2009 58-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА, ОБЩИНСКИ...
DESCRIPTION
ÂTRANSCRIPT
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
ІV клас
1зад. Да се пресметне стойността на израза (a : 7 + 4. b) + с – 22.8, ако:
a е решение на равенството a + 2000 = 1567 + 250.4
b = 4867 – 2345 – 20.(3 + 9 : 3) – 2400;
с e обиколката на правоъгълник (пресметната в метри) със страна 60 дм и лице 486 кв.
м
7 точки
2зад. В магазин получили 36 кутии с 50 шоколада във всяка от тях и 78 кутии с 80
пасти във всяка. За една седмица продали 632 шоколада и 5 пъти повече пасти. Колко
шоколада и колко пасти са останали в магазина? С колко продадените пасти са повече от
останалите в магазина?
7 точки
3зад. На чертежа са изобразени два еднакви
правоъгълника с обща част квадрат. Страната на
квадрата е половината от дължината на правоъгълника,
а ширината на правоъгълника е с 1 см по-голяма от
страната на квадрата. Ако обиколката на фигурата е 20
см, намерете нейното лице.
7 точки
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
ІV клас
1зад. Да се пресметне стойността на израза (a : 7 + 4. b) + с – 22.8, ако:
a + 2000 = 2567, a = 567 1 точка
b = 2 2 точки
Превръщане 60 дм = 6 м 1 точка
Намиране на втората страна на правоъгълника 486 : 6 = 81 м 1 точка
Намиране на обиколката на правоъгълника 2 . (81 + 6) = 174 м 1 точка
Пресмятане на израза 567 : 7 + 4 .2 + 174 – 176 = 81 + 8 + 174 – 176 = 87
1 точка
2зад.
Намиране броя на шоколадите 36.50 = 1800 1 точка
Намиране броя на пастите 78.80 = 6240 1 точка
Намиране броя на продадените пасти 632.5 = 3160 1 точка
Намиране броя на останалите в магазина шоколади 1800 – 632 = 1168
1 точка
Намиране броя на останалите в магазина пасти 6240 – 3160 = 30801 точка
Намиране с колко продадените пасти са повече от останалите в магазина
3160 – 3080 = 80 2 точки
3зад. DN = NC = DM 1 точка
MA = GN = 1 см 1 точка
AB = DC = HG = EF = 2.DN
AD = BC = DM + 1 1 точка
Обиколката на фигурата:
AB + BC + CN + NG + GH + HE + EM + MA =
8. DN + 4 = 20 и намиране на DN = 2 см
2 точка
AB = DC = HG = EF = 2.DN = 4 см 0,5 точки
AD = BC = 3 см 0,5 точки
Лицето на фигурата е 2.SABCD - SMFND = 2.4.3 – 2.2 = 24 – 4 = 20 кв. см 1 точка
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
V клас
1зад. Намерете лицето на трапец с основи х и у и височина h, ако:
х е числото, за което е вярно равенството (х – 2,6).12,35 = 9,88
у е числената стойност на израза: ( )( ) 2,0:2,29,0:2,42,13:2,97 −−
h е по-голямото от двете числа А и В
5
13
5
4713 −−=A
2
19,2 −=B
За мерна единица използвайте см.
7 точки
2зад. На чертежа са означени размерите на два стъклени съда с форма на
правоъгълен паралелепипед, от които първият е пълен с вода. Ако прелеем 0,4 от водата
на първия съд във втория, намерете до колко дм ще достигнат височините на водата в
първия и втория съд.
7 точки
3зад. Намерете всички числа n от вида ba463 , които се делят на 28, ако числото 1+ab
се дели на 9.
