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NUCLEO CIRCULAR ACORAZADOPARA TRANSFORMADORES
MONOFASICOS:Autores: Víctor Luis Hurtado GonzalesVíctor Benigno Gutiérrez Carabantes
RESUMENEn la construcción y diseño de transformadores
una tarea permanente es mejorar la eficiencia;
atenuar las causas de envejecimiento, reducir las
pérdidas.
a)Para este fin de los núcleos tipo anillo, se dio
paso a los acorazados convencionales en los
cuales se mejora el circuito magnético
ofreciendo un camino más óptimo para el flujo
magnético.
b)Por otro lado se ha buscado siempre reducir el
llamado coeficiente de plenitud del hierro,
tendiendo a buscar modos de conseguir
concordancia entre la forma de la sección delnúcleo y las que adoptan las espiras de las
bobinas, por los que se paso a construir núcleos
con secciones escalonadas
c)Así mismo la concentración de calor se
produce principalmente en la pierna central del
núcleo sobre la cual se acomodan los
arrollamientos, con la consiguiente
imposibilidad de brindar refrigeración forzada
en estas áreas.
d)En la gran mayoría de núcleos para
transformadores no se encuentra una adecuada
concordancia entre la relación costo de cobre/ costo de hierro y la existente entre el peso de
cobre/peso de hierro, que se ve deformado al
asumirse formas de ventanas rectangulares, que
incrementan la longitud del circuito magnético.
Con el presente trabajo se busca encontrar una
solución a estos problemas planteados, en razón
de construir un nuevo modelo de núcleo al que
se le ha denominado “circular acorazado” el
mismo que tiene sección circular, circuito
magnético más corto, mejor camino para el flujo
magnético mejor comportamiento frente a las
tensiones dinámicas etc. y brinda la posibilidadde ofrecer refrigeración forzada sobre la pierna
central del mismo,.
Abarcando su aplicación a transformadores
monofásicos, esperándose en un futuro
desarrollar su aplicación para transformadores
trifásicos acorazados.
INTRODUCCION
Al plantear como solución a estos problemas el
uso de un nuevo modelo de núcleo, para poder
comparar sus resultados se deben establecer
condiciones de diseño semejantes entre un
transformador con núcleo acorazado
convencional y otro de iguales características de
núcleo circular acorazado.
Entonces debemos buscar un núcleo que
manteniendo esta correspondencia tenga la
menor cantidad de hierro, este criterio es valido
para los diferentes tipos de núcleo, por lo que
empezaremos por efectuar un estudio sobre la
longitud del circuito magnético.
Seguidamente se desarrollan los aspectos
concernientes al diseño de un transformador con
Núcleo circular acorazado que nos ocupa, para
finalmente efectuar la comparación de
resultados y presentar las conclusiones.
ANTECEDENTES1.1.-Los transformadores acorazados
convencionales
Surgieron como respuesta a una mejor
recuperación del flujo magnético, frente al que
ofrecían los de tipo anillo. En éstos, la pierna
central (núcleo) es el doble que las dos laterales
(yugos), en razón de que por ella ha de circularel doble de flujo magnético, que es recogida a
través de la culata y los dos yugos, que
constituyen el circuito de retorno.
1.2.-Las máquinas sometidas a fuertes
tensiones dinámicas
Las tensiones dinámicas se incrementan al paso
de mayores intensidades de corriente, como es el
caso de las maquinas de soldar, las plantas de
galvanostegia, influyendo en el envejecimiento
de los aislantes en razón de los
extrangulamientos que sobre la superficie del
núcleo se presentan en particular sobre lasaristas de los núcleos de sección cuadrada o
escalonada y sumadas a la mayor concentración
de calor en esta zona aceleran el envejecimiento
de los aislantes que separan al núcleo de las
bobinas como de los aislantes de los
conductores.
1.3.-Los flujos de dispersión
En la construcción y diseño de transformadores,
una tarea permanente ha sido reducir las
pérdidas de los llamados flujos de dispersión.
De ésta manera, para recuperar estos flujos de
los núcleos tipo anillo, se dio paso al desarrollode los núcleos acorazados convencionales; en
los cuales se mejora el circuito magnético
ofreciendo un camino más completo a las líneas
de fuerza y permiten la recuperación de una
buena parte de éstas líneas que en los de tipo
anillo se pierden, con el resultado de una mayor
eficiencia.
Si se construye un núcleo con la forma que
describen las líneas de fuerza electromagnética,
los flujos de dispersión que se pierden se podrán
recuperan.
Entonces, de lo que se trata, es de diseñar una
nueva forma de núcleo que permita recuperar
mayor cantidad de éstos flujos.
