2.1. persamaan diferensial dengan konfigurasi variabel...

2 Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1

dengan Metode Analitis 2.1. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum:

)()(ygxfy =′ , f dan g fungsi sembarang.

b. Metode dan Tahapan Penyelesaian:

1. Gantikan y atau gunakan: ′dxdyy =′

2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:

dxxfdyyg )()( =

3. Integrasikan persamaan di atas, sehingga diperoleh:

∫∫ = dxxfdyyg )()(

c. Contoh soal:

1. Selesaikan atau cari ‘primitif’ dari: 0=′+ yyx

2. Selesaikan PD orde-1 berikut: 02 =−′ yyx

3. Cari penyelesaian dari PD berikut: 03 =+ ydxdyx

4. Cari penyelesaian PD orde-1 2 0=+′ yyx , dengan harga awal pada saat memiliki 2=x 1=y

Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 1 dari 28)

d. Penyelesaian soal:

1. Gantikan y dengan ′dxdy

, sehingga PD tersebut dapat ditulis ulang sebagai:

x−dxdyy = atau dxxdyy −= , sehingga dapat diintegrasikan menjadi

∫ ∫−= dxxdyy

dan hasilnya adalah

Cxy+−=

22

22

dengan C adalah tetapan sembarang (arbitrary), dan persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

Cxy 222 =+

sebagai persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0), jika dipenuhi harga . 0>C

2. PD dimaksud dapat ditulis sebagai ydxdyx =2 , dan dengan penulisan ulang

yang memperhatikan prinsip-prinsip pembagian (pecahan), maka variabel-variabel dalam PD tersebut dapat terpisahkan sehingga akan diperoleh persamaan

2xdx

ydy

=

bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai

∫∫ = 2xdx

ydy

menghasilkan


Cx

y +−=1ln

dan bentuk akhirnya:

xC eeCx

y /11exp −=

+−=

sebagai persamaan yang mirip dengan persamaan Arrhenius, yang banyak digunakan dalam pemodelan kinetika reaksi kimia.

3. PD tersebut dapat disusun ulang, sehingga penulisannya menjadi:

xdx

ydy 3−= , jika 0≠y

dan bentuk integrasinya adalah:

∫∫ −=xdx

ydy 3

dan hasilnya:

31lnln3lnx

xhy

=−=

dan

33 xK

xhy =

±=

Dalam hal ini, K merupakan tetapan (konstanta) sembarang (arbitrary), yang hanya dapat ditentukan harganya berdasarkan nilai atau kondisi awal (initial condition) dari PD tersebut, yaitu 0yy = pada saat 0xx = .


4. Bentuk integrasi dari PD tersebut adalah

∫∫ −=xdx

ydy

21 , jika 0≠y

dan hasilnya:

xx

hy 1lnlnln 2/1 == −

atau

xKy =

Dengan memperhatikan kondisi awal dari PD tersebut, yaitu pada saat 2=x harga , akan diperoleh 1=y 2K=1 atau 2=K , sehingga hasil

akhirnya menjadi

xy 2=

e. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya (sesuai dengan yang diberikan):

1. xyy 2

−= , dengan primitif 2xKy =

2. 03 =− idtdit , dengan primitif 3/1tKi =

3. 03 =+ idtdit , dengan primitif 3/1−= tKi dengan 0≠t

4. 0sincos =+′ xyxy , dengan primitif xKy cos=

5. ( ) 01 2 =+− θθ tdtdt , dengan primitif 21 tK −=θ


2.2. Persamaan Diferensial Homogen terhadap y dan x a. Bentuk Umum:

=′xyfy , f merupakan fungsi sembarang.

b. Metode dan Tahapan Penyelesaian:

1. Substitusi atau gunakan variabel pengganti, xy

=u (atau ), sehingga

diperoleh PD dalam konfigurasi VARIABEL TERPISAH,

xuy =

2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:

txty +′=′

3. Dan, dengan membuat kesamaan antara ungkapan di atas dengan persamaan

y′( ) ( )tfxyf = , akan diperoleh persamaan dalam bentuk:

