2. Zeitreihenzerlegung und Komponentenmodell2.1 Komponenten ökonomischer Zeitreihen

Ökonomische Zeitreihen lassen sich als Resultat eines Zusammenwirkens ver-schiedener Bewegungskomponenten auffassen. Übersicht 10. 1:Komponenten ökonomischer Zeitreihen

Komponenten ökonomischer Zeitreihen

Systematische Komponenten Restkomponente

Glatte Komponente Saisonkomponente

Trend Konjunkturkomponente

Abb.: Zeitreihendiagramm der systematischen Komponenten

Zeitreihe: y1, y2, ..., yn oder (yt), t=1,2,...nZeitreihendiagramm: Lineare Verbindung der Wertepaare (t, yt) in einem t,yt- Koordinatensystem (Zeitreihenpolygon)

Zeitreihenzerlegung: Separierung der Komponenten einer Zeitreihe

Komponentenmodelle

Additives Grundmodell:

(2.1a) yt= mt + ct + st + ut oder (2.1b) yt= gt + st + ut

Annahme: Zyklische Schwankungen mit konstanter Amplitude

Multipikatives Grundmodell:

(2.2a) yt= mt · ct · st · ut oder (2.2b) yt= gt · st · ut

Annahme: Zyklische Schwankungen mit proportional wachsender

Amplitude

Überführung in ein additives Modells durch Logarithmierung:

Aus (2.2b): log yt= log gt + log st + log ut

Gemischtes Modell:

(2.3) yt= (mt + ct ) st + ut

100

110

120

130

140

150

160

1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 421986 1987 1988 1989 1990

Quartale

ty

2526272829303132333435

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Zeit

ty

Abb.: Zeitreihendiagramm des Kfz-BestandsAbb.: Zeitreihendiagramm der Löhne und Ge-hälter je Beschäftigten

2.2 Trend und glatte Komponente2.2.1 Trendfunktionen

Wenn eine Zeitreihe in einem Zeitintervall keinen Strukturbruch aufweist, ist es oft mög-lich, ihre Entwicklungstendenz durch eine Funktion der Zeit t zu modellieren. Eine solche Funktion(2.4) mt = f(t),

die mittels der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt werden kann, heißt Trend-funktion. Es handelt sich dabei um eine Regressionsfunktion, in der die Zeit t als unab-hängige Variable auftritt.

Trendbestimmung beim einfachen Grundmodell(2.5) yt = mt + ut

Lineare Trendfunktion (approx. konst. abs. Zuwächse):(2.6) mt = a0 + a1·t

Kleinst-Quadrate-Kriterium:

(2.7)

 (10.1)                   .

10 a,a

n

1t

210t10 Min!taaya,aQ

Notwendige Bedingungen für ein Minimum der Kriteriumsfunktion Q(a0,a1):

Normalgleichungen:

01taay2a

a,aQ n

1t10t

0

10

0ttaay2a

a,aQ n

1t10t

1

10

t10 ΣyΣtana(2.8a) tΣyΣtaΣta(2.8b) t2

10

Kleinst-Quadrate-Schätzer:

2__2

__

22tt

1

tt

tyyt

)t(tn

tytyna

tayn

ta

n

ya 11

t0

(2.9a)

(2.9b)

Beispiel: Wie aus der Abbildung hervorgegangen ist, wächst der Bestand an Kraftfahrzeugen relativ gleichmäßig an, wobei die jährlichen Zuwächse nicht zu stark variieren. Das Zeitreihendiagramm legt daher nahe, die Trend-komponente der Zeitreihe durch eine lineare Trendfunktion nachzubilden.

t yt t² yt·t

1 27116 1 27116

2 27858 4 55716

3 28452 9 85356

4 29122 16 116488

5 29905 25 149525

6 30618 36 183708

7 31748 49 222236

8 32762 64 262096

9 33764 81 303876

45 271345 285 1406117

Arbeitstabelle (mit originären Kfz-Bestandsdaten):

Koeffizienten der Trendgeraden (nicht-zentrierter Zeitindex)

Steigungsmaß:

Achsenabschnitt:

Trendgerade

mt = 26033,4 + 823,2·t, t=1,2,...,n

2,823540

444528

452859

4527134514061179

)t(tn

tytyna

222tt

1

4,2603352,8234,301499

452,823

9

271345

n

ta

n

ya 1

t0

Zentrierter Zeitindex t‘:Einfache Lösung der Normalgleichungen durch Zentrierung des Zeitindex:t‘=...,-2,-1,0,1,2,... (n ungerade), t‘=...;-1,5;-0,5;0,5;1,5;... (n gerade)

Es gilt dann: (2.10)

0Σt'

