© 2007, Президиум РАН,Фонд Осипьяна, «Квант»

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

Ю.А.Осипьян

ПЕРВЫЕ ЗАМЕСТИТЕЛИГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

С.С.Кротов, С.П.Новиков

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов,А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин,

Н.П.Долбилин(заместитель главного редактора),

В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков,А.Р.Зильберман, П.А.Кожевников,

В.В.Козлов, С.П.Коновалов, А.А.Леонович,Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов,

А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин,В.М.Тихомиров,

В.А.Тихомирова, В.М.Уроев,А.И.Черноуцан

(заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков,

В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой,

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин,

Е.Л.Сурков , Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ19 7 0 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков,В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн,

Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов,П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров,

В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,

Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов,А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий,

М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский,В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Учредители — Президиум Российскойакадемии наук, Фонд поддержки

фундаментальной науки иобразования (Фонд Осипьяна)

Бюро Квантум

Н А У Ч Н О - П О П У Л Я Р Н Ы Й Ф И З И К О - М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1 9 7 0 ГОДА

В номере:

МАЙ

ИЮНЬ Ю320

07©

2 Леонард Эйлер (к 300-летию со дня рождения).В.Тихомиров

8 Лазер – замечательное достижение XX века. П.Крюков

И З И С Т О Р И И Н А У К И

18 Бугенвилль. А.Васильев

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

19 Задачи М2041–М2050, Ф2048–Ф205721 Решения задач М2021–М2025, Ф2033–Ф204227 Победители конкурса «Задачник «Кванта» 2006 года

К М Ш

28 Задачи29 Случай с Толей Клюквиным. С.Дворянинов

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

31 С полюса – на полюс. А.Стасенко

34 От простого – к сложному. В.Эпштейн

36 Размерности и ... правило квантования Бора. Г.Бакунин

К А Л Е Й Д О С К О П « К В А Н Т А »

32 Переменный поток

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

37 Эйлер и геометрия. А.Заславский

Л А Б О Р А Т О Р И Я « К В А Н Т А »

41 Резонанс против резонанса. В.Майер

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

43 Работа газа при переходе из начального состояния вконечное. В.Можаев

46 Формулы геометрии помогают алгебре. В.Мирошин

О Л И М П И А Д Ы

51 XV Международная олимпиада «Интеллектуальныймарафон»

54 Всероссийская студенческая олимпиада по физике

И Н Ф О Р М А Ц И Я

55 Рождественская аэромодельная фиеста57 Заочная школа СУНЦ НГУ

59 Ответы, указания, решения

Н А О Б Л О Ж К Е

I Иллюстрация к статье П.КрюковаII Коллекция головоломокIII Шахматная страничка

IV Физики и математики на монетах мира

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 32

Леонард Эйлер(к 300-летию со дня рождения)

В.ТИХОМИРОВ

Жизненный путь

15 апреля 1707 года в городе Базеле (Швейцария) уПауля Эйлера и его жены Маргариты Брюкнер родил-ся мальчик, которого назвали Леонардом. В следую-щем году семья переехала в деревню Рюген, неподале-ку от Базеля, где Пауль Эйлер стал пастором еванге-лической реформистской церкви. В молодые годыПауль Эйлер занимался матема-тикой под руководством ЯкобаБернулли, старшего из матема-тиков знаменитого бернуллиевс-кого семейства. Пауль и млад-ший брат Якоба – Иоганн Бер-нулли, сыгравший большую рольв жизни Леонарда, – некотороевремя даже жили вместе в домеЯкоба. Фамилия Бернулли ещене раз появится в данной статье,и чуть позже о ней будет расска-зано подробнее.

В раннем детстве Леонард по-лучил начальные сведения о ма-тематике от своего отца, а затемего отправили в латинскую шко-лу в Базеле. Математику там непреподавали. В 1720 году три-надцатилетнего мальчика прини-мают на философский факультетБазельского университета. Эй-лер получает диплом об оконча-нии университета и затем некото-рое время пытается (без успеха) занять там должностьпрофессора логики и права. Потом он становитсястудентом теологического факультета, выполняя по-желание отца, который мечтал направить сына посвоему пути. В параллель с богословием юноша сталсерьезно занимется математикой.

Вот что он писал в своем автобиографическом очерке:«Вскоре я нашел возможность быть представленнымзнаменитому профессору Иоганну Бернулли. Он былдействительно очень занят, поэтому наотрез отказалсядавать мне частные уроки, но зато он преподал мневесьма ценный совет – начать самостоятельно читатьболее сложные математические книги, изучая их какможно более прилежно; в случае же препятствий илизатруднений я получил разрешение свободно посещатьего каждую субботу в послеобеденное время, и он

благожелательно разъяснял мне все, чего я не могпонять».

В 1724 году Эйлер защищает диссертацию, в которойсравнивает концепции естествознания Декарта и Нью-тона, и получает степень магистра искусств. В это жевремя он знакомится с двумя членами клана Бернуллиболее молодого поколения – Николаем и Даниилом.

Здесь, пожалуй, уместно дать краткую справку осемействе Бернулли. Корни этого се-мейства лежали в Голландии, новследствие религиозных преследова-ний часть семейства перебралась вГерманию, а затем в Швейцарию.Там основатель рода знаменитых уче-ных – Николай Бернулли (1623–1708) – был членом базельского Вы-сокого Совета и Суда. У Николаябыло четверо сыновей: Якоб (1654–1705), ставший профессором в Базе-ле, Иоганн (1667–1748), профессор-ствовавший в Гронингене и затем вБазеле, и еще двое, наукой не зани-мавшиеся. У Иоганна было трое сы-новей, двое из которых, Николай(1695–1726) и Даниил (1700–1782),стали друзьями Эйлера.

Иоганн Бернулли убедил отца Эй-лера в том, что истинное призваниеЛеонарда – математика и что не сле-дует препятствовать его стремлениюстать ученым, и отец согласился сэтим. В 1726 году появляется первая

публикация Леонарда Эйлера, посвященная теориизвука. С того момента разумно исчислять начало егобеспримерной творческой биографии.

Список трудов Эйлера, составленный в 1910 году,насчитывает 886 наименований различных книг, статейи заметок. В 1909 году Швейцарское общество есте-ствоиспытателей задумало издать полное собраниесочинений Эйлера. Первоначально предполагалось,что собрание будет состоять из 75 томов, и былонамерение закончить издание к середине века, потомпланировалось завершить работу к трехсотлетнемуюбилею Эйлера. Сейчас представляется возможнымзакончить этот огромный труд к 2009 году – столетиюс его начала. Уже вышли из печати 72 тома научныхтрудов (29 по математике, 33 по механике и астроно-мии и 10 по физике) и часть из заключительных восьмиИ

ллю

страция

В.Х

леб

нико

вой

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 34

томов, посвященных переписке и разного рода замет-кам. Собрание будет включать в себя порядка 160000страниц! Немыслимо даже вообразить, как все этомогло быть создано за полвека одним человеком,который последние 17 лет был почти слепым (подсчи-тано, что, для того чтобы просто переписать трудыЭйлера при ежедневной работе в течение восьми часов,потребуется 50 лет). Мне представляется, что еслисобрать все опубликованное величайшими творцаминашей науки, начиная с Архимеда и кончая Пуанкаре(исключив, впрочем, Коши), то получится собраниетрудов, лишь сопоставимое по масштабу с тем, чтобыло содеяно одним Эйлером.

Начало развития математического естествознанияпришлось на семнадцатый век, век истинных гигантов.Достаточно назвать имена Галилея, Кеплера, Декарта,Ферма, Ньютона, Лейбница и Гюйгенса. Восемнадца-тый век – век двух титанов: Эйлера и Лагранжа. В этомвеке математика была как никогда едина и развиваласьв теснейших связях с естествознанием.

В 1727 году Эйлер получает приз Парижской Акаде-мии наук. Эта академия ежегодно объявляла конкурсына работы по прикладному естествознанию. В тот годнадо было найти наилучший способ расположениямачты на корабле. Великий кораблестроитель АлексейНиколаевич Крылов, мастер яркого и запоминающего-ся слова, преклоняясь перед гением Эйлера, таквыразил свое восхищение этой инженерной работойЭйлера (она была опубликована в 1728 году): «Вгористой Швейцарии, из которой до того времениЭйлер не выезжал, он, конечно, имел случай видетькорабль не иначе как на картинках» (но с поставленнойзадачей справился). Эйлер не получил тогда первогоприза, который достался Пьеру Бугезу, чье имя сохра-нилось в истории как имя «отца морской архитекту-ры». В дальнейшем Эйлер 12 раз принимал участие вконкурсах Парижской Академии наук и неизменнобрал первые призы.

В 1725 году братья Бернулли – Николай и Даниил –прибыли в Санкт-Петербург и заняли должности:Николай – профессора физики, а Даниил – профессо-ра математики. Эйлер писал Даниилу, что у неговозникло желание также отправиться в российскуюстолицу. Даниил через некоторое время по прибытиисообщил Эйлеру, что открылась вакансия адъюнкта пофизиологии. Эйлер соглашается приехать. ИоганнБернулли в связи с отъездом трех молодых людей вРоссию писал: «Лучше несколько потерпеть от сурово-го климата в стране льдов, где приветствуют муз, чемумереть от голода в стране с умеренным климатом, вкоторой муз презирают и обижают».

Эйлер прибыл в Россию 17 мая 1727 года и пробылтам до 1741 года, когда переехал в Германию, чтобыснова вернуться в 1766 году.

Было бы неплохо, если бы кто-нибудь из историковсоставил реестр содеянного Эйлером на благо Рос-сии. Он едва ли не в одиночку обрабатывает данныепереписи населения России; пишет учебники для гим-назий; упорядочивает российскую картографию (онписал, что его трудами российская география приве-

дена «гораздо в наиисправнейшее состояние, нежелигеография немецкой земли» – кому из нас не понят-но, каких фантастических усилий это могло потребо-вать); помогает организовать службу мер и весов;занимается преподаванием в морских училищах мате-матики, астрономии, основ кораблестроения и управ-ления кораблями; дает заключения по проектам мос-тов через Неву, в том числе о кулибинском одноароч-ном мосте; постоянно выступает с докладами; пишетпопулярные статьи. Эйлер подготовил к научной ипедагогической деятельности многих крупных рус-ских ученых, таких как академики С.К.Котельников,С.Я.Румовский, М.Е.Головин; Эйлер оказывал боль-шую поддержку М.В.Ломоносову. Этот списокнескончаем, и не так легко сообразить, с деятельнос-тью кого из наших ученых за всю историю российс-кой науки можно сравнить тот исполинский труд,который был совершен Эйлером во благо нашейстраны.

Эйлер никогда не отказывался ни от какой работы ини от каких поручений. Первоначально он занял вакан-сию по медицине и добросовестно исполнял свои обя-занности. По поручению Академии наук Эйлер напи-сал «Руководство к арифметике» (1738), сыгравшеевыдающуюся роль в математическом просвещении внашей стране, а также двухтомную монографию «Мор-ская наука», изданную в Петербурге в 1749 году.

Что же касается поручений, то трудно удержаться ине процитировать А.С.Пушкина, который писал, что в1740 году, «когда родился Иоанн Антонович, импе-ратрица Анна Иоанновна послала к Эйлеру приказа-ние составить гороскоп новорожденному. Эйлер снача-ла отказывался, но потом вынужден был повиноваться.Он занялся гороскопом вместе с другим академиком.Они составили его по всем правилам астрологии, какдобросовестные немцы, хотя и не верили ей. Заключе-ние, выведенное ими, испугало обоих математиков – иони послали императрице другой гороскоп, в которомпредсказывали новорожденному всякие благополучия.Эйлер сохранил, однако ж, первый и показывал егоК.Г.Разумовскому, когда судьба несчастного ИоаннаАнтоновича свершилась».

В Петербурге Эйлер создал свою семью. В 1733 годуон женился на Екатерине Гзель. Она была дочерьюживописца родом из Швейцарии. Екатерина родилаЭйлеру тринадцать детей, но лишь пятеро – три сынаи две дочери – пережили ранние годы. Эйлер оченьлюбил детей, играл с ними, учил их. И работал непрерываясь. Современники вспоминают, как он писалсвои труды, держа на коленях ребенка, когда другиедети резвились вокруг него. Потомки детей Эйлераиграли заметную роль в российской культуре XIX века.

В 1733 году Даниил Бернулли вернулся в Базель, иЭйлер занял положение ведущего математика в Петер-бургской Академии наук.

В 1735 году у Эйлера начались проблемы со здоро-вьем: он едва не умер от лихорадки и начал слепнуть.

В 1736 году был завершен его труд по механике, вкоторой впервые Эйлер выразил ньютоновскую дина-мику средствами математического анализа. С той поры,

собственно, и началась современная эра этой естествен-но-научной дисциплины.

К концу десятилетия положение в России осложни-лось, и Эйлер принял предложение переехать в Бер-лин. 29 мая 1741 года Эйлер увольняется со службы вРоссии и переезжает в Потсдам. Известен рассказ отом, что первое время в Германии Эйлер был необычномолчалив. Когда он был спрошен о причинах этого,ученый ответил: «Я приехал из страны, где вешаюттех, кто много разговаривает».

По поводу того, как жилось Эйлеру в Германии,пишут разное. Одни – что сам Эйлер считал эти годылучшими в своей жизни, иные рассказывают о трудно-стях, которые он испытывал там (отношения Эйлера скоролем Фридрихом II были непростыми). Но так илииначе, великий ученый написал в эти годы 380 книг истатей о дифференциальном исчислении, вариацион-ном исчислении, расчетах планетарных орбит и траек-тории Луны, о баллистике, строении судов и о многомином еще.

Отметим три великих труда Эйлера, выполненных вГермании, – они до нынешнего времени сохранили своезначение. Это знаменитый мемуар «Метод нахождениякривых линий…», изданный в 1744 году, в которомбыли заложены начала вариационного исчисления, идва его знаменитых труда по анализу: «Введение ванализ» (1748) и «Дифференциальное исчисление»(1755). В сороковые годы Эйлер становится членомЛондонского Королевского общества и ПарижскойАкадемии наук. В эти же годы он получает своюзнаменитую формулу, связывающую число вершин,ребер и граней выпуклого полиэдра, – один из наибо-лее известных его результатов. В период между 1760 и1762 годами он пишет свои «Письма к немецкойпринцессе...» (их число равняется 234), в которыхпреподает уроки математики принцессе Ангальт-Дес-сауской – племяннице короля Фридриха II. Вне всяко-го сомнения, это наиболее успешное в восемнадцатомвеке популярное издание, посвященное изложениюоснов математики и естествознания.

В Германии Эйлер прожил 24 года. И вернулся вРоссию. Последний период его жизни был такженеобычайно продуктивен. Он издал два тома «Алгеб-ры» (1768–1769), три тома «Интегрального исчисле-ния» (1768–1770), три тома «Диоптрики» (1760–1771), три тома «Писем к немецкой принцессе...»(1768–1774), огромную «Новую теорию Луны» (1772).

Но в эти же годы ему довелось перенести тяжелыеиспытания. В 1771 году в доме Эйлера случилсяпожар. Ему удалось спастись только благодаря героиз-му его слуги и сохранить лишь математические рукопи-си. Екатерина II восполнила материальный ущерб. В1776 году умерла жена. И в том же году он полностьюлишился зрения. Но он работал до последней минуты.18 сентября 1783 года Эйлер провел перед обедомтрудные вычисления. Пообедал, потом попросил при-нести ему внука. Внезапно он почувствовал себя дурно.Сказал: «Я умираю», и, как написал Ж.Кондорсе внекрологе, «...il cessa de calculate et de vivre» – онперестал вычислять и жить.

Научное творчество

Нам предстоит дать краткий обзор эйлерова творче-ства, которое, по словам А.Н.Крылова, «изумительнои в науке беспримерно».

Скажу сначала несколько общих слов. Эйлеру дове-лось разработать планировку здания и из отдельныхкирпичей и блоков, созданных его предшественника-ми, начать строительство грандиозного строения, вкотором объединены естествознание и математика.Большинство ветвей математической науки были лишьтолько обозначены – алгебра, аналитическая геомет-рия, тригонометрия, дифференциальное и интеграль-ное исчисления, дифференциальные уравнения, меха-ника и многое другое, и ничто не имело систематичес-кого описания. Эйлер научил всех нас пониманию сутиэтих разделов математики и создал язык, на котороммы и поныне все разговариваем. Как не привести здесьслова Лапласа: «Читайте Эйлера – он учитель всехнас». Сейчас мы уже не читаем Эйлера, но есливзглянуть на его труды, то убеждаешься, что учебники,по которым учились наши учителя в первой половинеXX века, – это переработка эйлеровских текстов.Сейчас на это наслоилось многое, связанное с влияниемидей Г.Кантора, но истинная суть осталась в нашейнауке после трудов Эйлера фактически без изменений.

Начать хотя бы с символики. Для обозначения фун-кциональной зависимости Эйлер стал употреблять сим-вол ( )f x (с 1755 года); он ввел букву Σ для обозна-чения суммирования (1755); ему же принадлежатсимволы cos (1748) и tg (1753) для тригонометричес-ких функций. Три основных числа – е, π и i –получили свои имена после того, как их стал упот-реблять Эйлер: е – с 1736 года; π раньше (в 1706году) впервые употребил Джонс, но символ закре-пился в литературе после того, как начиная с 1736года его постоянно стал использовать Эйлер; символi Эйлер ввел в 1777 году.

Впервые с творчеством Эйлера мы встречаемся вшкольные годы на уроках геометрии и на кружках. Мыузнаем, что точка пересечения высот, точка пересече-ния медиан и центр описанной окружности треуголь-ника (рис.1) лежат на одной прямой, называемойпрямой Эйлера (впер-вые она появилась уЭйлера в 1765 году), атакже, что середины сто-рон треугольника, ос-нования его высот и се-редины отрезков от вер-шин до точки пересече-ния высот лежат на од-ной окружности, назы-ваемой окружностью девяти точек, или окружностьюЭйлера (рис.2). Решая многие красивейшие геометри-ческие задачи, нередко мы не догадываемся, что онивпервые появились в сочинениях Эйлера. Например,Эйлер нашел связь между расстоянием ρ между цен-трами вписанной и описанной окружностей и их ради-усами r и 2 2: 2R R Rrρ = − , откуда следует неравен-ство Эйлера: 2R r≥ .

Л Е О Н А Р Д Э Й Л Е Р 5

Рис. 1

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 36

В школьных круж-ках много времениуделяют теории чи-сел. Теория делимо-сти началась с иссле-дований Ферма, с его«малой теоремы»,согласно которойесли число а не де-

лится на простое число р, то число 1 1pa − − всегдаделится на р. Эйлер нашел для этой теоремы несколь-ко различных доказательств и обобщил ее на случай,когда р взаимно просто с а. Достижения Эйлера вобласти теории чисел трудно переоценить. Помимомножества доказанных им теорем, он оставил буду-щим поколениям большое число «экспериментальныхнаблюдений», которые потом превратились в строгодоказанные теоремы. Так было, например, с разложе-нием в простую дробь корня квадратного из натураль-ного числа, не являющегося квадратом. На числен-ных примерах Эйлер обнаруживает периодичностьнепрерывных дробей, представляющих такие числа.Факт периодичности был доказан Лагранжем. Эйлерэкспериментально пришел к квадратичному законувзаимности. Доказательство его – одно из высшихдостижений Гаусса. В переписке Эйлера с Христиа-ном Гольдбахом можно найти обсуждение трех заме-чательных проблем теории чисел: всякое нечетноечисло есть сумма трех простых, четное – сумма двухпростых, нечетное – сумма простого и удвоенногоквадрата целого числа (Эйлер проверил эту гипотезудо 2500). Эйлер развенчивает гипотезу Ферма, со-гласно которой числа вида 22 1

n

+ – простые, обнару-жив, что 322 1 4294967297 641 6700417+ = = ⋅ .

Если просматривать любые математические энцикло-педии, никто не сравнится с Эйлером по числу задач,формул, понятий, которые носят имя их первооткры-вателя. Приведем примеры.

Эйлер явился основоположником теории графов,решив в 1736 году задачу о кенигсбергских мостах (вматематической энциклопедии она идет под рубрикойЭйлера задача). На реке Прегель, протекающей через

город Кенигсберг и омывающей два острова, былопостроено семь мостов (рис. 3). Эйлер задумался надвопросом: можно ли обойти все мосты, пройдя покаждому из них только один раз, и вернуться висходную точку? Это – один из очень многих вопросов,на первый взгляд не имеющих никакой практическойпользы, которые вызывали любопытство Эйлера. Емупринадлежат замечательные слова: «Математика ни-когда не достигла бы такой степени совершенства, еслибы древние не посвятили столько сил развитию вопро-

сов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за ихмнимой бесполезности». Ныне теория графов – одна изактуальных областей науки. (Эйлер доказал, что граф,связанный с кенигсбергскими мостами, нельзя-такиобойти и вернуться в исходную точку, пройдя покаждому ребру лишь однажды.)

В 1740 году Эйлер доказал существование пределапоследовательности

( )1

1

ln 1n

nk

x k n−

=

= − +∑ .

Для этого предела, часто обозначаемого буквой С иназываемого постоянной Эйлера, был придуман алго-ритм, позволяющий вычислять его с любым числомзнаков. Все константы Эйлер вычислял обычно сбольшим числом знаков. Например,

С = 0,577215664901532...

В 1743 году Эйлер установил равенства, связываю-щие тригонометрические функции с показательнойфункцией, и, в частности, получил формулу 1ie π = − .Эта формула Эйлера многократно признавалось кра-сивейшей формулой во всей математике. Помню, какоепотрясающее впечатление она произвела на меня,когда я увидел ее впервые. А.Н.Крылов видел в этойформуле символ единства всей математики, ибо в ней«–1 представляет арифметику, i – алгебру, π – геомет-рию и е – анализ». Формула Эйлера базируется наследующем фундаментальном равенстве, также при-надлежащем ему: cos sinixe x i x= + .

Эйлер доказал равенство

( ) ( ) 1

1

1s s

n p

s n p−− −

≥

ζ = = −∑ ∏ ,

где произведение берется по всем простым числам р.Это тождество, верное при вещественной части s боль-шей единицы, было найдено Эйлером в 1737 году. Посути дела, Эйлер тем самым ввел функцию, впослед-ствии получившую название дзета-функции Римана;произведение, представляющее дзета-функцию, назы-вают произведением Эйлера.

Эйлер подходил к математическим проблемампростодушно, как бы играючи. Ему было известноразложение в ряд синуса, откуда следует, что

2 4sin1

6 120x x x

x= − + −K С другой стороны, у этой

функции нули в точках kπ , и Эйлер бесхитростнопредставляет ту же функцию в виде произведения,

как будто это многочлен: 2 4

2 2

sin1 1

4

x x xx

= − −

π π K

Раскрывая скобки, он получает формулы для

( )2 , 1k kζ ≥ . В частности,

2 4

2 41 1

1 1,

6 90n nn n

∞ ∞

= =

π π= =∑ ∑ .

И вообще, число последовательностей, исследован-ных Эйлером, необычайно велико. Например, он рас-смотрел последовательность чисел nz , названных впос-ледствии, в честь известного математика XIX века,

Рис. 2

Рис. 3

числами Каталана. Эти числа – 2, 5, 14, 42... –возникают во многих задачах. В частности, n-е числоКаталана равно числу способов соединить на окруж-ности 2n точек непересекающимися хордами. Эйлер

нашел формулу для них: ( )

( )4 2 !!!!

1 !nn

zn

−=

+, где

( ) ( )4 2 !!!! 2 6 10 4 2n n− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −K (умножение чисел от2 до 4n – 2 «через четыре»). Он очень гордился этойформулой.

Огромен вклад Эйлера в широко понимаемый мате-матический анализ, куда включаются вещественный икомплексный анализ, теория дифференциальных урав-нений, вариационное исчисление, дифференциальнаягеометрия, уравнения математической физики. Числофундаментальных понятий и фактов анализа, которыевпервые появились в сочинениях Эйлера, исчисляютсясотнями. Вот некоторые из них:

эйлеровы интегралы – это так называемые бета- игамма-функции, обобщающие понятие биномиальныхкоэффициентов;

подстановки Эйлера в интегральном исчислении –подстановки, приводящие к возможности проинтегри-ровать выражения вида ( ),R x y dx∫ , где

2y ax bx c= + + , а ( ),R x y – отношение двух поли-номов;

уравнение Эйлера – важнейшее необходимое усло-вие экстремума в вариационном исчислении;

числа Эйлера nE – коэффициенты при !

ntn

при

разложении в степенной ряд функции 1ch t

( ch2

t te et

−+= – гиперболический косинус),они игра-

ют важную роль в прикладном анализе;формулы Эйлера – формулы для радиусов кривиз-

ны нормальных сечений.Все сказанное и многое другое, связанное с именем

Эйлера, составляют существеннейшую долю современ-ного математического образования.

Личность

Эйлер был необыкновенно светлой, благороднойличностью. Душевная красота его отразилась во мно-жестве его поступков. Так, Эйлеру удалось доказатьодну красивейшую теорему из теории чисел, формули-ровка которой принадлежала Ферма. Эта теоремагласит: простое число представимо в виде суммыквадратов двух натуральных чисел тогда и толькотогда, когда при делении на четыре оно дает единицу(как 5 или 17). Ферма не опубликовал доказательства,написав лишь в одном из писем, что основная идея егодоказательства состоит в методе спуска, позволяющемиз допущения, что для некоторого простого числа вида4n + 1 заключение теоремы неверно, доказать, что ононеверно и для меньшего числа того же вида. Поступаяаналогично, мы приходим к тому, что заключениетеоремы неверно для числа 5, а значит, приходим кпротиворечию, потому что оно-то представимо в видесуммы двух квадратов. Эйлер, желая утвердить при-оритет Ферма, к которому он испытывал глубочайшееуважение, придумал доказательство, соответствующее

описанному только что замыслу Ферма. Эйлер передо-казал результат Ферма, что уравнение 4 4 4x y z+ = вцелых числах неразрешимо, а потом доказал эту теоре-му для третьих степеней и тем самым повлиял наинтерес математиков к великой теореме Ферма.

Переписка Эйлера составляет несколько тысяч пи-сем. Почти все современники Эйлера, интересовавши-еся математикой и естествознанием, делились с нимплодами своих размышлений, просили высказать своесуждение по интересующим их проблемам и всегданаходили отклик и поддержку.

Когда Лагранж в 1759 году (ему было тогда 23 года)посвятил Эйлера в свои исследования в новой областианализа, которую позже Эйлер назовет вариационнымисчислением, Эйлер сразу же ответил своему молодомуколлеге. «Твое аналитическое решение изопериметри-ческой проблемы, – писал он, – содержит, насколькоя вижу, все, что только можно желать в этой области,и я чрезвычайно рад, что эта теория, которой послемоих первых попыток я занимался едва ли не один,доведена до величайшего совершенства. Важность воп-роса побудила меня к тому, что я с помощью твоегоосвещения сам вывел аналитическое решение; я, одна-ко, решил скрывать это, пока ты не опубликуешь своирезультаты, так как я никоим образом не хочу отниматьчасть заслуженной тобою славы». Не устаю восхи-щаться таким поразительным и почти беспрецедент-ным благородством великого ученого.

Необыкновенная щедрость и благородство Эйлераотразились в известной шутке, касающейся самогоопределения – кого следует считать математиком.Определение математика, согласно этой шутке, индук-тивно. Основание индукции составляет утверждение:«Эйлер – математик». И далее: математиком называет-ся человек, которого математик называет математиком.При этом можно быть почти уверенным, что человек,сделавший в математике что-то содержательное, будетматематиком в смысле этого определения. Но если вначальной позиции взять другого математика, списокможет оказаться далеко не полным.

В замечательной книге С.Г.Гиндикина «Рассказы офизиках и математиках» в главе об Эйлере (которуюя очень рекомендую читателю) рассказывается о том,что в 1899 году на общем собрании ПетербургскойАкадемии наук обсуждался вопрос о сооружении па-мятника Эйлеру в Петербурге. Против этого реши-тельно выступил академик Н.Я.Сонин. Не буду по-вторять его аргументы, мне даже трудно представитьсебе, что такое было возможно. Я считаю, что памят-ник Эйлеру нужен прежде всего нам самим. В нашейистории было так много случаев, когда происходилоглумление над великими учеными, столько раз ихтравили, гнали из страны, а то и просто уничтожали,что памятник одному из величайших гениев человече-ства, благороднейшей и светлой личности, которыйизбрал нашу страну и наш великий город, чтобы внем жить и где ему было суждено умереть, простонеобходим. Пусть этот памятник станет предметомнашей гордости.

Л Е О Н А Р Д Э Й Л Е Р 7

Лазер – замечательноедостижение XX века

П.КРЮКОВ

Введение

В ХХ веке успехи физики и наукоемких технологийпривели к достижениям, радикально повлиявшим нажизнь человеческого общества. Это – создание атом-ной бомбы, овладение атомной энергией с помощьюядерных реакторов и изобретение транзистора. Сюдаже можно добавить создание в 1960 году принципи-ально нового источника света – лазера, обладающегоудивительными свойствами.

Лазер способен испускать свет с очень узким спект-ром (монохроматическое излучение) в виде направ-ленного пучка. Высокая направленность пучка лазер-ного излучения, т.е. малое увеличение площади сече-ния пучка при увеличении дистанции, на которое онраспространяется, означает, что энергию излученияможно передавать на значительные расстояния и кон-центрировать ее с помощью фокусирования подходя-щей оптической системой. Успехи в разработке лазе-ров разных типов позволили получить значительныеэнергии и мощности лазерного излучения.

Становятся реальностью и предание об Архимеде,сжигающем римский флот сфокусированными сол-нечными лучами, и фантастические описания Г.Уэл-лса и А.Толстого. Действительно, в настоящее времяв США создается мощный химический лазер, разме-щаемый на самолете «Боинг-747». С помощью этойсистемы предполагается уничтожать баллистическиеракеты на взлете на расстоянии около 100 миль. Вобычной жизни лазеры также получают широкое рас-пространение. Они применяются в медицине, в про-мышленности (прецизионная резка и сварка), в но-вейших устройствах электроники (DVD проигрыва-тели, компьютеры), в системах волоконно-оптическойсвязи и в лазерном шоу.

Но, пожалуй, главные применения – это научныеисследования. Высокие научные результаты отмеча-ются Нобелевскими премиями, и их присуждение яв-ляется определенным показателем важности работы.В 1964 году Ч.Таунс, Н.Г.Басов и А.М.Прохоровбыли награждены Нобелевской премией по физике завклад в создание лазера. С тех пор почти третьНобелевских премий по физике присуждались за ра-боты, связанные с использованием лазеров.

Научное применение лазеров в значительной степе-ни связано с тем, что излучение может быть сосредо-точено в весьма узком диапазоне длин волн, инымисловами, оно высоко монохроматично и представляет

собой чрезвычайно узкую спектральную линию. Этообеспечивает исключительно высокую точность спект-ральных измерений, что, в свою очередь, очень важнодля изучения строения вещества.

С другой стороны, лазерное излучение может бытьсосредоточено в весьма короткой вспышке – импуль-се. Это позволяет получить высокую пиковую мощ-ность излучения (энергия, деленная на интервал вре-мени, в котором она сосредоточена).

За счет высокой направленности светового пучкаможно сфокусировать излучение в пятне, размерыкоторого близки к длине волны лазерного излучения.В результате удается сосредоточить огромную мощ-ность излучения в малом объеме вещества и получитьочень высокие температуры – порядка миллионовградусов.

Таким образом, на короткий промежуток временилазерного импульса можно реализовать в лаборатор-ных условиях состояния вещества, близкие к тем, чтоимеют место при ядерном взрыве или вблизи астро-физических объектов (звезды, черные дыры).

Можно задать вопрос: где самое холодное место вмире? Возможный ответ – в глубинах космоса –будет неверен. Самые низкие температуры (отличаю-щиеся на миллионные доли градуса от абсолютногонуля) получаются, как это не удивительно, тоже спомощью лазеров.

Дело в том, что лазерный свет способен сообщатьдвижение атомам. Можно так подобрать взаимодей-ствие лазерного света с атомом, что его движениезамедлится и он остановится. Удается создать целуюсистему таких «остановленных» атомов. Посколькутемпература определяется скоростями движения, та-кая система будет обладать сверхнизкой температу-рой. Вещество при столь низких температурах пере-ходит в особое состояние – так называемый бозе-эйнштейновский конденсат. Отметим, что исследова-ния в этой области тоже были удостоены Нобелевскойпремии.

В предлагаемой вниманию читателей статье, излага-ется краткая история создания лазера, обсуждаютсяпринцип действия и особенности лазера, перечисля-ются некоторые типы лазеров с указанием их областиприменения. Особое внимание уделяется лазерам, спо-собным генерировать импульсы ультракороткой дли-тельности, и применениям, связанным с этой особен-ностью лазеров.

Принцип действия лазера

История создания лазера тесно связана с историейрадио. С момента появления генераторов радиоволнбыло ясно, что они принципиально отличаются отисточников света не только длиной волны. Дело втом, что излучаемый свет обычных источников света– таких как Солнце, газонаполненные лампы и лам-пы накаливания – обусловлен совокупностью незави-симых, т.е. несогласованных между собой, процессовиспускания света каждым атомом (молекулой) излу-чающего тела. Напротив, радиоволны обусловленыединообразным, стройным движением электронов ввиде электрических токов. Иными словами, излуче-ние, испускаемое передатчиком радиоволн, являетсяв высшей степени когерентным, что означает согласо-ванность в пространстве и во времени амплитуды ифазы колебаний в волне. Высокая степень когерент-ности обусловлена тем, что для получения радиоволниспользуются генераторы, которые способны созда-вать непрерывные (на протяжении работы генерато-ра) колебания в виде синусоиды. Очевидно, что всепериоды синусоиды согласованы между собой. Прин-ципиальная особенность лазера состоит в том, что онтакже является генератором, в котором испусканиесвета отдельными атомами (молекулами) происходит,в отличие от обычных источников света, строго согла-сованно. Образно излучение обычного источника све-та можно представить себе как ревущую толпу настадионе, а излучение лазера – как ту же толпу, нопоющую в унисон.

Генератор электромагнитных волн включает коле-бательную систему с источником энергии для своеговозбуждения, которая определяет период и частоту, иположительную обратную связь. Известно, что влюбой колебательной системе, предоставленной са-мой себе, колебания затухают из-за неизбежных по-терь. Для получения непрерывных колебаний необхо-димо скомпенсировать эти потери. Положительнаяобратная связь означает, что некоторая часть энергииколебаний выводится наружу, усиливается и вновьвозвращается в колебательную систему в нужной фазе.Если эта возвращенная энергия равна сумме энергии,теряемой в колебательной системе, и энергии, выве-денной наружу, то в колебательной системе будутподдерживаться непрерывные, незатухающие колеба-ния. Итак, для работы генератора требуется усилениеи положительная обратная связь.

Развитие физики ХХ века привело к осознаниюфакта, что атомы и молекулы являются системамиколебаний с определенными частотами, характерны-ми для каждого вида атомов и молекул, и способныпоглощать или испускать электромагнитные волны сэтими частотами. Согласно модели Бора, эти частотысоответствуют переходам между определенными энер-гетическими состояниями (уровнями) атома с испус-канием или поглощением порции (кванта) излучения,причем частота и, соответственно, длина волны опре-деляются разностью энергий этих состояний. Такиекванты излучения получили название фотонов. А.Эйн-штейн описал взаимодействие фотона с атомом. Для

простоты рассматривались два уровня с энергиями1E , соответствующей основному состоянию, и 2E ,

соответствующей возбужденному состоянию (рис.1).При взаимодействии с фотоном с энергией

2 1h E Eν = - , где h – постоянная Планка, а ν –частота света, атом переходит из основного состоянияв возбужденное с поглощением фотона (см. рис. 1, а).Из возбужденного состояния атом может возвратить-ся в основное состояние с испусканием фотона. Такойпроцесс Эйнштейн назвал спонтанным излучением(см. рис. 1, б), поскольку он происходит сам по себе сопределенной вероятностью. Но Эйнштейн предполо-жил, что в основное состояние атом может перейти ипод действием внешнего фотона. Этот процесс Эйнш-тейн назвал вынужденным излучением (см. рис. 1, в).Причем испускаемый фотон в точности идентичентому, который его вызывает (частота, направление,поляризация). Таким образом, вместо одного фотонаполучаются два точно таких же. В случае многихатомов возникает принципиальная возможность «раз-множения» фотонов, т.е. усиления света, взаимодей-ствующего с соответствующей системой атомов. Это –ключевой момент для реализации лазера.

