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Version 1.0 von 02/2018

Prof. Dr.-Ing. Thorsten UelzenFakultät Elektrotechnik - Wolfenbüttel

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Prof. Dr.-Ing. Thorsten Uelzen

Digitaltechnik Grundlagen2. Zahlensysteme


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Prof. Dr.-Ing. Thorsten Uelzen 2Digitaltechnik Grundlagen

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Unterschiedliche Zahlensysteme

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Zahlensystem der Maya

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Herodianisches Zahlensystem

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Altäqyptisches Zahlensystem


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Babylonisches Zahlensystem

[Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Babylonische_Mathematik]


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Unterschiedliche ZahlensystemeProbleme:- Eingeschränkter Zahlenbereich- Teilweise keine Darstellung der Null- Erlernen und Verwenden sehr aufwändig- Teilweise keine logischen Rechenoperationen

Lösung:- Nutzung von Stellenwertsystemen (Polyadische Zahlensysteme)- die (additive) Wertigkeit eines Symbols ist hierbei von seiner Position, der

Stelle, abhängig- unter der Annahme eines endlichen Vorrats an Symbolen (meist Ziffern oder

Zahlzeichen genannt) hängt die Anzahl der erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab(im Unterschied zu Additionssystemen,bei denen dieser Zusammenhang linear ist.)

[Quelle: Fricke, K.: Digitaltechnik, Springer Vieweg und Harriehausen, T: Arbeitsblätter zu Digitaltechnik Grundlagen]

Altägyptische hieratische Zahlen[Wikipedia]


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Allgemeine Stellenwertsysteme- Jede Zahl besteht aus einer oder mehreren Ziffern- Jede Ziffer symbolisiert einen (positiven, ganzzahligen) Wert- Der Wert jeder Ziffer wird mit dem Wert der Stelle,

an der sie steht, multipliziert und alles summiert

Allgemein:n-stellige positive ganze Zahl Z (number) ergibt sich durch n Ziffern (Si), die jeweils die Wertigkeit Wi haben:

𝑍𝑍 = 𝑆𝑆𝑛𝑛−1𝑊𝑊𝑛𝑛−1 + 𝑆𝑆𝑛𝑛−2𝑊𝑊𝑛𝑛−2 + ⋯+ 𝑆𝑆1𝑊𝑊1 + 𝑆𝑆0𝑊𝑊0 = �𝑖𝑖=0

𝑛𝑛−1

𝑆𝑆𝑖𝑖𝑊𝑊𝑖𝑖

Si und Wi sind frei wählbar.



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Polyadische Zahlensysteme- Kennzeichen:

- Ganzzahlige positive Basis B > 1 (wird oft als Index angehängt)- B verschiedene Symbole (Ziffern) für die Werte 0 … B-1- Stellenwertigkeiten einer n-stelligen Zahl Bn-1 Bn-2… B1 B0

- Mit n Stellen darstellbarer Zahlenbereich: 0 … Bn-1, also Bn verschiedene Werte

- Stellenwertigkeit der niedrigstwertigen Stelle ist immer 1- Stellenwertigkeit der höchstwertigen Stelle immer Bn-1

- Übliche Werte der Basis B: 2, 8, 10, (12,) 16.- Erweiterbar auf gebrochene Werte durch Einführen negativer Exponenten

m < 0 von B: Bn-1 Bn-2 … B1 B0 , B-1 B-2 … Bm.- Unter Verwendung der oben genannten Konventionen ist

keine Darstellung negativer Werte möglich!

𝑍𝑍 = 𝑆𝑆𝑛𝑛−1𝐵𝐵𝑛𝑛−1 + 𝑆𝑆𝑛𝑛−2𝐵𝐵𝑛𝑛−2 + ⋯+ 𝑆𝑆1𝐵𝐵1 + 𝑆𝑆0𝐵𝐵0 = �𝑖𝑖=0

𝑛𝑛−1

𝑆𝑆𝑖𝑖𝐵𝐵𝑖𝑖

Aufgabe: Entwickeln wir selber ein System!



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Polyadische Zahlensysteme- Häufig verwendete polyadische Zahlensysteme:

- Dezimalsystem mit B = 10; 𝑺𝑺𝒊𝒊 ∈ 𝟎𝟎,𝟏𝟏, … ,𝟗𝟗

- Dualzahlensystem mit B = 2; 𝑺𝑺𝒊𝒊 ∈ 𝟎𝟎,𝟏𝟏

- Hexadezimalsystem mit B = 16; 𝑺𝑺𝒊𝒊 ∈ 𝟎𝟎,𝟏𝟏, … ,𝟏𝟏𝟏𝟏 , wobei 10 bis 15 dargestellt wird durch A bis F

