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Resumen. La enseanza y aprendizaje de temas matemticos como la proporcionalidad directa usualmente se realiza modelando situaciones reales y cotidianas . Los profesores de matemticas asumimos que tales situaciones se comportan en efecto de forma proporcional, pero en la realidad su comportamiento es diferente. Ello nos lleva a la tarea de identificar en la cotidianidad de los estudiantes, situaciones que se dejen modelar a travs de funciones lineales, tarea difcilmente realizable, pero altamente formativa.

Palabras Claves: Modelizacin, Funcin Lineal, Razn y proporcionalidad, Aprendizaje situado sociocultural

1 PRESENTACIN DEL PROBLEMA

Desde hace algunos aos algunos investigadores colombianos se han interesado en reconocer

cmo vive la proporcionalidad en la escuela; al respecto, se desarroll un estudio acerca de la

proporcionalidad en el currculo propuesto (Guacaneme, 2001, 2002), se orient una mirada al

currculo desarrollado (Camelo & Mancera, 2005), se estudi y analiz el currculo logrado en

sta como rea temtica (Daz, lvarez, Torres, & Guacaneme, 1997, pp. 128-139) y se

promovi que algunos profesores desarrollaran propuestas de innovacin en la enseanza de

temas relacionados con la proporcionalidad (Perry, Guacaneme, Andrade, & Fernndez,

2003). No obstante esta trayectoria, solo recientemente (en el marco del desarrollo del Trabajo

de Grado Situaciones cotidianas, escolares e histricas que favorecen el aprendizaje de las

funciones de proporcionalidad y lineales de la Maestra en Docencia de las Matemticas de la

Universidad Pedaggica Nacional) se ha identificado una problemtica que siempre haba

estado all, pero que no haba capturado nuestra atencin o que quiz, sencillamente, no se

haba advertido: la existencia de la proporcionalidad directa en contextos cotidianos (o

deberamos decir: la exigua existencia?). Veamos.

Para ensear la proporcionalidad directa, a la luz de lo dictaminado en los Lineamientos

(Colombia, 1998), es usual recurrir a ejemplos cotidianos o situaciones reales y

significativas para los estudiantes, en donde se relacionan dos magnitudes a travs de una

relacin de proporcionalidad directa o, en otras palabras, modelar un fenmeno de covariacin

Existen situaciones cotidianas cuyo modelo matemtico corresponde a una funcin de

proporcionalidad?

Julin Esteban Trivio Meja 7706540@gmail.com

Estudiante Maestra en Docencia de la Matemtica

Edgar Alberto Guacaneme Surez guacaneme@pedagogica.edu.co

Profesor Departamento de Matemtica Universidad Pedaggica Nacional

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de las cantidades de dos magnitudes a travs de una funcin lineal. As, es tradicional que

propongamos el estudio de la relacin que existe entre el nmero de objetos y su costo; por

ejemplo, es habitual estudiar el comportamiento del costo de los dulces en relacin con el

nmero de stos. Tambin es usual recurrir a situaciones de otras ciencias que comportan

fenmenos expresables a travs de una funcin lineal y con frecuencia recurrimos al estudio

de la relacin entre el tiempo empleado y el espacio recorrido por un mvil en un movimiento

uniforme.

Atendiendo a los planteamientos de las investigaciones en Didctica de las Matemticas en

relacin con la potencialidad del aprendizaje del concepto de funcin a travs del estudio de

sus mltiples representaciones, estas situaciones las abordamos a travs de las diferentes

representaciones de las funciones lineales; en este sentido, incorporamos las tablas de valores

y sus respectivas grficas cartesianas, e incluso procuramos describir algebraicamente (i.e.,

con una ecuacin o una frmula) las relaciones de proporcionalidad. Bajo esta ptica, por

ejemplo, promovemos el proceso de modelacin de las funciones en juego a travs de sus

grficas (ver Figuras 1 y 2), eventualmente teniendo presente que si bien ambas son

representadas por puntos alineados y que las magnitudes empleadas son absolutas (i.e., sus

valores son exclusivamente positivos), solo una de ellas tiene una grfica que incorpora una

curva continua.