( )tftxt =+′

4. Dari persamaan terakhir dapat dilakukan pemisahan variabel-variabel sehingga akan diperoleh persamaan berikut:

( ) ttfdxdtx −= atau

( ) ttfdt

xdx

−= , jika ( ) ttf ≠

5. Jika fungsi F dimisalkan sebagai PRIMITIF dari ( )x ( ) ttf −1

, maka akan

diperoleh hasil integrasi sebagai berikut:

( ) ( )∫ −==

ttfdttF

hxln

yang berarti

( )xyFeKx =

atau dalam bentuk penjabaran parametrik


( )

( )

=

=tF

tF

etKy

eKx , dengan K sebagai konstanta sembarang

c. Contoh soal:

1. Carilah ‘primitif’ dari: yxyxyx −+=′ 222

2. Selesaikan PD orde-1 berikut: 222 yxyyx +=′

3. Cari penyelesaian dari PD berikut: ( ) ( )2222 55 yxxyyxy −=′−

d. Penyelesaian soal:

1. Jika semua suku (di sebelah kiri dan kanan tanda =) dibagi dengan , maka akan didapatkan PD dalam bentuk:

2x

xy

xyy −

+=′

21

yang merepresentasikan persamaan diferensial homogen (PD Homogen), karena variabel merupakan fungsi unik dari perbandingan variabel y′ xy . Dengan memisalkan xty = , untuk mendapatkan txty +′=′ dan

ungkapan dari PDnya adalah , maka kesamaan kedua ungkapan yang didapatkan adalah sebagai berikut:

y′y′

21 tty +−=′

21 tttxt +−=+′

atau ( )21−=′ txt

sehingga bentuk PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH yang dimaksud adalah

( )21−= tdxdtx


yang dapat diintegralkan dalam bentuk berikut:

( ) ∫∫ =− x

dxtdt

21, jika 1≠t

yang hasilnya

xKt

ln1

1=

−−

atau

xKt

ln11 −=−

dengan K sebagai konstanta sembarang

Jika variabel t diganti dengan nilai (perbandingan) asalnya, yaitu xy , maka

persamaan di atas akhirnya menjadi PRIMITIF dari PD yang dimaksudkan:

xKxy

ln−=

x

Catatan: Jika harga 1=t , maka akan diperoleh suatu INTEGRAL yang SINGULAR, karena xy = .

2. Bagilah semua suku dengan , maka akan didapatkan PD Homogen dalam

bentuk seperti di bawah ini:

yx

+=

+=′

xy

yx

yxyxy

21

2

22

Dengan memisalkan xty = , maka kesamaan kedua ungkapan yang

didapatkan adalah sebagai berikut:

y′


+=+′=′

tttxty 1

21

atau jika disederhanakan akan menjadi

ttt

tdxdtx

211

21 −

=

−=

2

Pisahkan variabel-variabelnya, kemudian integralkan

∫∫ =− x

dxtdtt

212

, jika 1±≠t

sehingga

xht ln1ln

2=

−−

atau

xKt =− 21

atau juga

xKt −=− 12

Maka, jika variabel t digantikan dengan nilai yang sesungguhnya ( xy ), akan

diperoleh PRIMITIF dari PD bersangkutan sebagai berikut:

0xKxy 22 =+−

Persamaan di atas merupakan representasi dari PERSAMAAN HIPERBOLA, baik bila 0≠K maupun 0=K , yang memiliki persamaan-persamaan garis simetri

atau yang sebanding dengan x±=y 1±=t .


Catatan: Solusi integral dari PD homogen homogen dapat dilakukan dengan

menggunakan KOORDINAT POLAR, dalam hal ini semua kurva integral tersebut harus dalam bentuk koordinat yang sesuai, yaitu

( )θfr = . Namun, metode ini lebih sulit karena jalan hitungannya

lebih panjang dan tidak praktis.

