2009 年度情報科学演習Ⅲ

今井研課題説明会

２００９年４月１０日

今井研究室の研究テーマ

アルゴリズム

計算量

計算量

最適化

計算量

基礎理論

今井研究室の研究テーマ

アルゴリズム

計算量

計算量

最適化

計算量

基礎理論

今井研究室の研究テーマ

アルゴリズム

計算量

計算量

計算量

計算量

暗号理論 ゲーム理論

生体認証 交通量解析　　　現実社会へ　　　　　の応用

計算量量子 新しい計算の　　　枠組み

計算量

計算量

最適化

計算量

基礎理論

今井研究室の研究テーマ

アルゴリズム

計算量

計算量

計算量

計算量

暗号理論 ゲーム理論

生体認証 交通量解析　　　現実社会へ　　　　　の応用

計算量量子 新しい計算の　　　枠組み

計算量

計算量

最適化

計算量

基礎理論

今井研究室の研究テーマ

アルゴリズム

計算量

計算量

計算量

計算量

暗号理論 ゲーム理論

生体認証 交通量解析　　　現実社会へ　　　　　の応用

計算量

計算量

計算量

計算量

組合せ論

計算代数

グラフ理論

計算幾何 数理構造そのもの

博士論文 (1)• 計算幾何

– アレンジメント再構成の組合せ論的複雑度評価（青木 保一， 1993 ）– リーマン計算幾何：凸包，ボロノイ図とデローネ型三角形分割

（大西 建輔， 1998 ） – 特徴多様体上のクラスタリング問題について（稲葉 真理， 1999 ） – 整数計画法による三角形分割の最適化（田島 玲， 2000 ） – 三角形分割の組合せ論（竹内 史比古， 2001 ） – 多面体的複体のシェリング向き付け：

シェラビリティー判定と離散最適化の組合せ構造 （森山園子， 2006 ） – 有向マトロイドの実現を与える方法および特徴のある有向マトロイド

（中山　裕貴， 2007 ）• 計算代数

– 単模および Lawrence 型整数計画問題に対する計算代数的解析（石関 隆幸， 2003 ）

• 量子計算– 計算量的観点における量子計算モデルの計算能力（小林 弘忠， 2002 ） – 資源制約下における量子計算モデルの計算能力（ルガル フランソワ， 2006 ）– エンタングルメントコストの解析とホレボ容量の計算（下野 寿之， 2006 ）– Bell 不等式とカット多面体：量子情報科学と組合せ最適化の結合 （伊藤　剛， 2007 ） － 現実世界の設定下で定量的な安全性を初めて保証したデコイ法量子鍵配送 の理論と実験（長谷川 淳， 2008 ） － 量子状態上のボロノイ図とその量子通信路容量の数値的評価への応用 （加藤 公一， 2008 ）

博士論文 (2)• ゲームツリー探索

– AND/OR 木探索アルゴリズム Df-pn の提案とその応用（長井 歩， 2002 ） – 分岐因子が一様な探索空間のための AND-OR 木探索アルゴリズム (美添一樹 , 2009)

• パズル・計算量　　 －別解問題の計算量解析の統一的手法 (八登崇之 , 2009)• ゲノム・文字列処理

– 文書検索と圧縮の統合 -接尾辞ソート、ブロックソート法、接尾辞配列 -（定兼 邦彦， 2000 ）

– 部分文字列の性質に基づく計算機援用大規模生物実験設計（土井 晃一郎， 2001 ）

– 生物配列情報の比較と検索のための高速なアルゴリズムの研究（渋谷 哲朗， 2002 ）

• グラフ理論– Tutte 多項式の計算アルゴリズムとその応用（関根 京子， 1997 ） – リンクベースの Web 上情報発見手法の新しいフレームワーク

（浅野 泰仁， 2003 ） • ネットワーク

– ネットワーク通信において通信品質を保証するアルゴリズム（古賀 久志， 2002 ）

最近三年間の修士論文 (1/2)

• 離散数学– 最小包含球問題から得られる Cube グラフの向きづけ（西鳥羽 二郎， 2007 ）– マトロイドの向き付けの計算解析及び離散幾何における接続関係の問題への応用　　（松本宜丈 , 2009 ）– 半正定値計画法による有向マトロイドの構造解析 （宮田 洋行， 2009 ）

