210 - bernoulli com perda de carga (1)

Fenômenos dos Transportes Prof. Strobel

Bernoulli para fluidos reais Página 1 de 11

Fenômenos dos Transportes Bernoulli para fluidos reais

por

Christian Strobel

1. Para descontrair

“Termodinâmica do inferno”

O Dr. Schambaugh, professor da escola de Engenharia Química da Universidade de Oklahoma é

reconhecido por fazer perguntas do tipo: "Por que os aviões voam?" em suas provas finais. Sua única

questão na prova final de maio de 1997 para sua turma de Transferência de Calor II foi: "O inferno é

endotérmico ou exotérmico? Justifique sua resposta." Vários alunos justificaram suas opiniões baseados

na Lei de Boyle ou em alguma variante da mesma. Um aluno, entretanto, escreveu o seguinte:

"Primeiramente, postulamos que se almas existem então elas devem ter alguma massa. Assim sendo, o

estado termodinâmico do inferno é função da grandeza de seu volume de controle e da taxa do fluxo

líquido das almas que passam pelo mesmo.

Eu acho que podemos assumir seguramente que uma vez que uma alma entra no inferno ela nunca mais

sai. Por isso não há almas saindo. Para as almas que entram no inferno, vamos dar uma olhada nas

diferentes religiões que existem no mundo. Algumas dessas religiões pregam que se você não pertencer a

ela, você vai para o inferno. Como há mais de uma religião desse tipo e as pessoas não possuem duas

religiões, podemos assumir que todas as almas vão para o inferno.

Daí tem-se que a integral de superfície do fluxo de almas sobre o volume de controle do inferno é

negativa o que, de acordo com o teorema da divergência de Gauss implica dizer que a integral de volume

da divergência do fluxo de almas com relação ao volume de controle do inferno é também negativa. Com

as taxas de natalidade e mortalidade do jeito que estão, podemos esperar um crescimento exponencial das

almas no inferno em função do tempo.

Agora vamos olhar a taxa de mudança de volume de controle do inferno. A Lei de Boyle diz que para a

temperatura e a pressão no inferno serem invariantes ao tempo, a relação entre a massa das almas e o

volume de controle do inferno deve ser constante.

Existem então duas opções:

1 - Se o volume de controle do inferno se expandir numa taxa menor do que a taxa de almas que entram

no mesmo, então sua temperatura e pressão vão aumentar até ele explodir.

2 - Se o volume de controle do inferno estiver se expandindo numa taxa maior do que a da entrada de

almas, então a temperatura e a pressão irão baixar até que o inferno se congele.

Então, qual das duas?

Se nós aceitarmos o que Theresa Manyam me disse no primeiro ano: "haverá uma noite fria no inferno

antes que e eu me deite com você", e levando em conta que ainda NÃO obtive sucesso na tentativa de me

deitar com ela, então a opção 2 não é verdadeira.

Por isso, o inferno é exotérmico." (O aluno Tim Graham tirou o único A na turma.)



2. Introdução

Na engenharia, trabalhamos com energia dos fluidos por unidade de peso, a qual

denominamos “carga”.

Sabe-se que no escoamento dos fluidos reais, parte de sua energia dissipa-se na forma de

calor e nos turbilhões que se formam na corrente fluida.

Esse energia é dissipada para o fluido vencer a resistência causada por sua viscosidade e a

resistência provocada pelo contato do fluido com a parede interna do conduto, e também para

vencer as resistências causadas por peças de adaptação ou conexões (curvas, válvulas, etc.).

3. Perda de carga

Chama-se esta energia dissipada pelo fluido de PERDA DE CARGA (hp), que tem

dimensão linear, e representa a energia perdida pelo líquido por unidade de peso, entre dois

pontos do escoamento.

A perda de carga é uma função complexa de diversos elementos tais como:

a) Rugosidade do conduto;

b) Viscosidade e densidade do líquido;

c) Velocidade de escoamento;

d) Grau de turbulência do movimento;

e) Comprimento percorrido.

Com o objetivo de possibilitar a obtenção de expressões matemáticas que permitam prever as

perdas de carga nos condutos, elas são classificadas em: contínuas ou distribuídas e localizadas.

3.1. Perda de carga contínua ou distribuida

Ocorrem em trechos retilíneos dos condutos. A pressão total imposta pela parede dos dutos

diminui gradativamente ao longo do comprimento. Permanece constante a geometria de suas

áreas molhadas. Essa perda é considerável se tivermos trechos relativamente compridos dos

dutos.

Para fluidos reais tem-se:

Quando a equação de Bernoulli é aplicada a dois pontos de um conduto com velocidade

constante e mesma cota, tem-se a perda de carga dada por:

A fórmula de Darcy-Weissbach, permite calcular a perda de carga ao longo de um

determinado comprimento do condutor, quando é conhecido o parâmetro f, denominado

“coeficiente de atrito”:



O coeficiente de atrito pode ser determinado utilizando-se o diagrama de Moody, partindo-se

da relação entre a Rugosidade e Diâmetro do tubo (ε/D – em mm) e o Número de Reynolds (Re).

