2-1

Problemas

1. La función de onda de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda es y(x,t)=0,03sen(2,2x-3,5t) en unidades del SI. Determinar la dirección del movimiento, velocidad, longitud de onda, frecuencia y periodo de esta onda. ¿Cuál es el desplazamiento y velocidad máximos de cualquier segmento de la cuerda?

La expresión general de una onda toma la forma y(x,t)=Asen(kx±ωt) y comparando con la del problema tenemos que la onda se mueve hacia la derecha y que la amplitud A, el número de ondas k y la frecuencia angular ω son A=0.03 m k=2,2 m-1 ω=3,5 rad s-1 De estos parámetros deducimos frecuencia, periodo, longitud de onda y velocidad de la onda f=ω/2π=0,557 Hz T=1/f=1,8 s λ=2π/k=2,86 m v=λf=1,59 m/s El desplazamiento máximo de un segmento de la cuerda es igual a la amplitud A de la onda A=0,03 m La velocidad máxima de un segmento de cuerda será igual a vy=dy/dt=-Aωcos(kx-ωt)=-0,03.3,5cos(2,2x-3,5t) el valor máximo del cos es 1 con lo que la velocidad máxima de un segmento de cuerda es vy

max=0,105 m/s

2-2

2. Demostrar explicitamente que la función y(x,t)=Asen(kx-ωt) satisface la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio.

La ecuación diferencial del movimiento ondulatorio en una dimensión viene dada por

2

22

2

2

xv

t ∂∂

=∂∂ ξξ

Derivemos para la función seno que expone el problema

)cos(

)cos(

tkxAty

tkxkAxy

ωω

ω

−−=∂∂

−=∂∂

)(

)(

22

2

22

2

tkxAsenty

tkxAsenkx

y

ωω

ω

−−=∂∂

−−=∂∂

Igualando ambas derivadas

)(1

)( 22

2 tkxsenv

tkxAsenk ωωω −−=−−

que se cumple dado que la frecuencia angular y el número de onda se relacionan

por la ecuación ω=vk

2-3

3. Ondas de longitud de onda 35 cm y amplitud 1,2 cm se mueven a lo largo de una cuerda de 15 m que tiene una masa de 80 g y está sometida a una tensión de 12 N. Determinar la velocidad y frecuencia angular de las ondas. Calcular la energía total media de las ondas en la cuerda.

La velocidad de las ondas en la cuerda viene dada por

µT

v =

donde T es la tensión de la cuerda y µ la densidad lineal µ=m/L=5,33x10-3 kg/m v=47,4 m/s ω=vk=2πv/λ=851 rad/s La densidad de energía de las ondas en la cuerda es igual a

20

2

21

ξρω=u

Y la energía total media vendrá dada por, considerando que m=ρV=µL

JLmET 17,421

21 2

022

02 === ξωµξω

2-4

4. Una cuerda de 1,5 m de longitud posee una densidad lineal de 0,03 kg/m y está sometida a una tensión de 500 N. Si oscila en su modo fundamental con una amplitud máxima de 6 cm, ¿cuál es su energía?

En este caso tenemos una onda estacionaria y por tanto la amplitud máxima de oscilación no es constante en la cuerda sino que depende de la posición x en l misma Tendremos por tanto que sumar, para punto x de la cuerda, la energía del oscilador armónico con una amplitud de oscilacion Ax=Asenkx y al estar oscilando en el primer armónico L=λ/2

LAdxLx

senAkxdxsenAEL L

µωπ

µωµω 22

0 0

222222

414

21

21

=

== ∫ ∫

La frecuencia angular la deducimos a partir de la velocida de propagación de la onda y de su frecuencia ω=2πf=2πv/λ=(π/L)(T/µ)0,5=(π/L)129=270 rad/s con lo que E=3 J

2-5

5. Una fuente oscila con una amplitud de 0,3 m y una frecuencia de 10 Hz unida la extremo de una cuerda de densidad lineal 0,08 kg/m. Si la longitud de onda de las ondas que genera es de 1 m, ¿cuánto tiempo ha de estar funcionando para transmitir una energía 100.000 J.