3. Coba kita gunakan KOORDINAT POLAR berikut:

=

=

θ

θ

sin

cos

ry

rx

dan bentuk diferensiasinya secara berturut-turut adalah:

θθθ

θθθ

drdrdy

drdrdx

cossin

sincos

−=

−=

dan dengan melakukan substitusi ke dalam PD bersangkutan, akan diperoleh persamaan berikut:

( ) ( )dxyxxdyyxy 55 −=− 2222

dan, dengan melakukan penyusunan dan pengembangan persamaan goneometri lebih lanjut, akan diperoleh hasil berikut:

( ) ( ) θθθθθθθ drdr 3344 cossincossin4cossin +=−

dengan penyederhanaan, selanjutnya diperoleh:

( ) θθθθθ drdr cossin4cossin 22 =−


dalam hal ini, PD dalam r dan θ yang memiliki KONFIGURASI TERPISAH adalah sebagai berikut:

θθθ d

rdr

2cos2sin2

−=

sehingga solusi atau PRIMITIF dari PD bersangkutan diperoleh sebagai berikut:

θ2cosKr =


Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya (perhatikan PRIMITIF yang diberikan, dapat diambil sebagai acuan dasar untuk mencari penyelesaian!):

1. yxyx −=′ , dengan primitif xKxy

2

2 +=

2. 222 yxyxyx ++=′ , dengan primitif ( )xKxy lntan=

3. ( )xyexyyx −−=−′ 1 , dengan primitif ( )xCxy += 1ln dan ( ) 01 >+ xC

4. 044 222 =++′ yxyx , dengan primitif xK

xxyln2

+−= dan

bilamana solusi mencapai SINGULAR? 5. ( ) yxyyx 222 =′− , dengan primitif 022 =−+ yKyx dan

bilamana solusi tersebut mencapai SINGULAR?

6. ( ) yxyyx 344 2=′+ , dengan primitif θ

θ2cos

sinKx = dalam

koordinat CARTESIAN atau 14 −

=t

tKr dan bilamana solusi-solusi

tersebut mencapai SINGULAR?


2.3. Persamaan Diferensial LINIER order 1 a. Bentuk Umum:

( ) ( ) ( )xcyxbyxa =+′

dengan a , b , merupakan fungsi-fungsi dalam c x .

( )xa dan b disebut KOEFISIEN ( )x( )xc disebut SUKU RUAS KANAN

Jika PD di atas dituliskan tanpa suku ruas kanan, maka akan diperoleh:

( ) ( ) 0=+′ yxbyxa

yang (seharusnya) IDENTIK dengan PD yang memiliki konfigurasi VARIABEL TERPISAH.

b. Metode SUBSTITUSI FUNGSI dan Tahapan Penyelesaian:

Teorema Dasar

SOLUSI MENYELURUH dari suatu PD Linier order-1 merupakan hasil penjumlahan antara SOLUSI INTEGRAL UMUM tanpa SUKU RUAS KANAN dan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD secara lengkap.

1. Jika dimisalkan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD Linier dimaksud, lengkap

dengan RUAS KANANnya, adalah 0y

2. Maka dapat dilakukan SUBSTITUSI dari FUNGSi yang tak dikenal sebagai: zyy += 0

3. Sehingga penulisan SOLUSI PERSAMAAN secara MENYELURUH dapat dituliskan dalam bentuk:


( ) [ ] ( )[ ] ( )xczyxbzyxa =++′+′ 00

4. Karena y adalah solusi PD Linier itu sendiri, maka persamaan berikut juga

harus dipenuhi: 0

( ) ( ) ( )xcyxbyxa =+′ 00

5. Setelah dilakukan penyederhanaan, akan diperoleh persamaan

( ) ( ) 0=+′ zxbzxa

Sehingga akan diperoleh , sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa SUKU RUAS KANAN.

z

c. Contoh soal:

Selesaikan PD Linier berikut:

EiRdtdiL =+

L , R , dan E merupakan konstanta-konstanta dari persamaan tersebut, dengan KONDISI AWAL pada saat 0=t , harga 0=i .

Penyelesaian:

Fungsi yang melibatkan konstanta-konstanta RE merupakan SOLUSI KHUSUS

dari persamaan secara lengkap.

INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, tanpa SUKU RUAS KANANnya adalah:

−= tLRCi exp

Maka, INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, adalah:

−+= tLRC

REi exp


Dengan menerapkan KONDISI AWAL dari PD Linier tersebut, akan diperoleh:

CRE

+=0

sehingga

REC −=

dan, solusi akhirnya adalah

−−= tLR

REi exp1


Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi khusus dan solusi umumnya sebagai acuan dasar untuk mencari penyelesaian!):

1. xxyy sincos +=+′ , dengan solusi khusus xy sin= dan solusi umumnya xeKxy −+= sin

2. xxxxyxy sincossincos +=+′ , dengan solusi khusus dan solusi umumnya adalah xKxy cos+=

3. ( ) xexyyx 1−=−′ , dengan primitif xKey x += 4. xxxyxy cosh2sinh2 −=−′ , dengan primitif

2

cosh xeKxy +=

xy =

f. Metode VARIASI KONSTANTA dan Tahapan Penyelesaian:

1. Perhatikan dengan seksama PD secara lengkap sebagai berikut,

( ) ( ) ( )xcyxbyxa =+′

dan bentuk PD di atas, jika TIDAK menyertakan SUKU RUAS KANAN:

( ) ( ) 0=+′ yxbyxa


2. Sebagai PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH, persamaan terakhir

dapat disusun ulang menjadi:

( )( )dxxaxb

ydy

−=

3. Maka, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa RUAS KANAN dapat dituliskan sebagai berikut:

( ) ( )( )

−== ∫ dx

xaxbKxzKy exp

4. Definisikan suatu FUNGSI (yang menggantikan tetapan K dengan suatu fungsi dalam variabel x , ), sehingga diperoleh PRIMITIF yang berbentuk

persamaan berikut:

( )xK ( )xy

( ) ( ) ( )xzxKxy =

sehingga turunannya dapat dituliskan sebagai:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xzxKxzxKxy ′+′=′

5. Substitusikan turunan fungsi di atas ke dalam PD Linier secara lengkap:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } (xcxzxKxbxzxKxzxKxa = )+′+′

atau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } (xcxzxbxzxaxKxzxKxa = )+′+′

6. Perhatikan, bahwa z identik dengan solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan, sehingga (perhatikan juga langkah 1 di atas!):

( ) ( ) ( ) ( ) 0=+′ xzxbxzxa

yang berarti bahwa

( ) ( )( ) ( )xzxaxcxK =′


7. Solusi atau primitif dari dapat diselesaikan, sedemikian rupa sehingga hasil

akhir dari solusi

( )xK

( ) ( ) ( )xzxKxy =

dapat diketahui.

g. Contoh soal:

1. Selesaikan PD Linier berikut: 32 xyyx =−′

Penyelesaian:

PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: 02 =−′ yyx

Persamaan di atas merupakan PD dengan konfigurasi variabel terpisah, sehingga

xdx

ydy 2= , jika 0≠y

jika diintegrasikan,

∫∫ =xdx

ydy 2

sehingga dihasilkan,

2lnln2ln xxhy

==

dan, 2xKy =

⇒ Asumsikan, bahwa K adalah fungsi dari x , sehingga hasil turunan dari (atau sama dengan y′ ) adalah:

xKxKy 22 +′=′

⇒

⇒

y


⇒ Jika persamaan terakhir disubstitusikan ke PD Linier asal, maka akan diperoleh:

3223 22 xxKxKxK =−+′

Perhatikan, bahwa term perkalian dengan K ternyata saling meniadakan, sedemikian rupa sehingga diperoleh:

33 xxK =′

atau 1=′K

Integran, atau primitif dari persamaan terakhir di atas adalah:

λ+= xK , λ merupakan konstanta integrasi

Kemudian, jika kita substitusikan K ke dalam persamaan 2xKy = di

atas, akan diperoleh sebagai solusi umum:

( ) xxxxy λλ +=+= 32

⇒

⇒

⇒

2. Selesaikan PD Linier berikut:

xxyy 2sintan =−′

Penyelesaian:

PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: 0tan =− xydxdy

Sebagai PD dengan konfigurasi variabel terpisah, maka

dxxx

ydy ∫∫ −=

cossin

sehingga dihasilkan,

xhy coslnln =

⇒

⇒


dan, xKy cos=

Asumsikan, bahwa ( )xKK = , sehingga hasil turunan dari persamaan di

atas adalah: xKxKy sincos −′=′

Substitusikan ke dalam PD Linier asalnya, akan diperoleh:

xxxKxKxK 2sintancossincos =+−′

Perhatikan, bahwa term faktor K ternyata saling menihilkan, sehingga:

xxxxK cossin22sincos ==′

atau xK sin2=′

Integran dari persamaan di atas diperoleh dengan cara:

λ+−=

= ∫x

dxxK

cos

sin2

Kemudian, dengan mensubstiusikan hasil persamaan K di atas ke dalam persamaan xKy cos= , diperoleh solusi unum berikut:

xxy coscos2 2 λ+−=

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

3. Selesaikan persamaan diferensial berikut:

( ) 112 =+−′ yxxy

Penyelesaian:

PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: ⇒


( ) 012 =+−′ yxxy

Pisahkan variabel-variabel dari persamaan di atas, sehingga diperoleh:

12 −

−=xdxx

ydy

Kemudian integrasikan:

dxxx

ydy ∫∫ −

−=12

sehingga dihasilkan

1lnln 221 −−= x

hy

atau

12 −=

x

Ky

Dalam hal ini, solusi PD tanpa suku ruas kanan sangat bergantung pada harga x , yang lebih besar dari 1 ataupun lebih kecil dari 1.

Kasus #1: 1>x

Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:

12 −=

x

Ky

Turunan dari fungsi apabila K adalah fungsi dari x , adalah sbb:

( )32211 −

−−

′=′

x

xK

x

Ky

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒


⇒ Substitusikan persamaan terakhir ke dalam PD Linier asal, secara lengkap, sehingga diperoleh:

( )( ) 1

11

11 22

322=

−+−

−−

−

′

x

Kxxx

xK

x

K

atau

( ) 111

122

2 =−

+−

−−′x

xK

x

xKxK

Sehingga diperoleh fungsi K ′ dalam x , sebagai berikut:

1

12 −

=′x

K

Dan, primitifnya adalah:

λ+−+= 1ln 2xxK

Solusi akhirnya menjadi:

1

1ln

2

2

−

+−+=

x

xxy

λ, jika 1>x

Kasus #2: 1<x

Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:

21 x

Ky−

=

Dengan metode yang sama seperti pada kasus #1 di atas, diperoleh:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒


( )32211 x

xK

x

Ky−

+−

′=′

dan

λ+−=−

−= ∫ xx

dxK arcsin1 2

Sehingga solusi akhirnya adalah sbb:

21

arcsin

x

xy−

+−=

λ, jika 1<x

⇒

h. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi kuncinya untuk mempermudah mencari penyelesaian!):

1. 1sincos =+′ xyxy

(kunci: x

K 2cos1

=′ dan xxy cossin λ+= )

2. xyyx ln=−′

(kunci: 2lnxxK =′ dan xxy λ+−−= 1ln )

3. tidtdit sin2 =+

(kunci: ttK sin=′ dan 2sincos

tttti λ++−

= )

4. ( ) ( )1ln11 ++=+′+ xyyx

(kunci: ( 1ln1 ++ )=′ xK dan ( )1

1ln+

++=x

xy λ )

5. xyyx arctan=+′

(kunci: xK arctan=′ dan ( )x

xx

xy λ++−= 21ln

21arctan )


2.4. Persamaan Diferensial jenis Persamaan BERNOULLI a. Bentuk Umum:

( ) ( ) myxbyxay =+′

dengan a merupakan fungsi (sembarang) dalam x , ( )xaa =

b merupakan fungsi (sembarang) dalam x , ( )xbb =

m merupakan tetapan bilangan nyata, sembarang dan berharga selain dari 0 dan 1 (nilai-nilai yang mengakibatkan PD ini menjadi berbentuk LINIER).

Jika , akan diperoleh persamaan-persamaan yang jelas lebih mudah untuk

diselesaikan.