Однако, фотоны вынужденного излучения такжепоглощаются атомами, находящимися в основном со-стоянии. Для работы генератора необходимо, чтобыусиление превышало потери (поглощение и уход фо-тонов за пределы излучаемой среды). Но в обычныхусловиях поглощение превосходит усиление. Причи-на в том, что число фотонов, испускаемых в результа-те вынужденного излучения, и число поглощаемыхфотонов определяются числом атомов, находящихсяна соответствующих уровнях, т.е. населенностью уров-ней. В условиях теплового равновесия зависимостьнаселенностей от температуры описывается форму-лой Больцмана

2 1

2 1

E E

kTn n e

--

= ,

где 2n и 1n – населенности верхнего и нижнегоуровней с энергиями 2E и 1E соответственно, Т –абсолютная температура, k – постоянная Больцмана.Из этой формулы видно, что при повышении темпе-ратуры растет населенность верхнего уровня, хотяона тем меньше, чем больше его энергия, т.е. чемвыше он расположен над основным уровнем. Однако

Рис. 1. Двухуровневая квантовая система

Л А З Е Р – З А М Е Ч А Т Е Л Ь Н О Е Д О С Т И Ж Е Н И Е X X В Е К А 9

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 310

населенность верхнего уровня остается меньше насе-ленности нижнего. Соответственно, при тепловом рав-новесии поглощение фотонов с энергией 2 1h E Eν = -

будет превалировать над вынужденным излучением.Отметим, что помимо атомов, указанные процессымогут также происходить в молекулах, ионах, полу-проводниках.

Для того чтобы получить усиление за счет вынуж-денного излучения, необходимо, чтобы населенностьверхнего уровня превосходила населенность нижнего.Требуется вывести систему из теплового равновесияпутем некоторого внешнего воздействия так, чтобынаселенность верхнего уровня оказалась выше насе-ленности нижнего. Такое состояние называется ин-версной населенностью, а вещество, в котором онаполучается, – активной средой.

Впервые инверсная населенность в молекулах ам-миака и генерация электромагнитных волн с помощьювынужденного излучения были получены в радиодиа-пазоне частот Ч.Таунсом (США), Н.Г.Басовым иА.М.Прохоровым (СССР). Созданный ими приборполучил название мазера, или молекулярного генера-тора. Вскоре после этого Т.Майман (США) создалприбор, работающий в видимом диапазоне, – лазер.

Рассмотрим на примере первого лазера, использую-щего кристалл рубина, как можно осуществить инвер-сную населенность. При этом отметим, что в реаль-ных веществах энергетические уровни обычно имеютнекоторую ширину, т.е. им соответствует некоторыйразброс энергии. Соответственно, переходы междутакими широкими уровнями происходят не на фикси-рованной частоте ν , а с некоторым разбросом часто-ты ∆ν , т.е. в виде спектральных линий. Более того,многие уширенные уровни могут сливаться, образуяширокие зоны энергии. Это проявляется в широкихполосах спектров излучения и поглощения.

Кристалл рубина представляет собой кристалличес-кую окись алюминия ( 2 3Al O корунд) с малой приме-сью ионов хрома (не более 5%), которые и придаютрубину розовый цвет. Спектроскопические исследо-вания показали, что эти ионы имеют систему энерге-тических состояний, упрощенная схема которой по-казана на рисунке 2. Рубин поглощает свет в оченьширокой полосе сине-зеленой области спектра и ис-пускает свет (люминесценция) в виде довольно узкойспектральной линии с максимумом на длине волны694,3 нм. При этом эффективность процесса переда-

чи энергии поглощенного света свету люминесценцииоказалась очень высокой – практически каждый фо-тон поглощенного света превращается в фотон люми-несценции. Этот процесс происходит следующим об-разом (см. рис.2). После поглощения света происхо-дит переход из основного состояния 1 в широкуюобласть энергий возбуждения 2, из которой эта энер-гия быстро передается на довольно узкий уровень 3.Это так называемый безызлучательный переход, по-скольку он не сопровождается испусканием света.Возбужденные ионы хрома могут находиться (жить)в состоянии 3 довольно долго, около 3 мс, преждечем возвратятся в основное состояние с испусканиемфотона люминесценции. Это так называемый мета-стабильный переход.

Таким образом, при освещении кристалла рубинасине-зеленым светом происходит обеднение основногоуровня 1 с накоплением возбужденных ионов на уровне3. Если интенсивность возбуждающего света доста-точно высока, то населенность уровня 3 может ока-заться большей, чем населенность уровня 1. Возник-нет инверсная населенность, нужная для полученияусиления. Эта схема получения инверсной населенно-сти называется трехуровневой системой. Ее недостат-ком является необходимость перевода с основногоуровня более половины частиц, что требует высокойинтенсивности возбуждающего излучения (рубин ос-вещался с помощью мощной импульсной лампы).

Более эффективной является четырехуровневая си-стема создания инверсной населенности, изображен-ная на рисунке 3. Между основным и метастабиль-ным уровнями находится дополнительный уровень 4,

с которого происходит быстрый переход на основнойуровень. Если этот дополнительный уровень располо-жен достаточно высоко над основным, то, согласноформуле Больцмана, его населенность будет невысо-ка и для получения инверсной населенности по отно-шению к нему потребуется меньшая населенность ме-тастабильного уровня. Это, в свою очередь, приведетк уменьшению мощности возбуждающего света (на-качки). Современные лазеры работают, как правило,по такой четырехуровневой схеме накачки.

Итак, мы имеем инверсную населенность, необходи-мую для получения усиления за счет вынужденногоизлучения. Но для генерации требуется еще положи-тельная обратная связь. Для ее осуществления необхо-Рис. 2. Упрощенная схема уровней рубина

Рис. 3. Четырехуровневая система создания инверс-ной населенности

димо возвратить в активную среду излучение в нуж-ной фазе. Это можно сделать с помощью зеркал.Пусть среда с инверсной населенностью (активнаясреда) имеет длину l, тогда при прохождении черезнее света с интенсивностью 0I интенсивность будетрасти в геометрической прогрессии: 0

lI I eα= , где α –

коэффициент, характеризующий рост интенсивностиза счет усиления. Поместим теперь активную средумежду двумя параллельными зеркалами с коэффици-ентами отражения 1R и 2R (рис. 4, а). Посмотрим,

как изменится интенсивность света 0I после полногообхода пути между зеркалами (рис.4,б) из точки А.После двух отражений и двойного прохождения слояактивной среды интенсивность станет 2

0 1 2lI R R e α . Ге-

нерация получается при условии, что интенсивностьвозвращенного света не меньше начальной интенсив-ности, т.е. если 2

0 1 2 0lI R R e Iα³ , где знак равенства

означает условие порога генерации. Обычно величина1lα = , следовательно, 1leα α» - , тогда условие по-

рога генерации принимает вид ( )1 2 1 2 1R R lα- = .Однако надо иметь в виду, что при последователь-

ных обходах волны станут интерферировать. Резуль-тат интерференции зависит от разности фаз послеотражений, которая определяется расстоянием междузеркалами. Для тех волн, длины которых целое числораз укладываются на длине между зеркалами, интер-ференция приведет к сложению амплитуд волн, т.е. кконструктивной интерференции (рис.4,в). Именно дляэтих волн сможет выполняться условие порога гене-рации. Напротив, волны с другой длиной будут ос-лабляться. Таким образом, система двух параллель-ных зеркал является резонатором, причем резонанс-ные длины волн резλ определяются расстоянием меж-ду зеркалами: рез 2n Lλ = , где L – расстояние междузеркалами, а n – целое число. Соответствующие час-тоты ( )2n nc Lν = называются модами оптическогорезонатора. Поскольку Lλ = , существует множе-ство мод, причем частотный интервал между соседни-

ми модами равен ( )2c L∆ν = . Отметим, что использо-вать систему двух параллельных зеркал в качестверезонатора электромагнитных волн предложил и про-демонстрировал А.М.Прохоров. В оптике система двухзеркал известна как интерферометр Фабри–Перо. Ониспользуется в качестве прибора с высоким спект-ральным разрешением – за счет многолучевой интер-ференции лишь узкие линии проходят через него.Резонатор лазера часто называют резонатором Фаб-ри–Перо.

Обычно в лазерах расстояние между зеркалами со-ставляет около 1 м, и межмодовый интервал оказыва-ется значительно меньше ширины линии усиленияактивной среды. Поэтому условие генерации выпол-няется для многих мод, частоты которых попадают влинию усиления, как показано на рисунке 5. Важно,

что волны всех мод распространяются в одном на-правлении – перпендикулярном плоскости зеркал.Это объясняет высокую направленность пучка излу-чения лазера.

Итак, с помощью резонатора можно осуществитьположительную обратную связь и получить генера-цию на оптических частотах. Поскольку условие са-мовозбуждения может выполняться для многих мод,лазер дает излучение на многих эквидистантно распо-ложенных, т.е. находящихся на одинаковых расстоя-ниях друг от друга, частотах. Такой режим работылазера называется многомодовой генерацией. Шириналинии спектра в одной моде чрезвычайно мала, пото-му что при многолучевой интерференции и усилениипроисходит обострение зависимости результирующейамплитуды от длины волны. Для того чтобы получитьлазерное излучение высокой монохроматичности, надозаставить лазер генерировать излучение лишь на од-ной моде. Такой режим работы лазера называетсяодномодовой генерацией. С целью достижения этогорежима в резонатор вводят специальное устройство –еще два зеркала с малыми коэффициентами отраже-ния и расстоянием между ними, меньшим L. Получа-ется дополнительный резонатор с бoльшим интерва-лом между его модами. Их резонансы накладываютсядруг на друга, и генерация происходит лишь на со-впадающих резонансах. Частотный интервал междуними может быть сравнимым с шириной линии усиле-ния. Это устройство называют селектором мод. Онопозволяет получить генерацию лишь на одной моде свысокой монохроматичностью лазерного излучения.

Однако способность лазера испускать излучение намногих эквидистантных частотах позволяет получать

Рис. 4. Схема создания положительной обратной связи с помощьюдвух параллельных зеркал: а) расположение зеркал и активнойсреды; б) схема обхода светом пути между зеркалами; в) стоячиеволны в резонаторе

Рис. 5. Линия усиления активной среды и моды резонатора, которыеумещаются в пределах ширины линии

Л А З Е Р – З А М Е Ч А Т Е Л Ь Н О Е Д О С Т И Ж Е Н И Е X X В Е К А 11

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 312

лазерное излучение в виде чрезвычайно коротких им-пульсов, а также создавать исключительно точныечасы. Но об этом будет рассказано дальше.

Типы лазеров

После создания первых лазеров на рубине началасьинтенсивная и весьма плодотворная работа по созда-нию и исследованию новых типов лазеров. Укажемнекоторые из них, получившие широкое распростра-нение.

Лазеры на люминесцентных кристаллах, стеклахи растворах красителей. Наряду с рубином исполь-зуются и другие кристаллы, например сапфир (крис-таллическая окись алюминия с ионами титана). Отли-чительной особенностью этого лазера является исклю-чительно широкая полоса усиления. Эта особенностькрайне важна для генерации предельно коротких им-пульсов лазерного излучения.

Используются также стекла с примесью некоторыхэлементов в виде ионов, например некоторых редко-земельных элементов. Достоинством этих материаловявляется то, что они обладают высоким оптическимкачеством (отсутствие всяких включений, часто при-сутствующих в кристаллах), из них можно изготавли-вать детали лазера практически любых размеров.

Также оказалось возможным использовать раство-ры некоторых люминесцирующих красителей. Эле-ментом лазера в этом случае является не стержень сотполированными торцами, а кювета – цилиндричес-кая трубка с плоскопараллельными окошками, запол-ненная раствором красителя. Важной особенностьюэтих красителей является очень большая ширина по-лосы усиления (так же, как и у сапфира). Благодаряэтому удалось создать новый тип лазера с плавнойперестройкой длины волны излучения. В современ-ных лазерах резонатор часто представляет собой нетолько два зеркала, но и довольно сложную оптичес-кую систему между ними. Выше говорилось о селек-торе мод. Так вот, если в резонатор помещается ещеустройство, основанное на явлении дисперсии (при-зма или дифракционная решетка) и отклоняющеелучи в зависимости от длины волны, то параллель-ность зеркал обеспечивается лишь для узкой областидлин волн, причем ее можно плавно менять наклономодного из зеркал. Получается так называемый селек-тивный резонатор. В результате лазер становитсяисточником излучения с очень узкой спектральнойлинией, длину волны которой можно плавно регули-ровать. Такие лазеры играют важную роль в спектро-скопии.

Полупроводниковые лазеры. Инверсную населен-ность можно также получать в зонах полупроводни-ков с помощью электрического тока. В результатевозникает вынужденное излучение на излучательныхпереходах полупроводника. Появились полупровод-никовые лазеры, или, как их теперь называют, лазер-ные диоды. Эти лазеры непосредственно преобразуютэлектрический ток в лазерное излучение с очень высо-ким КПД, превышающим 50%. Кроме того, их отли-чают весьма малые размеры (порядка миллиметра).

Благодаря этим особенностям они нашли широкоеприменение (лазерные принтеры, CD и DVD систе-мы, указки и др.). За работы по созданию лазеровэтого типа российский физик Ж.И.Алферов в 2000году был награжден Нобелевской премией. В настоя-щее время эти лазеры часто используются как источ-ники накачки других твердотельных лазеров, в част-ности волоконных лазеров. В результате были созда-ны достаточно компактные и эффективные лазерныеустановки с мощностью лазерного излучения до де-сятков киловатт. Они начинают находить все большееприменение в автомобильной и авиационной промыш-ленности.

Волоконные лазеры. Важно отметить, что разви-тие современной оптики привело к появлению новогоустройства, а именно волоконных световодов (опти-ческих волокон), основанных на явлении полноговнутреннего отражения. На рисунке 6 поясняются

особенности оптического волокна. Оно представляетсобой тонкую нить (сердцевина) из одного сорта стек-ла, окруженную стеклом другого сорта. Показательпреломления стекла сердцевины несколько большепоказателя преломления оболочки. В результате свет,распространяющийся в сердцевине, испытывает пол-ное внутреннее отражение на границе сердцевина-оболочка и практически без потерь может проходитьогромные расстояния до десятков и сотен километров.На этом основана волоконно-оптическая связь, линиикоторой уже покрыли весь земной шар.

Если в стекло сердцевины вводятся люминесцирую-щие добавки (ионы редкоземельных элементов), топри соответствующем возбуждении источником на-качки в сердцевине может получиться активная сре-да. Таким источником накачки обычно является излу-чение лазерного диода. Получается волоконный ла-зер, который имеет ряд очень важных преимуществ.Поскольку излучение распространяется по световоду,его изгиб не влияет на работу лазера. Не требуетсяточная настройка зеркал на параллельность, и лазерпрактически не чувствителен к внешним механичес-ким воздействиям. Можно свернуть волокно в катуш-ку, что делает лазер весьма компактным. По суще-ству, активная среда волоконного лазера представля-ет собой цилиндр диаметром в несколько микромет-ров и длиной до нескольких метров. Это означает, чтотепло, которое выделяется в активной среде при еенакачке, передается в материал внешней оболочкичерез большую поверхность и в значительный объем(диаметр оболочки в десятки раз больше диаметрасердцевины). Таким образом, существенно облегчает-ся теплоотвод. Волоконные лазеры, в отличие от

Рис. 6. Оптическое волокно

традиционных твердотельных лазеров, не требуютводяного охлаждения.

Газовые лазеры. В этих лазерах активная средаполучается при электрическом разряде в газах низко-го давления. Главная особенность этих лазеров – вузких линиях лазерного перехода, что способствуетполучению чрезвычайно высокой монохроматичностилазерного излучения. Удается получать линии лазер-ного излучения шириной лишь в несколько герц.Поскольку частота лазерного излучения составляет

14 1510 10 Гцν = - , степень монохроматичности дости-гает величины 1410∆ν ν -

» . Благодаря этой особен-ности газовые лазеры находят применение в прецизи-онной метрологии и системах контроля, в лазерныхгироскопах и сверхточных оптических часах.

Особым типом лазеров являются лазеры ультрако-ротких импульсов (УКИ). Их описание заслуживаетотдельного рассказа.

Лазеры ультракоротких импульсов

Замечательным достижением лазерной науки сталагенерация излучения в виде импульсов ультракорот-кой длительности, близкой к фундаментальному пре-делу – периоду световой волны. Иными словами,удается сосредоточить свет в интервале времени по-рядка лишь нескольких фемтосекунд ( 151 фс 10 с-

= ).Трудно представить себе краткость фемтосекунды –одна фемтосекунда относится к секунде, как однасекунда относится к 32 миллионам лет. Свет, ско-рость распространения которого, как известно, макси-мально возможная в природе, проходит за 1 фс рас-стояние в 0,3 мкм (заметим, что толщина человечес-кого волоса около 40 мкм).

Зачем же нужны столь короткие импульсы лазер-ного излучения? Одной из причин стремления сокра-щать длительность световых вспышек является ихиспользование для изучения быстро протекающих яв-лений. Такая вспышка позволяет «заморозить» дви-жение объекта в интервале, равном продолжительнос-ти вспышки, и произвести «мгновенное» фотографи-рование. В обычных условиях даже самые быстрыеобъекты не могут заметно сместиться за столь корот-кие времена. Но в микромире атомов, молекул иэлектронов в твердых телах существенную роль игра-ют перемещения в масштабах микро- и нанометров.Поэтому для исследований движений в микромиренужно временнóе разрешение в диапазоне пико- ифемтосекунд. Лазеры УКИ как раз и дают такуювозможность. Недаром изобретение лазеров фемтосе-кундных импульсов сравнили с изобретением микро-скопа. В частности, использование таких лазеров по-зволило непосредственно «наблюдать» процессы об-разования и разрушения молекул. Эти процессы про-текают за времена десятков и сотен фемтосекунд, и допоявления лазеров УКИ сведения об этих процессахполучались только по результатам косвенных экспе-риментов.

Исследования быстро протекающих явлений с по-мощью лазеров УКИ проводятся по следующей мето-дике. Достаточно интенсивный лазерный импульс с

определенной длиной волны вызывает в исследуемомобразце какие-то изменения в состоянии молекул.Этим изменениям соответствуют измененные спектрыпоглощения, которые можно зарегистрировать с по-мощью другого импульса на другой длине волны (вобласти спектра поглощения). Изменяя задержку меж-ду этими импульсами (возбуждающего и зондирую-щего), можно проследить, как происходит возвраще-ние молекул в первоначальное состояние или в другоеконечное состояние. Так были исследованы, в частно-сти, реакции в растворах вроде перегруппировки мо-лекул растворителя вокруг реагирующих молекул,переходы электрона или протона из одной части боль-шой молекулы в другую.

Удалось изучить детали очень важных процессоввзаимодействия света с биологическими объектами.Прежде всего, это фотосинтез – основа жизни наземле и работа светочувствительных клеток глаза.Благодаря ультракороткой длительности импульсовбыло установлено, как происходят самые первые эта-пы химических реакций, следующих за поглощениемфотонов. Аналогично были изучены многие тонкиеявления, исследовать которые иными способами зат-руднительно или попросту невозможно.

Более того, фемтосекундная длительность импульсаизлучения дает возможность воздействовать извне набыстропротекающие процессы фотохимии и, тем са-мым, изменять ход этих химических реакций. Есливторой импульс имеет достаточно высокую интенсив-ность и нужную длину волны, то его воздействие вопределенный момент может привести к образованиюдругих продуктов химической реакции. Иными сло-вами, таким способом можно заставить химическуюреакцию протекать по другому каналу. Эта и анало-гичные операции получили название «фемтохимии».Отметим, что за работы в области исследований хи-мических реакций с помощью фемтосекундных лазе-ров американский ученый египетского происхожде-ния А.Зевейл в 1999 году получил Нобелевскую пре-мию по химии.

Была также изучена динамика электронов в полу-проводниковых материалах. Это дает возможностьразрабатывать более совершенные оптоэлектронныеустройства для быстрого управления сигналов, чтотребуется для компьютеров и телекоммуникаций.

Короткая длительность импульса лазерного излу-чения проявляется и в другой области. При сокраще-нии временнóго интервала, в котором сосредоточенаэнергия, получается возрастание мощности, а прифокусировании излучения – интенсивности. Высокаяинтенсивность фундаментально изменяет оптику. Оп-тика является, по существу, учением о том, как элек-троны откликаются на свет. Все оптические свойствавеществ являются следствием взаимодействия света сэлектронами в материале. В световой волне электри-ческие и магнитные поля совершают колебания пер-пендикулярно друг другу и к направлению распрост-ранения. Сила со стороны электрического поля зас-тавляет электрон колебаться с той же частотой, но необязательно с фазой световой волны. В зависимости

Л А З Е Р – З А М Е Ч А Т Е Л Ь Н О Е Д О С Т И Ж Е Н И Е X X В Е К А 13

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 314

от того как электрон связан с атомами материала, егоколебания могут отставать или опережать колебанияв световой волне. Колеблющиеся электроны, в своюочередь, испускают электромагнитные волны на тойже частоте, но с измененной фазой. Их сложение иопределяет то, как световая волна распространяетсячерез материал и, тем самым, сообщает соответствую-щие ему оптические свойства (например, показательпреломления). В классической оптике амплитуды ко-лебаний достаточно малы, и оптические свойства ма-териалов практически не зависят от интенсивностисвета. Но при высоких интенсивностях, присущихлазерному свету, такая зависимость начинает прояв-ляться – получается нелинейная оптика.

Сравнительно небольшая энергия лазерного излуче-ния в несколько джоулей, «сосредоточенная» в не-скольких фемтосекундах, дает импульсную мощностьпорядка петаватта ( 151 ПВт 10 Вт= ). В настоящеевремя созданы лазерные установки с такой мощнос-тью. Их излучение можно сфокусировать и получитьинтенсивность около 21 210 Вт см . Огромная величи-на интенсивности проявляется в уникальных свой-ствах излучения. Хорошо известно, что свет оказыва-ет давление на отражающую или поглощающую по-верхность. Величина этого давления определяется ин-тенсивностью и обычно крайне мала. В начале ХХвека А.Н.Лебедев провел исключительно тонкие экс-перименты, чтобы обнаружить это давление от самыхярких в то время обычных источников. Но при интен-сивности 21 210 Вт см давление света достигает300 Гбар, что превосходит давление в центре Солнца!Такое давление наряду с другими эффектами взаимо-действия света с веществом в принципе дают возмож-ность ускорять вещество до 2210 g . Разумеется, веще-ство при этом превращается в плазму, а само взаимо-действие продолжается менее длительности импуль-са, т.е. нескольких фемтосекунд.

Таким образом, лазеры УКИ позволяют создаватьэкстремальные физические условия, подобные тем,что могут быть в недрах звезд или вблизи «черныхдыр», а также при ядерных взрывах. Известно, чтоконкретной величине интенсивности света со-ответствуют определенные значения электри-ческого и магнитного полей в электромагнит-ной волне. При интенсивности 21 210 Вт смнапряженность электрического поля в свето-вой волне достигает 1210 В см , что намногопревосходит величину атомной напряженнос-ти поля, т.е. напряженности кулоновскогополя на орбите электрона в атоме водорода,равной 95 10 В смЧ . Это означает, что с ато-мов срываются и ускоряются внешние элект-роны. Этот процесс лежит в основе генерацииимпульсов уже аттосекундной длительности( 181 ac 10 c-

= ) с длинами волн в рентгенов-ском диапазоне (несколько нанометров).

При интенсивностях света свыше18 210 Вт см отклик электронов на свет кар-

динально изменяется. Скорости электронов

приближаются к скорости света, и магнитное поленачинает играть существенную роль (действует силаЛоренца). Становятся значительными релятивистскиеэффекты, например увеличение массы в зависимостиот скорости. Оно влияет и на фазу, и на амплитудуколебаний. Электрон уже переизлучает не только начастоте света, но и на многих гармониках этой часто-ты. Под действием силы магнитного поля на элект-рон происходит такое искривление его траектории,что он получает значительный импульс в направле-нии светового пучка. Режим взаимодействия стольинтенсивного света с веществом называется реляти-вистской оптикой. Ее следствиями является возмож-ность генерации высших гармоник лазерного излуче-ния вплоть до мягкого рентгена и возможность уско-рения электронов до энергий в десятки мегаэлектрон-вольт.

Принцип действия лазераультракоротких импульсов

Как же удается получать столь короткие и мощныеимпульсы лазерного излучения? Оказывается, пре-дельно короткую длительность импульса света, при-ближающуюся к периоду световой волны, можно по-лучить благодаря волновой природе света. Известно,что сложение двух волн с близкими частотами приво-дит к явлению, которое называется биением колеба-ний (рис.7). Период биений определяется разностьючастот. В оптике световые волны характеризуются неамплитудой, а интенсивностью, которая определяет-ся квадратом амплитуды, усредненным по периодуволны. В случае световых волн их сложение приво-дит к периодическому изменению интенсивности. Присложении трех и более волн с одинаковой разностьючастот между соседними волнами результат уже будетзависеть от соотношения фаз. Если амплитуды всехволн совпадают, сложение приведет к образованиюярко выраженного максимума. На рисунке 8 показанрезультат сложения пяти волн с частотами f0, 2f0, 3f0,4f0, 5f0 и фазами, обеспечивающими совпадение ихамплитуд.

Рис. 7. Биения двух волн

Из математики известно, что периодическую функ-цию произвольной формы можно представить в видеряда Фурье, т.е. суммой синусоид с эквидистантнымичастотами. Сама математическая операция (анализФурье) заключается в вычислении амплитуд синусо-ид, на которые раскладывается периодическая функ-ция. Отсюда следует, что можно провести обратнуюоперацию, т.е. сложить волны с соответствующимиамплитудами и частотами (синтез) и получить перио-дическую последовательность импульсов, причем ихформа, а значит, и длительность будут определятьсячислом сложенных волн. Иными словами, можно про-вести синтез периодической последовательности им-пульсов путем сложения многих непрерывных волн.

Как было сказано выше, резонатор лазера обладаетнабором мод с равноудаленными частотами. Генера-ция происходит на модах, попадающих в полосу уси-ления активной среды, и лазер способен излучатьмного волн на этих частотах. Это обстоятельство яв-ляется ключевым для получения импульсов ультрако-роткой длительности. Лазер УКИ по существу явля-ется синтезатором, в котором получается достаточномного волн с нужными частотами, фазами и амплиту-дами. Из формул преобразования Фурье следует, чтодля получения импульса длительностью τ требуется,чтобы разность между максимальной и минимальнойчастотами (ширина спектра) ∆ν отвечала соотноше-нию 1τ ∆ν ;Ч . Это означает, например, что для полу-чения импульса длительностью 10 фс требуется ши-рина спектра излучения порядка 100 нм. В настоящеевремя имеются активные среды с огромными ширина-ми полосы усиления. Так, кристалл сапфира имеетполосу усиления от 650 нм до 1000 нм, что в принци-пе позволяет получать длительность импульса короче4 фс.

Мы видели, что с помощью селектора мод можнозаставить лазер работать лишь на одной моде. Нотеперь, напротив, его нужно заставить работать намножестве мод, попадающих в полосу усиления. Придлине резонатора около 1 м в полосу усиления сапфи-ра попадают около миллиона мод. Таким образом,лазер, работающий с активной средой с достаточнобольшой шириной полосы усиления, способен испус-

кать большое число волн с эквидистантными частота-ми, сложение которых может дать импульс с длитель-ностью, определяемым соотношением 1τ ∆ν ;Ч .

Давайте рассмотрим излучение, которое получает-ся в результате сложения большого числа волн. Этоудобно сделать с помощью компьютера. Пусть каж-дая волна описывается выражением

( ) ( )0 sinA t A tω ϕ= + , где 0A – амплитуда, ω – час-тота, ϕ – фаза (точнее – начальная фаза). Сложим100 волн с равными амплитудами и с частотами,отличающимися на определенный интервал ∆ω , по-лучим ( ) ( )( )0 sin nA t A nΣ ω ∆ω ϕ= + + (здесь n пробе-гает значения от 1 до 100). Фаза каждой из волнпусть будет определенной, но случайной величиной винтервале ( )0;π . Поскольку свет характеризуется ин-тенсивностью, которая пропорциональна квадрату ам-плитуды волны, результат сложения возведем в квад-рат. Таким образом, мы получим изменение интенсив-ности во времени. На рисунке 9,а приведен примертакого сложения. Он, по существу, моделирует мно-гомодовое излучение при условии, что в резонатореотсутствует какое либо устройство, регулирующее фазымод (режим свободной генерации). Мы видим, чтоизменение интенсивности со временем представляетсобой набор случайных выбросов интенсивности отнуля до некоторой максимальной величины, причемэто изменение повторяется с периодом 2T π ∆ω= .Это так называемые флуктуационные импульсы мно-гомодового лазерного излучения. Отметим, что ихдлительность определяется шириной спектра, охваты-вающего все моды, т.е. может быть очень малой.

Теперь подобным образом сложим те же волны, нос вполне определенными фазами, например равныминулю (рис.9,б). Вместо хаотического изменения ин-тенсивности во времени теперь получается периоди-

Рис. 8. Результат сложения пяти волн

Рис. 9. Примеры сложения ста волн с равными амплитудами ичастотами, отличающимися на постоянный интервал: а) фазыраспределены случайным образом; б) фазы полностью согласо-ваны

Л А З Е Р – З А М Е Ч А Т Е Л Ь Н О Е Д О С Т И Ж Е Н И Е X X В Е К А 15

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 316

ческая последовательность одиночных напериоде импульсов, длительность которыхопределяется шириной спектра.

Значит, чтобы получить генерацию УКИв результате сложения многих мод, необ-ходимо, чтобы их фазы были согласованы.Это удается сделать в режиме работы лазе-ра, который называется синхронизациеймод. Для его успешной реализации потре-бовались многолетние и настойчивые ис-следования лазеров. Здесь мы дадим упро-щенное объяснение основного принципасинхронизации мод.

Обратите внимание на то, что рисунки9,а и 9,б имеют разные масштабы по осиординат. При согласованных фазах интен-сивность получающегося одиночного им-пульса в огромное число раз превосходитинтенсивность флуктуационных импульсов.

Теперь снова обратимся к схеме взаимо-действия излучения с фотонами (см. рис.1).Из нее следует, что при поглощении светапроисходит обеднение нижнего уровня. Зна-чит, поглощение станет уменьшаться помере увеличения интенсивности света (числафотонов). В случае обычных источниковсвета их интенсивность слишком мала, что-бы такой эффект проявлялся. Для лазер-ного излучения изменение коэффициентапропускания в зависимости от интенсивно-сти – обычный эффект нелинейной опти-ки. Вещества, способные изменять свойкоэффициент поглощения в зависимости от интенсив-ности, называются просветляющимися поглотителя-ми. Вот с их помощью и удается осуществить согласо-вание фаз, которое называют синхронизацией мод, иполучить генерацию УКИ.

Если слой такого поглотителя введен в резонаторлазера, то усиление в нем будет равно усилению вактивной среде минус поглощение в просветляющем-ся поглотителе. При выполнении условия самовоз-буждения (полный коэффициент усиления больше 1)начнется генерация на многих модах с образованиемфлуктуационных импульсов. Поскольку поглощениеуменьшается с ростом интенсивности, наиболее ин-тенсивные флуктуационные импульсы будут усили-ваться сильнее менее интенсивных, и этот процессбудет развиваться по экспоненте. На рисунке 10 пока-зан процесс такого развития, полученный путем ком-пьютерного моделирования. Излучение, состоящее изфлуктуационных импульсов, последовательно пропус-кается через активную среду. Видно, как происходитформирование одиночного на периоде следования им-пульса, что и свидетельствует о синхронизации мод.По существу, лазер «предпочитает» концентрироватьэнергию в таком импульсе, и тем самым достигаетсясамосинхронизация мод.

Свойствами просветляющихся поглотителей обла-дают растворы некоторых красителей, которые и былииспользованы в лазерах УКИ. Но у них имеются

определенные недостатки. А именно, после воздей-ствия интенсивным импульсом это состояние остаетсяв течение некоторого времени после прохожденияимпульса (это время требуется для того, чтобы сновавосстановилась первоначальная населенность основ-ного уровня). Это означает, что после прохожденияинтенсивного импульса за ним может «проскочить»менее интенсивный, и стройная картина выделенияодиночного УКИ нарушится. Для преодоления этогонедостатка был изобретен искусственный просветля-ющийся поглотитель, основанный на другом явлениинелинейной оптики – эффекте самофокусировки. Оноснован на зависимости показателя преломления про-зрачного вещества от интенсивности проходящего че-рез него света: 0 2n n n I= + , где 0n – показательпреломления для слабых интенсивностей, а 2n –коэффициент для определенного вещества. Этот эф-фект проявляется лишь при больших интенсивнос-тях, характерных для излучения лазеров.

Пусть через слой вещества распространяется, какпоказано на рисунке 11,а, пучок лазерного излуче-ния, интенсивность которого максимальна в центре испадает до нуля на краях. Тогда, если 2 0n > , полу-чится искривление волнового фронта, и лучи станутотклоняться к оси пучка. Иными словами, при доста-точной интенсивности плоскопараллельный слой про-зрачного вещества превратится в собирающую линзу,причем ее оптическая сила будет зависеть от макси-

Рис. 10. Компьютерное моделирование процесса формирования УКИ в лазере спросветляющимся поглотителем

мальной интенсивности в пучке. Пусть теперь за этимслоем располагается диафрагма (рис.11,б). Легко ви-деть, что при высокой интенсивности в пучке светцеликом пройдет через диафрагму, а при низкой ин-тенсивности будет частично задержан ею. Таким об-разом, эффект самофокусировки в сочетании с диаф-рагмой действует подобно просветляющемуся погло-тителю.

Однако получению предельно коротких импульсовпрепятствует еще одно обстоятельство. Дело в том,что вещества, через которые распространяется свет,обладают дисперсией, т.е. зависимостью показателяпреломления от длины волны (частоты). Это приво-дит к разной скорости распространения света с раз-ной частотой. При прохождении света через веществоскорость определяется как фазовая скорость:

фазv c n= . Поскольку показатель преломления n за-

Рис. 11. а) Эффект самофокусировки; б) самофокусировка в сочетании сдиафрагмой

Рис. 12. Эффект дисперсии: а) начальная форма импульса;б) импульс после прохождения слоя вещества, обладающего дис-персией

висит от частоты, волны разных мод будутраспространяться с разными скоростями, исогласование фаз нарушится. Как уже указы-валось, длительность импульса связана с ши-риной спектра: 1τ ∆ν ;Ч . Пусть теперь такойимпульс широким спектром распространяетсяв среде, обладающей дисперсией. За счет раз-личия в скоростях распространения формаимпульса изменяется. Различные частоты какбы «идут не в ногу». Те волны, для которыхпоказатель преломления больше, начинаютотставать от тех, для которых он меньше. Врезультате происходит увеличение длительно-сти импульса – он «расплывается». Крометого, на переднем фронте импульса окажутсяте частоты, для которых скорость распростра-нения выше, а на хвосте импульса – длякоторых она ниже. Поэтому в пределах уве-личенной длительности получается линейноеизменение частоты от времени, т.е. частотнаямодуляция. Рисунок 12 иллюстрирует такоеизменение формы импульса, причем оно бу-

дет тем больше, чем больше длина пути в диспергиру-ющей среде.

Таким образом, при многократных проходах им-пульса через активную среду в резонаторе будет по-лучаться увеличение длительности импульса. Для ком-пенсации этого следовало бы пропустить такой удли-ненный импульс через слой вещества с дисперсиейпротивоположного знака. Тогда отставшие частотысмогли бы нагнать ушедшие вперед, и импульс сновапринял бы первоначальную форму с минимальнойдлительностью. Однако в природе нет веществ с нуж-ной отрицательной дисперсией. Замечательным дос-тижением в разработке лазеров УКИ явилось созда-ние специального устройства, обладающего отрица-тельной дисперсией. Оно основано на распростране-нии света с разными длинами волн по разным путям,что можно сделать с помощью призм или дифракци-онных решеток. На рисунке 13 показано, как парапризм может скомпенсировать дисперсию активнойсреды. Подбором расстояния между призмами, а так-же перемещением одной из них вдоль биссектрисы

Рис. 13. Система пары призм для компенсации дисперсии

Л А З Е Р – З А М Е Ч А Т Е Л Ь Н О Е Д О С Т И Ж Е Н И Е X X В Е К А 17

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 318

И З И С Т О Р И И Н А У К И

БугенвилльА.ВАСИЛЬЕВ

Рис. 14. Схема лазера УКИ

ЛУИ АНТУАН ДЕ БУГЕНВИЛЛЬ (1729 – 1811) ПРО-славился не математикой, хотя под влияниемД’Аламбера он в 1752 году и написал трактат

по интегральному исчислению, непревзойденный поясности и глубине изложения. В этой работе былиразвиты идеи Лопиталя, сформулированные полуве-ком ранее. Здесь также были изложены новейшиепредставления дифференциального исчисления, чтопривело к признанию Бугенвилля не только Нацио-нальной академией наук Франции, но и Королевскимобществом Англии. В 1756 году Бугенвилль опубли-ковал второй том своих математических изысканий,однако на этом его карьера математика завершилась.

