20122-31-icl240-a-k-1.pdf

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

1/33

MODUL 4:MATRIK DAN DETERMINAN

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

2/33

Pengertian MatrikMatrik adalah susunan bilanganreal (kompleks) berbentuk empatpersegi panjang yang dibatasi olehtanda kurung, ditulis dengan :

)(

...

............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

nma

aaaa

a

aaaa

aaaa

aaaa

A

ij

mnmmm

ij

n

n

n

Istilah-istilah :Lambang matrik digunakan huruf

besar, A, B, CElemen matrik digunakan lambang

huruf kecil, a. b , c

Bagian mendatar disebut barisBagian tegak disebut kolomIndeks-I menyatkan baris, indeks-j

menyatakan kolomJumlah baris=m, jumlah kolom=nUkuran matrik disebut ordoMatrik dengan jumlah baris=m,

jumlah kolom=n diebut dengan ukuran(mxn) atau matrik berordo (mxn)

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

3/33

CONTOH

3145.023

223001.023.0

4333.0225667.0221

j

j

A

Beberapa istilah yang perludiketahui ;

Elemen matrik A dapat berupabilangan bulat, desimal, rel ataubilangan kompleks

Jumlah baris A=4, jumlah koloma=5, A berukuran (4x5)

a32 : elemen baris ke-3 kolom-2adalah 0.001

Elemen-elemen diagonal matrik A: 1, , 3, 1

CONTOHPerhatikan jaringan berikut :

1 2 4

3

terbubungtidakjdaninodejika,

terhubungjdaninodejika,

0

1ija

0110

1011

1101

0110

A

Matrik jaringannya adalah sebagai

berikut

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

4/33

MATRIK-MATRIK KHUSUS

Matrik Bujur SangkarA dikatakan matrik bujur sangkar jikajumlah baris dan jumlah kolom Asama. Matrik A dikatakan berordo n

)(

...

............

...

...

...

321

3333231

22322211131211

nna

aaaa

a

aaaa

aaaa

aaaa

A

ij

nnnnn

ij

n

nn

Elemen-elemen diagonal utama Aadalah a11, a22, a33, a44 .

CONTOH

0110

1011

1101

0110

A

Matrik A berordo 4, elemen-elemen diagonal utama A adalah0, 0, 0, 0

81.0925

1283.04.0

54.071342342

5.01251

A

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

5/33

Matrik Segitiga Atas

A dikatakan matrik segitiga atas, jikaA adalah matrik bujur sangkardimana semua elemen dibawahdiagonal utama 0

Matrik Segitiga Bawah

A dikatakan matrik segitiga atas, jikaA adalah matrik bujur sangkardimana semua elemen diatasdiagonal utama 0

81.0925

0283.04.0

0.071300042

00001

A

Elemen-elemen diagonal utama :1, 4, 7, 2, 8Elemen-elemen diatas diagonalutama 0, maka A matrik segitigabawah

80000

2000

.70090

3

j

ihgfe

dcba

A

Elemen-elemen diagonal utama :3, 9, -7, 2, 8Elemen-elemen dibawahdiagonal utama 0, maka A matriksegitiga atas

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

6/33

Matrik Diagonal = D

A dikatakan matrik diagonal, jika Aadalah matrik bujur sangkar dimanasemua elemen selain diagonalutama 0, dan elemen diagonal utamatak nol. Matrik demikian diberilambang D.

Matrik Identitas = I

A dikatakan matrik identitas, jika Aadalah matrik bujur sangkar dimanasemua elemen selain diagonalutama 0, dan elemen diagonal utama1. Matrik identitas diberi lambang I.

1000

04000030

0002

300

020

002

;40

02

4

32

D

DD

1000

0100

0010

0001

100

010

001

;10

01

4

32

I

II

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

7/33

Transpose Matrik= AT

Transpose matrik A ditulis AT

adalah sebuah matrik yangdiperoleh dari A dimana baris AT

adalah kolam A, dan kolom AT

adalah baris A. Bila A berukuran(mxn), AT berukuran (nxm)

CONTOH

2468

7654

6421

;

276

464

652

841

TA

A

Matrik Simetris, A=AT

A dikatakan matrik simetris,bilamana A adalah matrik bujursangkar dimana, AT=A

CONTOH

73000

35200

021010

00161.00001.05

543

431

312

;31

12

A

A

A

Matrik

tridiagonal

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

8/33

OPERASI ARITMATIK MATRIK (1)