Figura 1. Grfica de la relacin entre el nmero de dulces y su costo

Figura 2. Grfica de la relacin entre el tiempo empleado y el espacio recorrido

Asimismo trabajamos algunos aspectos relacionados con: el significado de un punto de la

grfica, la existencia de una proporcin entre cualquier par de razones entre los valores de una

cantidad de magnitud y los correspondientes de la otra, la existencia de una proporcin entre

cualquier par de razones de las diferencias de una cantidad de magnitud y las diferencias de

los valores respectivos de la otra, el carcter creciente de estas funciones (advirtiendo, eso s,

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que ello no es un carcter consustancial de la proporcionalidad directa), la posibilidad de

encontrar un dato desconocido a travs de procesos relacionados con la determinacin de la

cuarta proporcional (v.g., el uso de las grficas como nomogramas), entre otros.

Ahora bien, independientemente de cun bien valoremos el trabajo de docencia realizado con

estas situaciones e incluso del nivel de comprensin que nuestros estudiantes logren de estas

funciones y de las caractersticas de las relaciones de proporcionalidad implicadas, persiste

una inquietud: son estas situaciones un buen ejemplo de las situaciones que los estudiantes se

encuentran en su cotidianidad?

No cabe duda que para un profesor de matemticas sera interesante e importante identificar en

las vivencias de los estudiantes situaciones de covariacin que se puedan modelar con una

funcin lineal, pues quiz pueda proponerlas en sus clases para que los estudiantes reconozcan

en las matemticas una manera de comprender mejor su mundo y su realidad. As, para

aproximarnos a una respuesta a la pregunta anterior, es conveniente asumir como objeto de

estudio las situaciones cotidianas de los nios y jvenes que conforman el grupo de

estudiantes de grado octavo de la Institucin Educativa Las Toldas, del Municipio de La

Argentina Huila, analizadas desde algunas de las perspectivas que nos ofrece la modelacin.

2 MARCO DE REFERENCIA CONCEPTUAL

El propsito de este apartado es interpretar algunos enfoques acerca de la modelacin

matemtica. Interesa entonces conocer lo que al respecto proponen (Bosch, Garca, Gascn, &

Ruz, 2006) desde la Teora Antropolgica de lo Didctico (TAD), y la conceptualizacin que

hacen Mara S. Biembengut y Nelson Hein (2004). Desde estas dos miradas se han podido

establecer al menos tres enfoques diferentes pero complementarios relacionados con la

modelacin matemtica.

La modelizacin en Educacin Matemtica desde la Teora Antropolgica de lo Didctico

Inicialmente, la modelizacin se ha entendido como un proceso a travs del cual se puede

comprender, explicar, predecir, etc. un fenmeno por medio de la aplicacin del conocimiento

matemtico sabio; en este sentido, surge como resultado de aplicar un conocimiento

matemtico en una situacin real. Este proceso tiene diferentes interpretaciones, una de las

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cuales se esquematiza en la Figura 3, denominado el ciclo de modelizacin (Blum y Niss,

1991).

Figura 3. Ciclo de modelizacin (Blum y Niss, 1991) citado en (Bosch et al., 2006)

Por otra parte, como lo seala Bosch y sus colegas, en la Educacin Matemtica se estudia la

modelizacin matemtica entendindola desde dos enfoques; la primera permite estudiar la

modelizacin como herramienta a travs de la cual los estudiantes aprenden nociones

matemticas y la segunda plantea que la modelizacin matemtica es en s misma una nocin

matemtica que debe ser incorporada explcitamente a los procesos de enseanza aprendizaje.

Esto dos enfoques se pueden estudiar por separado aunque en el aula de clase se entrelazan y

potencian mutuamente.

