2010 06 14 esame - università degli studi di padova · ˚ 4˜ ˜ / ˚ ˇ ’ 5˝ ˆ 4 ˙˝ ˆ 4˜...

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 14 giugno 2010 - PARTE SECONDA

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Nome

Matricola

TEMA 1

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 14 giugno 2010 - PARTE PRIMA

Cognome

Nome

Matricola

TEMA 1

ΔQ

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58.0 m

40.0 m

72.0 m

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 14 giugno 2010 - PARTE SECONDA

Cognome

Nome

Matricola

TEMA 2

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 14 giugno 2010 - PARTE PRIMA

Cognome

Nome

Matricola

TEMA 2

ΔQ

bB

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 14 luglio 2010 - PARTE PRIMA

Cognome

Nome

Matricola

TEMA 1

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R 22.0 m

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 14 luglio 2010 - PARTE SECONDA

Cognome

Nome

Matricola

TEMA 1


Cognome

Nome

Matricola

TEMA 2

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28.0 m

A R 14.0 m

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Cognome

Nome

Matricola

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TEMA 2

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Cognome

Nome

Matricola

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Cognome

Nome

Matricola

ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 03 settembre 2010 - PARTE PRIMA

Cognome

Nome

Matricola

TEMA 1

if =0.02

kS=60 m1/3/s

if =0.002

H=1.0 m

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A

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20.0 m

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 03 settembre 2010 - PARTE SECONDA

Cognome

Nome

Matricola

TEMA 1


Cognome

Nome

Matricola

TEMA 2

if =0.01

kS=80 m1/3/s

if =0.001

H=0.8 m

L

A

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7.0 m

18.0 m

30.0 m

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Cognome

Nome

Matricola

TEMA 2

if =0.01

L

ΔQ

kS=50 m1/3/s

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Cognome

Nome

Matricola

TEMA 1

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Cognome

Nome

Matricola

TEMA 1

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Cognome

Nome

Matricola

TEMA 2

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ΔQ

kS=50 m1/3/s

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Cognome

Nome

Matricola

TEMA 2

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 5 novembre 2010 - PARTE PRIMA

Cognome

Nome

Matricola

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 5 novembre 2010 - PARTE SECONDA

Cognome

Nome

Matricola

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 9 febbraio 2011 - PARTE PRIMA

Cognome

Nome

Matricola

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 9 febbraio 2011 - PARTE SECONDA

Cognome

Nome

Matricola

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 4 maggio 2011 - PARTE PRIMA

Cognome

Nome

Matricola

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ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICAdel 4 maggio 2011 - PARTE SECONDA

Cognome

Nome

Matricola

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Cognome _______________ ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICA

Nome __________________ del 24 giugno 2011 – PARTE PRIMA

Matricola _______________ TEMA 1

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è presidiato a monte da una paratoia sollevata a battente larga quanto il canale. Alla distanza L (relativamente modesta) a valle della paratoia c’è una gradino di fondo alto s=0.1 m. La portata fluente, per unità di larghezza, vale q=0.8 m3/sm. Si assuma inoltre, per semplicità, un coefficiente di contrazione costante pari a cc=0.6 per la vena effluente sotto la paratoia. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare dell’apertura a della paratoia, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-Y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del gradino.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è presidiato a monte da una paratoia sollevata a battente larga quanto il canale. Alla distanza L (relativamente modesta) a valle della paratoia c’è una gradino di fondo alto s=0.08 m. La portata fluente, per unità di larghezza, vale q=0.8 m3/sm. Si assuma inoltre, per semplicità, un coefficiente di contrazione costante pari a cc=0.6 per la vena effluente sotto la paratoia. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare dell’apertura a della paratoia, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-Y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del gradino.


Nome __________________ del 24 giugno 2011 – PARTE SECONDA


Nel sistema illustrato in figura, la condotta che collega il serbatoio B al nodo N è lunga L1=5 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.1 m, mentre la condotta che collega il serbatoio A al nodo N è lunga L2=12 m ed è anch’essa a sezione circolare con diametro interno d=0.08 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=0.3 m2 e ΩB=0.5 m2, rispettivamente. Il riferimento per le quote, illustrato in figura, coincide con la quota delle superfici libere nei due serbatoi quando su queste, in condizioni di quiete, vigesse pressione atmosferica. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete e al di sopra della superficie libera del serbatoio B, a tenuta, l’aria presente è caratterizzata da una pressione relativa negativa p=-12.0 kPa. All’istante t=0 viene rimosso il coperchio C che chiude superiormente il serbatoio B ripristinando così pressione atmosferica sulla superficie libera del serbatoio. Dopo aver stabilito il legame esistente tra il generico livello z nel serbatoio B e il corrispondente livello y nel serbatoio A si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate e si assuma un valore costante (f=0.02) del coefficiente di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach. Si assuma, inoltre, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM=0.9 m/s per il tratto BN di condotta. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2

2 ωξωψ =++ zdtdz

dtzd

la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo

[ ] ξωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCez DDt con

22 ψωω −=D

mentre, quando è ψ>ω, è del tipo

ξωψωψ ++= +−−− tt DD eCeCz )(2

)(1 con

22 ωψω −=D




Nel sistema illustrato in figura, la condotta che collega il serbatoio B al nodo N è lunga L1=5 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.1 m, mentre la condotta che collega il serbatoio A al nodo N è lunga L2=12 m ed è anch’essa a sezione circolare con diametro interno d=0.08 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=0.3 m2 e ΩB=0.5 m2, rispettivamente. Il riferimento per le quote, illustrato in figura, coincide con la quota delle superfici libere nei due serbatoi quando su queste, in condizioni di quiete, vigesse pressione atmosferica. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete e al di sopra della superficie libera del serbatoio B, a tenuta, l’aria presente è caratterizzata da una pressione relativa negativa p=-12.0 kPa. All’istante t=0 viene rimosso il coperchio C che chiude superiormente il serbatoio B ripristinando così pressione atmosferica sulla superficie libera del serbatoio. Dopo aver stabilito il legame esistente tra il generico livello z nel serbatoio B e il corrispondente livello y nel serbatoio A si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate e si assuma un valore costante (f=0.02) del coefficiente di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach. Si assuma, inoltre, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM=0.75 m/s per il tratto BN di condotta. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd


[ ] ξωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCez DDt con

22 ψωω −=D

mentre, quando è ψ>ω, è del tipo

ξωψωψ ++= +−−− tt DD eCeCz )(2

)(1 con

22 ωψω −=D


Nome __________________ del 6 luglio 2011 – PARTE PRIMA


Nel canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è presente un’immissione localizzata di portata ΔQ in corrispondenza della quale si ha una variazione sia della scabrezza, sia della pendenza del fondo che passa da ifm a ifv=0.01. Le portate fluenti, per unità di larghezza, valgono qm=1.0 m3/sm e qv=1.2 m3/sm, rispettivamente a monte e a valle dell’immissione. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma M-y delle caratteristiche di ciascun profilo.




Nel canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è presente un’immissione localizzata di portata ΔQ in corrispondenza della quale si ha una variazione sia della scabrezza, sia della pendenza del fondo che passa da ifm a ifv=0.008. Le portate fluenti, per unità di larghezza, valgono qm=1.2 m3/sm e qv=1.4 m3/sm, rispettivamente a monte e a valle dell’immissione. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma M-y delle caratteristiche di ciascun profilo.


Nome __________________ del 6 luglio 2011 – PARTE SECONDA


Nel circuito chiuso illustrato in figura la condotta è lunga L=22 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.04 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=ΩB=0.02 m2. Il riferimento per le quote corrisponde al livello che si stabilisce nei due serbatoi quando il sistema è in quiete. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario e la pompa P è in grado di far scorrere nel circuito una portata Qp=0.001 m3/s. Valutato, preliminarmente, il legame tra i livelli z nel serbatoio B e y nel serbatoio A si valutino, in queste condizioni di moto stazionario, i livelli che si stabiliscono nei due serbatoi assumendo, per la valutazione delle dissipazioni di energia continue, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. All’istante t=0 la pompa viene spenta (interrompendo istantaneamente il flusso lungo il breve tratto tra i nodi 2 e 1, di lunghezza trascurabile). Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate, i termini cinetici e la lunghezza dei brevi tratti di condotta che collegano i serbatoi al circuito, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo dei livelli z e y utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato i livelli z e y in alcuni istanti caratteristici. Si valuti infine il periodo T dell’oscillazione e l’andamento nel tempo delle velocità nella condotta. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd

la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo [ ] ξωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCez DD

t con 22D ψωω −=

mentre, quando è ψ>ω, è del tipo ξωψωψ ++= +−−− t)(

2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=




Nel circuito chiuso illustrato in figura la condotta è lunga L=22 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.04 m. I serbatoi A e B sono cilindrici con sezione orizzontale ΩA=ΩB=0.02 m2, rispettivamente. Il riferimento per le quote corrisponde al livello che si stabilisce nei due serbatoi quando il sistema è in quiete. In condizioni di moto stazionario la pompa P è in grado di far scorrere nel circuito una portata Qp=0.001 m3/s. Si valuti, preliminarmente, il legame tra i livelli z nel serbatoio B e y nel serbatoio A. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in quiete. All’istante t=0 la pompa viene accesa (attivando istantaneamente il flusso lungo il breve tratto tra i nodi 2 e 1, di lunghezza trascurabile). Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate, i termini cinetici e la lunghezza dei brevi tratti di condotta che collegano i serbatoi al circuito, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo dei livelli z e y utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente. si assuma inoltre, per la valutazione delle dissipazioni di energia continue, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato i livelli z e y in alcuni istanti caratteristici e per t→∞. Si valuti infine l’andamento nel tempo delle velocità nella condotta. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=