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1.4 Sobre el Coeficiente de Plenitud del Hierro
Otro problema ha sido, la reducción del
coeficiente de plenitud del hierro, que se
produce porque las secciones transversales de
los núcleos de modelos anteriores son de forma
cuadrada o escalonada, mientras que las espiras
de los arrollamientos tienden a formar
trayectorias circulares, produciendo espacios
perdidos entre el núcleo y los arrollamientos que
en definitiva se traducen en pérdidas e impiden
una mejor utilización del hierro, el problema
consiste en determinar la sección más
conveniente a efecto de que los espacios
perdidos sean mínimos, y que las espiras tengan
la mínima longitud
Propuestas para la solución de éste problema ha
sido la construcción de núcleos con secciones
escalonadas, con los que se busca rellenar los
espacios vacíos con porcionesFig 1-1 Diferentes formas de núcleos
escalonados
de núcleo, ofreciendo de éste modo, una sección
de núcleo, más cercana a la forma circular que
adoptan las espiras.La extrema dificultad en la construcción de éstos
núcleos y su consiguiente mayor costo han
limitado su uso a casos especiales.
¿Cómo construir un modelo de núcleo que
ofrezca una correspondencia entre la forma de la
sección del núcleo, y la que describen las
espiras?
Al responder ésta interrogante se ha buscado una
forma de núcleo cuya sección sea también
circular, como adoptan las espiras.
1.5.-Concentración del calor
En los núcleos acorazados convencionales laconcentración del calor se produce
principalmente en la pierna central, sobre la cual
se acomodan los arrollamientos, con la
consiguiente imposibilidad de brindar
refrigeración localizada sobre éstas áreas
¿Cómo brindar refrigeración localizada sobre
éste área?
Si construimos un núcleo de sección circular,
éste puede ser objeto del maquinado de un
taladro central por el cual se podrá acondicionar
un mecanismo de refrigeración forzada, que
estará en contacto directo con la parte máscrítica; que no es posible en los modelos
anteriores, por tanto, permitirá elevar el punto
crítico de funcionamiento, y elevar el ciclo de
trabajo de la máquina.
1.6.-Comportamiento de los aislamientos.-
1.6.1.-Sobre las tensiones dinámicas
En transformadores que trabajan a regímenes
cercanos al corto circuito, las tensiones
dinámicas son considerables, y se concentran
sobre el núcleo y si éste tiene secciones de
forma cuadrada o escalonada, se concentran en
las aristas y se traducen en el envejecimiento
prematuro de los aislantes en estos puntos, en
razón de los “extrangulamientos“ que se
producen, entre el aislante de los conductores
sobre los del núcleo, cada vez que se produce el
paso de intensidades de corriente alta.
1.6.2.-El comportamiento crítico de los
aislamiento
Al construirse los devanados sobre una sección
cuadrada o escalonada se producen vérticesreproduciéndose el efecto de las puntas, por lo
que los aislantes encontraran en éstas puntas el
punto mas critico.
¿Cómo evitar el efecto de las puntas y conseguir
que los aislantes funcionen por encima de los
puntos críticos convencionales?
Al diseñar un núcleo de sección circular,
estaremos acomodando las espiras de manera
uniforme sin ocasionar puntas de este modo los
efectos de las tensiones dinámicas se verán
amenguadas, Así mismo no se reproducirán los
efectos de las puntas y lograremos que losaislantes de los conductores funcionen en
mejores condiciones.
1.7.- Ventajas del nuevo modelo
Con respecto a los núcleos convencionales, Se
espera alcanzar:
Reducción de flujos de dispersión, un
coeficiente de plenitud del hierro en su punto
más alto (1), mejorar la disipación natural del
calor, posibilidad de brindar refrigeración
forzada sobre el área crítica sobre el cual se
arrollan las espiras, lograr mejor
comportamiento de los aislantes.CRITERIOS GENERALES PARA ElDISEÑO DE TRANSFORMADORES
A continuación expondremos los criterios
generales de construcción valida a cualquier
modelo que ayudan a definir el propuesto.
2.1.- Tipos de transformadores
En la construcción de transformadores se han
hecho uso de dos tipos, los de columnas o tipo
anillo y los acorazados.
Los de anillo se caracterizan porque en estos las
bobinas envuelven al núcleo, por lo que también
se les denomina transformadores de circuito
eléctrico envolvente.
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Los acorazados se caracterizan porque de
manera contraria al anterior los devanados se
encuentran cubiertos por el núcleo por lo que
también se les conoce como de circuito
magnético envolvente.
Por este motivo el modelo de núcleo propuesto
al ser de circuito magnético envolvente y por ser
de forma circular se le ha denominado circular
acorazado. Este modelo permite recuperar los
flujos de dispersión con mayor eficiencia
quedando como pérdidas de flujo más
importantes las de pequeñas turbulencias que se
producen al paso de los conductores de ingreso y
salida de los devanados primario y secundario.
