2. semester, natbas, 14.2 gruppe 4 pizza …rapporter.hersing.dk/2/2semester.pdf2. semester, natbas,...

2. Semester,

NatBas, 14.2

Gruppe 4

Pizza-TermodynamikTroels Christensen, Sofie Søe, Mikkel Hartmann

Dan Albrechtsen, Daniel Hersing

Vejleder:

Tina Hecksher

i

Abstrakt

Dette projekt omhandler varmetransport i tomater og oste. Motivationen bag dette projekt

kommer af en undren over, hvorfor to forskellige materialer med samme temperatur kan

føles som om de har forskellig temperaturer. De forskellige mekanismer i varmeoverførsel,

bliver forklaret og varmeledning viser sig at beskrive varmetransporten i faste stoffer.

Varmeledningsligningen er omskrevet til sfærisk geometri og løst de for opstillede rand-

betingelser, for at beskrive varmetransporten gennem en tomat og en ost som funktion

af tiden. Dette gør det muligt at bestemme varmediffusionskonstanten, hvilken spiller en

vigtigt rolle i tidsvarierende varmetransports problemer.

Effusiviteten som fungerer som en reciprok modstand for varmeoverførsel, og kan bruges til

at udregne komtakttemperatur mellem to flader, udregnes nar varmediffusionskonstanten

er kendt.

Vi designede et forsøg for at validere antagelsen om at det kun er varmdiffusion som spiller

en vigtigt rolle ved varmetransport gennem tomater og ost samt finde varmediffusionskon-

stanten for disse.

Resultaterne fra eksperimenterne er brugt til at finde effusiviteten af tomat og ost, sa

vi kan beregne kontakt temperaturen mellem huden og tomat/ost. Tomaten ved 80oC er

fundet til at føles 5oC varmere end Havati osten og 4oC varmere end den mellemlagrede

ost, i berøring med huden pa 34oC

Abstract

The project deals with heat transfer in tomato and cheese. The motivation behind this

project emerged after considering why two different materials with the same temperature

can feel as if they have different temperatures. The different mechanisms for heat transfer

are explained and thermal diffusion has proven to be the relevant mechanism for further

examination of the phenomenon. The heat diffusion equation is rewritten in spherical

geometri and solved with known boundery conditions to describe the heat transfer, through

a tomato and a cheese over time.

This makes it possible to determine the thermal diffusivity, which plays an important role

in time varying heat transfer problems. Furthermore it is shown that it is in fact thermal

effusivity which is the relevant factor when dealing with contact temperatures.

An experiment was designed, in order to verify the assumption that heat diffusion is the

ii

relevant mechanism for heat transfer in tomato and cheese and determine the diffusivity

of tomato and cheese. The results are used to find the effusivity of tomato and cheese so

we can calculate the contact temperature between human skin and tomato/cheese.

The experiments show that heat diffusion does in fact describe the heat transfer in tomato

and cheese. The tomato, at 80◦C, is found to feel 5◦C hotter than the Havarti cheese and

4◦C hotter than the ’mellemlagret’ cheese, when touched by human skin at 34◦C.

Indhold

1 Indledning 1

1.1 Problemformulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Problemanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Varmeoverførsel & Varmediffusion 3

2.1 Termodynamikkens love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Varmeoverførselsmekanismer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Varmediffusionsligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Effusivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Model 13

3.1 Den sfæriske tomat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Sfæriske polærkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Den eksperimentelle del 21

4.1 Forsøgsopstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Resultater & databehandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1 Mellemlagret ost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.2 Havarti ost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.3 Tomat 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.4 Tomat 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Effusivitetsberegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Fejlkilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Diskussion 35

iii

iv INDHOLD

6 Konklusion 37

7 Perspektivering 39

8 Appendix 41

8.0.1 Differentialligning af 1. orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.0.2 Differentialligning af 2. orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.0.3 L’Hopital’s regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.1 MatLab kode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.1.1 Fil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.1.2 Fil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.1.3 Fil 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.1.4 Fil 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.2 Udregnelse af varians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2.1 Udregnelse af varians for tomatforsøg 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2.2 Udregnelse af varians for tomatforsøg 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2.3 Udregnelse af varians for Havarti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.2.4 Udregnelse af varians for den mellemlagret ost . . . . . . . . . . . . 48