Nome __________________ del 8 settembre 2011 – PARTE PRIMA


Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, presenta un tratto di valle di larghezza b=5 m e pendenza del fondo ifv=0.005, e un tratto di monte di larghezza B=8 m. La portata fluente è Q=5 m3/s e il coefficiente di resistenza della formula di Gauckler-Strickler vale kS=40 m1/3/s. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del restringimento. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, presenta un tratto di valle di larghezza b=8 m e pendenza del fondo ifv=0.005, e un tratto di monte di larghezza B=13 m. La portata fluente è Q=8 m3/s e il coefficiente di resistenza della formula di Gauckler-Strickler vale kS=40 m1/3/s. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme di valle e le altezze critiche di monte e di valle si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della pendenza ifm del tratto di monte, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del restringimento. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.


Nome __________________ del 8 settembre – PARTE SECONDA


La condotta di scarico illustrata in figura, di diametro d=0.8 m, è lunga complessivamente 450 m ed è munita di una saracinesca R. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Inizialmente (t<0), le condizioni di moto sono stazionarie e la saracinesca R è completamente aperta e non determina alcuna dissipazione localizzata di energia. Si valuti, in queste condizioni la velocità v0 nella condotta. All’istante t=0 la saracinesca R viene (istantaneamente) parzialmente chiusa e determina una dissipazione localizzata di energia pari a ΔER=37.v2/2g. Si valuti la velocità v1 di regime nelle nuove condizioni, e quindi la legge con cui la velocità in condotta varia da v0 a v1. Si fornisca inoltre una rappresentazione grafica (qualitativa) dell’andamento della velocità nel tempo. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricordano inoltre i seguenti integrali notevoli

∫ − 21 xxd =arctanh(x)+cost. per x<1 e ∫ − 21 x

xd =arctanh(1/x)+cost. per x>1




La condotta di scarico illustrata in figura, di diametro d=0.6 m, è lunga complessivamente 450 m ed è munita di una saracinesca R. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. Inizialmente (t<0), le condizioni di moto sono stazionarie e la saracinesca R è completamente aperta e non determina alcuna dissipazione localizzata di energia. Si valuti, in queste condizioni la velocità v0 nella condotta. All’istante t=0 la saracinesca R viene (istantaneamente) parzialmente chiusa e determina una dissipazione localizzata di energia pari a ΔER=41.v2/2g. Si valuti la velocità v1 di regime nelle nuove condizioni, e quindi la legge con cui la velocità in condotta varia da v0 a v1.Si fornisca inoltre una rappresentazione grafica (qualitativa) dell’andamento della velocità nel tempo. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricordano inoltre i seguenti integrali notevoli

∫ − 21 xxd =arctanh(x)+cost. per x<1 e ∫ − 21 x

xd =arctanh(1/x)+cost. per x>1




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga (RH≈y), scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello, rispetto alla sommità del gradino posto all’incile del canale, è H=1.0m. Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=40 m1/3/s, si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente al variare della pendenza if del fondo del canale. Il gradino è alto a=0.4 m e si possono trascurare le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza dello stesso. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=14 m, scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello, rispetto alla quota del fondo del canale all’imbocco è H=1.4 m. L’imbocco del canale è caratterizzato da una sezione ristretta larga b=8.5 m. Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=40 m1/3/s, si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente al variare della pendenza if del fondo del canale. Nei calcoli si può assumere l’ipotesi di sezione larga: RH≈y e si possono trascurare le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del restringimento. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.




Nel sistema illustrato in figura, la condotta di mandata è lunga L=100 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della condotta è cilindrico con una sezione orizzontale ΩA=3.0 m2. Il serbatoio B è anch’esso cilindrico, caratterizzato da una superficie orizzontale di area ΩB=30.0 m2. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Inizialmente (t<0), il sistema è in quiete, la pompa P è spenta (ed è impedito il flusso attraverso la pompa stessa) e la saracinesca S è completamente chiusa. All’istante t=0 la pompa P viene accesa e comincia, istantaneamente, a sollevare una portata costante pari a Qp=0.5 m3/s, mentre la saracinesca S rimane sempre chiusa. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo della velocità in condotta utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM=2.0 m/s. Si rappresenti quindi graficamente la soluzione. Si valuti, raggiunte le condizioni di regime, la portata che entra nel serbatoio B. Facoltativamente, si ricavino infine gli andamenti nel tempo dei livelli z e h. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=




Nel sistema illustrato in figura, la condotta di mandata è lunga L=100 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito a protezione della condotta è cilindrico con una sezione orizzontale ΩA=3.0 m2. Il serbatoio B è anch’esso cilindrico, caratterizzato da una superficie orizzontale di area ΩB=30.0 m2. Per la valutazione delle dissipazioni di energia continue lungo la condotta si può assumere un valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Inizialmente (t<0), il sistema è in quiete, la pompa P è spenta (ed è impedito il flusso attraverso la pompa stessa) e la saracinesca S è completamente chiusa. All’istante t=0 la saracinesca S viene istantaneamente aperta e dal serbatoio B viene scaricata portata costante pari a Qu=0.5 m3/s, mentre la pompa P rimane sempre spenta (econtinua ad essere impedito il flusso attraverso la pompa stessa). Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo della velocità in condotta utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM=0.25 m/s. Si rappresenti quindi graficamente la soluzione. Si valuti, raggiunte le condizioni di regime, la portata che entra nel serbatoio B attraverso la condotta di mandata. Facoltativamente, si ricavino infine gli andamenti nel tempo dei livelli z e h. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=


Nome __________________ del 25 novembre 2011 – PARTE PRIMA


Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare di larghezza B=5 m, presenta un tratto centrale, largo b, caratterizzato da una lunghezza L non trascurabile (non si tratta di un restingimento localizzato) ma al tempo stesso non sufficiente affichè si instaurino condizioni di moto uniforme. Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=60 m1/3/s, che la pendenza del fondo è if=0.008 e che la portata fluente vale Q=5 m3/s, si ricostruiscano i profili di moto permanente al variare della lunghezza L, quando il tratto centrale è largo b=1 m e b=3 m. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Non è corretto assumere l’ipotesi di sezione rettangolare larga. Nelle valutazioni, inoltre, si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare di larghezza b=2 m, presenta un tratto centrale, largo B, caratterizzato da una lunghezza L non trascurabile (non si tratta di un allargamento localizzato) ma al tempo stesso non sufficiente affichè si instaurino condizioni di moto uniforme. Sapendo che il canale è caratterizzato da un coefficiente di resistenza kS=70 m1/3/s, che la pendenza del fondo è if=0.005 e che la portata fluente vale Q=40 m3/s, si ricostruiscano i profili di moto permanente al variare della lunghezza L, quando il tratto centrale è largo B=2.5 m. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Non è corretto assumere l’ipotesi di sezione rettangolare larga. Nelle valutazioni, inoltre, si trascurino le dissipazioni di energia localizzate.


Nome __________________ del 25 novembre 2011 – PARTE SECONDA


Nel sistema illustrato in figura, la condotta AB è lunga L=60 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio B è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=5.0 m2

mentre si può assumere che la sezione orizzontale del serbatoio A sia infinitamente estesa. In un punto intermedio lungo la condotta, alla distanza LAN=40 m dal serbatoio A, è presente una sottrazione localizzata di portata pari a Qu=0.5 m3/s. A partire da un certo istante, che assumiamo come istante iniziale (t=0), la portata sottratta Qu viene ridotta a Qu=0 m3/s, linearmente nel tempo Tc=30 s. Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di energia, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B durante l’intervallo di tempo Tc. Si valuti inoltre, nell’ipotesi di trascurare il carico cinetico nella condotta, l’andamento nel tempo della quota piezometrica nel nodo N. Si ricavi infine l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B per t>Tc, quando ormai la sottrazione di portata Qu resta nulla.

N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.




