2007.10.26

用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解

问题情境：问题情境：

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条是一条 10km10km 长的线路，如何迅速查出故长的线路，如何迅速查出故障所在？障所在？

如果沿着线路一小段一小段查找，困难如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。很多。

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？最合理？

答　　案：答　　案：

1.1. 能否求解以下几个方程能否求解以下几个方程 (1) 2(1) 2xx=4-x =4-x

(2) x(2) x33+3x-1=0+3x-1=0

提出问题：

2. 能否求出它们的近似解？

3.3. 什么方法？什么方法？

4.4. 能否找到其它的方法，使解更精确？能否找到其它的方法，使解更精确？

xx

yy44

11 2200 44

y=2y=2xx

yy=4-=4-xx11

探究解法探究解法不解方程，如何求方程不解方程，如何求方程 xx22-2x-1=0-2x-1=0 的一个的一个

正的近似解（精确到正的近似解（精确到 0.10.1 ）） ? ? 方法：借助函数方法：借助函数 f(x)= xf(x)= x22-2x-1-2x-1 的图象，能的图象，能

够 缩 小 根 所 在 的 区 间 ， 并 根 据够 缩 小 根 所 在 的 区 间 ， 并 根 据f(2)<0,f(3)>0f(2)<0,f(3)>0 ， 可 得 出 根 所 在 区 间 为， 可 得 出 根 所 在 区 间 为(2,3).(2,3).

xx

yy

11 2200 33

yy==xx22-2-2xx-1-1

-1-1

如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到 0.1 ）

方法探究

- +

2 3f(2)<0 ， f(3)>0 2<x1<3

- +

2 2.5 3f(2)<0 ， f(2.5)>0 2<x1<2.5

- +

2 2.25 2.5 3f(2.25)<0 ， f(2.5)>0 2.25<x1<2.5

- +

2 2.375 2.5 3f(2.375)<0 ， f(2.5)>0 2.375<x1<2.5

- +

2 2.375 2.4375 3

f(2.375)<0 ， f(2.4375)>0 2.375<x1<2.4375

4.21 x

（（ 22 ）能否简述上述求方程近似解的过程）能否简述上述求方程近似解的过程 ??

（（ 33 ）二分法（）二分法（ bisection methodbisection method ）：象上面这种求）：象上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。常用方法。

定义如下：定义如下：对于区间对于区间 [a,b][a,b] 上连续不断、且上连续不断、且 f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 的函数的函数 y=f(x),y=f(x), 通通

过不断地把函数过不断地把函数 f(x)f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做做二分法（二分法（ bisectionbisection ））

自行探究自行探究

利用计算器，求方程 利用计算器，求方程 lglgxx=3=3 -- xx 的近似解的近似解 .. （精确到（精确到 0.10.1 ））

解：画出解：画出 yy=lg=lg xx 及及 yy=3=3 --xx 的图象，观察图象得，方程的图象，观察图象得，方程 lglgxx=3=3

-- xx 有唯一解，记为有唯一解，记为 xx ，且这个解在区间（，且这个解在区间（ 22 ，， 33 ）内。）内。

设 设 f f ((xx)=lg)=lgxx++xx -3-3

因为因为 2.56252.5625 ，， 2.6252.625 精确到精确到 0.10.1 的近似值都为的近似值都为 2.62.6 ，，所以原方程的所以原方程的近似解为近似解为 xx11≈2.6 .≈2.6 .

根所在区间根所在区间 区间端点函数值符号区间端点函数值符号 中点值中点值 中点函数值中点函数值符号符号

（（ 22 ，， 33 ）） f(2)<0f(2)<0 ，， f(3)>0f(3)>0 2.52.5 f(2.5)<0f(2.5)<0

（（ 2.52.5 ，， 33 ）） f(2.5)<0f(2.5)<0 ，， f(3)>0f(3)>0 2.752.75 f(2.75)>0f(2.75)>0

（（ 2.52.5 ，， 2.752.75 ）） f(2.5)<0f(2.5)<0 ，， f(2.75)>0f(2.75)>0 2.6252.625 f(2.625)>0f(2.625)>0

（（ 2.52.5 ，， 2.6252.625 ）） f(2.5)<0f(2.5)<0 ，， f(2.625)>0f(2.625)>0 2.56252.5625 f(2.5625)<0f(2.5625)<0