0>m

b. Metode Penyelesaian:

1. PD bersangkutan harus dapat disusun ulang dalam bentuk LINIER, yaitu dengan membagi kedua ruas dengan faktor , sehingga my

( ) ( )xby

xayy

mm =+′

−11

2. Lakukan substitusi fungsi yang dicari, yang didefinisikan sebagai:

11 −= myz

3. Karena y merupakan fungsi dari x , maka turunan dari fungsi adalah: z

( ) myymz′

−=′ 1

4. Sehingga, solusi dari PD yang dimaksudkan dapat ditulis sebagai:


( ) ( )xbzxamz

=+−

′1

Persamaan di atas berbentuk PD Linier berorder 1. c. Contoh soal:

Selesaikan PD berikut, yang termasuk dalam jenis Persamaan BERNOULLI: 223 yxyyx =+′

Penyelesaian:

Persamaan di atas memiliki harga 2=m . Bagilah kedua suku dengan sehingga diperoleh: 2y

22

3 xyy

yx=+

′

Dimisalkan,

yz 1

=

dengan turunannya terhadap variabel , z

2yyz′

−=′

sehingga diperoleh persamaan baru, dalam variabel : z

23 xzzx =+′−

sebagai PD Linier berorder 1, dengan solusi sebagai berikut:

( ) 21 xxz λ+=

Integral UMUM sebagai solusi dari PD bersangkutan adalah sebagai berikut:

( ) 211

xxy

λ+=


d. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan persamaan-persamaan diferensial BERNOULLI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara. Untuk mempermudah mencari penyelesaian, berikut diberikan juga persamaan atau solusi kuncinya.

1. 3yxyy =+′

(kunci: 212

2 1++

=xe

y xλ )

2. ( )yxyy +=′ 1

(kunci: 1

1+−

= − xey xλ

3. yyxy =′−2

(kunci: ( )21 xy λ+= )

4. xyyyx =+′ 22

(kunci: 212

2 1++

=xe

y xλ)

5. 6yxyy =−′

(kunci: 515

5 1+−

=− xe

y xλ)

6. 0tan 2 =++′ yxyy

(kunci: λ+

=xxy

sincos )

7. Carilah KURVA INTEGRAL yang melalui titik 1,1 == yx dari PD yang benrbentuk Persamaan BERNOULLI berikut:

3yxyyx =+′

(kunci: 22

21xx

yλ+

= , dan 1−=λ )


2.5. Persamaan Diferensial jenis Persamaan RICCATI a. Bentuk Umum:

( ) ( ) ( )xcyxbyxay ++=′ 2

dengan a , b , dan merupakan fungsi-fungsi dalam c x .

b. Metode Penyelesaian:

1. PD yang berbentuk Persamaan RICCATI dapat diselesaikan bila diketahui INTEGRAL SPESIFIK , sedemikian rupa sehingga substitusi fungsi yang akan

dicari berbentuk: 1y

zyy += 1

2. Persamaan di atas akan mentransformasikan Persamaan RICCATI menjadi:

( )( ) ( )( ) ( )xczyxbzyxazy ++++=′+′ 12

11

3. Karena y merupakan SOLUSI SPESIFIK (khusus) dari Persamaan RICCATI,

maka: 1

( ) ( ) ( )xcyxbyxay ++=′ 1211

4. Melalui penyederhanaan, maka kombinasi dari kedua persamaan (langkah 2 dan 3) di atas akan menghasilkan:

( ) ( ) ( )[ ] zxbyxazxaz ++=′ 12 2

yang identik dengan Persamaan BERNOULLI, dengan 2=m .

5. Langkah-langkah selanjutnya adalah sesuai dengan penyelesaian Persamaan BERNOULLI, seperti di jelaskan pada paragraf L-2A.4 di atas.


c. Contoh soal:

Selesaikan PD berikut yang berbentuk Persamaan RICCATI:

2122

++

+−=′ xy

xxyy

Yang dapat diselesaikan menggunakan INTEGRAL SPESIFIK . xy =1

Penyelesaian:

Periksa terlebih dahulu bahwa xy =1 merupakan SOLUSI SPESIFIK, yaitu

dengan memisalkan: zxy +=

sehingga turunanya: zy ′+=′ 1

kemudian disubstitusikan ke dalam Persamaan RICCATI di atas.

