[2011] raciocínio lógico para traumatizados - aula 06

Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Aula 6 - Questões Comentadas e Resolvidas

Estatística Descritiva. Gráficos, tabelas, séries, tipos de variáveis, distribuições de freqüência, medidas de posição (média, mediana e moda), medidas de dispersão (desvio padrão etc.), medidas de assimetria, medidas de curtose, diagramas de caixa (box plots) e diagrama de ramo-e-folhas.

Olá, tudo bem? Esperamos que você esteja aproveitando bastante as nossas aulas de raciocínio lógico-quantitativo. Hoje inicia-se uma nova etapa deste curso, em que aprenderemos, juntos, probabilidade, estatística e análise combinatória, ou simplesmente "estatística", como alguns preferem. Reconhecemos que o assunto não é de fácil compreensão. Um bom aproveitamento desta nova matéria requererá muita dedicação e esforço, o que significará, na prática, que você deverá treinar exaustivamente por meio da resolução dos exercícios. Garantimos que se você treinar, treinar e treinar, o bom desempenho na prova de raciocínio lógico-quantitativo será mera consequência do treinamento. Por outro lado, a tarefa dos professores consistirá em apresentar os elementos sensíveis do assunto, numa ordem sugestiva e com uma distribuição adequada do conteúdo. Nós o incentivamos a perguntar via forum web sempre que tiver dúvidas.

Acreditamos que o segredo para ser aprovado em qualquer concurso reside na capacidade de abstrair, que consiste, a rigor, em apreender o essencial e ignorar o incidental, ver o que é significativo e pôr de lado o irrelevante, reconhecer o importante como importante e o negligenciável como negligenciável. Portanto, o importante é que você chegue ao final deste módulo com uma compreensão razoável das ideias fundamentais da estatística que será cobrada na prova. Não tente aprender tudo o que será ensinado de uma só vez. Há que digerir os conceitos. A nossa experiência mostra que quem tenta aprender tudo de uma só tacada não aprende nada.

Voltemos ao curso. Aprenderemos estatística através de exercícios até a aula 13 (11/11). É uma longa caminhada (mas valerá a pena, pode estar certo(a) disso!). Não obstante, continuaremos a propor exercícios para revisar os assuntos que foram ensinados até a aula 5 (matemática básica, matemática e raciocínio lógico). Esses exercícios serão propostos ao final da aula, na seção intitulada "Exercícios de Revisão". Na aula 7 (próxima aula) serão propostos exercícios de revisão dos conceitos vistos até a aula 6, e assim sucessivamente. Com esta metodologia, esperamos que você mantenha o treinamento nos tópicos vistos até a aula atual.

Vamos começar?

Julgue os itens a seguir.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1. A estatística descritiva usa os dados de uma amostra para fazer estimativas e testar hipóteses a respeito das características de uma população.

Resolução

O item dá a definição de Inferência Estatística. Aproveitaremos a oportunidade para enunciar os conceitos de população e amostra.

POPULAÇÃO

Uma população é o conjunto de todos os elementos de interesse em determinado estudo.

AMOSTRA

Uma amostra é um subconjunto de uma população.

GABARITO: Errado

2. A inferência estatística aborda a organização e a descrição dos dados experimentais.

Resolução

O item define a Estatística Descritiva. Detalhemos um pouco mais a definição.

A maioria das informações estatísticas publicadas no jornais, revistas, relatórios de empresas, etc., consiste em dados sumariados e apresentados de forma fácil de entender para o leitor. Esses sumários de dados, que podem ser tabulares, gráficos ou numéricos, são conhecidos como Estatística Descritiva.

GABARITO: Errado

3. Uma variável estatística será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos.

Resolução

A variável será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos, como, por exemplo:

a) População: moradores de uma cidade. Variável: sexo (masculino ou feminino).

b) População: peças produzidas por uma máquina. Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa).

GABARITO: Certo

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 4. Uma variável estatística será quantitativa quando seus valores forem expressos em números.

Resolução

Item certo. As variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. Uma variável contínua é aquela cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de números reais e que resulta de uma mensuração, como, por exemplo, a estatura de um indivíduo. Uma variável discreta é aquela cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números, e que resultam, freqüentemente, de uma contagem.

Exemplos de variáveis discretas:

a) População: casais residentes em um distrito de uma cidade. Variável: número de filhos.

b) População: carros produzidos em uma linha de montagem. Variável: número de defeitos por unidade.

Exemplos de variáveis contínuas:

a) População: detergentes de uma certa marca e tipo. Variável: peso líquido.

b) População: peças produzidas por uma máquina. Variável: diâmetro externo.

GABARITO: Certo

5. O rol é um arranjo dos dados brutos.

Resolução

Um rol é um arranjo dos dados em ordem crescente ou decrescente.

Assim, {10, 8, 20, 12, 15, 3, 2, 4} são dados brutos e {2, 3, 4, 8, 10, 12, 15, 20} constituem o rol.

GABARITO: Errado

6. Série estatística é toda tabela que apresenta um conjunto de dados estatísticos distribuídos em função da época, do local ou da espécie.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Resolução

A definição é correta. As séries estatísticas podem ser classificadas em

• históricas;

• geográficas;

• específicas; e

IPCA (%) Jun/2011 0,15 Mai/2011 0,47 Abr/2011 0,77 Mar/2011 0,79 Fev/2011 0,80 Jan/2011 0,83 Dez/2010 0,63 Nov/2010 0,83 Out/2010 0,75 Set/2010 0,45 Ago/2010 0,04 Jul/2010 0,01 Jun/2010 0,00

Fonte: IBGE

2) Série geográfica: os 10 maiores PIB do mundo

PIB 2010 País US$ (bilhões) EUA 14.582 China 5.878 Japão 5.497 Alemanha 3.309 França 2.560 Reino Unido 2.246 Brasil 2.087 Itália 2.051 Canadá 1.574

Fonte: Banco Mundial


distribuição de frequências.

Exemplos:

1) Série histórica: Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA)


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 3) Série específica: número de formandos por curso de graduação de uma universidade

NÚMERO DE ALUNOS EGRESSOS - 2010

Cursos No de egressos Engenharia 100 Direito 250 Administração 150 Economia 50 Contabilidade 50

(*) Valores hipotéticos

4) Distribuição de frequências:

Altura dos alunos de uma academia ginástica

Alturas (m) No de alunos 1,50 |-- 1,60 25 1,60 |-- 1,70 45 1,70 |-- 1,80 80 1,80 |-- 1,90 15 1,90 |-- 2,00 5 2,00 |-- 2,10 1

(*) Valores hipotéticos

A frequência de um dado valor de uma variável (qualitativa ou quantitativa) é definida como o número de vezes que esse valor foi observado. Seja f a frequência do i-ésimo valor observado. Se o número total de elementos observados é n, então vale a relação

em que k denota o número de diferentes valores existentes da variável.

A associação das respectivas frequências a todos os diferentes valores observados define a distribuição de frequências do conjunto de valores observados. Também podemos trabalhar com a noção de frequência relativa de um valor observado, definida como



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Observe que

10,4 10,5 10,8 10,2 10,6 10,6 10,2 10,7 10,4 10,5 10,3 10,5 10,4 10,7 10,4 10,9 10,5 10,3 10,6 10,5 10,4 10,5 10,6 10,9 10,7

Na Tabela abaixo, temos os dados acima organizados em termos de frequências e de frequências relativas, simples e acumuladas.

xi fi Fi pi Pi

10,2 2 2 0,08 0,08 10,3 2 4 0,08 0,16 10,4 5 9 0,20 0,36 10,5 6 15 0,24 0,60 10,6 4 19 0,16 0,76 10,7 3 22 0,12 0,88 10,8 1 23 0,04 0,92 10,9 2 25 0,08 1,00

25 1,00

A próxima figura é uma representação gráfica das duas primeiras colunas da Tabela acima. É importante que você aprenda a interpretar corretamente o gráfico da figura a seguir. Por exemplo, a frequência 2 associada ao valor 10,3 quer dizer, na verdade, que temos dois valores compreendidos entre os limites 10,25 e 10,35, que foram aproximados, no processo de medição, para 10,3. Portanto, uma representação gráfica correta deverá associar a frequência 2 ao intervalo 10,25 - 10,35. Isto é feito por meio de uma figura formada com


retângulos cujas áreas representam as frequências dos diversos intervalos existentes.

A distribuição de frequências é o tipo de série mais importante para a prova.

Exemplo. Considere a variável comprimento de peças produzidas em uma fábrica, dada em centímetros:

histograma. Tal figura é denominada



No caso das variáveis contínuas, as frequências sempre serão associadas a intervalos de variação da variável e não a valores individuais. Tais intervalos são chamados de classes de frequências. Estas classes são usualmente representadas pelos seus pontos médios.

GABARITO: Certo

7. A média dos números 3, 4, 8, 11 e 13 é maior que 7.

Resolução

Generalizando o resultado obtido, temos que a média aritmética, ou média, de um conjunto de n números xl3x2,...,xn é definida por (leia-se "x barra")

GABARITO: Certo

8. Se 4, 7, 5, 2 ocorrerem com as frequências 3, 2, 4 e 1, respectivamente, a média aritmética será um número entre 5 e 6.


Média =

Resolução


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Em geral, se k valores distintos observados xl3x2,...,xk ocorrerem com as

frequências f1, f2,..., fk, respectivamente, a média será

em que pj denota a j-ésima frequência relativa.

INTERPRETAÇÃO DA MÉDIA

A média caracteriza o centro da distribuição de frequências; fazendo uma analogia com a mecânica, poderíamos interpretar a média como sendo o "centro de gravidade" de uma distribuição de frequências.

PROPRIEDADES DA MÉDIA

a) multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a média do conjunto fica multiplicada por essa constante. Seja x a variável de

GABARITO: Errado

9. Seja a distribuição em classes de frequência dada na tabela abaixo.

Classe (limites reais)

fi xi (ponto médio do

intervallo)

xifi

40,0 - 45,0 6 42,5 255 45,0 - 50,0 16 47,5 760 50,0 - 55,0 32 52,5 1.680 55,0 - 60,0 24 57,5 1.380 60,0 - 65,0 14 62,5 875 65,0 - 70,0 6 67,5 405 70,0 - 75,0 2 72,5 145

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Então a média da distribuição é inferior a 60.

