7/24/2019 215526_turunan1

1/29

KELAS XI SEMESTER GENAP

7/24/2019 215526_turunan1

2/29

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsidalam pemecahan masalah

Standar

Kompetensi

Kompetensidasar

Indikator

Menggunakan konsep dan aturan turunan dalamperhitungan turunan fungsi

1. Menghitung fungsi yang mengarah ke konsep turunan2. Menjelaskan arti sis (sebagai laju perubahan dan

arti geometri turunan di satu titik.!. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan

menggu nakan defenisi turunan.". Menentukan sifat#sifat turunan fungsi$. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri

dengan menggunakan sifat#sifat turunan%. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan

rantai

7/24/2019 215526_turunan1

3/29

h

xfhxfmPQ

)()( +=

Turunan di satu titik&endahuluan ( dua masalah dalam satu tema

a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQadalah '

f( &

)*h

f(*h+

h

f(*h#f(

,ikax+hx- maka tali busur PQakan berubah menjadi garissinggung di ttk Pdgn kemiringan

h

f(x)h)f(xm

h

+=

0lim

7/24/2019 215526_turunan1

4/29

b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinatsehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s= f(t). Pada

saat t = c benda berada di f(c)dan saat t = c+ h benda

berada di f(c+h).

c

c*h

&erubahan aktu &erubahan

posisi

s

f(c

f(c*h

h

cfhcfv ratarata

)()( +=

Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h adalah

7/24/2019 215526_turunan1

5/29

!ika h ", diperoleh kecepatan sesaat dix= c#

$ntuk kecepatan sesaat di se%barang te%pat dapat

&ituliskan sebagai berikut

&ari dua bentuk diatas # ke%iringan garis singgung dankecepatan sesaat terlihat bahwa dua %asalah tersebutberada dala% satu te%a, yaitu turunan #

Definisi :'urunan perta%a (ungsi f(x) dinotasikan denganlambang f(x) dan dide(inisikan sebagai berikut #

h

cfhcfvv

hratarata

h

)()(limlim

00

+==

h

f(x)h)f(xxf

h

+=

0lim)('