Normalgleichungen bei zentriertem Zeitindex:

t'0 Σyna1)1.2( t'ΣyΣt'a2)1.2( t'2

1

Kleinst-Quadrate-Schätzer:

n

Σy'a(2.13) t'0 2

t''11

Σt'

t'Σy)a(a(2.14)

Kleinst-Quadrate-Schätzer für a0:

n

Σta

n

Σyta'aa)15.2( 1

t'100

Aus (2.15) ergibt sich aus der Umformung der linearen Trendgeraden mit dem Zeitindex t‘=t- :

Güte der Anpassung der Trendgeraden(Bestimmtheitmaß, Determinationskoeffizient):

t'at'a'att'a'at''a'am 1101010t t

2t

2t

2t

2t

22t

22t2

ΣyΣyn

ΣyyΣn

ynΣy

ynyΣR(2.16b)

)y(ZeitreihederVarianz

)Varianzerklärte(TrendwertederVarianzR)a16.2(

t

2

Beispiel: Wir bestimmen die lineare Trendfunktion der Zeitreihe Bestand an Kraftfahr-zeugen jetzt unter Verwendung des zentrierten

t t‘ t‘² yt‘ yt‘·t‘

1 -4 16 27116 -108464

2 -3 9 27858 -83574

3 -2 4 28452 -56904

4 -1 1 29122 -29122

5 0 0 29905 0

6 1 1 30618 30618

7 2 4 31748 63496

8 3 9 32762 98286

9 4 16 33764 135056

45 0 60 271345 49392

Arbeitstabelle (mit originären Kfz-Bestandsdaten):

Koeffizienten der Trendgeraden (zentrierter Zeitindex)

Achsenabschnitt (extrapolierter Trendwert für t=0):

Steigungsmaß:

Trendgerade

mt = 26033,4 + 823,2·t, t=1,2,...,n

823,260

49392

Σt'

t'Σy'a

2t'

1

.033,426945

823,29

2713459Σt

a9

Σya 1

t'0

t yt

1 27116 26856,6 735277456

721276964

2 27858 27679,8 776068164

766171328

3 28452 28503,0 809516304

812421009

4 29122 29326,2 848090884

860026006

5 29905 30149,4 894309025

908986320

6 30618 30972,6 937461924

959301951

7 31748 31795,8 1007935505

1010972898

8 32762 32619,0 1073348644

1063999161

9 33764 33442,2 1140007696

1118380741

271345 271345,0 8222015601

8221536378

Bestimmtheitsmaß:

Durchschnittl. Kfz-Bestand:

988,079235541

56987640

1493096010152228

1493093781532228

y9y

y9yR

2

2

22t

22t2

149309

345271y

Arbeitstabelle zur Berechnung des Bestimmtheitsmaßes: 2

tyty 2ty

ty

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zeit

,

Abb.: Zeitreihendiagramm für den Kfz-Bestand mit Trendgerade

Prognose des Kfz-Bestands durch Trendextrapolation

z.B. Jahr t=10: 280,43410826,2018,426y10

Exponentialtrend

Anwendung bei Wachstumsvorgängen, bei denen eine Variable in einem Zeitraum überproportional steigt

Exponentielle Trendfunktion (approx. konst. rel. Zuwächse):

(2.17) mt = a·bt

Die Trendwerte verändern sich beim Exponentialtrend von Periode zu Periode um

eine konstante Wachstumsrate b-1. Der konstante Faktor a gibt den Trendwert ei-ner

Zeitreihe für die Periode vor Beginn des Stützzeitraumes wieder.

Linearisierung der exponentiellen Trendfunktion:

(2.18) log mt = log a + t·log b

KQ-Kriterium: (2.19)

Kleinst-Quadrate-Schätzer:

Trendkoeffizienten:

!Minblogtalogylogb,aQb,a

n

1t

2t

22tt

ttn

tylogylogtnblog)20.2(

n

tblog

n

ylogalog)21.2( t

alg10a)22.2(

blg10b)23.2(

Beispiel: Die Bruttolohn- und -gehaltssumme aus unselbständiger Arbeit ohne Ar-beitgeberbeiträge zur Sozialversicherung ist in dem Zeitraum von 9 Jahren überpro-portional angestiegen (s. Abb.). Aus diesem Grund lässt sich die zeitliche Entwick-lung nicht durch eine lineare Trendfunktion beschreiben. Vielmehr kann der Trend hier unter Verwendung einer konstanten Wachstumsrate modelliert werden, die ei-nen Durchschnitt der jährlichen Wachstumsraten widerspiegelt.

