2102204 electrical mathematics ipioneer.netserv.chula.ac.th/~smana/2102204 web/2102204... ·...
TRANSCRIPT
2102204 Electrical Engineering Mathematics I
ตอน 2 ตึก 3 หอง 304มานะ ศรียุทธศักดิ์หอง 508 ตึกภาควิชาวิศวกรรมไฟฟา 6 ชั้น
ตํารา คณิตศาสตรวิศวกรรมไฟฟา ศ.ดร.มงคล เดชนครนิทร สํานักพิมพจฬุาฯ
การวัดผลการเรียน การบาน ทดสอบ 10 %
สอบกลางภาค 45 %
สอบปลายภาค 45 %
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
2102204 Electrical Engineering Mathematics I
เนื้อหา
บทที่ 1-4 สมการเชิงอนุพันธธรรมดาอันดับ 1 และอันดับสูงกวา 1บทที่ 5-6 ผลเฉลยแบบอนุกรมสําหรับสมการเชิงอนุพันธธรรมดา(สามัญ)
บทที่ 12-14 สมการเชิงอนุพันธยอยบทที่ 15 ปญหาขอบเขต
บทที่ 22 ฟงกชนัของตัวแปรเชิงซอน ฟงกชันวิเคราะห การอินติเกรตในระนาบเชิงซอน อนุกรมเทเลอร อนุกรมโลรองต ทฤษฎีบทเรซิดวิและการประยุกต การสงคงรูป(คงแบบ)
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
สมการเชิงอนุพันธสามัญ
(ordinary differential equation :ODE)
xyydxdy
yx
', : อนพุันธของ เทียบกับ
)(',)( xfyxfdxdy
==
: ตัวแปรตน (independent variable): ตัวแปรตาม (dependent variable)
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
สมการเชิงอนุพันธสามัญ
(ordinary differential equation :ODE)ODE Linear ODE
สมการเชิงอนุพันธสามญั
เชิงเสน
Nonlinear ODEสมการเชิงอนุพันธสามญั
ไมเชิงเสน
ตัวแปรตาม(y) ฟงกชันเชิงเสน ฟงกชันไมเชงิเสน
อนุพันธของตัวแปรตาม (y’, y’’, ..)
ฟงกชันเชิงเสน ฟงกชันไมเชงิเสน
ไมมีผลคูณระหวาง y และ y’, y’’,…
มีผลคูณระหวาง y และ y’, y’’,…
Note: ไมสนใจวา x จะเปนอยางไร
y’’+5xy’+4y=0y’’+5xy’+4y=cos(x)
y’’+5yy’+4y=cos(x)y’’+ 5xy’+cos(y)=0
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
สมการเชิงอนุพันธสามัญ
(ordinary differential equation :ODE)
ODE Homogeneous ODE :เอกพันธ
NonhomogeneousODE :ไมเอกพันธ
Note1: สนใจวา x จะเปนอิสระจาก y, y’,..หรอืไม
x หรือ f(x) อยูติดกับ y, y’,.. เสมอ
มีพจน x หรือ f(x) ที่ไมอยูตดิกับ y, y’,..