7 точки
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
V клас
1зад. Намиране на х = 3,4 см 2 точки
Намиране на у = 1 см 2 точки
Намиране на А = 2 0,5 точки
Намиране на В = 2,4 0,5 точки
Намиране на h = 2,4 см 0,5 точки
Намиране лицето на трапеца S = 5,28 кв. см 1,5 точки
2зад. Намиране на обема на първия съд V1 = 30 куб. дм 2 точки
Намиране на 0,4 от обема на първия съд – 12 куб. дм 2 точки
Намиране на височината на водата в първия съд – 2,4 дм 1,5 точки
Намиране на височината на водата във втория съд – 6 дм 1,5 точки
3зад. Понеже 63 се дели на 7, остава да се разгледа числото ba4 , което трябва да се дели на 4 и на 7. (1 точка) Тогава b = 0,4 или 8. (1 точка)
Нека b = 0. Понеже 9 трябва да е делител на 10а + 1, то а = 8 и
проверяваме, че числото 840 се дели на 7. Така се намера едно решение на
задачата 63 840. (2 точки)
Нека b = 4. Тогава а + 5 трябва да се дели на 9, т.е. а = 4. Но числото 444 не
се дели на 7. (1,5 точки)
Нека b = 8. Тогава а трябва да се дели на 9, т.е. а = 0 или а = 9. При а = 0
числото 48 не се дели на 7 и при а = 9 числото 948 също не се дели на 7. (1,5
точки)
Задачата има само едно решение - 63 840.
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
VІ клас
1зад. а) Намерете стойностите на изразите m и n, ако:
( )ba
bababam
−
+−
++−
−−=
.4
3
.22
2 при
x
xa = , където 0<x и
6
1.6 −=b , а
( )( ) ( )
1079:82,232,7
17,0:5,8
2009
2009−
−+−
−−+
−=n . Сравнете m и n.
б) В правоъгълна координатна система Oxy изобразете точките M(0;– 6), N(– 6; 0),
P(6; –6) и намерете MNPS∆ .
7 точки
2зад. Обиколката на успоредник ABCD е 68 см, а
страната му AB е с 14 см по-дълга от страната AD.
Височината DH на успоредника към страната му AB
е 8,7 см.
а) Намерете дължините на страните и лицето на
успоредника ABCD.
б) Върху страната AB на успоредника е взета отсечка
ABMN8
1= . От успоредника е изрязан правилен
шестоъгълник със страна MN и апотема 2,6 см. Намерете лицето на оцветената част от
успоредника.
7 точки
3зад. Аквариум има форма на права четириъгълна призма. Височината на налятата вода в
него е с 20 см по-малка от височината на призмата. Лицето на основата на призмата е 72
дм2. диагоналите на четириъгълника, който е основа на призмата, са перпендикулярни.
Единият диагонал има дължина 9 дм, а другият има дължина, два пъти по-голяма от
височината на призмата. Колко най-много рибки могат да се отгледат в аквариума, ако за
една рибка са необходими 4 л вода?
7 точки
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
VІ клас
1зад. а) Намиране 1−=a 0,5 точки
Намиране 1=b 0,5 точки
Намиране 6−=m 1,5 точки
Намиране 6−=n 1,5 точки
Сравняване 6−== nm 0,5 точки
б) Изобразяване на M(0;– 6) 0,5 точки
Изобразяване на N(– 6; 0) 0,5 точки
Изобразяване на P(6; –6) 0,5 точки
Намиране 18=∆MNPS кв. м. ед. 1 точка
2зад. а) Съставяне на уравнение за страните на успоредника и намирането на
AB= CD =24 см и AD = BC = 10 см 2,5 точки
Намиране на лицето на успоредника 8,208. == DHABS ABCD см2
1 точка
б) Намиране на 3=MN см. 0,5 точки
Намиране лицето на шестоъгълника 4,236,2.3.6.2
1..
2
1=== abnB см
2 2 точки
Намерете лицето на оцветената част от успоредника 4,1854,238,208 =−=S см2
1 точка
3зад. Нека аквариумът е изобразен с правата четириъгълна призма ABCDMNPQ с
основа ABCD, височина AM и височината на водата
е AK.