Бугенвилль прожил необычайно яркую жизнь. В1754 году он поступил на службу в армию и сражалсяза независимость французских колоний в Канаде.Через семь лет он перешел на флотскую службу и в1764 году основал французскую колонию на Мальди-вах.

В 1766 году правительство Франции поручило Бу-генвиллю организацию первого французского кругос-ветного путешествия. Целью путешествия был поискновых земель, однако у самого Бугенвилля не былокакого-то определенного мнения о существовании не-известного континента. С одной стороны, как он пи-сал, трудно предположить такое обилие малых остро-

вов в южной части Тихого океана без наличия южногоконтинента. С другой стороны, он полагал, что еслибы такая земля существовала, то она уже была быоткрыта. В ноябре 1766 года Бугенвилль отправился впуть и через некоторое время встретился в Рио-де-Жанейро со своим вспомогательным судном, на кото-ром находился ботаник Коммерсон. Этот ботаник от-крыл растение с ярко-красными плотными листьями.В честь встречи с начальником экспедиции он назвалэто растение бугенвиллеей. В южной части Тихогоокеана Бугенвилль открыл целый ряд географическихобъектов, включая пролив и остров, впоследствииназванные его именем.

Кругосветное путешествие сделано Бугенвилля зна-менитым, он стал первым французом, обогнувшимземной шар. По возвращении на родину он был назна-чен личным секретарем Людовика XV. С 1779 по 1782год Бугенвилль участвовал в операциях французскогофлота против англичан в Северной Америке. Во вре-мя Великой французской революции он бежал изПарижа и обосновался на своей усадьбе в Нормандии.Несмотря на свою широко известную приверженностьроялизму, Бугенвилль избежал репрессий, а с прихо-дом к власти Наполеона был удостоен сенаторства ичленства в ордене Почетного Легиона.

угла отклонения можно подобрать нужное для ком-пенсации значение дисперсии.

В результате лазер, генерирующий фемтосекунд-ные импульсы за счет синхронизации мод, принимаетвид, показанный на рисунке 14. Пучок зеленого светалазера накачки, работающего в непрерывном режиме,фокусируется линзой (1) через зеркало (2) в крис-талл сапфира (3) для достижения нужного уровня

инверсной населенности и усиления. Резонатор обра-зован четырьмя зеркалами – двумя плоскими (5 и 6)на концах резонатора и двумя вогнутыми (2 и 4),фокусирующими лазерный свет в кристалл сапфира.Для обеспечения эффекта самофокусировки в самомкристалле сапфира вводится диафрагма (7), а длякомпенсации дисперсии – пара призм (8).

При тщательном подборе элементов лазера и опти-мальной настройке удается получать импульсы дли-тельностью до 5 фс. Частота следования импульсовопределяется оптической длиной между зеркаламирезонатора и обычно составляет около 80 МГц. Длинаволны максимума спектра приходится на 750 нм (крас-ный свет). Надо сказать, что нужный для работылазера эффект получается лишь при ограниченнойсредней выходной мощности, которая обычно менее1 Вт. Это означает, что энергия в одиночном импуль-се не превосходит 10 нДж.

(Продолжение следует)

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые внем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьнойпрограммы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мыобычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 сентября 2007 года по адресу:119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала илипо разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе«Кому» напишите: «Задачник «Кванта» 3–2007» и номера задач, решения которых Вы посылаете,например «М2041» или «Ф2048». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво.В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (вэтом конверте Вы получите результаты проверки решений).

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдель-ном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте:«Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по матема-тике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь.Задачи М2042 и М2045 предлагались на III этапе XXXIII Всероссийской олимпиады школьников

по математике, задачи М2041, М2044, М2047, М2049 – на XXVIII Турнире городов.Задачи Ф2050, Ф2053– Ф2056 предлагались на Московской физической олимпиаде этого года.

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

Задачипо математике и физике

Задачи М2041–М2050, Ф2048–Ф2057

M2041. Какое наименьшее число ладей нужно поста-вить на шахматной доске 8 8ѣ , чтобы все белые клеткиоказались под боем этих ладей?

Р.Женодаров

M2042. Докажите, что при 02

xπ

< < выполнено нера-венство

( ) ( )sin cos

tg ctg 2x x

x x+ ³ .

Н.Агаханов

M2043. Можно ли сконструировать такой набор «Юныйпаркетчик» из четырех одинаковых многоугольников иквадратика, чтобы из всех пяти деталей можно былосложить квадрат, а из трех одинаковых деталей –равносторонний треугольник?

О.Нечаева

M2044. Пусть ( )f x – некоторый многочлен ненулевойстепени. Может ли оказаться, что уравнение ( )f x a=при любом значении a имеет четное число решений?

П.Кожевников

M2045. На доске записано число 99 единиц

111 11K14243 . Двое игра-

ют в следующую игру. Игроки ходят по очереди,причем за ход разрешается либо записать ноль вместоодной из единиц, кроме первой и последней, либостереть один из нулей. Проигрывает тот, после ходакоторого число будет делиться на 11. Кто выигрываетпри правильной игре?

М.Мурашкин

M2046. Муха села в полдень на секундную стрелкучасов и решила ездить, придерживаясь следующего

правила: если одна стрелка обгоняет другую и мухасидит на одной из этих стрелок, то она пересаживает-ся на другую. Сколько оборотов сделает муха к полу-ночи?

Фольклор

M2047. Из точки T, лежащей внутри треугольникаABC, стороны AB, BC, CA видны под углом 120°каждая. Докажите, что прямые, симметричные пря-мым AT, BT, CT относительно прямых BC, CA, ABсоответственно, пересекаются в одной точке.

А.Заславский

M2048. Найдите такое наибольшее натуральное k, чтонайдется натуральное n > 1, для которого каждое из

чисел 2, , , kn n nK представимо в виде 2 2 1x y+ + , где x,y – целые числа.

В.Сендеров

M2049. От правильного октаэдра с ребром 1 отрезали6 углов – пирамидок с квадратным основанием иребром 1/3. Получился многогранник, грани которого– квадраты и правильные шестиугольники. Можно ликопиями такого многогранника замостить простран-ство?

А.Канель

M2050. В однокруговом турнире по волейболу (безничьих) участвовало 2n команд, причем команда «Чем-пион» заняла первое место. Назовем команду плохой,если она выиграла у «Чемпиона». Оргкомитет плани-рует провести турнир по олимпийской системе и пред-полагает, что все встречи закончатся так же, как впредыдущем турнире. Докажите, что можно так соста-вить расписание, что «Чемпион» опять победит, при-

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 320

чем все плохие команды проиграют (и прекратятучастие) уже в первых двух турах.

Б.Френкин, Л.Остроумова

Ф2048. Материальная точка движется с постояннымускорением. Ее координаты в начальный момент (0, 0,0), через 1 секунду после начала движения (1, 1, 2),

еще через секунду (2, 3, 4). Какойугол составляет вектор начальнойскорости точки с вектором ее ускоре-ния?

А.Зильберман

Ф2049. В системе (рис.1) трениянет. Массы грузов на левом блоке Ми 2М, на правом блоке – 2М и 4М.Найдите ускорение самого легкогогруза при движении.

А.Блоков

Ф2050. Снаряд, летевший вертикаль-но, взорвался в верхней точки своейтраектории, распавшись на три ос-колка с массами 1m = 2m, 2 3m m= и

3 4m m= , которые полетели в разныестороны с одинаковыми начальными скоростями. Че-рез некоторое время после взрыва расстояние междуосколками с массами 1m и 2m оказалось равным L.Чему было равно в этот момент расстояние междуосколками с массами 1m и 3m , если ни один изосколков еще не достиг земли? Влиянием воздуха имассой взрывчатого вещества снаряда пренебречь.

А.Якута

Ф2051. По горизонтальному столу катится без про-скальзывания велосипедное колесо. Его диаметр 1 м,масса 1 кг, скорость центра 1 м/с. В некоторый моментк колесу приклеился маленький кусочек жвачки мас-сой 2 г, лежавший на столе. Скорость центра колесатеперь меняется. Оцените отличие минимальной скоро-сти колеса от его начальной скорости.

Р.Колесов

Ф2052. Однородное плоское тело вращается относи-тельно вертикально оси, лежащей в плоскости тела

(рис.2). Тело раскрутили до угловойскорости 0ω и отпустили. На телодействует сила сопротивления возду-ха такая, что избыточное давлениепропорционально скорости v участкаповерхности с коэффициентом k (т.е.

F k Sv∆ = ∆ ). Масса тела М, его «по-перечная» площадь S. Сколько обо-ротов совершит тело до полной оста-новки?

А.Киселев

Ф2053. На столе стоит вертикальныйтеплоизолированный цилиндрический

сосуд, в который вставлены два поршня (рис.3). Верх-ний поршень – тяжелый, теплонепроницаемый и можетдвигаться в цилиндре без трения. Нижний поршень –легкий и теплопроводящий, но между ним и стенками

сосуда существует трение. В каж-дой из частей сосуда находится поν молей идеального одноатомногогаза. Вначале система находилась втепловом равновесии, а обе частисосуда имели высоту L. Потом си-стему медленно нагрели, сообщивей количество теплоты Q∆ . Накакую величину T∆ измениласьтемпература газов, если нижний поршень при этом несдвинулся с места? При каком наименьшем значениисилы трения F между нижним поршнем и стенками этовозможно? Какова теплоемкость системы С в этомпроцессе? Теплоемкостью стенок сосуда и поршнейпренебречь.

Д.Вагин, М.Семенов

Ф2054. Над ν молями идеального одноатомного газапроводят циклический процесс, график которого изоб-ражен на pV-диаграм-ме (рис.4). Цикл состо-ит из вертикального (1–2) и горизонтального(3–1) участков и “лест-ницы” (2–3) из n ступе-нек, на каждой из кото-рых давление и объемгаза изменяются в однои то же число раз. От-ношение максимальногодавления газа к мини-мальному равно k, от-ношение максимального объема к минимальному так-же равно k. Найдите КПД тепловой машины, работа-ющей по данному циклу.

О.Шведов

Ф2055. Электрическая цепь (рис.5) состоит из идеаль-ной батарейки с ЭДС 0U , идеального амперметра ичетырех одинаковых не-линейных элементов, длякаждого из которых, в от-личие от закона Ома, связьсилы тока I и напряженияU имеет вид 2I U= α .Какой ток 0I показываетамперметр?

Д.Харабадзе

Ф2056. Тридцать одинаковых резисторов сопротивле-нием R каждый соединены между собой в пространстветак, что они являются ребрами выпуклого правильногомногогранника (рис.6): а) двадцатигранника (икосаэд-ра); б) двенадцатигранника (додекаэдра). Какое со-

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 6

Рис. 5

Решения задач М2021–М2025,Ф2033–Ф2042

M2021. В зале находится компания из n человек,среди которых есть пары знакомых. Известно, чтоесли в зале останется 98 человек, то их всегда можнобудет разбить на 49 пар знакомых. Какое наимень-шее число пар знакомых могло быть в такой компа-нии, если: а) n = 99; б) n = 100?

Ответ: а) 99; б) 150.Если для некоторого человека A в компании найдется97 не знакомых с ним людей, то A и эти 97 человекобразуют группу из 98 человек, которую нельзя раз-бить на 49 пар знакомых, – противоречие. Такимобразом, у каждого человека в компании не более 96 незнакомых с ним людей, и следовательно, не менееn – 97 знакомых. Поэтому количество пар знакомых неменее ( )97 2n n - , что при n = 99 и n = 100 равно 99 и150 соответственно.Остается привести примеры. Рассадим людей по кругуна равном расстоянии друг от друга.Для 99 человек пусть двое знакомы, если они соседи(т.е. сидят рядом за столом). Если зал покинул одинчеловек, то оставшихся можно разбить на пары сосе-дей.Для 100 человек 1 2 100, , ,A A AK пусть знакомы сидя-щие рядом и кроме того пусть имеются пары «диамет-рально противоположных» знакомых 1 51 2,A A A- -

52 50 100, ,A A A- -K . Если зал покинули два человека сномерами разной четности, то оставшихся можно раз-бить на пары соседей. Пусть зал покинули два человекас номерами одной четности, для определенности 1A и

2 1kA + , где 25k £ . Тогда выберем пару знакомых

2 52A A- , а оставшихся 96 человек можно разбить напары соседей.

П.Кожевников

M2022. Дана окружность, точка A на ней и точка Mвнутри нее. Рассматриваются хорды BC, проходя-щие через M. Докажите, что окружности, проходя-щие через середины сторон всевозможных треуголь-ников ABC, касаются фиксированной окружности.

Пусть O – центр данной окружности ω , O¢ – центрокружности ω¢ , проходящей через середины , ,A B C¢ ¢ ¢сторон треугольника ABC,G – точка пересечения ме-диан треугольника ABC(см. рисунок). Обозначимчерез R и R¢ радиусыокружностей ω и ω¢ соот-ветственно. Так какOA BC⊥¢ , то A¢ лежитна (фиксированной) ок-ружности γ с диаметромOM. При гомотетии h сцентром в A и коэффици-ентом 2/3 точка A¢ переходит в G, поэтому G лежитна фиксированной окружности 1γ – образе γ пригомотетии h.Треугольник A B C¢ ¢ ¢ получается из треугольника ABCгомотетией с центром G и коэффициентом –1/2,

поэтому 2R R=¢ , а точка O¢ такова, что 2OG GO= ¢uuuur uuuuur

.Это означает, что при гомотетии 1h с центром в O икоэффициентом 3/2 точка G переходит в O¢ , поэтомуO¢ лежит на фиксированной окружности 2γ – образе

1γ при гомотетии 1h .Итак, радиусы всевозможных окружностей ω¢ равныR/2, а их центры лежат на фиксированной окружно-сти 2γ с центром 2O и радиусом r. Значит, окружностиω¢ касаются окружности с центром 2O и радиусомR/2 + r (а также при 2R r касаются окружностис центром 2O и радиусом |R/2– r|).

П.Кожевников

M2023. Пусть a, b, c – отличные от нуля целые числа,сумма которых равна нулю. Докажите, что:а) ( ) ( ) ( )

5 5 5ab bc ca+ + делится на ( ) ( ) ( )

2 2 2ab bc ca+ + ;

б) n n na b c+ + делится на 4 4 4a b c+ + при любомнатуральном n, дающем при делении на 3 остаток 1;в) ( ) ( ) ( )

n n nab bc ca+ + делится на ( ) ( ) ( )

2 2 2ab bc ca+ +

при любом натуральном n, дающем при делении на 3остаток 2.

Введем обозначения: n n nnA a b c= + + , ( )

nnB ab= +

( ) ( )n n

bc ca+ + , ( ) ( ) ( )n n n

ns x y x y= + + - + - , где n ОN .

Лемма 1. Многочлен ns делится на 2 2x xy y+ + (дели-мость ns на многочлен ( ),P x y здесь и ниже означает,что при любых ,x y ОZ имеем ( ) ( ), ,ns P x y l x y= , гдеl ОZ ) в точности если n не делится на 3.Доказательство. Имеем 2 2

1s x xy y+ +M , 22s x xy+ +M

2y+ . Отсюда вследствие легко доказываемого тожде-ства

( ) ( )2 23 1n n ns x xy y s xy x y s+ += + + + + , где n ОN ,

(∗ )следует, что 2 2

ns x xy y+ +M при любом n, не делящем-

противление будет представлять описанная выше сис-тема а) или б), если подключиться к паре ее наиболееудаленных вершин? Сколько разных значений сопро-тивления можно будет получить в случае а) и в случаеб), если подключиться к всевозможным парам вершинэтих многогранников?Справка: грани икосаэдра – это 20 правильных треу-гольников, в каждой из 12 вершин сходятся по5 треугольников; грани додекаэдра – это 12 правиль-ных пятиугольников, в каждой из 20 вершин сходятсяпо 3 пятиугольника.

С.Кротов

Ф2057. Конденсатор емкостью C и две одинаковыекатушки индуктивностью L каждая соединены парал-лельно и подключены к внешней цепи. В некоторыймомент конденсатор не заряжен, а токи катушек равныI и 2I. В этот момент очень быстро параллельноподключают еще пять таких же катушек, а внешнююцепь отключают. Найдите максимальное значение за-ряда конденсатора и максимальное значение силы токачерез катушку номер 7 (последняя из подключенныхкатушек). Элементы цепи считайте идеальными.

З.Рафаилов

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 21

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 322

ся на 3.Предположим, что существует такое n, что n делится на

3 и ns делится на 2 2x xy y+ + . Тогда вследствие (∗ )

( )3 3s xy x y= + делится на 2 2x xy y+ + . Полагая х == 1, у = 2, получаем противоречие.Лемма 2. Если n при делении на 3 дает в остатке

единицу, то ns делится на ( )22 2x xy y+ + .

Доказательство проводится с помощью тождества ( ∗ )и леммы 1.(Заметим, что лемма 2 дает точное условие. Это легкодоказать с помощью производной и комплексных чи-сел. Таким же образом доказывается, что ns делится на

( )32 2x xy y+ + лишь при n = 1.)

б) Положим в лемме 2 х = а, y = b. Так как 22

4 2

AA = ,

а ( )22 2 2

2 4A a ab b= + + , то nA делится на 4

2

A. Обозна-

чим ( ) ( )НОД , , , ,d a b c a b c= º , и пусть число 2входит в разложение d в степени α . Тогда в 4A двойкавходит в степени 4 1α + , а в nA при 4n ³ – в степени

1 4 1β ≥ α + ≥ α +n . Окончательно: nA делится на 4A .в) Из леммы 1 следует, что при любом 0k ³ число

3 2kA + делится на 2A , откуда 23 2 6 4 3 22k k kA A B+ + += +

делится на 22 42A A= . Из пункта б) следует, что 6 4kA +

делится на 4A . Значит, 3 22 kB + делится на 4 22A B= ,откуда 3 2kB + делится на 2B .а) Дадим непосредственное доказательство этого част-ного случая утверждения пункта в). Имеем

( )( ) ( )( )2 3ab ab+ + =K K

= ( )( ) ( )( )5 2 2 2 3 3ab a b c a b c+ + + +K K .

Далее,

( ) ( ) ( )3 3 2 2a b c a a b bc c+ + = - - + + =K K

= ( )( ) ( )2 2 2a b c abc a- + - + +K K .

Поскольку сумма в последних скобках равна нулю,делимость доказана.Из этого простого рассуждения и родились постепенновсе пункты задачи М2023.

В.Произволов, В.Сендеров

M2024. Существует ли выпуклый многоугольник, вкотором каждая сторона равна какой-то диагонали,а каждая диагональ равна какой-то стороне?

Ответ: нет.Предположим противное,и пусть AB – наибольшаясторона многоугольника,CD – наименьшая диаго-наль, E – такая вершина,что точка E и отрезок ABлежат по разные сторо-ны от прямой CD (см.рисунок). Так какAE AB£ и BE AB£ ,

то 60AEBР ³ ° . С другой стороны, так как DE CD³и CE CD³ , то 60CEDР £ ° . Противоречие.

Б.Френкин

M2025*. Натуральные числа a, b, c, d образуютвозрастающую арифметическую прогрессию.а) Докажите, что для любого нечетного n произведе-ние abcd может оказаться n-й степенью натурально-го числа.б) Докажите, что произведение abcd не может бытьквадратом натурального числа.

а) Пусть t нечетно. Будем искать прогрессию в виде1 2 3x yЧ Ч , 2 2 3x yЧ Ч , 3 2 3x yЧ Ч , 4 2 3x yЧ Ч . Найдем 0y ³такое, что 4 1y t+ M . Для этого достаточно положить

( )1

14

y t= - при ( )1 mod 4t º и ( )1

3 14

y t= - при

( )3 mod 4t º .

Далее можно взять х = 3у.б) Без ограничения общности будем считать, что членыпрогрессии взаимно просты в совокупности:НОД( , , , ) ( , , , ) 1a b c d a b c d≡ = .Нетрудно показать, что каждую арифметическую про-грессию, удовлетворяющую условиям пункта б), мож-но представить в одном из следующих видов:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

, , ,

3 , 2 , , 6

6 , , 2 , 3 ,

x y z t

x y z t

x y z t

ё

ё

ё

где , , ,x y z t ОN .Рассмотрим первый случай. Из системы

2 2 2

2 2 2

2 ,

2

y x z

z y t

м = +пн

= +поимеем

( ) ( )2 2 2 2 2 22 2yt xz z t x y- = - ,

откуда

( )( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 22 4u v u v z t x y- + = + ,

где u = yt, v = xz. Получаем4 2 2 4 2u u v v B- + = , где , ,u v B ОN , u v . (1)

Рассмотрим второй случай. Из системы

2 2 2

2 2 2

3 4 ,

3

x z y

y t z

м + =пн

+ =по

имеем 2 2 2x t y+ = . Так как ( ), , , 1a b c d = , то число х

нечетно, ( ), 1x y = . Отсюда

( ), 1y t y t+ - = , 2y t u+ = , 2y t v- = ,

где ,u v ОN . Переписав второе равенство системы ввиде

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2y t y t y t y t z+ - + - + - =

и сделав замену, мы опять приходим к (1).Третий случай аналогичен второму.Докажем, что (1) невозможно.

Латинскими буквами мы будем обозначать в доказа-тельстве натуральные числа.Без ограничения общности будем считать u > v,(u, v) = 1. Перепишем (1) в виде

( ) ( )2 22 2 2u v uv B- + = . (2)

Пусть u, v – нечетные числа. Поскольку

( )2 2, 1u v uv- = , существуют m и n такие, что ( ), 1m n = ,

m и n – разной четности, 2 2 2u v mn- = , 2 2uv m n= - .Получаем

( ) ( )2 24 2 2 4 2 2m m n n m n mn- + = - + =

= ( )( )

2 22 2 2 22

4 2

u v u vuv

- ж ц++ = з чи ш

.

Мы получили равенство вида (2), в левой частикоторого стоят числа разной четности m и n.Пусть u, v – числа разной четности. Будем считать, чтоu нечетно (случай нечетного v аналогичен). Существу-ют m и n такие, что ( ), 1m n = , m и n – разной четности,

2 2 2 2u v m n- = - , uv = 2mn. При этом m нечетно,поскольку в противном случае было бы

( )2 21 1 mod 4u nº º - º - . Обозначив 0 2

vv = , получа-

ем 0uv mn= . Из этого равенства легко вывести, чтосуществуют а, b, c, d такие, что u = ac, 0v bd= , m =

= ad, n = bc. Поскольку ( )0, 1u v = , то ( ) ( ), , 1a b c d= = .Из нечетности чисел u, m следует, что а, с, d нечетны.Значит, вследствие четности n, число b четно. Подстав-ляя u = ac, 02 2v v bd= = , m = ad, n = bc в равенство

2 2 2 2u v m n- = - , получаем

( ) ( )2 2 2 2 2 24a b c a b d+ = + .

Обозначим ( )2 2 2 2, 4l a b a b= + + . Поскольку 23a lM ,23b lM , ( ), 1a b = , то 3 lM . При l = 3 было бы 2 2 3a b+ M ,

откуда 3aM , 3bM – в противоречии с ( ), 1a b = .

Получили l = 1. Отсюда 2 2 2d a b+M , 2 2 24c a b+M .

Далее, поскольку ( ), 1c d = , то 2 2 2a b d+ M , 2 2 24a b c+ M .

Следовательно, 2 2 2a b d+ = , ( )22 22a b c+ = . Посколь-

ку ( ), 1a b = , а нечетно, то ( ), 2 1a b = . Значит, суще-

ствуют 1u и 1v такие, что ( )1 1, 1u v = , 1u и 1v – числа

разной четности, 2 21 1a u v= - , 1 1b u v= . Подставляя

последние два равенства в 2 2 2a b d+ = , получаем4 2 2 4 21 1 1 1u u v v d- + = . При этом 1 1 2u v b bd v uv= < = £ ,

откуда 1 1u v uv< .Таким образом, утверждение доказано методом спуска.Замечания1. Ясно, что утверждение пункта б) справедливо и дляпрогрессий с рациональными (но уже не обязательноцелыми) положительными членами. Однако на про-грессии с произвольными целыми (не обязательноположительными) членами это утверждение распрост-ранить нельзя. Это показывает пример прогрессийвида –m, –n, n, m, где n ОN .2. Результат пункта б) – обобщение теоремы Ферма, по

которой не существует четырех различных квадра-тов натуральных чисел, составляющих арифмети-ческую прогрессию.Рассмотрим вопрос о непостоянных арифметическихпрогрессиях вида 2a , 2b , 2c , где , ,a b c ОN ,( ), , 1a b c = . Легко показать, что таких прогрессий (идаже прогрессий вида 2a , 4b , 2c ) бесконечно много(оба утверждения доказываются почти одинаково).Бесконечно много и прогрессий вида 4 2 2, ,a b c , уже вслучае а = 1.Существует и прогрессия 4 4 2, ,a b c : при а = 1, b = 13,c = 239. Можно доказать, что и таких прогрессийбесконечно много (по этому поводу см., например,книгу В.Серпинского «О решении уравнений в целыхчислах», с.69–71, www.math.ru). Однако прогрессийвида 4 2 4, ,a b c не существует, это тоже доказываетсяметодом спуска. В частности, не существует прогрес-сий 4 4 4, ,a b c .3. Рассмотрим арифметическую прогрессию а, b, c изразличных натуральных чисел. Тем же способом, чтои выше, легко доказать, что произведение abc можетоказаться любой натуральной степенью, не кратной 3.Наметим доказательство того, что равенство 3abc e=выполняться не может.Пусть оно выполняется. Представим прогрессию водном из трех видов:

3 3 3

3 3 3

3 3 3

, ,

2 , , 4

4 , , 2 ,

x y z

x y z

x y z

ё

ё

ёгде , ,x y z ОN .В первом случае имеем 3 3 32x z y+ = , во втором

3 3 32x z y+ = (третий случай аналогичен второму).Однако доказано, что первое равенство выполняетсялишь при x = y = z, второе – выполняться вообще неможет. Это утверждение эквивалентно следующему.Теорема. 3 32 1 1= + – единственное представлениечисла 2 в виде суммы кубов двух рациональных чисел.Из этого глубокого и важного предложения легкополучаются такие утверждения.Следствие 1. Уравнение 3 21x y+ = имеет в натураль-ных числах единственное решение: ( )2, 3 .Следствие 2. Ни при каком n > 1 сумма 3 31 n+ +K неявляется кубом натурального числа.Следствие 3. Ни при каком n > 1 сумма 2 21 n+ +K неявляется кубом натурального числа.Легко показать, что следствия 1 и 2 эквивалентны, ивывести следствие 3 из следствия 2.Утверждение следствия 1 было хорошо известно школь-никам уже в математических кружках около полувеканазад. Широко распространено убеждение, что этоутверждение не имеет элементарного доказательства.(Это убеждение отразилось, например, в российскомиздании ценной и содержательной книги Чарльза Тригга«Задачи с изюминкой».) Однако в действительностидаже приведенная выше теорема имеет абсолютноэлементарное (хотя достаточно сложное и весьма длин-ное) доказательство.

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 23

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 324

подставки и сразу начнет набирать вертикальную ско-рость, направленную вниз, под действием силы тяже-сти (рис.2). За то малое время, пока к краю подъедетвторой шарик, гантелька не успеет заметно повернуть-ся, поэтому

вг

0,0510 м с 0,25м с

2

Lv g g

vτ= = = Ч =

(кстати, можно оценить и угол поворота гантельки заэто время: ( )в г0,5 1 16 рад 4°v L v Lα = = » ). Угло-вая скорость вращения далее не изменяется, она со-ставляет вv Lω = , и за время падения с высоты Н == 30 м гантелька повернется на угол

в 212,3 рад

v Ht

L gϕ ω= = » .

Это почти 2 полных оборота.А.Повторов

Ф2035. Проводится расчет броска камня через тон-кую вертикальную стенку. Расчет показал, что прибросании под углом 30° к горизонту минимальнаяскорость составляет 100 м/с, а при броске под углом60° достаточно 40 м/с. Какой скорости может хва-тить, если разрешено подойти к стенке поближе?Бросок производят с поверхности земли.

Запишем уравнение траектории, проходящей черезверхнюю точку стены:

2

2 20

tg2 cos

gLH L

vα

α= - ,

где Н – высота стены, L – расстояние от точки броскадо нижней точки стены, 0v – начальная скоростькамня, α – угол броска. Мы бросаем оба раза из однойточки, находящейся на уровне поверхности земли,скорости и углы для этих случаев даны в условиизадачи. Подставляя заданные значения, получаем про-стую систему уравнений

2

2 2

10tg 30

2 100 cos 30

LH L= ° -

Ч °,

2

2 2

10tg 60

2 40 cos 60

LH L= ° -

Ч °.

Отсюда легко найти высоту стены: 45 мH » . Длятакой стены скорость «ближнего» броска составляетпримерно 30 м/с. Нет смысла считать точнее – данныев условии явно округлены.

З.Простов

Ф2036. На гладкой горизонтальной поверхности на-ходится узкая коробка длиной L = 0,2 м и массойМ = 100 г, посредине коробки покоится маленькийшарик массой m = 10 г. Коробке ударом придаютскорость v = 10 см/с параллельно ее длинной стороне.Шарик может двигаться только вдоль коробки, уда-ряясь абсолютно упруго о ее торцы. Сколько ударовпроизойдет за первую минуту после начала движениякоробки? Найдите смещение коробки за это время.

Первый удар произойдет через 1 секунду. Заметим, чтопри абсолютно упругом лобовом ударе двух тел оста-

Ф2033. По прямой дороге бежит кролик, его скоростьпостоянна и равна v = 2 м/с. Кролика замечает лиса– она находится в этот момент на расстоянии L == 40 м от дороги (кролик в этот момент такженаходится на расстоянии L от лисы). Лиса бросает-ся в погоню, ее скорость равна по величине скорости

кролика. На каком мини-мальном расстоянии откролика лиса сможет ока-заться через время t = 40 спосле начала погони? Счи-тать лису и кролика мате-риальными точками.

Кролик за 40 секунд убе-жит на 80 метров, именно в

эту точку и должна бежать лиса (см. рисунок). Найдемрасстояние между участниками забега:

2 240 80 м 80 м 9,44 мl = + - » .

Ясно, что если у лисы времени будет побольше, то онасможет подобраться к кролику сколь угодно близко…

З.Рафаилов

Ф2034. По гладкой гори-зонтальной поверхностиподставки скользит ма-ленькая гантелька, состо-ящая из очень тонкого лег-

кого стерженька длиной 5 см и двух маленьких массив-ных шариков на концах (рис.1). Скорость гантелькинаправлена вдоль стержня и составляет 2 м/с.Соскользнув с края подставки, гантелька продолжа-ет движение. Оцените число оборотов, которое она

совершит, падая с высо-ты 30 м.

«Передний» шарик ган-тельки проскочит край

Отметим, что справедливо гораздо более общее, неже-ли следствие 1,Предложение. Система чисел (3, 2, 2, 3) – единствен-ное решение уравнения 1y tx z- = в натуральныхчислах, больших 1.К обсуждению этой глубоко нетривиальной теоремымы намерены вскоре вернуться в нашем журнале.Возвращаясь к следствиям 2 и 3, отметим, что уравне-ние в натуральных числах 2 2 21 x y+ + =K имеет ров-но два решения: ( )1, 1 и ( )24, 70 . Известны различныедоказательства этого факта. Однако все они неэлемен-тарны.С суммами же 3 31 n+ +K дело обстоит по-другому.Легко доказать, что любая такая сумма – точныйквадрат; несколько сложнее – что среди таких суммбесконечно много четвертых степеней. Если же выдокажете, что при n > 1 восьмых степеней среди такихсумм нет, – значит, вы хорошо поняли решение этойзадачи (по-видимому, самой трудной задачи в «Задач-нике «Кванта» по математике в 2006 году).

В.Сендеров

Рис. 1

Рис. 2

ется неизменной их относительная скорость (это легкодоказать, а знать этот факт полезно, многие задачистановятся проще…). Тогда каждый следующий ударбудет происходить через 2 секунды после предыдуще-го. За оставшиеся 59 секунд произойдет 29 ударов, иеще секунду будет «безударное» движение.Найдем скорость коробки после первого удара, вос-пользовавшись законами сохранения импульса и энер-гии

1 2mv mu Mu= + и 2 221 2 .

2 2 2

mu Mumv= +

Учтем, что М = 10m, тогда одно возможное значениескорости коробки будет 21 2 11u v= , второе – 22 0u = .После первого удара получается первое значение,после второго скорость должна измениться, но суммар-ные импульс и энергия системы остаются прежними, авозможные решения уравнений мы уже перечислили,поэтому коробка после второго удара остановится.Затем все снова повторится. За две секунды коробкапроедет расстояние 2 2 11 2 55 мu L v L= = , следую-щие две секунды она не двигается. Тогда смещениекоробки за минуту составит

2 2914 0,5 м

11 11 11

L L Ll = Ч + = » .

А.Шариков

Ф2037. В сосуде постоянного объема находится смесьгелия и кислорода. Смесь нагревают от 300 К до400 К, при этом половина атомов гелия покидаютсосуд через очень мелкие трещины в стенках, адавление газа остается прежним. Во сколько разизменяется при этом плотность смеси? Моль кисло-рода имеет массу 32 г, моль гелия – 4 г.

Это совсем простая задача. Пусть количества гелия икислорода вначале равны 1ν и 2ν соответственно.Общее количество вещества в системе после нагревадолжно составлять 1 20,5ν ν+ . Поскольку давлениегаза не изменяется,

( ) ( )1 2 1 1 2 20,5T Tν ν ν ν+ = + ,

откуда 1 2ν ν= . Итак, количество атомов гелия вначалебыло равно количеству молекул кислорода. Объемсмеси при нагревании не изменился, тогда отношениеплотностей будет равно

2 1 2

1 1 2

0,5 0,5 4 32 17

4 32 18

ρ Μ Μρ Μ Μ

+ Ч += = =

+ +.

Г.Азов

Ф2038. С порцией гелия производят циклическийпроцесс – расширение газа при постоянном давлении,затем охлаждение газа при неизменном его объеме и,наконец, сжатие газа без подвода тепла снаружи доначального давления. Может ли термодинамическийКПД такого цикла оказаться больше 50%?

Работа в цикле равна (см. рисунок)

( )1 2 1 1A p V V A= - - ,

где 1A – работа газа при адиабатическом расширении

от 1V до 2V (газ в дан-ном процессе адиабати-чески сжимается, поэто-му соответствующее сла-гаемое берется со зна-ком «минус»).Тепло газ получает толь-ко на участке изобари-ческого расширения. Ге-лий – одноатомный газ, поэтому полученное на изобареколичество теплоты составляет

( )1

1 2 12,5p

p

C p VQ C T p V V

R

∆ν ∆= = = - ,

где 2,5pC R= – молярная теплоемкость одноатомногогаза при постоянном давлении.Термодинамический КПД данного цикла

( )

( )1 2 1 1

1 2 1

10,4

2,5 2,5

p V V AA

Q p V Vη

- -= = £ =

-

и, тем более, меньше 50%.А.Зильберман

Ф2039. Стрелочные вольтметры высокого классаточности имеют, как правило, очень низкое сопро-тивление, и включать их в цепь для измерения напря-жения во многих случаях просто недопустимо –слишком сильно при этом изменится режим схемы(напряжение между исследуемыми точками при под-ключенном вольтметре станет совсем другим). Дляизмерения напряжений порядка 5 В предлагаетсяиспользовать схему, состоящую из точного вольт-метра V – предел измерений 10 В, сопротивлениеприбора 1000 Ом, класс точности 0,2, т.е. погреш-ность не превосходит 0,2% от максимального зна-чения шкалы, и микроамперметра А – ток полногоотклонения 100 мкА, сопротивление прибора1000 Ом, класс точности 2,5, т.е. погрешность непревышает 2,5% от максимального значения егошкалы. К точкам А и Бсхемы (см. рисунок) подклю-чают измеряемое напряже-ние, между точками В и Гвключают регулируемыйисточник напряжения – ла-бораторный блок питания,напряжение которого мож-но очень плавно изменять вшироких пределах. При из-мерении напряжение источ-ника плавно изменяют, до-биваясь минимального токачерез микроамперметр. За результат принимаютпоказание вольтметра при «нулевом» токе черезмикроамперметр. Будем считать, что минимальныйток, уверенно фиксируемый микроамперметром, со-ставляет 2 мкА. Определите погрешность измеренийполучившегося «вольтметра» и его сопротивление.

Погрешность измерения напряжения складывается изнеточности вольтметра и неточности определения «ба-

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 25

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 326

катушки после длительных изменений вернутся к на-чальным значениям.Теперь можно закончить решение задачи. В любоймомент времени ЭДС индукции любой из катушекравна напряжению на резисторе, т.е.