2.2.- Consideraciones en las pruebas de
aisladores
Cuando se efectúan pruebas en los
aisladores,entre los criterios que se utilizan se
considera el que; todas las aristas y vérticesactivos son peligrosos, pero no pueden ser
evitados en los modelos de núcleos
convencionales, lo que motiva que se tenga que
efectuar las pruebas de ensayo de los aislantes
entre puntas, entre punta y placa y no entre
electrodos planos o esféricos
El evitarse la formación de vértices como es el
caso del núcleo circular acorazado, es evidente
que las condiciones de prueba pueden ser
efectuadas entre electrodos planos, o en todo
caso conductores en semejantes condiciones de
aislamiento estarán a un nivel superior deseguridad dieléctrica al funcionar en estas
condiciones, es decir en un medio sin la
formación de aristas, como será en el caso de los
transformadores con núcleo circular acorazado.
2.3 Consideraciones sobre la longitud del
circuito magnéticoEn un núcleo acorazado convencional la práctica
recomienda que la relación entre el ancho de las
ventanas con la altura este comprendida entre
2,5 a 3,5 veces el ancho, pero es necesario
anotar que para obtener el punto económico más
optimo será aquel que permita equilibrar entre el
costo del cobre con la del hierro, y además aquel
que brinde la longitud de circuito magnético más
corta.
Pues, si el alto es mucho mayor que el
necesitaremos menor cantidad de cobre para
producir la misma cantidad de vueltas en torno a
una misma sección de núcleo, en razón de que
utilizaremos menos capas, pues éstas tienen un
perímetro más pequeño cuanto más cercanas al
núcleo estén y tanto mayor cuanto más grandes
sean las espiras ultimas pero requiere un mayor
volumen de hierro, al incrementarse la longitud
del circuito magnético manteniendo, la misma,
sección y por tanto aumentan en éste caso las
pérdidas en el hierro a la vez que incrementan sucosto y peso por este motivo. Por otro lado si
tuviéramos una ventana de ancho igual al alto
encontramos el punto optimo donde obtenemos
la menor cantidad de hierro para una misma
sección de núcleo, aún cuando se tenga un ligero
incremento en la cantidad de cobre. Finalmente
si el ancho fuese mayor que el alto de la
ventana se incrementaría innecesariamente la
cantidad de hierro con el consiguiente
incremento también innecesario de las pérdidas
en el hierro. y requerirá una cantidad de cobre
mayor que en los casos anteriores,En conclusión desde el punto de vista de la
longitud del circuito magnético y buscando
equilibrar las pérdidas entre el Cobre y el Hierro
el núcleo más conveniente es por la razón de
calidad y costo expuesta, el indicado en la Fig.2-
2, aun cuando en la práctica no es comúnencontrarlo.
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Así se puede apreciar en el cuadro comparativo
siguiente donde tenemos los pesos de cobre y
hierro para un modelo de 2000VA de la misma
sección transversal y diferente relación entre El
ancho y largo de la ventana para un mismo
arrea, manteniendo la misma relación de pesos
de cobre/hierro.
Para efectos del cálculo de las fórmulas en todo
el trabajo se usara la relación entre el alto y el
ancho igual a 1
2.4Sobre la sección del núcleo
2.4.1.- Estudio de la sección del núcleo y el
coeficiente de utilización del hierro para un
núcleo de sección cuadrada.
La sección cuadrada del núcleo estará inscrita en
una circunferencia de diámetro D igual al
diagonal del cuadrado que forma la sección
transversal del núcleo. por tanto:
El área de la sección transversal del cuadrado es:Acuadrado = D2 x 0,5
Luego: el área de la circunferencia es:
Acircunferencia = π /4 x D2
2.4.2.- Factor de escalonamiento k g:
Al factor que multiplica a D2 se le denomina
factor de escalonamiento Kg Para el caso de
núcleos compuestos se tiene los siguientes
valores:
Kg Para: un escalón 0,5; dos escalones 0,6120;
tres escalones 0,6559; cuatro escalones 0,688;cinco escalones 0,7043 seis escalones 0,7559
Para un núcleo circular acorazado propuesto este
factor es = 0,7853.
2.4.3.- Factor de empilamiento ke:
Este coeficiente depende del grosor de las
planchas y la calidad del aislamiento que se
utilice entre chapas así tenemos:
papel 0,9; esmalte 0,92; aislante químico
“carlita” Ke = 0,95
2.4.4.- Factor global de uso del hierro k o
Viene a ser el factor global de utilización delcuadrado circunscrito al núcleo y es el producto
de los dos anteriores. :
Ko = Kg x Ke
y sus valores son:
Asumiendo un factor de empilamiento 0,93:
Valores de: Ko para: un escalon 0,465; dos
escalones 0,57; tres escalones 0,61 cuatro
escalones 0,64; cinco escalones 0,655; seis
escalones 0,703*(estos valores han sido
tomados de Juan Corrales Martín “Cálculo
industrial de Máquinas Eléctricas” T.II pg37)
Y para el caso del núcleo circular acorazado
propuesto éste factor es 0,73.