La velocidad de propagación de la onda es igual a v=λν=10 m/s La intensidad de la onda es igual a

vI 20

2

21

ξρω=

y la potencia media, intensidad por área, será igual a

WvP 14221 2

02 == ξµω

Sabemos que la potencia media es la energía transmitida por unidad de tiempo Pm=dEm/dt Con lo que el tiempo necesario para transmitir la energía considerada es t=E/P=100.000/142=704 s

2-6

6. Una cuerda de 3 m de longitud cuelga del techo libremente. Demostrar que la velocidad de las ondas transversales depende de la distancia y desde el extremo inferior. Si se genera un pulso de onda en el extremo inferior, ¿cuánto tardará en subir al techo, reflejarse y regresar al punto inferior de la cuerda?

La velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda viene dada por la ecuación

µT

v = donde la tensión en la cuerda es igual a T=mg=µyg

con lo que la velocidad de propagación es ygyg

v ==µ

µ de forma que v

depende de la altura de la cuerda

Tenemos gydtdy

v == y despejando dt y

dyg

dt1

=

Integrando entre y=0 e y=3 m tendremos el tiempo que el pulso tarda en llegar al techo

syg

t 1,121

== y el tiempo total es st 2,2=

2-7

7. Una onda plana tiene la forma f(x,y,t)= Acos(kxx+kyy-ωt). ¿Cómo son los frentes de onda en este caso? Demostrar que la dirección en la que se mueve la onda forma un ángulo θ= arct(ky/kx) con el eje x y que la velocidad de propagación de la onda es v= ω/(k2

x+k2y)1/2

2-8

8. Demostrar que una onda esférica ξ=f(r,t), su valor en un tiempo t depende únicamente de la distancia al origen r, no puede tener la forma ξ=f(r-vt). Nota: comprobar que no cumple la ecuación de ondas teniendo en cuenta que el operador laplaciano en coordenadas esféricas cuando solo depende de r toma la

forma 2

22 2

rrr ∂∂

+∂∂

=∇ξξ

ξ . Comprobar que la onda esférica debe tener la forma

)(1

),( vtrfr

tr −=ξ

2-9

9. Dos focos de ondas emiten en fase con amplitud A0. Hallar la amplitud de la onda resultante en un punto a 5 m de un foco y 5,17 m del otro si la frecuencia de las ondas es 500 Hz, 1000 Hz y 2000 Hz. (Utilizar como velocidad de las ondas v=340 m/s).

La amplitud de onda resultante de la superposición de dos ondas con diferencia de fase δ es igual a A=2A0cosδ/2 Dado que en nuestro caso los focos emiten en fase, el único motivo para la aparición de una diferencia de fase en un punto del espacio es la diferencia de camino recorrido, que en nuestro caso es igual a ∆x=0,17 m con lo que la diferencia de fase entre las dos ondas en ese punto del espacio es igual a δ=2π∆x/λ Para una frecuencia de 1000 Hz λ=v/f=0,34 m δ=π A=0, tenemos una interferencia destructiva Para 2000 Hz A=2A0, interferencia constructiva Y para 500 Hz A=1,41A0

2-10

10. Un punto M se encuentra situado en la misma recta y entre dos focos S1 y S2 que emiten ondas sinusoidales transversales del mismo periodo y de igual amplitud. Suponiendo que ambos focos emiten con una diferencia de fase nula, hallar la ecuación del movimiento resultante en el punto M.

Sea 2l la distancia S1S2 y tomemos como origen de abcisas el punto medio de esta distancia. Si llamamos x1 y x2 y x a las distancias del punto M a S1, S2 y al origen respectivamente se tendrá que x1=l+x x2=l-x La diferencia de camino recorrido por ambas ondas hasta llegar al punto M es ∆x=x1-x2=2x con lo que la diferencia de fase δ=(2π/λ)2x y la ecuación del movimiento resultante será

)21

()2

cos2()21

()21

cos2( 0021 δωλπ

ξδωδξξξ +−=+−=+ tkxsenx

tkxsen

siendo )2

cos2( 0 λπ

ξx

la amplitud

2-11

11. Dos movimientos sinusoidales con longitud de onda λ=600 nm se desplazan en la misma dirección pero en sentido contrario. Calcular las abcisas correspondientes a los planos nodales y ventrales de la onda estacionaria resultante si el desfase es de 60º.