12 RL I RI t R q∆ ∆ ∆= = .

При суммировании получится в левой части ( )12L J I- ,в правой части RRq . Окончательно, для первогослучая прошедший через резистор заряд будет равен

3142,67 10 Кл

3RLI

qR

-= = Ч ,

для второго случая заряд получится нулевым.Баланс энергий для первого случая дает количествотеплоты

2 2 21

14

0,0583 Дж3 2

LI CI RW = + = .

Для второго случая энергии катушек в начальныймомент и в конце одинаковы, остается только второеслагаемое, т.е.

2 2

2 0,005 Дж2

CI RW = = .

А.Старов

Ф2041. Источник переменного напряжения включенмежду точками А и Б цепи (см. рисунок). При какойчастоте источника амплитуда напряжения, изме-ренного между точкамиВ и Г, будет ровно в 10раз больше амплитудынапряжения источника?Конденсаторы имеютемкости С = 10 мкФ,катушки – индуктивно-сти L = 1 Гн.

Токи через первую и вторую LC-цепочки одинаковы,напряжения конденсатора и катушки в каждой цепочкепротивофазны. Отсюда следует, что напряжение меж-ду точками В и Г равно сумме модулей напряженийкатушки и конденсатора, а между точками А и Б – ихразности. Тогда

( )1 2 1 210U U U U+ = - , или 1 29 11U U= .

Если напряжение на катушке больше, чем на конден-саторе, то

119 L

Cω

ω= ,

и для частоты получаем

11

11349,6 c

9LCω -= = , или 1 55,6 Гц

2f

ωπ

= = .

Но есть и вторая возможность, когда напряжениеконденсатора больше по величине, чем напряжениекатушки. В этом случае частота равна

12

9286 c

11LCω -= = , или 2 45,5 Гцf = .

В первом случае частота выше резонансной частоты

ланса» напряжений. Первая погрешность составляет0,2% от максимального значения шкалы вольтметра,т.е. 0,02 В, вторая равна произведению сопротивлениямикроамперметра и минимального тока через него,который мы можем зафиксировать, т.е.

3 610 Ом 2 10 A 0,002 B-Ч Ч = , что на порядок меньшепервого вклада в погрешность измерений. Погреш-ность микроамперметра на результат не влияет –микроамперметр вообще мог бы иметь только одно«нулевое» значение на шкале. Всего получается по-грешность не более 0,022 В, что составляет примерно0,2% от максимального значения шкалы прибора, – врезультате мы практически реализуем класс точностинашего вольтметра, т.е. 0,2%. «Входной» ток нашеговольтметра не превышает 2 мкА, поэтому сопротивле-ние получается равным ( )6 65 B 2 10 A 2,5 10 Ом-Ч = Ч ,что во много раз превышает сопротивление обычных«стрелочных» вольтметров на данное значение измеря-емого напряжения! При таком способе измерений уда-ется объединить точность прибора (вольтметра) ивысокую чувствительность микроамперметра.

З.Хитров

Ф2040. Параллельно включены катушки с индук-тивностями 1 Гн и 2 Гн, резистор сопротивлением100 Ом и конденсатор емкостью 100 мкФ. К цепиподключают внешний источник напряжения, и посленескольких переключений элементов в некоторыймомент через катушки протекают равные по величи-не токи 0,2 А, а через резистор в этот момент течетток 0,1 А. Затем внешний источник отключают,предоставляя параллельную цепь самой себе. Найди-те полный заряд, который после этого протечетчерез резистор, а также полное количество тепло-ты, которое выделится в резисторе. Элементы цеписчитать идеальными.

Обозначим направления и величины токов на «скеле-те» цепи в начальный момент (см. рисунок): 1I – через

катушку индуктивностью2L = 2 Гн, 2I – черезкатушку индуктивностьюL и I – через резисторсопротивлением R == 100 Ом. Начиная с это-го момента ЭДС индук-ции катушек все время

одинаковы, а значит, и изменения магнитного потокакатушек равны друг другу. Тогда при токе J черезкатушку индуктивностью 2L ток через катушку индук-тивностью L будет равен (направления токов-стрелокоставим прежними) 1 22 2I I J+ - , и через большоевремя этот ток станет равным J (к этому времениконденсатор будет окончательно разряжен и ток черезрезистор упадет до нуля). Отсюда ( )1 22 3J I I= + .В условии задачи не сказано, куда текут начальныетоки. Очевидно, что нужно рассмотреть два случая –токи направлены в одну сторону ( )1 2I I= - и в разныестороны ( )1 2I I= . При этом направление тока черезрезистор для нас несущественно. Тогда в первом случае

1 3J I= , во втором случае 1J I= , т.е. токи через

Рис. 1

Рис. 2

последовательного LC-контура (она равна примерно50,3 Гц), во втором случае – ниже.

Ф.Азов

Ф2042. На гладкой горизонтальной поверхности на-ходится груз массой М = 2 кг, к его боковым стенкамприклеены две одинаковые пружины жесткостью

k = 100 Н/м каждая(рис.1). Одна из пружинприкреплена концом к сте-не, конец другой пружинымы перемещаем по гори-зонтали. Координататочки А при этом изменя-

ется по закону cosx 0,02 20t= (в этой формулевремя t измеряется в секундах, координата х – вметрах). Найдите амплитуду колебаний груза наэтой частоте.

Установившиеся колебания груза происходят с час-тотой вынуждающей силы 120 cω -= , на груз дейст-

вует сила ( )k x y ky- -(рис.2), ускорение грузаопределяется этой силой.Для упрощения вычисле-ний полагаем длины пру-жин в недеформированном

положении равными нулю – выражения получаютсяпопроще, а дополнительные силы, постоянные по вели-чине, на колебания с частотой ω влияния не оказыва-ют. Координата груза ( )y t определяется из уравнения

2My ky kx= - +¢¢ .

Если записать ( )0 cosy A tω ϕ= + , то получим

( ) ( )20 0cos 2 cosMA t kA tω ω ϕ ω ϕ- + + + = 0,02 cosk tω .

Для нахождения сдвига фаз – угла ϕ – рассмотриммомент времени 1t , для которого 1 2tω π= . Есличастота отлична от резонансной, то получаем sin 0ϕ = .Возьмем 0ϕ = . Тогда амплитуда колебаний грузабудет равна

0 2

0,020,0033 м

2

kA

k Mω= = -

-.

Амплитуда на данной частоте получилась отрицатель-ной – колебания груза противофазны колебаниямточки А. Можно получить «нормальную», положи-тельную амплитуду колебаний, если немного вернуть-ся назад и взять значение ϕ π= . Для меньшей частоты(ниже резонансной) колебания груза будут происхо-дить в фазе с вынуждающими колебаниями концапружины.

М.Учителев

Победители конкурса

«Задачник «Кванта»

2006 года

Первое место заняли

по математикеНижибицкий Евгений – г. Краснодар, школа 73;

по физикеПех Павел – г. Красноярск, школа 145,

Пастухов Владимир –п. Красное-на-Волге Костромской обл., школа.

Второе место заняли

по математикеБалай Евгений – Киргизия, г. Бишкек, ФМЛ;

по физикеФея Олег – Украина, г. Днепродзержинск, лицей 1,

Абдрахманов Владимир – г. Волгоград, лицей 3.

Третье место заняли

по математикеЕсин Алексей – ст. Старонижестеблиевская Краснодарского кр., школа 55,

Каровски Сергей – Старый Оскол, школа 22;по физике

Василевич Владимир – г. Армавир, школа 9,Трегубов Илья – г. Армавир, школа 9.

Победители, занявшие первые места по математике и физике, награждаются комплектами журнала“Квант” за второе полугодие 2007 года.

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 27

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 328

Задачи

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8классов. И

ллю

страция Д

.Гриш

уковой

1. Профессор Мумбум-Плюмбум заподозрил, чтонекоторые студенты спят на его лекции. Чтобы устано-вить число безобразников, он незадолго до началалекции скрытно установил храпометры во всех углахаудитории, представляющей собой правильный шес-тиугольник с длиной стороны а. Каждый храпометрулавливает количество спящих на расстоянии, не пре-вышающем а. После лекции оказалось, что все храпо-метры в сумме зафиксировали 7 спящих. Сколькостудентов спало на лекции?

К. Каибханов

2. Диагонали разрезали четырехугольник на треу-гольники, которые попеременно окрашены в красныйи синий цвета. Известно, что сумма площадей красныхтреугольников равна сумме площадей синих. Докажи-те, что какая-то диагональ четырехугольника делит егоплощадь пополам.

В. Произволов

3. Верно ли, что любое натуральное число, деляще-еся на 9, отличается от некоторого натурального числаn на сумму цифр этого числа n?

И. Акулич

4. Однажды физик, купив сахар и колбасу, решилпроверить их вес на чашечных весах, случайно обна-руженных в магазине. Сахар на левой чашке весов онуравновесил гирей 8 кг на правой чашке, а колбасу направой чашке уравновесил гирей 2 кг на левой чашке.Каково же было его удивление, когда, придя домой ипроверив вес каждого товара на высокоточных элект-ронных весах, он обнаружил, что общий вес егопокупки больше 10 килограммов. При этом колбасаоказалась тяжелее сахара. «Ага, весы были неравноп-лечные!» – решил физик. Сколько в таком случаевесят колбаса и сахар, если вес каждого товара выра-жается целым количеством килограммов?

Г. Гальперин

5. В отчете Французской Академии наук за 1733 годсреди прочих результатов и достижений указывается,что когда некое тело подносится близко к лицу, оно«вызывает такие же ощущения, как если бы натолк-нуться на невидимую паутину». О каком физическомэффекте идет здесь речь?

С. Кротов

УЧИЛСЯ МОЙ ДРУГ ТОЛЯ КАК ВСЕ. НЕПЛОХО. НОРМАЛЬНО.Были, конечно, и проблемы. Его из начальной

школы в пятый класс не хотели переводить. Вернее,все хотели, а учитель математики не хотел. Из-затаблицы умножения это было. Никак она Толику недавалась. Все он мог по математике, а умножать – нуне получалось.

И вот в самый последний день учебного года, когдагодовые оценки все получили, а Толик не получил,наш Иван Петрович вызвал Клюквина в опустевшуюучительскую, чтобы дать ему задание на лето.

Мы с ребятами не спешили расходиться по домам иждали Толика в нашем классе. Вот, наконец, Толяпоказался на пороге.

– Ну, что там? Как вопрос решился? – почти хором

мы обратились к нему.– Да пока не решился… Вернее, мне надо решить

одну задачу…– Какую? Рассказывай! Какую задачу учитель тебе

задал?– Смотрел-смотрел на меня Иван Петрович, – начал

Толик, – вздыхал-вздыхал, а потом говорит: «Вот естьинтересная задача. Возьми-ка ты, Толя, 2000 идущихподряд натуральных чисел 1, 2, …, 2000. Каждое из нихможно на себя умножить. Это называется – вычислитьквадрат. Так вот, рассмотри все эти 2000 квадратов. Асказать ты мне должен, у скольких полученных квад-ратов цифра десятков нечетная. Лето не только длятого, чтобы мяч гонять! Справишься с работой –пойдешь в пятый класс. А нет – на второй год».

Случай с ТолейКлюквиным

С . Д В О Р Я Н И Н О В

Иллю

страция

В.И

ваню

ка

29К М Ш

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 330

– Я тут же в уме прикинул, – горестно заключилТоля, – каникулы длятся почти сто дней, так что мнекаждый день надо будет находить двадцать произве-дений!

Мы все молчали: число 2000 впечатляло. Две тысячиквадратов! Сколько бумаги уйдет! И от этого зависелобудущее нашего друга! Ясное дело, никто из нас этомуне обрадовался. Ребята в классе были дружные, у настакая была классная футбольная команда – чемпионрайона (среди нашего возраста, конечно), Толик –вратарь. Нельзя нам такого друга терять. Толика надобыло спасать. Конечно, проще всего каждому взять насебя 200 чисел и найти их квадраты. Но и это работанемалая.

– А компьютер на что? – подал голос Жора-Ноут-бук. У нашего полузащитника кроме футбола былаеще страсть – компьютер и все, что с ним связано. –Напишем программу, и компьютер нам все посчи-тает.

– Кто много считает, тот мало думает, – отозвалсяВаня-Теоретик. Он тоже всегда с нами в нашей коман-де. Только запасной.

– На самом деле все просто! – зазвенел его голос вклассе. – Если взять все числа от 1 до 2000, то срединих 1000 нечетных. Квадрат нечетного числа оканчи-вается нечетной цифрой, значит, среди всех квадратов1000 будут оканчиваться нечетной цифрой. Все!

– Причем тут последняя цифра! – набросились мына Ваню. – Вечно ты все перепутаешь! Иван Петровичспрашивает о предпоследней цифре!

– Да, – сконфузился наш теоретик, – я поспешил.Обычно в задачах спрашивают о последней цифре, атут речь идет о предпоследней, о цифре десятков. Этопосложнее… – Он вышел к доске и взял мел.

– Пусть p – последняя цифра в десятичной записинатурального числа n. Тогда n + p четное число, ачисло n – p оканчивается нулем и поэтому делитсяна 10. Следовательно, произведение этих двух чисел

( ) ( )+ - = -2 2n p n p n p делится на 20. Отсюда следу-

ет, что, во-первых, последние цифры чисел 2n и 2

p

совпадают и, во вторых, предпоследние цифры (т.е.количество десятков) либо обе четные, либо обенечетные. Нас интересует нечетное количество десят-ков числа 2

n . Значит, надо посмотреть, у квадратовкаких цифр количество десятков нечетно.

Тут наш полузащитник Петя не удержался, и надоске мгновенно (так он порой выстреливал мяч наполовину футбольного поля противника) появиласьтакая запись:

=20 00 , =2

1 01 , =22 04 , =2

3 09 , =24 16 ,

=25 25 , =2

6 36 , =27 49 , =2

8 64 , =29 81 .

После этого мел перешел к нашему правому крайне-му Коле:

– Среди этих десяти чисел число десятков нечетнолишь у =2

4 16 и =26 36 . Последняя цифра в каждом

из этих двух случаев равна 6. Следовательно, следова-тельно… – он задумался, но тут на помощь пришелнаш центральный нападающий Вася, поставивший

последнюю точку в логической комбинации, начатойВаней-Tеоретиком:

– …Следовательно, число десятков в записи квадра-та любого числа 2

n нечетно лишь тогда, когда числоn оканчивается цифрой p = 4 или p = 6. Таких чиселв каждом десятке два. Следовательно, среди квадра-

тов K2 2 21 ,2 , ,2000 пятая часть, т.е. четыреста, имеют

нечетную цифру десятков. Ура! Задача решена! Ответ втвоей, Толик, задаче (или нашей задаче?) такой: из2000 квадратов идущих подряд натуральных чисел400 имеют в своей записи нечетную цифру десятков.

Толя Клюквин сперва обрадовался, а потом при-уныл:

– Уж больно сложное решение, начну рассказывать,запутаюсь. А проще есть решение?

Тут настал черед нашего невозмутимого Паши-Праг-матика. Не в его правилах было увлекаться разнымифутбольными трюками, он отдавал предпочтение си-ловым приемам. Обычно он бил у нас одиннадцати-метровые.

– Да что тут рассуждать, для всяких там n и pуравнения составлять! Проще решаем задачу! Практи-чески! Видите, на стене висит таблица? – он показална пожелтевший лист ватмана. – В ней приведеныквадраты ста целых чисел от 1 до 100. У скольких средиэтих квадратов цифра десятков нечетная? В первомдесятке два таких квадрата, во втором тоже два:

=214 196 и =2

16 256 , в третьем десятке тоже два:

=224 196 и =2

16 256 , и так далее. Всего 20 нужныхнам квадратов среди первых ста. И так в каждойследующей сотне, потому что цифра десятков квадра-та натурального числа зависит только от последнихдвух цифр этого натурального числа. Всего в двадцатисотнях имеем ѣ =20 20 400 нужных нам квадратов снечетной цифрой десятков.

Помните, Иван Петрович говорил, что математика –это искусство избегать вычислений? Так что твоелетнее задание, Толя, – Паша повернулся к Клюквину,– не на таблицу умножения, не на вычисления двухтысяч квадратов, а на… в общем, на математику!

Толя Клюквин благополучно перешел в пятый класс.Летом у него, как и у всех нас, было много временидля футбола. Да, обязательно надо еще сказать, чтопосле этого случая Толя Клюквин увлекся не толькофутболом, но и алгеброй с геометрией, и теориейчисел. Таблицу умножения, конечно, выучил-таки, проэто и говорить нечего. А кроме того, стал читатьвсякие математические книжки, в олимпиадах уча-ствовать и даже подписался на физико-математичес-кий журнал. Про футбол мы тоже не забывали. Такчто со временем нашу ФМШ – физико-математичес-кую школу – люди знающие и понимающие толк внауке и спорте стали называть футбольно-математи-ческой школой.

С полюса –на полюс

А.СТАСЕНКО

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

– Нет никаких сомнений! – воскликнул Гленарван.– …мы нашли ключ к решению почти всей загадки, иединственным неизвестным теперь является долгота…

Жюль Верн

КАК ИЗВЕСТНО, ДЕТИ КАПИТАНА ГРАНТА РЕШИЛИ ПРОЙ-ти, проплыть, проскакать вокруг Земли вдоль тридцать

седьмой параллели южной широты ( 37θ = - ° ). А вот былслучай, когда Общество по распространению пингвинов(Penguin Distribution Society) распорядилось, наоборот,вдоль меридиана доставить партию своих любимых существс южного полюса на северный «в течение сорока восьмичасов» (как полагается при всяком серьезном распоряже-нии). Конечно, такое требование можно было выполнитьтолько при помощи летательного аппарата. Кстати, требуе-мая при этом скорость полета vθ не так уж велика – разделимдлину меридиана (или полуокружности Земли) на время,равное двум суткам:

33,14 6400 10 м116 м с 420 км ч

2 2 24 3600 c

Rv

Tθπ Ч Ч

= » » »Ч Ч

.

Заметим, что в сказанном выше уже содержится намек насистему координат (рис.1): географическая широта θ отсчи-тывается от экватора (где e 0θ = ) и достигает на полюсахзначений N 90θ = ° и S 90θ = - ° . А индекс « θ » у скоростиуказывает на то, что эта скорость направлена строго померидиану, вдоль которого изменяется только угол θ , а

долгота ϕ остается по-стоянной. Это значит,что нет составляющейскорости, направленнойвдоль параллели, т.е.

0vϕ = . Таким образом,первый самолет все вре-мя находится в плоско-сти, вращающейся вме-сте с Землей.

Но почему «первый»?А дело в том, что потре-бовалось переместить ивторую партию пингви-нов с южного на север-ный полюс за те же 48часов, но в плоскости,неподвижной относи-

тельно звезд, – в качестве контрольного образца: мало личто думают пингвины о звездах и о Солнце!

Поскольку Земля вращается «с запада на восток», относи-тельно Земли второй самолет должен все время лететь назапад, так что по прибытии на другой полюс угол ϕизменится на 2 360 720Ч ° = ° (вспомним – за двое суток). Ноэто значит, что на второй самолет атмосфера (котораявращается вместе с Землей) будет «дуть» все сильнее по мереприближения к экватору, где линейная скорость достигает

значения3

e2 2 3,14 6400 10 м

460 м с24 3600 c

Rv v

Tϕπ Ч Ч Ч

= = » »Ч

– в полтора раза больше скорости звука! Тут уж не обойтисьбез истребителя или сверхзвукового авиалайнера.

Итак, два самолета одновременно отправились с южногополюса на северный вдоль, например, нулевого меридиана,где 0ϕ = (что может быть фундаментальнее нуля!). Взгля-нув на карту или глобус, можно сразу предсказать, границыкаких стран пересечет первый самолет. А вот штурманувторого самолета придется подумать о предстоящей траекто-рии полета, чтобы сообщить об этом заранее наземнымдиспетчерам (во избежание международных конфликтов).Подумаем и мы.

Если меридиональная скорость самолета vθ постоянна, тоширота его местонахождения пропорциональна времени (рис.2,а):

N

290 90 1

v t t

R tθθ

ж ц= - ° + = ° -з чи ш

, ( * )

где N 2t = суток – время прибытия на северный полюс.Можно убедиться, что при t = 0 имеем S 90θ = - ° , а при

Nt t= получаем N 90θ = + ° . Естественно, что через сутки обасамолета должны одновременно пересечь экватор ( e 0θ = ) водной и той же точке (тут важно не столкнуться), но подразными углами: первый под углом 90° , а второй под углом

e

1arctg arctg 14

4

v

vθ = = ° . Так что если стартовать с южного

полюса вдоль нулевого меридиана, то указанное событиепроизойдет над Гвинейским заливом (см. карту или глобус).И при этом скорость второго самолета относительно Землибудет равна

22 2e e e

e

11 1

16

vv v v v

vθ

θж ц

+ = + = +з чи ш.

А для любого значения широты, как легко показать, ско-рость второго самолета равна

2 2e

11 16 cos cos

16v v vθ θ θ= + = + .

Но чтобы найти траекторию полета, нужно связать долготус широтой, т.е. установить зависимость ( )θ ϕ , или, какговорят ученые, «исключить время» в формуле ( * ). Вданном случае это очень просто: Земля вращается с постоян-ной угловой скоростью Ω , значит, угол ϕ должен бытьпропорционален времени:

2t t

T

πϕ Ω= = .

Найдем отсюда t и подставим в формулу ( * ):

N

290 1 90 1 90

2 360 4

T

t

ϕ ϕ ϕθ

πж ц ж ц= ° - = ° - = - °з чз ч и ш°и ш

.

Рис. 1

Рис. 2

(Продолжение см. на с.34)

Разумеется, да – ведь в каждом доме есть розетки, вкоторые мы включаем всю нашу домашнюю технику иосветительные приборы, «питающиеся» переменным то-ком напряжением 220 вольт. В школьных мастерскихимеются станки – к ним тоже подведен переменныйток, только более высокого напряжения. Во всех микро-районах стоят будки с надписями «Тр-р», в которыхнаходятся трансформаторы, преобразующие перемен-ный ток; вдоль дорог и по лесным просекам протяну-лись линии электропередачи опять же переменного тока.Миллионы и миллионы генераторов, трансформаторов,электродвигателей во всем мире производят, передаюти используют электрическую энергию благодаря осо-бенностям этого вида тока, обнаруженным без малогодвести лет назад.

Крупнейший ученый XIX века Герман Гельмгольц го-ворил, что до тех пор пока люди пользуются благамиэлектричества, они всегда будут с благодарностью вспо-минать имя Фарадея. Явление электромагнитной ин-дукции – фундаментальное научное открытие, совер-шенное английским физиком Майклом Фарадеем, –легло в основу современной технической цивилизациии кардинально преобразило окружающий нас мир.

Долгие десятилетия шли активные поиски наилучшейреализации этого открытия – вплоть до отчаянной борь-бы между сторонниками постоянного и приверженца-ми переменного тока. Правда, начавшаяся более ста летназад «война» давно закончилась тесным и плодотвор-ным взаимодействием, когда недостатки одного из ви-дов тока компенсируются достоинствами другого.

Не следует, однако, думать, что все решения физичес-ких вопросов электроэнергетики и электросвязи состоя-лись в прошлом, а ныне осталось лишь техническое ихусовершенствование. Масштабы производства и рас-пределения энергии, переход к альтернативным ее ис-точникам, современные средства коммуникации дос-тигли такого рубежа, что появились новые проблемы,связанные с надежностью и безопасностью работы ги-гантских, охватывающих целые континенты систем. Аэто требует нетрадиционных способов управления ими,привлечения нестандартных научных подходов, напри-мер теории хаоса или теории сетей.

Но пока попробуем выяснить, что нам известно осамых простых свойствах переменного тока.

Вопросы и задачи

1. Проводник в виде кольца движется от одного концаполосового магнита, расположенного вдоль его осисимметрии, к друго-му. Что происходит синдукционным токомв кольце?

2. Будет ли прохо-дить ток через элект-ролитическую ванну с медным купоросом, если ее под-ключить к источнику переменного напряжения? Станетли выделяться на электродах медь?

3. Почему короткое замыкание конденсатора в цепипеременного тока равносильно тому, что его емкостьстановится бесконечно большой?

4. Что подразумевается под переменным током нуле-вой частоты?

5. Проводник размещен между полюсами сильногодугообразного магнита. Что будет происходить с провод-ником, если пропустить через него переменный токпромышленной частоты?

6. Для чего серебрят провод, идущий на изготовлениекоротковолновых и ультракоротковолновых контурныхкатушек?

7. В колебательный контур последовательно включенисточник синусоидальной ЭДС постоянной амплитуды.Пренебрегая внутренним сопротивлением источника,оцените напряжения на катушке индуктивности и наконденсаторе при очень малых иочень больших частотах по срав-нению с собственной частотой кон-тура.

8. Две одинаковые лампы пи-таются от источника переменноготока, как показано на схеме. Принекоторой частоте накал ламподинаков. Как изменится накал,если частоту: а) увеличить;б) уменьшить?

9. На какое напряжение надо рассчитывать изоляторылинии передачи, если действующее напряжение 430 кВ?

10. Схема с идеальным диодом, изображенная нарисунке, включена в сеть переменного тока. В каких

…я надеялся, что путем использования электрической ин-дукции земного магнетизма мне удастся сконструироватьэлектрическую машину.

Майкл Фарадей

В любой точке цепи я включаю индуктирующую катушку,через которую проходит ток от источника тока. Далее япомещаю надлежащим образом вторую катушку, в которойпервая индуктирует ток. Оба конца этой второй катушкисоединяются проводом, образуя цепь, совершенно отдель-ную от первой.

Павел Яблочков

…переменный ток – это вздор, не имеющий будущего. Я нетолько не хочу осматривать двигатель переменного тока, нои слышать о нем.

Томас Эдисон

Я ожидаю… нового возобновления борьбы между пере-менным и постоянным током. Я вижу возможность реваншадля постоянного тока, который многому научится у техникипеременного тока.

Михаил Доливо-Добровольский

А так ли хорошо знаком вампеременный ток?

пределах изменяется напряжение между точками Аи В ?

11. Катушка индуктивности А замкнута на вольтметр, акатушка В подключена к источнику переменного тока, какпоказано на рисунке. Изменится ли напряжение, индуци-руемое в катушке А током, идущим в катушке В, еслимежду ними проложить большой медный лист?

12. При ремонте понижающего трансформатора размо-тали его первичную обмотку и включили ее концы всетевую розетку. В результате перегорели предохраните-ли, хотя трансформатор был рассчитан на сетевое напря-жение. Как это объяснить?

13. Отчего наличие очень высокого напряжения вовторичной обмотке повышающего трансформатора неприводит к большим потерям энергии на выделениетепла в самой обмотке?

14. Почему трансформатор выходит из строя, если хотябы один виток обмотки замкнется накоротко?

15. В чем причина гудения нагруженного трансформа-тора? Какова частота этого звука, если трансформаторвключен в сеть промышленной частоты?

16. Квадратная рамка равномерно вращается с угловойскоростью щ в однородном магнитном поле, перпенди-кулярном оси вращения. Концы рамки все время остают-ся присоединенными к катушке индуктивностью L. Оми-ческим сопротивлением цепи можно пренебречь. В ка-ком положении рамки: а) ЭДС индукции в ней макси-мальна; б) сила тока в ней максимальна?

Микроопыт

Вам наверняка приходилось наблюдать, как в театрахи кинозалах постепенно включают освещение, чтобы неслепить зрителей резким переходом от темноты к свету.Это можно сделать с помощью либо реостата, либодросселя – катушки индуктивности с очень малым сопро-тивлением. Какой из способов вы бы выбрали?

Любопытно, что…

…в 1831 году Фарадей создал первый образец отличногоот батареи генератора электрического тока, правда егопостоянное напряжение было очень низким, а эффектив-ность прибора – весьма малой. Но уже через год фран-цузский изобретатель Пикси сконструировал машину, вкоторой ток возбуждался вращением проволочной петлив поле постоянного магнита, т.е. генератор переменноготока. О силе получаемого с его помощью тока свидетель-ствовали опыты с химическим разложением вещества иобразованием искр.

…российские ученые Ленц и Якоби еще в середине XIXвека доказали обратимость магнитоэлектрических ма-шин: генератор может быть обращен в электродвигательи наоборот. Этой «взаимозаменяемостью» пользуются,например, в гидроаккумулирующих станциях, накачиваяводу двигателями насосов в бассейны при избытке

производства энергии и «срабатывая» воду через те жеустройства, но уже в качестве генераторов, в часы пико-вой нагрузки.

…медный диск, помещенный в поле вращающегосяпостоянного магнита, сам приходит во вращение. Этоявление, открытое Араго в 1824 году и объясненное затемФарадеем как следствие появления индукционных токовв диске, взял на вооружение электротехник Доливо-Добровольский, создавший на его основе асинхронныйдвигатель трехфазного тока, произведший подлиннуютехническую революцию и широко используемый и посей день.

…первые практически применявшиеся трансформаторыбыли предложены «отцом русского света» Яблочковым,перешедшим с постоянного на переменный ток дляобеспечения равномерного сгорания угольных электро-дов в своих дуговых «свечах». Яблочков же впервыеиспользовал в цепях переменного тока конденсатор.

…к концу XIX века Эдисоном была одержана победа надсторонниками газового освещения, всеми силами пытав-шимися не допустить внедрение электрического освеще-ния. Но вскоре сам Эдисон занял непримиримую пози-цию по отношению к использованию переменного тока,пугая всевозможными опасностями его применения, идаже предложил принять закон о его запрещении.

…до 1891 года строились электростанции только посто-янного тока. Однако преимущества переменного тока припроизводстве и передаче электроэнергии привели к тому,что уже в 1896 году на Ниагарском водопаде в СШАвступила в строй гидроэлектростанция с тремя турбина-ми переменного тока по 5 тысяч лошадиных сил каждая.

…силы взаимодействия токов в природе редко достига-ют большой величины, однако в технике играют основ-ную роль – как, например, в генераторах тока илиэлектромоторах. В отличие от этих сил, более мощныекулоновские силы почти никак не проявляются в техникеиз-за невозможности создания достаточно больших элек-тростатических зарядов.

…при протекании по проводам переменный ток нераспределяется равномерно по их сечению, а сосредото-чен в основном вблизи поверхности – это явление носитназвание скин-эффекта (от англ. skin – кожа). Так, причастоте 50 герц в медном проводнике глубина проникно-вения тока составляет примерно 9 миллиметров; приувеличении частоты эта глубина уменьшается, что приво-дит к возрастанию сопротивления.

Что читать в «Кванте» о переменном токе

(публикации последних лет)

1. «Эффективное напряжение в цепи переменного тока» –2001, 3, с. 40;

2. «Простые опыты с переменным током» – 2002, Прило-жение 4, с. 72;

3. «Два кольца в одном магнитном поле» – 2003, 3,с. 38;

4. «В цепи переменного тока» – 2004, 1, с. 29;5. «Катушка, вращающаяся в магнитном поле» – 2004,

4, с. 17;6. «Магнитный поток сверхпроводника» – 2004, 4, с. 38;7. «Калейдоскоп «Кванта» – 2005, 1, с. 32;8. «Катушки индуктивности в электрических цепях» –

2005, 4, с. 42;9. «Закон электромагнитной индукции» – 2006, 5, с. 36.

Материал подготовил А.Леонович

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 334

Мы учли здесь, что полное время полета равно двум суткам,т.е. N 2t T= , а 2 180π = ° . А можно, наоборот, ϕ выразитьчерез θ (рис.2,б) – кому что нравится:

360 4ϕ θ= ° + .

Осталось взять карту или глобус, нанести на них (каран-дашом, на всякий случай) траектории обоих самолетов исрочно сообщить в соответствующие диспетчерские службыо своих намерениях – не только о координатах θ и ϕ , но ио времени пролета t над их странами (из формулы ( * )).

Таким образом, траектория второго самолета в системе

координат, связанной с Землей, похожа на «спираль, нави-тую на сферу». Любопытно, что в прямоугольной картогра-фической проекции Меркатора (об этом замечательном уче-ном рассказывалось в «Кванте» 6 за 2006 г.) эта прямаяпропорциональность между широтой и долготой давала быпрямую линию, что очень удобно для навигации.

И тут штурман второго самолета подумал: интересно, надкакими странами мы пролетели бы, если бы (в нарушениеинструкции) все время держали постоянную скорость полетаотносительно Земли? Но решение этой задачи он предоста-вил бортовому компьютеру, а мы – читателю.

От простого –к сложному

В.ЭПШТЕЙН

ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ ПРЕДЛАГАЮТСЯ ДВЕ, КАЗАЛОСЬбы стандартные, задачи к теме «Идеальный газ». В за-

дачах используются обычные элементы «конструктора»:вертикальная трубка, запаянная с одной стороны; столбикжидкости, отделяющий воздух в трубке от окружающейсреды; открытый сосуд с жидкостью. Предлагается исследо-вать поведение такого «конструктора» при нагревании. Ивыясняется, что при определенных условиях ситуация выхо-дит за рамки стандартной и наблюдается качественное изме-нение характера физического процесса.

Задача 1. В вертикальной трубке, запаянной сверху(рис.1), столбик ртути высотой h отделяет областьтрубки высотой Н, заполненную воздухом, от окружаю-

щей среды при температуре 0T .Внешнее давление составляет

0H мм рт.ст. Определите сме-щение столбика ртути х приповышении температуры до Т.

Введем безразмерные коорди-нату и температуру:

x

Hξ = и

0

T

Tτ = .

Рассмотрим два случая.а) Если H + h < L, то при

изменении температуры давле-ние внутри трубки не меняется.По уравнению изобарического

процесса,0

0

V V

T T= ,

или, поскольку сечение трубки постоянно,

0

H H x

T T

+= .

В безразмерных переменных это уравнение примет вид

1τ ξ= + , где 1 0ξ- < < .

б) Если H + h = L, то часть ртути при повышениитемпературы выливается из трубки, и давление там изменя-

ется. Из уравнения состояния идеального газа следует

0 0

0

V p Vp

T T= , или

( ) ( ) ( )( )00

0

H x H h xH H h

T T

+ - --= .

В безразмерном виде это выглядит так:

( ) ( )00

11τ ξ ξ ξ

ξ= + + , где 0

0H h

Hξ

-= .

Поскольку в состоянии равновесия 0h H< , то 0 0ξ > .На графике на рисунке 2 представлены результаты рас-

четов. В случае б) (давление в трубке меняется) зависи-мость ( )τ ξ – квадратичная функция, график которой –

парабола, пересекающая ось безразмерных координат вточках 0ξ ξ= - и 1ξ = - . При этом можно выделить двегруппы парабол, отвечающих условиям 0 1ξ > и 0 1ξ < .

Значениям 0ξ < соответствует повышение уровня ртутипри понижении температуры газа в трубке. Для этого не-обходим контакт ртути в трубке с ртутью в сосуде с откры-той поверхностью (рис.3).

Из графиков видно, что при

0 1ξ < изобарическая (случайа)) и неизобарическая (случайб)) зависимости различаются су-щественно. Между тем, каче-ственное различие ситуаций,связанное с возможностью неод-нозначной зависимости положе-ния поверхности ртути от тем-пературы, не наблюдается. Об-ласть неоднозначности (1 и 2)находится вне области допусти-мых значений безразмерных па-раметров ( 0τ > , 1ξ > - ).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

(Начало см. на с.31)

Задача 2. В вертикальной труб-ке, запаянной снизу (рис.4), стол-бик ртути высотой h отделяетобласть трубки высотой Н, за-полненную воздухом, от окружаю-щей среды при температуре 0T .Внешнее давление составляет

0H мм рт.ст. Определите смеще-ние столбика ртути х при повы-шении температуры до Т.

При нагревании часть ртути вы-ливается из трубки. Из уравнениясостояния идеального газа следует

0 0

0

V p Vp

T T= , или

( ) ( ) ( )( )00

0

H x H h xH H h

T T

+ + -+= .

В безразмерном виде получаем

( ) ( )00

11τ ξ ξ ξ

ξ= + - , где 0

0H h

Hξ

+= .

На рисунке 5 представлены графики зависимости ( )τ ξ дляслучаев 0 2ξ = , 0 2,5ξ = и 0 3ξ = .

Расчет и графические представления демонстрируют важ-ное обстоятельство: наличие максимальной температурыгаза. Таким образом, появляется возможность сформулиро-вать задачу поиска минимальной температуры, при которойжидкость выльется из трубки. Задачу с таким содержанием(несомненно, «олимпиадного» уровня) можно найти в рядезадачников, а также в журнале «Квант» (см., например,статью Д.Александрова «Газовые законы и механическоеравновесие» в «Кванте» 8 за 1990 г.).

