางตาราง ANOVA หาคา และ treatmentf blockf



คานวณคา SST, SSTR, SSBL, SSE

เครองจกร เจาหนาท 1 2 3 4 รวม

1 44 38 47 36 .1T = 1652 46 40 52 43 .2T = 1813 34 36 44 32 .3T = 1464 43 38 46 33 .4T = 1605 38 42 49 39 .5T = 168

รวม 1.T = 205 2.T = 194 3.T = 238 4.T = 183 ..T = 820

SST = bkT x

22ij

b

1 i

k

1 j

= 000.57420

2820239233 ... 234246244

SSTR = bkT

b

T2

2.j

k

1 j

= 800.33820

8205

183238194205 22222

SSBL = bkT

k

T2

2.j

b

1 i

= 700.7320

8204

168160146 181165 222222

SSE = SST – SSTR – SSBL = 574.0000 – 338.8000 – 161.5000 = 73.700



ตาราง ANOVA แหลงของ การแปรผน

(SOV)

ผลบวก กาลงสอง

(SS)

ระดบขน ความเสร

(DF)

คาเฉลย ผลบวกกาลงสอง

(MS)

คานวณคาสถตเอฟ (F)

เครองจกร เจาหนาท ความคลาด

เคลอน

338.80 161.50 73.70

3 4 12

112.933 40.375 6.142

18.388 6.574

ทงหมด 574.00 19 ขนท 6 คาวกฤตและบรเวณวกฤตของวธการปฏบต (เครองจกร) คาวกฤตของ คอ 49.3f )12 , 3 , (05.0 และ บรเวณวกฤตคอ f 3.49 คาวกฤตและบรเวณวกฤตของกลม (เจาหนาท) คาวกฤตของ คอ 26.3f )12 , 4 , (05.0 และ บรเวณวกฤตคอ f 3.26



ขนท 7 สรปผลของวธการปฏบต (เครองจกร) เพราะวา 388.18ftreatment อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนปฏเสธ '

0H ทระดบนยสาคญ 0.05 สรปมเครองจกรอยางนอย 2 เครองมอตราเรวเฉลยไมเทากน ทระดบนยสาคญ 0.05

สรปผลของกลม (เจาหนาท) เพราะวาคาสถตเอฟ 574.6fblock อยในบรเวณวกฤต เพราะฉะนนปฏเสธ "

0H จงยอมรบ "1H ทระดบนยสาคญ 0.05

สรปมเจาหนาท 2 คนมประสทธภาพตางกน ทระดบนยสาคญ 0.05



การวเคราะหความแปรปรวนโดยใช Instat



จากตาราง ANOVA ของ Instat treatmentf = 18.4 Sig. (1–tailed) = P(F treatmentf ) = 0.000 เพราะวา 0.000 0.05 เพราะฉะนนปฏเสธ '

0H สรปมเครองจกรอยางนอย 2 เครองมอตราเรวเฉลยไมเทากน ทระดบนยสาคญ 0.05

blockf = 6.6 Sig. (1–tailed) = P(F blockf ) = 0.005 เพราะวา 0.005 0.05 เพราะฉะนนปฏเสธ "

0H จงยอมรบ "1H

สรปมเจาหนาท 2 คนมประสทธภาพตางกน ทระดบนยสาคญ 0.05



ชดท 30 การกาหนดขนาดตวอยาง การกาหนดขนาดตวอยางของการประมาณคา X เปนตวประมาณคาของ ขนาดตวอยาง n มผลกบความแตกตางของตวประมาณคา กบตวพารามเตอร

บทนยาม คาคลาดเคลอน e = X –

ทฤษฎบท 6.4.1 ถาใช X เปนตวประมาณคาของ เราสามารถเชอมน %100)1( วา ความคลาดเคลอนจะนอยกวา

nz

2

พสจน

เพราะวา 1)zZz(P22


1)z)

n(

Xz(P

22

1)n

zXn

z(P22

1)n

z|X|(P2



ทฤษฎบท 6.4.2 ถาใช x เปนคาประมาณของ เราสามารถเชอมน %100)1( วาคาคลาดเคลอนจะมขนาดนอยกวาคาท

กาหนด e เมอขนาดของตวอยางเทากบ 2

2e

z

พสจน เพราะวา 2

2e

z

n

เพราะฉะนน 2

zne

เพราะวา )e |X| (P = )e Xe (P

)

)n

(

e

)n

(

X

)n

(

e(P

)neZne(P

)zZz(P

22

1 เพราะฉะนน P( X – e) = 1 – นนคอถาใช x เปนคาประมาณของ เราสามารถเชอมน %100)1( วาคาคลาดเคลอนจะมขนาดนอย

กวาคาทกาหนด e เมอขนาดของตวอยางเทากบ 2

2e

z



หมายเหต ตามทฤษฎบท 6.4.2 ในการกาหนดขนาดตวอยางจากเปอรเซนตของความเชอมนนนจะตองทราบคาของ ถาเราไมทราบคากจาเปนทจะตองสมตวอยางเบองตนมา 1 ชดกอนเพอหาคา s โดยใชตวอยางขนาด n 30 คา s ทไดจงเปนคาประมาณของ