Resolução

interesse, c um valor constante e y = cx. Então

b) somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa constante. Seja x a variável de interesse, c um valor constante e

51


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior O cálculo acima mostra que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe devem ser considerados coincidentes com o ponto médio do intervalo quando os dados são apresentados em uma distribuição de frequências.

GABARITO: Certo

GABARITO: Errado

11. O desempenho em um curso de graduação é avaliado por meio das notas obtidas nas provas bimestrais P1 e P2 e pela nota de Atividades (A). Sabendo-se que a P2 tem peso 5, que a P1 tem peso 2 e que A tem peso 3, então a média final do aluno que obteve as notas (em uma escala de 0 a 10) P1 = 5,0, P2 = 4,5 e A=8,5 é maior que 5,0.

Resolução

MÉDIA PONDERADA


10. As médias geométrica e harmônica dos números 2, 4 e 8 são, em valores aproximados, iguais a 3,43 e 4, respectivamente.

Resolução

MÉDIA GEOMÉTRICA

MÉDIA HARMÔNICA

Generalização das fórmulas das médias geométrica e harmônica:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Generalização da fórmula da média ponderada:

iguais.

GABARITO: D

13. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informações sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta:


denotam os fatores de ponderação ou pesos.

Nota: a média geométrica de um conjunto de números positivos

menor do que ou igual a sua média aritmética, mas é maior do que ou igual a sua média harmônica:

GABARITO: Certo

12. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto determinado de

Resolução

A média geométrica (G) de um conjunto de números positivos

menor ou igual a média aritmética harmônica:

mas é maior ou igual a média

A igualdade entre as médias ocorre quando todos os números

números positivos temos: como a média aritmética, G como a média geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) O número de homens na amostra é igual ao número de mulheres.

B) O número de homens na amostra é o dobro do número de mulheres.

C) O número de homens na amostra é o triplo do número de mulheres.

D) O número de mulheres na amostra é o dobro do número de homens.

E) O número de homens na amostra é o quádruplo do número de mulheres.

Resolução

Dados fornecidos:

Os dados fornecidos pela banca sugerem que a questão poderá ser resolvida através da aplicação da fórmula da média combinada, a qual corresponde à

1.300 Nh + 1.100 NM = 1.200 NH + 1.200 NM

A nossa tentativa deu certo. Concluímos que o número de homens na amostra é igual ao número de mulheres (alternativa "A").

GABARITO: A


- média salarial dos homens:

- média salarial das Mulheres:

- salário médio (média combinada)

Variáveis incógnitas:

- NH: número de homens;

- NM: número de mulheres.

O que esta questão está cobrando? O que está por detrás das alternativas?

Diríamos que a pergunta a ser respondida é a seguinte:

Qual é a relação existente entre as variáveis

média ponderada das médias salariais

certo? Então vamos lá.

Não custa nada tentar,


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Julgue os itens a seguir.

14. A mediana da série ordenada {12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30} é 20.

Resolução

A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n ímpar, é definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Na questão, n = 9 e (n+1)/2 = (9+1)/2 = 10/2 = 5, ou seja, a mediana é o quinto valor da série:

{12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30}.

Classe frequência 40,0 - 45,0 6 45,0 - 50,0 16 50,0 - 55,0 32 55,0 - 60,0 24 60,0 - 65,0 14 65,0 - 70,0 6 70,0 - 75,0 2

Soma: 100


mediana = 20

Se n for par, consideraremos a mediana como o valor médio entre os valores de ordem n/2 e (n/2) + 1 do conjunto de dados. Exemplo:

A mediana dos oito valores já ordenados,

12 14 15 19 20 26 27 30

é igual a (19+20)/2 = 19,5.

A mediana caracteriza o centro de uma distribuição de frequências com base na ordem dos valores que formam o conjunto de dados. A mediana é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado.

GABARITO: Certo

15. Considere os dados da tabela a seguir. A mediana dessa distribuição é menor que 50.



Você não precisa decorar nenhuma fórmula para saber determinar o valor da mediana, haja vista que ela pode ser obtida através da aplicação de uma mera regra de três. Então como é que a gente calcula a mediana? Vamos lá. A princípio não sabemos o valor exato da mediana. Mas isso não nos impede de determinar a sua classe (esse é o "pulo do gato"!). A tabela mostra que a primeira classe tem frequência 6%, a segunda tem frequência 16% e a terceira tem frequência 32%. Note que 6% + 16% = 22%, sendo este o valor da frequência acumulada até a segunda classe. A frequência acumulada da terceira classe é 22% + 32% = 54%. Agora precisamos dar uma parada. Repare que a frequência acumulada da terceira classe é 54% > 50%. Logo, a terceira classe contém a mediana (e é por isso que o item é errado). Deve-se montar a seguinte regra de três:

a amplitude da classe da mediana (55,0 - 50,0 = 5,0) está para a frequência da classe da mediana (32), assim como a amplitude da classe até a mediana (X) está para a frequência acumulada até a mediana subtraída da frequência acumulada até a classe inferior à classe da mediana (50% - 22% = 28%):


Portanto,

mediana = 50,0 + X = 54,375.

O procedimento de cálculo da mediana descrito acima pode ser generalizado por meio da fórmula

acima supõe que os valores observados da variável tenham se distribuído homogeneamente dentro das diversas classes.

COMENTÁRIOS

Em certos casos práticos, como aqueles que envolvem distribuições de frequência com valores extremos, é mais conveniente usar a mediana como medida de tendência central, pois a média sofre influência de valores

em que L é o limite inferior da classe que contém a mediana, n é o número de

elementos do conjunto de dados, é a soma das frequências das classes

anteriores à que contém a mediana, é a frequência da classe que contém a

é a amplitude da classe que contém a mediana. A expressão


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior extremos. Neste caso, a mediana fornecerá uma melhor idéia do centro da distribuição de frequências da variável sob análise.

A mediana de uma distribuição em classes de frequências pode ser geometricamente interpretada como o ponto tal que uma vertical por ela traçada divide a área sob o histograma em duas partes iguais.

A mediana e a média são coincidentes quando a distribuição é simétrica. Em distribuições assimétricas, a média tende a deslocar-se para o lado da cauda mais longa (vide figura abaixo).

Distribuição Distribuição assimétrica

simétrica

média = mediana

A mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos com igual número de elementos. Há outras maneiras de se dividir os dados ordenados. Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem o conjunto ordenado de valores em quatro subconjuntos com igual número de elementos. O primeiro quartil (Q1) ou quartil inferior (Q) delimita os 25% menores valores; o segundo quartil é a própria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) é o valor que separa os 25% maiores valores (veja a próxima figura). Além dos quartis, podemos definir os decis (D1, D2,..., D9), que são os valores que dividem os dados ordenados em dez partes iguais (note que a mediana corresponde ao quinto decil D5) e os percentis, que são os valores que dividem os dados ordenados em 100 partes iguais, sendo representados por P1, P 2 , . . . , P99 (a mediana é o percentil P50).

De maneira geral, os quartis, decis e percentis e outros valores obtidos mediante subdivisões dos dados em partes iguais são denominados quantis.




GABARITO: Errado

16. Considere os dados do item anterior. O valor aproximado da moda da distribuição é 53,3.

Resolução

A moda de uma distribuição pode ser calculada pelo método de Czuber ou pelo método de King. Caso a questão da prova não especifique o método, assuma que o cálculo deve ser feito pela fórmula de Czuber.

FÓRMULA DE CZUBER


A moda de uma distribuição é dada pelo valor mais freqüente ou de máxima frequência. Assim, a classe modal da distribuição é 50,0 — 55,0, pois esta classe possui a maior frequência, cujo valor é 32.

em que L é o limite inferior da classe modal, d1 é a diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior, d2 é a diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente seguinte e h é a amplitude das classes.

classe modal e h é a amplitude da classe modal.

Se todas as realizações do conjunto de valores observados ocorrem com a mesma frequência, diz-se que a série estatística é amodal, ou seja, não tem valor modal.

Exemplo. Seja a série estatística {2, 1, 9, 4, 5, 20, 8, 7, 11, 19}. Essa série é amodal, pois não há repetição de valores (todos ocorrem o mesmo número de vezes).

Pode haver mais de uma moda em um conjunto de valores. Se houver apenas uma moda, a distribuição é dita unimodal. Se houver duas, é bimodal, se possuir três é trimodal e assim sucessivamente.

A figura a seguir ilustra as posições relativas da moda, mediana e média para uma distribuição de frequência (levemente) inclinada para a direita.

GABARITO: Certo



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior INFORMAÇÕES ADICIONAIS

Método de King:

em que L denota o limite inferior da classe modal,

classe posterior a classe modal, é a frequência da classe anterior a


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as próximas duas questões, considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que:

I - As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.

II - A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo).

Valores Arrecadados (R$) Frequências Relativas 1.000,00 | 2.000,00 0,10 2.000,00 | 3.000,00 x 3.000,00 | 4.000,00 y 4.000,00 | 5.000,00 0,20 5.000,00 | 6.000,00 0,10

Total 1,00

17. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é

A) 70%

B) 65%

C) 55%

D) 45%

E) 40%

Resolução

Seja a tabela abaixo, em que xdenota o ponto médio da classe i, prepresenta a frequência relativa da classe i e Pi é a frequência acumulada da classe i.

Classes (em R$ mil) xi Pi Pi 1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 2,0 |--- 3,0 2,5 x 0,10 + x 3,0 |--- 4,0 3,5 y 0,10 + x + y 4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,30 + x + y 5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 0,40 + x + y

Total 1,00

Temos duas frequências relativas incógnitas: x e y. Logo, precisaremos montar um sistema de duas equações a duas incógnitas para resolver x e y. Profs. Alexandre Lima e .Moraes Junior www.pontodosconcursos. com. br 51



Classes (em R$ mil) xi Pi Pi 1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,45 3,0 |--- 4,0 3,5 0,25 0,70 4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,90 5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00

Total 1,00

E a porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é: 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 = 55%.