Точкам параболы ( )τ ξ отвечают состояния равновесия.Наличие максимальной температуры означает, что при бóль-ших значениях τ равновесия быть не может. При нагрева-нии газа уровень ртути повышается. Если остановить нагревпри температуре, которая не достигла указанного макси-мального значения, прекратится и движение уровня ртути.Максимальному значению равновесной температуры соот-ветствует определенное значение уровня ртути. При скольугодно малом повышении температуры после достижениямаксимального значения ртуть выливается сама.

Возникает, однако, такой вопрос. Состояниям равновесияотвечают все точки кривой механического равновесия, а мыговорим только о той ее части, которая соответствует повы-шению температуры до достижения максимального значе-ния. Почему? Парадоксальность ситуации состоит в том, что

Рис. 4

Рис. 5

другой ветви параболы соответствует понижение уровняртути при повышении температуры. Вообще, как это следуетиз рисунка 5, любому значению температуры, не превыша-ющему максимальное, соответствует не одно, а два положе-ния уровня ртути.

Для того чтобы разобраться в этой странной ситуации,построим график зависимости давления на границе жидко-сти и газа от положения этой границы. Давление со стороныжидкости (ртути) равно

( )рт 0p H h x= + - .

Давление со стороны газа определятся газовым законом

( ) ( )0 г

0

H h H p H x

T T

+ += .

Вводя, как и раньше, безразмерные параметры τ и ξ , а

также безразмерное давление p

Hδ = (напомним, что давле-

ние измеряется в мм рт.ст.), получим

0г 1

ξ τδ

ξ=

+ и рт 0δ ξ ξ= - .

Графики этих зависимостей для различных фиксированныхтемператур представлены на рисунке 6 (здесь 0 2ξ = ,

3 1,05τ = , 2 1,1τ = , 1 1,15τ = ). Изотермам 1, 2 и 3 соответ-ствуют температуры ниже и выше максимальной соответ-ственно: 1 max 2 3τ τ τ τ> > > . Состояния равновесии опреде-ляются точками пересечения графиков. При повышении

температуры точки сближаются. Кривая 1 не имеет точекпересечения. Это значит, что при температуре 1τ равновесиенедостижимо. Наличие двух точек пересечения при maxτ τ<означает, что существуют две точки равновесия. Повышениюкоординаты границы жидкость – газ при заданной темпера-туре соответствует снижение давления как со стороны жид-кости, так и со стороны газа. Однако характер снижениядавления при переходе через «нижнюю» (точки А и В) и«верхнюю» (С и D) точки равновесия различен: при про-хождении «нижних» точек давление в жидкости становитсябольше давления газа, а при прохождении «верхних» точек– наоборот. Это означает, что «нижним» точкам соответству-ет устойчивое, а «верхним» – неустойчивое положениеравновесия.

Положение неустойчивого равновесия вполне достижимо.Если между жидкостью и газом вставить тонкий поршень иизмерять усилие, которым необходимо удерживать поршень,

Рис. 6

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е » 35

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 336

то окажется, что как в устойчивом, так и в неустойчивомположении это усилие прикладывать не нужно. Однакодобиться того, чтобы ртуть при повышении температурысама опускалась (в соответствии со второй ветвью парабо-лы), невозможно. Находясь в «верхнем» положении равно-

весия, ртуть либо самопроизвольно выльется из трубки приповышении температуры, либо перейдет в положение устой-чивого равновесия (для чего необходимо соединение с резер-вуаром жидкости, расположенным сверху).

Размерностии… правило

квантования БораГ.БАКУНИН

Н И ДЛЯ КОГО НЕ СЕКРЕТ, ЧТО НЕ ЛЮБУЮ КОНЦЕПЦИЮсовременной физики можно корректно объяснить в

школьных терминах. Иногда ситуация складывается ещесложнее – вычисления носят элементарный характер, одна-ко понять мотивацию классиков совсем непросто. Так, на-пример, обстоит дело с формулой Бора для квантованияэнергетических уровней в атоме водорода. Эта формулабезусловно достойна того, чтобы обратить на нее внимание,поскольку позволяет установить связь между законами клас-сической механики и квантовыми идеями. Более того, онаявляется прекрасным примером того, как нетривиальныйэкспериментальный результат наглядно объясняется с помо-щью теории.

Еще в 1885 году швейцарский учитель физики И.Бальмерустановил, что частоты (или длины волн) всех спектральныхлиний водорода в области видимого света (серия Бальмера)можно описать одной довольно простой формулой. Несколь-ко позже в спектре водорода были обнаружены серии линийв области ультрафиолета (серия Лаймана) и в областиинфракрасного излучения (серия Пашена и др. серии),описываемые аналогичными формулами. Оказалось, чтодля всех этих линий пригодна общая формула, называемаяформулой Бальмера – Ридберга:

2 2

1 1 1

l k

Rn nλ

ж ц= -з чи ш

,

где λ – длина волны излучения, 7 11,097 10 мR -= Ч –постоянная Ридберга, а ln и kn – целые числа. Эта формулаявлялась в то время научной загадкой.

Включить в теоретическую модель квантовые (целые)числа, опираясь на «планетарную» модель Резерфорда,удалось Нильсу Бору в 1913 году. С формальной точкизрения, новые квантовые вычисления просты, так как в нихиспользуются только алгебраические преобразования базо-вых законов. Однако все не так просто с квантованиеммомента импульса, использованным Бором для объясненияформулы Бальмера – Ридберга. Выбор этой физическойвеличины для квантования далеко не тривиален. Более того,момент импульса не изучают в школе (разве что факульта-тивно), и во многом это создает методические трудности.Здесь мы рассмотрим, как гипотезу Бора можно обосноватьс размерностной точки зрения, которая является полезной ипри решении других задач.

Начнем с введения основных величин. Энергию излучае-мых фотонов можно рассматривать как результат переходаэлектрона с одного энергетического уровня на другой:

ф l kn nhc

h E Eε νλ

= = = - ,

где h – постоянная Планка, ν – частота излучения, с –скорость света, а nE – энергия n-го уровня. В нашем случаеэнергия Е электрона, движущегося по круговой орбите,

складывается из кинетической энергии, равной 2

2

mv, и

потенциальной энергии притяжения электрона к ядру, рав-

ной 2

04

e

rπε- :

2 2

02 4

mv eE

rπε= - .

Это уравнение содержит две неизвестные величины: ско-рость электрона v и радиус орбиты r. Одну из них можноисключить при помощи уравнения движения электрона поорбите

2 2

204

mv e

r rπε= .

Тогда получаем

( )2

08

eE r

rπε= - .

Сравним разность энергий электрона на орбитах с радиу-сами lr и kr :

2

0

1 1

8l kl k

eE E

r rπεж ц

- = - -з чи шс энергией фотона, записанной с помощью формулы Бальме-ра – Ридберга:

ф 2 2

1 1

l k

ch h hcR

n nε ν

λ

ж ц= = = -з чи ш

.

Видим, что необходимо введение новой гипотезы для того,чтобы установить связь квантовых чисел ln и kn с соответ-ствующими радиусами орбит lr и kr .

Гипотеза, предложенная Бором в 1913 году, заключаетсяв квантовании момента импульса вращающегося по круговойорбите электрона:

2

hmvr n

π= .

Исторической справедливости ради, отметим, что и до Борапредпринимались попытки квантования физических вели-чин, связанных с орбитальным движением. Тем не менее,гениальная интуиция Бора сыграла решающую роль.

Рассмотрим вопрос с размерностной точки зрения, невыбирая заранее, какую величину нужно квантовать. Запи-шем более общее условие квантования в виде

0v r nCα β = ,

где 0, ,Cα β – некоторые постоянные. Заметим, что случай2α = и 0β = ведет к квантованию энергии, выбор 1α = и0β = характеризует импульс, а комбинация 1α = и 1β =

соответствует моменту импульса.

Эйлери геометрия

А.ЗАСЛАВСКИЙ

Итак, мы получили систему трех уравнений с тремянеизвестными v, r, n и тремя постоянными 0, ,Cα β :

( )2

08

eE r

rπε= - ,

2 2

204

mv e

r rπε= ,

0v r nCα β = .

Исключая переменные v и r, найдем зависимость энергии

электрона ( )( ) nE r n E= от квантового числа n:

( )

22 2 2 2

20

0 0

1

44

ne e

En

m C n

αβ α β α

απε

πε:

- -ж ц ж ц= - з чз ч и шз чи ш.

Для получения зависимости 2

1nE

n: , необходимо предпо-

ложить, что

2 1β α- = , или ( )1

2

αβ α

+= .

Очевидно, в рамках размерностного подхода мы ожидаемувидеть целые значения α и β , что обеспечивается нечетны-

ми значениями числа α : 1,3,5,α = K Однако выбор 1α β= =можно интерпретировать в терминах сохранения моментаимпульса электрона. Это важный аргумент, поскольку со-хранение момента импульса орбитального движения в поленьютоновских или кулоновских сил является основой описа-ния некруговых траекторий. Сам Бор затронул этот вопростолько косвенно, указав на возможность сопоставлениякруговой и эллиптической орбит электрона с заданной энер-гией посредством выбора радиуса круговой обиты. С другойстороны, момент импульса имеет размерность постояннойПланка h:

rp rmv C n*= = ,

где 0 2

hC mC

π* = = — постоянная, которая соответствует

уравнению, описывающему гипотезу Бора.Естественно, универсальная постоянная h должна участво-

вать в уравнении, описывающем излучение в соответствии сфундаментальными идеями Планка. Важно, что во временаПланка и Бора постоянная h все еще оставалась магическойвеличиной, требующей интерпретации, и модель квантова-ния Бора стала еще одним шагом в этом направлении.

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР БЫЛ ОДНИМ ИЗ САМЫХ РАЗНОСТО-ронних математиков всех времен. Разумеется, не оста-

лась обделенной вниманием Эйлера и элементарная геомет-рия. В этой статье будут описаны основные результаты,связанные с именем Эйлера, и приведены примеры исполь-зующих эти результаты задач, которые предлагались нагеометрической олимпиаде имени И.Ф.Шарыгина. Следует,впрочем, сказать, что нельзя достоверно утверждать ни того,что указанные результаты принадлежат целиком Эйлеру, нитого, что достижения Эйлера в геометрии этими результата-ми ограничиваются.

Прямая Эйлера

Теорема 1. Пусть АВС – произвольный треугольник,М – его центр тяжести (точка пересечения медиан), О –центр описанной окружности, Н – ортоцентр (точкапересечения высот). Точка М лежит на отрезке ОН иОМ : МН = 1 : 2.

Доказательство. Пусть 0A , 0B , 0C – середины отрезковВС, СА, АВ (рис.1). Тогда треугольник 0 0 0A B C гомотетичен

треугольнику АВС с центром М и коэффициентом 1

2- . При

этой гомотетии точка Н переходит в ортоцентр треугольника0 0 0A B C – точку О.

Прямая, на которой ле-жат точки О, М, Н, назы-вается прямой Эйлера тре-угольника.

Задача 1. В остроуголь-ном неравностороннемтреугольнике отметили 4точки: центры вписаннойи описанной окружностей,центр тяжести (точкапересечения медиан) и ор-тоцентр (точка пересе-чения высот). Затем самтреугольник стерли. Ока-залось, что невозможноустановить, какому цен-тру соответствует каж-дая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.

Ответ. Треугольник, удовлетворяющий условию задачи,

равнобедренный с углами при основании, равными 1

arccos4

.

Решение. Пусть АВС – исходный треугольник. Если точкаI (центр вписанной окружности) не лежит на его прямойЭйлера, то можно однозначно установить роль каждой източек в треугольнике АВС. Отметим, что эта прямая прохо-дит не более чем через одну вершину треугольника, так чтоможно считать, например, что точки А и В не лежат на ней.

Так как 2

OBA HBC Cπ

Р = Р = - Р , то BI является биссект-

рисой угла НВО. Значит, точка I лежит на отрезке ОН,причем OI = 2IH (иначе роль точек устанавливается одно-значно). По свойству биссектрисы получаем, что ВО = 2ВН.Рассуждая аналогично, находим, что АО = 2АН. Такимобразом, АН = ВН = R/2, где R – радиус описанной околотреугольника окружности. Заметим теперь, что из гомоте-тии, указанной в доказательстве теоремы 1, следует также,что 02AH OA= (и эти отрезки параллельны). Понятно так-

Рис. 1

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 37

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 338

же, что 0 cosOA R A= Р . Поэтому 2 cosAH R A= Р , и1

cos4

AР = . Точно так же доказывается, что 1

cos4

BР = .

Окружность Эйлера

Теорема 2. Середины сторон треугольника, основанияего высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр свершинами, лежат на одной окружности.

Доказательство. Пусть 0 0 0, ,A B C – середины сторон тре-угольника, 1 1 1, ,A B C – основания его высот, 2 2 2, ,A B C –

середины отрезков АН,ВН, СН (рис.2). Посколь-ку 0 0A B , 2 2A B , 2 0A B ,

0 2A B – средние линии тре-угольников АВС, АВН,АНС, ВНС соответствен-но, 0 0 2 2A B A B – прямо-угольник, т.е. точки 0A ,

0B , 2A , 2B лежат на ок-ружности, диаметрами ко-торой являются отрезки

0 2A A и 0 2B B . Так как0 1 2 0 1 2 90A A A B B BР = Р = °,

точки 1A , 1B также лежатна этой окружности. Та-ким образом, окружности

0 1 2A A A и 0 1 2B B B совпада-ют. Аналогично доказывается, что окружность 0 1 2C C C так-же совпадает с ними.

Указанная окружность называется окружностью Эйлераили окружностью девяти точек треугольника.

Из теоремы 2 сразу следует, что окружность Эйлера,гомотетична описанной окружности треугольника относи-

тельно точек М и Н с коэффициентами 1

2- и

1

2 соответ-

ственно.Задача 2. На плоскости даны три прямые 1 2 3, ,l l l , обра-

зующие треугольник, и отмечена точка О – центр описан-ной окружности этого треугольника. Для произвольнойточки Х плоскости обозначим через iX точку, симметрич-ную точке Х относительно прямой il .

а) Докажите, что для произвольной точки М прямые,соединяющие середины отрезков 1 2O O и 1 2M M , 2 3O O и

2 3M M , 3 1O O и 3 1M M , пересекаются в одной точке.б) Где может лежать эта точка пересечения?Решение. Покажем, что эти прямые пересекаются в точке,

лежащей на окружности Эйлера. Пусть АВС – треугольник,образованный прямыми il , Н – его ортоцентр. Тогда середи-ны отрезков 1 2O O , 2 3O O , 3 1O O совпадают с серединами

отрезков АН, ВН, СН (в дальнейшем будем обозначать их1A , 1B , 1C ) и, стало быть, лежат на окружности Эйлера

треугольника АВС. Действительно, стороны треугольника1 2 3O O O параллельны средним линиям треугольника АВС и

вдвое больше их, поскольку переводятся друг в друга гомо-тетией с центром в О и коэффициентом 2. Следовательно,треугольник 1 2 3O O O центрально симметричен треугольникуАВС. Значит, прямая, проходящая через С и середину 1 2O O ,параллельна прямой, проходящей через 3O и середину АВ,т.е. совпадает с высотой треугольника АВС, а Н являетсяцентром гомотетии треугольников АВС и 1 1 1A BC (рис.3).

Пусть, далее, М – произвольная точка, D – середина1 2M M (рис. 4). Тогда

( )1 1 2 2DC DO DO= +uuuur uuuur uuuur

и, так как 1 1M Ouuuuuuur

и

2 2M Ouuuuuuur

получаютсядруг из друга поворо-том вокруг точки С на

два угла С, вектор

1DCuuuuur

образует с каж-дым из них угол, рав-ный углу С. Кроме

того, 1 1M Ouuuuuuur

и 2 2M Ouuuuuuur

переходят в MOuuuuur

присимметрии относитель-но АВ и АС соответ-

ственно, поэтому 1DCuuuuur

и MOuuuuur

образуют равные углы сбиссектрисой угла С (а значит, равные углы и с биссектрисойугла 1C в треугольнике 1 1 1A BC ).

Проведя аналогичные рассуждения для двух других сере-дин, приходим к выводу, что прямые, соединяющие 1A , 1B ,

1C с серединами сторон треугольника 1 2 3M M M , симмет-ричны относительно биссектрис треугольника 1 1 1A BC пря-мым, проходящим через 1A , 1B , 1C и параллельным ОМ.В заключение воспользуемся следующей известной теоре-мой планиметрии: тройка прямых, выходящих из вершинтреугольника, пересекается в одной точке, расположеннойна описанной около этого треугольника окружности, тогда итолько тогда, когда прямые, симметричные данным относи-тельно биссектрис соответствующих углов, параллельны.(Несложное доказательство использует простой подсчетуглов.)

Согласно этой теореме, тройка прямых в нашей задачепересекается на описанной около треугольника 1 1 1A BC ок-ружности, т.е. на окружности Эйлера исходного треуголь-ника.

Окружность Эйлера обладает также рядом весьма красивых,в том числе и неэлементарных свойств. Например, все описан-ные около треугольника равносторонние гиперболы проходятчерез его ортоцентр, а их центры лежат на окружности Эйлера.Это позволяет мгновенно решить следующую задачу.

Задача 3. Даны четыре точки А, В, С, D. Точки 1 1 1 1, , ,A B C D– ортоцентры треугольников BCD, CDA, DAB, ABC. Точки

2A , 2B , 2C , 2D – ортоцентры треугольников 1 1 1BC D , 1 1 1C D A ,

1 1 1D A B , 1 1 1A BC , и т.д. Докажите, что все окружности,проходящие через середины сторон таких треугольников,пересекаются в одной точке.

Решение. Проведя равностороннюю гиперболу через точки А,В, С, D, получим, что все указанные в задаче точки лежат наэтой гиперболе, а все окружности проходят через ее центр.

Отметим, что задача допускает и элементарное решение.Найдите его самостоятельно.

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Формулы Эйлера

Теорема 3. Пусть О, I – центры описанной и вписаннойокружностей треугольника, R, r – их радиусы. Тогда

2 2 2OI R Rr= - .

Это равенство называется формулой Эйлера.Доказательство. Проведем прямую через I и вершину С

треугольника АВС и найдем вторую точку C¢ пересеченияэтой прямой с описанной около АВС окружностью (рис.5).

Так как C A C B=¢ ¢ , ( ) ( )2 2AIB A B Cπ πР = - Р + Р = + Ри AC B CπР = - Р¢ , C¢ – центр окружности, описанной

около треугольника AIB.Значит, IC C B= =¢ ¢

2 sin2

CR

Р= . С другой

стороны, sin2C

IC rР

= .

Следовательно,2 2 2R OI CI C I Rr- = Ч =¢ .

Пользуясь формулойЭйлера, можно доказатьтеорему Понселе для тре-угольника.

Теорема 4. Пусть дантреугольник АВС. Из про-извольной точки C¢ на его

описанной окружности проведем касательные к вписаннойокружности треугольника и найдем вторые точки A¢ , B¢их пересечения с описанной окружностью. Тогда прямаяA B¢ ¢ также касается вписанной окружности.Доказательство. Предположим противное. Например,

пусть A B¢ ¢ не пересекает вписанную окружность треуголь-ника АВС. Будем увеличивать угол A C B¢ ¢ ¢ так, чтобыпрямая C I¢ оставалась его биссектрисой. Тогда расстояниеот I до прямых C A¢ ¢ и C B¢ ¢ будет увеличиваться, а допрямой A B¢ ¢ – уменьшаться, и в какой-то момент окруж-ность с центром I и радиусом r r>¢ окажется вписанной втреугольник A B C¢ ¢ ¢ . Но из формулы Эйлера следует, чторадиусы вписанных окружностей треугольника АВС и A B C¢ ¢ ¢равны. Противоречие. Случай, когда A B¢ ¢ пересекает впи-санную окружность, рассматривается аналогично.

Аналоги формулы Эйлера верны и для вневписанныхокружностей, касающихся одной стороны треугольника ипродолжений двух других сторон. Например, если окруж-ность с центром cI и радиусом cr касается стороны АВ ипродолжений сторон АС, ВС, то

2 2 2c cOI R Rr= + .

Доказательство совершенно анало-гично доказательству теоремы 3(проведите его самостоятельно).Разумеется, для вневписанных ок-ружностей верен и аналог теоремыПонселе.

Задача 4. Две окружности ради-уса 1 пересекаются в точках Х, Y,расстояние между которыми так-же равно 1. Из точки С однойокружности проведены касатель-ные СА, СВ к другой. Прямая СВвторично пересекает первую ок-ружность в точке A¢ . Найдитерасстояние AA¢ .

Решение. Пусть О – центр ок-ружности, на которой лежит точка

С, O¢ – центр другой окружности (рис.6). Поскольку3OO =¢ , данные окружности являются описанной и вне-

вписанной для треугольника CA B¢ ¢ , где B¢ – вторая точкапересечения прямой СА с первой окружностью. Пусть пря-мая A B¢ ¢ касается второй окружности в точке C¢ . Тогда

1

2A OA AO C C O BР = Р + Р =¢ ¢ ¢ ¢ ¢

= 1

22

ABC C AB CB A CA BР + Р = Р + Р¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ,

O A O O A B B A OР = Р + Р =¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 2 2C O A BCA

π π- Р + - Р =¢ ¢ ¢

= 1 1

2 2BCA CA B CB A CA Bπ - Р - Р = Р + Р¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ .

Так как O A OA=¢ ¢ , то AO A O¢ ¢ – равнобедренная трапеция,и 3AA OO= =¢ ¢ .

Задача 5. Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдрABCD, A¢ , B¢ , C¢ , D¢ – центры сфер, описанных околотетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.Докажите, что сфера, описанная около ABCD, целикомлежит внутри сферы, описанной около A B C D¢ ¢ ¢ ¢ .

Решение. Пусть R, r – радиусы описанной и вписаннойсфер тетраэдра ABCD, О – центр описанной сферы ABCD,L – центр описанной окружности треугольника АВС, Н –проекция I на плоскость АВС. Из условия следует, что точкиО и D¢ лежат на перпендикуляре к плоскости АВС, прохо-дящем через L, поэтому прямые OD¢ и IH параллельны.Кроме того, D A D I=¢ ¢ (как радиусы сферы, описаннойоколо IABC), OA = R, IH = r.

Дважды применим теорему косинусов – к треугольникамAD O¢ и OD I¢ :

2 2 2 2 cosR D A D O D A D O AD O= + - Ч Р¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ,2 2 2 2 cosOI D I D O D I D O ID O= + - Ч Р¢ ¢ ¢ ¢ ¢ .

Вычитая из первого равенства второе, получим

2 2R OI- = ( )2 cos cosD O D A AD O D I ID OР - Р¢ ¢ ¢ ¢ ¢ .

Следовательно, ( ) ( )2 2 2D O R OI r= -¢ . Аналогично дока-зывается, что и точки A¢ , B¢ , C¢ удалены от точки O натакое же расстояние. Таким образом, сферы ABCD иA B C D¢ ¢ ¢ ¢ концентричны (т.е. их центры совпадают) иD O ρ=¢ – радиус сферы, описанной около A B C D¢ ¢ ¢ ¢ .

Докажем, что Rρ > . Для этого проведем плоскость DOI.Она пересекает описанную и вписанную сферы по окружно-стям с центрами О, I и радиусами R, r, а тетраэдр – понекоторому треугольнику. Вершина D этого треугольникалежит на большей окружности, а из двух других вершин покрайней мере одна лежит внутри этой окружности. Крометого, меньшая окружность целиком лежит внутри этоготреугольника и внутри большей окружности. Поэтому, еслипровести через D хорды 1DX и 1DY большей окружности,касающейся меньшей, то меньшая окружность окажетсястрого внутри треугольника 1 1DX Y . Аналогично доказатель-ству теоремы Понселе получаем, что существует треугольникDX Y¢ ¢ , вписанный в большую окружность и описанныйоколо некоторой окружности с центром I и радиусом r r>¢ ,для которого по формуле Эйлера 2 2OI R Rr= -¢ ¢ . Следова-

тельно, ( ) ( )2 2 2r R OI R r= - >¢ .Понятно также, что rρ > ¢ .Теорема 5. Пусть О, R – центр и радиус описанной около

треугольника АВС окружности; Р – произвольная точкавнутри треугольника; 1A , 1B , 1C – проекции Р на прямыеВС, СА, АВ; S, 1S – площади треугольников АВС и 1 1 1A BC .Тогда 2

12

S 1 OP1

S 4 R

ж ц= -з чи ш

.

Рис. 5

Рис. 6

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 39

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 340

Это соотношение также называется формулой Эйлера.Доказательство. Пусть 2A , 2B , 2C – вторые точки

пересечения прямых АР, ВР, СР с описанной окружностьютреугольника АВС(рис.7).

Так как четырехуголь-ник 1 1BC PA – вписанный,

1 1PC A CBPР = Р =

2 2CC B= Р . Аналогично,

1 1 2 2PC B CC AР = Р , а зна-чит, 1 1 1 2 2 2AC B A B CР = Р .Таким образом, соответ-ствующие углы треуголь-ников 1 1 1A BC и 2 2 2A B C

равны, т.е. эти треуголь-ники подобны, и для ихплощадей 1S , 2S выпол-няется равенство

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

S AC BC

S A C B C

Ч=

Ч.

С другой стороны, так как треугольники АВС и 2 2 2A B C

вписаны в одну окружность, то

2 2 2 2 2 2 2S A B A C B C

S AB AC BC

Ч Ч=

Ч Ч.

Кроме того, из вписанности четырехугольников 1 1BC PA ,

1 1AC PB получаем ( )1 1 sin 2A C PB B PB AC R= Р = Ч ,( )1 1 2B C PA BC R= Ч , а из подобия треугольников 2 2PA B и

РВА –

2 2 2A B PB

AB PA= .

В результате имеем

1 1 1 1 1 2 2 2

2 2

S AC BC A B PB PA PB

S AC BC AB R R PA= = =

2 22

2 24 4

PB PB R OP

R R

Ч -= .

Отметим, что если считать площадь треугольника положи-тельной или отрицательной, в зависимости от его ориента-ции, то формула Эйлера будет верна для любой точкиплоскости. В частности, если точка Р лежит на описаннойокружности треугольника АВС, то площадь треугольника,образованного ее проекциями, будет равна нулю, т.е. этипроекции лежат на одной прямой. Эта прямая называетсяпрямой Симсона.

Рис. 7

К О Л Л Е К Ц И Я Г О Л О В О Л О М О К

Карандашам тесно

(Начало см. на 2-й с. обложки)

Эди Нагата впервые заинтересовался предметными голо-воломками в 1990 году и никогда не был на всемирныхвстречах изобретателей головоломок. Поэтому он никак немог предполагать, что среди сотен новых игрушек его «PencilCase» будет назван лучшей головоломкой 2001 года. Удругих изобретателей он видел игрушки, сделанные гораздоизящнее и красивее, труднее в решении или оригинальнее впостановке задачи. Тем не менее, победа Эди была заслужен-ной.

Международное жюри присудило ему главный приз залучшее сочетание качеств, которые ценятся в этом необыч-ном жанре изобретательства.

Эди Нагата придумал простую задачу, понятную дажеребенку, хотя решить ее может не каждый взрослый. В то жевремя она по силам и детям. Игрушка состоит из четыреходинаковых деталей и очень проста по устройству.

Напомним, что задача состоит в том, чтобы переложитьчетыре карандаша из одной коробочки в другую, приклеен-ную к первой донышком. Площади обеих коробочек одина-ковы, а формы – разные. В этом и состоит особенность итрудность решения головоломки.

Чтобы вам было проще изготовить игрушку по фотогра-фии в журнале, на дно второй коробочки положен листокклетчатой бумаги, повторяющий форму дна и контур каран-даша (все карандаши одинаковые). По шаблону вы легковырежете детали удобного для вас размера, а затем раскра-сите их. «Pencil Case», показанный на фотографиях, сделансамим изобретателем Эди Нагата из древесно-волокнистойплиты толщиной 9 мм. Размеры его головоломки180 45 20 ммѣ ѣ .

На первый взгляд может показаться, что при укладке в

коробочку четырех карандашей не обязательно думать, какэто сделать. Достаточно разными способами случайнымобразом укладывать карандаши как можно теснее друг кдругу. Запаситесь терпением, и задача будет решена!

За что же тогда наградили игрушку? Один из членов жюризапасся этим самым терпением и уложил карандаши вкоробочку за час. Другой же обратил внимание на то, что всекарандаши одинаковые и симметричные и коробочка тожеобладает симметрией (центральной). Значит, решение, ско-рее всего, должно быть симметричным – точнее, центрально-симметричным. Следуя этой логике, он решил задачу за...минуту.

А.Калинин

Л А Б О Р А Т О Р И Я « К В А Н Т А »

Резонанс противрезонанса

В.МАЙЕР

ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСА ВСЕГДА СОПРОВОЖДАЕТСЯ ЯР-кими историческими примерами, показывающими, на-

сколько опасно это явление. Почему-то чаще всего вспоми-нают мосты и марширующих по ним солдат: «Обычно даженебольшой отряд солдат, подходя к мосту, прекращаетмаршировку и идет не в ногу. Если ритм солдатских шаговсовпадает с собственной частотой моста, то возможно дажеего разрушение. Такой случай в действительности имелместо в 1831 г. в Манчестере, когда 60 человек разрушилиБраутонский подвесной мост через реку Ирвель. Аналогич-ный случай имел место также в 1868 г., когда в Чатамерухнул мост на опорах при прохождении отряда Британскойморской пехоты. Но наиболее трагическая катастрофа про-изошла в 1850 г., когда Анжерский подвесной мост былразрушен батальоном французской пехоты численностью500 человек. Разрушенный мост увлек людей за собой вущелье, и погибло 226 человек» (из книги Р.Бишопа «Коле-бания»). Кроме того, на уроках физики нередко показываютэффектные демонстрационные опыты по резонансному воз-буждению колебаний. Поэтому каждый из вас хорошо знает,что такое резонанс, и твердо помнит, что при совпадениичастоты внешней силы с частотой собственных колебанийсистемы амплитуда вынужденных колебаний возрастаетнастолько, что это может привести к катастрофическимпоследствиям. А вот мысль о том, что эффективным сред-ством борьбы с нежелательным резонансом является самоявление резонанса, многим представляется неожиданной и взначительной мере парадоксальной.

Попробуем разобраться с теорией и поставить простыеопыты по резонансной борьбе с резонансом.

Резонансное демпфирование колебаний. Пусть на пру-жине жесткостью K подвешено тело 1 массой M, а к нему напружине жесткостью k подвешено тело 2 меньшей массы m(рис.1). Параллельно пружинам введем координатную осьx, на которой точками O и O¢ обозначим положенияравновесия этих тел. Допустим, что на более массивное телодействует гармоническая вынуждающая сила f

r

, проекциякоторой на ось x изменяетсяпо закону 0 sinf f tω= . Тог-да оба тела совершают вы-нужденные колебания.

Если в некоторый моментпервое тело сместилось изположения равновесия навеличину X, то второе телосмещается на величину x так,что длина l пружины междутелами изменяется на X – x.При этом по закону Гука навторое тело со стороны пер-

вого действует сила 21fr

, про-екция которой на ось x равна

( )21f k X x= - . На первое тело со стороны верхней пружиныдействует сила 1f

r

, а со стороны нижней – направленная в туже сторону сила 12f

r

, причем проекции этих сил равны

1f KX= - и ( )12f k X x= - - соответственно. В результатевторой закон Ньютона для первого и второго тел в проекцияхна ось x можно записать следующим образом:

( )2

02 sind X

M KX k X x f tdt

ω= - - - + ,

( )2

2

d xm k X x

dt= - .

Так как оба тела совершают вынужденные колебания, т.е.колеблются с частотой вынуждающей силы ω , решение этойсистемы уравнений будем искать в виде

sinX A tω= и sinx a tω= .

Подставляя вторые производные этих выражений по вре-мени

22

2 sind X

A tdt

ω ω= - и 2

22 sin

d xa t

dtω ω= -

в уравнения движения, после сокращения на sin tω полу-чаем

( )20 0M A KA k A a fω- + + - - = ,

( )2 0m a k A aω- - - = .

Из второго уравнения следует, что амплитуда колебаний

первого тела ( )21A m k aω= - обращается в ноль, когдачастота ω вынужденных колебаний равна частоте собствен-

ных колебаний второго тела, т.е. 0k mω ω= = . Из первогоуравнения получаем, что в случае A = 0 амплитуда колеба-ний второго тела равна 0a f k= - , причем колебания этоготела происходят по гармоническому закону

( )0 0sin sinf f

x t tk k

ω ω π= - = + .

Таким образом, при A = 0, т.е. при sin 0X A tω= = , дей-ствующая со стороны второго тела на первое сила

( ) ( )12 0 0sin sinf k X x kx f t f tω ω π= - - = = - = +

равна по величине и противоположна по фазе вынуждающейсиле f, поэтому первое тело вообще не колеблется!

Прибор для экспериментальной проверки теории. Нач-нем с конструкции прибора. Оказывается, в нем вовсе необязательно использовать обычные цилиндрические пружи-ны. Гораздо проще построить прибор на основе плоскихпружин – пружинящих полосок, работающих на изгиб.Далее, для возбуждения вынужденных колебаний предлага-ется воспользоваться электродвигателем с дисбалансом, под-ключенным к регулируемому источнику тока. Это позволитплавно менять скорость вращения вала и, следовательно,частоту вынуждающей силы, создаваемой несбалансирован-ной нагрузкой на валу.

Внешний вид рекомендуемого прибора схематически изоб-ражен на рисунке 2. Один из концов упругой полоски 1 зажатв лапке штатива, а на другом конце расположен микроэлек-тродвигатель 2. На валу двигателя находится шкив 3,который соединен пассиком 4 со шкивом 5. На шкиве 5 нанекотором расстоянии от оси вращения закреплен дисбаланс6. В направляющих полоски с возможностью перемещениярасположен пружинный маятник 7, на конце которого зак-реплен легкий груз 8.

Рис. 1

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 342

Упругую полоску размером 4 20 300 ммѣ ѣ лучше всегоизготовить из винипласта. Микроэлектродвигатель можновзять любого типа, лишь бы напряжение питания его было4,5 В или 9 В. К упругой полоске микродвигатель прикре-пите жестяным хомутиком или изолентой. Шкив, располо-женный на валу двигателя, должен иметь диаметр порядка10 мм. Второй шкив диаметром 50 мм закрепите на дюрале-вой стойке так, чтобы расстояние между осями вращенияшкивов составляло примерно 75 мм. На этом шкиве нарасстоянии 15 мм от его оси расположите дисбаланс, вкачестве которого можно использовать винт подходящейдлины с гайкой и контргайкой. Пружинный маятник разме-ром 0,28 5 380 ммѣ ѣ , выполняющий роль резонансногодемпфера, нетрудно изготовить из стальной пружины отмеханического будильника. На конце пружины расплющи-те отрезок дюралевой трубки так, чтобы получился грузикразмером 2 6 6 ммѣ ѣ . Пружину маятника пропустите че-рез две дюралевые направляющие, которые выполнены вформе обжимок и расположены на упругой полоске. Дляпитания электродвигателя можно использовать имеющийсяв любом школьном кабинете физики регулируемый по на-пряжению источник постоянного тока.

Экспериментальное исследование. Упругую полоску смикроэлектродвигателем закрепите в лапке штатива так,чтобы длина ее рабочей части составляла примерно 210 мм.Длину демпфера сделайте минимальной. Двигатель подклю-чите к регулируемому по напряжению источнику.

Постепенно увеличивайте напряжение питания. Обратитевнимание на то, что плохо сбалансированный двигательначинает заметно колебаться. Продолжая повышать напря-жение питания, добейтесь резонанса. При этом амплитудаколебаний двигателя на упругом основании резко возрастаеттак, что размах колебаний составляет около 40 мм (рис.3,а).

Затем плавно выдвигайте демпфер до длины 150–160 мм.Вы увидите, что колеба-ния двигателя практичес-ки прекращаются, а раз-мах колебаний демпфе-ра достигает 100–120 мм(рис.3,б).

Дальнейшее выдвиже-ние демпфера до длины210–220 мм приводит квозобновлению колеба-ний двигателя, причемих размах составляет20–30 мм, а размах ко-

лебаний демпфера уменьшается примерно до 40 мм (рис.3,в).Приведенные здесь экспериментальные результаты даны

для указанных выше параметров колебательной системы.Сделано это для того, чтобы вам легче было продуматьконструкцию собственного прибора и сопоставить получае-мые результаты с условиями эксперимента.

Обсуждение результатов. Главным элементом исследуе-мой колебательной системы является упругая винипластоваяполоска. Параметры ее отнюдь не критичны: мы изготовилидо десятка приборов, подобных описанному, и хотя в каждомиз них использовались разные двигатели и разные упругиеэлементы, все они прекрасно работали. Поэтому в отсутствиевинипласта в качестве пружинного маятника вы можетеиспользовать, например, пластмассовую ученическую ли-нейку, если она обладает достаточной гибкостью и упругос-тью, закрепив ее изолентой на подставке из деревянныхбрусков.