• 計算幾何– Angular Voronoi Diagram の退化（牟田 秀俊， 2008 ）

• 計算量理論　　　　　　Ｌ対Ｐ問題の折り返し対アクセス問題への関連付けとそれらの組み合わせ

構造　　　（上野 賢哉， 2007 ）

• 暗号理論– Final Round 攻撃対策のなされた AES に対するキャッシュタイミング攻撃 （永岡 悟， 2008 ）– 量子攻撃耐性と平均的困難性を備えた生体暗号システム （小島 晃司 , 2009)

最近三年間の修士論文 (2/2)

• 量子計算– 可解群に対する多項式時間量子アルゴリズム（乾 義文， 2007 ）– 二分 NAND 式木上の量子ウォークアルゴリズムの解析（鈴木 真吾 , 2008 ）– 2-Prover 1-Round Game としてのベル不等式における最大量子破れ （高橋 敏明， 2008 ）– ２部グラフ上での量子ウォーク探索アルゴリズムのデコヒーレンスの影響の

解析　　　 (徳田 優 , 2009)

演習の内容

• 研究のための基礎訓練– 文献を探す、調べる– 分かりやすい発表

• テーマを自力で見つける能力– 何を研究すればよいのか？– なぜその研究が必要か？

• もちろん質問は歓迎– メール or 研究室（一度研究室に来て雰囲気を知ることもお勧めします）

– 今井研セミナーの見学も歓迎

研究について自分で考えることを身につける

日程• 毎週水曜日 14 ： 00から 236 にて

– 都合が悪い場合は flexible に対応します

１週目：テーマ設定

３週目：中間発表２週目：中間発表

４週目：最終発表

前もってセミナー担当の宮田 (hmiyata@is.s.u-tokyo.ac.jp) に連絡があれば１週目から発表が出来ます

学期末：真の最終発表（任意）

演習 III 研究テーマ

• 計算代数・算術計算• 暗号理論• 離散数学・計算幾何• ゲーム木探索• 量子情報科学 この他希望があれば

　　対応します

質問はメールまたは研究室 (311,314)まで

算術計算・計算代数

Vorapong (M2), 宮田 (D1)

算術計算• 関数や算術を高速化する分野

高速化したいもの

• 初等関数 足し算、引き算、掛け算、割り算• 　省エネルギー ,ケイ素の節約

•　有限体上の計算とその暗号理論への応用

• 数学関数 Bessel 関数 (電磁波 , 熱伝導 , … )

• 高精度計算 正確な計算

Picture Courtesy by http://www.lirmm.fr/arith18/, upload.wikimedia.org/wikipedia, http://en.wikipedia.org

どうやって高速化するか

• 普通は 2進表現を使って、数を格納する。 – di2i, di 2 {0,1}

• ただし、他の表現を使ったら– dibi, di 2 DS

– ひく時間　が O(n) からO(1) 　まで改善できる

– かける時間　半分になる– …

Hardware Implementation

NumberTheory

Computer Algorithm

例 :桁集合の拡張

計算代数計算機上で代数的な計算を行う方法に関する研究 例：　因数分解、多項式の方程式系の求解、

　　　イデアル所属問題など

因数分解

方程式系の求解

方程式系に解があるか厳密に判定する手法

　

方程式系 不等式系

・・・・・・

Gauss消去法 Simplex 法

線形

グレブナ基底

・・・ ・・・

非線形

Cylindrical Algebraic Decomposition [‘75 Collins]

[’85 Buchberger]

簡単

( )

難しい

( 　

)

( 代数的閉体上 ) ( 実数体上 )

講義でも習ったはず

[‘63 Dantzig]

非常に非効率で使い物にならない

目指すものの例

グレブナ基底の研究

数学の研究支援・座標環上での計算

・整数計画法の新解法　　　　　　

不等号を含むような多項式系を( ある程度 )効率的に扱う手法の確立

他分野への応用

等式系に関する既存研究： 不等式系に関するこれからの研究：

・有向マトロイドの実現不可能性判定

その他の全く新しい展開？？

・加群の極小自由分解・準素イデアル分解

・・・

・マルコフ基底を求める初めてのアルゴリズム (統計学 ) ・・・

・ semi-algebraic set の連結性判定

期待される応用

・・・

数値計算的手法の導入など ..