GABARITO: C


Por outro lado, sabemos que

Chegamos então ao sistema

Podemos resolver o sistema da seguinte forma: multiplique a equação (2) por -2,5 e some-a com a equação (1):

-2,5x - 2,5y +2,5x + 3,5y = 1,75 - 1,50

O enunciado diz que

0x + 1,0y = 0,25

Substituindo o valor de y em (2), tem-se que

= 0,60 - 0,25 = 0,35.

Então a solução é:

A versão final da tabela é:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 18. Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva mediana é

A) R$ 3,120,00

B) R$ 3,200,00

C) R$ 3,400,00

D) R$ 3,600,00

E) R$ 3,800,00

Resolução

Classes (em R$ mil) xi Pi Pi 1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,45 3,0 |--- 4,0 (classe da mediana) 3,5 0,25 0,70 4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,90 5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00 Total 1,00

A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. Fazendo a interpolação linear (regra de três), temos que: (4,0 - 3,0) = 1,0 (amplitude da classe da mediana) está para X (amplitude na classe da mediana correspondente à mediana) assim como (70% - 45%) está (50% -45%):


Logo: md = 3,0 + 0,2 = R$ 3,2 mil.

GABARITO: B

19. (APOFP-SP/2009/ESAF) Determine a mediana das seguintes observações:

17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9

A) 13,5

B) 17

C) 14,5

D) 15,5

E) 14



A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n ímpar, é definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, a mediana poderia ser definida como qualquer valor situado entre o de ordem n/2 e o de ordem (n/2) + 1. Por simplificação, para n par, consideraremos a mediana como o valor médio entre os valores de ordem n/2 e (n/2) + 1 do conjunto de dados

Total de elementos do conjunto = n = 23 (ímpar)

Mediana (número ímpar de elementos) => Posição = (n+1)/2 = 24/4 = 12

Vamos colocar os elementos do conjunto em ordem crescente:

3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42

Elemento na Posição 12 = 17

GABARITO: B

20. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada:


Observação: Considere que todos os intervalos de classe de histograma são fechados à esquerda e abertos à direita.

Utilizando-se as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a

A) R$ 100,00

B) R$ 400,00

C) R$ 800,00

D) R$ 900,00

E) R$ 1.000,00

Resolução

Quando os dados são apresentados em uma distribuição de freqüências, todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados coincidentes com o ponto médio do intervalo.

Seja a tabela para o cálculo da média aritmética:

Então,

Aprendemos que a mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado.

Considere a tabela abaixo (cálculo da mediana):



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Fazendo a interpolação linear (regra de três), temos que: (4,0 - 3,0) = 1,0 (amplitude da classe da mediana) está para X (amplitude na classe da mediana correspondente a mediana) assim como (55% - 30%) está (50% -30%):

GABARITO: A

21. A amplitude do conjunto 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 10 é

A) 6

B) 13

C) 10

D) 3

E) 7

Resolução

A amplitude é a diferença entre o maior valor e o menor valor do conjunto de dados:

Então R = 10 - 3 = 7.

GABARITO: E

22. Considere o conjunto de dados {2, 5, 8, 11, 14}. Então a variância desse conjunto é

A) 8

B) 20,25

C) 18

D) 24

E) 22


Então, md = 3,0 + 0,8 = 3,8 (em R$ mil).

Variância = 82 - 64 = 18.

COMENTÁRIOS

A variância tem, entre outras, as seguintes propriedades:

a) Se multiplicarmos todos os valores de uma série por uma constante, então a variância da nova série ficará multiplicada pelo quadrado dessa constante. Por exemplo, multiplique a série desta questão por 2. Você obterá a nova série {4, 10, 16, 22, 28}, cuja variância será 22 x 18 = 4 x 18 = 72. A prova desta propriedade será dada em outro exercício, mais adiante.

b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma série, a variância não se altera. Por exemplo, some 2 a todos os valores da série desta questão. Obteremos a nova série {4, 7, 10, 13, 16}, que possui a mesma variância (confira!).

Fórmula para cálculo da variância

GABARITO: C




Fórmula "maceteada" da variância:

Média (aritmética) do conjunto:

VARIÂNCIA = Média dos Quadrados - Quadrado da Média

Média (aritmética) dos quadrados:

Quadrado da média:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 23. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) O setor de recursos humanos de uma empresa tem o hábito de divulgar separadamente a média e a variância das notas das avaliações dos funcionários do sexo feminino e do masculino. Na última avaliação, os resultados obtidos foram:

Feminino Masculino Número de funcionários 20 30

Média 6 7 Variância 3,4 4

A média e a variância das notas dos funcionários dessa empresa, respectivamente, valem:

A) 6,5 e 3,7

B) 6,6 e 3,4

C) 6,6 e 4,0

D) 7,5 e 3,7

E) 13,0 e 7,5

Resolução

= 4 (conjunto masculino).

A média combinada corresponde à média ponderada das médias dos conjuntos:

www.pontodosconcursos. com. br 51 24 Profs. Alexandre Lima e .Moraes Junior

Considere o conjunto de dados A com NA elementos,

Pode-se demonstrar

que a variância da população conjunta A+B, também denominada variância combinada, é dada por

o conjunto B com NB elementos, média


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior O resultado acima já nos permite eliminar as opções A, D e E. Restaram as alternativas B e C.

A variância combinada é dada por

Calcularemos a variância combinada se soubermos os valores das somatórias

(soma dos quadrados de B).

A média do conjunto A é 6

A média do conjunto B é 7

(soma de A = 120).

(soma de B = 210),

A variância de A é 3,4. Então,

A variância de B é 4,0. Logo,

Finalmente, temos que

variância combinada = 4,0.

COMENTÁRIO

Se as médias dos conjuntos A e B forem iguais, ou seja, se variância combinada pode ser calculada por meio da fórmula simplificada




Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior em que N = NA + NB. Repare que trata-se de uma média ponderada das variâncias individuais.

Atenção: a fórmula acima é um caso particular da fórmula geral da variância combinada. Você só poderá aplicá-la quando as médias dos conjuntos A e B forem iguais!

GABARITO: C

24. Sejam os conjuntos de números {2, 5, 8, 11, 14} e {2, 8, 14}. Assinale a opção com a variância dos conjuntos combinados ou reunidos.

A) 8

B) 20,25

C) 18

D) 24

E) 22

Resolução

Temos a série estatística A = {2, 5, 8, 11, 14} com média

e a série B = {2, 8, 14} com média

Como as médias são iguais, podemos aplicar a fórmula simplificada

Variância do 1° conjunto:

Variância do 2° conjunto:

Variância combinada:

GABARITO: B


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 25. (Agente Fiscal de Rendas SP/2006/FCC) Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar:

A) Concedendo-se um reajuste de 10% em todos os salários de uma empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10.

B) Definindo-se coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética.

C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores.

D) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2.

E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero.

Resolução

Análise das alternativas:

Média dos Quadrados - Quadrado da Média.

de um conjunto de dados é dada pela fórmula

PROVA: a variável x representa o salário de um empregado. Se é concedido um reajuste de 10% em todos os salários (então o salário reajustado passará

tem-se que a nova

ou seja, a nova variância ficará multiplicada pelo quadrado da constante.

B) O Coeficiente de Variação (CV) é definido como o quociente entre o desvio padrão (que por sua vez é dado pela raiz quadrada positiva da variância) e a média, sendo frequentemente expresso em porcentagem:

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 27

Se multiplicarmos todos os salários por 1,1 (reajuste de 10%), então a variância da nova série ficará multiplicada por 1,12 = 1,21 (a demonstração é



Grupo A

Grupo B

A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas:

I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo.

II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita.

III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B.

Assinale:

A) se somente a afirmativa I for verdadeira.

B) se somente a afirmativa II for verdadeira.

C) se somente a afirmativa III for verdadeira.

D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras.

E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras.


alternativa é VERDADEIRA.

D) Quando todos os valores de uma série são multiplicados por uma constante, a variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante. Logo, se dividirmos todos os valores de uma série por 4, tem-se que o desvio padrão também ficará dividido por 4 ^ FALSA.

E) Esta afirmação é verdadeira somente para distribuições assimétricas ^ FALSA.

GABARITO: C

26. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para comparar as rendas de dois grupos de pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) com os valores observados dos salários, representados na figura a seguir:



PRELIMINARES

O desvio interquartílico (InterQuartile Range - IQR), definido por

1 BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística Básica. São Paulo: Ed. Saraiva, 2010. 2 A média aritmética é sensível a outliers. Um único valor "ruim" do conjunto de dados pode distorcer a média, ou seja, pode mover a média para longe do centro da distribuição de frequências. As médias geométrica e harmônica, assim como a aritmética, também não são robustas a outliers. Elas são úteis quando os dados são bem modelados pela distribuição log-normal ou quando a distribuição é fortemente assimétrica. 3 MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2008. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos. com. br 13

em que dq denota o desvio interquartílico, Qs é o quartil superior (ou terceiro quartil Q3) e Qo quartil inferior (ou primeiro quartil Q1), pode ser usado como uma medida de dispersão. Em distribuições mais dispersas, os valores dos quartis ficam mais distantes. Em distribuições simétricas, a distância entre o quartil inferior e a mediana é igual à distância entre a mediana e o quartil superior, enquanto que em distribuições assimétricas essas distâncias são diferentes.

Exemplo. O primeiro e o terceiro quartis da distribuição das alturas dos estudantes da Universidade de São Paulo são 165,56 cm e 178,59 cm, respectivamente. Calcule o desvio interquartílico dessa distribuição.

diagrama (veja a próxima figura), consideramos um retângulo onde estão representados a mediana, o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3). A partir do retângulo, para cima, segue uma linha até o ponto mais remoto que não pode exceder LS = Q3 + 1,5.IQR, chamado limite superior. De modo análogo, a partir do retângulo, para baixo, segue uma linha até o ponto mais remoto que não seja menor que LS = Q1 -1,5.IQR, chamado limite inferior. Os valores compreendidos entre esses dois limites são chamandos valores adjacentes. As observações que estiverem acima do limite superior ou abaixo do limite inferior serão denominadas pontos exteriores. Essas observações são destoantes das demais e podem ou não ser o que chamamos de outliers ou valores atípicos1,2. Um outlier pode ser produto de um erro de observação ou de arredondamento. Contudo, as denominações pontos exteriores e outliers são frequentemente usadas com o mesmo significado por alguns autores3: observações fora de lugar, discrepantes ou atípicas.