Note2: ตองจัดรูปให y, y’.. ไมมีกําลังเปนลบ
y’’+5xy’+4y=0y’’+ 5xy’+cos(y)=0
y’’+5xy’+4y=cos(x)
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
สมการเชิงอนุพันธสามัญ
(ordinary differential equation :ODE)
อันดับ(order)ของสมการ ODE
ระดับขั้น(degree) ของสมการ ODE
y’’+5xy’+4y=cos(x)
y’’’+5x(y’’)2+4xy’+4y=0 3 1(y’’’)2+ 5xy’’+4xy’+4y3=0 3 2
=อันดับสูงสุดของ
อนุพันธ
=เลขชี้กําลังสูงสุดของ
อนุพันธอันดับสูงสุด
2 1
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
รูปแบบ ลักษณะของผลเฉลย Ex:ผลเฉลยทั่วไป
(general soln.)ติดคาคงตัวไมเจาะจง อยางนอย 1 ตัว
y’’-y =oy=Aex, y=Be-x
ผลเฉลยเฉพาะ
(particular soln.)ผลเฉลยทั่วไปที่แทนคาคง
ตัวไมเจาะจงดวยตัวเลข
y’’-y =oy=2ex, y=3e-x
ผลเฉลยบริบูรณ
(complete soln.)ผลเฉลยทั่วไปที่
ประกอบดวยผลเฉลย
ยอยๆทีเ่ปนอิสระเชิงเสน
y’’-y =oy=Aex + Be-x
ผลเฉลยเอกฐาน
(singular soln.)ไมอาจหาไดจากผลเฉลย
ทัว่ไปของสมการเชิง
อนุพันธ
(y’)2-xy’+y=0y=cx-c2 : gen. soln.
y=x2/4 : singular
สมการเชิงอนุพันธสามัญอันดบัที่ 1 (1st order ODE)
1st ODE Form1.ตัวแปรแยกกันได(variables separable form)2.เอกพันธ(homogeneous form)3.แมนตรง(exact form)4.เชิงเสน(linear form)
xN
yMdyyxNdxyxM
∂∂
=∂∂
=+ ,0),(),(
dyyxNdxyxM ),(),( =
dyygdxxf )()( =
)()( xQyxPdxdy
=+
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
dyyN
dxxM
yNxMdxdyIII
dyyQyqdx
xPxp
dyyqxPdxyQxpIIdyygdxxfI
)(1)(
)()(:
)()(
)()(
)()()()(:)()(:
=
=
=
==
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
1st ODE แบบตวัแปรแยกกันได (variables separable form)
1st ODE แบบตวัแปรแยกกันได (variables separable form)
2/122
2
2
2
12
2
12
2
22
2
)]1([1)1(
)1(
)1()1(2
)1()1(
)1(21)1(
)1()1(1:
)1()1(1)1()1(:ln
:)12(
)()()()(:
xkykexy
exyCC
xyn
Cxnyndxx
xdyy
dxx
xdyy
dxyxdyxSo
xdxdyxdyxydxSolveEx
CdyygdxxfdyygdxxfI
C
C
−=⇒=±=−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⇒=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+−−=−−⇒−
=−
−=
−⇒−=−
+=+−
+=⇒=
∫ ∫∫
∫ ∫
m
l
ll
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
1st ODE แบบเอกพนัธ (homogeneous form)
degreesame:),(),,(2.functionshomogeneou:),(),,(.1
),(),(
yxNyxMyxNyxM
dyyxNdxyxM =
Homogeneous function
reenyxFyxF
yyxxyxF
n
deg:),(),(
,:0),(
λλλλ
⇒
→→>
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
Condition:
1st ODE แบบเอกพนัธ (homogeneous form)
)(
)0(:),1(/),1(
)0(:),1(/),1(),(/),(
/1,0/1,0
),(/),(),(/),(),(),(),(),(
xyR
dxdy
xxyN
xyM
xxyN
xyMyxNyxM
xxwhilexxwhile
yxNyxMyxNyxMyxNyxNandyxMyxM nn
=
<−
−−
−=
>=
−=<=>
===
λλ
λλλλλλλλλλfunctionshomogeneou:),(),,(
),(),(yxNyxM
dyyxNdxyxM =