Setelah disederhanakan, akan diperoleh:

02 =+−′ zzzx

Untuk penyelesaiannya, bagilah kedua suku dengan sehingga diperoleh: 2z

112 =+′

zzzx

Kemudian, misalkan:

zu 1

=

sehingga

2zzu′

−=′

dan 1=+′− uux

mengarah pada solusi PD Linier, dalam , sebagai berikut: u

1+= xKu


atau, solusi yang dikembalikan dalam variabel : y

11

++=

xKxy

d. Tugas dan soal-soal latihan:

Selesaikan Persamaan-persamaan RICATTI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara, yang disertakan pula persamaan atau solusi kuncinya.

a. 025 4223 =+−+′ xyxyyx , dimisalkan 21 xy =

(kunci: x

xxy+

+=λ

32 )

b. xxxy

xxy

xxy 3

22

cossin4sin21

cossin

sincos +

−+=′ , dengan pemisalan integral

spesifiknya adalah x

y 21cos2

1=

(kunci: xx

ysin1

1cos2

12 λ−

+−=

c. ( ) ( ) xxxyxyy 32 cossincos2cos =++′− , dengan xy cos1 =

(kunci: xxxy

sincoscos−

+=λ

)

d. ( )( )xxx eeyeyy 432 5125 +++=′ , dengan xey −=1

(kunci: xxx

eeey 32

1−

+−= −λ)

e. 42

41x

yy =+′ , dengan pemisalan 212

11xx

y +=

(kunci: ( )11

211

122 −++=

− xexxxy

λ)


[P-2.1] PROYEK #1: Solusi ANALITIS dan NUMRIS Persamaan Diferensial Order 1

Selesaikanlah, secara kelompok, semua PD order 1 di bawah ini:

a. xyedxdy −=

b. 2yxyy −=′

c. xxxy

xxy

xx

dxdy

3

22

cossin4sin21

cossin

sincos +

−+=

secara ANALITIS dan NUMERIS, pada interval [ ]1,0 dengan harga awal . ( ) 10 =y

Format jawaban:

Solusi analitis: diselesaikan terlebih dahulu, menggunakan metode-metode analitis seperti telah dijelaskan pada LAMPIRAN (mulai halaman 1 sampai dengan 26). Beri penjelasan juga tentang METODE SOLUSI yang digunakan dan JENIS atau konfigurasi dari persamaan-persamaan diferensial tersebut.

Solusi numeris: menggunakan kedua varian dari Metode RUNGE-KUTTA order 2 titik tengah dan kelandaian rerata, seperti dijelaskan pada Bab 2 (halaman 8 sampai 12).

Formula Runge-Kutta order-2 titik-tengah:

( )ii yxfhk ,1 =

++=

21

22 , kyhxfhk ii

21 kyy ii +=+

Formula Runge-Kutta order-2 nilai rerata:

( )ii yxfhk ,1 =

( )12 , kyhxfhk ii ++=

( )2121

1 kkyy ii ++=+

Tampilan solusi numeris harus diberikan dalam tabel-tabel yang berbentuk


seperti di bawah ini:

Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 TITIK-TENGAH

ix iy 1k 2k ( )ixy*

0,0 1 .... ... ... 0,1 .... .... ... ... 0,2 .... .... ... ... 0,3 .... .... ... ... 0,4 .... .... ... ... 0,5 .... .... ... ... 0,6 .... .... ... ... 0,7 .... .... ... ... 0,8 .... .... ... ... 0,9 .... .... ... ... 1,0 .... .... ... ...

dan, seperti di bawah ini:

Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 KELANDAIAN RERATA

ix iy 1k 2k ( )ixy*

0,0 1 .... ... ... 0,1 .... .... ... ... 0,2 .... .... ... ... 0,3 .... .... ... ... 0,4 .... .... ... ... 0,5 .... .... ... ... 0,6 .... .... ... ... 0,7 .... .... ... ... 0,8 .... .... ... ... 0,9 .... .... ... ... 1,0 .... .... ... ...


2.1. persamaan diferensial dengan konfigurasi variabel...

Documents