722
.
2
.
2
.==+=+=
∆∆
BDACDOACBOACSSB ADCABCABCD .
Тогава 722
.9=
BD, откъдето 16=BD дм. 2 точки
Следователно височината на призмата е АМ =16:2
= 8 дм. 1 точка
Тъй като МК = 20 см = 2 дм, то височината на
водата е АК = 6 дм. 1 точка
Следователно обемът на водата е
432. == AKBV ABCD дм3, т.е. водата в аквариума е 432 л.
1,5 точки
Тогава в аквариума могат да се отгледат най-много 1084
432= рибки. 1,5 точки
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
VІІ клас
1зад. Разложете на прости множители израза А = 7х2 – 63х + 140.
а) Докажете, че ако х е цяло число, то изразът А се дели на 14;
б) Нека m и n (m<n) са стойностите на х, за които стойността на израза А е 0.
Пресметнете стойността на израза: m
nmnmM
4
4
5
3
2+
−−
+=
7 точки
2зад. На конкурсен изпит в едно училище се явили определен брой ученици. От тях 10%
получили слаба оценка. Броят на учениците, получили отлична оценка, представлява 3
1 от
броя на учениците, получили слаба оценка. Останалите ученици, явили се на изпит, са 520.
а) Намерете колко ученици са се явили на конкурсен изпит;
б) В училището са приети само ученици, получили отлични и много добри оценки.
Намерете в колко паралелки са разпределени приетите ученици, ако се знае, че броят на
учениците, получили оценка среден, добър и много добър, е в отношение 6 : 4 : 3, и броят на
учениците в една паралелка е не по-голям от 30 и не по-малък от 26.
7 точки
3зад. Даден е ABC∆ , в който ( )BCMAM ∈ и ( )ACNBN ∈ са ъглополовящи. Ако MN е
успоредна на AB и <AMNе с °36 по-малък от <BAC, то:
а) намерете ъглите на AMN∆ ;
б) намерете ъглите на ABC∆ и изразете дължината на отсечката NM в сантиметри, ако
знаете, че 28=ABMNP см и cAB = см.
7 точки
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
VІІ клас
1зад. Разлагане на А = 7х2 – 63х + 140 =
= 7. (х2 – 9х + 20) = 0,5 точки
= 7. (х2 – 5х – 4х + 20) = 0,5 точки
= 7. (х.(х – 5) – 4.(х – 5)) = 0,5 точки
= 7. (х – 4).(х – 5) = 0,5 точки
а) Ако х е цяло число, то (х – 4) и (х – 5) са последователни цели числа и точно
едно от тях се дели на 2. Тъй като А = 7.(х – 4).(х – 5), то А се дели на 7.2, т.е. на 14.
2 точки
б) Стойността на А = 7.(х – 4).(х – 5) е 0, ако поне един от множителите (х – 4)
или (х – 5) е равен на 0. 1 точка
Определяне на m = 4 и n = 5 (m<n) 1 точка
Намиране стойността на 64
5.4
4
4.5
3
54.2=+
−−
+=M 1 точка
2зад. а) Изразяване на броя на учениците, получили слаба оценка - x%.10 и броя на
учениците, получили отлична оценка - x%.10.3
1 1 точка
Съставяне на модел (уравнение) xxx =++ 520%.10.3
1%.10 1 точка
Намиране на броя на учениците, които са се явили на конкурсен изпит х = 600
1 точка
б) Намиране броя на учениците със слаби оценки – 60600%.10 = и броя на
учениците с отлични оценки 2060.3
1= 1 точка
Съставяне на 520346 =++ yyy и намиране на 40=y 1 точка
Намиране броя на учениците с много добри оценки 12040.3 = 1 точка
Намиране, че 140 ученици с отлични и много добри оценки ще се разпределят в 5
паралелки 1 точка
3зад. а) AMN∠ и BAM∠ са кръстни, следователно са равни, но NAMBAM ∠=∠ (АМ
ъглополовяща) то NAMAMN ∠=∠ (фиг. 1) 1 точка
Намиране на °=∠=∠ 36NAMAMN ; AMNBACAMN ∠=∠=°+∠ .236 1 точка
Намиране на °=∠ 108ANM 0,5 точки
фиг.1 фиг. 3
б) За доказване, че BMNMAN == 1,5 точки
За доказване, че 072==<< ABCBAC 1,5 точки
За намиране на 036=< ACB 0,5 точки
Определяне на 3
28 cNM
−= 1 точка
(фиг. 3)
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58
-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
VІІІ клас
1зад. а) Един от корените на уравнението x2 + px – 18 = 0 е равен на – 9 . Намерете
коефициента p и другия корен.
