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Teora de Conjuntos I

Introduccin aRECURSIN(para )

En otras reas del conocimiento -fuera de las Matemticas- como seran: la

Biologa, la Fsica, la Qumica, la Filosofa, etc., la induccin es considerada como un

proceso deductivo: ...pasarde lo particular a lo general..., ...de casos particulares

inferirel caso general.... Esta forma de razonar es muy socorrida por las ciencias

fcticas y como es sabido, no es un procedimiento vlido. Un ejemplo clsico contra

esto es la inferencia de la verdad del enunciado: Todos los cisnes son blancos a

partir del hecho de que todos los cisnes que se han visto hasta ahora, son blancos.

En cambio, laInduccin Matemtica no corresponde a este proceder.No se actade la siguiente manera:

...puesto que se tiene que:

1 1

1 2 3

1 2 3 6

1 2 3 4 10

inferimos que:

1 2 3 n nn 1

2

Esto es un proceder absurdo para la matemtica. A lo ms que nos puede llevar

esta forma de pensar es, llegar a plantear una hiptesis sobre la posibilidad de la

veracidad del caso general y nunca a la autntica verdad. Procederamos -a

posteriori-a encontrar una prueba rigurosadel caso general.

As pues laInduccin Matemticaes unmtodo de prueba.La Induccin para los

nmeros Naturales, a la letra dice:

Si es una frmula conjuntista tal, que:I) 0, y

II) x x x ,

entonces x x.

Una lectura que podemos hacer de este mtodo es: Para probar que todo nmero

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natural tiene una propiedad, basta probar que el 0 tiene la propiedad y que bajo la

suposicin de que un natural arbitrario la tiene, probar que su sucesor tambin tiene

dicha propiedad.

Una buena pregunta que nos podemos hacer es Por qu funciona? Qu tienen

de especial los naturales que trabaja de esta manera? La respuesta est en que sepuede ver como un conjunto generado a partir del 0y utilizando como generador a la

funcional sucesor y del hecho de que cualquier natural o es el 0 o es el sucesor de

algn otro natural. As es como trabaja Induccin.

Ahora podemos preguntarnos Cmo podramos definir algo, por ejemplo una

funcin u operacin, para todos los naturales? Teniendo en mente la idea de que

est generado, podramos decir lo siguiente: Para definir una funcin para todo

nmero natural es suficiente con defirla para el 0, suponerla definida para un natural

arbitrario y definirla para su sucesor en funcin de sta. Este mtodo es conocido con

el nombre de Definicin Recursiva. Este tipo de definicin es muy socorrido pordistintas y diversas ramas de las matemticas, a modo de ejemplo, puesto que

oficialmente todava no podemos, damos la definicindel factorialde un nmero

natural:

(1) 0! 1

(2) n! n!n.

Vale la pena mencionar que este tipo de definiciones, de principio, chocan con una

peticin que se les hace a las definiciones, la cual consiste en que: el definensnocontenga algo deldefinendo.En nuestro ejemplo, utilizamos (en (2)) el factorial deun nmero cuando queremos defir El Factorial !Esta peticin tiene fundamento en

tratar de evitar circularidades. Nosotros lo resolvemos probando la existencia -y

unicidad- de dicha funcin.

La contraparte de induccin es recursin.La recursin es un mtodo de definicin.

A la letra el Teorema de Recursin para en su versin ms simple dice:

Para toda funcing : b by todoa b,hayuna nicafuncinftal que

f : b

I) f0 a

II) n fn gfn

Es justo mencionar el hecho de que si bien es cierto este teorema para los

nmeros naturales, vistos como un conjunto generado, no siempre es vlido para

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cualquier conjunto generado. Para dar un contraejemplo, nos permitimos darlo en un

conjunto que hasta este momento, oficialmente, no lo hemos construido, pero ser

vlido ms adelante. Se trata de los nmeros enteros, .

Estos, , se pueden pensar como generados a partir del 0 y aplicando las

operaciones: sucesor inmediato y predecesor inmediato. A pesar de que en , escierto un principio de induccin, no es vlido un teorema de recursin: Veamos un

ejemplo.

Ejemplo contra la :

Sea

g :

p , gp p2 1

Para sta funcinno hayunaf :

p , fp 1 gfp

Pues en caso contrario, tendramos:

Por un lado, para cualquierp , fp 1 0, pues:

fp 1 gfp fp2 1 0

Y por otro lado tenemos que,

fp fp 2 fp 2 1 gfp fp 1

Con lo que tenemos que:fp 1 fp fp 1 0

lo cual es absurdo

!!!

En General, dada una funcin arbitraria, no podemos concluir -el contraejemplo

nos lo afirma- que exista una funcin que trabaje sobre el conjunto generado. Pero es

posible que para casos particulares si existiera. En tales casos, como veremos ms

adelante, sta sera nica.

El porqu falla recursin en algunos conjuntos generados y no as en los nmeros

naturales, es debido a la especial forma de ser generados. Esta forma tan particular

de ser generados recibe el nombre de Lbremente Generado,y el trabajar este

concepto, se sale de nuestros objetivos.

Notacin: Los axiomas que tenemos hasta ahora,

Z

ZF1, , ZF5 ZF6 ZF7

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A este fragmento de la Teora Formal de Conjuntos se le conoce con el nombre de

laTeora de Zermelo(sin contemplar el axioma de Buena Fundacin,ABF.

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