La onda resultante, superposición de los dos movimientos sinusoidales con un desfase δ será

)2

()2

( ´00

δωξ

δωξξ −−+++= kxtsenkxtsen

que es equivalente a

tkxsen ωδ

ξξ cos)2

(2 0 +=

Los planos nodales, amplitud cero, vienen dados por

nmxnnmxn

nx

nkx

nkx

5502,25016600

2

6

2

=⇒==⇒=

=+

=+

=+

ππ

π

ππ

πδ

y los planos ventrales de amplitud máxima vienen dados por

nmxnnmxnnmxn

nx

nkx

nkx

7003,4002,10012

)12(6600

2

2)12(

6

2)12(

2

=⇒==⇒==⇒=

+=+

+=+

+=+

πππ

ππ

πδ

2-12

12. Sean dos fuentes de onda armónicas situadas en el eje x, de igual frecuencia y amplitud y con una diferencia de fase δ proporcional al tiempo, δ=Ct siendo C una constante. Escribir las funciones de onda en un punto P del eje x situado a una distancia x1 de una de las fuentes y x1+∆x de la otra. Hallar la función de onda resultante. Calcular la intensidad y el valor medio de la misma en el punto P para ∆x=0 y ∆x=λ/2.

Las funciones de onda serán

))(()(

102

101

Cttxxksentkxsen

+−∆+=−=

ωξξωξξ

con lo que la diferencia de fase total entre las dos ondas es igual a

CtxkCyxkxkx +∆=+∆+−= 11δ y la onda resultante

))(21

())(21

cos2()21

()21

cos2( 0021 CtxktkxsenCtxktkxsen +∆+−+∆=+−=+ ωξδωδξξξ

La amplitud resultante es igual a

A= ))(21

cos2( 0 Ctxk +∆ξ

Sabemos que la intensidad es proporcional al cuadrado de la intensidad con lo que

I= C´ ))(21

cos4( 20

2 Ctxk +∆ξ

Para ∆x=0 y considerando que el valor promedio del cos2x en un ciclo es ½ queda que el valor promedio de la intensidad es Iave =2C´ξ2

0=2I0 I=2I0cos2(Ct/2) Para ∆x=λ/2 Iave =2I0 I=2I0cos2((π+Ct)/2) Fuente coherente: δ≠ f(t) ⇒ Patrón de interferencia Fuente incoherente δ= f(t) ⇒ Intensidad media constante

2-13

13. Una cuerda de 5 m de longitud que está fija solo por un extremo está vibrando en su quinto armónico con una frecuencia de 400 Hz. ¿Cuál es su longitud de onda, vector de onda y frecuencia angular? Escribir la función de onda correspondiente a esta onda estacionaria.

La ecuación general de una onda estacionaria viene dada por

senwtkxBAsenkxtx )cos(),( +=ξ

Tenemos un extremo de la cuerda libre donde ξ(0,t) es un antitodo,

desplazamiento máximo respecto a x, 0),0(

=∂

∂x

tξ, y un extremo fijo que es un

nodo donde ξ(L,t)=0 Imponiendo estas condiciones de contorno nos queda

0),0(

=∂

∂x

tξ ⇒ kAsenwt=0 ∀t ⇒ A=0

ξ(L,t)=0 ⇒ BcosKL=0 ∀t ⇒ cosKL=0

es decir KL= (2n+1)2π

y la longitud de onda y frecuencia

124

+=

nL

nλ Lv

nf n 4)12( +=

En el 5º armónico λ5=4L/5= 4 m, k5=π/2 m-1 y w5=800π s-1

txsenBtx ππ

ξ 8002

cos),( =

2-14

14. Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0,7 m entre si y se ajusta la tensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 440 Hz ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?