Nel sistema illustrato in figura, la condotta AB è lunga L=60 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio B è cilindrico con una sezione orizzontale Ω=5.0 m2

mentre si può assumere che la sezione orizzontale del serbatoio A sia infinitamente estesa. In un punto intermedio lungo la condotta, alla distanza LAN=40 m dal serbatoio A, è presente una sottrazione localizzata di portata. Per t<0 la portata sottratta vale Qu=0 m3/s e i livelli nei serbatoi A e B sono entrambi nulli. A partire dall’istante t=0 la portata sottratta cresce linearmente nel tempo Tc=30 s fino a raggiungere il valore Qu=0.5 m3/s. Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni di energia, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B durante l’intervallo di tempo Tc. Si valuti inoltre, nell’ipotesi di trascurare il carico cinetico nella condotta, l’andamento nel tempo della quota piezometrica nel nodo N. Si ricavi infine l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B per t>Tc, quando la portata sottratta rsta costante e pari a Qu=0.5 m3/s.

N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.

Cognome _______________ ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICA Nome __________________ del 13 febbraio 2012 – PARTE PRIMA

Matricola _______________ TEMA 1 Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare molto larga, presenta un tratto centrale di lunghezza L caratterizzato da una pendenza relativamente modesta. il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s e la portata fluente, per unità di larghezza, vale q=1.0 m3/sm. Si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza L e si rappresentino le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.

Cognome _______________ ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICA Nome __________________ del 13 febbraio 2012 – PARTE PRIMA

Matricola _______________ TEMA 2 Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare molto larga, presenta un tratto centrale di lunghezza L caratterizzato da una pendenza relativamente elevata. il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s e la portata fluente, per unità di larghezza, vale q=1.0 m3/sm. Si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della lunghezza L e si rappresentino le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y.

Cognome _______________ ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICA Nome __________________ del 13 febbraio 2012 – PARTE SECONDA

Matricola _______________ TEMA 1 La condotta di scarico principale ANB illustrata in figura, di diametro d=0.5 m e lunga complessivamente 800 m è divisa nei due tratti AN e NB di uguale lunghezza. In corrispondenza del nodo N è innestato un pozzo piezometrico cilindrico, di sezione orizzontale Ω=2.0 m2. Dallo stesso nodo N, inoltre, si diparte la diramazione NC. Per t<0 il rubinetto R è completamente aperto e il sistema è in condizioni di moto stazionario con una portata complessivamente scaricata dal serbatoio A verso il serbatoio B pari a Q0=0.55 m3/s. All’istante t=0 il rubinetto R viene istantaneamente chiuso. Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni localizzate di energia, si ricavi, preliminarmente la velocità v10 lungo il tratto AN di condotta, il livello z nel pozzo piezometrico e la velocità v20 lungo il tratto NB di condotta. Si valuti inoltre, preliminarmente, la velocità v∞ lungo la condotta ANB quando, esaurito il fenomeno di moto vario prodotto dalla chiusura del rubinetto R, il sistema raggiunge le nuove condizioni di moto stazionario. Per la stima delle dissipazioni di energia continue si può assumere un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025, uguale per tutti i tronchi di condotta. Si determini quindi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico a partire dall’istante t=0 utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente finale v∞. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici e si valuti il periodo T dell’oscillazione. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd

la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo [ ] ξωωψ ++= − )tcos(C)t(senCez DD

t21 con 22 ψωω −=D

mentre, quando è ψ>ω, è del tipo ξωψωψ ++= +−−− t)(t)( DD eCeCz 21 con 22 ωψω −=D

Suggerimento: una volta scritte, in forma linearizzata, le equazioni che esprimono la conservazione dell’energia per i tratti AN e NB, si combinino queste due equazioni in modo che risultino funzione del livello nel pozzo piezometrico e della differenza vAN-vBN tra le velocità nei due tratti di condotta

Cognome _______________ ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICA Nome __________________ del 13 febbraio 2012 – PARTE SECONDA

Matricola _______________ TEMA 2 La condotta di scarico principale ANB illustrata in figura, di diametro d=0.8 m e lunga complessivamente 1200 m è divisa nei due tratti AN e NB di uguale lunghezza. In corrispondenza del nodo N è innestato un pozzo piezometrico cilindrico, di sezione orizzontale Ω=2.0 m2. Dallo stesso nodo N, inoltre, si diparte la diramazione NC. Per t<0 il rubinetto R è completamente aperto e il sistema è in condizioni di moto stazionario con una portata complessivamente scaricata dal serbatoio A verso il serbatoio B pari a Q0=1.4 m3/s. All’istante t=0 il rubinetto R viene istantaneamente chiuso. Nell’ipotesi di trascurare tutte le dissipazioni localizzate di energia, si ricavi, preliminarmente la velocità v10 lungo il tratto AN di condotta, il livello z nel pozzo piezometrico e la velocità v20 lungo il tratto NB di condotta. Si valuti inoltre, preliminarmente, la velocità v∞ lungo la condotta ANB quando, esaurito il fenomeno di moto vario prodotto dalla chiusura del rubinetto R, il sistema raggiunge le nuove condizioni di moto stazionario. Per la stima delle dissipazioni di energia continue si può assumere un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025, uguale per tutti i tronchi di condotta. Si determini quindi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico a partire dall’istante t=0 utilizzando, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità di moto permanente finale v∞. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici e si valuti il periodo T dell’oscillazione. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd

la soluzione generale, quando è ψ<ω, è del tipo [ ] ξωωψ ++= − )tcos(C)t(senCez DD

t21 con 22 ψωω −=D

mentre, quando è ψ>ω, è del tipo ξωψωψ ++= +−−− t)(t)( DD eCeCz 21 con 22 ωψω −=D

Suggerimento: una volta scritte, in forma linearizzata, le equazioni che esprimono la conservazione dell’energia per i tratti AN e NB, si combinino queste due equazioni in modo che risultino funzione del livello nel pozzo piezometrico e della differenza vAN-vBN tra le velocità nei due tratti di condotta

Cognome _______________ ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICA Nome __________________ del 18 maggio 2012 – PARTE PRIMA Matricola _______________

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=5 m, sfocia in un bacino la cui superficie libera è posta a quota h rispetto al fondo del canale alla sezione di sbocco. La portata fluente nel canale vale Q=5 m3/s. Ad una distanza L a monte della sezione di sbocco è posta una paratoia piana sollevata a battente la cui luce vale a=0.3 m (e coefficiente di contrazione cc=0.6). La lunghezza L del tratto terminale è relativamente piccola e tale per cui, quando in questo tratto la corrente non è influenzata da valle (come ad esempio accade nella situazione illustrata in figura), la corrente riesce a mantenersi rapida fino allo sbocco, in corrispondenza del quale raggiunge il tirante yL=a. Valutate preliminarmente l’altezza di moto uniforme e l’altezza critica si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della quota h della superficie libera nel bacino, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo.

Cognome _______________ ESAME DI COMPLEMENTI DI IDRAULICA Nome __________________ del 18 maggio 2012 – PARTE SECONDA Matricola _______________

Nel sistema di figura, le condotte BC e BD, caratterizzate dalla stessa lunghezza e dallo stesso diametro, sono munite al termine di un ugello regolabile posto per entrambe le condotte alla quota hC=hD=0.0 m (non farsi ingannare dal disegno), e lo sbocco è libero. Quando entrambi gli ugelli terminali sono aperti al massimo, la portata complessivamente scaricata vale Q0=0.5 m3/s, equamente ripartita tra le condotte BC e BD. Utilizzando queste indicazioni si valuti l’area di massima apertura degli ugelli (Nei calcoli, per semplicità, si può assumere un valore costante del coefficiente di resistenza della formula di Darcy-Weisbach, f=0.02 per tutte e tre le condotte). Immaginando che all’istante iniziale (t=0) l’impianto sia fermo con entrambi gli ugelli chiusi e le portate nulle lungo le condotte, si valuti il tempo necessario all’avviamento del sistema assumendo che entrambi gli ugelli vengano istantaneamente aperti al massimo, e si rappresenti l’andamento nel tempo della velocità lungo la condotta AB.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso in due tratti: il tratto di monte è largo B=20 m mentre il tratto di valle è largo b=12 m. La pendenza del fondo vale if=0.001 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s. Immediatamente a monte del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di valle vale Qv=20 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso in due tratti: il tratto di monte è largo B=25 m mentre il tratto di valle è largo b=15 m. La pendenza del fondo vale if=0.002 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=35 m1/3/s. Immediatamente a monte del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di valle vale Qv=25 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il pozzo C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico con sezione orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=10.0 m e hB=6.0 m. Si valuti inizialmente la velocità v0 di regime lungo l’intera condotta AB quando la saracinesca S è completamente aperta e non produce alcuna dissipazione di energia. Nel calcolo si assuma, per semplicità, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. Per t<0 (t è il tempo) la saracinesca S è chiusa e il sistema è in quiete. All’istante t=0 la saracinesca S viene completamente ed istantaneamente aperta. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo C assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 di moto permanente. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. Suggerimento: una volta scritte, in forma linearizzata, le equazioni che esprimono la conservazione dell’energia per i tratti 1 e 2, si combinino queste due equazioni in modo da ottenere una relazione tra il livello nel pozzo C e la differenza v1-v2 tra le velocità nei due tratti di condotta. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd


[ ] ξωωψ ++= − )cos()( 21 tCtsenCez DDt con 22

D ψωω −= mentre, quando è ψ>ω, è del tipo

ξωψωψ ++= +−−− t)(2

t)(1

DD eCeCz con 22D ωψω −=




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.8 m. Il pozzo C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico con sezione orizzontale Ω=6.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=12.0 m e hB=6.0 m. Si valuti inizialmente la velocità v0 di regime lungo l’intera condotta AB quando la saracinesca S è completamente aperta e non produce alcuna dissipazione di energia. Nel calcolo si assuma, per semplicità, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Per t<0 (t è il tempo) la saracinesca S è chiusa e il sistema è in quiete. All’istante t=0 la saracinesca S viene completamente ed istantaneamente aperta. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo C assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 di moto permanente. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. Suggerimento: una volta scritte, in forma linearizzata, le equazioni che esprimono la conservazione dell’energia per i tratti 1 e 2, si combinino queste due equazioni in modo da ottenere una relazione tra il livello nel pozzo C e la differenza v1-v2 tra le velocità nei due tratti di condotta. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno evidenziate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




ξωψωψ ++= +−−− t)(2

t)(1





Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso in due tratti: il tratto di monte è largo B=25 m mentre il tratto di valle è largo b=14 m. La pendenza del fondo vale if=0.02 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=60 m1/3/s. Immediatamente a monte del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di monte vale Qm=25 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare è diviso in due tratti: il tratto di monte è largo B=25 m mentre il tratto di valle è largo b=15 m. La pendenza del fondo vale if=0.025 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s. Immediatamente a monte del cambio di larghezza è presente una sottrazione localizzata di portata ΔQ. Sapendo che la portata fluente nel tratto di monte vale Qm=30 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare di ΔQ, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e di portata, e si assuma inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico, a tenuta, con sezione orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=10.0 m e hB=6.0 m mentre la superficie libera nel serbatoio C si trova alla quota hc=6.0 m con al di sopra aria a pressione superiore a quella atmosferica. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario. Si valuti, in queste condizioni, la velocità v0 lungo l’intera condotta AB assumendo, nel calcolo, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 la copertura del serbatoio C viene istantaneamente rimossa determinando, sulla superficie libera del serbatoio, condizioni di pressione atmosferica. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio C assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 di moto permanente. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. Suggerimento: una volta scritte, in forma linearizzata, le equazioni che esprimono la conservazione dell’energia per i tratti 1 e 2, si combinino queste due equazioni in modo da ottenere una relazione tra il livello nel serbatoio C e la differenza v1-v2 tra le velocità nei due tratti di condotta. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico, a tenuta, con sezione orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=10.0 m e hB=6.0 m mentre la superficie libera nel serbatoio C si trova alla quota hc=10.0 m con al di sopra aria a pressione inferiore a quella atmosferica. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario. Si valuti, in queste condizioni, la velocità v0 lungo l’intera condotta AB assumendo, nel calcolo, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 la copertura del serbatoio C viene istantaneamente rimossa determinando, sulla superficie libera del serbatoio, condizioni di pressione atmosferica. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio C assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 di moto permanente. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. Suggerimento: una volta scritte, in forma linearizzata, le equazioni che esprimono la conservazione dell’energia per i tratti 1 e 2, si combinino queste due equazioni in modo da ottenere una relazione tra il livello nel serbatoio C e la differenza v1-v2 tra le velocità nei due tratti di condotta. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo b=14 m presenta un tratto terminale largo B=25 prima di sfociare in un bacino a livello costante. Il tratto terminale è caratterizzato dalla lunghezza L relativamente modesta e insufficiente a far si che la corrente raggiunga condizioni prossime a quelle di moto uniforme. La pendenza del fondo vale if=0.02 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=60 m1/3/s. Sapendo che la portata fluente vale Q=25 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare del livello h nel bacino di valle, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si sa, inoltre, che quando tutto il tratto di valle è interessato da corrente rapida, il tirante in corrispondenza della sezione di sbocco vale y=0.24 m. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e si assuma, inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo b=17 m presenta un tratto terminale largo B=30 prima di sfociare in un bacino a livello costante. Il tratto terminale è caratterizzato dalla lunghezza L relativamente modesta e insufficiente a far si che la corrente raggiunga condizioni prossime a quelle di moto uniforme. La pendenza del fondo vale if=0.03 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s. Sapendo che la portata fluente vale Q=30 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare del livello h nel bacino di valle, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano. Si sa, inoltre, che quando tutto il tratto di valle è interessato da corrente rapida, il tirante in corrispondenza della sezione di sbocco vale y=0.24 m. N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e si assuma, inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y


Nome __________________ del 7 settembre 2012 – PARTE SECONDA


Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L1=600 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga L2=800 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito in corrispondenza del nodo N è cilindrico con sezione orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=8.0 m e hB=10.0 m. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario e il livello nel pozzo piezometrico vale z0=6 m. Si valutino, in queste condizioni, le velocità v10 e v20 lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente, e la portata Qf scaricata dal sistema. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 si azzera istantaneamente la portata Qf scaricata. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma, come velocità caratteristica vM, quella corrispondente alla velocità v∞ (che, almeno in modulo, è la stessa per entrambe le condotte) del moto permanente che si raggiunge al termine del transitorio. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L1=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga L2=600 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito in corrispondenza del nodo N è cilindrico con sezione orizzontale Ω=4.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=8.0 m e hB=10.0 m. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario e il livello nel pozzo piezometrico vale z0=6 m. Si valutino, in queste condizioni, le velocità v10 e v20 lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente, e la portata Qf scaricata dal sistema. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.020. All’istante t=0 si azzera istantaneamente la portata Qf scaricata. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma, come velocità caratteristica vM, quella corrispondente alla velocità v∞ (che, almeno in modulo, è la stessa per entrambe le condotte) del moto permanente che si raggiunge al termine del transitorio. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




2t)(

1DD eCeCz con 22

D ωψω −=




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo b=16 m presenta un tratto terminale largo B=25 prima di sfociare in un bacino a livello costante. In corrispondenza del cambio di larghezza è presente anche un salto di fondo alto a=0.5 m. Il tratto terminale è caratterizzato dalla lunghezza L relativamente modesta e insufficiente a far si che la corrente raggiunga condizioni prossime a quelle di moto uniforme. La pendenza del fondo vale if=0.002 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=50 m1/3/s. Sapendo che la portata fluente vale Q=25 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare del livello h nel bacino di valle, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano, utilizzando a questo scopo anche la rappresentazione nel diagramma H-Y. Per cortesia, nella rappresentazione dei profili si faccia riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in figura (ulteriori sezione numeratele pure come volete) N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e si assuma, inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo b=12 m presenta un tratto terminale largo B=20 prima di sfociare in un bacino a livello costante. In corrispondenza del cambio di larghezza è presente anche un salto di fondo alto a=0.5 m. Il tratto terminale è caratterizzato dalla lunghezza L relativamente modesta e insufficiente a far si che la corrente raggiunga condizioni prossime a quelle di moto uniforme. La pendenza del fondo vale if=0.002 e il coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler vale kS=60 m1/3/s. Sapendo che la portata fluente vale Q=20 m3/s, si ricostruiscano i possibili profili lungo il canale al variare del livello h nel bacino di valle, indicando i tipi di profilo di moto gradualmente vario che si sviluppano, utilizzando a questo scopo anche la rappresentazione nel diagramma H-Y. Per cortesia, nella rappresentazione dei profili si faccia riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in figura (ulteriori sezione numeratele pure come volete) N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza della variazione di sezione e si assuma, inoltre, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=600 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 800 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. In corrispondenza del nodo N è presente uno scarico regolato mediante la saracinesca S. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=14.0 m e hB=10.0 m. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario con la saracinesca S chiusa. Si valutino, in queste condizioni, le velocità v10 e v20 lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 viene istantaneamente aperta la saracinesca S ripristinando allo sbocco, posto alla quota di 6 m, pressione atmosferica. Assumendo, con buona approssimazione, pressione atmosferica anche in corrispondnza del nodo N posto alla stessa quota dello sbocco e assumendo inoltre trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo delle velocità lungo le due condotte. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma, come velocità caratteristica vM, quella corrispondente alla velocità del moto permanente iniziale che è la stessa per entrambe le condotte. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato la velocità in alcuni istanti caratteristici. Si commenti, anche con l’ausilio di qualche valutazione quantitativa, la bontà del risultato ottenuto con particolare riferimento alla scelta della velocità di riferimento vM suggerita. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

