2.1 definitionen 2.2 zusammengesetzte querschnitte 2.3 ...wandinger.userweb.mwn.de/tm2/v3_2.pdf ·...
TRANSCRIPT
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-1
18.09.18
2. Flächenträgheitsmomente
2.1 Definitionen
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
2.3 Hauptachsen
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-2
18.09.18
2.1 Definitionen
● Flächenträgheitsmomente:
– Die zur Berechnung der Spannungen eingeführten Integrale
heißen Flächenträgheitsmomente oder Flächenmomente zweiter Ordnung.
– Flächenträgheitsmomente sind geometrische Kennwerte des Querschnitts.
– Die Flächenträgheitsmomente Iy und Iz werden als axiale Flächenträgheitsmomente bezeichnet.
I y=∫A
z2 dA , I z=∫A
y2 dA , I yz=−∫A
y z dA
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-3
18.09.18
2.1 Definitionen
– Das Flächenträgheitsmoment Iyz wird als Deviationsmoment be-zeichnet.
– Die axialen Flächenträgheits-momente sind immer positiv.
– Das Deviationsmoment kann positiv, negativ oder null sein.
– Das Deviationsmoment ist null, wenn eine der Achsen eine Symmetrieachse ist.
y -y
zy
z
dA dA z
S
y z dA+(−y) z dA=0
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-4
18.09.18
2.1 Definitionen
● Trägheitsradien:
– Die Größen
haben die Einheit einer Länge.
– Sie werden als Trägheitsradien bezeichnet.
– Mit den Trägheitsradien gilt:
i y=√I y
A , i z=√I z
A
I y=i y2 A , I z=i z
2 A
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-5
18.09.18
2.1 Definitionen
● Beispiel: Rechteckquerschnitt
– Mit dA = b dz folgt:
– Vertauschen von b und h ergibt:
– Aus der Symmetrie folgt:
y
z
b
h
dz
dA
I y=∫A
z2 dA= ∫−h /2
h /2
z2 b dz
=b [ z3
3 ]−h/2
h /2
=b( h3
24+
h3
24 )= 112
b h3
I z=1
12b3 h
I yz=0
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-6
18.09.18
2.1 Definitionen
– Mit A = b h gilt für die Trägheitsradien:
● Beispiel: Kreisquerschnitt
– Wegen der Rotationssymmetrie sind die Flächenträgheitsmomente für alle Achsen gleich:
i y=√ b h3
12 b h =h
2 √3, iz=√ b3 h
12 b h =b
2 √3
I y=I z=12 ( I y+ I z )=
12∫A
( z2+y2 ) dA
R
r
dr
dAz
y
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-7
18.09.18
2.1 Definitionen
– Mit und folgt:
– Damit gilt:
– Mit folgt für die Trägheitsradien:
z2+y2
=r2 dA=2 π r dr
∫A
(z2+y2 ) dA=∫
0
R
r2(2 π r )dr=2 π∫
0
R
r3 dr=12
π R4
I y=I z=14
π R4
A=π R2
i y=i z=√ π R4
4 π R2 =R2
→ I y=I z=14
R2 A
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-8
18.09.18
2.1 Definitionen
● Beispiel: Kreisring
– Die Beziehungen für den Kreisring lassen sich durch Bilden der Differenzen aus den Beziehungen für den Kreis herlei-ten:
– Mit dem mittleren Radius
und der Wandstärke folgt:
Ra
Ri
z
y
Rm
t
I y=I z=14
π ( Ra4−R i
4)
Rm=12 ( Ra+Ri )
t=Ra−R i
Ra4−R i
4=( Ra
2+R i
2 ) ( Ra2−R i
2 )
=(Ra2+R i
2) ( Ra+R i ) ( Ra−R i )=( Ra
2+R i
2)⋅2 Rm t
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-9
18.09.18
2.1 Definitionen
– Mit und folgt:
– Damit ist gezeigt:
– Für dünnwandige Kreisringe ( ) gilt die Näherung:
Ra=Rm+ t /2 R i=Rm−t /2
Ra2+Ri
2=Rm
2 (1+t
2 Rm )2
+Rm2 (1−
t2 Rm )
2
=2 Rm2 (1+
t 2
4 Rm2 )
Ra4−R i
4=4 Rm
3 t (1+t 2
4 Rm2 ) → I y=I z=π Rm
3 t (1+t 2
4 Rm2 )
t≪Rm
I y=I z≈π Rm3 t
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-10
18.09.18
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
● Aufgabenstellung:
– Für einfache Flächen sind die Flächenträgheitsmomente ta-belliert.
– Gesucht sind die Flächenträgheitsmomente für einen Quer-schnitt, der aus Teilflächen zusammengesetzt ist, deren Flächenträgheitsmomente bekannt sind.