ตวอยาง 1 กาหนดให = 40 ถาตองการมความเชอมน 95% วาคาประมาณของ จะผดพลาดจากคา ทแทจรงนอยกวา 10 ชวโมง จะตองใชตวอยางขนาดเทาใด วธทา เพราะวา (1 – )100 = 95 เพราะฉะนน 025.0

2

เพราะวา 96.1z 025.0 , = 40 และ e = 10

โดยทฤษฎบท 6.4.2 เลอก 2

2e

z

n


2e

z

n

= 21.96(40)

10

= 61.47 เนองจากเราตองการคา n ททาใหมความเชอมน 95% วาคาประมาณของ จะผดพลาดจากคา ทแทจรงนอยกวา 10 ชวโมง ดงนนการปดเศษของคา n ตองปดเศษขน เพราะฉะนนตองใชขนาดตวอยางเทากบ 62



ตวอยาง 2 กาหนดให = 0.3 จากผลของการสมตวอยางเบองตนในตวอยาง 6.3.2 ถาตองการใหคาประมาณของ มคาคลาดเคลอนจากคา ทแทจรงนอยกวา 0.05 ดวยความเชอมน 95% จะตองใชตวอยางขนาดเทาใด วธทา เพราะวา (1 – )100 = 95 เพราะฉะนน

2 = 0.025, 0.025z = 1.96

= 0.3 และ e = 0.05

เลอก 2

2e

z

n


2e

z

n

= 2

05.0)3.0)(96.1(

= 138.3

เนองจากเราตองการคา n ททาใหมความเชอมน 95% วาคาประมาณของ จะผดพลาดจากคา ทแทจรงนอยกวา 10 ชวโมง ดงนนการปดเศษของคา n ตองปดเศษขน เพราะฉะนนตองใชขนาดตวอยางเทากบ 139

หมายเหต ขนาดตวอยางทคานวณไดตองปดเศษขนเสมอ คาคลาดเคลอนจงจะนอยกวาคาทกาหนด



การกาหนดขนาดตวอยางของการประมาณคาสดสวน p บทนยาม คาคลาดเคลอน e = p – p ทฤษฎบท 6.6.1 ถาใช p เปนคาประมาณของ p เราสามารถ เชอมนได %100)1( วาคาคลาดเคลอนจะนอยกวา

nqp

z2

พสจน

เพราะวา 1)zZz(P22

และ P

PPZ


1)zP

z(P2P

P

2

1)z

nqp

pPz(P

22

1)nqp

zpPnqp

z(P22

1)nqp

z|pP|(P2

เพราะฉะนนถาใช p เปนคาประมาณของ p เราเชอมนได %100)1(

วาคาคลาดเคลอนจะนอยกวา nqp

z2



ทฤษฎบท 6.6.2 ถา p เปนคาประมาณของ p เราสามารถเชอมนได %100)1(

วาคาคลาดเคลอนจะนอยกวา e เมอขนาดตวอยาง 2

2

2

e

qpz

n

พสจน เพราะวา 2

2

2

e

qpz

n

เพราะฉะนน e

z

nqp 2

ซงจะได nqp

ez2

เพราะวา )epPe(P)e|pP|(P

)

nqp

e

nqp

pP

nqpe(P

)z

nqp

pPz(P

22

)zZz(P22

1 ถา p เปนคาประมาณของ p เราสามารถเชอมนได %100)1(

วาคาคลาดเคลอนจะนอยกวา e เมอขนาดตวอยาง 2

2

2

e

qpz

n



ขอควรจา 1. การหาคา p อาจจะไดจากการประมาณคาอยางหยาบ ๆ โดยไมตองสมตวอยาง ตวอยางเชน สดสวนการขนหวของเหรยญ p = 0.5 สดสวนการขนแตม 1 ของลกเตา p =

61

2. กรณทตองใชตวอยางเพอหาคา p กจะตองใชตวอยางทมขนาดเกนกวา 30 และนามาใชในการกาหนดคาขนาดตวอยางตามเปอรเซนตของความเชอมน และ ขนาดของคาคลาดเคลอน ขอบเขตสงสดของขนาดตวอยาง n อาจสรางขนสาหรบความเชอมนแคไหนกได 3. โดยใช )p1(pqp ซง n มคามากทสดเมอใช

41qp

อนเปนคามากทสดของผลคณ p กบ q เมอทราบวาผลบวก p + q = 1 4. นอกจากนนเรายงพสจนไดวา ผลคณของ p กบ q จะมคามากทสด กตอเมอ

21qp

หมายเหต 0x , 0y , x + y = 1 xy = x(1 – x) = – ( xx2 ) = – ( xx2 +

41 ) +

41

= – 41)