Entonces se puede escribir la sección del núcleo
para un transformador de sección cuadrada en
función del coeficiente global de utilización del
hierro:
SN = Ko x D2
2.4.5.- Coeficiente de plenitud de hierro
A la relación entre el área de la circunferenciacon el área neta del núcleo se le llama
coeficiente de plenitud de hierro y se designa
por fp.
Area de la sección del núcleo
fp = ---------------------------------------
Area de la circunferencia circunscrita
Este factor adquiere los siguientes valores para
los diferentes tipos de núcleos escalonados:
Para un escalón 0,6366; dos escalones 0,7792;
tres escalones 0,8351; cuatro escalones 0,8759;
cinco escalones 0,8967; seis escalones 0,9624;
Para el Núcleo circular acorazado es de 1,000. 2.5 Determinación de la constante de diseño
para el transformador de núcleo acorazado
convencional
Para determinar el transformador para una
determinada potencia que resulte más
económica partiremos del criterio de construir
una variedad de transformadores de diferentes
dimensiones para una misma potencia con
distintas secciones de núcleo, por tanto
diferentes volúmenes de hierro y cobre, se debe
entonces hacer una evaluación de éstos
volúmenes para compararlos y determinar el que
sea más económico para la potencia diseñada.
Para este efecto se parte por hacer una
evaluación de los volúmenes de hierro en un
transformador acorazado convencional.
Fig2-5 Partes de un núcleo acorazado
convencional.
Como se puede apreciar en el diagrama de
volúmenes de hierro, fig. 2-5 y de las
características más usuales de los
transformadores acorazados convencionales se
determina el volumen de hierro :Si a los valores de cobre total a emplear, lo
mismo que a los valores de hierro total
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obtenidos los referimos a peso de cobre y peso
de hierro por un lado.
Y si también hacemos lo propio con los precios
del material a emplearse en el núcleo, podemos
determinar la relación comparar de tal modo que
encontremos el transformador que nos brinde un
optimo rendimiento al menor precio.
2.6.- Consideraciones para determinar el
nucleo ideal
Con respecto al hierro.-
Al incrementarse las dimensiones del núcleo, se
incrementará necesariamente el costo de hierro,
lo que elevará su costo por lo que se tomará una
ventana de forma cuadrada.
Para la comparación de costos solo se
considerará los incrementos de precio con
relación al incremento de hierro y cobre que se
producirá al variar la sección del núcleo, para
una misma potencia. 2.6.2 Con respecto al cobre.-
Para una determinada potencia la sección del
cobre permanecerá constante, pues ésta depende
de la corriente que debe soportar y de la
densidad de corriente asumida, mientras que al
incrementarse la sección del núcleo se requerirá
un menor número de espiras, así también el
costo del cobre esmaltado a utilizar es en
definitiva un valor variable que se incrementa
por los procesos de estirado que requiere, donde
las secciones más pequeñas tienen un costo
mayor, el punto de equilibrio económico serápropio para una determinada potencia, eso
significa que las constantes de diseño planteadas
para un transformador, de una determinada
potencia no corresponden, necesariamente, a
otro de potencia distinta.
Por ello en el presente trabajo para la
determinación del transformador ideal se plantea
una variedad importante de transformadores
para una misma potencia con valores semejantes
en cuanto a densidades de flujo magnético,
frecuencia eléctrica, y densidad de corriente,
pero con diferentes secciones de núcleo con lasque se efectúa la comparación de cantidad de
hierro y cobre total requeridas para cada una, de
entre las cuales se efectúa la selección de aquella
en la cual la relación del costo del hierro
respecto del cobre sea igual a la relación inversa
del peso del hierro respecto al cobre.
2.7.0- Determinación de la constante de diseño
para un transformador acorazado
convencional.
2.7.1.- Consideraciones generales.-
De las consideraciones planteadas en los puntos
anteriores: Que la sección del conductor para un
transformador de una determinada potencia
permanecerá constante a lo largo de todo el
cálculo, Que se pueden construir una gran
variedad de transformadores para una misma
potencia con diferentes secciones de núcleo,
que desde el punto de vista de la menor longitud
de circuito magnético y del menor volumen de
hierro para una determinada sección, el núcleo
ideal será aquel que tenga ventanas de forma
cuadrada, que el número de espiras necesarias
para cada uno de estos transformadores variará
de acuerdo a la sección del núcleo. Por tanto, al
permanecer constante en todos estos
transformadores la sección del cobre, el
volumen de cobre variará en razón del número
de espiras necesario en cada caso, y de la
longitud promedio que para cada uno de ellos
adopten las mismas. Determinando los
Volúmenes tanto de hierro como de cobre, se
puede determinar el peso de los mismos, Como
el costo del cobre varía en función a lasdimensiones de su sección, mientras que las del
hierro son virtualmente las mismas, se puede
determinar una razón entre el costo (por peso)
tanto del hierro frente a la del cobre, la misma
que será válida solo para la potencia trabajada,
entonces determinando una razón semejante
entre los pesos tanto de hierro como de cobre, se
puede determinar el núcleo acorazado
convencional ideal para una determinada
potencia, la misma que será aquel que
corresponda su razón de peso de hierro /peso de
cobre, con la razón inversa de costo dehierro/costo de cobre.