（（ 2.56252.5625 ，， 2.6252.625 ））f(2.5625)<0f(2.5625)<0 ，， f(2.625)>0f(2.625)>0

归纳总结归纳总结

用二分法求方程 用二分法求方程 ff((xx)=0)=0 （或（或 gg((xx)=)=hh((xx)) ）近似解的基本步骤）近似解的基本步骤 ::

11 、寻找解所在区间、寻找解所在区间（（ 11 ）图象法）图象法先画出先画出 yy= = ff((xx)) 图象，观察图象与图象，观察图象与 xx 轴的交点横坐标所处的范围；轴的交点横坐标所处的范围；或画出或画出 yy==gg((xx)) 和和 yy==hh((xx)) 的图象，观察两图象的交点横坐标的图象，观察两图象的交点横坐标的范围。的范围。

（（ 22 ）函数法）函数法

把方程均转换为 把方程均转换为 ff((xx)=0)=0 的形式，再利用函数的形式，再利用函数 yy==ff((xx)) 的有关性的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间。质（如单调性）来判断解所在的区间。

2 、根据精确度得出近似解

),(1 nmx 当 ，且 m, n 根据精确度得到的近似值均为同

一个值 P 时，则 x1≈P ，即求得近似解。

求方程 x3+3x-1=0的一个近似解。 (精确到 0.1)

画 y=x3+3x-1的图象比较困难，变形为 x3=1-3x，画两个函数的图象如何？

尝试练习：

解：令 f(x)=x3+3x-1, 有 f(0)<0,f(1)>0, 则方程的解在 0,1 之间。

根所在区间根所在区间 区间端点函数值符号区间端点函数值符号 中点值中点值 中点函数值符中点函数值符号号

（ 0 ， 1 ） f(0)<0 ， f(1)>0 0.5 f(0.5)>0

（ 0 ， 0.5 ）

（ 0.25 ， 0.5 ）

（ 0.25 ， 0.375 ）

（ 0.3125 ， 0.375 ）

f(0)<0 ， f(0.5)>0

f(0.25)<0 ， f(0.5)>0

f(0.25)<0 ， f(0.375)>0

0.25 f(0.25)<0

0.375 f(0.375)>0

0.3125 f(0.3125)<0

拓展练习：拓展练习：

11、、下列函数图像与下列函数图像与 xx 轴均有交点，但不宜用二轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是分法求交点横坐标的是 ( )( )

A B C D

B

22 、图象连续不间断的函数、图象连续不间断的函数 ff((xx)) 定义在定义在 [2[2 ，， 4]4] 上，上，若有若有 ff(2)·(2)·ff(4)<0(4)<0 ，要用二分法求函数，要用二分法求函数 ff((xx)) 的一个零点，的一个零点，误差不超过误差不超过 0.10.1 ，最多将进行，最多将进行 次二等分区间。次二等分区间。 解：解： 11 次等分，区间长度为次等分，区间长度为 11 ；；

22 次等分，区间长度为 ； 次等分，区间长度为 ；

33 次等分，区间长度为 ； 次等分，区间长度为 ； 2

1

1

4

55

44 次等分，区间长度为 ；次等分，区间长度为 ；

55 次等分，区间长度为 。次等分，区间长度为 。

8

1

1

16

不用计算器，求 的近似值（精确到 0.01 ） 3 3

取 a=1 ， b=2 ， f(1)= － 2<0 ， f(2)=5>0 ，x1=1.5 ， f(x1)=0.375>0 ，区间 [1 ， 1.5] ，

x2=1.25 ， f(x2)= － 0.0469<0 ，区间

[1.25 ， 1.5] ，x3=1.375 ， f(x3)=0.5996>0 ，区间

[1.25 ， 1.375] ，

3 3解：设 =x ，则建立函数 f(x)=x3 － 3 ，求f(x) 的零点的近似值。

探究练习：

xx44=1.3125=1.3125 ，， ff((xx44)=0.2610)=0.2610 ，区间，区间 [1.25[1.25 ，， 1.3125]1.3125] ，，

xx55=1.28125=1.28125 ，， ff((xx55)=0.1033>0)=0.1033>0 ，区间，区间

[1.25[1.25 ，， 1.28125]1.28125] ，，

xx66=1.26562=1.26562 ，， ff((xx66)=0.0273)=0.0273 ，区间，区间 [1.25[1.25 ，， 1.26562]1.26562] ，，

xx77=1.25781=1.25781 ，， ff((xx77)=)= －－ 0.10.1 ，区间，区间

[1.25781[1.25781 ，， 1.26562]1.26562] ，，

3 3 ∴ ∴ 1.26.1.26.

收获与体会： 通过这节课，你学到了什么？