МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ

КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА

14. 04. 2013 год.

ВАРИАНТ 3

Задача 1. Определете множеството от допустими стойности на реалния параметър δ в уравнението δ=+ 57x и решете уравнението при 3=δ .

Задача 2. За кои стойности на реалния параметър m уравнението

02)1(2 =++−+ mxmx има равни корени? Задача 3. Дадена е функцията xxxxG ++= 23 2)( . 3.1. Намерете най-малката и най-голямата стойности на )(xG при [ ]0;2−∈x . 3.2. Покажете, че стойностите на )(kG са четни числа при цели стойности на

аргумента k . 3.3. Решете уравнението 0,0)(log4 >= xxG . Задача 4. Даден е правоъгълен триъгълник с един остър ъгъл от �60 . В него е

вписан ромб с дължина на страната 6 см по такъв начин, че ъгълът от �60 е общ. Всички върхове на ромба лежат на страните на триъгълника. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ

КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА

14. 04. 2013 год.

ВАРИАНТ 3

Задача 1. Определете множеството от допустими стойности на реалния

параметър δ в уравнението δ=+ 57x и решете уравнението при 3=δ . РЕШЕНИЕ: Множеството от допустими стойности на δ е ),0[ ∞ . При 3=δ получаваме уравнението 357 =+x , чието дефиниционно множество

е )[ ,7

5 ∞−∈x и от 2357 =+x получаваме: .7

4=x

Задача 2. За кои стойности на реалния параметър m уравнението 02)1(2 =++−+ mxmx има равни корени?

РЕШЕНИЕ: Корените на даденото уравнение са равни, когато дискриминантата му D е равна на нула, 76)2(4)1( 22 −−=+−−= mmmmD . Така получаваме квадратното уравнение 0762 =−− mm , чиито корени са 11 −=m и 72 =m – това са и търсените стойности.

Задача 3. Дадена е функцията xxxxG ++= 23 2)( . 3.1. Намерете най-малката и най-голямата стойности на )(xG при [ ]0;2−∈x . РЕШЕНИЕ: )1)(13(143)( 2 ++=++=′ xxxxxG . Следователно )(xG е строго растяща

в )1;2[ −− , строго намаляваща в

−−3

1;1 и строго растяща в

− 0;3

1 , откъдето

получаваме, че при 1−=x )(xG има локален максимум: 0)1( =−G , а при 3

1−=x –

локален минимум: 27

4

3

1

9

2

27

1

3

1 −=−+−=

−G . 2)2( −=−G , 0)0( =G .

Най-малката стойност на функцията в интервала [ ]0;2− се достига при 2−=x :

2)2( −=−G , а най-голямата стойност на функцията в разглеждания интервал се достига при 1−=x и при 0=x : 0)0()1( ==− GG .

3.2. Покажете, че стойностите на )(kG са четни числа при цели стойности на аргумента k .

РЕШЕНИЕ: 2223 )1()12(2)( +=++=++= xxxxxxxxxG . Ако k е цяло число, то числата k и 1+k са последователни цели числа, поне едно от които е четно. Числата

1+k и ( )21+k са с една и съща четност. Тогава )(xG при kx = е произведение на цели числа, поне едно от които е четно, следователно и произведението )(kG е четно число.

3.3. Решете уравнението 0,0)(log4 >= xxG . РЕШЕНИЕ: ( ) 1

3,212

444 4,11loglog)(log0 −==⇒+== xxxxxG .

Задача 4. Даден е правоъгълен триъгълник с един остър ъгъл от �60 . В него е вписан ромб с дължина на страната 6 см по такъв начин, че ъгълът от �60 е общ. Всички върхове на ромба лежат на страните на триъгълника. Да се намерят дължините на страните на триъгълника.

РЕШЕНИЕ: Означаваме катета на триъгълника, който е срещу другия остър ъгъл (от �30 ), с a . Тогава по-големият катет е 3a , а хипотенузата – a2 (Питагор). Един от върховете на вписания ромб съвпада с този връх на дадения триъгълник, при който съответният ъгъл е �60 . Двете съседни страни на ромба, които минават през този връх, лежат съответно на малкия катет и на хипотенузата на триъгълника, а срещуположният връх на ромба е върху големия катет на триъгълника.

Тази страна на ромба, която е успоредна на хипотенузата на дадения

триъгълник, е хипотенуза в друг правоъгълен триъгълник, чийто по-малък катет от една страна е равен на 6−a , а от друга е катет, лежащ срещу ъгъл от �30 , следователно е равен на половината от хипотенузата (която е 6 см). От 36 =−a намираме 9=a см. Останалите страни на триъгълника са с дължини 39 см и 18 см.

Минно – геоложки Университет “Свети Иван Рилски”

Критерии за оценяване на задачите

ОТ ПРИЕМНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА

НА 14.04.2013 г.

ЗАДАЧА 1. 4 точки Определяне на множеството от допустими стойности на δ 1 т. Определяне на дефиниционното множество на ирационалното уравнение 1 т. Получаване на решението 2 т. ЗАДАЧА 2. 3 точки Изразяване на условието за равенство на корените на уравнението 1 т. Определяне на търсените стойности на параметъра 2 т. ЗАДАЧА 3. 7 точки 3.1. Намиране на производната 1 т. Намиране на локалните екстремуми 1 т. Намиране на най-малката и най-голямата стойности на функцията 1 т. 3.2. Преобразуване и доказателство 2 т. 3.3. Намиране на корените на полученото уравнение 2 т. ЗАДАЧА 4. 4 точки

Съставяне на подходящи връзки между метрични елементи 2 т. Намиране на страните на триъгълника 2 т. ЗАБЕЛЕЖКА: Горните критерии са съставени върху основа на решенията, дадени от авторите. Всички други възможни решения се оценяват по аналогичен начин в рамките на определените за съответната задача точки. Формулата за определяне на оценката е

=−+<

=18,...,32,0.)3(3

32

kk

kQ ,

където Q е окончателната оценка, а к е броят на получените точки.