2.7.2.- Determinación del núcleo ideal para un
transformador de 2000 va de núcleo acorazado
convencional .
Para construir una tabla que luego permita
efectuar la selección de la más económica, se
empezará por asumir para los cálculos los
valores siguientes:
Para un modelo de: P = 2000 VA, f 60c/s, ß 1
Tesla, δ = 3 x 106 A/m2,V1 220 Voltios, Scu1
Sección Cu primario, Kcu 1,5.Con estos valores, y para secciones de núcleo
comprendidas entre 0,00419904 (a=0,648) y
0,00429025 (a=0655) m2.
tendremos una tabla de valores para distintos
núcleos entre los que se podrá seleccionar el más
económico, para la potencia que se está
trabajando de 2000 VA, ver anexo 1
2.7.3.- La relación costo de hierro / costo de
cobre.
En el mercado podemos encontrar los precios
para el cobre y para las placas de hierro al silicio
de grano no orientado siguientes: .Cu de
sección igual a 3.31 mm2, igual a 3.31x10-6 m2:
Nº12 AWG) 5.185185 dólares americanos el
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Kg. Hierro al silicio al 3% de grano no orientado
2.222222 dólares el Kg.
Entonces el transformador ideal será aquel cuya
relación de peso de Hierro/Peso de Cobre
corresponda a la relación inversa de costo de
Hierro/costo de cobre.
Esta relación es :
5.1851
--------- = 2,3333
2.222
2.7.4.- Determinación de la constante de
diseño.
Seleccionando de la tabla aquel que corresponde
a la indicada se pasa a determinar una constante
de diseño que posteriormente nos permita
reconstruir este núcleo ideal.
Entonces de la relación:
p x 1.5
a2 = ----------------------------4,44 x f x ß x K0 x δ x b2
Remplazando valores y del transformador
seleccionado en la tabla reemplazamos el valor
de “b2” determinamos:
a2 = (2.122305 x10-6
) x (p)
Donde al valor: = 2.122305 x10
-6
le podemosllamar Kd, pues con él podremos reconstruir los
valores para un núcleo acorazado convencional,
a partir de la potencia nominal, y a2 = Sección
bruta del núcleo. Este valor adquirirá diferentes
valores, propios para cada potencia y
condiciones en que se efectúa el diseño.
ESTUDIO DEL NUCLEO DE SECCION
CIRCULAR ACORAZADO
El transformador con núcleo circular acorazado
El núcleo circular acorazado que proponemos
tiene una sección circular y un circuito
magnético de retorno formado por un anillocilíndrico que envuelve a las bobinas por lo que
es un núcleo de circuito magnético envolvente
es decir acorazado. Los criterios para el núcleo
circular acorazado, son semejantes a los
tomados para el acorazado convencional
3.1..-Seccion transversal del núcleo.-
La sección transversal corresponde al de la
circunferencia de diámetro D y su sección es:
Acircunferencia =π /4 x D
2
3.2.- Factor de escalonamiento k g:
Como ya se determino es de:
Kg = 0,7853975.
3.3.- Factor global de utilizacion del hierro k o
Para el núcleo circular acorazado corresponde:
Ko = Kg x Ke
Asumiendo un factor de empilamiento 0,93:
Ko = 0,73
3.4.- Coeficiente de plenitud del hierro
Para el caso del Núcleo circular acorazado que
se propone este factor es:fp = 1,000
3.5- Calculo del espesor de la pared circular
externa dr.
Determinada la sección transversal del núcleo
circular acorazado se requiere determinar el
espesor de la capa o pared externa de núcleo que
constituyen el circuito magnético de retorno.Para esto empezaremos por hacer una
comparación entre las proporciones que se
presentan en un núcleo acorazado convencional
a este respecto:
Comparando las proporciones que se mantiene
entre un núcleo tipo anillo y uno acorazado.
Fig. 3-1 relación entre el núcleo y el circuito de
retorno en núcleos de distinto tipo
Del gráfico se puede apreciar que la sección
transversal del núcleo se reparte en el caso del
transformador acorazado entre las dos piernas
laterales (yugos) que posee para cerrar el
circuito magnético, la sección transversal de
estos yugos son a/2 (la mitad de la sección
Fig 3-1
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transversal) de tal modo que la sección total de
retorno es igual a la sección del núcleo,
haciendo la misma analogía para el
transformador circular acorazado tendremos lo
siguiente:
Fig 3-2 gráfico de un núcleo acorazado circular
Como se puede apreciar para recuperar con las
mismas características el flujo magnético
tendremos también que mantener el área de la
sección transversal del núcleo circular acorazado
igual al área correspondiente al espesor de las
paredes externas
Para efectos comparativos plantearemos
condiciones semejantes al anterior, es decir deun núcleo cuya ventana sea cuadrada.