O box plot nos dá uma noção da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes da distribuição. A posição central é dada pela mediana e a dispersão por IQR. As posições relativas de Q1, Q2 e Q3 nos dão uma idéia da


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior assimetria da distribuição. Os comprimentos das caudas são dados pelas linhas que vão do retângulo aos valores remotos e pelos valores atípicos. Os comprimentos das caudas são dados pelas linhas que vão do retângulo aos valores remotos e pelos valores atípicos.

Exemplo. Considere um conjunto de dados com os seguintes percentis:

0% 25% 50% 75% 100% 1,7524 4,6901 5,7004 6,1768 7,3658

A próxima figura é um box plot do conjunto de dados que gerou a tabela de percentis acima. A cauda inferior é longa e isto indica que a distribuição é assimétrica. Note também a presença de outliers na parte inferior do box plot (são os pontos vermelhos).




A figura abaixo mostra o histograma associado ao box plot do exemplo.

ANÁLISE DAS AFIRMATIVAS I- Os diagramas de caixas indicam que as medianas dois grupos A e B são iguais e não as suas respectivas médias ^ FALSA.

II- A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita porque a distância entre o terceiro quartil (Q3) e a mediana (md), ou seja, Q3 — md, é maior do que a distância entre a mediana e o primeiro quartil, dada por md — Q1. ^ VERDADEIRA.

III- O número de pessoas nos dois grupos é igual, haja vista que as distâncias entre os extremos superior e inferior nas distribuições dois dois grupos é aproximadamente 2.500 (3.100 — 600 = 2.500 para o grupo A e 2.900 — 400). ^ FALSA.

GABARITO: B



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 27. (ICMS-RJ/2008/FGV) Uma companhia utiliza um sistema de avaliação de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas são realizadas.

Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na tabela a seguir:

Medidas

Indicador

Medidas Qualidade Tempestividade

Média 50 25

Desvio-Padrão 10,0 6,0

Coeficiente de

Variação (%) 20 24

Com base na tabela, é correto afirmar que:

A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações.

B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da Tempestividade.

C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da Tempestividade.

D)os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor.

E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra.

Resolução

Análise das afirmativas:

A) A média aritmética é uma medida de posição de uma distribuição de frequências. Logo, é uma medida válida ("boa") para caracterizar o desempenho dos funcionários. Além disso, não se pode afirmar que a média não seja uma medida "boa" devido ao elevado nível de dispersão da distribuição. Posição e dispersão são características distintas de uma distribuição de frequências ^ ERRADA.


B) As medidas de coeficiente de variação

ou seja, as avaliações da Tempestividade foram mais dispersas do que as


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior C) As avaliações da Qualidade foram mais homogêneas, ou seja, menos dispersas, do que as da Tempestividade, haja vista que cv(qualidade) = 20 < 24 = cv(tempestividade) ^ CERTA.

D) Qualidade e Tempestividade são variáveis distintas; logo, essa comparação não faz sentido (não podemos comparar "banana" com "laranja"). A qualidade das tarefas é melhor em relação a quê? Os funcionários demoram mais para realizar as tarefas em relação a qual métrica de comparação? ^ ERRADA.

E) Está implícito que a companhia avaliou todos os seus funcionários. Logo, as medidas referem-se à população dos funcionários. As medidas tabeladas não são estimativas de parâmetros da população, mas sim os verdadeiros valores de média, desvio-padrão e coeficiente de variação das variáveis Qualidade e Tempestividade ^ ERRADA.

GABARITO: C

28. (Assessor Especializado/IPEA/2004/FCC) Numa distribuição de frequências com assimetria negativa mais de 50% dos dados situam-se

A) sobre a média

B) acima da média

C) entre a média e a moda

D) entre a média e a mediana

E) acima da mediana

Resolução

PRELIMINARES

em que s3 denota o desvio padrão elevado ao cubo e


Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuição. As distribuições alongadas à direita são ditas positivamente assimétricas, e as alongadas à esquerda, negativamente assimétricas.

Uma medida conveniente de assimetria, por ser adimensional, é dada pelo coeficiente de assimetria (A), definido como:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior é o momento centrado de terceira ordem. O coeficiente de assimetria indica o sentido da assimetria e pode ser usado para comparar vários casos porque é adimensional. O sinal do coeficiente de assimetria será positivo ou negativo se a distribuição for assimétrica à direita ou à esquerda, respectivamente.

A assimetria também pode ser medida pelo primeiro coeficiente de assimetria de Pearson:


em que x é a média e mo denota a moda.

Para evitar o emprego da moda, pode-se adotar a fórmula empírica

(média - moda) = 3(média - mediana),

de forma que a fórmula do primeiro coeficiente de assimetria de Pearson pode ser reescrita como

conhecida como segundo coeficiente de assimetria de Pearson.

Uma outra medida de assimetria, denominada coeficiente quartílico de assimetria (Aq), é definida pela fórmula

Voltando à resolução da questão ...

Assimetria Negativa ou à Esquerda: Média < Mediana < Moda



Assimetria Negativa (você puxa a seta com a mão esquerda):

1) A seta puxa a média

2) A moda está no topo

3) A mediana está no meio

Note que uma distribuição de frequências com assimetria negativa é alongada à esquerda.

A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. Logo, numa distribuição de frequências com assimetria negativa, mais de 50% dos dados estão acima da média (pois a média é menor do que a mediana).

Assimetria Positiva ou à Direita: Média > Mediana > Moda ou Moda < Mediana < Média




Assimetria Positiva ou à Direita (você puxa a seta com a mão direita):

1) A seta puxa a média

2) A moda está no topo

3) A mediana está no meio

GABARITO: B

29. (ICMS-RJ/2007/FGV) Considere as informações contidas no Box Plot abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior É correto afirmar que:

A) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres.

B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa.

C) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos homens.

D) a distribuição dos salários dos homens é atípica.

E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens.

Resolução

Análise das afirmativas:

A) Os diagramas de caixa indicam que as medianas dos salários, e não os salários médios, são iguais, com um valor aproximado de R$ 3.700 ^ ERRADA.

B) A distribuição dos salários das mulheres é assimétrica positiva, pois é alongada à direita (a distância entre o quartil superior e a mediana é maior do que distância entre o quartil inferior e a mediana) ^ ERRADA.

C) O desvio interquartílico dos salários das mulheres é aproximadamente igual a 4.400 — 3.400 = 1.000. O desvio interquartílico dos salários dos homens é aproximadamente igual a 3.900 — 3.300 = 600. Logo a afirmativa está CERTA.

D) O enunciado não fornece dados para se fazer este tipo de conclusão. Qual seria a distribuição dos salários dos homens típica? ^ ERRADA.

E) O salário mediano das mulheres é igual ao dos homens ^ ERRADA.

GABARITO: C

30. (Analista IRB/2004/ESAF) O desenho esquemático (diagrama de caixa) apresentado abaixo representa o resumo de cinco números {51,00;54,75;69,50;78,00;95,00} para um conjunto amostrais do atributo Y. Assinale a opção que dá o valor assimetria de Pearson para a amostra em apreço.

de observações do coeficiente de



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) -0,269

B) -0,500

C) 0,000

D) 0,294

E) -0,294

Resolução

Temos cinco números: {51,00;54,75;69,50;78,00;95,00}. É razoável admitir que eles representem as seguintes medidas:

- Valor Mínimo = 51,00 - Q1 = 54,75 - Mediana (md) = 69,50 - Q3 = 78,00 - Valor Máximo = 95,00

Note que o diagrama de caixa apresentado não representa de forma fidedigna as cinco medidas do atributo Y. Paciência! Não vale a pena brigar com a banca. O objetivo é ser aprovado no concurso!

Vimos que o primeiro coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula

Entretanto, não é possível calcular o coeficiente de assimetria de Pearson com os dados da questão (quais são os valores da média e da moda?). O que está acontecendo nesta questão? Calma ... pode ser que a banca tenha alguma outra medida de assimetria em mente. Que tal calcular o coeficiente quartílico de assimetria? Não custa nada. Então vamos lá!


Coeficiente quartílico de assimetria = -0,269

GABARITO: A


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 31. (AFRF/2001/ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão s = 13 da variável transformada (X — 200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X:

A) 3,0%

B) 9,3%

C) 17,0%

D) 17,3%

E) 10,0%

Resolução

Y = (X - 200)/5 => X = 5Y + 200

(AFRF/2002/ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. As questões de 32 a 37 referem-se a esses ensaios.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

32. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.


+ 200 = 5 x 100 + 200 = 700

s = sy = 13 Logo, sx = 5sy = 5 x 13 = 65

GABARITO: B


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) 140,10

B) 115,50

C) 120,00

D) 140,00

E) 138,00

Resolução

conforme a tabela acima.


em que pj denota a j-ésima frequência relativa.

Quando os dados são apresentados em uma distribuição de freqüências, todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados coincidentes com o ponto médio do intervalo. As fórmula acima será válida

GABARITO: E

ocorrerem com as freqüências Se k valores distintos observados

respectivamente, a média será

como o ponto médio e para esses dados agrupados quando se interpretar

como a frequência relativa


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 33. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X.

A) 138,00

B) 140,00

C) 136,67

D) 139,01

E) 140,66

Resolução

A mediana é o quinto decil. A mediana (md) de uma distribuição em classes de freqüências é dada pela expressão

Classe (limites reais)

Pj fj Fj

70 — 90 0,05 200 x 0,05 = 10 10 90 — 110 0,10 200 x 0,10 = 20 10 + 20 = 30 110 — 130 0,25 200 x 0,25 = 50 30 + 50 = 80 130 — 150 0,30 200 x 0,30 = 60 80 + 60 = 140 150 — 170 0,15 200 x 0,15 = 30 140 + 30 = 170 170 — 190 0,10 200 x 0,10 = 20 170 + 20 = 190 190 — 210 0,05 200 x 0,05 = 10 190 + 20 = 200

Soma 1,00 200 = n

GABARITO: C


em que Ll é o limite inferior da classe que contém a mediana, n é o número de

é a soma das frequências das classes elementos do conjunto de dados,

anteriores à que contém a mediana, é a frequência da classe que contém a

é a amplitude da classe que contém a mediana.