La modelizacin matemtica como herramienta para aprender matemticas es el estudio

de las nociones matemticas que estn presentes cuando se modela matemticamente una

situacin real. Por tanto, existen objetos matemticos que modelan fenmenos reales. En esta

perspectiva se trata es de usar los modelos para estudiar las nociones matemticas implicadas

en los mismos. Uno de los objetivos de la investigacin sobre la modelacin matemtica es

identificar fenmenos que son susceptibles de ser modelados matemticamente por objetos

matemticos como por ejemplo la funcin y que permitan estudiar dichos objetos

matemticos.

La modelizacin, como nocin matemtica explcita en el aula, es en s misma una nocin

que debe ser incorporada a los procesos de enseanza y aprendizaje, es decir, el estudiante

debe aprender a modelar; por tanto, interesan las estrategias y los procesos de pensamiento del

estudiante para adquirir competencias sobre el proceso de modelizacin.

Situacinproblema Modeloreal Modelomatemtico

simplificacin

idealizacin

estructuracin

matematizacin

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Es as que, bajo estos dos enfoques, la investigacin en Educacin Matemtica se preocupa

por estudiar los siguientes aspectos:

Epistemolgicos. Inmersos en las caractersticas didcticas que poseen las situaciones reales y

sus modelos matemticos asociados, es decir, desde esta perspectiva el enfoque

epistemolgico configura una aproximacin a la modelizacin como medio para aprender

matemticas.

Cognitivos. Presentes en la comprensin y los procesos cognitivos del estudiante relacionados

con la modelizacin de una situacin real. Esta perspectiva intenta realizar una aproximacin a

la modelizacin como objeto matemtico en s mismo.

Es en este sentido que la modelizacin se ha convertido en un medio para estudiar nociones

matemticas y tambin en objeto matemtico de estudio, es decir, se le han incorporado

nuevos valores didcticos al proceso de modelizacin. Es por esto que el modelo de la

modelizacin se transforma y evoluciona integrndose a l nuevas fases y procesos entre fases,

como se muestra en la Figura 4 (Blum, 2005) citado en (Bosch et al., 2006).

Figura 4. Ciclo de modelizacin (Blum 2005) citado en (Bosch et al., 2006)

La modelacin matemtica desde el enfoque de Biembengut y Hein

Desde este enfoque, la modelacin es utilizada como mtodo de enseanza ya que permite al

estudiante aprender nociones matemticas y su relacin con situaciones de otras ciencias

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(como la Fsica, Qumica, Biologa las Ciencias Sociales, entre otras) y adems potencia en el

estudiante habilidades para leer, interpretar, comprender y explicar situaciones problema.

En este enfoque la modelacin es un proceso a travs del cual se obtiene un modelo

matemtico. Un modelo matemtico es un conjunto de smbolos y relaciones matemticas

mediante el cual se puede representar un fenmeno o situacin problema. El modelo permite

entonces dar solucin a la situacin problema y tambin puede servir de soporte para nuevos

modelos. En el proceso de modelacin existe una serie de etapas bien definidas y son:

reconocimiento de la situacin problema (delimitacin del problema), familiarizacin con el

tema que va a ser modelado (referencial terico), formulacin del problema, (hiptesis),

formulacin de un modelo matemtico (desarrollo), resolucin del problema a partir del

modelo (aplicacin), interpretacin de la solucin y validacin del modelo (evaluacin). En la

figura 5, se presenta un esquema de este enfoque.

Figura 5. Esquema del proceso de modelacin (Biembengut & Hein, 1997)

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Es de notar que en este ltimo enfoque importan tanto los temas ya sean matemticos o

extramatemticos que involucren en su estudio un modelo matemtico, como la enseanza de

nociones matemticas, por tanto comporta cierta similitud con la perspectiva de Bosch y sus

colegas (2006) quienes tambin sostienen que la modelizacin en principio es comprender un

fenmeno a travs de un modelo matemtico y tambin interesa el aprendizaje de nociones

matemticas.