h

xfhxfvv hrataratah

)()(limlim 00

+==

7/24/2019 215526_turunan1

6/29

)otasi dari turunan (ungsi (* #

)(),(',)(

Leibnitzasidisebutnotdx

dybentuk

dx

dyxy

dx

xdf

0)(lim)()(

lim00

=

=+

h

ccit

h

xfhxfit

hh

1)(lim)()(

lim00

=+

=+

h

xhxit

h

xfhxfit

hh

))((lim)()(lim22

00 hxhxit

hxfhxfit

hh+=+

xh

hxhit

h

xhxhxit

hh2

)2(lim

)2(lim

0

222

0=+=++=

-. (* =

!awab # (* =

/ontoh #

&iketahui (* tentukan (* jika #

-. (* =

!awab # (* =

-. (* = /!awab # (* =

7/24/2019 215526_turunan1

7/29

-. (* = 0

!awab # (* = hxhx

ith

xfhxfit

hh

))(lim

)()(lim

33

00

+=+

222

0

33223

0

333(

lim33

lim xh

hxhxhit

h

xhxhhxxit

hh

=++

=+++

=

-. (* = n

!awab # (* =h

xhxith

xfhxfitnn

hh

))(lim)()(lim00

+=

+

h

xhhhnxxit

nnnn

h

++++=

...(...)lim

21

0

111

0

)...(...)(lim

=

+++=

nnn

h

nxh

hhnxhit

7/24/2019 215526_turunan1

8/29

1

23

2

)(')(

3)(')(

2)(')(

1)(')(

0)(')(

==

==

==

==

==

nn nxxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

xfxxf

xfcxf

1)(')( ==

nnnaxxfaxxf

Secara u%u% dapat diru%uskan jika #

$ntuk #

7/24/2019 215526_turunan1

9/29

/ontoh Soal #

'entukan turunan dari (* jika #

a. (* = + 0 - 1

b. (* = 152

32

++xx

x

!awab #

a. (* = + 0 - 1 (* = 2 + 0

b. (* =

1523 12 ++= xxx (* = 0 3 2-0+1-

152

32 ++

xx

x

23

543

xx+=

7/24/2019 215526_turunan1

10/29

Soal

'entukan 'urunan dari (ungsi (* di bawah ini #

4. (* = 12+-0 +5

. (* = 6+ 1

0. (* = 0-+ 2-0+ 2

2. (* =

1. (* = * + 0

5. (* =

6. (* =

73

2323

32

4 +++xx

xx

22 )12( x

+

33

2223 3

2 +++x

xxx

7/24/2019 215526_turunan1

11/29

&engan %enggunakan de(inisi tersebut dapat diturunkan

aturan untuk mencari turunansebagai berikut #

4.

.

0. dengan g*x 7 ".

( )(x)g(x)f

dx

g(x)f(x)d '' +=+

( ) )()()()()()( '' xgxfxgxf

dx

xgxfd +=

( )

)(

)()()()(2

'')(

)(

xg

xgxfxgxf

dx

d xgxf

=

7/24/2019 215526_turunan1

12/29

/ukti aturan ke#2

Misal u( 0 f(.g(

h

xuhxuxu

h

)()(lim)('

0

+=

h

xgxfhxghxf

h

)()()()(lim

0

++=

h

xgxfxghxfxghxfhxghxf

h

)()()()()()()()(

lim0

+++++

=

+++

++=

h

xfhxfhxg

h

xghxghxf

h

)()()(

)()()(lim

0

h

xfhxfhxg

h

xghxghxf

hhhh

)()(lim)(lim

)()(lim)(lim

0000

+++

++=

)(')()(')( xfxgxgxf +=

)(')()()(' xgxfxgxf +=

7/24/2019 215526_turunan1

13/29

13)(

2 ++=

xxxf

22

22

1

261

)x(

xxx

++=

22

2

1

3211

)x(

)x(x)x.()x('f

+

++=

!.entukan turunan pertama dari

.)x(

xx

22

2

1

16

+

+=

ontoh

1. entukan turunan pertama dari 43)( 23

++= xxxf,aab '

02.33)(' 2 ++= xxxf xx 63 2 +=

2. entukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 +++= xxxxf

,aab '

)22)(1()32(3)(' 322 +++++= xxxxxxf

2222963 34234 ++++++= xxxxxx

22985 234 ++++= xxxx

,aab '

7/24/2019 215526_turunan1

14/29

entukan fungsi turunan pertama dari

)12()1()( 3 +++= xxxxf

1

1)(

+=

x

xxf

1)(

2 =

x

xxf

1

1)(

2

2

+

=x

xxf

1)( 3 22/1 ++= xxxf1.

2.

!.

".

$.

7/24/2019 215526_turunan1

15/29

89

:

/

&

9/= cos ; /:= sin

Perhatikan ga%bar di sa%ping.

Misalkan =89: adalah sudut pusat lingkarandengan jari jari =4.

Sektor /9& cos< > sin cos < > .4

:agi dengan > cos ? " diperoleh;

cos

1sincos

!ika @" %aka cos @4 sehingga # 1sin

lim10

it

Sehingga # 1sin

lim0

=

it

7/24/2019 215526_turunan1

16/29

xxfxxfa cos)('sin)(. ==

xxfxxfb sin)('cos)(. ==

h

xhxxf

h

sin)sin(lim)('

0

+=

h

hhx

h

)2

sin().2

cos(2lim

0

+=

.cos

1.cos

x

x

==

:ukti#

a. Misal (* = sin %aka

)

2

)

2

sin(

).(2

cos(lim0 h

h

hxh +=

7/24/2019 215526_turunan1

17/29

b. Misal f( 0 cos maka

h

xhxxf

h

cos)cos(lim)('