700

800

900

1000

1100

1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

Jahre

Mrd. DM

Abb.: Zeitreihendiagramm der Bruttolohn- und -gehaltssumme

Berechnung der Trendkoeffizienten

t t² yt lg yt t·lg yt

1 1 764,44 2,883343 2,883343

2 4 777,42 2,890656 5,781312

3 9 802,93 2,904678 8,714034

4 16 833,78 2,921051 11,684204

5 25 876,63 2,942816 14,714080

6 36 912,81 2,960380 17,762280

7 49 948,85 2,977198 20,840386

8 64 993,19 2,997032 23,976256

9 81 1070,10 3,029424 27,264819

45 285 26,506578 133,620714

Arbeitstabelle (mit originären Bruttolohn- und –gehaltsdaten):

Kleinst-Quadrate-Schätzer:

Trendkoeffizienten:

Exponentielle Trendfunktion:

Prognose:z.B. für das Jahr t=10:

Güte der Anpassung (bei semi-logarithm. Skala):

Bestimmtheitsmaß: R² = 0,982

0,018130452859

4526,506578133,6207149b glo

2

2,8545259

450,018130

9

26,5065789a glo

715,3610a 2,854525 1,042610b 0,018130

tt 1,0426715,36m

1085,681,0426715,36y 1010

2.2.2 Methode der gleitenden Durchschnitte

Flexible Methode zur Ermittlung der glatten Komponente, die ohne stren-ge Annahmen auskommt

Methodischer Ansatz und Grundidee

Mit der Methode der gleitenden Durchschnitte wird eine Zeitreihe ge-glättet, indem man sukzessive Mittelwerte aus einer feststehenden Anzahl benachbarter Zeitreihenwerte ermittelt (gleiche Länge der Stützberei-che), die jeweils der Mitte des betreffenden Zeitintervalls zugeordnet wer-den. Die Folge der Durchschnitte wird als gleitend bezeichnet, weil jeweils der älteste Zeitreihenwert durch den Zeitreihenwert ersetzt wird, der unmit-telbar am rechten Rand außerhalb des Stützbereichs liegt. Auf diese Art und Weise „gleiten“ die gebildeten Durchschnitte quasi entlang einer Zeitachse. Der Glättungseffekt ergibt sich dadurch, dass extreme Zeitreihenwerte nicht mehr voll zur Geltung kommen, sondern abgewichtet werden (Gewicht < 1).

Ordnung des gleitenden Durchschnitts (Anz. der eingehenden Zeitreihenwerte): p

p-gliedriger gleitender Durchschnitt:

pty

Einfache p-gliedrige gleitende Durchschnitte (p ungerade)

Ein p-gliedriger gleitender Durchschnitt setzt sich aus p=2q+1 Beobach-tungswerten zusammen, wobei jeweils q Werte vor und nach seiner zeit-lichen Zentrierung liegen.

1 2 3 4 5 6 t

3-gliedrige gleitende Durchschnitte:

t=2: = (1 + 4 + 7)/3 = 12/3 = 4

t=3: = (4 + 7 + 4)/3 = 15/3 = 5

t=4: = (7 + 4 + 7)/3 = 18/3 = 6

t=5: = (4 + 7 + 10)/3 = 21/3 = 7

y1=1 y2=4 y3=7 y4=4 y5=7 y6=10

1tt1t3t yyy

3

1y

32132 yyy

3

1y

43233 yyy

31

y

54334 yyy

3

1y

65435 yyy

31

y

Allg. Formel für einf. p-gliedrigen gleitenden Durchschnitt (p ungerade):

(2.21)

In den Rändern lassen sich jeweils q gleitende Durchschnittswerte nicht berechnen.

Z.B. p=5: 5-gliedriger gleitender Durchschnitt:

Rekursionsformel:

(2.22)

.qn,2,q1,qt,yp1

yyyyyp1

y

q

qkkt

qt1tt1tqtpt

2t1tt1t2t5t yyyyy

51

y

qn,2,q1,qt,yyp1

yy qt1qtpt

p1t

Beispiel: Das Niveau der Auftragseingänge im Verarbeitenden Gewerbe (ohne Nah-rungs- und Genussmittelgewerbe) wird vom Statistischen Bundesamt kalendermonat-lich über einen Index gemessen. Quartalsmäßig hat sich der Index des Auftrags-eingangs in einem Zeitraum von drei Jahren wie folgt entwickelt:

Jahr I. Quartal II. Quartal III. Quartal IV. Quartal

1   106,6,

108,6 115,9

2 122,1 1238 117,8 125,4

3 130,7 124,9 128,5 133,7

4 137,7      

Bei einer Glättung der Zeitreihe unter Verwendung eines 3-gliedrigen gleitenden Durchschnitts bleibt die erste und letzte Periode des Beobachtungszeitraums unbesetzt. Der erste gleitende Durchschnittswert, der dem III. Quartal des 1. Jahres zugeordnet wird, lautet

.Der gleitende Durchschnittswert für das IV. Quartal des 1. Jahres ist durch

gegeben.