Kapitel 1

Indledning

To forskellige materialer med samme temperatur kan føles som om, de har forskellige

temperaturer. Tag for eksempel et bord der har staet længe i et lokale med konstant

temperatur, sa alle materialer i bordet har indstillet sig til samme temperatur. Her føles

bordpladen af træ varmere end bordbenet af metal. Det samme er tilfældet pa en pizza -

pizzaen har været i ovnen lang tid og hele pizzaen har samme temperatur. Idet man tager

en bid af den meget varme pizza, vil man brænde sig mere pa tomaten, end man gør pa

osten.

Motivationen bag denne rapport er skabt af en undren over dette naturvidenskablige fæ-

nomen og en generel interesse for matematik og fysik.

Vi har valgt at tage udgangspunkt i det sidste af de to ovennævnte eksempler.

1.1 Problemformulering

Hvorfor brænder vi os pa tomaten, i højere grad end pa osten, nar vi spiser pizza?

1.2 Problemanalyse

Nar et materiale bliver udsat for en temperaturændring, vil det optage/afgive varme, ind-

til det har samme temperatur som sine omgivelser. Nar to forskellige materialer har naet

en ligevægtstemperatur med omgivelserne, vil disse saledes have samme temperatur. Men

selvom materialerne har samme temperatur, vil de ikke nødvendigvis føles sadan. Det skyl-

des effusiviteten (en konstant, der hjælper os til at bestemme den temperatur vi føler ved

berøring med et materiale), som bliver beskrevet nærmere i afsnit 2,8. Varmeeffusiviteten

1

2 KAPITEL 1. INDLEDNING

har direkte sammenhæng med varmediffusionen gennem materialet. Vi har designet vores

forsøg, sa vi kan male temperaturen ift. afstanden og tiden. Denne kan beskrives med

varmediffusionligningen, som vi vil analysere: Hvordan fremkommer ligningen, og hvilke

løsninger knytter sig til denne. Vores problem lyder pa, hvorfor tomaten pa en pizza føles

varmere end osten. Vi vil derfor sende varme gennem en tomat og en ost, og bruge vores

forsøgsresultater til at finde en diffusionskonstant for hhv. tomaten og osten.

1.3 Metode

I 2. semester pa den Naturvidenskablige basisuddannelse pa RUC lægger semesterbindin-

gen op til et samspil mellem teori, model og eksperiment. Dette sammenspil er ikke altid

abenlyst, derfor redegøres der nu for samspillet i dette projekt.

Figur 1.1: Figuren viser samspillet mellem model, teori og eksperiment.

Vi undrer os over et virkeligt fænomen fra hverdagen. Dette fænomen er meget komplekst

da en række faktorer som er svære at kvantificere spiller ind. Vi ser bort fra mange af disse

faktorer, og dette medfører en forsimpling af fænomenet (model, pil 1 fra figur 1.1). Mo-

dellen sætter nogle rammer for, hvilket eksperiment der skal udføres (pil 2). Eksperimentet

udføres for at se om denne model kan beskrive det virkelige fænomen tilfredsstillende (pil

3). Hvis modellen ikke kan dette, ma en ny model laves og testes (pil 4), osv. 3.

Kapitel 2

Varmeoverførsel & Varmediffusion

I dette kapitel vil de grundlæggende egenskaber ved varme blive beskrevet med termody-

namikkens love. Idet varme kan overføres pa flere forskellige mader, vil der blive redegjort

for, hvilken type varmeoverførsel vi i vores projekt beskæftiger os med. Vi fortsætter med

udledningen af varmediffusionsligningen, da denne beskriver netop vores eksperiments ty-

pe varmeoverførsel. Teorien bag kontakttemperaturen som man føler ved berøring af et

materiale, vil ogsa blive gennemgaet.