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
Note: M(x,y), N(x,y) ที่มี คาคงที่ในฟงกชนั จะไมเปนฟงกชนัเอกพันธ Ex: M(x,y)=(4xy+5)
1st ODE แบบเอกพนัธ (homogeneous form)
formseparablevariables})({:)2(
formseparablevariables1)(1})({:)1(
)()(
,)()(,
)(),(),(),(),(
⇒=⇒===
⇒=−
≠
=−⇒+=∴
+===⇒=
==⇒=
xdx
ydy
xy
dxdythen
xyuuRif
dxx
duuuR
thenuuRif
dxduxuuR
dxduxuuR
dxduxu
dxdyuR
xyRu
xyuxyif
xyR
yxNyxM
dxdydyyxNdxyxM
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
1st ODE แบบเอกพันธ (homogeneous form)
##][)/(
1
1)21(2
2222))(2(
:A2
##][)/(
)/1(22
)(2)21()(2)21(
:A1functions. shomogeneoudegree 2are2)2(:
2)2(:)32(
2/111
2
1
2
12
332
23222
2/12
2
2222
nd22
22
CxnxyCxnxy
CynxyynxnCyn
vvn
dyy
dvvv
dyvydvydvv
vdyydvydvvvdydyvdyvyydvvdyvy
ydvvdydxvyxset
CxnxyCxnxy
Cxnudxxuduuxdudx
xduudxudxuxduudxuxdxux
xduudxdyuxysetxyandyxSolution
xydydxyxSolveEx
−±=⇒−=⇒
+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⇒+−=−⇒
−=+⇒−=+⇒
=+++⇒=++⇒
+=⇒=
+±=⇒+=⇒
+=⇒⇒=⇒=⇒
+=+⇒+=+⇒
+=⇒=+
=+−
∫
∫
ll
lllll
ll
l
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
1st ODE แบบแมนตรง (exact form)
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
##...0)2()23(
)2()(3)2(
0)2()(3)2(
0)22()33()4(
3)223(3)134()223()223()134()134(
.shomogeneounotare)223()134(:0)223()134(:)42(
##00),(),(
),(),(),(),(:),(
,0),(),(
22
22
22
=⇒=−−+−+⇒
=−++−⇒⇒
=−++−⇒
=−+++−⇒∴∂∂
=∂∂
⇔=∂
−+∂=
∂++−∂
−+≠−+++−≠++−−+++−
=−++++−−
⇒⇒=⇒=∂
∂+
∂∂
⇒∴
∂∂
=∂
∂=∃
∂∂
=∂∂
=+
∫
∫
yCxxyxy
Cyyxyxx
yydxydxxd
dyydyxdyydxxdxdxxN
yM
xyxand
yyxbut
yxyxandyxyxyxandyxSolution
dyyxdxyxSolveEx
fdfdyy
yxfdxx
yxfy
yxfyxNandx
yxfyxMyxf
xN
yMdyyxNdxyxM
λλλλλQ
1st ODE แบบแมนตรง (exact form)
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
#...#)ln(210)ln(
21
0)()(
210
formexact)(
)2(1)()2(
01)(
1
.factorgintegratinas)(offunctionaiswhich)(
1use
).(21)(
21
.formexactinnot2)(0)(:
0)(:)52(
2222
22
22
22
2222222222
222222
2222
2222
22
22
=⇒=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
=−++
⇒=−++
⇒
⇔+
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−∂∂
=∂∂
=+
−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+∂
∂=
∂∂
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−−+
⇒+
⇒
++
+⇔+=+
∴⇒−=∂
−+−∂=
∂∂
≠=∂∂
=∂∂
=−+−−
∫ yCyyxyyxd
dyyxyxddy
yxydyxdx
yxxy
yxy
xxN
yxyx
yxx
yyMNow
dyyx
ydxyx
xyx
multiply
yxyx
yxofformaldifferentiexactyxdydyxdxbut
xx
yyxxN
yx
yMSolution
dyyyxxdxSolveEx
1st ODE แบบแมนตรง (exact form)
##...211
02110
)()(
.factorgintegratinas)/(1usingthen)(offormaldifferentiis)(Since