б) Определете допустимите стойности на променливата x в израза
xx
x
x
x
xx
xA
1
2
22.
422
222
−+
+
++
+
+=
и докажете, че стойността на А не зависи от стойностите на х.
7 точки
2зад. Дадени са линейните функции f(x) = – 2x + b и g(x) = ax + 3.
а) Определете параметрите a и b, ако знаете, че графиката на f(x) пресича ординатната
ос в точка А с ордината – 5, а графиката на g(x) е успоредна на графиката на функцията h(x)
= 6x + 20 .
б) Постройте графиките на функциите f(x) и g(x). Ако графиката на g(x) пресича
графиката на f(x) и абцисната ос съответно в точки В и С, намерете лицето на ,OBC∆ където
О е началото на координатната система.
7 точки
3зад. Височините BB1 и CC1 на остроъгълния ABC∆ се пресичат в точка H. Ако M, N и P са
среди съответно на отсечките BC, HB и HC, докажете, че:
а) MB1 = MC1;
б) 1 1.MNC MPB=∢ ∢
7 точки
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
VІІІ клас
1зад. а) Определяне на коефициента p: 81 – 9 p – 18 = 0, p = 7 1 точка
Получаване на квадратното уравнение x2 + 7 . x – 18 = 0 и намиране на
корените му х1 = 2 и х2 = – 9 2 точки
б) Преобразуване на
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )1
111
2
1.2
1
2
1441
2
1.2.
22
22.2
1
2
22.
222
221
2
22.
422
22
2
2
2
22
2
==−+
=−+
++=
=−+
+++=−
++
+++
=
=−++
++
++
=−++
+
++
+=
x
x
x
x
xxx
xx
xxx
xxx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
xA
3 точки
Определяне на ДС 2,0 −≠≠ xx 1 точка
2зад. а) Определяне на b от f(0) = – 2.0 + b = – 5, b = – 5 1 точка
Определяне на a = 6 1 точка
б) Построяване графиката на функцията f(x) = – 2х – 5 1 точка
Построяване графиката на функцията g(x) = 6х + 3 1 точка
Намиране координатите на точка С(– 0,5; 0) 0,5 точки
Намиране координатите на точка В (– 1; – 3) 1,5 точки
Намиране лицето на OBC∆ 75,02
3.5,0
2
.=== B
OBC
yOCS кв. м. ед. 1 точка
3зад. а) Намиране, че B1M и C1M са медиани към общата хипотенуза ВС на
правоъгълните триъгълници ВВ1С и ВС1С. 1 точка
Доказване, че BCMCMB .2
111 == 2 точки
(свойство на медианата в правоъгълен триъгълник)
б) Определяне че, HCPB2
11 = – медиана към хипотенузата на правоъгълния
триъгълник HB1C 0,5 точки
Определяне, че HCMN2
1= – средна отсечка в HCB∆ 0,5 точки
Извод, че PB1 = MN (1) 0,5 точки
Аналогично доказателство, че NCMP 1= (2) 1,5 точки
Извод от (1), (2) и 11 MCMB = , че 11 MNCPMB ∆≅∆ и 11 MNCMPB ∠=∠ като съответни в
тези триъгълници. 1 точка
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58
-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
ІХ клас
1зад. а) Да се определи реалният параметър k така, че корените на уравнението
052 =+− kxx да удовлетворяват зависимостта 2153
2
3
1 =+ xx ;
б) За намерената стойност на k да се реши уравнението: 52
2 =+x
kx .