2.1 Termodynamikkens love

Inden der tages fat pa en gennemgang af varmediffusionsligningen, er det vigtigt at forsta,

hvordan varme opfører sig. Til at beskrive dette fænomen benyttes termodynamikkens 3

første hovedsætninger. Følgende afsnit er baseret pa [Both and Christiansen]

Termodynamikkens 0. hovedsætning

Denne hovedsætning beskriver den termiske ligevægt mellem materialer.

Hvis et legeme A er i termisk ligevægt med at andet legeme B, og hvis et legeme

C er i termisk ligevægt med legemet B, da vil A være i termisk ligevægt med

C.

Termisk ligevægt vil sige, at de to materialer ikke udveksler energi med hinanden.

3

4 KAPITEL 2. VARMEOVERFØRSEL & VARMEDIFFUSION


Denne hovedsætning beskriver ændringen af et materiales indre energi, hvilken afhænger

af den tilførte varme og det udførte arbejde.

dE = dQ+ dW (2.1)

hvor dE er en ændring i den indre energi, dQ er varmetilførslen og dW er det udførte ar-

bejde. Det skal ogsa nævnes, at denne hovedsætning definerer selve varmebegrebet saledes:

Varme defineres som den form for energi der overføres fra et system til et

andet, pa grund af temperaturforskellen mellem systemerne


Denne lov beskriver mængden af entropien i et system. Alle energiformer kan omdannes

fuldstændigt til varme, men det er ikke muligt at omdanne varme fuldstændigt tilbage til

den energiform den kom fra. Det er derfor umuligt at formindske entropien, eller sagt med

andre ord:

∆S ≥ 0 (2.2)

Hvor ∆S er en ændringen af systemets entropi.

2.2 Varmeoverførselsmekanismer

Der er tre forskellige mekanismer, der kan overføre varme; konvektion, straling og varme-

ledning.

Konvektion

Konvektion opstar nar der sker en strømning af et eller flere fluide stoffer. Da partiklerne

kan bevæge sig frit mellem hinanden, kan varmen udbrede sig langt hurtigere. F.eks. opstar

konvektion nar suppe varmes op i en gryde under omrøring.

Det antages, at bade tomaten og osten er faste stoffer sa de enkelte partikler er bundet i

et fast gitter, og dermed er uden mulighed for at danne konvektion.

Varmestraling

Varmestraling er betegnelsen for den energioverførsel der foregar, nar der sker en lys-

udveksling i forbindelse med varmeoverførslen. Alle legemer genererer elektromagnetiske

2.3. VARMEDIFFUSIONSLIGNINGEN 5

bølger pa grund af termiske molekylebevægelser, denne straling bliver dog først betydende

ved høje temperaturer (ca. 700 K).[Both and Christiansen]

I vores tilfælde opererer vi ved temperaturer mellem 0oC og 100oC, derfor har varme-

straling en meget lille indflydelse og denne antages at være uden betydning.

Varmeledning

Varmeledning er betegnelsen for den varmeoverførsel der foregar, nar atomare partikler

støder sammen, uden at der foregar en udveksling af stof. Det er saledes kun varme der

overføres. Dette er den relevante mekanisme i vores tilfælde, da det netop er denne, der

beskriver varmetransporten i et fast stof. Denne kan dog ikke besvare vores problemfor-

mulering, da denne kun beskriver det tidsuafhængige fænomen. Ved hjælp af varmeled-

ningsligningen kan vi finde varmediffusionsligningen, som beskriver varmediffusion som

funktion af tiden og positionen. Der er altsa en klar sammenhæng mellem varmeledning

og varmediffusion. Dette bliver yderligere uddybet i følgende afsnit.

2.3 Varmediffusionsligningen

I det følgende afsnit vil vi udlede varmediffusionen for en-dimensionelle legemer.