Сделав рекомендованный прибор, детально исследуйтенаблюдаемые явления. В небольшой статье невозможно датьподробное описание всего интересного. Укажем только, чтопомимо изгибных колебаний упругой полоски двигатель сдисбалансом легко возбуждает еще и крутильные колебания,которые, кстати, также можно демпфировать. Для этогонужно демпфирующий маятник закрепить с возможностьюизменения его длины перпендикулярно упругой полоскевозле ее конца. При достижении резонанса крутильныхколебаний брусок с двигателем весьма интенсивно прыгаетпо столу, а при достаточно хорошем демпфировании их –останавливается и стоит как вкопанный.

И последнее. Можно ли заранее подобрать легкий маятниктак, чтобы он демпфировал колебания массивного? Дляответа на этот вопрос будем рассуждать так.

Пусть на конце закрепленной горизонтально упругой по-лоски висит груз массой m, при этом максимальный изгибполоски равен h (рис.4).Тогда действующая нагруз сила тяжести по мо-дулю равна силе упруго-сти, которую в первомприближении можно счи-тать пропорциональнойизгибу полоски: mg = kh,где k – жесткость плоской пружины. Частота собственныхколебаний обсуждаемой системы задается известной форму-

лой k mω = . Подставляя сюда значение жесткости k изпредыдущего равенства, получаем

g

hω = .

Таким образом, частота собственных колебаний груза, вися-щего на конце расположенной горизонтально плоской пру-жины, обратно пропорциональна корню квадратному извеличины максимального изгиба пружины.

Теперь понятно, как подобрать требуемый по параметрамдемпфер. Для этого нужно измерить, на сколько изгибаетсяширокая плоская пружина под действием силы тяжестиэлектродвигателя. Затем сделать узкую тонкую пружинкупроизвольной длины — хотя бы из бронзовой или латуннойфольги. Наконец, закрепить на конце демпфирующей пру-жинки такой груз, чтобы она изгибалась ровно настолько,насколько изогнута основная пружина, колебания которойнужно демпфировать.

Красиво, изящно и… неожиданно.

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

Работа газапри переходе из

начальногосостояния вконечное

В.МОЖАЕВ

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ РАБОТА Aδ , СОВЕРШАЕМАЯ ГА-зом при бесконечно малом квазистатическом расшире-

нии, в котором его объем увеличивается на dV, равна

A pdVδ = , (1)

где р – внутренне давление газа. В случае квазистатическихпроцессов, когда любое состояние газа является равновес-ным, внутреннее давление р равно внешнему давлению.Только тогда состояние газа может быть описано двумяпараметрами р и V, и только тогда имеет смысл формула (1).

Квазистатические процессы, в строгом смысле этого слова,никогда не реализуются в природе, но к ним возможноподойти сколь угодно близко. Многие реальные процессыможно считать приблизительно квазистатическими с той илииной степенью приближения.

Чтобы от элементарной работы Aδ перейти к работе A дляконечного процесса, например при переходе из начальногосостояния газа с объемом 1V в конечное состояние с объемом

2V , надо просуммировать элементарные работы, или вычис-лить интеграл:

2

1

V

V

A pdV= т . (2)

Такое вычисление возможно только тогда, когда давлениеявляется определенной функцией объема. Между тем, со-гласно уравнению состояния идеального газа, давление рзависит не только от V, но и от температуры Т. Меняя в ходепроцесса различным образом температуру газа, можно пере-вести его из начального состояния в конечное бесчисленнымколичеством способов. Каждому из этих способов соответ-ствует своя функция ( )p p V= и свое значение интеграла вформуле (2). Таким образом, работа газа А не определяетсязаданием его начального и конечного состояний. Ее величиназависит от способа (или пути) перехода газа из начальногосостояния в конечное.

Для графического представления работы обычно исполь-зуется координатная плоскость pV. Состояние газа на такойплоскости задается точкой, причем по горизонтальной осиоткладывается объем V, а по вертикальной – давление р.Когда газ совершает квазистатический процесс, точка, изоб-ражающая его состояние, описывает на плоскости pV непре-рывную линию.

Пусть газ квазистатически переходит из состояния 1 в

состояние 2 вдоль кривой1М2 (рис.1). Эта кривая со-ответствует определенной за-висимости давления от объе-ма и однозначно определяетработу газа – она численноравна площади криволиней-ной трапеции 2 11M2VV .Если газ заставить перехо-дить из того же начальногов то же конечное состояниевдоль другой кривой, на-пример 1N2, то соответству-ющая работа изобразится другой площадью, а именно

2 11N2VV .Если газ обратимым путем переходит из состояния 2 в

состояние 1 вдоль кривой 2М1 или 2N1, то, очевидно, работачисленно равна тем же площадям, но со знаком минус. Наматематическом языке это означает, что в этом случае газсовершил отрицательную работу, а с физической точкизрения – что не газ совершил работу, а над газом быласовершена работа некоторымивнешними силами.

А теперь перейдем к разборуконкретных задач.

Задача 1. Моль идеальногогаза совершает круговой про-цесс (замкнутый цикл), изоб-раженный на рисунке 2. Учас-ток 1–2 – изотерма при тем-пературе 1T , процесс 2–3 –изобара, переход 3–1 – изохо-ра. Отношение объемов

2 1V V α= . Определите: 1) работу газа на каждом участке;2) работу, совершенную газом в круговом процессе.

На участке 1—2 связь между давлением газа р и объемомV имеет вид

1RTp

V= ,

где R – универсальная газовая постоянная. Работа газа вэтом процессе, согласно формуле (2), равна

2 2

1 1

212 1 1 1

1

ln lnV V

V V

VdVA pdV RT RT RT

V Vα= = = =т т .

Поскольку 1α > , то 12 0A > , т.е. газ совершает работу.На изобаре 2–3 давление газа остается неизменным:

1

2

RTp

V= ,

а работа равна

2

1

1 1 223 1 1

2 2

1V

V

RT V VA dV RT RT

V V

αα

ж ц- -ж ц= = = - з чз ч и ши шт .

Получается, что 23 0A < , т.е. над газом совершается работа.На изохоре 3–1 объем газа не изменяется, т.е. dV = 0,

поэтому работа равна нулю:

31 0A = .

В этом случае ни газом, ни над газом работа не совершается.Очевидно, что работа газа в данном круговом процессе

будет равна

кр 12 23 31 11

lnA A A A RTα

αα-ж ц= + + = -з чи ш .

Рис. 1

Рис. 2

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 344

На рисунке 2 эта работа численно равна площади выделен-ной фигуры 1–2–3.

Задача 2. Моль гелия расширяется из начального состо-яния 1 до конечного состояния 3 в двух процессах (рис.3).

Сначала расширение идет в про-цессе 1–2 с постоянной теплоем-

костью 3

C R4

= (R – универ-

сальная газовая постоянная).Затем газ расширяется в про-цессе 2–3, когда его давление рпрямо пропорционально объемуV. Найдите работу, совершен-ную газом в процессе 1–2, если впроцессе 2–3 он совершил рабо-ту А. Температуры начального

(1) и конечного (3) состояний равны.Поскольку температуры газа в начальном и конечном

состояниях одинаковы, переход из состояния 1 в состояние3 происходит с сохранением внутренней энергии газа. Попервому началу термодинамики, в этом случае суммарноеподведенное к газу количество теплоты полностью идет наработу, совершенную газом. Воспользуемся этим обстоя-тельством и найдем количество теплоты, подведенное к газуна участках 1–2 и 2–3.

Обозначим состояние газа в точке 3 через 3p , 3V и 3T , ав точке 2 – через 2p , 2V и 2T . Работу газа А на участке2–3 выразим через площадь трапеции 3 223VV (рис.4):

( ) ( )3 2 3 21

2A p p V V= + - .

Из подобия треугольников0 33V и 0 202V запишем

3 3

2 2

p V

p V= .

Учитывая, что 3 3 3p V RT=и 2 2 2p V RT= , из совместно-го решения предыдущихдвух уравнений найдем

3 22A

T TR

- = .

Теперь мы можем записать подведенное к газу количествотеплоты на участке 1–2:

( )12 2 32CA

Q C T TR

= - = -

и на участке 2–3:

( )23 3 22 V

VC A

Q C T T A AR

= - + = + ,

где 3

2VC R= — молярная теплоемкость гелия при постоян-

ном объеме.В соответствии с первым началом термодинамики,

12 23 12Q Q A A+ = + ,

где 12A – искомая работа газа на участке 1–2. Тогдаокончательно получим

( )12 12 23

2 3

2VC C A

A Q Q A AR

-= + - = = .

Задача 3. На рисунке 5 показан круговой процесс для νмолей гелия, состоящий из двух участков линейной зависи-мости давления р от объема V и одной изобары. Известно,что на изобаре 3–1 над газом была совершена работа А(А > 0), а температура газа уменьшилась в 4α = раза.

Состояния 2 и 3 принадле-жат одной изотерме. Точки 1и 2 на диаграмме pV лежат напрямой, проходящей через на-чало координат. Определите:1) температуру газа в точке1; 2) работу газа за цикл.

Обозначим температуру ге-лия в точке 1 через 1T , тогдатемпература гелия в точке 3будет 3 1T Tα= . Работа надгазом на изобаре равна

( ) ( ) ( )1 3 1 3 1 11A p V V R T T R Tν ν α= - = - = - .

Отсюда

( )1 1 3

A AT

R Rν α ν= =

- .

Перейдем ко второму вопросу. Работу за цикл цA будемискать через площадь треугольника 123:

( ) ( )ц 2 1 3 11

2A p p V V= - - .

Для изобарического процесса V T: , поэтому

( )3 1 1 1V V V α- = - .

Поскольку точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей черезначало координат, то

22 1

1

Vp p

V= .

С другой стороны, точки 2 и 3 лежат на изотерме, поэтому

2 2 3 3p V p V= .

Учитывая, что 1 3p p= , находим

32 1 1

1

Vp p p

Vα= = .

После подстановки в выражение для работы за цикл получим

( )( )ц 1 11

1 12

A pV α α= - - =

= ( )( )11

1 12

RTν α α- - = ( )12 2

A Aα -= .

Задача 4. Моль гелия совершает работу А в замкнутомцикле (рис.6), состоящем из адиабаты 1–2, изотермы 2–3и изобары 3–1. Найдите работу, совершенную гелием визотермическом процессе,если разность температурмежду максимальной и мини-мальной в цикле равна T∆ .

Очевидно, что максималь-ная температура гелия в цик-ле будет в точке 1. Обозначимэту температуру через 1T . Ми-нимальная температура газабудет на изотерме 2–3, обо-значим ее через 23T . Согласноусловию задачи,

1 23T T T∆- = .

Для кругового процесса, в соответствии с первым началомтермодинамики, суммарное подведенное к газу количествотеплоты равно работе газа, совершенной им в данном замк-

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

нутом цикле:

12 23 31Q Q Q A+ + = .

Тепло, подведенное на адиабате 1–2, равно нулю:

12 0Q = .

На изотерме 2–3 внутренняя энергия гелия остается неизмен-ной, и подведенное тепло равно работе газа:

23 23Q A= .

При изобарическом процессе 3–1 подведенное к газу теплоидет на увеличение его внутренней энергии и на работу газа:

( ) ( ) ( )31 1 23 31 1 3V VQ C T T p V V C R T∆= - + - = + .

Окончательно получим

( )23 VA C R T A∆+ + = .

Отсюда найдем работу гелия на изотерме 2–3:

( )235

2VA A C R T A R T∆ ∆= - + = - .

Задача 5. Подвижный поршень массой m, подвешенный напружине, делит объем откачанного вертикального цилинд-ра на две части (рис.7). В положении равновесия высота

нижней части цилиндра равна

0H , а удлинение пружины приэтом составляет 0x . В ниж-нюю часть цилиндра впрыскива-ют ν молей воды. После тогокак вся вода испарилась, пор-шень переместился вверх на ве-личину 1 0x xα= ( 3 2α = ).Найдите: 1) установившуюсятемпературу пара; 2) работу,совершенную паром. Теплоотво-дом через стенки цилиндра пре-небречь.

Запишем условие механического равновесия поршня довпрыскивания воды:

0mg kx= ,

где k – жесткость пружины. После испарения воды иустановления нового равновесия поршня объем пара будет

( )п 0 0V H x Sα= + ,

где S – площадь внутреннего поперечного сечения цилиндра.Давление пара при этом будет равно

( )0п

1mg kx mgp

S S

α α+ -= = .

Рассматривая пар как идеальный газ, из уравнения состоя-ния найдем температуру пара:

( )0 0п пп

mg H xp VT

R R

α αν ν

+= = .

Работа, совершенная паром, пойдет на приращение потен-циальной энергии поршня и пружины. Если отсчитыватьпотенциальную энергию поршня от его положения приотсутствии воды в цилиндре, то суммарная потенциальнаяэнергия поршня и пружины в начальный момент равна

20 0

1 2 2

kx mgxW = = .

Потенциальная энергия в конечном состоянии составляет

( ) ( )22200

2 0

11

2 2

mgxkxW mg x

ααα

+-= + = .

Работа пара равна изменению потенциальной энергии:2

0п 2 1 0

9

2 8

mgxA W W mgx

α= - = = .

Задача 6. Какую максимальную работу можно получитьот периодически действующей тепловой машины, нагрева-телем которой служит 1m 1 кг= воды при начальной тем-пературе 1T 373 К= , а холодильником – 2m 1 кг= льда притемпературе 2T 273 К= , к моменту, когда растает весьлед? Чему будет равна температура воды нагревателя вэтот момент? Удельная теплота плавления льда q == 80 ккал/кг. Зависимостью теплоемкости воды от тем-пературы пренебречь.

Работа, совершаемая любой тепловой машиной в замкну-том цикле, по первому началу термодинамики равна

1 2A Q Q= - ,

где 1Q – количество теплоты, подведенное к рабочему телуза цикл, а 2Q – отведенное количество теплоты. Коэффици-ент полезного действия (КПД) тепловой машины равен

1 2 2

1 1

1Q Q Q

Q Qη

-= = - .

Максимальную работу можно получить (теоретически), еслитепловая машина будет работать по циклу Карно. КПДцикла Карно зависит только от температур 1T и 2T нагрева-теля и холодильника:

1 2 2K

1 1

1T T T

T Tη

-= = - .

Сравнивая два выражения для КПД, найдем, что для циклаКарно

2 2

1 1

Q T

Q T= .

В нашем случае количество теплоты 2Q , отведенное отрабочего тела и переданное холодильнику, будет идти наплавление льда, и температура холодильника 2T будетоставаться постоянной (пока не растает весь лед) и равной273 К. А вот температура нагревателя (горячая вода) будетуменьшаться после каждого цикла, и к моменту, когда ледрастает, температура воды нагревателя будет заметно мень-ше начальной, равной 373 К. Следовательно, температуранагревателя будет переменной величиной.

Пусть в некоторый произвольный момент времени темпе-ратура нагревателя была Т, а за бесконечно малое времяработы тепловой машины она уменьшилась на dT. Количе-ство теплоты, переданное рабочему телу за это время, равно

1 в 1dQ c m dT= - ,

где вc – удельная теплоемкость воды. Количество теплоты,переданное холодильнику, составляет

2 2dQ qdm= ,

где 2dm – бесконечно малое количество растаявшего льда.Воспользовавшись соотношением между Q и Т для циклаКарно, получим

2 2

в 1

qdm T

c m dT T- = .

После разделения переменных Т и 2m это уравнение будетиметь вид

2

в 1 2

dT qdm

T c m T= - .

Рис. 7

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 45

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 346

Проинтегрируем обе части данного уравнения:

к 2

1

2в 1 2 0

T m

T

dT qdm

T c m T= -т т ,

где кT – конечная температура воды в нагревателе к момен-ту, когда весь лед растает. После интегрирования получим

к 2

1 в 1 2

lnT qm

T c m T= - ,

откуда найдем

2к 1

в 1 2

exp 278,3 Кqm

T Tc m T

ж ц= - =з чи ш

.

Теперь мы можем определить суммарное количество теп-лоты, полученное от нагревателя к моменту полного таянияльда:

( )1 в 1 1 кQ c m T T= - .

Суммарное количество теплоты, переданное при этом холо-дильнику, равно

2 2Q qm= .

Следовательно, от тепловой машины можно получить макси-мальную работу

( )max 1 2 в 1 1 к 2 61,5 кДжA Q Q c m T T qm= - = - - = .

Упражнения

1. Моль гелия, расширяясь в процессе 1–2 (рис.8), где егодавление р меняется прямо пропорционально его объему V,совершает работу А. Из состояния 2 гелий расширяется впроцессе 2–3, в котором его теплоемкость остается постояннойи равной С = R/2. Какую работу совершит гелий в процессе

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10

2–3, если температуры начального (1) и конечного (3) состоя-ний равны?

2. Цикл для ν молей гелия состоит из двух участков линейнойзависимости давления р от объема V и одной изохоры (рис.9).В изохорическом процессе 1–2 от газа было отведено количествотеплоты Q (Q > 0), и его температура уменьшилась в 4 раза.Температуры в состояниях 2 и 3 равны. Точки 1 и 3 на диаграммеpV лежат на прямой, проходя-щей через начало координат. 1)Найдите температуру 1T в точ-ке 1. 2) Найдите работу газа зацикл.

3. Моль гелия совершает ра-боту А в замкнутом цикле, со-стоящем из изобары 1–2, изохо-ры 2–3 и адиабатического про-цесса 3–1 (рис.10). Сколькотепла было подведено к газу визобарическом процессе, еслиразность максимальной и минимальной температур гелия вцикле равна T∆ ?

Формулыгеометриипомогаюталгебре

В.МИРОШИН

ВШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ПРИВОДЯТСЯ ТРИформулы, позволяющие находить:

а) расстояние между точками с координатами 1x и 2x начисловой прямой: это модуль их разности, т.е. 2 1d x x= - ;

б) расстояние между точками ( )1 1;x y и ( )2 2;x y числовой

плоскости: ( ) ( )2 2

2 1 2 1d x x y y= - + - ;

в) расстояние от точки ( )0 0;x y до прямой, заданной

уравнением 0ax by c+ + = : 0 0

2 2

ax by cd

a b

+ +=

+.

Довольно часто удается использовать эти формулы прирешении алгебраических задач. Для этого, как правило,нужно истолковать данное алгебраическое выражение какрасстояние или сумму расстояний до некоторых точек илипрямых. С такими задачами мы и собираемся вас познако-мить.

Сумма расстояний

Задача 1. Найдите минимум выражения

( ) ( ) ( )2 2 2 2,f x y x 3 y 4 x y= - + - + + .

Решение. Данное выражение представляет сумму рассто-яний от некоторой точки M(x; y) координатной плоскости до

двух точек: ( )3;4K и начала координат ( )0;0O .Используя известное «неравенство треугольника», полу-

чим, что сумма расстояний MK + MO не может быть меньшерасстояния KO, причем минимум достигается для любойточки M, лежащей на отрезке KO. Итак, MK MO OK+ ≥ == 5.

Ответ: 5.Замечание. Для точек, лежащих на координатной оси,

неравенство может быть записано в виде x a x b- + - =( ) ( ) 0a b x a x b= - Ы - - £ .

Задача 2 (МГУ, мехмат). Найдите минимум выражения

( ) ( ) ( )2 2,f x y x 2 y 3 x y= - + - + - .

Решение. Минимальное зна-чение второго слагаемого дости-гается на прямой, заданной урав-нением y = x. В этом случаевторое слагаемое равно нулю.Осталось минимизировать пер-вое слагаемое, которое есть рас-стояние от некоторой точки ( );x yдо точки ( )2;3M (рис.1).

Найдем на прямой y = x точку,наименее удаленную от точки ( )2;3M . Это будет основаниеP перпендикуляра, проведенного из точки М на прямую. Ирасстояние будет равно расстоянию от точки М до прямой:2 3 1

2 2

-= .

Сумма двух слагаемых будет такой же.Докажем, что найденное значение будет действительно

наименьшим. Пусть , 0x y a a- = > . Имеем

,

y x a y x ax y a

y x a y x a

- = = +й й- = Ы Ык к- = - = -л л

0a > .

Данная совокупность задает пару прямых, параллельныхпрямой y = x, пересекающих ось ординат в точках ( )0;a и( )0; a- . В этом случае минимум первого слагаемого есть

расстояние от точки( )2;3 до ближайшей изпрямых y = x + a или y == x – a. Это расстояниеравно длине отрезка MQ(рис. 2).

Очевидно, что выпол-нено неравенство a >> MP + MQ, откудаMP < a – MQ < a + MQ.Если же точка Q лежит

между точками M и P, то в этом случае и вовсе a MP> -MQ MP a MQ- Ы < + , что и требовалось доказать.

Ответ: 1

2.

Задача 3 (МГУ, мехмат). Найдите наименьшее значение

выражения ( ) ( )2 2

x 2 y 3 x y- + - + + .

Решение. Решим эту задачу подобно предыдущей. Обо-

значим сначала ( ) ( ) ( )2 2, 2 3f x y x y x y= - + - + + . Рас-

смотрим два последних слагаемых. Пусть , 0x y a a+ = ³ .Если а = 0, то

0,0

0.

xx y

y

=м+ = Ы н =о

Осталось найти значение данного выражения:

( )0,0 13f = .

Если a > 0, то уравнение x y a+ = задает на координат-

ной плоскости квадрат с вершинами в точках ( ) ( )0; , 0; ,a a-

( ) ( );0 , ;0a a- . Найдем на указан-ном квадрате точку, наименее уда-

ленную от точки ( )2;3M .Если 0 1a< £ , то такой точ-

кой будет вершина квадрата ( )0;a(рис. 3). Но по неравенству тре-угольника сумма ( ),f x y =

( ) ( )2 22 3a a= + - + в этом слу-

чае будет больше, чем расстояние

от точки ( )2;3M до начала коорди-

нат, т.е. больше 13 .Если 1a > , то ближайшей к точке( )2;3M будет точка, являющаяся

основанием перпендикуляра, опу-щенного из точки ( )2;3M на отре-зок прямой x + y = a, содержащийсторону квадрата (рис.4). В этом

случае имеем

( )2 3 5

2 2

a af a a a

+ - -= + = + .

Если 1 5a< £ , то

( )1 5

12 2

f a aж ц= - +з чи ш

,

1 51 1 2 2 13

2 2aж ц- + > + >з чи ш .

Если 5a > , то

( )1 5

12 2

f a aж ц= + -з чи ш ,

1 51 5 13

2 2aж ц+ - > >з чи ш .

Таким образом, ( ) ( )2 2min 2 3 13x y x yж ц- + - + + =и ш .

Ответ: 13 .Задача 4 (XIV Международная олимпиада «Интеллекту-

альный марафон»). Найдите наименьшее значение функ-

ции ( ) 2 2f x x 6x 13 x 14x 58= - + + - + .

Решение. Запишем функцию в виде ( ) ( )23 4f x x= - + +

( )27 9x+ - + . Дадим геометрическую трактовку получен-

ному выражению. Правая часть есть сумма расстояний отточки ( ); 0x до точек ( )3; 2 и ( )7; 3- . Точка ( ); 0x лежит наоси абсцисс, а две другие точки – в разных полуплоскостяхот нее. Минимум суммы расстояний, как легко видеть, будетдостигаться тогда, когда точка ( ); 0x будет лежать на

отрезке, соединяющем точки ( )3; 2 и ( )7; 3- , и будет равендлине этого отрезка.

Итак, ( ) ( ) ( )2 2min 7 3 3 2 41f x = - + - - = .

Ответ: 41 .Задача 5 (РГГУ). Найдите наименьшее значение функ-

ции

( ) 2 21f x 2x 2x 2x 2x 5= + + + - + +

2 22x 6x 9 2x 10x 13+ - + + - + .

Решение. Вид функции свидетельствует о том, что «лобо-вое» решение с помощью производной приведет к вычисли-тельным трудностям. На мысль использовать формулу длярасстояния наводят одинаковые старшие коэффициентыквадратных трехчленов, а также вид первого из них.

Преобразуем подкоренные выражения, представив их в«узнаваемом» виде:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1f x x x x x= + + + - + + +

+ ( ) ( ) ( )2 2 22 3 2 3x x x x+ - + - + - .

Осталось заметить, что правая часть равенства есть сумма

расстояний от точки ( );M x x до четырех точек

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 47

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 348

( ) ( ) ( ) ( )0; 1 , 2; 1 , 0;3 , 2;3- - ко-ординатной плоскости (рис.5).

Указанные точки – вершиныпрямоугольника, а точка, суммарасстояний от которой до еговершин минимальна, – это точкапересечения его диагоналей. Сум-ма расстояний от любой другойточки плоскости до вершин пря-моугольника будет больше. Этоследует из неравенства треуголь-

ника. Осталось заметить, что прямая y = x проходит черезточку пересечения диагоналей, имеющую координаты ( )1;1 .

Следовательно, ( ) ( )min 1 4 5f x f= = .

Ответ: 4 5 .Задача 6. Решите систему

( )

22 ,

.

1x y 4 x 2y 2 2 5

5

x 2

м + - + - - =пнп ³о

Решение. Пусть ( );x y – координаты некоторой точкиплоскости. Тогда уравнение системы – это сумма расстояний

от этой точки до точки ( )0;4M и до прямой, заданнойуравнением 2 2 0x y- - = . За-метим еще, что правая часть урав-нения равна расстоянию от точ-ки М до указанной прямой. Мно-жество точек плоскости, облада-ющих данным свойством, – пер-пендикуляр, опущенный из точ-ки М на прямую (рис.6). Оче-видно, что для любой точки N,не принадлежащей этому пер-

пендикуляру, сумма расстояний до точки М и до прямойбудет больше.

Проведем перпендикуляр MP. Точка P – основание пер-

пендикуляра – будет иметь координаты ( )2;0 . Учитываянеравенство системы, получим, что только ее координатыбудут являться искомыми решениями всей системы.

Ответ: ( )2;0 .Задача 7 (МГУ, ВМК). Решите систему уравнений

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

,

.

x y 16x 12y 100 x y 4x 20y 104 2 29

x 7 y 5 16

м + - - + + + + - + =пн

- + - =по

Решение. Представляя подкоренные выражения в видесуммы двух квадратов, получим

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 28 6 2 10 2 29x y x y- + - + + + - = .

Левая часть равенства есть сумма расстояний от точки( );M x y координатной плоскости до точек с координатами

( )8;6 и ( )2;10- . Правая часть равенства – расстояние междуэтими точками.

Геометрическое место то-чек, сумма расстояний от ко-торых до двух данных точекесть расстояние между эти-ми точками, – это отрезок,соединяющий данные точки(рис.7). Поэтому первоеуравнение системы задаетотрезок, соединяющий точ-

ки ( )8;6 и ( )2;10- . Соста-

вим уравнение этой прямой:

( )2 10 1

28 2 6 10 5

x yx

+ -= Ы + =

+ -( )

110 5 2 46 0

2y y x- - Ы + - = .

Найдем точку пересечения этой прямой с окружностью,заданной вторым уравнением, принадлежащую указанномуотрезку. Запишем систему

( ) ( )2 2

2 5 46 0,

7 5 16,

6 10.

x y

x y

y

+ - =мп

- + - =нп £ £о

Выразив из первого уравнения переменную 5

232

x y= - и

подставив во второе уравнение, получим

( )2

2516 5

2y y

ж ц- + - =з чи ш

= 2

180 2 41529 2916 90 265 04 180 2 415

.29

yy y

y

й -=к

кЫ - + = Ык +

=кл

Учитывая ограничения системы, получим, что

180 2 415

29y

+= . Теперь найдем абсциссу точки пересече-

ния: ( )5 90 415 217 5 415

2329 29

x+ -

= - = .

Ответ: 217 5 415 180 2 415

;29 29

ж ц- +з чи ш

.

Разность расстояний

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых присут-ствовали суммы расстояний. Но есть задачи, в которыхрассматривается и разность расстояний между точками.

Очень часто при решении алгебраических уравненийможно встретить уравнения, содержащие следующие комби-нации:

1) ,x a x b b a b a- - - = - > ;2) ,x a x b a b b a- - - = - > ;3) ,x a x b b a b a- - - = - > .

В этих случаях разность расстояний от некоторой точки xчисловой прямой до точек a и b в указанном порядке либоравна расстоянию между ними, либо противоположна ему.

Имеем

1) x a x b b a x b- - - = - Ы ³ ;

2) x a x b a b x a- - - = - Ы £ ;

3) ( ) ( ) 0x b

x a x b b a x a x bx a

³й- - - = - Ы Ы - - ³к £л

.

В первых двух случаях геометрическое место точек – лучпрямой, в третьем – два луча.

В случае точек на плоскости картина не меняется.Задача 8 (ГФА). Среди решений неравенства

( ) ( )2 22 2x y 13 x 5 y 12+ ³ + - + -

найдите те, при которых сумма x + y принимает наимень-шее значение.

Решение. Запишем неравенство следующим образом:

( ) ( )2 22 2 13 5 12x y x y+ - ³ - + - .

Заметим, что 2 213 5 12= + . Тогда левая часть неравенства

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

есть разность расстояний от начала координат до некоторой

точки ( );M x y и до точки ( )5;12 . Причем это расстояние не

меньше расстояния между точкой M и точкой ( )5;12 .Найдем ГМТ, заданное неравенством. Имеем

( ) ( )2 22 2

2 2

2 2 2 2 2 2

13 5 12

13 0,

26 169 10 24 169

x y x y

x y

x y x y x x y y

+ - ³ - + - Ы

м + - ³пЫ Ынп + - + + ³ - + - +о

2 2

2 2 2 2

169,

5 12 0,

25 120 144 169 169

x y

x y

x xy y x y

м + ³п

Ы + ³ Ынп + + ³ +о

2 2

2 2

169,

5,

12

144 120 25 0

x y

y x

x xy y

м + ³ппЫ ³ - Ынпп - + £о ( )

2 2

2

169,

5,

12

12 5 0.

x y

y x

x y

м + ³пп ³ -нпп - £о

Последнее неравенство системы может быть верным толькотогда, когда выражение, стоящее в его левой части, равнонулю. Получим

( ) ( )2 22 2 13 5 12x y x y+ - ³ - + - Ы

2 2 2 2169, 169,

5 5, ,

12 1212 5 0 12

.5

x y x y

y x y x

x yy x

мм п+ ³ + ³п пп пЫ ³ - Ы ³ -н нп п

- =п по =поТаким образом, геометрическое место точек, заданных нера-

венством, – это луч прямой 12

5y x= , лежащий вне внутрен-

ней части круга радиуса 13 с центром в начале координат, а

также в полуплоскости, заданной неравенством 5

12y x³ - .

Прямая x y c+ = пересекает луч при 17c ³ (рис.8), такчто наименьшее значение c, при котором прямая указанноговида будет иметь общую точку с лучом, будет равно 17.

Ответ: (5; 12).Задача 9. Найдите значения параметра a, при каждом из

которых система уравнений

( ) ( )

( )

222 2 2 2

2 2

,

4

x y x a y a a 1 a

x y 1

м+ - - + - = +п

нп - + =о

имеет единственное решение.

Решение. Записав первое уравнение системы в виде

( ) ( )222 2 2 2 4x y x a y a a a+ - - + - = + ,

видим, что разность расстояний от точки ( );M x y до начала

координат, точки O, и точки ( )2;A a a равна AO, отсюдаследует, что точка ( );x y лежит налуче прямой y = ax с началом вточке A.

Так как система описывает пере-сечение окружности и луча, нача-ло которого лежит вне окружнос-ти, то система будет иметь един-ственное решение только в томслучае, когда указанный луч прямой y ax= будет касатьсяокружности (рис.9). Имеем

tga α= , где 1

sin4

α = .

Следовательно,

2

1 1tg

154 1a α= = =

-.

Ответ: 1

15.

Сумма расстояний до вершин треугольника

Задача 10. Найдите наименьшее значение выражения

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2,f x y x y x 3 y x 5 y 3= + + - + + + + - .

Решение. В этой задаче нужно найти минимум суммы

расстояний от точки ( );x y до вершин треугольника с коор-

динатами ( ) ( ) ( )0;0 , 3;0 , 5;3-(рис. 10). Мы имеем дело счастным случаем одной изнаиболее известных геомет-рических задач на нахожде-ние наибольших и наимень-ших значений.

Общая формулировка этойзадачи такова: Дан треуголь-ник АВС. Найти в его плос-кости точку P, сумма расстояний от которой до вершинтреугольника минимальна.

Такая точка называется точкой Торричелли.Теорема. Если больший угол треугольника меньше 120° ,

то точка Торричелли – точка, лежащая внутри треуголь-ника, из которой все его стороны видны под углом 120° .Если больший угол треугольника не менее 120° , то точкаТорричелли – вершина тупого угла.

Существует несколько способов доказательства даннойтеоремы. Приведем то, которое не использует методов иссле-дования функций.

Лемма 1. Точка, сумма расстояний от которой до вершинтреугольника минимальна, не может лежать вне этоготреугольника.

Доказательство. Пусть некоторая точка M, обладающаяуказанными свойствами, лежит вне треугольника (рис. 11).Соединим ее с вершиной Bтреугольника. Точку пере-сечения отрезков AC и BMобозначим 1M . Очевидно,что выполнено неравенство

MA MB MC+ + >

1 1 1M A M B M C> + + .

Лемма доказана.

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 49

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 350

Таким образом, точка, сумма расстояний от которой довершин треугольника минимальна, лежит либо в плоскоститреугольника, либо на одной из его сторон.

Лемма 2. Если наибольший угол треугольника менее 120° ,то искомая точка – точка, лежащая внутри треугольника,из которой все вершины треугольника видны под углом120° .

Доказательство. Выберем внутри треугольника ABCпроизвольную точку P и найдем сумму расстояний от неедо вершин треугольника, т.е. PA PB PC+ + (рис.12). По-

вернем треугольник вокруг, на-пример, вершины B на угол60° . При этом вершина A пе-рейдет в точку 1A , вершина C,соответственно, в точку 1C , асама точка P – в точку 1P .Треугольник 1PBP – равно-сторонний, и поэтому

1 1PB PB PP= = . Получим

1 1 1PA PB PC P A PP+ + = + +PC+ . Равенство длин отрез-

ков 1 1PA P A= следует из того,что поворот – это движение

плоскости. По свойству ломаной получаем, что сумма рас-стояний будет наименьшей, если точка P будет лежать наотрезке 1AC . Аналогично рассуждая, получим, что искомаяточка должна лежать и на отрезке 1BC . Таким образом,точка P – пересечение отрезков 1AC и 1BC .

Итак, если точка P лежит на прямой 1AC , то

1 1 1 180BPP A PBР + Р = ° , откуда следует, что 1 1A PBР =120APB= Р = ° . Аналогично, 120APCР = ° . Так как наи-

больший угол треугольника меньше 120° , то точка P лежитвнутри треугольника.

Лемма доказана.Лемма 3. Если больший угол треугольника не менее 120° ,

то точка, сумма расстояний от которой до вершин треу-гольника минимальна, – вершина тупого угла.

Доказательство. Пусть120BACР > ° и P – произ-

вольная точка внутри тре-угольника (рис.13). Пост-роим равносторонний тре-угольник 1PAP . Рассуждаякак в предыдущем случае,получим, что APB∆ =

1 1APB∆= , PA PB PC+ + =

1 1PC PP PB= + + . Так как1PA PB PC AC AB+ + ³ +

и 1AB AB= , то PA PB PC AB AC+ + ³ + .Лемма доказана.Доказательство лемм завершает доказательство теоремы.Решим поставленную выше задачу: найдем минимум сум-

мы расстояний от точки ( );x y до вершин треугольника скоординатами ( ) ( ) ( )0;0 , 3;0 , 5;3- .

Решение. Вычислим косинус большего угла треуголь-ника:

2 2 2 34 9 73 5 1cos

2 26 34 34

AB AC BCA

AB AC

+ - + -Р = = = - < -

Ч Ч .

Тупой угол данного треугольника более 120° , поэтомуточка, сумма расстояний от которой до вершин треугольникаминимальна, – вершина тупого угла. Искомая сумма равна

34 3+ .

Ответ: 34 3+ .

Рис. 12

Рис. 13

Задачи для самостоятельного решения

1. Решите систему

( ) ( )2 21 4 0,2 4 3 12 5,

4 0.

x y y x

x y

мп - + - + - + =н

- £по2. Решите систему

( ) ( ) ( )2 2 22

22 1 0,

2

10 6 2 10.

xy x

x

x y x y

м -- + - =пп -

нп

+ - + - + - £по

3. Решите систему

( ) ( )

( )

2 2

22

1 4 0,2 4 3 12 5,

3 25.

x y y x

x y

м - + - + - + =пнп + + £о

4. Решите систему

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2 22

2 4 2 5,

8 6 4 2 13.

x y x y

x y x y

м + - - + - ³пнп + - + - + - £о

5. Решите систему

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 4 3 5,

2 4 8 4 8 0.

x y x y

y x x x x x

м + - - + - ³пн

- - + - - + - - =по

6. Найдите наибольшее значение y, для которого существуютзначения x и z, удовлетворяющие условиям

( ) ( )

2

2 22 2

1 1,

0,6 0,8 1.

yz x z

x y x y

м + - =пнп + ³ - + + +о

7. Найдите наименьшее значение x, для которого существуютзначения y и z, удовлетворяющие условиям

( ) ( )

2

2 22 2

1 1,

0,6 0,8 1.

yz x z

x y x y

м + - =пнп + ³ - + - +о

8. Найдите все значения параметра a, при каждом из которыхсистема уравнений

( ) ( )

( )

222 2 2 2

2 2

1 ,

10 36

x y x a y a a a

x y

м+ - - + - = +п

нп - + =о

имеет решение.