0)(0)(:
form.exactnot)()(.2
function.shomogeneounotare)(),(1.:.factorgintegratinusing)(:)62(
2
22
2
2323
23
23
23
=⇒=+−
⇒⇒
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−⇒=+⇒
+=+⇒=++⇒
∴∂+∂
≠∂∂
+
++−
∫ yCxxy
xxy
dxdxxyxyd
xyxydydxxdy
dxyxxyddxyxydxxdyreformy
yyxxx
yyxxSolutiondxyyxxdySolveEx
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
1st ODE แบบแมนตรง (exact form)
#.#2tan21
02tan210
)/(411
414)(
.factorgintegratinas1usingthen:but
form.exactnot:)(),4(.2eous.nonhomogen:)(),4(.1:
)4(:)72(
1
12
2
2
22
2
22
22
22
22
Cxxy
xxyddx
xyd
xy
dxxy
xyddx
xyx
xydxxdy
xxydxydxxdy
xyyxxyyxSolution
dxyxydxxdySolveEx
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+⇒
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
−∴
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−
+−−
+−−
+−=−−
−
−
∫
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
1st ODE แบบแมนตรง (exact form)
Finding integrating factor:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
≠∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
≠∂∂
=+
∫
∫
dxyM
xN
My
yyM
xN
Mbut
xN
yMif
dxxN
yM
Nx
xxN
yM
Nbut
xN
yMif
dyyxNdxyxMFor
1exp)(isfactorgintegratinthen
)(1.2
1exp)(isfactorgintegratinthen
)(1.1
0),(),(
μ
μ
μ
μ
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
1st ODE แบบแมนตรง (exact form)
[ ]
( )[ ] ( )
( ) ( ) #.#)(21
21)(2
021
0)()2
(*0)()2
(
0)()(0)(
2exp1exp)(isfactorgintegratinthen
)(2)02(11.2
.1exp)(factorgintegratinusenotcanthen
)())2(0()(
11.1:
0)()52)(82(
12222
222222
22222
222222
2222
2
22
22
CCnyyxnCnyxnyn
Cyxeyxed
dyyxeyxdeedyyxyxd
dyyxydyxdxdyyyxxdx
edydxyM
xN
My
yxxy
MxN
Mbut
xN
yM
dxxN
yM
Nx
xxyyxx
NyM
Nand
xN
yMSolution
dyyyxxdxSolveEx
yy
yyy
y
==−+⇒=++−⇒⇒
=+⇒⇒=+⇒
=+−+
⇒⇒=+−+
⇒
=+−+⇒=−+−∴
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=
=−=−−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
≠∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=
≠−−−+−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
∂∂
≠∂∂
=−+−−−
−−
−−−
−
∫
∫∫
∫
lllll
μ
μ
μ
μ
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
1st ODE แบบเชิงเสน (linear form)
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
∫+∫∫=∫
+∫∫
=∴
+=⇒
+=⇒⇒=⇒
==+
∫=∫±=⇒+=⇒
=⇒=
=+⇒
=+
−−
∫∫
∫
∫∫
∫
dxxPdxxPdxxP
dxxP
dxxP
dxxP
dxxPdxxPk
CedxxQeeek
CdxxQekek
y
xCdxxQx
xy
CdxxQxyxdxxQxyxd
xQxdx
yxdydx
xddxdyxthen
ekeexkdxxPxn
dxxPxxdxPx
dxxdsatisfythatxselect
xQxyxPxdxdyxx
xQyxPdxdy
)()()(
)(
)(
)(
)()(
)(]['
')(]'['
1)(
')()()(
1
')()()()()(])([