21x( 2

41

xy = 41 กตอเมอ

21yx



ทฤษฎบท 6.6.3 ถา p เปนคาประมาณของ p เราสามารถเชอมนอยางนอย %100)1( วาคาคลาดเคลอนนอยกวา e

เมอขนาดตวอยาง 2

2

2

e4

z

n

พสจน เพราะวา

41)p

21(

41pp)p1(pqp 22

เพราะฉะนน qp

12 และ 2qp

1

เพราะฉะนน qpenen2 และ en2

qpen

และ )qpenZ

qpen(P)en2Zen2(P



2

2

2

e4

z

n

จะได en2z2

เพราะวา ˆ ˆP( |P p| e) P( e P p e)

= P pe eP( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆpq pq pqn n n

)qpen Z

qpen (P

e)n2Z en2P(

)z Zz(P22

1 เพราะฉะนน

ˆP( |P p| e) 1 เพราะฉะนน ถา p เปนคาประมาณของ p เราสามารถเชอมนอยางนอย %100)1(

วาคาคลาดเคลอนนอยกวา e เมอใชขนาดตวอยาง 2

2

2

e4

z

n



ตวอยาง 3 จากตวอยาง 6.6.1 จะตองใชตวอยางขนาดเทาไร (ก) ถาตองการเชอมนได 95% วาตวประมาณคาของ p จะหางไกลจาก p นอยกวา 0.02 (ข) ถาตองการเชอมนอยางนอย 95% วาตวประมาณคาของ p จะหางไกลจาก p นอยกวา 0.02 วธทา (ก) เพราะวา p = 0.32

เพราะฉะนน n = 2

2

)02.0(

)68.0)(32.0()96.1(

= 2089.8304 2090

(ข) ถาตองการเชอมนอยางนอย 95%

เพราะฉะนนเลอก n = 2

2

)02.0(4

)96.1( = 2401

หมายเหต ขนาดตวอยาง n เมอคานวณไดแลวหากไมเปนจานวนเตมใหปดเศษขนเสมอ

สตรสถต1

n

XZ 0

σµ−

=2

npq

pPZ −=

3

222

111

212 1

n)p1(p

n)p1(p

)pp()PP(Z

−+

−

−−−=

4

2

22

1

21

2121

nσ

nσ

)µ(µ)XX(Z

+

−−−= 5

)n1

n1)(P1(P

PPZ

21

2 1

+−

−=

62121

nnXX

P++

=

7

ns

Xt 0µ−= , 1n −=ν

--------------------------------------x เปนตวแปรสมทวนาม

n x n xb(x,n,p) p (1 p)x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−= −

npµ = , 2 np(1 p)σ = −

8

21p

2121

n1

n1S

)()XX(t

+

µ−µ−−=

2nn 21 −+=ν

22n1n

22S)12n(2

1S)11n(pS

−+

−+−=

9

2n

22S

1n

21S

)21()2X1X(t

+

µ−µ−−=

)12n(12)

2n

22S

()11n(

12)1n

21S

(

2

2n

22S

1n

21S

−+

−

+

=ν⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

10

nS

dDtd

0−= , 1n −=ν 11

2

22 S)1n(

σ

−=χ , 1n −=ν

12

22

22

21

21

S

S

F

σ

σ= , 1n11 −=ν , 1n 22 −=ν

13 2

2e

z

n⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ σ

=α 14

2

2

2e

qpz

nα

=

15

2

2

2e4

z

nα

=

16

∑∑

∑=

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=−=n

1 i

2n

1 ii

2i

n

1 i

2ixx n

x

x)xx(S

∑∑

∑=

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=−=n

1 i

2n

1 ii

2i

n

1 i

2iyy n

y

y)yy(S

∑∑∑

∑=

==

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=−−=n

1 i

n

1 ii

n

1 ii

iin

1 iiixy n

yxyx)yy( )xx(S

17

2n

1 ii

n

1 i

2i

n

1 ii

n

1 ii

n

1 iii

x xn

yxyxnb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

∑∑

∑∑∑

==

===

2n

1 ii

in

1 ii

)xx(

)y (y )xx(b

−

−−

=

∑

∑

=

=

xx

xySS

b =

18 xbya −=

xyyy bSSSSE −=

2nSSES2−

=

19)

SS(

Bt

xx

β−= , 2n −=ν

20

xx

n

1 i

2i

nS

x S

At

∑=

α−= , 2n −=ν

21yyxx

yyxx

xySS

bS S

Sr ==

222r12nrt

−−= , 2n −=ν

23⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ρ+ρ−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+−=

11

r1r1ln

23nZ

24∑=

−=χ

k

1 i i

2ii2

e)eo( , ∑

=−=χ

k

1 i i

2i2 N

eo

1mk −−=ν

25∑ ∑= =

−=χ

r

1 i

c

1 j ij

2ijij2

e)eo(

)1c)(1r( −−=ν

2561 1st 286 sheet 16 30...

Documents