● Lösungsweg:
– Es gilt: I y=∫A
z2 dA=∑∫Ai
z2 dA=∑ I yi
I z=∫A
y2 dA=∑∫Ai
y2 dA=∑ I zi
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-11
18.09.18
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
– Die Flächenträgheitsmomente des zusammengesetzten Querschnitts sind die Summen der Flächenträg-heitsmomente der Teilflächen.
– Dazu werden die Flächenträgheits-momente der Teilflächen bezüglich dem gemeinsamen Flächenschwer-punkt benötigt.
– Die tabellierten Werte beziehen sich auf die Schwerpunkte der Teilflä-chen.
A1
A2
A3
z
y S
S3
S2
S1
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-12
18.09.18
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
● Parallelverschiebung des Koordinaten-systems:
– Gegeben:● Flächenträgheitsmomente IY , IZ und IYZ
bezüglich dem Koordinatensystem SYZ● Koordinaten yS und zS des Schwerpunkts
S im Koordinatensystem Byz
– Gesucht:● Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und Iyz
bezüglich dem in den Punkt B parallel verschobenen Koordinatensystem Byz
S
B
y
Y
zZ
zS
yS
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-13
18.09.18
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
– Mit gilt:y=Y +y S , z=Z +z s
I y=∫A
z2 dA=∫A
( Z +z S )2 dA=∫
A( Z 2
+2 Z zS+zS2)dA
=∫A
Z 2 dA+2 z S∫A
Z dA+ zS2∫
A
dA=I Y+z S2 A
I z=∫A
y2 dA=∫A
(Y +y S )2 dA=I Z+yS
2 A
I yz=−∫A
y z dA=−∫A
(Y +yS ) ( Z +zS ) dA=I YZ−yS zS A
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-14
18.09.18
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
– Ergebnis (Satz von Steiner):
– Dabei sind yS und zS die Koordinaten des Flächenschwer-punkts der Teilfläche im gemeinsamen Koordinatensystem.
I y = I Y + zS2 A
I z = I Z + yS2 A
I yz = I YZ − yS zS A
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-15
18.09.18
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
● Beispiel: I-Träger
– Der gemeinsame Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Symme-trieachsen.
– Oberer Gurt:
b
t
h
t
d
S = S2
z
y
S1
S3
A1=b t
I Y 1=1
12b t 3 , I Z 1=
112
b3 t
yS 1=0 , zS 1=−( h2+
t2 )
yS 12 A1=0 , zS 1
2 A1=(h2+
t2 )
2
b t
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-16
18.09.18
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
– Steg:
– Unterer Gurt:
I y 1=b t 3
12+
14
(h2+2 h t + t 2 ) bt= h2 b t
12 (3+6th +4
t 2
h2 ) , I z 1=b3 t12
A2=h d , yS 2=z S 2=0
I Y 2=d h3
12=I y 2 , I Z 2=
d 3 h12
=I z 2
A3=A1=b t , yS 3=0 , zS 3=h2+
t2
I Y 3=I Y 1 , I Z 3=I Z 1
I y 3=I y 1=h2 b t12 (3+6
th +4
t 2
h2 ) , I z 3=I z 1=b3 t12
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-17
18.09.18
2.2 Zusammengesetzte Querschnitte
– Gesamt:
– Vereinfachung für dünnwandige Querschnitte:
I y=I y 1+ I y 2+ I y 3=h2 b t
6 (3+6th +4
t 2
h2 )+ d h3
12
I z=I z 1+ I z 2+ I z 3=b3 t6
+d 3 h12
=b3 t12 (2+
d 3
b3ht )
t≪h , d≪b → I y=h2 b t
2+
d h3
12, I z=
b3 t6
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-18
18.09.18
2.3 Hauptachsen
● Drehung des Koordinatensystems:
– Gegeben: ● Flächenträgheitsmomente Iy , Iz und
Iyz bezüglich dem Koordinatensys-tem Syz.
– Gesucht:● Flächenträgheitsmomente Iη , Iζ und
Iηζ im Koordinatensystem Sηζ, das gegenüber dem Koordinatensystem Syz um den Winkel ϕ gedreht ist.