Seja a Tabela das freqüências freqüências acumuladas


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 34. Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson.

A) 3/S

B) 4/S

C) 5/S

D) 6/S

E) 0

Resolução

A questão aborda o cálculo do índice de assimetria de Pearson, dado por

Inicialmente, temos que calcular a moda mo. Como a questão não especificou o método de cálculo, se de Czuber ou de King, devemos usar a fórmula de Czuber:

Classe fj (limites reais)

70 - 90 10 90 - 110 20 110 - 130 50 130 - 150 60 150 - 170 30 170 - 190 20 190 - 210 10

Soma 200 = n


em que: - L é o limite inferior da classe modal,

- d é a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe imediatamente anterior,

- d2 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe imediatamente seguinte e - h é a amplitude das classes.

Seja a Tabela das freqüências (f) abaixo (a classe modal está destaca em negrito):

Número de elemento abaixo de 145 = 10 + 20 + 50 + 45 = 125 Total de elementos = 200

Freqüência Relativa = 125/200 = 0,625 = 62,5%

GABARITO: A


GABARITO: A

35. Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145.

A) 62,5%

B) 70,0%

C) 50,0%

D) 45,0%

E) 53,4%

Resolução


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 36. Considere a transformação Z = (X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se

A) 720,00

B) 840,20

C) 900,10

D) 1200,15

E) 560,30

Resolução

GABARITO: B


transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo

é a freqüência simples da classe i e Zo ponto médio de

e Além disso,

variância de Z. Seja a Tabela abaixo:

fórmula que facilita o cálculo da


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 37. Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente

onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose k para a distribuição de X.


A) 0,263

B) 0,250

C) 0,300

D) 0,242

E) 0,000

Resolução

em que D9 denota o nono decil e D1 representa o primeiro




pode ser generalizada para os quantis, como a A fórmula

seguir

Logo,

GABARITO: D

38. (Analista do BACEN/2006/FCC) A média aritmética dos valores das vendas diárias realizadas pelas 50 empresas do Setor A é de R$ 1.000,00, com desvio padrão de R$ 100,00. Sabe-se ainda que a média aritmética dos valores das vendas diárias realizadas pelas 200 empresas do Setor B é de R$ 2.000,00, com desvio padrão de R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos valores das vendas diárias realizadas pelos dois setores reunidos é

A) 34.000,00

B) 50.000,00

C) 194.000,00

D) 207.500,00

E) 288.000,00



A banca pediu para o candidato calcular a nvariância em (R$)2 dos valores das vendas diárias realizadas pelos dois setores reunidos". O que ela quis dizer com isso?

Considere que os valores das vendas diárias realizadas pelas 50 empresas do Setor A constituem a população A

em que N1 = 50, e que os valores das vendas diárias realizadas pelas 200 empresas do Setor B constituem a população B

em que N2 = 200.

A banca pediu para o candidato determinar a variância da população conjunta

A fórmula da variância da população conjunta A+B é

em que N = N1 + N2 = 50 + 200 = 250. A variância

vez conhecidos os valores dos somatórios

somatórios serão calculados em função das médias aritméticas A

respectivamente. Os somatórios serão determinados em

função de respectivamente.

A fim de facilitar as contas, cortaremos três zeros dos dados fornecidos:





GABARITO: C

39. (ICMS-RJ/2010/FGV) A média, a mediana e a variância das idades de um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades dessas pessoas serão, respectivamente:

A) 44, 35 e 34

B) 44, 45 e 12

C) 44, 45 e 24

D) 34, 35 e 12

E) 44, 45 e 124

Resolução

Está implícito que todas as pessoas do grupo estarão vivas daqui a dez anos. A dispersão da distribuição de frequências (das idades) não mudará com o envelhecimento das pessoas do grupo (ou seja, a forma da distribuição se mantém ao longo do tempo). Logo, a variância daqui a dez anos ainda será igual a 24. A única opção com este valor é a C.

Para dar a resposta final, devemos multiplicar a variância (= quadrado do desvio-padrão) obtida acima por (1.000)2, haja vista que dividimos as médias e desvios-padrão por 1.000:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Daqui a dez anos, a média e a mediana serão acrescidas de 10 unidades (anos), haja vista que a distribuição de frequências sofrerá um deslocamento para a direita de 10 unidades. Assim, a média e a mediana serão iguais a 44 e 45, respectivamente.

GABARITO: C

40. (AFPS/2002/ESAF) O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde às observações (82, ..., 158) do atributo X. Assinale a opção que dá o valor mediano de X

A) 105

B) 110

C) 104

D) 107

E) 115

Resolução

Não existe uma regra fixa para construir o diagrama de ramo-e-folhas, mas a idéia básica é dividir cada observação em duas partes: a primeira (o ramo) é colocada à esquerda de uma linha vertical, a segunda (a folha) é colocada à direita. Assim, para os valores 90 e 93, o 9 é o ramo e 0 e 3 são as folhas.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Na tabela abaixo, f denota a frequência simples e Fi é a freqüência acumulada das observações:

Ramos Folhas fi Fi 8 2 1 1 8 0 1 9 003 3 4 9 9 1 5 10 0011222344 10 15 10 577777 6 21 11 013 3 24 11 55679 5 29 12 00114 5 34 12 5557 4 38 13 004 3 41 13 5556 4 45 14 03 2 47 14 5 1 48 15 0 48 15 8 1 49

A tabela acima mostra que foram acumuladas 24 observações até a última folha do sétimo ramo. Note que há 49 observações no total e que a mediana corresponde à 1a folha do oitavo ramo, cujo valor é 115.

GABARITO: E

41. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média geométrica simples dessa amostra é

A) 2,25.

B) 1,75.

C) 2.

D) 2,4

E) 2,5

Resolução

MÉDIA GEOMÉTRICA

GABARITO: C



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 42. (Técnico Administrativo/BNDES/2010/CESGRANRIO) Dez mulheres adultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se: "Quantos filhos você tem?". O entrevistador foi anotando cada uma das respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido à pressa, esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as respostas dadas, na ordem em que foram registradas.

2 0 3 1 1 0 1 4 1

A partir das informações acima, analise as afirmativas a seguir.

I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta não registrada.

II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da resposta não registrada.

III - A média das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta não registrada.

Está correto APENAS o que se afirma em

A) I.

B) II.

C) III.

D) I e II.

E) II e III.

Resolução

ANÁLISE DAS AFIRMATIVAS

I - A observação de maior frequência (moda) possível é forçosamente o valor "1", haja vista que poderá ocorrer até 5 vezes (estamos assumindo que a resposta não registrada tenha sido um filho). Caso a reposta não registrada tenha sido zero filho, então o valor "0" poderá ocorrer 3 vezes, e assim sucessivamente para os demais valores. Desta maneira, a moda das quantidades de filhos das dez mulheres é o valor 1, independentemente da resposta não registrada. Afirmativa correta.

II - Temos uma distribuição de frequências sem intervalos de classe. Neste caso, basta identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências, que é igual a 5 nesta questão, pois há 10 mulheres. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada. Para responder se a mediana das quantidades de filhos das dez mulheres depende ou não da resposta não registrada, faremos uma análise exaustiva de várias hipóteses:



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior • Hipótese 1: três mulheres responderam que têm zero filho;

• Hipótese 2: cinco mulheres responderam que têm 1 filho;

• Hipótese 3: duas mulheres responderam que têm 2 filhos; e

• Assim sucessivamente.


Hipótese 1: 3 mulheres responderam que têm 0 filho.

Hipótese 2: 5 mulheres responderam que têm 1 filho.

mediana

mediana

Hipótese 3: 2 mulheres responderam que têm 2 filhos.

mediana

Hipótese 4: 2 mulheres responderam que têm 3 filhos.

mediana



Hipótese 5: 2 mulheres responderam que

mediana

têm 4 filhos.

Hipótese 6: 1 mulher respondeu que têm 5 ou mais filhos.

mediana

Observe que a mediana é igual a 1 para todos os casos. Portanto, a mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres INDEPENDE da resposta não registrada. Afirmativa incorreta.

III - Calcule a média considerando a hipótese 1 (3 mulheres responderam que têm 0 filho):

GABARITO: A


Agora, calcule a média considerando a hipótese 2 (5 mulheres responderam que têm 1 filho):

Constatamos que a média das quantidades de filhos das dez mulheres DEPENDE da resposta não registrada. Afirmativa incorreta.


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 43. (AFTE-R0/2010/FCC) Em uma cidade é realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período de um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.

Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da

A) média aritmética é igual ao valor da mediana..

B) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00.

C) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00.

D) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.

E) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda.

Resolução

Freq. Freq. Acumulada

Valor x Freq

30 30 15.000 50 80 50.000 60 140 90.000 30 170 60.000 20 190 50.000 10 200 30.000

200 295.000

Temos que:

• Moda = 1.500 (valor mais frequente)

• Média = 295.000/200 = 1.475

• Mediana (*) = 1.500 = Média + 25 ^ alternativa A.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior (*) Lembre do procedimento de cálculo da mediana para uma distribuição de frequências sem intervalos de classe. Você deverá identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências, cujo valor é 100, uma vez que a soma das frequências dá 200. Na tabela acima, a frequência acumulada para o valor 1.500 é 140, valor imediatamente superior a 100.

GABARITO: A

(Analista de Estatística/Perito/MPU/2010/CESPE) Considere que um perito tenha efetuado um estudo acerca do tempo gasto — X —, em meses, por empresas notificadas para quitar suas pendências com a Previdência Social. Uma amostra de 35 empresas notificadas com pendências foi selecionada de um banco de dados da Previdência. A partir dessa amostra, o perito fez uma análise exploratória da variável X, cujos resultados são apresentados a seguir.

Estatísticas Descritivas:

tempo mínimo = 2 meses tempo máximo = 128 meses

Gráfico 1




Nesse estudo, o perito efetuou avaliações acerca do número de irregularidades - Y - que geraram pendências em função do porte das empresas: com menos de 20 empregados e com 20 ou mais empregados. Os resultados foram os seguintes.