(1) Kesamaan, A=B

Matrik, A=[aij ] dan B=[bij ]dikatakan sama ditulis A=B jikahanya jika(1)A dan B berukuran sama(2)Setiap elemen yang seletaknilainya sama, aij = aij ;

Contoh :

463

512dan

643

512BA

A dan B berukuran sama (2x3),tetapi AB, karena terdapat elemenseletak nilainya tidak sama

(2) Perkalian dng skalar, kA

Perkalian matrik, A=[aij ] denganskalar tak nol k ditulis kA,didefinisikan bahwa setiap elemen Adikalikan dengan konstanta tak nol k,

yakni :

kA=k[aij ]= [kaij]

Contoh :

18129

1536

)6(3)4(3)3(3

)5(3)1(3)2(3

643

51233A

643

512

A

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

9/33

(3) Penjumlahan, A+B

(1)Matrik, A=[aij ] dan B=[bij ]dikatakan dapat dijumlahkanditulis A+B bilamana A dan Bberukuran sama.(2)Bilamana, A+B=C, makaelemen matrik C diberikan,

cij = aij + bij

(elemen yang seletakdijumlahkan)


Contoh :Diberikan :

2605

11112

818121249

4152384

8124

428

18129

1534

462

2142-

643

51232B-3A

:maka

462

214dan

643

512BA

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

10/33


(4) Perkalian Matrik, AB=C

(1)Matrik, A=[aij ](m=n) danB=[bij ](pxq) dikatakan dapatdikalikan ditulis AB bilamana jumlahkolom A dan jumlah baris B sama[n=p].

(2) Bilamana, AB=C, maka matrik

C=[cij ](mxq) dimana elemen cijdiberikan oleh :

njinjiji

n

k

kjikij

bababa

bac

... 2211

1

(mxq)(pxq)(mxn) CBA

643

512

13

42

61

BA

813

1315

13

42

61

643

512AB

maka

13

42

61

dan643

512BA

Contoh : Diberikan :

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

11/33

Soal Latihan

12

21

2312

dan

132

22

141

;324

213).1( C

a

ba

b

BA

Hitunglah

(a). AB ; BC dan CA(b). (AB)C = A(BC)(c). (BC)(A)=B(CA)(d). (CA)B = C(AB)

ab

b

ba

b

a

C

ba

ab

ab

ba

B

ba

ab

ba

A

1

22

1

21

12

211

111232

321

;

24

42

31

).2(

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

12/33

DETERMINAN MATRIKFungsi determinan matrik bujursangkar A dinyatakan dengandet(A)=|A|, didefinisikan sebagai

jumlahan hasil kali elementerelemen-elemen bertanda A

Kasus n=1

A=[a], det(A) =|a| = a

Kasus n=2

10)6(412-

34

bc-addet(A)

dc

ba|A|maka,dc

baA

Kasus, n=3, Metode Sarrus

3231

2221

1211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

|A|

:|A|det(A)Sarrus,metodedengan

aaa

aaa

aaa

A

() () () (+) (+) (+)

7412248916

423

121

432

aaaaaaaaa-

aaaaaaaaa

312213332112322311

322113312312332211

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

13/33

METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[ai j] (nxn) adalahmatrik bujur sangkar berordo (nxn).

(1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mijdidefinisikan sebagai determinan

matrik berordo (n-1)x(n-1) yangdiperoleh dari A dengan caramenghilangkan baris ke-I dan kolomke-j

(2). Kofaktor elemen matrik A baris

ke-i kolom ke-j ditulis C-ijdidefinisikan sebagai :

ijji

ij MC )1(

CONTOH :

63-4

523

212-

A

173-4

231)(

M)1(C

:untukdan

-12(-1)(12)

M(-1)C

12)6(663-21M

1331

13

2112

21

21

M21 baris ke-2dan kolom ke-1dihilangkan

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

14/33

CONTOH : Minor

124-5

2-324

25-134132-

A

124-5

2-324

25-13

4132-

A

M23 determinan matrik berordo(3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3dari matrik A dihilangkan

M32 determinan matrik berordo(3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2dari matrik A dihilangkan

134

(-16)-12-40-

(-64)(-30)(-4)

14-52-24

432-

M23

149

(-8)-3-(-100)-240110

125

25-3

412-

M32

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

15/33

DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[ai j] (nxn) adalahmatrik bujur sangkar berordo (nxn),dan Ci j = (-1)

i+j Mij adalah kofaktorelemen matrik A baris ke-i kolomke-j.