)()(])([)()(
')()()(
)()()()()()()(
)()()()()()(factorgintegratinusing
)()(
φφ
φ
φφφφ
φφφφ
φφ
φφφφφ
φφφφ
l
1st ODE แบบเชิงเสน (linear form)
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
##5451
411
#.#44
0)4(4)(4)(:formaldifferenti
1)(1)4(formExact0)4(04':3
##444)(
4)(])[(
)(factorgintegratinusing:2
#.#)4(]/4][[1)(
')()()(
1since
)/1()(,')(factorgintegratinusing
/4)(,/1)(,/4)/1(':Solution1
11,04':)92(
)(
)()(
xyCCyx
xCyCxxy
xyddxxyddxydxxdyxx
xN
yy
yM
dxyxdyyxySolutionxCyCxxydxxyd
dxxyd
dxdxy
dxdyxy
dxdyxxxbymultiply
xexSolution
xC
xCdxxx
xxCdxxQx
xy
xeexndxxdxxPekx
xxQxxPxyxy
xwhenyyxySolveEx
dxxP
xndxxPdxxP
+−=⇒=⇒+−==⇒=
+−=⇒=+⇒
=+=+=++∴
=∂∂
=∂∂
==∂+∂
=∂∂
⇔=++⇒=++
+−=⇒+−=⇒⇒−=⇒
−==+=+⇒=
=∫=
+−=+−=+=
==∫⇒∴==∫∫=
−==−=+⇒
===++−
∫
∫
∫∫
∫
Q
l l
φ
φ
φφ
φ
φ
การประยุกตทางวิศวกรรมไฟฟา
.00.:)102( ==− tatitoffunctionasiFindEx
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
#.#)1(
0,00,
*
*)*(***)(bymultiply
)(:factorgintegratin
)()(
,,:
)(
tLRt
LR
tLR
tLR
tLR
eREe
RE
REi
RECC
REitCe
REi
CeRL
LECdte
LEei
eLEeide
LEei
LRe
dtdix
eeex
tQitPdtdi
LEi
LR
dtdiERi
dtdiL
RiVdtdiLVEVVSolution
tLRt
LR
tLRt
LRt
LRt
LR
tLR
dtLR
dtxP
RLRL
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=−=⇒
−=⇒+=⇒=→=+=⇒
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+=⇒
=⇒=+⇒
=∫=∫=
=+⇔=+⇒=+⇒∴
===+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∫∫
φ
φ
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
การประยุกตทางวิศวกรรมไฟฟา
EX: ความชันของเสนแรงสนามไฟฟาจะเปนผลหารระหวางสวนประกอบในแนวแกน y (Ey) กับสวนประกอบในแนวแกน x (Ex) ถา E=(1/x)ax – (1/y)ay จงตัง้และแกสมการอนุพันธ
##)(
0)(21
0)/1()/1(
1,1:
22
22
Cyx
yxd
ydyxdxyx
xy
dxdy
yE
xESolution yx
=+⇒
=+⇒
=+⇒
−=−
=∴
−==
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
Bernoulli equation:
)()()(
)(1)(
22222
2/:
)()1()()1()()1()()1(
)()()1(
)1()1(
)1(:
22
'2''
''2))1(1('
'
1'
'
'''
''1
xCdxxQx
xzeex
xzzxyzyxy
yz
yyzyyzyxyyEx
ODELinearxQnzxPnzxQnyxPnz
yxQyxPn
yzn
yzyn
zy
yynzyzassume
xdx
n
nn
n
n
nn
φφ
φφ +=⇒=∫=
=+⇒=+⇒=+⇒
=⇒==⇒=+
≡−=−+
−=−+
=+−
∴
−=
−=
−=⇒=
∫
−−
−
−
−−
nyxQyxPy )()(' =+
2102204 EE Math 1: Mana Sriyudthsak, Chulalongkorn Univ.
Riccati equation:
1)21(':
)()]()(2[
)()()(21
)()()(2)]()()([
)()1)(()12)((1)()()(
11:
)()()()(
2
'
2'
2
22
22'
2'
2'
'2
''
2'
−+−+=
≡++=−
++=−
+++++=
+++++=−∴
++=
−=+=
++==
xyxxyyEx
ODELinearxPzxQuxPz
zxQ
zxP
zuxPz
z
zxQ
zxP
zuxPxRuxQuxP
xRz
uxQzz
uuxPzz
u
xRyxQyxPy
zz
uythenz
uyassume
xRuxQuxPuthensolutionaisxuyif
)()()(' 2 xRyxQyxPy ++=