Com base nessas informações julgue os itens de 44 a 49.

44. O diagrama de caixas, conhecido como boxplot, indica que a distribuição de X é assimétrica. Portanto, o número de observações acima do segundo quartil (Q2) foi proporcionalmente superior ao número de observações abaixo de Q2.

Resolução

É correto afirmar que o boxplot indica que a distribuição de X é assimétrica, pois a distribuição tem cauda levemente alongada para a direita (note que a distância entre o quartil superior e a mediana é maior que a distância entre o quartil inferior e a mediana). Mas é incorreto dizer que o número de observações acima do segundo quartil (mediana) foi proporcionalmente


a mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos com igual número de elementos. Portanto, o item está errado.

GABARITO: Errado

superior ao número de observações abaixo da mediana, haja vista que


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 45. O tempo mediano da variável X foi aproximadamente igual a 29,34 meses.

Resolução

O box plot indica que a mediana é inferior a 20 meses. Item errado.

GABARITO: Errado

46. No diagrama de caixas, quatro observações foram identificadas como valores atípicos por estarem fora do intervalo [0; 77,25].

Resolução

O box plot indica que os valores 88, 92, 110 e 128 (vide diagrama de ramo e folhas) são outliers. Item Certo.

GABARITO: Certo

47. O diagrama apresentado a seguir é o resumo dos 5 números para a distribuição de X.

Resolução

O diagrama com o resumo dos 5 números tem a seguinte interpretação:

Os diagramas de caixas e de ramo e folhas confirmam que os dados relacionados acima estão corretos.

GABARITO: Certo

48. Nessa situação, a variabilidade do número de irregularidades nas empresas com menos de 20 empregados corresponde à metade da variabilidade do número de irregularidades nas empresas com 20 ou mais empregados.




Considere que o número de irregularidades nas empresas com menos de 20 empregados seja representado pela variável A e o número de irregularidades nas empresas com 20 ou mais empregados pela variável B. A comparação entre as variabilidades (dispersões) das distribuições de A e B deve ser feita em termos relativos. Para tal, deve-se usar o coeficiente de variação (cv), que é definido como a razão entre o desvio padrão e a média. Esta medida de dispersão caracteriza o espalhamento dos valores da distribuição em termos relativos ao seu valor médio (*).

(*) Não faz sentido comparar objetos diferentes (por exemplo,^ banana com laranja), utilizando uma medida absoluta como o desvio padrão. É por isso que é necessário trabalhar com um adimensional como o coeficiente de variação.

GABARITO: Certo

49. O desvio padrão amostral de X foi inferior a 31 meses.

Resolução

Variância = Média dos Quadrados - Quadrado da Média

ou

QUADRADO DA MÉDIA:

MÉDIA DOS QUADRADOS:



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior O desvio padrão é superior a 31 meses.

GABARITO: Errado

(Analista de Estatística/Perito/MPU/2010/CESPE) Uma pesquisa sobre obesidade resultou na seguinte distribuição da massa corporal para um grupo de 100 pessoas.

frequência absoluta

10 20 30 25 15

assimetria, respectivamente, em que Dk representa o k-ésimo decil e Qk representa o k-ésimo quartil, julgue os itens subsequentes.

50. A moda dessa distribuição é igual a 65.

Resolução

MODA (MÉTODO DE CZUBER)

em que Li é o limite inferior da classe modal (= 60), d1 é a diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior (= 30 - 20 = 10) e d2 é a diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente seguinte (= 30 - 25 = 5) e h representa a amplitude da classe.

51. A distribuição da massa corporal, segundo a medida A2, é assimétrica positiva.


Considerando que são medidas de curtose e de

GABARITO: Errado

frequência absoluta (%)

frequência acumulada (%)

10 10 20 30 30 60 25 85 15 100

PRIMEIRO QUARTIL (Q1)

A classe de Q1 (ponto que delimita os 25% menores valores) é 50 60, pois a sua frequência acumulada é 30% e a frequência da classe anterior é 10%.

Regra de três: "a amplitude da classe de Q1 (= 10) está para a frequência absoluta da classe de Q1 (= 20) assim como X está para 25 (frequência acumulada até Q1) subtraído da frequência acumulada da classe imediatamente anterior (= 10)":


Logo, Q1 = 50 + 7,5 = 57,5.

SEGUNDO QUARTIL ou MEDIANA (Q2)

A classe de Q2 (ponto que divide a distribuição ao meio) é 60 70, pois a sua frequência acumulada é 60% e a frequência acumulada da classe anterior é 30%.

Regra de três: "a amplitude da classe de Q2 (= 10) está para a frequência absoluta da classe de Q2 (= 30) assim como X está para 50 (frequência acumulada até Q2) subtraído da frequência acumulada da classe imediatamente anterior (=30)":

Logo, Q2 = 60 + 6,7 = 66,7.




Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior TERCEIRO QUARTIL (Q3)

A classe de Q3 (ponto em que a frequência acumulada é 75%) é 70 80, pois a sua frequência acumulada é 85% e a frequência acumulada da classe anterior é 60%.

Regra de três: "a amplitude da classe de Q3 (= 10) está para a frequência absoluta da classe de Q3 (= 25) assim como X está para 75 (frequência acumulada até Q3) subtraído da frequência acumulada da classe imediatamente anterior (=60)":

A assimetria é positiva.

GABARITO: Certo

52. A medida de curtose K é superior a 0,3.

Resolução

NONO DECIL (D9)

A classe de D9 (ponto em que a frequência acumulada é 90%) é 80 90, pois a sua frequência acumulada é 100% e a frequência acumulada da classe anterior é 85%.

Regra de três: "a amplitude da classe de D9 (= 10) está para a frequência absoluta da classe de D9 (= 15) assim como X está para 90 (frequência acumulada até D9) subtraído da frequência acumulada da classe imediatamente anterior (= 85)":


Logo, Q3 = 70 + 6 = 76.

ASSIMETRIA A2

Logo, D9 = 85 + 3,33 = 88,33.


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior CURTOSE

Exercícios de Revisão

53. (AFT/2010/ESAF) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calça jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calça jeans que homens com calça jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com óculos, e iii) metade dos homens de calça jeans estão usando óculos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão usando óculos mas não estão usando calça jeans?

A) 5%.

B)10%.

C)12%.

D)20%.

E)18%.

Resolução

20 mulheres + 30 homens = 50 pessoas 20 pessoas usam óculos 36 pessoas usam calça jeans

i) há 20% menos mulheres com calça jeans que homens com calça jeans Homens com calça jeans = X Mulheres com calça jeans = X - 20% x X = 0,80X


A curtose é inferior a 0,3.

GABARITO: Errado

Homens com Calça Jeans = 20 Mulheres com Calça Jeans = 20 - 4 = 16


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com óculos Homens com óculos = 3Y Mulheres com óculos = Y


Homens com óculos = 15 Mulheres com óculos = 5

iii) metade dos homens de calça jeans estão usando óculos. Homens com Calça Jeans e com Óculos = 20/2 = 10

Homens com Óculos sem Calça Jeans = (15 - 10) = 5 Percentual = 5/50 = 10%

GABARITO: B

54. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas?

A) 20,00%.

B) 21,67%.

C) 25,00%.

D) 11,00%.

E) 33,33%.

Resolução

Vamos supor que há um total de 100 alunos 56% dos alunos = Área de Ciências Humanas = 56 alunos 44% dos alunos = Área de Ciências Exatas = 44 alunos 5% estudam matemática = 5 alunos 6% estudam física = 6 alunos Não é possível estudar mais de um curso.

Percentual (Matemática ou Física/Ciências Exatas) = (5 + 6)/44 = 11/44 = 1/4 = 25%

GABARITO: C


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 55. (AFC-CGU/2004/ESAF) Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual a:

A) 1.200m

B) 1.500m

C) 1.080m

D) 760m

E) 1.128m

Resolução

Percurso Normal = D1 (da casa até o Cine Bristol) + D2 (do Cinde Bristol até o trabalho) Tempo Total (percurso normal) = 20 minutos


Velocidade Média

Como Lúcio foi até o Cine Bristol (D1), voltou para casa (D1) e foi para o trabalho (D1 + D2), o percurso total foi: Percurso Total = D1 + D1 + D1 + D2

Se antes iria chegar com 8 minutos de antecedência (caso fosse direto da casa para o trabalho) e, agora, com o novo percurso total, vai chegar 10 minutos atrasado, há uma perda de tempo de 18 minutos (8 + 10). Ou seja, o tempo para ir de sua casa até o Cine Bristol e voltar para casa é de 18 minutos. Portanto: Como D1 = 540 m (dado da questão)

Substituindo (II) em (I):

GABARITO: A


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 56. (AFC-CGU/2004/ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou:

a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior

Resolução


I - Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. P1 = P - 20%.P = 0,8.P

II - A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. P2 = 0,8.P + 20%.0,8.P = 0,8.P + 0,16.P = 0,96.P

III - Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. P3 = 0,96.P - 25%.0,96.P = 0,96.P - 0,24.P = 0,72.P

IV - Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou: PFinal = 0,72.P + 25%.0,72.P = 0,72.P + 0,18.P = 0,90.P

O peso final é 10% menor que o peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas.

GABARITO: D


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 57. (APO-MPOG/2003/ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez que uma jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o número de vezes que Ana e Bia se enfrentaram foi:

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

Resolução


jogar.

Torneio de Tênis Jogadora Perde

Ana, Bia e Cátia é substituída por outra que estava esperando a vez de

Venceu 12 partidas Venceu 21 partidas

Ana Bia Cátia não jogou a partida inicial Número de vezes que Ana e Bia se enfrentaram = ?

Primeiro Jogo: Ana x Bia (Cátia não jogou a partida inicial) Total de Vitórias de Ana e Bia = 12 + 21 = 33 vitórias.

I - Na partida seguinte ao enfrentamento de Ana e Bia, houve uma vitória de "Ana" ou "Bia" sobre "Cátia"; ou "Cátia" venceu "Ana" ou "Bia". Contudo, estas partidas em que Cátia venceu não importam para a solução da questão.