Si se denomina por Ao al área de la sección de
la pared externa que cierra el circuito magnético,
donde r = radio de la sección del núcleo, b=
ancho de la ventana, dr = al espesor del anillo
que cierra el circuito magnético. manteniendo
las proporciones del núcleo acorazado se puede
hacer la comparación:
A0 = Sn
Toda vez que permitirá también mantener la
correspondencia de material magnético entre lasección transversal del núcleo y las que requiera
para el retorno de las correspondientes líneas de
fuerza
Como Sn = πr2
y:
A0 = Acex - Acint
Donde Acex es el área de la circunferencia
externa = πrx2, y rx = r+b+dr donde “b” es el
ancho de la ventana, y. Acint es el área de la
circunferencia interna = π(r+b)2 .
A0 = Acext - Acint
Reemplazando y simplificando:
Entonces se tiene:
πr2 = πrx2 - π(r+b)2
donde:
rx= (r2 + (r+b)2 )1/2
y como:
rx= r + b + dr
dr = (r2
+ (r+b)2
)1/2
- r - bIgual al espesor de la pared externa.
3.6.- Calculo de r
Como:
Sbnc = πr2
r = ( Sbnc/ π)0.5
3.7- Calculo del volumen de hierro de un
nucleo circular acorazado.
Utilizando el mismo criterio anterior de
construir una variedad de transformadores de
diferentes dimensiones para una misma potencia
se desarrollará entonces una evaluación de los
volúmenes de hierro para luego poder hacer la
comparación y determinar el que sea más
económico para la potencia determinada.
Partiendo por hacer una evaluación de los
volúmenes de hierro en un transformador
circular acorazado. Por lo que se planteará un
esquema que permita evaluar éstos volúmenes.
Fig 3-3 Volúmenes de hierro del núcleo circular
acorazado
Como se puede apreciar en el diagrama de
volúmenes de hierro de un núcleo circular
acorazado se tiene que: V1 Es el volumen dehierro consecuencia de la sección circular del
núcleo (Sección bruta del núcleo) multiplicada
r= radiode la
seccióndelnúcleo.rx= radiototaldr=espesor
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por la altura “b” de la ventana que alojará a las
bobinas y sus respectivos aislamientos, la
porción de circuito magnético que une la pierna
central con las laterales, que en este caso
envuelven a las bobinas tiene un área igual al
radio rx elevada al cuadrado por la constante pi,
el volumen del anillo cilíndrico que forma elcircuito magnético de retorno de las líneas de
fuerza, ofrecerá una sección transversal igual a
la sección transversal del núcleo.
3.8.- Determinación del volumen de hierro
Con estas consideraciones se puede apreciar
que:
V1 = π x r2 x b
V2 = π x rx2 x dr
Donde dr = rx - r - b
V3 = Va - Vb
donde
Va = π x rx2 x (b)
Vb = π x (r+b)2 x (b)
entonces:
V3 = πb (rx2 - (r+b)2 )
Del esquema de volúmenes de hierro en un
núcleo circular acorazado podemos apreciar que
el volumen total de hierro es:
Vt = V1 + 2 V2 + V3
Reemplazando y simplificando tenemos:
Vt = π(2rx3 - (rx2+b2)(2r+b))
Volumen total de hierro para un núcleo circular
acorazado.
3.9.- Cálculo del peso del hierro.
Para determinar el peso del hierro a utilizar, se
procederá a multiplicar el Volumen total de
hierro por el peso específico en este caso del
hierro al Silicio al 3,5% de 0,025 - 0,4 mm de
espesor, laminado en frío que se utilizará.
Para el presente caso se tiene:
Hierro al Silicio al 3% laminado en frío 7870
Kg/m3. 3.10.- Calculo de la longitud promedio del
circuito magnético.-
Fig 3-4 longitud promedio del circuito
Como se trata de un núcleo circular acorazado la
longitud promedio del circuito magnético
(Lmm) es la que corresponde a la de un lado,
como se muestra en la figura :
magnético del núcleo circular acorazado
Esta longitud promedio será entonces:
Lmm = 2( b + r
x
/2 + r) + 2( r
x
/2 + b +r
x
/2 )
Lmm = 4b + 3rx + 2r.
3.11.- Consideraciones sobre el volumen de
cobre
Como en todo transformador ideal la potencia
primaria es igual a la potencia en el secundario y
las ventanas deben alojar a las espiras de ambos
bobinados considerando una misma densidad de
corriente tanto se tiene:
que: N1 Scu1 = N2 Scu2
Donde Scu1 y Scu2 dependen de I1 e I2, se
puede considerar que los volúmenes de cobrepara ambos bobinados son iguales
Como la ventana debe alojar a ambos bobinados
se puede considerar:
Aventana = Av = 2 N Scu Kcu
Donde Kcu es una constante que nos da la
proporcionalidad para alojar a los dos bobinados
más los correspondientes aislamientos.
Asumiendo un valor para Kcu de 1,5.