7 точки
2зад. Да се намерят мерките на ъглите на триъгълник ABC∆ , ако центровете О1 и О
съответно на вписаната и описаната около него окръжности са симетрични относно АВ.
9 точки
3зад. а) Докажете, че ако ,1=++ cabcab то
( )( )( )222222111
4
111 cba
abc
c
c
b
b
a
a
−−−=
−+
−+
−
5 точки
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
ІХ клас
1зад. а) ( )( ) ( ) ( )[ ] 2153 21
2
2121
2
221
2
121
3
2
3
1 =−++=+−+=+ xxxxxxxxxxxxxx 1 точка
Определяне от формулите на Виет 521 =+ xx и kxx =21. 1 точка
Заместване ( ) 215325.5 =− k и намиране на k = – 6 1 точка
б) Определяне на ДС 0≠x 0,5 точки
Преобразуване на 52
2 =+x
kx и достигане до 05 24 =+− kxx 1,5 точки
Заместване на k с – 6 и решение на уравнението 065 24 =−− xx
61 =x и 62 −=x 2 точки
2зад. За доказване, че ∆АВС е равнобедрен 2 точки
АО1 е ъглополовяща, следователно α=∠=∠ ABOCAO 11 1 точка
От свойството на осевата симетрия следва, че
α=∠=∠ BAOBAO1 1 точка
Тогава NCBNAC⌢
2
13 ==∠ α , откъдето α6=NCB
⌢
1 точка
CABACABC⌢
2
12 ==∠=∠ α (от ABC∆ равнобедрен),
следователно дъгата AB е α4 1 точка
Тогава °==+=+= 1801064 αααNCBCANA⌢⌢⌢
, °= 18α
1 точка
Следователно °==∠=∠ 362αBACABC
°=°−°=∠ 10872180ACB 2 точки
3зад.
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )
( )( )( )=
−−−
+−−++−−++−−=
=−−−
−−+−−+−−=
−+
−+
−
222
222222222222
222
222222
222
111
111
111111
111
cba
bcacbcaccbabcbabcabacaba
cba
baccabcba
c
c
b
b
a
a
2 точки
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )=
−−−
+++−−+−−+−−=
222 111
111
cba
abacbcabcbccacbcabbcaaba 2 точки
( )( )( ) ( )( )( )222222 111
4
111 cba
abc
cba
abccabbacabc
−−−=
−−−
+++= 1 точка
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58
-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
Х клас
Зад.1 Определете допустимите стойности на променливите и опростете израза
( )( )
( ) 122
1
2
3
2
3
3
121
3
22
2
3
2
3
1.
−
−
−−
+−−
−
−
−
+=
yxxy
yx
yxx
xyx
yxC .
(7 точки)
Зад.2 Решете неравенството 2
2
2
4
1
7228
xx
x
x
xabx
−+
−+
++
≤++ , където а и b са съответно най-
голямата и най-малката стойност на функцията у = 142 2 ++− xx в интервала [-3;0].
(7 точки)
Зад.3 Права, минаваща през точката А, пресича окръжност в точките В и С (точката В
лежи между точките А и С). Друга права, минаваща през точката А, пресича окръжността в
точките D и Е (точката D лежи между точките А и Е). Известно е, че правите ВD и СЕ се
пресичат в точката F, освен това FЕ=1 и АС=2АЕ.
а) Да се докаже, че ∠ЕDF=∠BCF.
б) Да се намери дължината на отсечката FD.
(7 точки)
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
X клас
Зад.1 Допустимите стойности на променливите са x>0, y≥0, x≠y (1,5 точки).