- Oktalzahlensystem mit B = 8; 𝑺𝑺𝒊𝒊 ∈ 𝟎𝟎,𝟏𝟏, … ,𝟕𝟕(eher selten)



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DezimalzahlensystemBasis 10 (10 Finger)Menge der Ziffern {0 … 9}Stellenwerte Potenzen von 10

100 101 102 103 104 …1 10 100 1000 10000 …

Beispiel 1234 = 4100 + 3101 + 2102 + 1103



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DualzahlensystemBasis 2Menge der Ziffern {0; 1}Stellenwerte Potenzen von 2

20 21 22 23 24 25 26 27

1 2 4 8 16 32 64 128Beispiel 110101 = 120+ 021 + 122 + 023 + 124 + 125

= 110 + 410 + 1610 + 3210= 5310



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Dualzahlensystem - Hilfstabelle



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Dualzahlensystem – übliche VerwendungDa ein Bit eine sehr geringe Informationsmenge darstellt, arbeitet man mit Gruppen von mehreren/vielen Bits:- Eine Gruppe von 8 Bits nennt man ein Byte- Eine Gruppe von 2 Bytes nennt man ein Wort (Word)- Eine Gruppe von 4 Bytes nennt man ein Doppelwort (Longword)- 1024 Bytes nennt man ein Kilobyte (1 KB, mit großem „K“)- 1024 Kilobytes nennt man ein Megabyte (MG)- 1024 Megabyte nennt man ein Gigabyte (GB)- 1024 Gigabyte nennt man ein Terabyte (TB)

- 1 KB = 210 Bytes = 1 024 Bytes- 1 MB = 220 Bytes = 1 048 576 Bytes- 1 GB = 230 Bytes = 1 073 741 824 Bytes- 1 TB = 240 Bytes = 1 099 511 627 776 Bytes



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Dualzahlensystem – Empfehlung der IEC (International Electrotechnical Commission)

Die Dezimalpräfixe (SI-Präfixe) waren in den 80er Jahren die einzige übliche Präfixart. So wurde der Faktor 1000 mit 1024 = 210 gleichgestellt. Dies ergibt mehr oder weniger große Abweichungen und führt zu Irritationen. So hat die IEC Binärpräfixe definiert und empfiehlt die Verwendung (hat sich aber bisher nicht durchgesetzt).

[Quelle: Wikipedia]

… man beachte den Unterschied


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HexadezimalzahlensystemBasis 16Menge der Ziffern {0 … 15} = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E; F}Stellenwerte Potenzen von 2

160 161 162 163 164 165 …1 16 256 4096 65536 1048576 …

Beispiel B57F3 = 3160 + F161 + 7162 + 5163 + B164

= 3160 + 15161 + 7162 + 5163 + 11164

= 310 + 24010 + 179210+ 2048010 + 72089610= 74341110



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Hexadezimalzahlensystem - Hilfstabelle



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HexadezimalzahlensystemBeispiel einer Speicherbelegung:

0000 0000 C03F FFFF16 =0000 0000 0000 00001100 0000 0011 1111 1111 1111 1111 11112 = 3 225 419 77510



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Polyadische Zahlensysteme- Ist bei Rechnungen mit verschiedenen Zahlensystemen nicht eindeutig

erkennbar, in welchem Zahlensystem eine Zahl dargestellt ist, wird die Basis als Index angehängt, z. B. 11010, 1102, 11016.

- Eine weitere verbreitete Schreibweise ist das Anhängen eines Kennbuchstabens am rechten Ende (D für Basis 10, B für Basis 2, H für Basis 16).

- Speziell bei Hexadezimalzahlen ist in der Softwaretechnik auch das Voranstellen von „0X“ verbreitet, z. B. 0X137 = 13716.

- Da Digitalrechner nur binäre Größen verarbeiten können, bietet sich für die Zahlenverarbeitung mittels solcher Rechner das Dualzahlensystem an. Dann wird jede Stelle einer Zahl durch ein bit repräsentiert und man spricht speziell vom höchstwertigen bit (MSB = most significant bit) und vom niedrigstwertigen bit (LSB = least significant bit).



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Umwandlung zwischen polyadischen Zahlensysteme- Umrechnung erfolgt immer durch Zuhilfenahme eines beliebigen polyadischen

Zahlensystems – normalerweise Dezimalzahlsystem

Umrechnung vom Dezimalsystem in ein anderes System- Die Umrechnung einer ganzen, positiven Dezimalzahl in eine Dualzahl erfolgt

durch:- fortlaufende Division durch die Zielbasis B = 2- Notation des bei jedem Schritt auftretenden Restes und Notieren der Reste

in umgekehrter Reihenfolge (erster Rest wird LSB, letzter Rest MSB). - Die Umwandlung in das Oktal- bzw. Hexadezimalsystem erfolgt entsprechend. - Der Wert der Reste ist jeweils als Ziffer des Zielsystems darzustellen

(wichtig bei B = 16).