演習 3 の進め方について

・まず、論文の購読　　テーマ例：不等式系の扱い方、対称性を生かした高速化など

・最終週あたりで、その発展を考察　 ・さらに改良できないか　　・ 別の問題にその考え方が使えないか　　・他の手法と組み合わせられないか・

・・・

暗号理論

Vorapong (M2)

暗号理論• 安全のため数学やアルゴリズム

ALICE BOB

M

• ALICE は BOB にメッセージを送る

• BOB は送信者が ALICEかどうか調べたい

• ALICE は他の人に送ったメッセージを読まれたくない

• 誰か何万個のメッセージが BOBに送ってもまだ大丈夫

• … まだたくさんある

実装技術

暗号プロトコル

算術計算

数学

暗号理論のレイヤ

研究に必要なもの

• 抽象代数の基礎– 群、環、体、。。。– 楕円曲線暗号・超楕円曲線暗号 , …

• アルゴリズム , 計算量理論の基礎– ハッシュ関数 , デジタル署名 , …

• 線型代数の基礎 – 格子暗号 , …

• 暗号理論の基礎知識　 (RSA, … )

Picture Courtesy by ocw.mit.edu, http://academics.smcvt.edu/jellis-monaghan, math.stanford.edu

ゲーム木探索

美添 ( 研究員 )

モンテカルロ法＝モンテカルロ木探索4 月 8 日付朝日新聞 夕刊

ゲーム AI の革命

19 路盤 2級から 3級

9 路盤 2級から 3級

古典的な囲碁プログラム( 古典 =2005 年以前 )

19 路盤 2段以上

9 路盤 アマ高段並

近代的なプログラム(近代的 =2006 年以後 )

今までのアルゴリズムは、評価関数が無いとお手上げだった

囲碁だけが弱かった

2006 年 5 月に発表された MCTS によって状況が一変

9 路盤では既に複数のプログラムがプロに勝利した

19 路盤では、公開対局で、 7子のハンデでプロに勝利している・ CrazyStone 対 青葉かおり・MoGo 対 周俊勲

Alpha-beta 探索を超えるインパクト

チェス、将棋、ポーカーなどはコンピュータが非常に強い

MCTS

Monte Carlo

Tree Search

[2006 Rémi Coulom]

原始モンテカルロ囲碁[1993 Brügmann][2000ごろ Bouzy, Cazenaveら ]

黒の手番

白の手番

黒勝ちの プレイアウト白勝ちの プレイアウト

凡例

弱いけど早いプレイヤーにたくさん終局図を作らせる

(40級のプレイヤーを1000万人くらい集める ?)

…白勝ち？

当然、あまり強くない・・・でも意外と強い(9 路盤だと 10級くらい ?)

playout多数決で良い手を決める

MCTS (Monte Carlo Tree Search) の成立

「有望な手」の理論的な基準

CrazyStone [2006 Rémi Coulom]

UCT Algorithm [2006 Kocsis & Szepesvári]

MoGo [2006 Gelly, Wang, Munos & Teytaud]

UCT を用いた初のプログラム19 路盤でアマ初段程度に到達

2006Computer Olympiad囲碁 9 路盤部門で優勝

多数決じゃひどいのでちょっと工夫する 重要な概念

をほぼ網羅

勝率最大化 リードしているときは安全に、負けているときは冒険をする

全部 2006 年の出来事！

「有望な手」に集中

「有望な手」を深く読む

11 月

5 月

9 月

UCT Algorithm

与えられた枚数のコインで、できるだけ多くの報酬を得るための戦略を考えよ

Multi Armed Bandit 問題

UCB1 という戦略信頼区間上限を基準とする(Upper Confidence Bound)

[2002 Auer, Cesa-Bianchi & Fischer]

理論的背景

MCTS の発展

40級 ? 20級 ?

機械学習による playout の強化

並列化 他の 2人ゲームLines of Action, Hex,

Amazons, 将棋

一人ゲームSameGame さめがめ 多人数ゲーム

ハーツバイオメトリクス

セキュリティ評価

今なら掘り放題！

機械学習のプロ、探索のプロが多数参入

他の分野の人はまだ少ない

まだ発表されて 3 年未満！

MCTS を実装しよう ゲームでも それ以外でも

並列化しよう

理論的な貢献をしてみよう

なんでもいいからやってみよう

それができるテーマです

量子情報科学

Min-Hsiu ( 研究員 ) ，長谷川 (助教 )

量子とは？

ビット (0 or 1) の世界 量子ビット ( ) の世界

010001101001

イメージ：電子スピン

0 1210

“0” と” 1”が確率 1/2ずつで存在

リソースの違い

1,0

0 1

エンタングルメント（量子相関）（情報処理能力の向上）

1 1

操作

変化なし

変化あり操作

相関なし 相関あり

変化あり

相関あり

量子を使うと何ができるの？

量子効果よる高速化の障害！！コンピュータの高速化の限界

素因数分解アルゴリズム

exponential gap!最良の古典アルゴリズム準指数時間アルゴリズム

Shor のアルゴリズム[Shor 94]