Uno de los aspectos que destaca a favor es que los estudiantes, tienen la posibilidad de

seleccionar temas de su inters para ser estudiados; esto los involucra y compromete con el

proceso de aprendizaje haciendo ms interesante y activa la clase. Se logra tambin que los

estudiantes encuentren significado a los conocimientos matemticos que aprenden ya que

stos tienen que ver con temas de otras reas del conocimiento.

3 METODOLOGA

Para abordar el problema presentado se plante como estrategia general la observacin

intencionada sobre las actividades realizadas por los estudiantes en su vida cotidiana para

identificar las posibles situaciones que aparentemente puedan modelarse con funciones

lineales o de proporcionalidad. Una vez identificadas tales situaciones, se desarrolla un

anlisis de las mismas para identificar si en efecto stas se modelan a travs de tales funciones.

4 ANLISIS DE DATOS

Si bien en la regin del municipio citado las actividades laborales que predominan son la

agricultura de productos pancoger y otros (v.g., caf, granadilla, lulo), la ganadera y los

oficios domsticos, a travs de una observacin intencionada hemos identificado varias

situaciones que contienen relaciones que pareceran poderse modelar con una funcin lineal

(v.g., cantidad de hojas de pltano en relacin al nmero de tamales, cantidad de arroz en

relacin al nmero de tamales, cantidad de raciones de carne versus nmero de personas que

almuerzan, cantidad de huevos en relacin con la cantidad de tamales, cantidad de guayaba en

relacin con la cantidad de helados, cantidad de leche versus cantidad de helados, cantidad de

sal versus cantidad de ganado vacuno, cantidad de Purina en relacin con la cantidad de

cerdos).

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En un primer intento de encontrar una situacin adecuada, seleccionamos el contexto de

preparacin y venta de tamales, como un contexto familiar a los estudiantes. Dentro de este

contexto, hemos seleccionado y estudiado la relacin que existe entre la cantidad de hojas para

envolver los tamales y el nmero de stos. A primera vista esta situacin es de

proporcionalidad directa, pues adems de haber una correlacin directa entre las dos

magnitudes (i.e., cantidad de hojas y nmero de tamales) existe proporcin entre las razones

determinadas por los valores correspondientes de estas magnitudes; ello parece ratificarse

cuando se enuncia que por cada 50 tamales son necesarias 15 hojas de pltano.

Lo anterior, usualmente se representa a travs de una grfica como la de la Figura 6, o con una

frmula como th 103= .

Figura 6. Grfica de la relacin entre el nmero de tamales y la cantidad de hojas para envolverlos

Bajo estas condiciones parecera que ha sido trivial encontrar la situacin de proporcionalidad

directa buscada pero, para regocijo de nuestra capacidad de asombro y como reto a nuestra

formacin profesional, el asunto no es tan simple. Por un lado, en esta modelacin de la

situacin hemos fijado algunas variables; por ejemplo, hemos supuesto que todas las hojas

de pltano tienen una longitud uniforme y que tambin lo es su calidad (sabemos bien que en

la realidad ello no sucede). Por otra parte, reconocemos que el contexto especfico de la

situacin genera opciones diferentes para el modelo matemtico.

Si el contexto especfico es la compra de las hojas de pltano, hay que advertir que stas se

consiguen por atados de 15 hojas y no por unidad. Por tanto para una cantidad de tamales entre

1 y 50 se deben comprar 15 hojas, entre 51 y 100 se deben comprar 30 hojas, y as

sucesivamente, de tal manera que la grfica y la frmula no son las de una relacin de

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proporcionalidad. Una aproximacin a la grfica de esta situacin se presenta en la Figura 7;

naturalmente para esta funcin su representacin algebraica ya no es th 103= .

Si el contexto especfico es la elaboracin de los tamales, quiz s aparezca una relacin de

proporcionalidad modelando la relacin, pero en este caso habr que considerar la relacin

entre el nmero de tamales (o ms precisamente entre el nmero entero positivo de tamales) y

las fracciones de hojas (o ms exactamente los mltiplos enteros de los tres dcimos de hoja);

en esta relacin aparece la razn constante 103 de hoja : 1 tamal. Pero, es precisamente esa

relacin la que aparece naturalmente en la cotidianidad? o, es esa la relacin que est

presente en la mente de quien elabora los tamales y reparte las hojas para envolver los

tamales?