110,4115,9108,6106,631

yyy31

y 1/IV1/III1/II31/III

5115,122,1115,9108,63

1yyy

3

1y 2/I1/IV1/III

31/IV

Zeit yt

1/II 106,6

1/III 108,6 110,4

1/IV 115,9 115,5

2/I 122,1 120,6

2/II 123,8 121,2

2/III 117,8 122,3

2/IV 125,4 124,6

3/I 130,7 127,0

3/II 124,9 128,0

3/III 128,5 129,0

3/IV 133,7 133,3

4/I 137,7

100

105

110

115

120

125

130

135

140

2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1

ty

1988 1989 1990 1991

Quartale

Abb.: Index des Auftragseingangs mit 3-gliedrigem glei- tenden Durchschnitt

3ty

Zentrierte p-gliedrige gleitende Durchschnitte (p gerade)

Wenn eine Zeitreihe saisonale Schwankungen aufweist, wird der Glättungseffekt im Allgemei-nen durch einfache gleitende Durchschnitte ungerader Ordnung verzerrt. Der Grund liegt darin, dass ein bestimmter Jahreabschnitt (z.B. Monat, Quartal) hierbei in einem gleitenden Durchschnittwert unberücksichtigt bleibt. Um saisonale Schwankungen auszuschalten, müssen die gleitenden Durchschnitte so konzipiert werden, dass ihre Ordnung mit der Zykluslänge übereinstimmt. Bei Quartalsdaten mit regelmäßig wiederholenden saisonalen Schwankungen kommen für die glatte Komponente daher vorzugsweise 4-gliedrige gleitende Durchschnitte, bei Monatsdaten mit diesen Eigenschaften 12-gliedrige gleitende Durchschnitte in Betracht. Hierbei handelt sich um gleitende Durchschnitte gerader Ordnung.

Ein gleitender Durchschnittswert gerader Ordnung lässt sich jedoch keiner Zeiteinheit eindeu-tig zuordnen, da er auf der Zeitachse genau zwischen den beiden mittleren Perioden oder Zeitpunkten liegt. Um dies zu vermeiden, zieht man p+1 Zeitreihenwerte zur Berechnung ei-nes gleitenden Durchschnitts gerader Ordnung heran und gewichtet die beiden äußeren Zeit-reihenwerte mit dem Faktor ½. Auf diese Weise werden die gleitenden Durchschnitte zen-triert. Bei Zeitreihen mit saisonalen Schwankungen erfolgt die Glättung daher mittels zen-trierter gleitender Durchschnitte.

Zentrierte gleitende Durchschnitte bei Quartalsdaten (p=4):

(2.23)

Zentrierte gleitende Durchschnitte bei Monatsdaten (p=12):

(2.24)

Allg. Formel für zentrierte p-gliedrige gleitende Durchschnitte:

(2.25)

An den Rändern des Beobachtungszeitraums lassen sich q=p/2 gleitende Durchschnitts-werte nicht berechnen.

Die zentrierten gleitenden Durchschnitte (2.25) entsprechen einer Mittelung jeweils zweier benachbarter unzentrierter gleitender Durchschnitte bei unveränderter Ordnung.

2t1tt1t2t

4t y

21

yyyy21

41

y

6t1tt1t5t6t

12t y

21

yyyyy21

121

y

qn2,...,q1,qt,y21

yy21

p1

y qtkt1q

1qkqt

pt

Beispiel: Die Löhne und Gehälter je Beschäftigten weisen ein klares Saisonmuster auf. Im I. Quartal eines Jahres liegt der Tiefstand und nach den etwa gleichwertigen beiden mittleren Quartalen wird im IV. Quartal das saisonale Hoch erreicht. Die lang-fristig steigende Tendenz dieser Zeitreihe kann daher am besten durch 4-gliedrige gleitende Durchschnitte beschrieben werden.

Jahr I. Quartal

II. Quartal

III. Quartal

IV. Quartal

1 113,6 121,3 122,0 138,8

2 116,3 125,7 125,7 143,5

3 121,1 128,6 129,0 147,3

4 123,2 129,2 130,3 147,9

5 128,0 135,7 136,2 155,5

Berechnung 4-gliedriger gleitender Durchschnitte:

für 1/III:

124,3116,32

1138,8122,0121,3113,6

2

1

4

1

y2

1yyyy

2

1

4

1y 2/I1/IV1/III1/II1/I

41/III

100

110

120

130

140

150

160

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

ty

1986 1987 1988 1989 1990Quartale

Abb.: Löhne und Gehälter je Beschäftigten mit zentriertem 4-gliedrigem gleitenden Durchschnitt

für 1/IV:

125,2125,72

1116,3138,8122,0121,3

2

1

4

1

y2

1yyyy

2

1

4

1y 2/II2/I1/IV1/III1/II

41/IV