)i-kebariskofaktorEkspansi(

Ca...CaCa

n1,2,...,i;Cadet(A)).2(

oleh,diberikan

Amatrikdeterminan2nUntuk,

aa|A|det(A)

1,nUntuk).1(

inini2i2i1i1

n

1k ikik

1111

)j-kekolomkofaktorEkspansi(

Ca...CaCa

n1,2,...,j;Cadet(A)).3(

njnj2j2j1j1j

n

1k

kjkj

CONTOHHitung det (A)dengan ekspansikofaktor

1494(31)1(-7)--2(-9)

25

5-34

15

231-

12

25-(-2)

MaMa-Ma

CaCaCa

125

25-3

412-

det(A)

131312121111131312121111

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

16/33

CONTOHHitunglah determinan matrik A

Ekspnasi kofaktor baris

4165

3244

5423

7612

A

19()7()6()()2

165

244

423

7-

465344

523

6415324

543

1-416324

542

2

Ma-MaMa-Ma

CaCa

CaCadet(A)

1414131312121111

14141313

12121111

CONTOHHitunglah determinan matrik A

Ekspansi kofaktor kolom

4165

3244

5423

7612

A

196()4()-2()-1()

324

543

762

6

415543

762

4415324

762

2415324

543

-1

MaMa-MaM-a

CaCa

CaCadet(A)

4242323222221212

42423232

22221212

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

17/33

DETERMINAN : METODE CHIO

Andaikan, A=[ai j](nxn), dan a11

0, maka :

aa

aa...

aa

aa

aa

aa

...aa

aa......

aa

aa...

aa

aa

aa

aa

aa

aa...

aa

aa

aa

aa

)(a

1det(A)

nnn11n11

n2n11211

n2n11211

iji1

1j11

3n31

1n11

3331

1311

3231

1211

2n21

1n11

2321

1311

2221

1211

2-n11

Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinandengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pulamenggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

18/33

CONTOH

Hitunglah, det(A) dari :

Jawab :Karena, a11= 2, dan n=3, maka :

125

25-3412-

A

149

2

298

)144154(2

1

22-9-

16-7

21

15

42-

25

12-

23

42-

5-3

12-

(-2)

1det(A)

2-3

4165

3244

5423

7612

A

CONTOH

Hitunglah, det(A) dari :

Jawab :Karena, a11= 2, dan n=4, maka :

194

76

4

9241000

5042

2220

4

1

)7727()7028(

)4422()4020(

)1(

1x

4

1

27287

22204

11101

4

1

35)-(830)-(25)-(12

28)-(624)-(44)-(8

21)-(1018)-(83)-(4

(2)

1det(A)

23

2-4

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

19/33

SIFAT-SIFAT DETERMINAN

(1). Jika A matrik bujur sangkar

makadet(A) = det(AT)

Contoh :

623

154

432

A

614

253

342

A

T

Menurut sifat (1), maka :

det(A) = det(AT) = 42

(2). Jika A dan B adalah matrik bujur

sangkar yang berordo sama maka

det(AB) = det(A) det(B)

Contoh :

8det(B)60det(A)

200

3-2021-2

Bdan

602

051002

A

480860)det()det(det(AB)

1624

1392

424

200

3-20

21-2

602

051

002

AB

BA

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

20/33

(3). Jika A matrik bujur sangkar yang

memuat baris atau kolom dimanaelemennya 0 atau sebanding, maka

det(A) = 0

Contoh :


023

054032

A

614

000

342

A

Baris-2 matrik Aelemennya 0,maka det(A)=0

Kolom-3 matrikA elemennya 0,maka det(A)=0

(4). Jika A matrik segitiga atas (bawah)

yang berordo (nxn) dimanaelemen diagonal utama tak nol,maka :

det(A) = a11a22a33 ann

Contoh :

4000

3500

5430

7612

A

A matrik segitiga atas, maka :

det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

21/33

(5). Jika A dan B matrik bujur

sangkaryang berordo sama. Jika matrik Bdiperoleh dari A dengan caramengalikan sembarang baris(kolom) dengan konstanta k taknol, maka :

det(B) = k det(A)

Operasi elementarnya adalah :

Hi

k Hi : Baris ke-i baru =kx baris ke-i lamaKj k Kj : Kolom ke-j baru =

kxkolom ke-j lama


CONTOH :