y
z
η
ζ
S
ϕ
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-19
18.09.18
2.3 Hauptachsen
– Koordinaten von Punkt P:
– Mit β = α – ϕ folgt:
α
β
ϕ
r
y
z
ηζ
P
y=r cos(α) , z=r sin (α)
η=r cos(β) , ζ=r sin (β)
η=r cos(α−ϕ)=r (cos(α)cos(ϕ)+sin (α)sin (ϕ))
=y cos(ϕ)+z sin (ϕ)
ζ=r sin(α−ϕ)=r (sin (α)cos(ϕ)−cos(α)sin (ϕ))
=z cos(ϕ)−y sin (ϕ)
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-20
18.09.18
2.3 Hauptachsen
– Damit berechnen sich die Integranden zu
– Trigonometrische Beziehungen:
η2=(y cos(ϕ)+z sin(ϕ))
2
=y2 cos2(ϕ)+2 y z sin (ϕ)cos(ϕ)+z2 sin2
(ϕ)
ζ2=( z cos(ϕ)−y sin (ϕ))
2
=z2 cos2(ϕ)−2 y z sin (ϕ)cos(ϕ)+y2 sin2
(ϕ)
ηζ= (y cos(ϕ)+z sin (ϕ)) (z cos(ϕ)−y sin (ϕ))
=( z2−y2 ) sin (ϕ)cos(ϕ)+y z (cos2
(ϕ)−sin2(ϕ))
2 sin (ϕ)cos(ϕ)=sin (2ϕ) , cos2(ϕ)−sin2
(ϕ)=cos(2 ϕ)
sin2(ϕ)=
12
(1−cos(2 ϕ)) , cos2(ϕ)=
12
(1+cos(2 ϕ))
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-21
18.09.18
2.3 Hauptachsen
– Mit den angegebenen trigonometrischen Beziehungen folgt nach Integration über die Fläche:
I η =12
( I y+ I z ) +12
( I y−I z ) cos(2 ϕ) + I yz sin (2ϕ)
I ζ =12
( I y+ I z ) −12
( I y−I z ) cos(2 ϕ) − I yz sin (2ϕ)
I ηζ = −12
( I y−I z ) sin (2 ϕ) + I yz cos(2 ϕ)
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-22
18.09.18
2.3 Hauptachsen
● Hauptachsen:
– Die Transformationsformeln für die Flächenträgheitsmo-mente haben die gleiche Form wie die Transformationsfor-meln für die Spannungen.
– Daher gibt es zwei senkrecht aufeinander stehende Rich-tungen, für die das Deviationsmoment verschwindet.
– Diese Richtungen heißen Hauptachsen.
– Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen Haupt-trägheitsmomente.
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-23
18.09.18
2.3 Hauptachsen
– Wie bei den Spannungen folgt:
– Die Hauptträgheitsmomente werden so nummeriert, dass I1 > I2 gilt.
– Wird der Querschnitt durch ein Biegemoment um eine Hauptachse belastet, dann dreht er sich um die Hauptach-se.
I 1 /2=12
( I y+ I z )±√(I y−I z
2 )2
+ I yz2 , tan (2ϕH )=
2 I yz
I y−I z
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-24
18.09.18
2.3 Hauptachsen
– Bestimmung von ϕ1:
● Der Taschenrechner liefert einen Wert für ϕH zwischen -45° und 45°.
● Wie bei den Hauptspannungen gilt für den Winkel ϕ1 :
● ϕ1 und Iyz haben das gleiche Vorzeichen.
Iyz > 0 I
yz < 0
ϕH > 0 ϕ
1 = ϕ
Hϕ
1 = ϕ
H - 90°
ϕH < 0 ϕ
1 = ϕ
H + 90° ϕ
1 = ϕ
H
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-25
18.09.18
2.3 Hauptachsen
● Mohrscher Trägheitskreis:
½(I1 + I
2) ½(I
1 - I
2)
2ϕ1
I1
I2
IyI
z
Iyz
P
Q
Iyz
M Iy , I
z
1 2
ϕ1
ϕ1
-Iyz
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-26
18.09.18
2.3 Hauptachsen
● Beispiel: Z-Profil
– Gegeben ist das abgebildete dünnwandige Z-Profil.
– Zu berechnen sind:● Flächenträgheitsmomente im
eingezeichneten Koordina-tensystem
● Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen
– Der Flächenschwerpunkt liegt im Symmetriezentrum.
a
a
a
a t
z
y
t ≪ a
S
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-27
18.09.18
2.3 Hauptachsen
y
z1
2
3
I y=83
a3 t , I z=23
a3 t
I yz=−a3 t
– Flächenträgheitsmomente:
Profil 1 Profil 2 Profil 3 Summe
A ta 2ta ta 4ta
yS
a/2 0 -a/2
zS
a 0 -a
IY
0 2a3t/3 0 2a3t/3
IZ a3t/12 0 a3t/12 a3t/6
yS
2A a3t/4 0 a3t/4 a3t/2
zS
2A a3t 0 a3t 2a3t
-ySz
SA -a3t/2 0 -a3t/2 -a3t
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-28
18.09.18
2.3 Hauptachsen
– Mohrscher Trägheitskreis:
Iyz
Iy , I
z
Iyz
Iy
Iz
2ϕ1I
2I
1
P
Q
1
2
Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 2 3.2-29
18.09.18
2.3 Hauptachsen
z
y
S
1
2
ϕ1
– Hauptachsentransformation:
tan (2 ϕH )=−2
8 /3−2 /3=−1 → 2 ϕH=−45°
I y+ I z
2=
53
a3 t ,I y−I z
2=a3 t
√(I y−I z
2 )2
+ I yz2=√2 a3 t
→ I 1=3,081 a3 t , I 2=0,2525 a3 t
I yz<0 → ϕ1=−22,5°