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Umrechnung vom Dezimalsystem in ein anderes System (hier Dualzahl)

Aufgabe: Beispiele einzelner Systeme!



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Umrechnung vom Dezimalsystem in ein anderes System (hier Dualzahl)




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Umrechnung vom Dualsystem in Oktal- oder Hexadezimal- Die drei niedrigstwertigen Stellen haben die Wertigkeiten 4, 2 und 1 - hiermit

lassen sich die Zahlen 0 …7 darstellen.- Für die vier niedrigstwertigen Stellen gilt das gleiche bezüglich der Zahlen 0

…15- Daraus folgt die einfache Vorschrift zur Umwandlung von Dual- in Oktal- bzw.

Hexadezimalzahlen:- Zusammenfassung (beginnend mit dem LSB) von jeweils Gruppen von drei

bzw. vier Ziffern der Dualzahl Ausschreiben des entsprechenden Zahlenwert als Oktal- bzw. Hexadezimalziffer

- ggf. in Gedanken nach links mit führenden Nullen aufzufüllen



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Umrechnung von Binärzahl in ein anderes System (hier Hexadezimalzahl)

und andersherum




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Umrechnung vom Dual-, Oktal- oder Hexadezimalsystem in Dezimalsystem- Entsprechend der folgenden Formel mit der entsprechenden Basis B:

𝑍𝑍 = 𝑆𝑆𝑛𝑛−1𝐵𝐵𝑛𝑛−1 + 𝑆𝑆𝑛𝑛−2𝐵𝐵𝑛𝑛−2 + ⋯+ 𝑆𝑆1𝐵𝐵1 + 𝑆𝑆0𝐵𝐵0 = �𝑖𝑖=0

𝑛𝑛−1

𝑆𝑆𝑖𝑖𝐵𝐵𝑖𝑖



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem)- Sehr wichtiger Abschnitt, da er Grundlage für die weiteren Betrachtungen

ist.- Nur Betrachtung von Addition und Subtraktion ganzer Zahlen.

Rechenregeln sind auf Darstellungen gebrochener Zahlen einfach übertragbar.

- Multiplikation ist auf stellenversetzte Addition von Teilprodukten zurückführbar (Grundschule).

- Division wird nicht betrachtet (wesentlich komplizierter).- Im Gegensatz zur Mathematik, wo die Anzahl der verfügbaren Stellen

unbegrenzt ist, wird hier mit Hinblick auf die technische Realisierung stets eine begrenzte Stellenzahl angenommen! Benötigt ein Ergebnis mehr Stellen, als verfügbar sind, ist die Rechnung falsch!



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - Addition- Rechenregeln für 2 Ziffern von Dualzahlen:

0 + 0 = 00 + 1 = 1 + 0 = 11 + 1 = 0 + Übertrag 1

- Ab der 2. Stelle von rechts muss also der Wert eines Übertragsbits (carry bit) berücksichtigt werden. Somit müssen bei der Addition von 2 Dualzahlen 3 Stellen addiert werden!Zusätzliche Rechenregel: 1 + 1 + 1 = 1 + Übertrag 1

- Diese Rechenregeln lassen sich durch logische Verknüpfungen realisieren (vgl. Abschnitt Schaltwerke).

- Ein Übertrag in die nächst höhere, nicht mehr vorhandene Stelle wird als Überlauf (overflow) bezeichnet.

- Bei der Addition von (positiven!) Dualzahlen bedeutet ein Überlauf immer eine Überschreitung des darstellbaren Zahlenbereiches und somit immer ein falsches Rechenergebnis!



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - Addition



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - AdditionBeispiel:

Aufgabe: Weitere Beispiele!



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - neg. Zahlen- Dualzahlen sind immer positiv!- Es gibt verschiedene Erweiterungen des Dualzahlensystems (das dann nicht

mehr das Dualzahlensystem ist!!), um sowohl positive als auch negative (ganze) Zahlen darzustellen. Ein „-“ ist nicht möglich.

- Grundidee: Sind n Bit verfügbar, so wird nicht mehr der positive Zahlenbereich 0 … 2n-1 dargestellt, sondern (grob) der Zahlenbereich -(2n-1)/2 … 0 … +(2n-1)/2.Es sind also nur noch (grob) halb so viele positive Zahlen darstellbar, dafür zusätzlich (ungefähr) genauso viele negative Zahlen. Warum grob und ungefähr?

- 3 übliche Darstellungsformen (Codierungen):- Vorzeichen/Betrags-Darstellung (vergleiche Dezimalsystem!)- Einerkomplement- Zweierkomplement (in fast allen Prozessoren verwendet)

- Fazit: Es muss bekannt sein, welche Form genutzt wird.