18312

642

342

B

614

321

342

A det(A)=21

H2 2 H2 k1= 2

H2 3 H2 k2=3

det(B) = k1 k2 det (A)= (2) (3) 21= 126

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

22/33


sangkaryang berordo sama. Jika matrik Bdiperoleh dari A dengan caramenukarkan semua elemensembarang baris (kolom) , maka :

det(B) = det(A)


Hi Hj : Baris ke-i baru =

baris ke-j lamaKi Kj : Kolom ke-i baru =kolom ke-j lama


CONTOH :

231

164

432

C

321

614

342

B

614

321

342

Adet(A)=21

H2 H3

K2 K3

det(B)= det(A)= 21

det(C)= det(B)= (21)=21

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

23/33


sangkaryang berordo sama. Jika matrik Bdiperoleh dari A dengan caramengalikan sembarang baris(kolom) dengan konstanta k taknol dan hasilnya dijumlahkanpada baris (kolom) yang lain,maka :

det(B) = det(A)


Hi Hi+kHj :Baris ke-i baru = Baris ke-i lama

+ k baris ke-j lamaKj Kj+k Kj :Kolom ke-j baru = kolom ke-j

lama + k kolom ke-i lama


400

3-2-0

321

C

2-4-0

3-2-0

321

B

723

322

321

A

CONTOH :

a11 = pivota21 dan a31direduksi menjadi0

H2 H2 2 H1H3 H3 3 H1

a22 = pivot

a32 = direduksi 0

H3 H3 2H2

Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

24/33

Matrik Awal2 2 4 0 403 2 0 1

2 4 6 32 4 4 6

Iterasi 1 PIVOT = a112 2 4 00 -1 -6 1 H2=H2-(a21/a11)H10 2 2 3 H3=H3-(a31/a11)H10 2 0 6 H4=H4-(a41/a11)H1

Iterasi 2 PIVOT=a222 2 4 00 -1 -6 10 0 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H2

0 0 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2Iterasi 3 PIVOT=a33

2 2 4 00 -1 -6 10 0 -10 5

0 0 0 2 H4=H4-(a43/a33)H3

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

25/33

Matrik Awal

2 4 8 8 8

4 4 6 8 2

4 4 7 7 5

4 8 14 14 8

2 2 6 9 12

CONTOH :

Iterasi 1

2 4 8 8 8 -640 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H10 -4 -9 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H10 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a41/a11)H10 -2 -2 1 4 H5=H5-(a51/a11)H1

Iterasi 22 4 8 8 8 -64

0 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H20 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a42/a22)H2

0 0 3 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2

Iterasi32 4 8 8 80 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 30 0 0 -4 -2 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 8 2 H5=H5-(a53/a33)H3

Iterasi42 4 8 8 80 -4 -10 -8 -140 0 1 -1 30 0 0 -4 -20 0 0 0 -2

H5=H5-(a54/a44)H4

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

26/33

DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN

Matrik bujur sangkar A dikatakan

dapat didekomposisi, jikaterdapat matrik segitiga bawah Ldan matrik segitiga atas Usedemikian rupa sehingga :

A = LUAkibatnya :

det(A) = det(L) det (U)CONTOH

24)det(

1462

951

642

LUA

100

210

321

U;

422

031

002

L

A

TEKNIK MENGHITUNG

DEKOMPOSISI, A=LU

(1)Metode Crout, mendekomposisimatrik yang menghasilkan elemendiagonal utama matrik segitiga atas Uadalah satu.(2)Metode Doollite, mendekomposisimatrik yang menghasilkan elemendiagonal utama matrik segitiga bawah Ladalah 1(3)Metode Cholesky mendekomposisi

matrik diagonal utama L dan U sama.Metode ini hanya untuk matrik simetris.(4)Metode Operasi Elementer,mendekomposisi matrik menjadisegitiga atas atau segitiga bawah

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

27/33

DEKOMPOSISI : METODE CROUT

Kasus n=3

Rumus perhitungannya :

333231

232221

131211

23

1312

333231

2221

11

aaa

aaa

aaa

100

u10

uu1

lll

0ll

00l

233213313333

22

13212323

12313232

12212222

11

1313

11

1212

313121211111

:5Iterasi

:4Iterasi

;:3Iterasi

;:2Iterasi

;;:1Iterasi

ululal

l

ulau

ulal

ulal

a

au

a

au

alalal

Rumus umum untukmencari L dan U denganmetode Crout adalah :

n2,...,jj,i

l

ula

u

n1,...,ii,j

ulal

ii

1i

1k

ikikij

ij

1j

1k

kjikijij

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

28/33

1624

1392

424

A

CONTOH :Hitunglah determinan matrik

berikut dengan metodedekomposisi

Jawab :