Информацию о журнале «Квант» и некоторыематериалы из журнала можно найти в ИНТЕРНЕТЕ поадресам:

Редакция журнала «Квант»

kvant.info

Московский центр непрерывного математическогообразования

kvant.mccme.ruМосковский детский клуб «Компьютер»math.child.ruКостромской центр дополнительного образования

«Эврика»ceemat.ru

О Л И М П И А Д Ы 51О Л И М П И А Д Ы

XV Международная олимпиада«Интеллектуальный марафон»

Международный интеллект-клуб (МИК) «Глюон» в рам-ках международной программы «Дети. Интеллект. Творче-ство» при участии Института физики высоких энергий, МГУим. М.В.Ломоносова, Фонда некоммерческих программ «Ди-настия» и при поддержке компаний «Физикон» и «1С»,Издательского дома «Первое сентября» и журналов «Квант»и «Физика в школе» провел юбилейную тест-рейтинговуюолимпиаду «Интеллектуальный марафон». Олимпиада про-ходила с 8 по 15 октября 2006 года в городе ПротвиноМосковской области на базе Института физики высокихэнергий.

На олимпиаду приехали участники из разных регионовРоссии и из Казахстана. Одаренные школьники, проявившиеинтерес к фундаментальным наукам, соревновались в ко-мандных и индивидуальных турах по математике, физике иистории научных идей и открытий. В четвертый раз волимпиаде участвовали школьники, интересующиеся эколо-гией и биологией, и в третий раз – интересующиеся истори-ей и культурологией.

Абсолютным победителем олимпиады «Интеллектуаль-ный марафон-2006» по фундаментальным наукам в коман-дном зачете стала команда лицея 1511 при МИФИ (Москва).Ей был вручен главный приз соревнований – Суперкубок –и призы от спонсоров. Команда была также второй поистории научных идей и открытий и третьей по математикеи физике.

Второе место в общем зачете заняла команда Классичес-кого лицея 1 при РГУ (Ростов-на-Дону). Она заняла такжетретье место по истории научных идей и открытий. Командебыл вручен большой кубок за второе место в общем зачетеи соответствующие дипломы за успехи в командных сорев-нованиях. На третье место вышла команда ФМЛ 1580 при

МГТУ им. Н.Э.Баумана (Москва), которая стала также первойпо истории научных идей и открытий и второй по физике. Ейбыл вручен кубок и дипломы за успехи в командныхсоревнованиях.

В индивидуальных соревнованиях по фундаментальнымнаукам абсолютным победителем олимпиады стал ЮрийЦимбалов, ученик 11 класса ФМЛ 1580 при МГТУ им.Н.Э.Баумана. Ему были вручены большая золотая медаль ималая бронзовая медаль за третье место по физике. Вто-рым призером в общем зачете стал Фарит Шакиров, уче-ник 11 класса ФМЛ 2 Елабуги. Большую бронзовую медальв общем зачете завоевал Зине Жумон, представляющийКазахстан, он получил также малую золотую медаль запобеду по математике. В индивидуальном зачете по физи-ке лучшим стал Владимир Турбин (11 кл., Центр «Дарын»,Казахстан), ему была вручена малая золотая медаль. Вто-рым стал Никита Агеев (11 кл., Классический лицей 1 приРГУ), он удостоился малой серебряной медали. Мират Ка-денов (Центр «Дарын») получил бронзовую медаль затретье место по физике. Арман Диляров и Дайана Тумар-бекова (Казахстан) за второе и третье места по математикебыли награждены малыми серебряной и бронзовой меда-лями соответственно.

Все победители и призеры получили различные подаркии призы от организаторов и спонсоров олимпиады.

Международный интеллект-клуб «Глюон» приглашает ре-гиональные центры, школы, лицеи и гимназии, работающиес одаренными детьми, принять участие в XVI Международ-ной олимпиаде «Интеллектуальный марафон», которая прой-дет в октябре 2007 года в Греции на острове Крит.

Заявки на участие присылайте по адресу: 115522 Москва,Пролетарский проспект, д.15/6, корп.2, МИК «Глюон».

Телефон: (495)517-8014, факс: (495)396-8227,e-mail:gluon@yandex.ru(см.также сайт: http:\\ gluon.informika.ru).Идет жеребьевка капитанов команд

Команда Классического лицея 1 при РГУ

52 К В А Н T $ 2 0 0 7 / 3

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫПО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ НАУКАМ

Письменный индивидуальный тур

Математика

1. Замените звездочку цифрой так, чтобы число

100100

99 9 00 0 9*K K

123123

оказалось полным квадратом.

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, еслиточка касания вписанной в него окружности делит гипотену-зу на отрезки с длинами а и b.

3. Найдите наименьше из чисел вида 11 5k l- , где k и l –

натуральные числа.4. Таблица m nѣ заполнена числами так, что числа

каждой строки и каждого столбца образуют арифметичес-кую прогрессию. Найдите сумму всех чисел таблицы, еслисумма четырех чисел, стоящих в ее углах, равна s.

5. На стороне AC треугольника АВС взята точка Е такая,что ЕС = АВ. Пусть K – середина ВС, М – середина АЕ.Найдите угол ВАС, если KME αР = .

6. Пусть a > 1 – единственный корень уравнения3 3 0x x- - = . Что больше: а или 5 13 ?

7. Можно ли так познакомить некоторых из N попарнонезнакомых людей, чтобы никакие трое из них не имелиодинакового количества знакомых?

Физика

1. Два одинаковых маленьких шарика, соединенных меж-ду собой нерастяжимой невесомой нитью длиной l, лежат нагладкой горизонтальной плоскости. Какую минимальнуювертикальную скорость нужно сообщить одному из шариков,чтобы и второй оторвался от плоскости?

2. Математический маятник – длина подвеса l, масса грузаm – расположен вблизи горизонтальной проводящей плоско-сти. Определите период малых колебаний маятника околоположения равновесия. Заряд маятника q. При вертикаль-ном положении маятника расстояние от груза до проводящейплоскости равно a.

3. Известно, что сила притяжения Луны к Солнцу при-мерно в два раза больше, чем сила притяжения Лунык Земле. Покажите, что несмотря на это Луна удерживает-ся полем тяготения Земли и вращается вокруг нее. Мас-

са Солнца 30C 2 10M = Ч кг, масса Земли 245 10 кгM = Ч ,

масса Луны 227 10 кгm = Ч , расстояние от Земли до Солн-

ца 110 1,5 10 мR = Ч , расстояние от Земли до Луны

80 3,8 10 мr = Ч .4. Оцените время испарения лужи воды глубиной h и

поперечным размером R. Температура воды и окружающеговоздуха T. Сделайте оценку для 20 C°T = , R = 1 м,h = 3 мм. Удельная теплота испарения воды L =

62,26 10 Дж кг= Ч .5. В твердом теле потенциальная энергия межатомного

взаимодействия в зависимости от расстояния между атомами

R определяется выражением ( ) (((1 expU R D Rα= - - -

)))2

0R- . Определите коэффициент теплового линейногорасширения тела. Сделайте численную оценку для D = 4 эВ,

A0 2 Ro

= , 7 110 смα -= .

6. Пучок света частотой ω при прохождении через двещели, расстояние между которыми d, создает дифракцион-ную картину на экране, удаленном на расстояние L, L d? .При открытой одной щели на экране наблюдается распреде-ление интенсивности ( )0I θ , где θ – угол наблюдения.

Каково будет распределение интенсивности при двух откры-тых щелях? Как изменится распределение интенсивности,если одну из щелей закрыть прозрачной пластиной толщи-ной l с показателем преломления n?

7. Свет частотой 0ω испущен с поверхности звезды ра-диусом R и массой M. Какова будет частота света, зарегис-трированная удаленным неподвижным наблюдателем? Каки с какой скоростью должен двигаться наблюдатель, что-бы он не зарегистрировал изменение частоты света? Сде-лайте численную оценку для Солнца ( 87 10 мR = Ч ,

302 10 кгM = Ч ). Гравитационная постоянная 6,67G = ×× 11 2 210 Н м кг-

Ч . Указание: свет можно рассматривать

как поток частиц, фотонов, имеющих массу 20m cω= h .

Устный командный тур

Математика

1. Поезд проходит мост длиной 450 метров за 45 секунд и15 секунд идет мимо телеграфного столба. Найдите длинупоезда и его скорость.

2. Дан правильный шестиугольник со стороной 1. Пост-ройте одной линейкой отрезок длиной 7 .

3. Можно ли переставить цифры в десятичной записичисла 352 так, чтобы получился куб целого числа?

4. Существует ли четырехугольник, каждая сторона кото-рого перпендикулярна противоположной стороне?

5. Квадратное уравнение 2 0ax bx c+ + = не имеет корней.Найдите знак числа с, если a + 2b + 4c < 0.

6. В четырехугольнике ABCD точки М и N – серединысторон ВС и AD соответственно. Отрезок MN делит площадьчетырехугольника пополам, а его диагонали пересекаются вточке О. Найдите отношение ОМ к ON, если AD = 2BC.

7. У ромашки m лепестков. Двое играющих отрывают поочереди либо один, либо два соседних лепестка. Выигрываетоторвавший последний лепесток. Кто выигрывает при пра-вильной игре?

8. В школе 2007 учеников. Одни из них знакомы, другиене знакомы друг с другом. Есть ли среди них ученик,имеющий четное число знакомых среди остальных учениковшколы?

9. Выясните, при каких значениях n гири с массами 1 г,2 г, 3 г, …, n г можно разложить на три равные по массекучки.

10. Пусть х, у, z – положительные числа, а s – наименьшее

из чисел 1 1

, ,x yx y

+ . Найдите наибольшее возможное значе-

ние s.11. Может ли хотя бы одно из чисел p – 1 и p + 1 быть

полным квадратом, если p – произведение первых n простыхчисел (n > 1)?

12. В квадрате со стороной 1 нарисованы несколькоокружностей, сумма длин которых равна 10. Можно липровести прямую, пересекающую не менее четырех из этихокружностей?

Физика

1. Ракета стартует с Земли и разгоняется до нужной длявыполнения ее задачи скорости. Нагревается ли при разго-не воздух внутри ракеты? Стенки ракеты нетеплопровод-ны.

2. В фильме «Морозко» главный герой, спасаясь отразбойников, бросил вверх разбойничьи пудовые дубинки(1 пуд ≈ 16 кг), которые упали через семь дней на то жеместо. Оцените параметры богатырского броска.

3. Мировой рекорд в беге на 100 м составляет время, чуть

О Л И М П И А Д Ы 53

меньшее 10 секунд. Оцените мировой (или уже межпланет-ный?) рекорд в прыжке в длину на Луне (пренебрегитевлиянием сопротивления воздуха, наличием скафандра ипр.).

4. Из бесконечной незаряженной проводящей плоскостиперпендикулярно ей в вакуум вылетает электрон. В полупро-странстве, в которое он попадает, создано однородное уско-ряющее электростатическое поле напряженностью E. Накаком расстоянии от плоскости электрон будет иметь мини-мальную скорость?

5. В некоторых северных странах (например, в Канаде)пространство между стеклами в оконных стеклопакетахзаполняется не воздухом, а тяжелым инертным газом (крип-тоном). Зачем это делается? Можете ли вы оценить выигрышот такого решения?

6. «Пылевое облако и ракета». Ракета массой m, летящаяв космическом пространстве с выключенным двигателем соскоростью 0v , попадает в пылевое облако со средней плот-ностью 0ρ , имеющее протяженность L в направлении движе-ния ракеты. Пылинки в облаке неподвижны и прилипают кракете при столкновении с ней. Площадь поперечного сече-ния ракеты S. Какую скорость 1v будет иметь ракета привылете из облака пыли, и сколько времени займет пролетчерез это облако?

7. «Нагревание воды». В стакан с водой, имеющей темпе-ратуру 1 20 C°t = , поместили электронагреватель и включи-ли его в сеть. Вода стала нагреваться со скоростью

1 0,03 С мин°µ = , однако с течением времени скоростьнагревания уменьшилась, и вода нагрелась только до темпе-ратуры 2 80 C°t = . Нагреватель выключили. Вода началаостывать со скоростью 2 0,04 µ = - С мин° . Чему равна тем-пература окружающей среды? Считайте, что теплоотдача вокружающую среду пропорциональна разности температуртела и окружающей среды.

8. Почему для ускорения протонов до больших энергийобычно используют кольцевые ускорители (например, про-тонный синхротрон), а для ускорения электронов – линей-ные?

9. В цепи, схема которой показана на рисунке, междуточками 1 и 2 от внешнего источника создано переменное

синусоидальное напряже-ние 0 sinu U tω= . Какоенапряжение установитсямежду точками 3 и 4?Диоды считайте идеаль-ными.

10. На полированныйдо «зеркального блеска»

металлический шар слева падает однородный параллель-ный пучок света. Куда отразится больше света: влево иливправо?

История научных идей и открытий

Математика

1. В 2007 году математическое сообщество будет отмечать300-летие со дня рождения одного из величайших математи-ков всех времен. Трудно найти область математики, где небыло бы теорем, понятий, формул, связанных с его именем.Назовите этого математика. Какие понятия, теоремы, фор-мулы, открытые им, вам известны?

2. Итальянский математик Лоренцо Маскерони (1750–1800) в работе «Геометрия циркуля» доказал, что всякаязадача на построение, которая может быть решена с помо-щью циркуля и линейки, может быть решена и с помощьюодного лишь циркуля. В его рассуждениях важную рольсыграла лемма об удвоении отрезка, т.е. следующая задача:

Дан отрезок АВ. С помощью одного только циркуляпостройте отрезок АЕ = 2АВ (считается, что отрезокзадается своими концами).

Решите эту задачу.3. В одном средневековом индийском трактате приведена

задача, стихотворный перевод которой звучит так:На две партии разбившись,Забавлялись обезьяны:Часть восьмая их в квадратеВ роще весело резвилась,Криком радостным двенадцатьВоздух свежий оглашали.Вместе сколько, ты мне скажешь,Обезьян там было в роще?Решите эту задачу.4. Занимаясь проблемой разрешимости в целых числах

уравнений вида 2 2ax b y+ = , где а и b – натуральные числа,причем число а не является полным квадратом, Пьер Ферма,в частности, решал задачи, сходные со следующей:

Если уравнения 2 2x 2y a- = и 2 2x 2y b- = разрешимы вцелых числах, то разрешимо ли в натуральных числахуравнение 2 2x 2y ab- = ?

Решите эту задачу.5. В 1703 году был издан необычно большим для тех

времен тиражом – 2400 экземпляров – первый русскийучебник по математике «Арифметика сиречь наука числи-тельная». Автором его был замечательный педагог-матема-тик Леонтий Филиппович Магницкий. Предлагаем вам ре-шить такую задачу из этой книги:

Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, авместе с женой он выпивает такой же бочонок кваса за 10дней. За сколько дней жена одна выпивает такой жебочонок кваса?

Физика

1. Два выдающихся ученых – отец и сын – лауреатыНобелевской премии. Один удостоен этой награды за от-крытие и исследование корпускулярных свойств элемен-тарной частицы, другой – за доказательство ее волновыхсвойств. Одна из этих премий получена 100 лет назад, в1906 году.

а) Кто эти ученые?б) О какой элементарной частице идет речь?в) Какую лабораторию возглавлял старший из ученых?

Кто были его предшественники? Кто сменил его на этомпосту?

г) Чем еще знамениты эти ученые?2. В 2006 году в составе Солнечной системы произошли

изменения.а) Назовите эти изменения.б) Приведите аргументы сторонников этих изменений.в) Назовите ученых, результаты исследований которых

легли в основу произведенных изменений.3. 245 лет назад при наблюдении редкого интересного

астрономического явления в России было сделано выдающе-еся открытие в области планетной астрономии. Через восемьлет для наблюдения такого же явления была организованаморская кругосветная экспедиция в Тихий океан под коман-дованием известного путешественника, военного моряка,ученого. Следующие два раза это явление наблюдалось вXIX веке, а последний раз – летом 2004 года.

а) Назовите это явление.б) Какое открытие было сделано?в) Кто наблюдал это явление в России? Кто командовал

кругосветной экспедицией?4. 175 лет назад родился великий английский физик. Он

54 К В А Н T $ 2 0 0 7 / 3

По результатам очередной Всероссийской олимпиадысреди студентов технических вузов, которая состоялась вноябре 2006 года, в командном зачете первое место занялакоманда Санкт-Петербургского государственного политех-нического университета (106 баллов), второе место – коман-да Московского института стали и сплавов (78 б.), третьеместо – команда Российского государственного университе-та нефти и газа им. И.М.Губкина (73 б.).

В личном зачете первое место завоевал Н.Богословский(СПГПУ, 47 б.), на втором месте оказался К.Корнишин (РГУнефти и газа им. И.М.Губкина, 44 б.), третье место разделилиИ.Ковтунов (МИСиС, 43 б.) и Ю.Кропотина (СПГПУ, 43 б.).

Задачи олимпиады

1. Определите угол наклона плоскости низкой орбитыкосмического аппарата, движущегося вокруг Земли, к плос-кости экватора, если он оказался над одной и той же точкой,находящейся на широте Москвы, с интервалом менее 2часов. Известно, что период вращения аппарата 90 минут, аширота Москвы 57°.

2. Маховик в форме коленчатого вала массой m, оськоторого горизонтальна, покоится, опираясь своими цилин-дрическими концами радиусом R каждый на два гладкихгоризонтальных ребра. Центр масс маховика смещен нарасстояние R от геометрической оси маховика и в начальныймомент занимает наиболее высокое положение. Определитезависимость углового ускорения маховика в случае потериим равновесия от времени, если момент инерции относитель-но горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равен

2mR .3. К планете радиусом R c ускорением на поверхности g,

имеющей спутник с радиусом орбиты 81R, подлетает сбольшого удаления космический аппарат со скоростью

( )1 9 7v Rg= . Оцените, возможен ли захват гравитацион-ным полем планеты космического аппарата, если топливо унего на исходе, а угол поворота вектора скорости аппаратапри облете спутника в системе отсчета спутника равен 120°.

4. Шайба радиусом R скользит по льду со скоростью 0v ,вращаясь вокруг собственной оси с угловой скоростью 0ω( 0 0v Rω= ). Определите закон изменения ускорения шайбысо временем, если коэффициент трения шайбы о лед µ .

5. Кондиционер, работая в режиме «теплового насоса»,закачал в помещение количество теплоты Q. Определитеизменение энтропии, если все процессы внутри кондиционе-ра обратимые, а термодинамический КПД цикла Карно, покоторому работает кондиционер, равен η . Температуравоздуха на улице 0T , в помещении пT .

6. Сфера радиусом R из диэлектрика разделена диамет-ральной плоскостью на две одинаковые части, заряженныеравномерно разноименными зарядами Q и –q. Работа поразведению полусфер на бесконечность равна А. Определитеэнергию заряда q, равномерно распределенного по поверхно-сти полусферы радиусом r.

7. Очень длинный соленоид радиусом r с плотностьюнамотки n помещен в бесконечно длинную трубку из сверх-проводника радиусом R > r. Определите магнитное полевнутри соленоида и вне его, если по его обмотке протекаетток I.

8. Источник, напряжение которого равно 0U , подключенк цепи, состоящей из последовательно соединенных резис-тора сопротивлением 1R и конденсатора емкостью C. Па-раллельно конденсатору подключена цепь из последова-тельно соединенных резистора с неизвестным сопротивле-нием 2 1R R> и ключа K. Определите максимальную мощ-ность, выделяющуюся в резисторе сопротивлением 2R .Считать, что ключ K замыкается-размыкается с частотой

( ) ( )1 2 1 2R R CR Rν +? .9. На пути плоскополяризованного светового потока поме-

стили поляризационную пластинку, плоскость поляризациикоторой медленно вращается при переходе от одной зоныФренеля к другой. Определите интенсивность света в точкенаблюдения, если вначале она равна 0I и на оси системыплоскости поляризации света и пластинки взаимно перпен-дикулярны.

Публикацию подготовили В.Голубев, М.Яковлев

Всероссийская студенческаяолимпиада по физике

работал в различных областях физики, и в каждой из этихобластей обязательно найдется результат, названный егоименем. Все его достижения значительны, но одно из нихсвязало в единое целое три раздела физики, которые до этогосчитались обособленными. Ряд предсказаний его теориидовольно быстро подтвердились экспериментально, а неко-торые стали широко использоваться в технике. Теория сталафундаментом как для классических разделов физики, так идля ряда новых направлений. Особенностью его взглядовбыло отрицание необходимости использования векторов вфизических соотношениях, поэтому для изложения не-скольких дифференциальных уравнений, которые составля-ют сущность упомянутой теории, ему пришлось написатьдвухтомный труд.

а) Назовите этого ученого.б) О какой теории идет речь?в) Назовите как минимум два эксперимента, подтвердив-

ших предсказания теории.

г) Назовите разделы науки, в которых работал этотученый, и результаты, носящие его имя.

5. В первой четверти XIX века на одном из заседанийФранцузской Академии наук был сделан доклад о дифрак-ции света. Один из членов Академии, известный ученый,усомнился в правомерности считать свет волновым процес-сом. Председатель заседания предложил провести опыт ипредсказал парадоксальный результат, который однозначносвидетельствовал бы в пользу волновой теории света. Опытбыл поставлен. Была получена предсказанная дифракцион-ная картина, которую в дальнейшем назвали именем усом-нившегося оппонента.

а) Кто был докладчик?б) Какой результат опыта был получен?в) Чьим именем был назван результат?г) Кто председательствовал на собрании Академии?

Публикацию подготовили В.Альминдеров, А.Егоров,А.Кравцов, А. Попов, Ж.Раббот

И Н Ф О Р М А Ц И Я 55И Н Ф О Р М А Ц И Я

Рождественская аэромодельная фиеста

Радиоуправляемая модель теплового аэростата (воздуш-ного шара, монгольфьера) практически не отличается отпилотируемого теплового аэростата. Разве что тем, чтопилот управляет аэростатом не из гондолы (корзины), анаходясь на земле, с помощью дистанционного управления.Пилотирование такого мини-аэростата доступно даже ре-бенку, хотя по масштабности и зрелищности его полетполностью идентичен полету полноразмерного аэростата.

Модели аэростатов имеют массу до 50 кг и объем не более3200 м . Практика показала, что для участия в соревнова-

ниях наиболее удобен объем 50– 380 м . Такие аэростаты всреднем имеют высоту 6–8 м и диаметр 4–6 м. Они снабже-ны горелками с тепловой мощностью 100–120 кВт. Управ-ление подачей топлива – сжиженного пропана-бутана – вгорелку выполняется дистанционно с использованием элек-тромагнитного клапана, с его помощью также гасят пилотс-кий огонь перед посадкой. Большинство моделистов ис-пользует двойные горелки. Специальный механизм отцепкипозволяет пилоту сбрасывать с модели маркер (для этойцели обычно выделяют отдельный радиоканал). Большин-ство моделей последних лет снабжены особым устройствомдля смягчения посадки аэростата.

Радиоуправляемые модели летают на высотах до 150метров, и пилоты, как правило, сопровождают их полетпешком. Поэтому для проведения соревнований выбираютспокойную, почти безветренную погоду. Правилами пре-

дусмотрено, что скорость ветра при этом не должна превы-шать 2 м/с.

Выполнение полетов на соревнованиях моделей не менеесложно, чем на соревнованиях пилотируемых аэростатов, иимеет свои особенности. Во-первых, пилот видит свой аппа-рат со стороны, нередко издалека, поэтому ему сложноопределить момент сброса маркера. Во-вторых, полеты мо-делей выполняются на небольших высотах, в течение ко-

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 356

роткого времени, что ограничивает использование благо-приятных воздушных потоков для выхода на цель.

Наиболее известные международные соревнования ра-диоуправляемых аэростатов проводятся ежегодно в Бригах-тале – небольшой деревне на юго-востоке Германии. НаКоролевской воздухоплавательной фиесте в Швейцариирадиоуправляемые аэростаты выделены в самостоятельнуюпрограмму. В таких соревнованиях, собирающих сотни зри-телей, принимает участие до сорока и более моделей. Ночаще всего по 5–7 моделей участвуют в небольших товари-щеских встречах воздухоплавателей, которых в Европе каж-дый год проводится несколько десятков.

Впервые в России соревнования радиоуправляемых моде-лей тепловых аэростатов прошли 30 января 2007 года вмосковской школе-интернате «Интеллектуал» (школа 1128)на Кубок школы. Название соревнований «Рождественскаяфиеста» соответствовало назначенной дате проведения – 12января, но по погодным условиям фиесту несколько разпереносили. Идея проведения фиесты принадлежала ди-ректору школы Е.В.Маркелову, а претворена в жизнь былаблагодаря усилиям директора Клуба воздухоплавания го-рода Жуковского В.Д.Бокши и руководителей аэромодель-ных кружков московских школ В.И.Белякова-Бодина (шко-ла 1071) и А.В.Ефимова (школа 1128).

Первым шагом к задуманному стал двухчасовой урок,проведенный в школе «Интеллектуал» Клубом воздухопла-вания города Жуковского для учащихся старших классов.Обычный урок физики, посвященный закону Архимеда,превратился в интересный, познавательный урок, широковыходящий за рамки школьной программы, с иллюстраци-ей основных положений закона на примере полета воздуш-ного шара.

В соревнованиях приняли участие три команды: командымосковских школ «Интеллектуал» и «Школа здоровья»(школа 1071), а также команда школьников из СергиевогоПосада. Восторгу участников и многочисленных зрителейне было предела. Жаль, что по техническим причинам вфиесте не смогли участвовать команды из Сыктывкара игимназии 33 города Удельная.

Финансовые проблемы фиесты были решены благодаряспонсорской помощи благотворительного Фонда «Динас-тия».

В процессе соревнований команды выполняли два упраж-нения: «Круг» и «Неподвижность и цель». Задача в упраж-нении «Круг» – не позднее пяти минут после старта при-землить аэростат возможно ближе к центру круга радиусом10 метров, заступать в который пилот не имеет права.Пилот управляет высотой полета с использованием горел-ки, по радиоканалу, а положением аэростата – посредствомфала длиной 15 метров, привязанного к гондоле. В упраж-нении «Неподвижность и цель» нужно как можно дольшеудерживать аэростат в интервале высот от 0 до 2 метров, азатем приземлить его как можно ближе к цели. На каждоеупражнение давалось две попытки. Победители определя-лись по сумме баллов в двух упражнениях.

По итогам соревнований первое место заняла командашколы «Интеллектуал», капитан Михаил Кондратьев, 492очка; второе место – «Школа здоровья», капитан ЕгорМаксимов, 392 очка; третье место – команда из СергиевогоПосада, капитан Сергей Кузин, 340 очков.

После окончания соревнований пилоты Клуба воздухо-плавания города Жуковского устроили катание участникови зрителей на больших шарах, которые поднимались напривязи на высоту пусть и небольшую, но вызывающуювосторг у юных пассажиров.

Более подробно о Рождественской аэромодельной фиес-те можно узнать на сайте Клуба воздухоплавания городаЖуковского (http://www.a-club.airshow.ru) и на сайтепроектов массового аэромоделирования (http://aerostat4all.narod.ru).

Публикацию подготовилиВ.Бокша, В.Беляков-Бодин

Капитаны (слева направо) Максимов Егор, Кондратьев Михаил,Кузин Сергей

И Н Ф О Р М А Ц И Я 57

Заочная школа СУНЦ НГУ

Заочная школа (ЗШ) Специализированного учебно-науч-ного центра (СУНЦ) Новосибирского государственного уни-верситета (НГУ) приглашает школьников 7–11 классов иабитуриентов расширить и углубить свои знания по школь-ным предметам и подготовиться к вступительным экзаменамв высшие учебные заведения.

Кроме отдельных учащихся, в ЗШ принимаются факуль-тативные группы, организованные в общеобразовательныхшколах. Лучшие учащиеся ЗШ ежегодно приглашаются вЛетнюю школу для участия в конкурсе СУНЦ НГУ. Учащи-еся, успешно выполнившие все задания, по окончании один-надцатого класса получают удостоверение ЗШ.

Зачисление в Заочную школу СУНЦ НГУ производитсякруглогодично. Чтобы туда поступить, необходимо прислатьв адрес ЗШ выполненное первое задание и заявление оприеме. Работа должна быть выполнена в ученическойтетради в клетку. Обязательно запишите краткое условиекаждой задачи. Номера задач должны совпадать с теми,которые указаны в задании. Пишите четко, разборчиво,оставляя поля для замечаний преподавателя.

На обложке тетради нужно указать:1) Отделение (математическое или физическое)2) Номер задания3) Фамилию, имя, отчество4) Класс, в котором Вы учитесь в своей школе5) Ваш подробный домашний адрес, с указанием индекса

почтового отделения, телефона (с кодом города), e-mail6) Адрес Вашей школы и телефон/факс (с кодом города),

e-mail7) Фамилию, имя, отчество преподавателя в Вашей школе

по математике и по физикеРаботу отсылайте только простой бандеролью. В тетрадь

вложите листок бумаги размером 6 10ѣ см с написанным нанем Вашим адресом.

Выполненное задание и заявление о приеме высылайте поадресу: 630090 Новосибирск-90, ул. Ляпунова, 3, Заочнаяшкола СУНЦ НГУ.

E-mail: distant@sesc.nsu.ruТелефон: (383) 339-78-89Адрес в интернете: http://sesc.nsu.ru

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ

Математическое отделение

7 класс

1. Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Спустя3 ч вслед за ним вышел пассажирский поезд, скоростькоторого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через 15 чпосле своего выхода пассажирский поезд оказался впередитоварного на 300 км. Определите скорость товарного поезда.

2. На соревнованиях по подледному лову рыбы принялиучастие Саша, Митя и Вова. Один из них поймал 12 окуней,другой – 14, а третий – 22 окуня (но у кого сколько –неизвестно). Саша отдал Мите столько окуней, сколькобыло у Мити, затем Митя отдал Вове столько окуней,сколько было у Вовы, а Вова отдал Саше столько окуней,сколько оставалось у Саши. В результате у всех ребят окунейстало поровну. Можно ли определить, сколько окуней пой-мал каждый из ребят?

3. После выстрела барона Мюнхгаузена в оленя (известноиз уст самого барона) у оленя на голове выросло роскошноевишневое дерево со 120 прекрасными ветками. На самойверхней ветке выросла одна вишенка, а на каждой последу-

ющей ветке пониже выросло на одну вишенку больше, чем напредыдущей ветке повыше. Сколько всего вишенок вырослона вишневом дереве?

4. За первый час езды мотоциклист проехал 1

5 всего пути

и еще 25 км, за второй час он проехал 30% всего пути и еще10 км и за третий час – оставшиеся 40 км. Сколько километ-ров мотоциклист проехал за второй час?

5. Когда Коля был молод, как Оля, годом меньше былотетушке Поле, чем Коле теперь вместе с Олей. Сколько летбыло Коле, когда тетушка Поля была в возрасте Коли?

6. Разрежьте квадрат на 20 равных треугольников.7. Заполните пустые клетки квадрата 5 5ѣ буквами Ц, И,

Ф, Р, А так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и пообеим диагоналям стояли разные буквы.

8 класс

1. Буратино хочет купить букварь с цветными картинками,но ему не хватает 18 сольдо. На этот же букварь Мальвинене хватает 7 сольдо, а Пьеро – 10 сольдо. Смогут ли Пьерои Мальвина вместе купить один букварь на двоих?

2. Из пунктов А и В навстречу друг другу выехалиодновременно два автобуса. Первый, имея вдвое большуюскорость, проехал весь путь на 1 час быстрее второго. Насколько минут раньше произошла бы их встреча, если быскорость второго увеличилась до скорости первого?

3. Пусть Р – точка пересечения высот в треугольнике АВС.Известно, что АВ = СР. Найдите величину угла АСВ.

4. Найдите все пятизначные числа 2m57n (m, n – цифры),которые делятся на 15.

5. Коммерсант Ильин купил ручные часы и ремешок к ним.Через три дня он продал обе вещи за 2060 рублей, получив3% прибыли. За сколько рублей были куплены часы иремешок к ним первоначально, если на часах коммерсантзаработал 20%, а на ремешке потерял 20%?

6. Можно ли построить 11 домиков и провести тропинки кним так, чтобы от каждого домика выходило ровно 5тропинок?

7. Пусть x и y – целые числа такие, что 3x + 7y делится на19. Докажите, что 43x + 75y тоже делится на 19.

9 класс

1. Из молока жирности 5% делают творог жирности 15,5%,при этом остается сыворотка жирности 0,5%. Сколько творо-га получится из одной тонны молока?

2. Найдите сумму всех четырехзначных натуральныхчисел, не делящихся на 11.

3. Внутри полосы, образованной двумя параллельнымипрямыми, расположены две окружности, касающиеся другдруга внешним образом. При этом первая из них касаетсяодной прямой, а вторая – другой. Докажите, что точкикасания окружностей с прямыми и друг с другом лежат наодной прямой.

4. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N.Медиана СМ делит отрезок AN в отношении 2:3. Найдитеотношение BN:NC.

5. Решите систему уравнений

1 2 31 0x x x- = , 2 3 41 0x x x+ = , 3 4 51 0x x x- = ,

4 5 61 0x x x+ = , …, 49 50 11 0x x x- = , 50 1 21 0x x x+ = .

6. Камни лежат в трех кучках: в одной – 51 камень, вдругой – 49, в третьей – 5 камней. Разрешается объединятьлюбые две кучки в одну, а также разделять кучку, состоя-щую из четного количества камней, на две равные. Можноли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 358

10 класс

1. В каждом из двух сосудов находится по А литров воды.Из первого сосуда во второй переливают половину имеющей-ся в нем воды, затем из второго переливают треть имеющейсяв нем воды в первый, потом из первого переливают четвертьимеющейся в нем воды во второй и т.д. Сколько водыокажется в каждом из сосудов после 2006 переливаний?

2. Найдите все прямоугольники с целочисленными сторо-нами, площадь которых численно равна периметру.

3. Точка D – середина стороны AC треугольника ABC,отрезки DE и DF – биссектрисы углов ADB и CDB. ОтрезкиBD и EF пересекаются в точке M. Докажите, что EF вдвоедлиннее MD.

4. Две окружности пересекаются в точках M и N. Черезточку N проведена прямая, вторично пересекающая этиокружности в точках A и B. Касательные к окружностям,проведенные в точках A и B, пересекаются в точке D.Докажите, что сумма углов AMB и ADB равна 180° .

5. Решите уравнение ( )22 31 5x x x- - - = .

6. На клетчатой доске 4 4ѣ играют двое. Ходят поочереди, и каждый играющий своим ходом закрашивает однуклетку. Проигрывает тот, после хода которого образуетсязакрашенный квадрат 2 2ѣ . Кто победит при правильнойигре: тот, кто начинает игру, или его партнер?

11 класс

1. Ученик не заметил знак умножения между двумятрехзначными числами и написал одно шестизначное число,которое оказалось в семь раз больше произведения этихчисел. Найдите эти числа.

2. Мальчик и девочка, вместе войдя в парк, отправилисьпо двум различным дорожкам к фонтану и достигли егоодновременно. Девочка прошла весь путь длиной 160 метровс постоянной скоростью. Мальчик преодолел путь длиной294 метра, причем в течение первой минуты он бежал попрямолинейному участку дорожки со скоростью, в 2,4 разабольшей, чем скорость девочки, а оставшуюся часть пути дофонтана он прошел со скоростью 90 метров в минуту.Найдите скорость девочки.

3. Вычислите без калькулятора значение выражения

4 4 4 43 5 7sin sin sin sin

16 16 16 16

π π π π+ + + .

4. Пусть A и B – фиксированные точки данной окружно-сти, X – переменная точка той же окружности. На каждойломаной, состоящей из двух отрезков AX и XB, отметим еесередину M. Если AX больше XB, то M – такая точка отрезкаAX, что AM = MX + XB. Найдите множество точек M.

5. Сколько различных решений, удовлетворяющих усло-

вию 1 < x < 2007, имеет уравнение [ ] 0,5x x = ? (Здесь x

– дробная часть числа, [ ]x – целая часть числа.)6. Докажите, что в круге радиуса 1 нельзя выбрать более пяти

точек, попарные расстояния между которыми больше 1.