BKzdtdz

=+

la soluzione generale è del tipo KBeCz Kt /1 += − con C1 costante di integrazione




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 600 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.4 m. In corrispondenza del nodo N è presente uno scarico regolato mediante la saracinesca S. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=14.0 m e hB=10.0 m. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario con la saracinesca S chiusa. Si valutino, in queste condizioni, le velocità v10 e v20 lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. All’istante t=0 viene istantaneamente aperta la saracinesca S ripristinando allo sbocco, posto alla quota di 6 m, pressione atmosferica. Assumendo, con buona approssimazione, pressione atmosferica anche in corrispondnza del nodo N posto alla stessa quota dello sbocco e assumendo inoltre trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo delle velocità lungo le due condotte. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma, come velocità caratteristica vM, quella corrispondente alla velocità del moto permanente iniziale che è la stessa per entrambe le condotte. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato la velocità in alcuni istanti caratteristici. Si commenti, anche con l’ausilio di qualche valutazione quantitativa, la bontà del risultato ottenuto con particolare riferimento alla scelta della velocità di riferimento vM suggerita. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

BKzdtdz

=+

la soluzione generale è del tipo KBeCz Kt /1 += − con C1 costante di integrazione




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=25 m, sfocia in un bacino la cui superficie libera è posta a quota h=0.9 m rispetto al fondo del canale alla sezione di sbocco. La portata fluente lungo il tratto di monte del canale vale Qm=25 m3/s. Ad una distanza L a monte della sezione di sbocco è presente un’immissione localizzata di portata Q. La lunghezza L del tratto terminale è insufficiente a raggiungere condizioni prossime a quelle di moto uniforme ma al tempo stesso sufficientemente grande da far sì che le caratteristiche del moto nella sezione 3 non siano mai influenzate dal livello h nel bacino. Valutate preliminarmente le caratteristiche del moto uniforme e quelle critiche relativamente al tratto di canale posto a monte dell’immissione, si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della portata immessa Q, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. Per cortesia, nella rappresentazione dei profili si faccia riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in figura (ulteriori sezione numeratele pure come volete) N.B. Si assuma per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=30 m, sfocia in un bacino la cui superficie libera è posta a quota h=0.9 m rispetto al fondo del canale alla sezione di sbocco. La portata fluente lungo il tratto di monte del canale vale Qm=30 m3/s. Ad una distanza L a monte della sezione di sbocco è presente un’immissione localizzata di portata Q. La lunghezza L del tratto terminale è insufficiente a raggiungere condizioni prossime a quelle di moto uniforme ma al tempo stesso sufficientemente grande da far sì che le caratteristiche del moto nella sezione 3 non siano mai influenzate dal livello h nel bacino. Valutate preliminarmente le caratteristiche del moto uniforme e quelle critiche relativamente al tratto di canale posto a monte dell’immissione, si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della portata immessa Q, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. Per cortesia, nella rappresentazione dei profili si faccia riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in figura (ulteriori sezione numeratele pure come volete) N.B. Si assuma per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e lo sbocco C è lunga L1=1600 m mentre la condotta 2, tra il serbatoio B e lo sbocco C è lunga L2=800 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario con la saracinesca S chiusa. Si valutino, in queste condizioni, le velocità v10 e v20 lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.020. Al tempo t=0 la saracinesca S viene istantaneamente aperta. Assumendo trascurabile la lunghezza tra la diramazione e lo sbocco nel serbatoio C e trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo delle velocità lungo le due condotte. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assumano, come velocità caratteristiche vM1 e VM2, quelle corrispondenti alle velocità del moto permanente finale, una volta esaurito il transitorio. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato la velocità in alcuni istanti caratteristici. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

BKzdt

dz

la soluzione generale è del tipo KBeCz Kt /1 con C1 costante di integrazione




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e lo sbocco C è lunga L1=2000 m mentre la condotta 2, tra il serbatoio B e lo sbocco C è lunga L2=1000 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario con la saracinesca S chiusa. Si valutino, in queste condizioni, le velocità v10 e v20 lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. Al tempo t=0 la saracinesca S viene istantaneamente aperta. Assumendo trascurabile la lunghezza tra la diramazione e lo sbocco nel serbatoio C e trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo delle velocità lungo le due condotte. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assumano, come velocità caratteristiche vM1 e VM2, quelle corrispondenti alle velocità del moto permanente finale, una volta esaurito il transitorio. Si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato la velocità in alcuni istanti caratteristici. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

BKzdt

dz

la soluzione generale è del tipo KBeCz Kt /1 con C1 costante di integrazione


Nome __________________ del 8 febbraio 2013 – PARTE PRIMA


Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è sostenuto a valle da una traversa che determina, immediatamente a monte della stessa, un livello YL=2.0 m, misurato rispetto alla quota del fondo del canale. Ad una distanza L=500 m a monte della traversa è presente un gradino di altezza a. La portata fluente, per unità di larghezza, vale q=0.8 m3/sm. Si sa inoltre che, qualora lungo tutto il tratto di valle di lunghezza L si stabilissero condizioni di corrente lenta, il livello immediatamente a valle del gradino, determinato per integrazione del profilo di moto gradualmente vario (tratteggiato in figura), assumerebbe il valore y=1.043 m. Valutate preliminarmente le caratteristiche del moto uniforme e quelle critiche, si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare dell’altezza a del gradino, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. Per cortesia, nella rappresentazione dei profili si faccia riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in figura (ulteriori sezione numeratele pure come volete) N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del gradino.




Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare larga, è sostenuto a valle da una traversa che determina, immediatamente a monte della stessa, un livello YL=2.7 m, misurato rispetto alla quota del fondo del canale. Ad una distanza L=100 m a monte della traversa è presente un gradino di altezza a. La portata fluente, per unità di larghezza, vale q=0.8 m3/sm. Si sa inoltre che, qualora lungo tutto il tratto di valle di lunghezza L si stabilissero condizioni di corrente lenta, il livello immediatamente a valle del gradino, determinato per integrazione del profilo di moto gradualmente vario (tratteggiato in figura), assumerebbe il valore y=1.043 m. Valutate preliminarmente le caratteristiche del moto uniforme e quelle critiche, si ricostruiscano i diversi possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare dell’altezza a del gradino, indicando, per i tratti di moto gradualmente vario, il tipo di profilo (M1, M2, M3, S1, S2, S3). Si fornisca inoltre la rappresentazione nel diagramma H-y delle caratteristiche di ciascun profilo. Per cortesia, nella rappresentazione dei profili si faccia riferimento alla numerazione delle sezioni indicata in figura (ulteriori sezione numeratele pure come volete) N.B. Si trascurino le dissipazioni di energia localizzate in corrispondenza del gradino.


Nome __________________ del 8 febbraio 2013 – PARTE SECONDA


Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L1=600 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga L2=800 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito in corrispondenza del nodo N è cilindrico con sezione orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=8.0 m e hB=10.0 m. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario e, la saracinesca S è completamente aperta e non da luogo ad alcuna dissipaziome di energia. Si valutino, in queste condizioni, il livello z0 nel pozzo piezometrico e le velocità v10 e v20 (tra loro uguali) lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 la saracinesca S viene istantaneamente chiusa. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma, come velocità caratteristica vM, quella corrispondente alla velocità v10. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. Si valuti inoltre l’andamento nel tempo della velocità lungo la condotta 1. Si valuti infine, l’andamento nel tempo della quota piezometrica in corrispondenza della sezione di estremità della condotta 2 immediatamente a monte della saracinesca S. Per quest’ultima valutazione si assuma una celerità dell’onda di pressione a=1000 m/s e, per semplicità, si trascurino le dissipazioni di energia a partire dall’istante t=0. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




ξωψωψ ++= +−−− t)(2

t)(1





Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L1=600 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga L2=800 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo piezometrico inserito in corrispondenza del nodo N è cilindrico con sezione orizzontale Ω=5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=10.0 m e hB=8.0 m. Per t<0 (t è il tempo) il sistema è in condizioni di moto stazionario e, la saracinesca S è completamente aperta e non da luogo ad alcuna dissipaziome di energia. Si valutino, in queste condizioni, il livello z0 nel pozzo piezometrico e le velocità v10 e v20 (tra loro uguali) lungo le condotte 1 e 2, rispettivamente. Nel calcolo si assuma un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 la saracinesca S viene istantaneamente chiusa. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma, come velocità caratteristica vM, quella corrispondente alla velocità v10. Si valuti il periodo T dell’oscillazione e si rappresenti graficamente la soluzione dopo aver calcolato il livello z in alcuni istanti caratteristici. Si valuti inoltre l’andamento nel tempo della velocità lungo la condotta 1. Si valuti infine, l’andamento nel tempo della quota piezometrica in corrispondenza della sezione di estremità della condotta 2 immediatamente a valle della saracinesca S. Per quest’ultima valutazione si assuma una celerità dell’onda di pressione a=1000 m/s e, per semplicità, si trascurino le dissipazioni di energia a partire dall’istante t=0. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2


dtzd




ξωψωψ ++= +−−− t)(2

t)(1



Nome __________________ del 13 maggio 2013 – PARTE PRIMA


kS=60 m1/3/s

H=1.0 m

L

A

Q

if=0.02

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=16 m scarica l’acqua contenuta nel serbatoio A il cui livello rispetto al fondo della sezione iniziale vale H=1.0 m. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.02 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=60 m1/3/s. Ad una distanza L a valle dell’imbocco è presente un’immissione localizzata di portata. Si ricostruiscano i possibili profili di moto permanente lungo il canale al variare della portata Q immessa, sapendo che quando Q=0, il livello che si instaura in corrispondenza della sezione dove è ubicata l’immissione vale yL=0.5 m. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y oppure M-Y. N.B. Si assuma, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.