多項式時間で解ける！

暗号理論

RSA 暗号素因数分解の難しさに安全性をおいている

（計算量理論的安全性）

BB84プロトコル [BB 84]量子力学の不完全性定理に安全性をおいている( 情報理論的安全性 )

現代の計算機 量子計算機

問題点

量子効果を積極的に利用する現代の計算機では解けない問題を解く！

解決策

安全でない！

量子情報科学の観点から

古典エントロピー（ Shannon entropy ）

量子エントロピー（ von Neumann entropy ）

0

1

0

1

雑音ありの通信路（確率 p でビット反転）

確率 1-p

1-p

p

p

x

xx ppXH log)(

どのくらい情報を送れるか？

logtr)( S 量子状態:

量子効果（エンタングルメント）によって情報量は増えるのか？

量子操作と古典・量子通信路容量との関係性は？

量子の情報処理能力が知りたい

演習 3 の課題• シャノンの古典情報理論、量子力学 ( エンタングルメン

ト、非局所性など ) の初歩を学び、量子情報理論の論文購読を行い、その発展を自分で考えて新しい評価、プロトコルを作成。– エンタングルメントを用いた / 用いない量子通信路における古典 / 量子情報伝達

– 量子通信路における秘密鍵・エンタングルメントの生成

新しい情報科学分野へようこそ

離散数学・計算幾何

夫 (M2), 奥田 (M2), 宮田 (D1), 田沼 (D1), 森山 ( 特任講師 )

離散数学って、何をするものなの

x

yz

対象 : ばらばらなものたちの組み合わせや、関係性

目的：本質的に持つ構造をとらえること

紙と鉛筆もあり、計算機は手段としても、応用のためにも非常に重要！

抽象性が高く、基礎であるがゆえに幅広い分野の研究と関連

計算幾何 計算量理論 ゲーム理論最適化

離散数学の問題の一例

• グラフ上の最小重み二部マッチング

と

のマッチングで、ペアになったものの間の距離の合計が最小になるもの

工学的な応用上でも、重要な問題

ここがミソ！

一般のグラフにおけるアルゴリズム

• 離散数学講義でやったように、普通にやれば O(n3) time できる

• アルゴリズムの大まかな流れ– 下の 1, 2 を O(n)回繰り返すというのを、 O(n)回

1.注目している青い点からもっとも「近い」赤い点を探す – O(n) time

2.探し当てた点への距離の正負に応じて、マッチングや点の重みを改善する

もっと、規則正しいようなグラフ上では？？

a

c

b

P. M. Vaidya, SIAM J. Comput., 18, 1201-1225 (1989)

L1距離のもつ、いい構造を明らかにして、利用している

• 直交格子グラフ– 幾何的な性質を使うと、 1.が O(1) でわかるようなデータ構造で、

点の追加・削除が O((log n)3) time でできるようなものを作れる

– トータルで、 O(n2(log n)3) time になる ← O((log n)n-3) の高速化！aから bまでの最短距離 = aから cまでの最短距離　 + cから bまでの最短距離

• 他のグラフについても、同じようにできないか– 私がいまやっていること

演習 III でやること演習 3 の進め方

何はともあれ論文を購読して発表してもらいます。

(英語、英語、英語・・・・と大変でしょうが、残念ながら卒論も英語なので。 )

最終週辺りで余力があればプロジェクトを自分で決めて簡単に研究してみましょう。( せっかく今井研の演習３にきてもらうので。いい経験になりますよ！！もしかしたら卒論のテーマになるかも？ )

Appendix : 今井研の宣伝 (夫の独断 )部屋が綺麗！！　先輩方が親切だ！！　突発的な飲み会が多い！！学年の垣根がなく仲が良い！！　なにより先生が面白く、情熱的で素敵だ！！( もう今井研にくる以外の選択肢はないですね。 )

具体的に、どういうことをしている論文を読むの？•計算機を使ってバリバリ数え上げるのも、紙と鉛筆で理論的に攻めるのも、どっちもアリ•前のスライドまではアルゴリズムの設計の話をしていたけど、他もアリ

• 最適化問題に挑戦• もっと、数学的な幾何構造に計算機を使ってアタック• グラフ理論