21/02/2008

Ejercicio 1

La placa rectangular OABC est compuesta por un material de mdulo de elasticidad E y coeficiente de Poison .

La placa est sometida en su contorno a las tensiones normales que se indican en la figura y a unas tensiones tangenciales positivas en los

O A

BC

5 m

3 m

400 kg/cm

400 kg/cm

400 kg/cm

800 kg/cm

x

y

lados AB y CO, que varan segn una ley parablica de segundo grado, siendo nulas en los vrtices y con un mximo de 60 kg/cm2 en la mitad de los lados.

a) Hallar el tensor de tensiones en un punto cualquiera de la placa, referido a los ejes XY con origen en el punto O. b) Hallar el tensor de deformaciones. c) Hallar la mxima distorsin angular en el punto medio de la placa e indicar en qu direccin se da. Utilizar E = 2,0x106 kg/cm2 y = 0,2.

R, 3E, 332R, E,

figura 2

R, 3E, 3

figura 3

Ejercicio 2

L

L

figura 1

La estructura de la figura 1 est formada por dos barras de largo L. La barra superior est a su vez compuesta por dos barras como se indica en la figura 2 y ambas estn unidas solamente en sus extremos. La barra inferior tiene la seccin indicada en la figura 3. Toda la estructura est sometida a su peso propio.

a) Utilizando el Mtodo de las Fuerzas o el Mtodo de los Desplazamientos, hallar y graficar campo desplazamientos, campo deformaciones unitarias, campo de tensiones y campo de fuerzas en todas las barras. b) Utilizando el Mtodo de los Elementos Finitos, hallar y graficar campo desplazamientos, campo deformaciones unitarias, campo de tensiones y campo de fuerzas en todas las barras. c) Comparar ambas soluciones. La solucin obtenida por MEF fue exacta? Por qu? Cmo podra mejorarla?

Terico 1

a) Enunciar y demostrar el teorema de Reciprocidad de Betti.

b) Se considera el disco de radio R y espesor e

PPRROOBBLLEEMMAASS DDEE BBAARRRRAASS SSOOMMEETTIIDDAASS AA DDIIRREECCTTAA

Problemas unidimensionales de barras de seccin constante y de un solo material.

Ecuacin de Navier: 0)()(22

=+

Exb

x

xu

Deformacin unitaria: x

xu

=

)(

Ecuacin constitutiva de un material Hookeano: = E

Estiramiento de una barra sometida slo a directa F: AElFl

=

EELLEEMMEENNTTOO FFIINNIITTOO DDEE DDOOSS NNOODDOOSS EENN DDIIRREECCTTAA

Ecuacin de rigidez del elemento finito: FuK =.

Vector de desplazamiento [ ]2211 ,,, vuvuue = Matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales:

=

0000010100000101

e

ee

e lAE

K

Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento (girada con un ngulo antihorario):

=

22

22

22

22

sscssc

sccscc

sscssc

sccscc

lAE

Ke

ee

e Donde: s = sen c = cos

Vector de carga por temperatura:

En coordenadas locales:

=11

TAEF eeT En coordenadas globales:

=

s

c

s

c

TAEF eeT

Vector de carga para densidad de fuerza constante

En coordenadas locales:

=

21

21

ee

T lbAF En coordenadas globales:

=

s

c

s

c

lbAF eeT

2

TTEENNSSOORR DDEE TTEENNSSIIOONNEESS CCCoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss cccaaarrrttteeesssiiiaaannnaaasss

Tensor de tensiones:

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

Tm

)(

Divergencia del tensor de tensiones:

( )

( )

( )

+

+

=

+

+

=

+

+

=

zyxT

zyxT

zyxT

zyzxzz

yzyxyy

xzxyxx

.

.

.

DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS

CCCoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss ccciii lll nnndddrrriiicccaaasss

Campo de desplazamientos: ( )zrzzrr uuueueueuu ,, =++=

Tensor de deformaciones:

=

=

zzrz

zr

rzrr

zzzrz

zr

rzrrr

DDDDDDDDD

Dm

21

21

21

21

21

21

)(

Donde: r

uD rrr

=

r

uu

rD r+

=

1

z

uD zzz

=

+

=

r

r

u

rr

u

r

uD 1

21

+

=

r

u

z

uD zrrz 21

+

=

z

uu

rD zZ

121

EECCUUAACCIINN CCOONNSSTTIITTUUTTIIVVAA DDEE UUNN MMAATTEERRIIAALL EELLSSTTIICCOO--LLIINNEEAALL,, IISSTTRROOPPOO YY HHOOMMOOGGNNEEOO

( ) ( ) ( ) ( ) IET

+

+

=

2-1E

-D 1

E + Itr(D)

211

( )

( )

( )

+

=

+

=

+

=

21E)]+( +)1[()21()1(

E21

E)]+( +)1[()21()1(E

21E)]+( +)1[()21()1(

E

2133

3122

3211

=

===

)+1(2E Gdonde

GGG

2323

1313

1212

( )[ ] IITtrTE

D ++= )(11

+=

+=

+=

)]+( - [E1

)]+( - [E1

)]+( - [E1

2133

3122

3211

=

=

=

G

G

G

2323

1313

1212

)+1(2E

=Gdonde

NNAAVVIIEERR

Ecuacin de Navier: )( )23( = b u).( )( + u +++

Donde: ( ) ( )

211 +

=E

y ( ) += 12E

Simetra de Revolucin:

=

=

=

)z,r(uu)z,r(uu

0udedependeNada

:scilindricasCoordenada

zz

rr

=

=

)z(uu)r(uu

Sizz

rr ( )u.u =

Para estos casos la ec. de Navier queda: )( )23( = b u).( )2( +++

CCCoooooorrrdddeeennnaaadddaaasss ccciii lll nnndddrrriiicccaaasss

Campo de desplazamientos: ( )zrzzrr uuueueueuu ,, =++=

Divergencia de u: ( )z

uu

rur

rru zr

+

+

=

11.

Laplaciano de u: ( )

+

= zrrr ur

uu

ru

r

uu

ruu ,

2,

22222

Sea ),,( zrff = una funcin escalar: Gradiente de f:

=z

ffrr

ff ,1,

Laplaciano de f: 2

2

2

2

211

z

ffrr

fr

rrf

+

+

=

PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE LLOOSS TTRRAABBAAJJOOSS VVIIRRTTUUAALLEESS

=+ dVD~:TdVu~.bdSu~.t