( )( )
( ) 122
1
2
3
2
3
3
121
3
22
2
3
2
3
1.
−
−
−−
+−−
−
−
−
+=
yxxy
yx
yxx
xyx
yxC =
( ))(
1
. 22
3
1
2
2
3
2
3
3
22
2
3
2
3
yxxy
x
y
x
yx
xyx
yx+−−
−
−
−
+= (2точки)
( )
22
3
1
23
22
2
2
32
2
3
.
yxxy
x
yxxyx
yx−−−
−−
−=
(1,5точки)
( )
22
3
1
3
23
23
2
33
)(.
yxxy
x
yxyxx
yx−−−
−−
−=
( )22
33
yxxyyx
yx−−−
−−
=( )
2222 ))((
yxxyyx
yxyxyx−−−
−++−
=
02222 =−−−++= yxxyyxyx (2точки).
Зад.2 Върхът ),( 00 yx на параболата у= 142 2 ++− xx е с координати 12
0 =−=a
bx и
3)1(0 == yy . Определяме 1)0( =y -пресечна точка с ординатната ос, а от
0142 2 =++− xx ⇒2
622,1
±=x -пресечни точки с абсцисната ос. От а= −2<0⇒най-
малката стойност b на функцията у в интервала [-3;0] е 29)3( −=−= yb (1 точка) и
най-голямата стойност а на функцията у в интервала [-3;0] е 1)0( == ya (1 точка).
2
2
2
4
1
7228
xx
x
x
xabx
−+
−+
++
≤++ ⇔2
2
2
4
1
721
xx
x
x
xx
−+
−+
++
≤− (0,5 точки).
Дефиниционната област на неравенството е 2,1 ≠−≠ xx (1 точка).
Преобразуваме неравенството и получаваме
2
2
2
4
1
721
xx
x
x
xx
−+
−+
++
≤− ⇔)1)(2(
)2)(2(
1
721
+−+−
−++
≤−xx
xx
x
xx ⇔ 0
)1(
)2)(3(≤
++−
x
xx(2 точки).
Следователно ]3,2()2,1(]2,( ∪−∪−−∞∈x (1,5 точки).
Зад.3 а) ∠ЕDF+∠ЕDB=180 0 /съседни ъгли/(0,5 точки) и
∠BCЕ+∠ЕDB=180 0 /CEDB-вписан/(1 точка),
откъдето∠ЕDF=∠BCF (0,5 точки).
б) Триъгълниците ADC и ABE са подобни, защото
имат общ ъгъл, а ъглите ACD и AEB се опират на хордата
BD, т.е. ∠ACD=∠AEB
(1,5 точки). Тогава 2==AE
AC
BE
CD(0,5 точки).
Аналогично ∆BEF~∆CDF(1,5 точки), следователно 2===BF
CF
BE
CD
EF
DF(0,5
точки), откъдето 22 == EFDF (1точка).
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58
-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
ХI клас
Зад.1 Сумата от първите десет члена на аритметична прогресия е 140, а произведението на
втория и деветия член е 147. Намерете прогресията.
(7 точки)
Зад.2 Трапецът ABCD(ABCD, AB>CD) е вписан в окръжност с радиус R .
а) Докажете, че ако в трапеца може да се впише окръжност, то малката основа,
височината и голямата основа са последователни членове на геометрична прогресия.
б) Намерете малката основа, бедрото и лицето на трапеца, ако голямата основа AB
служи за диаметър на описаната окръжност и ∡ACD=α .
(7 точки)
Зад.3 Геометричната прогресия ,...,...,,, 321 naaaa е с положителни членове и частно 1≠q , а
аритметичната прогресия ,...,...,,, 321 nbbbb е растяща с разлика d. При какво условие
уравненията 11 loglog ababdd ynny
+=+ и 2
1...
2.)1(...