14

4

5.0-42-

:2Iterasi

4;2;4

:1Iterasi

13

12

312111

u

u

lll

120(-1.5)-4(1)-16:5Iterasi

-1.510

2(1)-13-:4Iterasi

04(-0.5)--2

;10(2)(-0.5)-9:3Iterasi

33

23

32

22

l

u

l

l

480U)det(L)det(det(A)

1)det(1001.5-10

10.5-1

U

480)12)(10(4)det(

1204

0102

004

L

Jadi,

U

L

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

29/33

KASUS n=4 : METODE CROUT

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

44434241

34333231

24232221

14131211

342423

141312

44434241

333231

2221

11

1000

100

10

1

0

00

000

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

u

uu

uuu

llll

lll

ll

l

22

14212424

22

13212323

1241424212313232

12212222

11

1414

11

1313

11

1212

41413131

21211111

:4Iterasi

;:3Iterasi

;;:2Iterasi

;;

;;:1Iterasi

l

ulau

l

ulau

ulal

ulal

ulal

a

au

a

au

a

au

alal

alal

3443244214414444

33

243214313434

234213414343

233213313333

:7Iterasi

:6Iterasi

:5Iterasi

ulululal

l

ululau

ululal

ululal

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

30/33

CONTOH :Hitunglah determinan matrikberikut dengan metode

dekomposisi

Jawab :

6442

3642

1023

0422

A

2)1(24

2)1(24

;1)1(32:3Iterasi

02

0

;22

4;1

2

2:2Iterasi

;2;2

;3;2:1Iterasi

42

32

22

14

1312

4131

2111

l

l

l

u

uu

ll

ll

-1(-1) )0(3)(-1u

6(-1)

3(2)-0u:4Iterasi

24

23

212(0.5)-2(-1)-2(0)-6

:7Iterasi

5.010

2(-1)-2(0)-3

:6Iterasi

-122(6)-2(2)-4

-102(6)-2(2)-6:5Iterasi

44

34

43

33

l

u

l

l

1000

0.5100

1-610

0211

U;

21222

01022

001-3

0002

L

Jadi,

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

31/33

DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE

Rumus umum untukmencari L dan U denganmetode Doolittle adalah :

n,...,2ii,j

u

ula

l

n1,...,jj,i

ulau

ii

1j

1k

ikikij

ij

1i

1k

kjikijij

Kasus n=3

Rumus perhitungannya :

333231

232221

131211

33

2322

131211

3231

21

aaa

aaaaaa

u00

uu0uuu

1ll

01l001

233213313333

22

12313232

13212323

12212222

11

3131

11

2121

131312121111

:5Iterasi

l:4Iterasi

u

;:3Iterasi

;l:2Iterasi

;;u:1Iterasi

ululau

u

ulaula

ulau

a

al

a

a

auaua

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

32/33

KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

44434241

34333231

24232221

14131211

44

3433

242322

14131211

434241

3231

21

000

00

0

1

01

001

0001

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

u

uu

uuu

uuuu

lll

ll

l

22

12414242

22

12313232

1241422413212323

12212222

11

4141

11

3131

11

2121

14141313

12121111

l

l:4Iterasi

u

;:3Iterasi

;;l:2Iterasi

;;

;;u:1Iterasi

u

ula

u

ula

ulau

ula

ulau

a

al

a

al

a

a

auau

aua

3443244214414444

33

234213414343

243214313434233213313333

:7Iterasi

:6Iterasi

uu

:5Iterasi

ulululau

u

ululal

ululaulula

7/23/2019 20122-31-ICL240-A-K-1.pdf

33/33

TUGAS II,III dan IV

3a1a3b1b

1a1a1b1b

1b2b1a2a

1bba1a

A

Hitunglah det(A) dengan cara :a.Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil)b.Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap)c.Sifat-sifat determinan (reduksi menjadimatrik segitiga)d.Metode CHIOe.Dekomposisi matrik (CROUT danDoolite)

4121

42121

11212

1121

211

aaabb

aaabb

aaabb

bbbaa

bbbaa

A

Hitunglah det (A) dengan

cara :a)sifat-sifat determinanb)Metode CHIOc)Dekomposisi matrik(Crout dan Doolite)

20122-31-icl240-a-k-1.pdf

Documents