Nome __________________ del 13 maggio 2013 – PARTE SECONDA


La condotta di scarico illustrata in figura, lunga complessivamente 500 m è divisa in due tratti (le cui caratteristiche sono indicate nella stessa figura) per i quali si può assumere lo stesso valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02. Al termine della condotta (sezione U) è posto un ugello regolabile caratterizzato da un’area di massima apertura pari ad AuMAX=0.04 m2 Si valutino preliminarmente la portata scaricata e le velocità dell’acqua nei due tratti di condotta in condizioni di regime quando l’ugello U è completamente aperto. Assumendo che per t<0 l’ugello U sia chiuso e venga aperto istantaneamente all’istante t=0, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’avviamento della condotta. Individuata la legge con cui la velocità nei dei due tratti di condotta cresce nel tempo fino a raggiungere le condizioni di regime si valuti (analiticamente) l’andamento nel tempo dell’energia in corrispondenza della sezione N. N.B. Nel derivare la soluzione generale vanno precisate e giustificate le ipotesi semplificative introdotte.

TRATTO A-N N-Rlunghezza (m) 400 100diametro (m) 1.2 0.6

126.0 m

22.0 mB

N

A U

B U




h0=0.5 m

a=0.2 m

if=0.05A

1

2 3

kS=60 m1/3/s

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=20 m, prima di sfociare nel serbatoio A presenta un piccolo gradino di fondo alto a=0.2 m. Il livello nel serbatoio A vale h0=0.5 m rispetto alla sommità del gradino. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.05 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=60 m1/3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la portata fluente assume i seguenti valori: Q=8 m3/s, Q=12 m3/s e Q=20 m3/s e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si può assumere, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




h0=0.4 m

a=0.15 m

if=0.05A

1

2 3

kS=60 m1/3/s

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=20 m, prima di sfociare nel serbatoio A presenta un piccolo gradino di fondo alto a=0.15 m. Il livello nel serbatoio A vale h0=0.4 m rispetto alla sommità del gradino. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.05 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=60 m1/3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la portata fluente assume i seguenti valori: Q=5 m3/s, Q=10 m3/s e Q=15 m3/s e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si può assumere, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Nel sistema illustrato in figura i tre tronchi di condotta (1, 2 e 3) sono lunghi L=200 m e sono caratterizzati dal diametro d=0.2 m. Per tutti e tre i tronchi si può inoltre assumere lo stesso valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025 costante. Il riferimento assunto coincide con la quota della superficie libera del serbatoio B quando la saracinesca S è completamente aperta e non determina alcuna dissipazione di energia. Si determini, in queste condizioni, la portata scaricata Qs (coincidente con la portata che dal serbatoio A entra nel serbatoio B). Per t<0 la saracinesca S è chiusa e all’istante t=0 viene istantaneamente aperta. Assumendo che la portata Qs resti invariata nel tempo e sapendo il serbatoio B è cilindrico con area orizzontale B=5.0 m2, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B. Si assuma, per i tre tronchi di condotta, una velocità di riferimento vMi, per linearizzare le dissipazioni continue, pari a quella di moto permanente con saracinesca S aperta.

S

A

1.0 m

N

1

2

3

riferimento

Qs

z

B

N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2

2 zdt

dz

dt

zd

la soluzione generale, quando è <, è del tipo

)cos()( 21 tCtsenCez DDt con 22

D mentre, quando è >, è del tipo

t)(2

t)(1

DD eCeCz con 22D




Nel sistema illustrato in figura i tre tronchi di condotta (1, 2 e 3) sono lunghi L=200 m e sono caratterizzati dal diametro d=0.4 m. Per tutti e tre i tronchi si può inoltre assumere lo stesso valore della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.02 costante. Il riferimento assunto coincide con la quota della superficie libera del serbatoio B quando la saracinesca S è completamente aperta e non determina alcuna dissipazione di energia. Si determini, in queste condizioni, la portata scaricata Qs (coincidente con la portata che dal serbatoio A entra nel serbatoio B). Per t<0 la saracinesca S è chiusa e all’istante t=0 viene istantaneamente aperta. Assumendo che la portata Qs resti invariata nel tempo e sapendo il serbatoio B è cilindrico con area orizzontale B=2.0 m2, si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione generale che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B. Si assuma, per i tre tronchi di condotta, una velocità di riferimento vMi, per linearizzare le dissipazioni continue, pari a quella di moto permanente con saracinesca S aperta.

S

A

1.0 m

N

1

2

3

riferimento

Qs

z

B


222

2

2 zdt

dz

dt

zd



D mentre, quando è >, è del tipo

t)(2

t)(1

DD eCeCz con 22D




h0=0.8 m

b=16 mB=20 m

if=0.05A

1

2 3

kS=60 m1/3/s

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=20 m, prima di sfociare nel serbatoio A presenta un piccolo restringimento localizzato caratterizzato dalla larghezza b=16 m. Il livello nel serbatoio A vale h0=0.8 m rispetto alla quota del fondo della sezione terminale del canale. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.05 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=60 m1/3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la portata fluente assume i seguenti valori: Q=12 m3/s, Q=17 m3/s e Q=22 m3/s e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate (ad eccezione di quella di sbocco nel serbatoio). Si può assumere, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




h0=0.6 m

b=14 mB=20 m

if=0.05A

1

2 3

kS=60 m1/3/s

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=20 m, prima di sfociare nel serbatoio A presenta un piccolo restringimento localizzato caratterizzato dalla larghezza b=14 m. Il livello nel serbatoio A vale h0=0.6 m rispetto alla quota del fondo della sezione terminale del canale. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.05 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=60 m1/3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la portata fluente assume i seguenti valori: Q=8.5 m3/s, Q=14 m3/s e Q=22 m3/s e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate (ad eccezione di quella di sbocco nel serbatoio). Si può assumere, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga per la quale RH≈y.




Nel sistema illustrato in figura la galleria di derivazione che collega il serbatoio A con il nodo N è lunga L=6200 m ed è caratterizzata da una sezione circolare di diametro D=6 m. In corrispondenza del nodo N è innestato un pozzo piezometrico cilindrico di sezione orizzontale =40 m2. Per t<0 il sistema è in regime di moto permanente e lungo la galleria di derivazione fluisce la portata Q0=10 m3/s coincidente con quella Qf scaricata verso le turbine. All’istante t=0 la portata Qf si azzera istantaneamente (manovra di chiusura) innescando un’oscillazione di massa che coinvolge il serbatoio A, la galleria di derivazione e il pozzo piezometrico. Il pozzo piezometrico è dotato di uno stretto gambo cilindrico, di diametro d=0.8 m, che determina una dissipazione di energia localizzata la quale, per semplicità, può essere espressa come E=K.vs essendo vs la velocità che si realizza lungo il gambo cilindrico e K=0.2 s-1. Si assuma, inoltre, per linearizzare le dissipazioni continue lungo la galleria di derivazione, una velocità di riferimento vM pari a quella del moto permanente che si realizza per t<0. Si ricavi, quindi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico a seguito della manovra di chiusura e si rappresenti graficamente questo andamento. Si valuti il periodo delle oscillazioni e si verifichi che il livello massimo raggiunto nel pozzo piezometrico non superi il valore zL=6 m rispetto alla quota della superficie libera nel serbatoio A. Si valuti inoltre in quanto tempo l’ampiezza dell’oscillazione nel pozzo (e non il livello nel pozzo) si riduce al 10% di quella iniziale. Si valuti infine la legge con cui varia nel tempo la velocità nella galleria di derivazione e se ne rappresenti graficamente l’andamento.