842 1
1432
=+−++−+−−
−
n
nn xxxx
x ще бъдат
еквивалентни? (7 точки)
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
XІ клас
Зад.1 Съгласно условието на задачата 147)8)((
2892
11
1
=++
=+
dada
da(2точки), откъдето
1472
728
2
728=
+
− dd(1точка) 2±=⇒ d (2точки) 51 =⇒ a или а1 =23(2точки).
Прогресията е 5,7,9,… или 23,21,19,…. .
Зад.2 а) Щом трапецът е вписан в окръжността, то той е равнобедрен, т.е.
BC=AD(1точка). Ако трапецът е описан около окръжност, то
AB+CD=BC+AD=2AD(1точка). Ако DH е височината на трапеца, то DH2 =
AD2─AH
2 = CDAB
CDABCDAB.
22
22
=
−−
+, с което твърдението е доказано(1точка).
б) Тъй като∡ACD=α , то α2= ⇒ α41800 −= ⇒ ∡DAC= α2900 −
(1точка).
От синусова теорема намираме αα 2cos2)290sin(2 0 RRCD =−=
и αsin2RAD = (1точка).
ααααα 2sinsin4sin4)2cos1(sin42
2242222222
2
22 RRRRRCDAB
ADDH =−=−−=
−−=⇒
⇒ α2sinRDH = (1точка)
⇒ αα 2sincos22
).( 22RDHCDAB
S ABCD =+
= (1точка).
Зад.3 Уравнението (1) 11 loglog ababdd ynny
+=+ има смисъл при y>0, y≠1(1точка).
Извършваме преобразувания и получаваме
11 loglog ababdd ynny
+=+ ⇔ 1
1
log bba
an
n
yd −= ⇔
1
1)(a
ay nbbd n =− ⇔ qq
a
qa
a
ay dn
dnbdnb
dnbb
d
nn
==
=
= −
−−−+−−
)1(
)1()1(
1
1
1
1
111
(1точка). Тъй като q>0 и q≠1,
то y=q е единственото решение на уравнението (1точка).
Лявата страна на уравнението (2) 2
1...
2.)1(...
842 1
1432
=+−++−+−−
−
n
nn xxxx
x e сума
на безкрайната геометрична прогресия ,...2
.)1(,...,8
,4
,2
,1
1432
−
−−−−n
nn xxxx
x с първи член x и
частно
2
2
2
x
x
x
−=−
(1точка). Ако )2;2(212
−∈⇔<⇔<− xxx
, то сумата )
2(1
x
xS
−−
= (1точка).
Уравнението 2
1...
2.)1(...
842 1
1432
=+−++−+−−
−
n
nn xxxx
x ⇔ )2;2(3
2
2
1
2
2−∈=⇒=
+x
x
x(1точка).
Ако 12>−
x, то qy = и x принадлежи на празното множество. (0,5 точки)
Следователно уравненията (1) и (2) ще бъдат еквивалентни, ако 3
2=q (0,5точки).
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807 http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58
-ма НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
ХIІ клас
Зад.1 Околният ръб на наклонена триъгълна призма е 4 см. Страните на
перпендикулярното на този ръб сечение се отнасят така, както 9:10:17, а лицето му е 144
см2. Намерете лицето на околната повърхнина на призмата, ако върховете А, В и С на
перпендикулярното сечение са вътрешни точки за съответните околни ръбове на призмата.
(7 точки) Зад.2 В правоъгълния ∆АВС точката М е средата на медианата към хипотенузата АВ. От М
са спуснати перпендикулярите МХ, МY и МZ към ВС, АС и AB ),,( ABZACYBCX ∈∈∈ . Ако
лицето на ∆АВС е S, то да се изрази лицето на ∆XYZ чрез S.
(7 точки)
Зад.3 Даден е изразът
аа
аааа
а
аа
М
144
24144
144 22
+−
−++−++−
= .
а) Да се опрости М
б) Да се пресметне числената стойност на М, ако а е най-големият от корените на
уравнението ( ) ( ) 22222 46262 xxxxx =−++−− .