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - neg. ZahlenVorzeichen/Betrags-Darstellung- Ein Bit wird als Vorzeichen genutzt (meist MSB)- Konvention: 0 = pos.; 1 = neg.- Beispiele:

- 0101 = + 510

- 1101 = - 510

- 0001 0101 = + 2110

- 1001 0101 = - 2110

- Bereich:- -(2n-1-1) … 2n-1-1

- Vorteile:- Minimaler Aufwand bei der schaltungstechnischen Realisierung- Gute Lesbarkeit

- Nachteile:- hoher Aufwand zur Realisierung von Rechenschaltungen- Zwei verschiedene Nullen: 0000 = + 010 und 1000 = - 010



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - neg. ZahlenEinerkomplement-Darstellung- Negative Zahl durch bitweise Komplement-Darstellung (0 1 und

umgekehrt)- Wichtig: MSB muss „Vorzeichen anzeigen) - Konvention: 0 = pos.; 1 = neg.

MSB kann nicht für den Betrag genutzt werden- Beispiele:

- 0101 = + 510 1010 = - 510

- 0001 0101 = + 2110 1110 1010 = - 2110

- Bereich:- -(2n-1-1) … 2n-1-1

- Vorteile:- Geringer Aufwand bei der schaltungstechnischen Realisierung und der

Realisierung von Rechenschaltungen- Nachteile:

- Schlechte Lesbarkeit- Zwei verschiedene Nullen: 0000 = + 010 und 1111 = - 010



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - neg. ZahlenZweierkomplement-Darstellung- Negative Zahl wird so dargestellt, dass die zugehörige positive Dualzahl

zur nächsten, mit der gegebenen Stellenzahl grade nicht mehr darstellbaren Zweierpotenz ergänzt wird.

- Praktisches Vorgehen: Einerkomplement bilden und Addition von 1- Beispiele:

- 0101 = + 510 1011 = - 510

- 01012 + 10112 = 1 00002 = 010 bei 8-Bit-Darstellung- 0001 0101 = + 2110 1110 1011 = - 2110

- 0001 01012 + 1110 10112 = 1 0000 00002 = 010 bei 8-Bit-Darstellung- Bereich:

- -2n-1 … 2n-1-1 (ein Wert mehr, da keine doppelte Null!)- Vorteile:

- Minimaler Aufwand bei der Realisierung von Rechenschaltungen- Nur eine 0

- Nachteile:- Großer Aufwand bei schaltungstechnischer Realisierung



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - neg. ZahlenZweierkomplement-Darstellung (häufige Verwendung)- Negative Zahl wird so dargestellt, dass die zugehörige positive Dualzahl

zur nächsten, mit der gegebenen Stellenzahl grade nicht mehr darstellbaren Zweierpotenz ergänzt wird.

- Praktisches Vorgehen: Einerkomplement bilden und Addition von 1- Beispiele:

- 0101 = + 510

- 1011 = - 510

- 01012 + 10112 = 1 00002 = 010 bei 8-Bit-Darstellung- 0001 0101 = + 2110

- 1110 1011 = - 2110

- 0001 01012 + 1110 10112 = 1 0000 00002 = 010 bei 8-Bit-Darstellung- Vorteile:

- Minimaler Aufwand bei der Realisierung von Rechenschaltungen- Nur eine Null: 00002

- Nachteile:- Großer Aufwand bei schaltungstechnischer Realisierung

[Quelle: Harriehausen, T: Arbeitsblätter zu Digitaltechnik Grundlagen]


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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) - neg. ZahlenZweierkomplement-Darstellung (häufige Verwendung) - Zahlenkreis



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem)Vergleich der Darstellungen



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) – SubtraktionTipp zur Bildung des Zweierkomplements:Mit dem LSB der positiven Zahl beginnend alle Bits bis einschließlich zur ersten „1“ abschreiben und nun alle folgenden Bits bis zum MSB invertieren:

510 = 0000 01012 -510 = 1111 10112

810 = 0000 10002 -810 = 1111 10002

5010 = 0011 00102 -5010 = 1100 11102

8010 = 0101 01012 -8010 = 1011 00002


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Textfeld

0101 0000

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Durchstreichen


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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) – SubtraktionBeispiele – 8 BIT (Quelle s. unten)



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) – SubtraktionBeispiele – 8 BIT (Quelle s. unten)

Es muss immer bekannt sein, wie viele Bits zur Verfügung stehen.



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Ganzzahl-Arithmetik (Dualzahlensystem) – MultiplikationFunktioniert genau wie schriftliches Multiplizieren im Dezimalsystem:

Beispiel: 1010 x 1110 = 11010


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