La velocidad de la onda en la cuerda se relaciona con frecuencia y longitud de onda por la ecuación v=λf En el modo fundamental, la longitud de onda es el doble de la longitud de la cuerda λ=2L con lo que v=440.2L=616 m/s

2-15

15. Una cuerda de 3 m de longitud y densidad másica 0,0025 kg/m está sujeta por ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 252 Hz. La siguiente frecuencia de resonancia es 336 Hz. ¿Qué armónico corresponde a los 252 Hz? Determinar la frecuencia fundamental y la tensión de la cuerda.

Los armónicos consecutivos fn y fn+1 se relacionan con la frecuencia fundamental ν1 por las ecuaciones fn=nf1=252 Hz fn+1=(n+1)f1=336 Hz Dividiendo estas dos ecuaciones y eliminando la frecuencia fundamental determinamos n n=3 f1=84 hz T=µv2=µ(λ1f1)2=µ(2Lf1)2=635N

2-16

16. Las funciones de onda para dos ondas de igual amplitud, pero que se propagan en sentidos opuestos, vienen dadas por y1=y0sen(kx-ωt) e y2= y0sen(kx+ωt). Demostrar que la suma de estas dos ondas es una onda estacionaria.

2-17

17. Una onda estacionaria sobre una cuerda fija por sus dos extremos viene dada por y(x,t)=0,024sen(52,3x)cos(480t) en unidades del SI. Determinar la velocidad de las ondas sobre la cuerda y la distancia entre los nodos.

La expresión de una onda estacionaria es

tsenkx ωξξ cos2 0=

que comparando con el enunciado del problema k=52,3 m-1 ω= 480 rad/s La longitud de onda y frecuencia vienen dadas por λ=2π/k=0,12 m ν=ω/2π=76,4 Hz La velocidad de la onda es v=λf=9,16 m/s La distancia entre nodos es λ/2=0,06 m

2-18

18. Dos cables de densidades másicas lineales distintas se sueldan uno a continuación del otro y después se estiran bajo una tensión F. La velocidad de una onda en el primer alambre es doble que en el segundo. Si la amplitud de la onda incidente es A, ¿cuál es la amplitud de la onda reflejada y transmitida?

Dado que la velocidad en el primer alambre s doble que en el segundo v1=2v2 y como la tensión T a la que están sometidos ambos alambres es la misma µ2=T/v2

2=4µ1 La masa del alambre 2 es mayor y la onda reflejada estará desfasada 180º respecto a la incidente. Por otro lado sabemos que en el proceso de reflexión-transmisión la amplitud de las ondas están relacionadas por

ir

it

021

210

021

10

2

ξµµ

µµξ

ξµµ

µξ

+

−=

+=

y sustituyendo queda

ir

it

00

00

31

32

ξξ

ξξ

−=

=

Demostrar el mismo hecho teniendo en cuenta la conservación de la energía (Intensidad de la onda incidente debe ser igual a la suma de la reflejada y transmitida)

2-19

19. Hallar, para grandes profundidades, la velocidad de fase y la velocidad de grupo para ondas superficiales en un líquido

La velocidad de fase de las ondas superficiales en un líquido es igual a

λπ

ρλπ

πλ h

tghTg

v22

2

+=

Para grandes profundidades, la tgh tiende a 1 y podemos hacer

+=

ρλπ

πλ Tg

v2

2

Consideremos dos casos límites, grandes longitudes de onda, ondas gravitacionales, y pequeñas longitudes de onda, rizado u ondas capilares Para ondas gravitacionales, la velocidad de fase viene dada por

kgg

v f =

=

πλ

2

y la velocidad de grupo

dkdv

kvkvdkd

dkd

v fffg +=== )(

ω

ff

fg vk

vkvv

21

2=

−+=

La velocidad de grupo es la mitad de la velocidad de fase. Esto significa que para una perturbación de gran longitud de onda, la perturbación inicial se distorsion de modo que las componentes de mayor longitud de onda “escapan” de la perturbación moviéndose más rápido que la velocidad de grupo que es la velocidad del pico de la perturbación. Para ondas capilares

ρρλπ kTT

v f =

=

2

y la velocidad de grupo

2-20

−=

−+=

21

2

kv

k

vkvv f

ffg

siendo en este caso de nuevo la velocidad de grupo menor que la velocidad de fase