Luego se podrán construir una gran variedad de
transformadores de diferentes secciones de
núcleo y por tanto de diferente número deespiras para una determinada potencia.
Por esta razón, para esta misma potencia el
volumen de cobre en cada uno de estos
transformadores será diferente y variará en razón
de la longitud del circuito magnético y el
número de espiras, como se ha podido apreciar
que el menor circuito magnético se tiene para
una ventana cuadrada, se asume en todos los
cálculos una ventana cuadrada
3.12.- Consideraciones sobre el volumen de
cobre
En el presente caso las espiras envolverán alnúcleo de sección circular pues ambas son de la
misma forma.
3.13.- Determinación de la longitud promedio de
las espiras:
Considerando el caso de bobinas superpuestas
formarán bobinas de distinta longitud, para
determinar la longitud promedio tomaremos la
longitud L1 de la bobina más pequeña y L2 que
corresponde a la bobina mayor
Entonces
L1 = D x π
y la longitud de la espira mayor será:
L2 = π (D + 2b)
La longitud promedio será entonces:
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Lm = (L1 + L2)/2
Obteniendo:
Lm = π (D + b)
donde: D es el diámetro bruto del núcleo.
3.14.- Determinación de la sección del cobre:
Para poder determinar la sección del conductor
se selecciona el bobinado al que se referirá, y lapotencia nominal para la cual se diseña el
transformador.
También se debe asumir la densidad de corriente
δ a la que trabajarán los bobinados del
transformador.
Como: I = PN /V
Entonces la sección del cobre será:
I
Scu = ----
δ
3.15.- Determinación del numero de espiras:
De la relación:
E = 4,44 x f x N x SN x ß
Tomando como referencia una de las bobinas y
asumiendo según las características del material
empleado en el núcleo un determinado valor de
ß, y al conocerse el valor de la frecuencia
eléctrica de trabajo se puede determinar los
valores de N para diferentes valores de SN.
En este caso SN será la sección neta o útil del
núcleo.
3.16.- Determinación del volumen de cobre:
De las consideraciones indicadas, el volumen de
cobre total es:
Vcu.t = 2 x N x Scu x Lm
3.17.- Determinación del peso del cobre:
Para determinar el peso del cobre se procederá
de manera análoga a la determinación del peso
del hierro, multiplicando el Volumen total del
cobre por el peso específico del cobre.
Para el presente caso se tiene:
Cobre electrolítico 99 % puro 8960 Kg/m3
3.18.- Determinación del núcleo circular
acorazado mas optimo para la potencia de diseño
Para determinar el núcleo circular acorazado
más optimo para la potencia de diseño de 2000
VA planteada se realizará el cálculo de una serie
de transformadores de núcleo circular
acorazado de diferentes secciones de núcleo para
la misma potencia, manteniendo en lo posible
las características del caso anterior, entre los
cuales se podrá hacer la selección del más
óptimo.
3.18.1.- Determinación del núcleo circular
acorazado para 2000 va.Para construir una tabla que luego permita
efectuar la selección de la más económica, se
asumirá los valores mismos valores del modelo
acorazado convencional siguientes: P = 2000
VA, f = 60 c/s, ß = 1 Tesla, δ = 3 x 106 A/m2,
V1 = 220 Voltios, Scu1 = Sección Cu primario,
Kcu = 1,5
Reemplazando estos valores en las fórmulas
anteriores, y para secciones de núcleocomprendidas entre 0,005595 (D= 0.084403m) y
0,005822 (D=0,086095m) m2.
Tendremos la tabla de valores para distintos
núcleos entre los que se podrá seleccionar el más
económico, para la potencia que se está
trabajando de 2000 VA, ver anexo 2.
3.18.2 determinación de la constante de diseño
Para determinar la constante de diseño y
reconstruir el transformador optimo y
determinada la relación de costo de hierro /
costo de cobre.A) La relación costo de hierro / costo de cobre.
Como se ha determinado esta relación es:
2,3333
B) Determinación de la constante de diseño.
Seleccionando de la tabla aquel que corresponde
a la indicada se pasa a determinar la constante
de diseño.
Entonces de la relación:
P1 = U1 x I1
donde:
U1 = La tensión nominal en el primario
I1 = La intensidad nominal en el primario
Como también se tiene que la Intensidad es igual
al producto de la densidad de corriente δ en
Amp/m2 por la sección del conductor, primario
donde, Scu1 en m2
Reemplazando se tiene:
P = 4,44 x f x ß x Sn x δ x (N x Scu)
P = 2,22 x f x ß x Sn x δ x (2 x N x Scu)
Como:
Sn = K0
x D2 y b2 = Av
= 2 x N x Scu
x Kcu
tendremos:
P x Kcu
D2 = ------------------------------
2,22 x f x ß x K0 x δ x b2
Del transformador seleccionado en la tabla
reemplazamos el valor de “b2” y determinamos:
D = (3.6085105 x10-6 )0.5 x (p)0.5
D = (1.899608 x10-3 ) x (p)0.5
Donde a : 1.899608 x10-3 le podemos llamar
Kd, pues con él podremos reconstruir los valorespara un núcleo circular acorazado, a partir de la
potencia nominal, y D2 = Diámetro de la
Sección bruta del núcleo.