O número de Reynolds é um parâmetro adimensional que relaciona forças viscosas com as

forças de inércia, e é dado por:

Onde:

ρ = Massa específica; V = Velocidade; D = Diâmetro; μ = Viscosidade dinâmica.

O diagrama de Moody foi construído com uma expressão que é transcendente, ou seja,

necessita de iterações para avaliar f.

Uma expressão para avaliar f em uma só tentativa é dada pela expressão:

Esta expressão leva a erros dentro de 1%, mas o erro fica menor do que o gerado quando

utilizamos o diagrama de Moody.



Para a região de números de Reynolds inferiores a 2000 (regime laminar) o comportamento

do fator de atrito pode ser obtido analiticamente por intermédio da equação de Hagen-Poiseuille

conduzindo à função:



3.2. Perda de carga contínua ou distribuida

Ocorrem em trechos singulares dos condutos tais como: junções, derivações, curvas, válvulas,

entradas, saídas, etc. As diversas peças necessárias para a montagem da tubulação e para o

controle do fluxo do escoamento provocam uma variação brusca da velocidade, intensificando a

perda de energia. As perdas de carga localizadas podem ser expressas em termos de energia

cinética (v2/2) do escoamento. Assim temos:

Onde:

v=velocidade média do conduto em que se encontra inserida a singularidade em questão;

k=coeficiente cujo valor pode ser determinado experimentalmente



3.3. Perdas em condutos não circulares

Boas aproximações podem ser feitas para perdas de carga em condutos de seções transversais

não circulares utilizando o diâmetro hidráulico, definido como:

Onde A é a área da seção transversal e P é o perímetro da seção. Pode ser utilizada esta

técnica quando a seção transversal for relativamente aberta, como um retângulo de razão de

aspecto menor que 4:1, triângulos equilateros ou elipses. Para coroas circulares, por exemplo,

esta técnica não pode ser empregada.

3.4. Expansão em tubos

Neste caso utiliza-se o coeficiente de perda do elemento, K, conforme gráfico abaixo.

3.5. Comprimento equivalente

Muitas vezes é habitual expressar um coeficiente de perda como um comprimento

equivalente de tubo. Isto se faz igualando as expressões de perda de carga localizada e

distribuída:

Fornecendo a relação:

4. Exercícios

4.1. Água escoa numa tubulação de seção constante. O diâmetro do tubo é de 50mm e a

velocidade média é de 1,5 m/s. Na entrada do tubo a pressão manométrica é de 590 kPa. A saída

do tubo encontra-se a 25 metros acima da entrada, e a pressão na saída é de 100 kPa. Determine a

perda de carga entre a entrada e a saída do tubo.



4.2. Se a vazão através de um tubo de ferro forjado de 10 cm de diâmetro é de 0,04 m3/s,

encontre a diferença de elevação H para os dois reservatórios.

Dados: Kentrada = 0,5; Kválvula = 5,7; Kcotovelo=0,64; Ksaída = 1,0

4.3. Se a vazão da tubulação abaixo é 0,0044 m3/s, determine a perda de carga do sistema

abaixo. Dados: Kentrada = 0,5; Kcotovelo=0,39; Ksaída = 1,0

4.4. Um tubo plástico com diâmetro de 3cm com cotovelos parafusados é usado para extrair

como sifão a água, como mostrado. Estime a altura H máxima na qual o sifão operará com vazão

de 0,02 m3/s. Dados: Kentrada = 0,5; Kcotovelo=0,39; Ksaída = 1,0

4.5. Água a 35°C escoa de uma banheira através de um tubo plástico com diâmetro de 2,5 cm

até um tubo de dreno grande cheio de ar. Há dois cotovelos rosqueados nos 10 metros de tubo.

Qual a altura da banheira em relação ao dreno se a vazão no tubo for de 0,001 m3/s? Dados:

Kentrada = 0,5; Kcotovelo=1,5; Ksaída = 1,0



4.6. Estime a vazão esperada através do sifão plástico mostrado na figura abaixo se o

diâmetro da tubulação é de 8cm. Dados: Kentrada = 0,5; Kcotovelo=0,14; Ksaída = 1,0

Para todos os problemas, considere g=9,81 m/s2. Para a água, ρ=998 kg/m

3, ν=10

-6 m

2/s e µ=10

-3

Pa.s)

1. Determine a perda de carga em uma tubulação de 10 metros de comprimento e diâmetro

de 0,1m, com rugosidade relativa e/D=0,015, na qual escoa água nas seguintes velocidades:

[0,001; 0,01; 0,1; 1,0; 10,0] m/s.

2. Um tubo liso de PVC (e= mm), de 100m de comprimento, está conectado a um grande

reservatório aberto. Que profundidade, d, deve ser mantida no reservatório para produzir uma

vazão volumétrica de água de 0,01 m3/s? O diâmetro interno do tubo liso é 75mm. A entrada é de

borda viva (k=0,5) e a água é descarregada para a atmosfera.

