momenti inercija13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA TAPA

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHAKao to pri aksijalnom optereenju tapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, izmeu ostalog, od povrine poprenog presjeka, tako kod savijanja tapa vanu ulogu imaju aksijalni i centrifugalni momenti inercije poprenog presjeka tapa s obzirom na os kroz teite presjeka, a pri uvijanju polarni moment inercije s obzirom na teite presjeka.

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHAU statici krutih tijela pri odreivanju teita statikim momentima ravne figure povrine F s obzirom na bilo koje osi x i y nazivamo dvostruke integrale:

Njihova je dimenzija [cm3].

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHAOznaimo li koordinate teita S figure u sustavu 0xy sa x0 i y0, moemo prema Varignon-ovom teoremu napisati:

odatle dobivamo koordinate teita

Za teine osi xs i ys tada je:

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHAMomenti inercije ravne plohe povrine F (geometrijski momenti inercije, momenti povrina drugog reda, kvadratni momenti povrina) s obzirom na osi x i y (aksijalni momenti inercije) odreeni su izrazima:

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHAPolarnim momentom inercije ravne plohe povrine F, s obzirom na pol O nazivamo dvostruki integral:

Kako je , izraz za polarni moment inercije je:

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHAZamislimo da smo osi x i y (b) zakrenuli oko nepomine take 0, tako da su one opet meusobno okomite. Tada e suma Ix + Iy biti opet jednaka konstantnoj vrijednosti Ip. Prema tome, suma Ix + Iy ne zavisi od poloaja ishodita 0 koordinatnog sustava.

Algebarska suma aksijalnih momenata inercije Ix i Iy ravne plohe, s obzirom na dvije proizvoljne meusobno okomite osi x i y to prolaze kroz istu toku, konstantna je i jednaka polarnom momentu inercije Ip s obzirom na os (z), koja prolazi kroz toku 0 i stoji okomito na ravninu plohe.

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHACentrifugalnim (devijacionim) momentom inercije Ixy ravne figure povrine F, s obzirom na dvije meusobno okomite osi to lee u ravnini figure (b), nazivamo dvostruki integral:

Iz (c) moe se zakljuiti da ako je jedna od osi, os simetrije povrine F, onda je centrifugalni moment jednak nuli. To je zato to je svakoj vrijednosti izraza xydF s pozitivnim predznakom pridruen izraz jednake apsolutne vrijednosti ali sa suprotnim predznakom.

STATIKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHAAksijalni, polarni i centrifugalni moment inercije imaju dimenziju [L4] i obino se mjere u cm4 ili mm4 (u brodogradnji i pomorstvu pri proraunu stabiliteta broda mjere se u m4).

Te veliine igraju vanu ulogu u nauci o vrstoi, a napose u teoriji savijanja i uvijanja. Aksijalni i polarni momenti inercije uvijek su pozitivni, dok centrifugalni momenti mogu biti pozitivni, negativni ili jednaki nuli.

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE1. PRAVILO O ZBRAJANJU MOMENATA INERCIJE

Ako je ravna ploha sastavljena od vie dijelova, onda je njezin moment inercije, s obzirom na os x koja lei u ravnini plohe, jednak algebarskoj sumi momenata inercije pojedinih dijelova s obzirom na istu os (a), to moemo izraziti ovako

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE2. PRAVILO O POMAKU DIJELOVA PRESJEKA

Moment inercije presjeka s obzirom na bilo koju os ne e se promijeniti ako cijeli presjek ili pojedine njegove dijelove pomaknemo u pravcu paralelnom s tom osi.

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJENa slici se vidi da se paralelnim premjetajem sastavnih dijelova pravokutnog okvira mogu dobiti profili razliita oblika. Kako se pri takvom premjetanju ne mijenjaju ni veliine tih dijelova niti njihove udaljenosti od osi x, to znai da se ne mijenja ni aksijalni moment tih profila s obzirom na istu os x.

Za sve profile na slici vrijedi izraz za aksijalni moment inercije s obzirom na os x:

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE3. PRAVILO O PRIJENOSU MOMENTA INERCIJE

Moment inercije presjeka s obzirom na os x', koja je paralelna s osi kroz teite presjeka, jednak je momentu inercije tog presjeka s obzirom na teinu os, plus umnoak iz povrine presjeka i kvadrata udaljenosti osi x' od teine osi (Steiner-ovo pravilo).

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJEDokaz Steiner-ovog pravila

Moment inercije povrine prema slici u odnosu na os x moe se odrediti prema relaciji:

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJEPrvi lan relacije

predstavlja moment inercije u odnosu na paralelnu os kroz teite presjeka xs.

Drugi lan izraza

je statiki moment povrine u odnosu na vlastito teite te je prema definiciji jednak nuli.

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJETrei lan izraza

to znai da je ukupni aksijalni moment inercije u odnosu na os x odreen izrazom

to odgovara definiciji Steiner-ovog pravila.

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJEPrimjer: Proraun momenta inercijeza pravokutni presjek za osi kroz teite presjeka te proraun momenta inercije za os x:

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJEMoment inercije pravokutnog presjeka prema slici u odnosu na os x koja prolazi kroz teite presjeka S moe se odrediti kako slijedi:

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJEAnalogno vrijedi izraz za moment inercije s obzirom na os y koja prolazi kroz teite presjeka S:

Aksijalne momente inercije u odnosu na osi x i y odreujemo prema Steiner-ovom pravilu:

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE

i analogno vrijedi za os y

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJEPolarni moment inercije s obzirom na teite S je:

Kako se radi o simetrinom presjeku centrifugalni moment inercije jednak je nuli.

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJEOsim momenata inercije, u primjeni je esto vaan i moment otpora presjeka definiran relacijom:

gdje je: - Wx aksijalni moment otpora presjeka s obzirom na os kroz teite, - e je najvea udaljenost konture presjeka od osi kroz njegovo teite, - dimenzija momenta otpora je [cm3, mm3].

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE4. CENTRIFUGALNI MOMENTI INERCIJE Centrifugalni moment inercije presjeka s obzirom na dvije meusobno okomite osi, koje su paralelne s osima kroz teite presjeka, jednak je centrifugalnom momentu inercije toga presjeka s obzirom na teine osi, plus umnoak iz povrine presjeka i razmaka izmeu oba para paralelnih osi.

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJEIz pravila koja odreuju promjene momenata inercije pri translaciji koordinatnog sustava,moe se zakljuiti da:

a) Od svih momenata inercije ravne plohe s obzirom na paralelne osi najmanju vrijednost ima moment inercije s obzirom na os to prolazi kroz teite plohe.

b) Momenti inercije ravne plohe s obzirom na dvije paralelne osi, koje su jednako udaljene od teita, imaju jednake vrijednosti,

c) Polarni moment inercije ravne plohe ima najmanju vrijednost ako se pol nalazi u teitu plohe,

d) Za centrifugalni moment ne postoji minimum.