0

+=

h

xhxhx

h

cossin.sincoscoslim

0

=

h

hxhx

h

sinsin)1(coscoslim

0

= h

hx

h

hx

h

sinsin

)2

sin(cos

lim

2

0

=

)sin

sin4)2/(

)2

sin(cos(lim

2

2

0 h

hx

h

hh

x

h

=

h

hx

h

h

hx

hh

sinlimsin

42/

)2/sin(limcos

0

2

0)2/(

=

x

xx

sin

1.sin0.cos

==

7/24/2019 215526_turunan1

18/29

3ntuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh

4engan menerapkan rumus perhitungan turunan- khususnyaturunan bentuk u56

( ) ( )dx

d

dx

xdc

xx

cossin

tan. =

x

xx2

22

cos

sincos +=

x2cos

1= x2sec=

( ) ( )dx

d

dx

xdd

xx

sincos

cot. =

x

xx2

22

sin

cossin =

x2sin

1= x2csc=

( ) ( )dx

d

dx

xde

xcos1sec

. =x

x2cos

sin=

xx

x

cos

1

cos

sin= xx sectan=

( ) ( )dx

d

dx

xdf

xsin1csc

. = xx

2sin

cos=

xx

x

sin

1

sin

cos= xx cotcsc=

7/24/2019 215526_turunan1

19/29

Soal Aatihan

'entukan turunan dari (ungsi (* berikut ini #

a. (* = sin 0 + cos

b. (* = sin

c. (* = sin

d. (* = 0 cos

e. (* = tgn

(. (* = tgn

g. (* = > tan sin

7/24/2019 215526_turunan1

20/29

Andaikany f(u) dan ug(x). !ika

dx

du

du

dy

dx

dy=

du

dy

dx

du

dx

dy)1sin( 2 += xy

12 += xu

xdx

du2=

uy sin=

udu

dycos=

)1cos(2 2 += xxxxdx

dy2)1cos( 2 +=

Barena

dan ada ,

/ontoh 4# 'entukan dari

!awab #Misal # sehingga bentuk diatas %enjadi

dan

%aka

7/24/2019 215526_turunan1

21/29

/ontoh #

'entukan turunan dari # y = *0+22

!awab #

Misal u=*0+2 %aka

&an y= u2 %aka

xdx

du

6=

34udu

dy=

sehingga #

dx

du

du

dy

dx

dy.= = 5.2u0

= 5.2*0+20

= 2.*0+20

adalah y= 2.*0+20'urunan dari y = *0+22

!ika (*= un %aka (*=nuun-4

7/24/2019 215526_turunan1

22/29

dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy=

,ika y 0 f(u- u 0 g(6- 6 0 h(- dan

dx

dv

dv

du

du

dy,, 7da- maka

ontoh !' entukandx

dy)5( 34 += xSinydari

53 += xv23x

dx

dv=

,aab '

Misal u = Sin v )5cos(cos 3 +== xv

dv

du

4uy= )5(44 333 +== xSinu

dudy

sehingga

)5()5(12.. 3332 ++== xCosxSinxdx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy

7/24/2019 215526_turunan1

23/29

( )y x= 2 310

y x=sin3

( )xxy = 24 4cos2

1

1

+

=x

xy

7. entukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x2 +1 ]

yx x

x x=

+

+

2

2

2 5

2 31.

2.

!.

".

$.

%.

( )y x= sin 2 1( )y x= 2 34

y

x

x= + 1

( )y x= cos2

/.entukan turunan keduadari

1.

2.

!.

".

7/24/2019 215526_turunan1

24/29

$ntuk %enentukan persa%aan garis singgung pada kurCa.

'elah disinggung didepan bahwa gradien garis singgung pada suatuBurCa (* adalah turunan perta%a dari (ungsi terebut #

% = (* =dx

dy

/ontoh Soal#

'entukan nilai gradien garis singgung pada kurCa #

a. y = -0 +2 di titik 8. * ,

b. y = sin untuk = 3

1

!awab #

a. y = -0 +2 gradien % = y = 3 0 di titik * ,

% = y = . 3 0 = 4

b. y = sin gradien % = y = cos untuk =

% = cos = >

3

1

3

1

7/24/2019 215526_turunan1

25/29

Pe%akaian Dradien untuk %enentukan persa%aan garis singgung

'erhadap suatu kurCa di titik tertentu .