A

N Qf

d

D, L


222

2

2 zdt

dz

dt

zd



D

mentre, quando è >, è del tipo

t)(2

t)(1

DD eCeCz con 22D




Nel sistema illustrato in figura la galleria di derivazione che collega il serbatoio A con il nodo N è lunga L=6200 m ed è caratterizzata da una sezione circolare di diametro D=6 m. In corrispondenza del nodo N è innestato un pozzo piezometrico cilindrico di sezione orizzontale =40 m2. Per t<0 il sistema è in quiete e la portata scaricata verso le turbine vale Qf=0. All’istante t=0 la portata Qf passa istantaneamente dal valore nullo al valore Qf=10 m3/s (manovra di apertura) innescando un’oscillazione di massa che coinvolge il serbatoio A, la galleria di derivazione e il pozzo piezometrico. Il pozzo piezometrico è dotato di uno stretto gambo cilindrico, di diametro d=0.8 m, che determina una dissipazione di energia localizzata la quale, per semplicità, può essere espressa come E=K.vs essendo vs la velocità che si realizza lungo il gambo cilindrico e K=0.2 s-1. Si assuma, inoltre, per linearizzare le dissipazioni continue lungo la galleria di derivazione, una velocità di riferimento vM pari a quella del moto permanente che si realizza per t→∞. Si ricavi, quindi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo piezometrico a seguito della manovra di chiusura e si rappresenti graficamente questo andamento. Si valuti il periodo delle oscillazioni e si verifichi che il livello minimo raggiunto nel pozzo piezometrico sia superiore al valore zL=-6 m rispetto alla quota della superficie libera nel serbatoio A. Si valuti inoltre in quanto tempo l’ampiezza dell’oscillazione nel pozzo (e non il livello nel pozzo) si riduce al 10% di quella iniziale. Si valuti infine la legge con cui varia nel tempo la velocità nella galleria di derivazione e se ne rappresenti graficamente l’andamento.

A

N Qf

d

D, L


222

2

2 zdt

dz

dt

zd



D


t)(2

t)(1

DD eCeCz con 22D




h0=2 m

if=0.001

A

123

kS=50 m1/3/s

b B=40 m

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=40 m, imbocca dal serbatoio A il cui livello rispetto alla quota del fondo del canale nella sezione di imbocco vale h0=2 m. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.001 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=50 m1/3/s. La sezione di imbocco, per un brevissimo tratto, è ancora di forma rettangolare ma è caratterizzata da una larghezza b inferiore a quella del canale. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la larghezza dell’imbocco assume i seguenti valori: b=15 m, b=30 m e b=36 m e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. Suggerimento: si assuma, come ipotesi da verificare, che la pendenza del fondo sia inferiore a quella critica e che la corrente che si instaura nel canale non possegga l’energia sufficiente a superare il breve imbocco ristretto. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate.




h0=2 m

if=0.002

A

123

kS=35 m1/3/s

b B=40 m

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=40 m, imbocca dal serbatoio A il cui livello rispetto alla quota del fondo del canale nella sezione di imbocco vale h0=2 m. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.002 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=35 m1/3/s. La sezione di imbocco, per un brevissimo tratto, è ancora di forma rettangolare ma è caratterizzata da una larghezza b inferiore a quella del canale. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la larghezza dell’imbocco assume i seguenti valori: b=15 m, b=30 m e b=36 m e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. Suggerimento: si assuma, come ipotesi da verificare, che la pendenza del fondo sia inferiore a quella critica e che la corrente che si instaura nel canale non possegga l’energia sufficiente a superare il breve imbocco ristretto. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate.




Nel sistema illustrato in figura il serbatoio A, di grandi dimensioni, è collegato al serbatoio B mediante due condotte in parallelo, entrambe lunghe L=8000 m e caratterizzate dal diametro d=5 m. Per entrambe le condotte, inoltre, può assumersi un coefficiente di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach costante e pari a f=0.02. Il serbatoio B è cilindrico con sezione orizzontale B=100 m2. Per t<0 il sistema è in regime di moto permanente e la portata scaricata (che coincide con quella che complessivamente fluisce attraverso le due condotte) vale Qs=Qs0=20 m3/s. All’istante t=0 la portata Qs si incrementa istantaneamente al valore Qs=Qs1=50 m3/s innescando un’oscillazione di massa che coinvolge il serbatoio A, le due condotte in parallelo e il serbatoio B. Si assuma, per linearizzare le dissipazioni continue lungo le due condotte, una velocità di riferimento vM corrispondente a quella del moto permanente che si realizza per t→∞. Si ricavi, quindi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B a seguito della manovra e si rappresenti graficamente questo andamento. Si valuti il periodo delle oscillazioni e si verifichi che il livello minimo raggiunto nel serbatoio B non sia inferiore al valore zL=-16 m rispetto alla quota della superficie libera nel serbatoio A. Si valuti inoltre in quanto tempo l’ampiezza dell’oscillazione nel serbatoio B (e non il livello nel serbatoio B) si riduce al 10% di quella iniziale. Si valuti infine la legge con cui varia nel tempo la velocità nelle due condotte e se ne rappresenti graficamente l’andamento.

A

Qs

sezione

B

N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti 22

2

2

2 zdtdz

dtzd

la soluzione generale, quando è <, è del tipo )cos()( 21 tCtsenCez DD

t con 22D

mentre, quando è >, è del tipo t)(

2t)(

1DD eCeCz con 22

D




Nel sistema illustrato in figura il serbatoio A, di grandi dimensioni, è collegato al serbatoio B mediante due condotte in parallelo, entrambe lunghe L=8000 m e caratterizzate dal diametro d=5 m. Per entrambe le condotte, inoltre, può assumersi un coefficiente di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach costante e pari a f=0.02. Il serbatoio B è cilindrico con sezione orizzontale B=100 m2. Per t<0 il sistema è in regime di moto permanente e la portata scaricata (che coincide con quella che complessivamente fluisce attraverso le due condotte) vale Qs=Qs0=50 m3/s. All’istante t=0 la portata Qs si riduce istantaneamente al valore Qs=Qs1=20 m3/s innescando un’oscillazione di massa che coinvolge il serbatoio A, le due condotte in parallelo e il serbatoio B. Si assuma, per linearizzare le dissipazioni continue lungo le due condotte, una velocità di riferimento vM corrispondente a quella del moto permanente che si realizza per t→∞. Si ricavi, quindi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel serbatoio B a seguito della manovra e si rappresenti graficamente questo andamento. Si valuti il periodo delle oscillazioni e si verifichi che il livello massimo raggiunto nel serbatoio B non superi il valore zL=14 m rispetto alla quota della superficie libera nel serbatoio A. Si valuti inoltre in quanto tempo l’ampiezza dell’oscillazione nel serbatoio B (e non il livello nel serbatoio B) si riduce al 10% di quella iniziale. Si valuti infine la legge con cui varia nel tempo la velocità nelle due condotte e se ne rappresenti graficamente l’andamento.

A

Qs

sezione

B


2

2

2 zdtdz

dtzd


t con 22D


2t)(

1DD eCeCz con 22

D


Nome __________________ del 25 ottobre 2013 – PARTE PRIMA


if=0.0005

12

3

kS=40 m1/3/s

45

a1a2

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=100 m, è diviso in due tratti separati da due piccoli salti di fondo in successione: il salto di valle è alto a1=0.5 m e quello di monte è alto a2=0.6 m. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.0005 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=40 m1/3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la portata fluente assume i seguenti valori: Q=10 m3/s, Q=150 m3/s e Q=500 m3/s e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate e si assuma, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga (RHY).