II - De acordo com o item I, considerando que "Ana" ou "Bia" venceram "Cátia" na partida seguinte ao enfrentamento das duas (que são as partidas que importam para a solução do problema), cada enfrentamento de "Ana" e "Bia" resultou em 2 das 33 vitórias (uma vitória de uma delas sobre a outra, e outra vitória de uma delas sobre "Cátia").

III - Como o torneio começou com a partida entre "Ana" e "Bia", caso a soma das vitórias seja ímpar, a última vitória de uma delas decorreu de um enfrentamento direto. Caso a soma tivesse sido par, a última vitória de uma delas foi sobre "Cátia".

IV - Logo, como o total de vitórias de "Ana" e "Bia" foi igual a 33, temos que elas se enfrentaram na última partida e mais em 32/2 partidas (cada partida entre as duas acarretou duas vitórias), conforme conclusão dos itens II e III.


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Portanto, "Ana" e "Bia" se enfrentaram 17 vezes (1 + 32/2 = 1 + 16).

Exemplo prático para que você entenda o raciocínio: Ana = A Bia = B Cátia = C Quem perde sai e é substituída por quem está de fora.


(... ) Ou seja, necessariamente, cada duas vitórias de "A" ou "B" representam um enfretamento entre as duas adversárias.

GABARITO: D

58. (ATM-Recife/2003/ESAF) Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de milho em grão em uma área plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade média do município em termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.

A) 50

B) 60

C) 72

D) 90

E) 100

Resolução

9.000 toneladas = 9.000 x 1.000 kg = 9.000.000 kg Total de Sacas = 9.000.000 kg/60 kg = 150.000 sacas de milho Produtividade Média = 150.000/2.500 = 60 sacas/hectare

GABARITO: B

59. (ATM-Recife/2003/ESAF) Um jardineiro deve plantar cinco árvores em um terreno em que não há qualquer árvore. As cinco árvores devem ser escolhidas entre sete diferentes tipos, a saber: A, B, C, D, E, F, G, obedecidas as seguintes condições:


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1. não pode ser escolhida mais de uma árvore de um mesmo tipo; 2. deve ser escolhida uma árvore ou do tipo D ou do tipo G, mas não podem ser escolhidas árvores de ambos os tipos; 3. se uma árvore do tipo B for escolhida, então não pode ser escolhida uma árvore do tipo D. Ora, o jardineiro não escolheu nenhuma árvore do tipo G. Logo, ele também não escolheu nenhuma árvore do tipo:

A) D

B) A

C) C

D) B

E) E

Resolução

Informação da questão: O jardineiro não escolheu nenhuma árvore do tipo G.

Logo, pela condição 2 (deve ser escolhida uma árvore ou do tipo D ou do tipo G, mas não podem ser escolhidas árvores de ambos os tipos), ele escolheu uma árvore do tipo D.

Como ele escolheu uma árvore do tipo D, pela condição 3 (se uma árvore do tipo B for escolhida, então não pode ser escolhida uma árvore do tipo D), ele não pode ter escolhido uma árvore do tipo B.

Logo, as árvores que não foram escolhidas foram: B e G.

GABARITO: D

60. (ATM-Recife/2003/ESAF) Uma escola, que oferece apenas um curso diurno de Português e um curso noturno de Matemática, possui quatrocentos alunos. Dos quatrocentos alunos, 60% estão matriculados no curso de Português. Dos que estão matriculados no curso de Português, 50% estão matriculados também no curso de Matemática. Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas. Portanto, o número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é:

A) 42

B) 24

C) 18

D) 84

E) 36




Cursos Oferecidos pela Escola: Curso Diurno de Português e Curso Noturno de Matemática

Total de Alunos = 400 Matriculados no Curso de Português = 60% x 400 = 240 Matriculados nos Cursos de Português e Matemática = 50% x 240 = 120

Matriculados no Curso de Matemática = 120 + Y = 120 + 160 = 280 Número de Estudantes Matriculados no Curso de Matemática que são Paulistas = 15% x 280 = 42 alunos

GABARITO: A

61. (Auxiliar de Administração/TJ-CE/2002/ESAF) Quantos cm3 existem em 10 litros?

A) 10

B) 100

C) 1.000

D) 10.000

E) 100.000




Para medir volume: metro cúbico (m3) Quilômetro Cúbico (km3) = 1.000.000.000 m3 = 109 m3

Hectômetro Cúbico (hm3) = 1.000.000 m3 = 106 m3

Decâmetro Cúbico (dam3) = 1.000 m3 = 103 m3

Metro Cúbico (m3) = 1 m3

Decímetro Cúbico (dm3) = 0,001 m3 = 10-3 m3

Centímetro Cúbico (cm3) = 0,000001 m3 = 10-6 m3

Milímetro Cúbico (mm3) = 0,000000001 m3 = 10-9 m3

Relações com as medidas de volume: 1 Quilolitro = 1 m3 (metro cúbico) 1 litro = 1 dm3 (decímetro cúbico) 1 mililitro = 1 cm3 (centímetro cúbico) 1 dm3 = 10-3 m3

1 cm3 = 10-6 m3

1 dm3/1 cm3 = 10-3 m3/10-6 m3 = 103

10 litros = 10 dm3 = 10 x 103 cm3 = 10.000 cm3

GABARITO: D

62. (Auxiliar de Administração-TJ-CE/2002/ESAF) Se uma solução contém 2 mg/ml de uma substância dissolvida, quanto da substância existe em um litro da solução?

A) 200 mg

B) 2 g

C) 20 g

D) 200 g

E) 2 kg

Resolução

1 mg = 10-3 grama Substância Dissolvida = 2 mg/ml

Regra de Três: 2 mg = = = = 1 ml X = = = = 1 litro = 1.000 ml X = 1.000 x 2 mg = 2.000 mg = 2 g

GABARITO: B




Abraços e até a próxima aula,

Bons estudos,

Moraes Junior [email protected]

Alexandre Lima [email protected]




Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula


1. A estatística descritiva usa os dados de uma amostra para fazer estimativas e testar hipóteses a respeito das características de uma população.

2. A inferência estatística aborda a organização e a descrição dos dados experimentais.

3. Uma variável estatística será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipos ou atributos.

4. Uma variável estatística será quantitativa quando seus valores forem expressos em números.

5. O rol é um arranjo dos dados brutos.

6. Série estatística é toda tabela que apresenta um conjunto de dados estatísticos distribuídos em função da época, do local ou da espécie.

7. A média dos números 3, 4, 8, 11 e 13 é maior que 7.

8. Se 4, 7, 5, 2 ocorrerem com as frequências 3, 2, 4 e 1, respectivamente, a média aritmética será um número entre 5 e 6.

9. Seja a distribuição em classes de frequência dada na tabela abaixo.

Então a média da distribuição é inferior a 60.

10. As médias geométrica e harmônica dos números 2, 4 e 8 são, em valores aproximados, iguais a 3,43 e 4, respectivamente.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 11. O desempenho em um curso de graduação é avaliado por meio das notas obtidas nas provas bimestrais P1 e P2 e pela nota de Atividades (A). Sabendo-se que a P2 tem peso 5, que a P1 tem peso 2 e que A tem peso 3, então a média final do aluno que obteve as notas (em uma escala de 0 a 10) P1 = 5,0, P2 = 4,5 e A=8,5 é maior que 5,0.

12. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto determinado de números positivos temos: X como a média aritmética, G como a média geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que

A) X menor ou igual a G menor ou igual a H.

Classe frequência 40,0 - 45,0 6 45,0 - 50,0 16 50,0 - 55,0 32 55,0 - 60,0 24 60,0 - 65,0 14 65,0 - 70,0 6 70,0 - 75,0 2

Soma: 100


13. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informações sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta:

A) O número de homens na amostra é igual ao número de mulheres.

B) O número de homens na amostra é o dobro do número de mulheres.

C) O número de homens na amostra é o triplo do número de mulheres.

D) O número de mulheres na amostra é o dobro do número de homens.

E) O número de homens na amostra é o quádruplo do número de mulheres.


14. A mediana da série ordenada {12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30} é 20.

15. Considere os dados da tabela a seguir. A mediana dessa distribuição é menor que 50.


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 16. Considere os dados do item anterior. O valor aproximado da moda da distribuição é 53,3.

(Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as próximas duas questões, considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que:

I - As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.

II - A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo).

Valores Arrecadados (R$) Frequências Relativas 1.000,00 | 2.000,00 0,10 2.000,00 | 3.000,00 x 3.000,00 | 4.000,00 y 4.000,00 | 5.000,00 0,20 5.000,00 | 6.000,00 0,10

Total 1,00

17. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 é

A) 70%

B) 65%

C) 55%

D) 45%

E) 40%

18. Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva mediana é

A) R$ 3,120,00

B) R$ 3,200,00

C) R$ 3,400,00

D) R$ 3,600,00

E) R$ 3,800,00



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 19. (APOFP-SP/2009/ESAF) Determine a mediana das seguintes observações:

17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9

A) 13,5

B) 17

C) 14,5

D) 15,5

E) 14

20. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequências absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada:

Frequências

Observação: Considere que todos os intervalos de classe de histograma são fechados à esquerda e abertos à direita.

Utilizando-se as informações contidas neste histograma, calculou-se a média aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a mediana é igual a

A) R$ 100,00

B) R$ 400,00

C) R$ 800,00

D) R$ 900,00

E) R$ 1.000,00



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 21. A amplitude do conjunto 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 10 é

A) 6

B) 13

C) 10

D) 3

E) 7

22. Considere o conjunto de dados {2, 5, 8, 11, 14}. Então a variância desse conjunto é

A) 8

B) 20,25

C) 18

D) 24

E) 22

23. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) O setor de recursos humanos de uma empresa tem o hábito de divulgar separadamente a média e a variância das notas das avaliações dos funcionários do sexo feminino e do masculino. Na última avaliação, os resultados obtidos foram:

Feminino Masculino Número de funcionários 20 30

Média 6 7 Variância 3,4 4

A média e a variância das notas dos funcionários dessa empresa, respectivamente, valem:

A) 6,5 e 3,7

B) 6,6 e 3,4

C) 6,6 e 4,0

D) 7,5 e 3,7

E) 13,0 e 7,5

24. Sejam os conjuntos de números {2, 5, 8, 11, 14} e {2, 8, 14}. Assinale a opção com a variância dos conjuntos combinados ou reunidos.