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Este valor adquirirá diferentes valores, propios
para cada potencia y condiciones en que se
efectúa el diseño.
3.19.- Acondicionamiento de refrigeración
forzada.
En los núcleos convencionales el área más
crítica, ha sido la pierna central sobre la que se
acomodan las bobinas, pues al estar envueltas
por las bobinas, no tienen oportunidad de
contacto con el medio ambiente. El núcleo
circular acorazado permite brindar refrigeración
forzada esta área. En este caso se puede
proceder a efectuar un taladro central, para
acondicionar mecanismos de refrigeración
forzada como la circulación de agua, en este
caso se debe tener en cuenta para efectos de
cálculos de los parámetros pertinentes, las
nuevas dimensiones que mantengan la misma
sección del núcleo.El núcleo circular acorazado al brindarnos esta
posibilidad, permitirá elevar la densidad de
corriente a la que funcionan los transformadores.
3.20.- Detalles constructivos.
En su construcción se deberá tener en cuenta que
la disposición de las laminas estén en
concordancia con la orientación de las líneas de
fuerza electromagnética.
Así mismo en el corte de las chapas se debe
buscar evitar la generación de desperdicios que
incrementen su costo.
EVALUACIÓN DE RESULTADOS 4.1. Longitud del circuito magnético.
Tomando en ambos casos, formas cuadradas de
ventanas, con longitudes de circuito magnético
lo más cortas posible.
Para el núcleo acorazado convencional es:
Lmm = 0,3373167 mts.
Y para el caso del núcleo circular acorazado:
Lmm = 0,26833 mts.
Obteniéndose una longitud de circuito
magnético 20,4561121 % menor en el caso del
núcleo circular acorazado.
4.2.- Peso del hierro.-.Al multiplicarse el volumen de hierro por el
peso específico del material empleado se
obtuvo:
Wfe = 10,18 Kg. en el caso del acorazado
convencional y
Wfe = 7,66944 Kg en el caso del circular
acorazado
Que equivale al 75,333831 % del primer caso.
Obteniéndose un ahorro del 24,6662 % de
ahorro en hierro en el caso del núcleo circular
acorazado.
4.3.- Peso del cobre.-
Al multiplicarse el volumen de cobre por su
peso específico se obtuvo:
Wcu = 4,3633 Kg. en el caso del acorazado
convencional y
Wcu = 3,28034 Kg en el caso del circular
acorazado
Que equivale al 75,1802534778 % del primero.
Obteniéndose un ahorro del 24,8197465222 %
de ahorro en cobre en núcleo circular acorazado
4.4.- Pérdidas por corrientes de foucaultEn el núcleo acorazado convencional se
obtuvo:
Nw = 2.0381276 vatios.
Mientras que en el acorazado convencional
correspondió: 1,54 vatios
La última cifra corresponde al 75,5596% del
primero, por tanto se obtuvo un 24,4404 %
menos de pérdidas por este motivo en el núcleo
circular acorazado.
CONCLUSIONES
1 Se ha determinado que en el diseño detransformadores el circuito magnético más corto
se obtiene cuando las ventanas son cuadradas.
2.Efectuadas las comparaciones en un modelo
de 2000 VA se ha determinado un ahorro de
1.082928 Kg. De cobre en el transformador de
núcleo circular acorazado lo que significa un
ahorro de 24,819 % frente a uno acorazado
convencional.
3. De manera análoga en el mismo modelo se ha
determinado un ahorro de 2, 510297 Kg. De
hierro en núcleo circular acorazado, que
significa un ahorro del 24,659752%4. El coeficiente de utilización del hierro ha sido
incrementado de 0,465 que corresponde a un
núcleo de sección cuadrada a 0,73 en (el
máximo a alcanzar) el caso del circular
acorazado.
5. El coeficiente de plenitud del hierro en el
núcleo circular acorazado alcanza el valor
máximo posible de obtener igual a la unidad.
6. Al poseer el núcleo circular acorazado mayor
área de núcleo expuesta al medio ambiente tiene
mayor facilidad de refrigeración natural.
7. En el núcleo circular acorazado es posibleacondicionar refrigeración forzada en el núcleo
donde se acomodan las espiras que no es posible
en los convencionales.
8. En el núcleo circular acorazado, las espiras
mantienen correspondencia con la forma circular
de las espiras, por tanto no se forman puntas
mejorando las condiciones de funcionamiento de
los aislantes.
9. Al no tener aristas en el transformador con
núcleo circular acorazado encuentra una
distribución equitativa a lo largo de toda la
superficie del núcleo de las tensiones dinámicas
reduciéndose sus efectos perjudiciales.