Misalkan titik P*4,y4 terletak pada kur(a (*, %aka persa%aan

Daris singgung yang %elalui titik P pada kurCa (* dituliskan sbb#

E 3 y4 = (* * 3 4

/ontoh soal #

'entukan persa%aan garis singgung pada kurCa (* = 03 + 0

&ititik P*,6.!awab #

Dradien garis singgung = % = (* = 03 di titik * ,6 %aka % = (* = 4"

Persa%aan garis singgungnya ,

E 3 y4 = (**-4 yaitu y 3 6 = 4" * 3

y 3 6 = 4" 3 "

y = " - 40

7/24/2019 215526_turunan1

26/29

!ika l4 garis yang %e%iliki gradien %4; dan l garis yang %e%iliki

Dradien %, %aka hubungan antara %4 dan % terhadap kedudukanDaris l4 dan l adalah sebagai berikut #

!ika l4 sejajar l %aka nilai %4 = % dan

!ika l4 tegak lurus l %aka nilai %4.% = -4

/ontoh soal #

'entukan persa%aan garis singgung pada kurCa (* = 3 0 +

Eang sejajar terhadap garis y= 0 + 2

!awab #

Dradien garis singgung = % = (* = 3 0 sejajar garis y = 0 + 2 %4 = % = 0 %aka 3 0 = 0 ; = 0

untuk = 0 nilai y = 03 0.0 + = %aka titik singgungnya di * 0,

Persa%aan garis singgung yang ditanyakan adalah #

E 3 = 0 * 3 0

E = 0 3 44

7/24/2019 215526_turunan1

27/29

Selain digunakan untuk %enentukan gradien garis singgung,

turunan !uga digunakan untuk %enentukan kelajuan. !ika suau

Cariabel ada lah (ungsi dari waktu laju perubahan terhadap

waktu dinyatakan &ala% dFdt.

/ontoh soal #

Mobil %eluncur dengan %e%bentuk (ungsi S = 1" 3 0t 3 t

,tentukan Becepatan %obil saat t=0.

!awab.

Becepatan = C = dSFdt = -0 3 2t saat t = 0

Maka C = -0 -2.0

= - 41

7/24/2019 215526_turunan1

28/29

/ontoh soal #

8ir %engalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 1 c%0

s-4

!ari-jari dasar corong adalah 4" c% dan tingginya " c%. hitung

kelajuan air saat ketinggian air turun berjarak 1 c% dari puncak.

4"

"r

h

9

8 :

/ &

Segitiga 98: sebangun dengan segitiga 9/&

%aka rF4" = hF" sehingga r = > h

hrv 2

3

1= Barena r = > h %aka

3

12

1 hv =

&iketahui dCFdt = 1 c%0s-4

dt

dhh

dt

dv 2

4

1=

dt

dhh2

4

15 =

2

20

hdt

dh

=

8ir berjarak 1 c% dari puncak

Maka air telah turun sejauhh = " 3 1 = 41 c%

Maka kelajuan air yang ditanyakan adalah #

.45

4

15.15.

5.4

15

202

===dt

dhc%0s-4

7/24/2019 215526_turunan1

29/29

S98A A8'GH8)

4.'entukan persa%aan garis singgung pada kurCa (*= 2

+ 4 3 1&i titik * 4, 44

.'entukan persa%aan garis singgung pada kurCa (* = 0 - 0 3

Eang sejajar dengan garis y = - 6

0.'entukan pesa%aan garis singgung pada kurCa (* = 3 5 + 2

Eang tegak lurus dengan garis y= > - 12.'entukan persa%aan garis singgung pada lingkaran berpusat di *","

yang berjari jari 1 dan %elalui titik P*0,2.

1.Sebuah beban w diikatkan pada tali sepanjang 41%, yang %elewati

Batrol di p berjarak 5% di atas tanah,ujung lain diikatkan pada truk

&engan jarak ".1 % dari atas tanah, jika truk bergerak dengan kela

!uan 0%s-s, berapa cepat beban naik jika beban berada % diatas

'anahI Perhatikan ga%bar dibawah ini. J-

y5-

".1