A) 8

B) 20,25

C) 18

D) 24

E) 22



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 25. (Agente Fiscal de Rendas SP/2006/FCC) Considerando as respectivas definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar:

A) Concedendo-se um reajuste de 10% em todos os salários de uma empresa, tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10.

B) Definindo-se coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética.

C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores anteriores.

D) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2.

E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é sempre diferente de zero.

26. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para comparar as rendas de dois grupos de pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) com os valores observados dos salários, representados na figura a seguir:

A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas:

I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo.

II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita.

III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B.

Assinale:

A) se somente a afirmativa I for verdadeira.

B) se somente a afirmativa II for verdadeira.

C) se somente a afirmativa III for verdadeira.

D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras.

E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 27. (ICMS-RJ/2008/FGV) Uma companhia utiliza um sistema de avaliação de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas são realizadas.

Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na tabela a seguir:

Medidas

Indicador

Medidas Qualidade Tempestividade

Média 50 25

Desvio-Padrão 10,0 6,0

Coeficiente de

Variação (%) 20 24

Com base na tabela, é correto afirmar que:

A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações.

B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da Tempestividade.

C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da Tempestividade.

D)os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor.

E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra.

28. (Assessor Especializado/IPEA/2004/FCC) Numa distribuição de frequências com assimetria negativa mais de 50% dos dados situam-se

A) sobre a média

B) acima da média

C) entre a média e a moda

D) entre a média e a mediana

E) acima da mediana



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 29. (ICMS-RJ/2007/FGV) Considere as informações contidas no Box Plot abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo.

E correto afirmar que:

A) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres.

B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa.

C) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos homens.

D) a distribuição dos salários dos homens é atípica.

E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens.

30. (Analista IRB/2004/ESAF) O desenho esquemático (diagrama de caixa) apresentado abaixo representa o resumo de cinco números {51,00;54,75;69,50;78,00;95,00} para um conjunto de observações amostrais do atributo Y. Assinale a opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson para a amostra em apreço.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) -0,269

B) -0,500

C) 0,000

D) 0,294

E) -0,294

31. (AFRF/2001/ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão s = 13 da variável transformada (X — 200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X:

A) 3,0%

B) 9,3%

C) 17,0%

D) 17,3%

E) 10,0%

(AFRF/2002/ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. As questões de 32 a 37 referem-se a esses ensaios.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

32. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.

A) 140,10

B) 115,50

C) 120,00

D) 140,00

E) 138,00



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 33. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da distribuição de X.

A) 138,00

B) 140,00

C) 136,67

D) 139,01

E) 140,66

34. Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson.

A) 3/S

B) 4/S

C) 5/S

D) 6/S

E) 0

35. Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145.

A) 62,5%

B) 70,0%

C) 50,0%

D) 45,0%

E) 53,4%

36. Considere a transformação Z = (X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se


é a freqüência simples da classe i e Z o ponto médio de

classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X.

A) 720,00

B) 840,20

C) 900,10

D) 1200,15

E) 560,30

onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose k para a distribuição de X.

A) 0,263

B) 0,250

C) 0,300

D) 0,242

E) 0,000

38. (Analista do BACEN/2006/FCC) A média aritmética dos valores das vendas diárias realizadas pelas 50 empresas do Setor A é de R$ 1.000,00, com desvio padrão de R$ 100,00. Sabe-se ainda que a média aritmética dos valores das vendas diárias realizadas pelas 200 empresas do Setor B é de R$ 2.000,00, com desvio padrão de R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos valores das vendas diárias realizadas pelos dois setores reunidos é

A) 34.000,00

B) 50.000,00

C) 194.000,00

D) 207.500,00

E) 288.000,00

39. (ICMS-RJ/2010/FGV) A média, a mediana e a variância das idades de um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades dessas pessoas serão, respectivamente:

A) 44, 35 e 34

B) 44, 45 e 12

C) 44, 45 e 24

D) 34, 35 e 12

E) 44, 45 e 124



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 37. Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 40. (AFPS/2002/ESAF) O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde às observações (82, ..., 158) do atributo X. Assinale a opção que dá o valor mediano de X

A) 105

B) 110

C) 104

D) 107

E) 115

41. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média geométrica simples dessa amostra é

A) 2,25.

B) 1,75.

C) 2.

D) 2,4

E) 2,5



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 42. (Técnico Administrativo/BNDES/2010/CESGRANRIO) Dez mulheres adultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se: "Quantos filhos você tem?". O entrevistador foi anotando cada uma das respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido à pressa, esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as respostas dadas, na ordem em que foram registradas.

2 0 3 1 1 0 1 4 1

A partir das informações acima, analise as afirmativas a seguir.

I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta não registrada.

II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da resposta não registrada.

III - A média das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta não registrada.

Está correto APENAS o que se afirma em

A) I.

B) II.

C) III.

D) I e II.

E) II e III.

43. (AFTE-RO/2010/FCC) Em uma cidade é realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período de um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da

A) média aritmética é igual ao valor da mediana..

B) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00.

C) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00.

D) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.

E) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda.

(Analista de Estatística/Perito/MPU/2010/CESPE) Considere que um perito tenha efetuado um estudo acerca do tempo gasto — X —, em meses, por empresas notificadas para quitar suas pendências com a Previdência Social. Uma amostra de 35 empresas notificadas com pendências foi selecionada de um banco de dados da Previdência. A partir dessa amostra, o perito fez uma análise exploratória da variável X, cujos resultados são apresentados a seguir.

Estatísticas Descritivas:

tempo mínimo = 2 meses tempo máximo = 128 meses

Gráfico 1




Nesse estudo, o perito efetuou avaliações acerca do número de irregularidades - Y - que geraram pendências em função do porte das empresas: com menos de 20 empregados e com 20 ou mais empregados. Os resultados foram os seguintes.

Com base nessas informações julgue os itens de 44 a 49.

44. O diagrama de caixas, conhecido como boxplot, indica que a distribuição de X é assimétrica. Portanto, o número de observações acima do segundo quartil (Q2) foi proporcionalmente superior ao número de observações abaixo de Q2.

45. O tempo mediano da variável X foi aproximadamente igual a 29,34 meses.

46. No diagrama de caixas, quatro observações foram identificadas como valores atípicos por estarem fora do intervalo [0; 77,25].

47. O diagrama apresentado a seguir é o resumo dos 5 números para a distribuição de X.

48. Nessa situação, a variabilidade do número de irregularidades nas empresas com menos de 20 empregados corresponde à metade da variabilidade do número de irregularidades nas empresas com 20 ou mais empregados.


Gráfico 2


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 49. O desvio padrão amostral de X foi inferior a 31 meses.

(Analista de Estatística/Perito/MPU/2010/CESPE) Uma pesquisa sobre obesidade resultou na seguinte distribuição da massa corporal para um grupo de 100 pessoas.

assimetria, respectivamente, em que Dk representa o k-ésimo decil e Qk representa o k-ésimo quartil, julgue os itens subsequentes.

50. A moda dessa distribuição é igual a 65.

51. A distribuição da massa corporal, segundo a medida A2, é assimétrica positiva.

52. A medida de curtose K é superior a 0,3.

Exercícios de Revisão

53. (AFT/2010/ESAF) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calça jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calça jeans que homens com calça jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com óculos, e iii) metade dos homens de calça jeans estão usando óculos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão usando óculos mas não estão usando calça jeans?

A) 5%.

B)10%.

C)12%.

D)20%.

E)18%.


são medidas de curtose e de Considerando que


Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 54. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas?

A) 20,00%.

B) 21,67%.

C) 25,00%.

D) 11,00%.

E) 33,33%.

55. (AFC-CGU/2004/ESAF) Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual a:

A) 1.200m

B) 1.500m

C) 1.080m

D) 760m

E) 1.128m

56. (AFC-CGU/2004/ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas, ficou:



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior

57. (APO-MPOG/2003/ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez que uma jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o número de vezes que Ana e Bia se enfrentaram foi:

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

58. (ATM-Recife/2003/ESAF) Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de milho em grão em uma área plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade média do município em termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.

A) 50

B) 60

C) 72

D) 90

E) 100

59. (ATM-Recife/2003/ESAF) Um jardineiro deve plantar cinco árvores em um terreno em que não há qualquer árvore. As cinco árvores devem ser escolhidas entre sete diferentes tipos, a saber: A, B, C, D, E, F, G, obedecidas as seguintes condições:

1. não pode ser escolhida mais de uma árvore de um mesmo tipo; 2. deve ser escolhida uma árvore ou do tipo D ou do tipo G, mas não podem ser escolhidas árvores de ambos os tipos; 3. se uma árvore do tipo B for escolhida, então não pode ser escolhida uma árvore do tipo D. Ora, o jardineiro não escolheu nenhuma árvore do tipo G. Logo, ele também não escolheu nenhuma árvore do tipo:



Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior A) D

B) A

C) C

D) B

E) E

60. (ATM-Recife/2003/ESAF) Uma escola, que oferece apenas um curso diurno de Português e um curso noturno de Matemática, possui quatrocentos alunos. Dos quatrocentos alunos, 60% estão matriculados no curso de Português. Dos que estão matriculados no curso de Português, 50% estão matriculados também no curso de Matemática. Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas. Portanto, o número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é:

A) 42

B) 24

C) 18

D) 84

E) 36

61. (Auxiliar de Administração/TJ-CE/2002/ESAF) Quantos cm3 existem em 10 litros?

A) 10

B) 100

C) 1.000

D) 10.000

E) 100.000

62. (Auxiliar de Administração-TJ-CE/2002/ESAF) Se uma solução contém 2 mg/ml de uma substância dissolvida, quanto da substância existe em um litro da solução?

A) 200 mg

B) 2 g

C) 20 g

D) 200 g

E) 2 kg

Bibliografia

Moraes Junior, Alexandre Lima. Raciocínio Lógico, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Editora Método. Rio de Janeiro. 2010.


[2011] raciocínio lógico para traumatizados - aula 06

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