Figura 7. Grfica de la relacin entre el nmero de tamales y la cantidad de hojas para envolverlos (en el contexto de compra)

5 CONCLUSIONES

Lo anterior ejemplifica que no solo no hemos podido encontrar una situacin de

proporcionalidad en la cotidianidad de los estudiantes de uno de nuestros cursos, sino que el

intento de identificarlas nos ha llevado a advertir aspectos de la modelacin de situaciones

reales de los que antes no ramos suficientemente conscientes. Adems, nos pone de

manifiesto, de manera enftica y contundente, que debemos ser mucho ms cuidadosos cuando

identifiquemos y modelemos matemticamente situaciones extradas de la realidad que se vive

dentro y fuera del aula. Igualmente, hemos sido conscientes de la necesidad de explicitar que

en los procesos de modelacin se idealiza la situacin real y que fijar algunas variables es

parte sustancial de tal idealizacin.

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Identificar situaciones reales que efectivamente sean modeladas por funciones lineales o

relaciones de proporcionalidad se ha convertido en un reto profesional para los docentes. ste

nos ha llevado a mejorar el nivel de consciencia sobre lo que realmente sabemos e ignoramos

como profesores de matemticas acerca de lo que enseamos (y pretendemos que nuestros

estudiantes aprendan). Igualmente, nos ha conducido a problematizar nuestro quehacer mucho

ms all de la habitual pregunta sobre la metodologa adecuada o sobre el diseo de

situaciones que motiven realmente a nuestros estudiantes. Asimismo, nos ha puesto en

evidencia que este reto perfectamente puede ser compartido por muchos profesores de

matemticas tan normales como nosotros, pues probablemente ellos tambin hayan advertido

que en la mixtura compuesta por proporcionalidad-modelacin-contextos hay un suculento

coctel que invita a la reflexin profesional.

6 BIBLIOGRAFA

Biembengut, M., & Hein, N. (1997). Modelo, modelacin y modelaje: Mtodos de enseanza - aprendizaje de matemticas. Revista Epsilon: Revista de la Sociedad Andaluza de Educacin Matemtica "Thales"(38), 209-222.

Biembengut, M., & Hein, N. (2004). Modelacin matemtica y los desafos para ensear matemtica. Educacin matemtica, 16(002), 105-125.

Bosch, M., Garca, F., Gascn, J., & Ruz, L. (2006). La modelizacin matemtica y el problema de la matemtica escolar. Una propuesta desde la teora antropolgica de lo didctico. Educacin matemtica, 18(002), 37-54.

Camelo, F. J., & Mancera, G. (2005). El currculo desarrollado en torno a la proporcionalidad: Un estudio cualitativo realizado en secundaria. Universidad Pedaggica Nacional, Bogot.

Colombia, M. E. N. (1998). Matemticas. Lineamientos curriculares. Bogot: Ministerio de Educacin Nacional.

Daz, C. J., lvarez, J., Torres, L. A., & Guacaneme, E. A. (1997). Anlisis y resultados de las pruebas de matemticas TIMSS Colombia. Bogot: Ministerio de Educacin Nacional.

Guacaneme, E. A. (2001). Estudio Didctico de la proporcin y la proporcionalidad: Una aproximacin a los aspectos matemticos formales y a los textos escolares de matemticas., Universidad del Valle, Cali.

Guacaneme, E. A. (2002). Una mirada al tratamiento de la proporcionalidad en los textos escolares de matemticas. Revista EMA. Investigacin e innovacin en educacin matemtica, 7(1), 3-42.

Perry, P., Guacaneme, E. A., Andrade, L., & Fernndez, F. (Eds.). (2003). Transformar la proporcionalidad en la escuela: Un hueso duro de roer. Bogot: una empresa docente.