(7 точки)
До областен кръг ще бъдат допуснати тези ученици, на които броят на точките е най-малко 16. Време за работа – 4 часа. Желаем Ви успех!
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА
Регионален инспекторат по образованието - гр. Ловеч
ул. “Търговска” 43, ет.10, � (068) 603806, факс (068) 603807
http://rio-lovech.hit.bg e-mail: [email protected]
58-ма
НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
ОБЩИНСКИ КРЪГ
15.03.2009г.
КРАТКИ РЕШЕНИЯ И УПЪТВАНИЯ
XІІ клас
Зад.1 Нека страните на перпендикулярното сечение са а=9х, в=10х и с=17х
(0,5точки), откъдето полупериметъра xxxxcba
p 182
17109
2=
++=
++= (1точка).
Лицето на сечението е 2144.8.9.18))()(( =⇒==−−−=∆ xxxxxcpbpappS ABC (1 точка).
Намиране страните а, в и с на перпендикулярното на наклонения ръб l
сечение-18 см, 20 см и 34см (1,5 точки). От BClиAClABlABCl ⊥⊥⊥⇒⊥ ,)( (1,5
точки).
Лицето на околната повърxнина на призмата e сбор от лицата на три
успоредника: 28872.4).(... ==++=++= cbalBClAClABlS см2(1,5 точки).
Зад.2 Нека СС1 -медиана към хипотенузата АВ, М-
среда на СС1 и СМ = МС1 = m. Знаем, че АС 1 = ВС1 =
СС 1 ⇒ АВ = 4m и ако ∠CAB = ∠ACC 1 = α , то
∠АBС =∠ВCC1 = α−090 (0,5точка).
От правоъгълните триъгълници MXC, MYC и
MZC 1 , следва че MX=m.sin( α−090 )=m.cosα ,
MY=m.sinα и MZ=m.sin( α21800 − )=m.sin2α (1,5 точки).
)90sin(.2
1)180sin(.
2
190sin.
2
1 000 αα ++−+=++=⇒ ∆∆∆∆ MZMXMZMYMYMXSSSS MXZMYZMXYXYZ
⇒ )cos.sin..(2
1αα MZMXMZMYMYMXS XYZ ++=∆ =
= =+=++ )2sincos(sin2
1)2sincos2sinsincossin(
2
1 222222 ααααααααα mmmm
ααα 2sin4
3)2sin2sin
2
1(
2
1 22mm =+= (2,5точки).
ααααα 2sin4cossin8cos4.sin4.2
1.
2
1 22 mmmmBCACS ==== (2точки)⇒ SS XYZ16
3=∆
(0,5 точки).
Зад.3 а) Допустимите стойности на променливата са 0>а , 2
1≠а (0,5 точки) .
( ) ( )
а
а
а
ааа
а
а
М2
2
2
)12(
)12(212
12
−
−+−+
−
= ⇔
а
a
а
ааа
а
а
М12
)12(212
12
−
−+−+
−
= ⇔
а
а
а
аа
а
а
М12
)12(212
1 2
−
−+−
+
= ⇔12
)12(212)1( 2
−
−+−+
=а
а
ааа
М ⇔а
аМ
21+= +
12
)12(2
−
−
аа
а
(2,5точки)
⇒a
aM
12 −= за
∈2
1;0a и
а
аМ
32 += за
∞∈ ;2
1а (1 точка).
б) ( ) 22222 462)62( ххххх =−++−− ⇔ ( ) 22222 4)62())62(( хххxх =+−+−−
⇔ 2222 42)62(2 хxх =+− ⇔ 2222 2)62( хxх =+− ⇔ 036254 24 =+− xx ⇒ 22,1 ±=х ;
2
34,3 ±=х (2 точки) 2=⇒ а и от
+∞∈ ;2
12 ⇒
2
27
2
7
2
3432
==+
=+
=а
аМ (1 точка).