if=0.0005

12

3

kS=40 m1/3/s

45

a1a2



Nome __________________ del 25 ottobre 2013 – PARTE SECONDA


Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il pozzo C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico con sezione orizzontale =5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=10.0 m e hB=6.0 m. Per t<0 (t è il tempo) la saracinesca S è completamente aperta e non produce alcuna dissipazione di energia, e il moto è stazionario. Si valuti, in queste condizioni, la velocità v0 di regime lungo l’intera condotta AB assumendo, nel calcolo, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. A partire dall’istante t=0 la saracinesca S viene gradualmente chiusa in un tempo Tc=30 s. Questa manovra di chiusura può essere simulata assumendo che la velocità immediatamente a monte della saracinesca S (e quindi, per le ipotesi anelastiche, lungo tutta la condotta 2) si riduca linearmente a zero nel tempo Tc. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo C fino all’istante t=Tc di completa chiusura assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v0 del moto permanente iniziale. Si valuti, nell’intervallo di tempo 0≤t≤Tc l’andamento della velocità lungo le due condotte. Si rappresentino graficamente gli andamenti del livello z nel pozzo e delle velocità nelle due condotte per 0≤t≤Tc. Si dica, giustificandolo, se all’istante Tc viene raggiunto il massimo livello nel pozzo C o se il livello è destinato ad aumentare ulteriormente subito dopo la chiusura. Infine, assumendo che la celerità di propagazione di una perturbazione di pressione lungo le due condotte sia a=1000 m/s, si dica, giustificandolo, se l’approccio anelastico può essere considerato accettabile o no. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

tzdtdz

dtzd 222

2

2


221 /)2()cos()( ttCtsenCez DD

t con 22D

N

A

B1

2

C

S





tzdtdz

dtzd 222

2

2



t con 22D

N

A

B1

2

C

S




if=0.0005

12

3

kS=40 m1/3/s

45

a1a2






tzdtdz

dtzd 222

2

2



t con 22D

N

A

B1

2

C

S




if=0.001

123

kS=50 m1/3/s

45

Lungo il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=50 m, è presente, tra le sezioni 3 e 2, una sottrazione di portata Q. L’acqua sottratta, utilizzata in un impianto di raffreddamento, è restituita immediatamente a monte della presa, tra le sezioni 3 e 4. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.001, da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=50 m1/3/s e la portata fluente a monte della sezione 4 e a valle della sezione 2 vale Q=50 m3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la variazione di portata (sottrazione e immissione) assume i seguenti valori: Q=10 m3/s, Q=20 m3/s e Q=45 m3/s. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate ad eccezione di quella prodotta dall’immissione (per la quale è necessario ricorrere ad un bilancio di spinte) e si assuma, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga (RHY).




if=0.02

12 3

kS=60 m1/3/s

45

Lungo il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=50 m, è presente, tra le sezioni 3 e 4, una sottrazione di portata Q. L’acqua sottratta, utilizzata in un impianto di raffreddamento, è restituita immediatamente a monte della presa, tra le sezioni 2 e 3. Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.02, da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=60 m1/3/s e la portata fluente a monte della sezione 2 e a valle della sezione 4 vale Q=50 m3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la variazione di portata (sottrazione e immissione) assume i seguenti valori: Q=5 m3/s, Q=15 m3/s e Q=40 m3/s. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate ad eccezione di quella prodotta dall’immissione (per la quale è necessario ricorrere ad un bilancio di spinte) e si assuma, per semplicità, l’ipotesi di sezione molto larga (RHY).




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico con sezione orizzontale =5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=38.0 m e hB=32.0 m. Per t<0 (t è il tempo) il moto è stazionario e la saracinesca S è completamente aperta e non produce alcuna dissipazione di energia. In queste condizioni la portata scaricata dal serbatoio A vale Q01=0.4 m3/s. Si valuti, in queste condizioni, la velocità v01 lungo la condotta AN, il livello z0 nel pozzo C, la velocità v02 lungo la condotta BN assumendo, nel calcolo, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 la saracinesca S viene istantaneamente chiusa. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo C. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v∞ del moto permanente che si realizza, in entrambe le condotte, una volta esaurito il fenomeno di moto vario. Si rappresentino graficamente gli andamenti del livello z nel pozzo e delle velocità nelle due condotte. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2

2 zdtdz

dtzd



D


t)(2

t)(1

DD eCeCz con 22D

38.0 m

A

B

32.0 m

S

1

2C

NQf




Nel sistema illustrato in figura la condotta 1, tra il serbatoio A e il nodo N è lunga L=800 m mentre la condotta 2, tra il nodo N e il serbatoio B è lunga 400 m. Entrambe le condotte sono a sezione circolare con diametro interno d=0.5 m. Il pozzo C, inserito in corrispondenza del nodo N, è cilindrico con sezione orizzontale =5.0 m2. Le superfici libere nei serbatoi A e B si trovano ripettivamente alle quote hA=38.0 m e hB=25.0 m. Per t<0 (t è il tempo) il moto è stazionario e la saracinesca S è completamente aperta e non produce alcuna dissipazione di energia. In queste condizioni la portata scaricata dal serbatoio A vale Q01=0.45 m3/s. Si valuti, in queste condizioni, la velocità v01 lungo la condotta AN, il livello z0 nel pozzo C, la velocità v02 lungo la condotta BN assumendo, nel calcolo, un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025. All’istante t=0 la saracinesca S viene istantaneamente chiusa. Assumendo trascurabili le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo del livello z nel pozzo C. Per linearizzare le dissipazioni continue di energia, si assuma una velocità caratteristica vM corrispondente alla velocità v∞ del moto permanente che si realizza, in entrambe le condotte, una volta esaurito il fenomeno di moto vario. Si rappresentino graficamente gli andamenti del livello z nel pozzo e delle velocità nelle due condotte. N.B. Si ricorda che, data l’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti

222

2

2 zdtdz

dtzd



D


t)(2

t)(1

DD eCeCz con 22D

38.0 m

A

B

25.0 m

S

1

2C

NQf




if=0.0011

23

kS=30 m1/3/s

45

a

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=50 m, è diviso in due tratti separati da una sottrazione di portata (tra le sezioni 4 e 3) e da un salto di fondo alto a=0.5 m (tra le sezioni 3 e 2). Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.001 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=30 m1/3/s. La portata a monte della sottrazione vale Qm=200 m3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la portata sottratta assume i seguenti valori: Q=10 m3/s, Q=45 m3/s e Q=160 m3/s e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate.




if=0.0011

23

kS=30 m1/3/s

45

a

Il canale di figura, infinitamente lungo e di sezione rettangolare, largo B=50 m, è diviso in due tratti separati da una sottrazione di portata (tra le sezioni 4 e 3) e da un salto di fondo alto a=0.5 m (tra le sezioni 3 e 2). Il canale è caratterizzato da una pendenza del fondo if=0.001 e da un coefficiente di scabrezza nella formula di Gauckler-Strickler kS=30 m1/3/s. La portata a monte della sottrazione vale Qm=200 m3/s. Si ricostruiscano i profili di moto permanente lungo il canale quando la portata sottratta assume i seguenti valori: Q=20 m3/s, Q=70 m3/s e Q=140 m3/s e si commentino le soluzioni trovate. Si rappresentino inoltre le diverse soluzioni anche nel diagramma H-Y. N.B. Si trascurino tutte le dissipazioni localizzate.




Nel sistema illustrato in figura la condotta che collega i serbatoi A e B è lunga L=800 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio A, inserito immediatamente a valle della pompa P, è cilindrico con sezione orizzontale A=5.0 m2 mentre il serbatoio B, anch’esso cilindrico, ha sezione orizzontale B=30.0 m2. Per t<0 (t è il tempo) la pompa è spenta, il sistema è in quiete con il livello nel serbatoio A uguale a quello nel serbatoio B (assunti come riferimento). A partire dall’istante t=0 la pompa viene accesa e fornisce una portata costante Qp=1.6 m3/s. Assumendo nel calcolo delle dissipazioni continue di energia un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025 e nell’ipotesi di trascurare le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo della velocità nella condotta assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM pari al rapporto tra la portata pompata e l’area della sezione della condotta. Si rappresenti graficamente l’andamento della velocità nella condotta. Si fornisca infine una rappresentazione qualitativa, ma qualitativamente corretta, dell’andamento nel tempo dei livelli nei due serbatoi


2

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D

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A B




Nel sistema illustrato in figura la condotta che collega i serbatoi A e B è lunga L=800 m ed è a sezione circolare con diametro interno d=1.0 m. Il serbatoio A, inserito immediatamente a valle della pompa P, è cilindrico con sezione orizzontale A=5.0 m2 mentre il serbatoio B, anch’esso cilindrico, ha sezione orizzontale B=30.0 m2. Per t<0 (t è il tempo) la pompa è in funzione e fornisce una portata costante Qp=1.6 m3/s, il sistema è in condizioni quasi stazionarie con una velocità costante lungo la condotta di mandata pari a v0=1.746 m/s e i livelli nei serbatoi A e B entrambi lentamente crescenti nel tempo. All’istante t=0 la pompa viene spenta (in questo istante la velocità in condotta è v0). Assumendo nel calcolo delle dissipazioni continue di energia un valore costante della funzione di resistenza nella formula di Darcy-Weisbach, f=0.025 e nell’ipotesi di trascurare le dissipazioni di energia localizzate e i termini cinetici si ricavi, a partire dall’equazione differenziale che esprime la conservazione dell’energia per una corrente unidimensionale, la soluzione che descrive l’andamento nel tempo della velocità nella condotta assumendo, per linearizzare le dissipazioni continue di energia, una velocità caratteristica vM pari a quella iniziale v0. Si rappresenti graficamente l’andamento della velocità nella condotta. Si fornisca infine una rappresentazione qualitativa, ma qualitativamente corretta, dell’andamento nel tempo dei livelli nei due serbatoi


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1DD eCeCz con 22

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2010 06 14 esame - università degli studi di padova · ˚ 4˜ ˜ / ˚ ˇ ’ 5˝ ˆ 4 ˙˝ ˆ 4˜...

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