3. Petróleo cru escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca a uma taxa de

3m3/s. O diâmetro interno do tubo é 1,2m; A rugosidade absoluta é 0,15mm. A pressão máxima

admissível é 6MPa, a pressão mínima para manter os gases dissolvidos em solução no petróleo

cru é 0,3 MPa. O petróleo cru possui massa específica de 930 kg/m3, sua viscosidade a

temperatura de bombeamento de 60°C é 16,5.10-3

Pa.s. Para estas condições determine o

espaçamento máximo entre as estações de bombeamento.



4. Uma piscina pequena é drenada utilizando uma mangueira de jardim. A mangueira possui

20mm de diâmetro interno, uma rugosidade absoluta de 0,2mm e 30 metros de comprimento. A

extremidade livre da mangueira está localizada a 3 metros abaixo da elevação do fundo da

piscina. A velocidade média na descarga da mangueira é 1,2 m/s (h=1,56m). Estime a

profundidade da água da piscina. Se o escoamento fosse invíscido, qual seria a velocidade

(V2=9,45 m/s)?

5. Uma furadeira a ar comprimido requer 0,25 kg/s de ar a 650 kPa (manométrica) na broca.

A mangueira (e=0,015mm) que conduz o ar do compressor até a mangueira possui 40 mm de

diâmetro interno. A pressão máxima na descarga do compressor é 690 kPa, e o ar deixa o

compressor a 40°C. Despreze variações na massa específica do ar e quaisquer efeitos na

curvatura da mangueira. Calcule o máximo comprimento de mangueira que pode ser utilizado.

Ar: R=(0,287 kJ/kgK) e ν=1,69.10-5

m2/s (29,02m)

6. Gasolina, (ρ=720 kg/m3 e µ=6.10

-4 Pa.s) escoa em uma linha longa, subterrânea, a uma

temperatura constante de 15°C. Duas estações de bombeamento, na mesma elevação, estão

distantes 13 km uma da outra. A queda de pressão entre as estações é de 1,4 MPa. A tubulação é

feita de tubo de aço de 0,6 metros de diâmetro. Embora o tubo seja feito de aço comercial

(e=0,045 mm), a idade e a corrosão aumentaram a rugosidade do tubo para aquela do aço

galvanizado, aproximadamente (e=0,15mm). Calcule a vazão do tubo para a condição de projeto

e para a condição atual.

7. Água escoa em regime permanente em um tubo de ferro fundido (e=0,3mm), horizontal,

de 125 mm de diâmetro. O tubo tem comprimento de 150m e a queda de pressão entre as seções



1 e 2 é 150 kPa. (a) Determine a vazão em volume através do tubo se o mesmo estiver na

horizontal. (b) Se a saída estiver a 15 metros acima do ponto 1, qual será a nova vazão do tubo?

8. Um sistema de proteção a incêndio é suprido por um tubo vertical de 25 metros de altura,

a partir de uma torre de água. O tubo mais longo para a distribuição de água, horizontal, na base

da torre, possui 180 metros de comprimento e é feito de ferro fundido e, devido ao longo período

de uso, está oxidado (e=1mm). O tubo possui uma válvula de gaveta (k=0,11); outras perdas

localizadas podem ser desprezadas. O diâmetro do tubo é de 4 pol. Determine a vazão máxima de

água, em litros por segundo, através deste tubo, sabendo que a coluna d’água no reservatório é de

2m.

9. Dois tubulões verticais, de igual diâmetro (0,75m), abertos para a atmosfera, estão

conectados por um tubo reto (e=0,3mm), em sua base, de diâmetro 75mm. A distância entre

centros dos tubulões é 4m, e o desnível entre a superfície livre de água entre os dois é de 2,5m.

Para o instante inicial, estime a variação do nível de água em um dos tubulões, sabendo que

Kent=0,5 e Ksaida=1.

10. Determine o diâmetro interno de uma tubulação reta, de 50m de comprimento, que liga

dois lagos em desnível de 8m para que a vazão na tubulação seja 4litros/s.

11. Detemine o diâmetro intenro da tubulação abaixo para que a vazão na tubulação seja 1

litro/s. O fluido é a água, Kent = 1,5, Kcurva=0,75, L1=10m, L2=25m, f=0,0015.



12. Uma prensa hidráulica é acionada por uma bomba remota de alta pressão. A pressão

manométrica na saída da bomba é 20 MPa, enquanto que a pressão requerida na prensa é 19 MPa,

a uma vazão volumétrica de 0,032 m3/min. A prensa e a bomba são conectadas por um tubo liso

de aço leminado (e=0,04mm), com 50m de comprimento. O fluido é o óleo SAE 10W a 40°C

(visc. cin. 4.10-5

m2/s) e massa específica 890 kg/m

3. Determine o diâmetro mínimo que pode ser

utilizado.

13. Uma nova instalação industrial requer uma vazão de água de 5,7 m3/min. A pressão

manométrica na tubulação principal de água, localizada na rua e distante 50m da fábrica, é 800

kPa. O ramal de alimentação exigirá a instalação de 4 cotovelos (K=0,8) em um comprimento

total de 65m. A pressão manométrica requerida na fábrica é 500 kPa. Que bitola de tubo de ferro

galvanizado (e=0,15mm) deve ser empregada?

210 - bernoulli com perda de carga (1)

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