Физическое отделение

9 класс

1. Из пункта А одновременно в разные стороны началидвижение два пешехода. Через время 0t один из пешеходов,желая что-то сообщить второму, повернулся, побежал ичерез время 0t догнал его. Определите скорость v бегущего,если скорость пешеходов u.

2. Длина кольцевой дороги, имеющей форму правильнойокружности, равна 100 км. Из одной точки дороги одновре-менно стартовали два автомобиля: один со скоростью

40 км/ч, другой со скоростью 60 км/ч. Через какое времярасстояние между ними (по прямой) будет максимально?Чему оно равно?

3. Шарик, плавая в сосуде, оказывается погруженным вжидкость на 3/4 своего объема. После того как аккуратнодолили в сосуд жидкость, плотность которой в 2 раза меньшеплотности первой жидкости, шарик скрылся полностью. Накакую часть объема шарик оказался погружен в тяжелуюжидкость в этом случае?

4. Из проволоки, сопротивление которой R, сделаликольцо. Чему равно сопротивление, измеренное между точ-ками A и B кольца, если угол между радиусами, приведен-ными в эти точки, равен 90° ?

10 класс

1. Решите задачу 2 для 9 класса.2. От вертолета, летящего горизонтально с ускорением a,

на высоте H оторвался прикрепленный груз. Скоростьвертолета в этот момент равнялась 0v . На каком расстояниих от вертолета будет находиться груз в момент приземления?Сопротивлением воздуха пренебречь.

3. Груз свободно вращается на нити длиной L вокруггоризонтальной оси в поле тяжести. Найдите массу груза m,если в процессе движения максимальное натяжение нити вдва раза больше минимального и равно 0T .

4. В системе, изображенной на рисунке 1, тело касаетсяправой стенки, когда пружина не деформирована. В началь-ный момент пружину сжали на 0x и отпустили. При ударетела о правую стенку теряется50% его кинетической энергии.Найдите, на каком максималь-ном расстоянии от правой стен-ки окажется тело после удара.Трения нет.

5. Тело массой M начинаетсъезжать по гладкой плоскости, наклоненной под углом αк горизонту. После того как оно опустилось на h, в негопопадает летящая горизонтально пуля массой m. Найдитескорость пули v, если после абсолютно неупругого ударатело с пулей поднялось на h/4.

11 класс

1. Решите задачу 2 для 10 класса.2. Решите задачу 4 для 10 класса.3. В вертикально стоящем цилиндрическом сосуде под

массивным поршнем находится газ. После того как напоршень положили груз, объем газа под поршнем умень-шился в 1,5 раза. Каков будет объем газа после того как напоршень положат еще один такой же груз? Начальныйобъем газа 0V , температура газа остается неизменной.

4. Найдите напряженность электрического поля в центреравностороннего треугольника со стороной a, в вершинахкоторого находятся точечные заряды q, q и 3q.

5. На середине дна прямоугольной ямки шириной 2hзакреплено небольшое заряженное тело (рис.2). Силы тре-ния удерживают на стенкахямки на одинаковой высотеh два других заряженныхтела. При каком минималь-ном значении коэффициен-та трения между телами истенками это возможно?Заряды всех тел одинаковы.Силой тяжести пренебречь.

Рис. 1

Рис. 2

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 59О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я

КМШ

ЗАДАЧИ

(см.»Квант» 2)

1. Смогут переправиться. Можно поступить так: сначала пе-реправляются два человека и стиральная машина, один чело-век остается на другом берегу реки, а второй (вместе со сти-ральной машиной) возвращается за третьим. Затем второй итретий переправляются вместе с машиной.2. Из условия следует, что доктор признал симулянтами всехграждан, кроме одного (который умер вследствие удара). По-этому мы можем записать следующее равенство-ребус:

abccc + 1 = aabbb.

При сложении из разряда единиц в разряд десятков была пе-ренесена единица (иначе разряд десятков не изменился бы).Заметим, что разряд сотен также изменился, т.е. туда из раз-ряда десятков была перенесена единица. Но в разряде десят-ков производилось сложение с и 1, т.е. с + 1 оказалось неменьше 10, откуда следует, что с = 9, c + 1 = 10, поэтомуb = 0. Ребус приобрел вид a0999 + 1 = aa000. Так как0999 + 1 = 1000, то а = 1 (ибо это четвертая справа цифрасуммы). Итак, 10999 + 1 = 11000, т.е. доктор Баутце выловил10999 симулянтов.3. Это можно сделать не всегда. Если, например, 13 человекжелают посещать первый кружок, а остальные – второй итретий кружки одновременно, то распределить школьниковпоровну по всем кружкам не удастся.4. После разрезания восьмиугольника так, как показано нарисунках 1 или 2, восьмиугольник распадается на пары раз-ноцветных, но равных геометрических фигур. Значит, пло-

щадь красного четырехугольника равна сумме площадей двухсиних трапеций.5. Такой квадрат существует. Рассмотрим магический квад-рат, приведенный в условии задачи. Каждое число таблицыподелим на произведение всех чисел таблицы. Тогда в клет-ках таблицы получим числа

8 1 1

8 1 6 3 5 7 4 9 2 1 6 3 5 7 4 9 2 45360= =

Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч,

1 1

8 1 6 3 5 7 4 9 2 362880=

Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч,

6 1 1

8 1 6 3 5 7 4 9 2 8 1 3 5 7 4 9 2 60480= =

Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч

и так далее, т.е. числа вида 1

n. Заметим, что суммы этих

дробей отличаются от сумм соответствующих им первоначаль-ных чисел ровно в 8 1 6 3 5 7 4 9 2Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч = 362880 раз, поэто-му если первоначально суммы по столбцам, строкам и диаго-налям были равны между собой, то новые суммы тоже будутравны между собой. Таким образом, мы снова получаем маги-ческий квадрат.Примечание. Можно делить все числа исходного квадрата нетолько на их произведение, но и на любое общее кратное, вчастности наименьшее.

Рис. 1 Рис. 2

КОНКУРС «МАТЕМАТИКА 6–8»

(см. «Квант» 6 за 2006 г.)

11. При n = 3. Рассмотрим в случае n = 2 сумму чисел ABCи DEF . Чтобы последняя цифра суммы стала меньше пред-последней, при сложении цифр С и F должен произойти пе-ренос разряда, а при сложении цифр В и Е – нет. Но тогдавторая цифра суммы будет больше первой. Значит, n ≠ 2.При n = 3 указанная в условии ситуация возможна: 125 ++ 237 + 248 = 610.12. а) Несложно проверить, что исходному уравнению удов-

летворяют все числа вида 1

102

x k= + , где k – любое нату-

ральное число.б) Предположим, что существует некоторое положительное

рациональное число x такое, что 2 0,5x x+ = . Пусть t =

= [x], так что 1t x t£ < + , 2 2 2 2 1t x t t£ < + + , 2 2x x= -2t p- - , где р – некоторое целое число из набора 0, 1, …

..., 2t. В этих обозначениях исходное уравнение запишется

так: 2 2 0,5x t x t p- + - - = , или 2 2 0,5 0x x t t p+ - - - - = .

По предположению, полученное квадратное уравнение отно-сительно х должно иметь положительный рациональный ко-рень. Это возможно лишь в том случае, если его дискрими-

нант 24 4 4 3D t t p= + + + – квадрат целого числа. Поскольку

D – число нечетное, то ( )2

2 1D m= + . Тогда 24 4 4t t p+ + +

( )2

3 2 1m+ = + , или, после преобразований, 2 2t t m m+ - - =1

2p= - - . Последнее равенство невозможно, поскольку в ле-

вой его части стоит целое число, а в правой – не целое. Полу-ченное противоречие доказывает утверждение задачи.13. Не могут. Для доказательства воспользуемся следующимвспомогательным фактом: если у двух треугольников АВС иA B C¢ ¢ ¢ равны две стороны: AB A B= ¢ ¢ , BC B C= ¢ ¢ и уголНЕ между ними: A AР = Р ¢ , то либо эти треугольники рав-ны, либо сумма двух других углов этих треугольников, лежа-щих НЕ между равными сто-ронами, равна 180о:

180C CР + Р = °¢ (с доказа-тельством этого утвержденияможно познакомиться, напри-мер, в статье А. Егорова«Четвертый признак равен-ства треугольников» – см.«Квант» 4 за 2004 г.).Предположим, что описаннаяв условии задачи ситуациявозможна. Тогда у треуголь-ников AQB и AQC (рис. 3)имеются две равные стороны QB = QC, AQ – общая, и рав-ные углы BAQ CAQР = Р . Из вспомогательного факта сле-

дует, что либо 180ABQ ACQР + Р = ° – в данном случае этоневозможно, либо

ABQ ACQ∆ ∆= . В после-днем случае BQAР =

90CQA= Р = ° . Рассмотримэтот вариант.Осуществим параллельныйперенос треугольника BAQтак, чтобы точка В совмести-лась с точкой Q. При этомточка Q совместится с точ-кой С, точка P – с точкой R,точка А займет положение

Рис. 3

Рис. 4

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 360

вершины 1A прямоугольника 1AA CQ (рис.4). Отрезок RCвиден из вершин А и 1A под одним и тем же углом, значит,точки А, 1A , С, R лежат на одной окружности. По свойствучетырехугольника, вписанного в окружность,

1 1 1AAC ARC RAA RCAР + Р = Р + Р , но это невозможно, таккак углы 1A и С прямоугольника прямые, а углы 1RAA иARC не равны друг другу.14. Случай n = 1 тривиальный, в дальнейшем полагаем n > 2.Заметим, что любые n последовательных целых чисел даютполную систему остатков 0, 1, 2, …, n – 1, получающихсяпри делении этих чисел на n. Заменяя каждое из данных пос-ледовательных чисел его остатком, приходим к равносильно-му условию задачи утверждению: число ( )1 2 1

kk k n+ + + -K

делится на n. Для доказательства последнего утвержденияразобьем слагаемые на пары (это возможно, поскольку числоn – 1 четно) и заметим, что

( )1 1kk n+ - делится на n,

( )2 2kk n+ - делится на n,

…………………………..

1 1

2 2

k kn n- +ж ц ж ц+з ч з чи ш и ш

делится на n.

Действительно, привлекая известную формулу

( )( )1 2 2 1k k k k k ka b a b a a b ab bK- - - -+ = + - + - + ,

справедливую для всех нечетных показателей степеней k, приразложении каждой суммы на множители один из множите-лей получаем равным n.15. Это можно сделать при любом п, кроме п = 2.Невозможность случая п = 2 проверяется непосредственно.Для п ≠ 2 опишем способ расстановки чисел в таблице. Рас-смотрим три случая (которые, очевидно, охватывают все воз-можности).1) Пусть п – нечетное число, т.е. п = 2т – 1 (т – натураль-

ное). Здесь мы имеем дело с числами от 1 до ( )2

2 1m - =24 4 1m m= - + , причем нечетных чисел имеется ровно

22 2 1m m- + . Расставим нечетные числа в таблице в виде«повернутого квадрата», как по-казано на рисунке 5 для случаяn = 7 (клетки с нечетными числа-ми обозначим буквами «Н»).Во все остальные клетки запишемчетные числа. Несложно убедить-ся, что при такой расстановке ко-личество нечетных чисел равно вточности 22 2 1m m- + . Посколькуво всех вертикалях и горизонта-лях имеется нечетное количествонечетных чисел, сумма чисел в

каждой горизонтали и вертикали будет нечетной. На каждойиз двух диагоналей также расположено нечетное количествонечетных чисел (это следует из симметричности расположе-ния нечетных чисел в таблице относительно центральнойклетки). Поэтому и для диагоналей условие задачи тоже вы-полняется.2) Пусть п – четное число, не делящееся на 4, т.е. п =

= 4т + 2 (т – натуральное). Здесь четных и нечетных чиселпоровну. Для необходимого размещения чисел предваритель-но разобьем таблицу на 4 равных квадрата ( ) ( )2 1 2 1m m+ ѣ + .Затем возьмем два центрально-симметричных из них (ска-жем, левый верхний и правый нижний) и заполним их нечет-ными числами (а остальные клетки заполним четными числа-ми). Очевидно, ровно половина клеток будет содержать не-четные числа, что и требуется. Пример заполнения для п = 6показан на рисунке 6. В каждой горизонтали и каждой верти-

Рис. 5

кали имеется по 2т + 1 нечетных чисел, поэтому сумма чи-сел в каждой горизонтали и вертикали будет нечетной. Прав-да, в каждой диагонали содержится, наоборот, четное количе-ство нечетных чисел (в одной 4т + 2, в другой – ни одной),поэтому такая расстановка не может нас удовлетворить.Давайте ее чуть «пошевелим», т.е. нечетное число из левойверхней клетки перенесем в (2т + 1)-ю клетку той же стро-ки, зато нечетное число из (2т + 1)-й клетки самой нижнейстроки перенесем в 1-ю клетку той же строки (пример дляп = 6 приведен на рисунке 7). Ясно, что от такой перестанов-ки количества нечетных чисел в горизонталях и вертикаляхне изменятся, а в диагоналях – изменятся: в одной это коли-чество уменьшится на 1 и станет равным 4т + 1, а в другойувеличится на 1 и станет равным 1. Поэтому и в каждой диа-гонали станет нечетное количество нечетных чисел, что и тре-буется.3) Пусть п – четное число, делящееся на 4, т.е. п = 4т (т –натуральное). См. решение задачи 21 в статье «Заключитель-ный этап конкурса имени А.П.Савина «Математика 6–8» в«Кванте» 2.

Рис. 6 Рис. 7

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. Магнитный поток, пронизывающий кольцо, увеличиваетсяпо мере продвижения кольца к середине магнита, затемуменьшается. Соответственно, индукционный ток, уменьша-ясь, достигает нуля при прохождении кольцом середины маг-нита, потом растет, поменяв направление.2. Да, будет. При этом переменный ток проходит через элект-ролит, не вызывая выделения вещества на электродах.3. В случае короткого замыкания при любом заряде на плас-тинах конденсатора разность потенциалов между ними равнанулю, значит, равно нулю и емкостное сопротивление, чторавносильно бесконечно большой емкости.4. Постоянный ток.5. Проводник будет колебаться с частотой переменного тока.6. Для уменьшения электрического сопротивления, так каксеребро – хороший проводник, а высокочастотные токи идутпо поверхности проводников.7. При малых частотах напряжение на катушке близко кнулю, а напряжение на конденсаторе почти равно ЭДС; прибольших частотах – наоборот.8. В случае а) накал первой лампы увеличится, второйуменьшится; в случае б) – наоборот.

9. На напряжение 430 2 кВ 610 кВ» .

10. Напряжение между точками А и В изменяется в пределахот 0 до 02U- .11. В медном листе возникнут индукционные токи Фуко, маг-нитное поле которых будет практически полностью экраниро-вать поле катушки В. Показания вольтметра, на который зам-кнута катушка А, будут близки к нулю.12. У трансформаторной обмотки велико только индуктивноесопротивление, которое после разматывания становится нич-тожно малым.

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 61

13. Мала сила тока и мало активное сопротивление вторич-ной обмотки.14. Замкнутый виток трансформатора – это фактически ещеодна вторичная обмотка, работающая в режиме короткого за-мыкания. Поскольку ее сопротивление очень мало, в ней ин-дуцируется очень большой ток, который может расплавитьэтот виток или разрушить изоляцию.15. Трансформаторная сталь вибрирует при перемагничива-нии в местах неплотного соединения. Частота звука в двараза выше частоты тока, т.е. составляет 100 Гц.16. а) Когда плоскость рамки параллельна полю; б) когдаплоскость рамки перпендикулярна полю.

МИКРООПЫТ

Второй, поскольку при использовании дросселя практическинет потерь на тепло.

РАБОТА ГАЗА ПРИ ПЕРЕХОДЕ ИЗ НАЧАЛЬНОГОСОСТОЯНИЯ В КОНЕЧНОЕ

1. 23 2A A= . 2. 1) 18

9

QT

Rν= ; 2)

6

QA = .

3. 3

2Q A R Tν ∆= + .

XV МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ МАРАФОН»

Письменный индивидуальный тур

Математика

1. Вместо * нужно поставить 4. Заменим звездочку неизвест-

ной нам пока цифрой а. Поскольку 100

100

99 9 10 1K123 = - , наше

число равно

( )100 102 10110 1 10 10 9a- + Ч + = ( )202 10110 10 10 9a- - + .

Нетрудно видеть, что при а = 4 полученное выражение равно

( )210110 3- . А так как ближайшие к этому числу квадраты

( )2110 7n+ - и ( )

210 3n + , оканчивающиеся цифрой 9, заведомо

отличны от данногочисла, то а = 4 – един-ственно возможнаяцифра.2. ab. Пусть r – радиусокружности, вписаннойв данный прямоуголь-ный треугольник(рис.8). Тогда AC = b ++ r, BC = a + r и по те-

ореме Пифагора

( ) ( ) ( )2 2 2

a r b r a b+ + + = + , откуда ( )r a b r ab+ + = .

Однако произведение ( )r a b r+ + равно площади треугольни-ка АВС (по формуле S = rp).3. 4. Заметим, что последняя цифра в десятичной записи чис-

ла 11 5k l- – это 4 или 6, значит, число 11 5k l- не меньше

4. При k = 2 и l = 3 получаем 2 311 5 4- = .

4. 4

mns. Пусть в углах таблицы стоят числа a, b, c, d

(рис.9). Просуммируем числатаблицы по строчкам. Суммачисел первой строки равна

( )2

a b n+, а последней

( )2

c d n+. При этом сами сум-

мы чисел по строкам образу-ют арифметическую прогрес-сию из m членов, так что ихсумма (т.е. сумма всех чисел таблицы) равна

( )2 2

2 4

a b c dm n n

mn a b c d+ +ж ц+з ч + + +и ш

= .

5. 2α . Продлим отрезок KE до точки L так, чтобы KL == KE (рис. 10). Четырехугольник ECLB – параллелограмм,

поэтому BL = EC = AB. При этом MK – средняя линия тре-угольника ALE, так что KM ALP . Следовательно,

LAC KME ALB BAL αР = Р = Р = Р = , и 2BAC αР = .

6. Число a больше. Пусть ( ) 3 3f x x x= - - . Заметим снача-

ла, что 53

a > (это следует из того, что 5 1

03 27

fж ц = - <з чи ш

).

Число ( )5 2 3 2 3 2 23 3 3 3a a a a a a a a a= Ч = + = + = + + . По-

скольку 53

a > , имеем 2

5 5 53 3 13

3 3a

ж ц> Ч + + =з чи ш , т.е. 5 13a > .

7. Можно. Первое решение. Пусть N людей попарно незнако-мы. Занумеруем их числами 1, 2, …, N. Человека с номеромk знакомим со всеми, номера которых l удовлетворяют нера-

венству 2N

k l- £ . Тогда люди с номерами k и N – k имеют

по одинаковому числу знакомых, причем никакие 3 не имеютодинакового количества знакомых (убедитесь в этом).Второе решение. Воспользуемся методом математической ин-дукции. Начало индукции очевидно. Пусть N человек удов-летворяют условию. Если среди них все с кем-нибудь знако-мы, то присоединяем (N + 1)-го человека и не знакомим егони с кем. Если же среди N людей есть ни с кем не знакомый,то с (N + 1)-ым человеком знакомим всех N людей. В обоихслучаях получаем группу из N + 1 человека, удовлетворяю-щую условию.Замечание. При первом способе решения каждый оказывает-ся знаком с довольно большим количеством людей. При вто-ром способе допускаются люди, ни с кем не знакомые. Впро-чем, в условии задачи нет требования, чтобы каждый был скем-нибудь знаком.

Физика

1. 3v gl= . 2. 2

20

2

16

Tg ql ma l

π

πε

=

+

.

3. Указание. Луна обращается вокруг Земли, а система Зем-ля – Луна обращается вокруг Солнца.

4. Несколько дней. 5. 4 11,1 10 градβ - -» Ч .

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

ФОРМУЛЫ ГЕОМЕТРИИ ПОМОГАЮТ АЛГЕБРЕ

1. ( )1;4 . 2. ( )3;5 . 3. ( )4;0 . 4. ( )3;6 .

5. ( )4;6 . 6. 4

5- . 7.

3

5. 8.

30;

4

ж щз ъи ы

.

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 362

6. ( ) ( ) 20

sin4 cos

2

dI I

c

ω θθ θ ж ц= з чи ш

;

( ) ( )( )2

1 0

14 cos sin

2

l nI I d

c

ωθ θ θ

ж ц-ж ц= +з чз чи ши ш

.

7. 0 2exp

GM

c Rω ω ж ц= Ч -з чи ш

; наблюдатель должен двигаться на-

встречу звезде со скоростью 1,5 км сGM

vcR

» » .

Устный командный тур

Математика

1. 225 м; 15 м/с.2. Пусть ABCDEF – правильный шестиугольник со стороной1 (рис. 11). Продлим стороны АВ и CD до пересечения в

точке М, проведем пря-мую FM. Отрезок FM ра-вен 7 .3. Нельзя. При переста-новке цифр любого числане меняется остаток от де-ления этого числа на 9.Остаток от деления на 9числа 352 равен 5. Однакокубы целых чисел при де-лении на 9 такой остаток

не дают (ибо ( )3 3 23 1 27 9 9 1n n n n± = ± + ± ).

4. Существует. Возьмем остроугольный треугольник ABD ипроведем его высоты из вершин В и D (рис. 12). Пусть С –точка их пересечения. Четырехугольник ABCD удовлетворяет

условию.5. c < 0. Указание. Пусть

( ) 2f x ax bx c= + + . Тогда

12 4 4 0

2a b c f

ж ц+ + = <з чи ш,

т.е. 1

02

fж ц <з чи ш

. Но это зна-

чит, что ( ) 0f x < при

всех х. Следовательно,

( )0 0c f= < .

6. 1

2

OM

ON= . Площади треугольников AMN и DMN (рис. 13)

равны. Поэтому равны иплощади треугольниковBAM и CDM. Но тогдаравны расстояния от точекА и D до прямой ВС, т.е.AD BCP . Значит, ABCD –трапеция. Из подобия треу-гольников BOC и AODсразу следует, что

1

2

OM

ON= .

Замечание. Точки М, О, N в трапеции всегда лежат на однойпрямой. Но в нашем случае доказывать это даже не нужно,так как ОМ и ON – сходственные медианы в подобных треу-гольниках.7. Выигрывает второй игрок. Будем считать, что лепестки ро-машки расположены в вершинах правильного m-угольника.Если m – четно, то второй игрок отрывает лепестки симмет-ричные оторванным первым игроком относительно центра m-угольника. При нечетном m если вначале первый игрок отры-вает один лепесток, второй отрывает два лепестка, располо-женные в концах стороны, противоположной этому лепестку.Если первый отрывает 2 лепестка, второй отрывает один ле-

песток в вершине, противоположной стороне, выбранной пер-вым. Далее второй отрывает лепестки, симметричные ото-рванным первым игроком относительно оси симметрии много-угольника.8. Есть. Пусть 1 2 2007, , ,k k kK – количества знакомых с 1, 2, …..., 2007 учеником. Тогда 1 2 2007 2k k k KK+ + + = , где K – об-щее количество знакомств. Если все числа ik нечетны, то иих сумма нечетна.9. n = 3k, 2k ³ ; n = 3k + 2, k ОN . Поскольку сумма масс

всех гирь равна ( )1

2

n n +, то либо n, либо n + 1 делится на 3,

т.е. либо n = 3k, либо n = 3k + 2. Заметим, что 6 гирь с мас-сами а, a + 1, …, а + 5, очевидно, можно разложить на 3 рав-ные по массе кучки: ( ); 5a a + , ( )1; 4a a+ + , ( )2; 3a a+ + .Гири с массами 1, 2, 3, …, 9 тоже можно разложить на 3 рав-ные по массе кучки, например: ( )9, 1, 5 , ( )8, 3, 4 , ( )6, 7, 2 .Иными словами, можно разложить на равные по массе кучкипри n = 6k и при n = 6k + 9, т.е. при n = 3k, где 2k ³ .Далее, 5 гирек тоже можно разложить на 3 кучки: (5), ( )2; 3 ,

( )1; 4 , 8 гирек тоже можно: ( )8; 4 , ( )7; 5 , ( )1, 2, 3, 6 . Следо-

вательно, можно разложить на 3 кучки равной массы и лю-

бые 3k + 2 гирек при k ОN .

10. 2 . Справедливы неравенства x s³ , 1

sy³ ,

1y s

x+ ³ .

Следовательно, 1 1

x s£ ,

1y

s£ , но тогда

1 2y

x s+ £ , т.е.

2s

s³ , или 2s £ .

Значение 2s = достигается при 2x = и 1

2y = .

11. Нет. Число р – 1 при делении на 3 дает остаток 2 и, сле-довательно, не является квадратом. Число р + 1 при делениина 4 дает остаток 3 и тоже квадратом не является.12. Можно. Проекция окружности на сторону квадрата – от-резок, длина которого равна диаметру. Сумма длин диамет-

ров равна 10

3π

> . Однако если внутри отрезка длины 1 рас-

положить несколько отрезков с суммой длин, большей 3, най-дется точка, принадлежащая по крайней мере четырем отрез-кам. Прямая, перпендикулярная стороне квадрата, пересекаетне меньше четырех окружностей.

Физика

1. Нет, не нагревается. 2. 0 З2 11,2 км сv gR» » .

3. 65 мs » . 4. 016

ex

Eπε= .

5. Из-за большей атомной массы криптона по сравнению своздухом тепловой поток через стеклопакет окажется пример-но в 1,7 раза меньше.

6. 01

0

mvv

m LSρ=

+;

20

0 2

L L St

v m

ρ= + .

7. ( )1 2 2 1 2

1 232 C

2°

t t tt

µ µµ µ+ +

= =+

.

8. Излучение энергии заряженной частицей, движущейся покруговой траектории, у электрона примерно в 200 раз боль-ше, чем у протона.9. 34 02U U= . 10. Одинаково.

История научных идей и открытий

Математика

1. Это Леонард Эйлер. Школьникам могут быть известныпрямая Эйлера, окружность Эйлера, формула Эйлера

2 2 2d R Rr= - , выражающая расстояние d между центрами

вписанной и описанной окружностей треугольника через ра-

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 63

диусы R и r этих окружнос-тей, теорема Эйлера о много-гранниках, задача о кенигс-бергских мостах, теоремы Эй-лера из теории чисел, функ-ция Эйлера ( )mϕ и т.д.2. Проводим окружности сцентрами в точках А и В ирадиусом АВ. Пусть С – одна

из точек пересечения этих окружностей (рис.14). Далее темже раствором циркуля на окружности с центром В отклады-ваем дуги CD и DE. Тогда Е – искомая точка.3. 16 иkb 48. Пусть х – количество обезьян. Тогда

2

128

xx

ж ц + =з чи ш.

4. Да. Если 2 21 12x y a- = , а 2 2

2 22x y b- = , то

( )( )1 1 1 12 2x y x y a- + = , ( )( )2 2 2 22 2x y x y b- + = .

Но тогда

( )( )( )( )1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2x y x y x y x y ab- - + + = ,

и

( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 2 2 12 2x x y y x y x y ab+ - + = .

5. За 35 дней. За 140 дней один человек выпивает 10 бочон-ков кваса, а вместе с женой – 14 бочонков. Следовательно,жена за 140 дней выпивает 4 бочонка.

Физика

1. а) Джон Джозеф Томсон и Джордж Паджет Томсон.б) Электрон. в) Кавендишская лаборатория; Э.Резерфорд.г) Дж.Дж.Томсон изучил особенности электрических разря-дов в газах, предложил одну из первых моделей атома, сфор-мулировал принцип действия масс-спектрометра. Дж.П.Том-сон осуществил исследования по теории рассеяния, электри-ческим разрядам в газах, аэродинамике.2. а) Планет Солнечной системы стало восемь, Плутон пере-шел в группу карликовых планет. б) Солнечная система ста-ла более гармоничной. в) Ловелл, Томбо, Клайд, Койпер идругие.3. а) Прохождение Венеры по диску Солнца. б) Наличие ат-мосферы на Венере. в) М.В.Ломоносов; Дж.Кук.4. а) Джеймс Клерк Максвелл. б) Теория электромагнитногополя. в) Опыты Г.Герца по излучению и приему электромаг-нитных волн; опыт П.Н.Лебедева по измерению давлениясвета. г) Статистическая физика – «демон Максвелла», рас-пределение Максвелла; электродинамика – уравнения Макс-велла.5. а) Огюстен Френель. б) При дифракции света на кругломотверстии, при определенном расстоянии от отверстия до эк-рана, в центре экрана образуется темное тепло. в) С.Пуассон(«пятно Пуассона»). г) Д.Араго.

ВСЕРОССИЙСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДАПО ФИЗИКЕ

1. 2

ctg 1 ctg 572γ

αж ц

= - °з чи ш, где

231π

γ = .

2. ( )

( )

2

22

2 2cos cos sin2

sin 1

gR

ϕ ϕ ϕε

ϕ

- +=

+, где ϕ – угол между верти-

калью и радиусом-вектором, проведенном из центра цилиндра

к центру масс.

ОКРУЖНОСТИ НА РЕШЕТКАХ

(см. «Квант» 6 за 2006 г.)

1. См. рис.15.2. а) Окружность радиуса 5 с центром в центре единичнойклетки, как нетрудно проверить непосредственно, содержитровно 65 единичных клеток.Плитки со стороной 10 мож-

но уложить аналогичным образом, тогда все они будут распо-ложены внутри окружности радиуса 50. Указанная окруж-ность, следовательно, не является окружностью наименьшегорадиуса, содержащей 64 плитки. Внутри круга радиуса 50можно уложить 67 плиток со стороной 10 (рис.16).б) 8; см. рисунок 17, на которомАВ = 10 – диаметр окружности и

20 6 3 8 30,9CD = - » .

3. Указание. Узел (a; b) невидимтогда и только тогда, когда числаа и b взаимно просты. Крометого, квадрат расстояния междулюбыми узлами решетки – целоечисло.4. Указание. Сфера

( ) ( ) ( )2 2 2 22 3 1 3x y z R- + - + - =

не может содержать двух узловни при каком фиксированномR > 0. Это следует из того, что если (x

0; y

0; z

0) и (x

1; y

1; z

1)

два различных узла на сфере, то из равенства

( ) ( ) ( )2 2 2

0 0 02 3 1 3x y z- + - + - =

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 12 3 1 3x y z= - + - + -

после небольших упрощений мы получили бы, что 3 2 –рациональное число.5. Заметим, что все n узлов данной окружности Шинцеля ле-жат на сфере, так как сама окружность на ней расположена(при z = 0 из уравнения сферы получаем уравнение окруж-ности Шинцеля). Если 0z и (x; y; z) – узел решетки на

сфере, то из равенства ( ) ( )2 2 20 2 2x x y R z z- + - = - следу-

ет, что 2 2z = , так как число ( )2 2 2

0x x y R- + - , как легко

заметить, рационально. А это противоречит тому , что z – це-лое число.

Рис. 14

3. Да, возможен. 4. 0

0

2const

g va

Rµ

ω= = - .

5. ( ) п0

1 1

1S Q

TT∆

ηж ц

= -з ч-и ш. 6.

2

04 2q qAR

Wr rQπε= - .

7. 2

1 0 2

rB nI

Rµ= ,

2

2 0 21

rB nI

Rµ

ж ц= -з чи ш

. 8. 20

14U

PR

= . 9. I = 0.

Рис. 15 Рис. 16

Рис. 17

К В А Н T $ 2 0 0 7 / 364

6. а) Во-первых, заметим, что наша решетка состоит из точек

с координатами 3

; 3 , ,2 2

tt s t s

ж ц+ Оз чи ш

Z . Поэтому нужно

показать, что при любом n найдется окружность, содержащаяn точек указанного вида. В основе доказательства лежит сле-

дующая лемма: уравнение 2 23 7kx y+ = имеет ( )2 1k + реше-

ний ( );x y и таких, что у ( )2 1k - из них оба числа делятсяна 7 и у 4-х оба числа не делятся на 7.Используя эту лемму (которая доказывается по аналогии стем, как это делается при анализе аналогичной задачи наклетчатой бумаге), нетрудно показать, что окружность

3 122 21 3 7

6 3 6

n

x y

-

ж цж ц- + - =з ч з чи ш и ш

содержит ровно n точек нужного вида.б) Шестиугольная решетка состоит из точек с координатами

3; 3 , ,

2 2

tt s t s

ж ц+ Оз чи ш

Z и t не делится на 3.

Здесь также используется отмеченная в пункте а) лемма.При четном n нужная окружность имеет уравнение

22

42 3 7

2 2

n

x y

-

ж ц+ - =з чи ш

.

При n = 4k + 1 подходит окружность

2 6 123 7

10 10

k

x y+ж ц- + =з чи ш

,

а при n = 4k + 3 – окружность2 6 3

23 7

10 10

k

x y+ж ц- + =з чи ш .

7. Если на некоторой окружности существуют три рациональ-ные точки, то это означает, что обе координаты центра такойокружности есть рациональные числа. Это следует, напри-мер, из того, что центр окружности, описанной около треу-гольника (с вершинами в трех рациональных точках), лежитна пересечении двух серединных перпендикуляров к сторо-нам треугольника, коэффициентами уравнений которых явля-ются рациональные числа.8. а) Окружность 2 2 3x y+ = не содержит ни одной рацио-нальной точки. Действительно, если ( );x y – рациональнаяточка на этой окружности, то ее координаты можно записатьв виде дробей с наименьшим общим знаменателем x = a/d иy = b/d и тогда получим, что 2 2 23a b d+ = . Отсюда вытека-ет, что если бы числа a и b делились на 3, то правая часть де-лилась бы на 9, отсюда и m делилось бы на три, и наши дро-би можно было бы сократить на 3, вопреки нашему предполо-жению, что m – их наименьший общий знаменатель. Следова-тельно, по крайней мере одно из чисел a и b не делится на 3.Но, как известно, квадрат целого числа, не делящегося на 3,дает при делении на три остаток 1. Если и другое из чисел aи b не делится на 3, то сумма 2 2a b+ при делении на 3 дает востатке 2, что невозможно, так как эта сумма равна 23d ипоэтому делится на 3. Если же другое из чисел a и b делитсяна 3, то сумма 2 2a b+ при делении на 3 дала бы остаток 1,что тоже невозможно.

б) Легко проверить, что окружность ( ) ( )2 2

2 2 4x y- + - =содержит только одну рациональную точку с координатами(0; 0).

в) Нетрудно убедиться, что окружность ( )22 2 3x y+ - = со-

держит ровно две точки с рациональными координатами:(1; 0), (–1; 0).г) Это следует из того, что если a и b – рациональные числа

такие, что 2 2 2a b R+ = , то, как легко проверить, при всякомрациональном числе r точка ( );x y с координатами

( )22

2 1

1

ar b rx

r

+ -=

+ и

( )22

1 2

1

a r bry

r

- -=

+

будет рациональной и будет удовлетворять равенству

2 2 2x y r+ = .

9. Без ограничения общности можно считать, что центр ок-ружности находится в начале координат. Если узел решетки( );x y лежит на окружности, но не на координатных осях ибиссектрисах координатных углов, то вместе с таким узломна окружности будут находиться еще 7 узлов: ( );y x , ( );x y- ,( );x y- , ( );y x- , ( );y x- , ( );y x- - , ( );x y- - .Но при делении на 8 число 1988 дает в остатке 4, поэтомукроме узлов указанных типов должны быть 4 узла на осяхили биссектрисах. В первом случае 2 2 20 x R+ = для некото-рого целого х, поэтому R – целое число. Во втором случае

для некоторого целого х имеем 2 2 2x x R+ = и, тем самым,

2R x= . Следовательно, 2R – целое число.10. Указание. Рассмотрим окружность

2 121 5

3 9

n

x y-ж ц- + =з чи ш , т.е. ( ) ( )

2 2 13 1 3 5nx y -- + = .

По теореме о представлении натурального числа в виде сумме

двух квадратов заключаем, что уравнение 2 2 15na b -+ = име-ет 4n решений. Если же число b делится на 3 и число а приделении на 3 дает в остатке 1, то это уравнение имеет толькоn решений.

Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени«Чеховский полиграфический комбинат»

142300 г.Чехов Московской области,Сайт: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru

Факс: 8(49672) 6-25-36, факс: 8(499) 270-73-00Отдел продаж услуг многоканальный: 8(499) 270-73-59

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФпо печати. Рег. св-во 0110473

Адрес редакции:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант»Тел.: 930-56-48

Е-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.info

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

А.А.Егоров, С.П.Коновалов,

А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИ Д.Н.Гришукова, В.В.Иванюк, А.Е.Пацхверия,

З.М.Сурова, В.М.Хлебникова

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОРЕ.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППАЕ.А.Митченко, Л.В.Калиничева

©