Afsnittet er skrevet udfra [redwoods.].

Udtryk 1

Eksperimenter har vist, at tilvæksten af varmen ∆Q i et volumen ∆V kan udtrykkes ved:

∆Q = cρT∆V (2.3)

Hvor c er den specifikke varmekapacitet, ρ er densiteten, T er temperaturen og ∆V er et

volumen. Nu betragtes en cylinder, som er perfekt isoleret langs dens længde; der kan altsa

kun udveksles varme gennem endefladerne. Cylinderen bestar af et homogent materiale.

Cylinderens længde kaldes L og et punkt x pa cylinderen vælges saledes at 0 ≤ x ≤ L. (Se

figur 2.1).

Den eneste parameter der afhænger af positionen og tiden, er temperaturen. Derfor kan

der skrives:

∆Q = cρT (x, t)∆V (2.4)

Tværsnitsarealet af cylinderen defineres som S. En ændring i positionen x fra x1 til x2

betragtes. Da vil ∆V = ∆xS (se figur 2.2).


Figur 2.1: Figuren viser cylinderen med længden L og et uafhængigt punkt x

Figur 2.2: Det skraverede omrade pa cylinderen repræsenterer volumenet ∆V

Derfor kan mængden af varmen i volumenet beskrives ved:

∆Q = cρT (x, t)∆xS (2.5)

For at finde mængden af varmen i volumenet ∆V i forhold til tiden t, tages intergralet af

S fra x1 til x2.

Q(t) =∫ x2

x1

cρT (x, t)Sdx (2.6)

Nu findes ændringen i energi i forhold til tiden, dette gøres ved at differentiere i forhold

til t pa begge sider:dQ

dt=∫ x2

x1

cρ∂T

∂tSdx (2.7)

Konstanterne sættes uden for intergralet, og der fas:

dQ

dt= cρS

∫ x2

x1

∂T

∂tdx (2.8)

Dette er den ene made at udtrykke ændringen i varme over tid.

Udtryk 2

Til den anden metode beskrives ændringen af temperaturen i et materiale vha. Fouriers

lov, som er skabt ud fra eksperimentielle erfaringer:

∆Q = −λ∂T∂x

(x, t)S (2.9)

2.3. VARMEDIFFUSIONSLIGNINGEN 7

Hvor ∆Q er ændringen i varme, λ er varmeledningsevnen, ∂T∂x er temperaturen diffentieret

i forhold til x, S er tværsnitsarealet, x er positionen og t er tiden.

Figur 2.3: Figuren viser retningen af varmen som strømmer gennem volumenet ∆V , hvor

x2 er varmere end x1

Ser vi pa 2.3, vil varmen der løber ind ved x2 være givet ved:

λ∂T

∂x(x2, t)S (2.10)

Samtidig vil varmen der løber ud ved x1 være givet ved:

−λ∂T∂x

(x1, t)S (2.11)

Pa grund af termodynamikkens 2. hovedsætning og cylinderens perfekte isolering, sammen

med 1. hovedsætnings definition af energibevarelse ved vi, at varmestrømmen i volumenet

∆V vil være lig med differencen af varmestrømmen gennem x1 og x2.

dQ

dt= λ

[∂T

∂x(x2, t)−

∂T

∂x(x1, t)

]S (2.12)

Ved at benytte intergralregningens fundementalsætning, kan denne omskrives til:

dQ

dt=∫ x2

x1

∂

∂x

(λ∂T

∂xS

)dx (2.13)

Da S og λ er konstanter, kan vi rykke disse udenfor:

dQ

dt= λS

∫ x2

x1

∂2T

∂x2dx (2.14)

Dette er den anden made at udtrykke ændringen i varme over tid pa.


Kombinationen af disse to udtryk

Vi har nu to udtryk der er givet ved:

dQ

dt= cρS

∫ x2

x1

∂T

∂tdx (2.15)

dQ

dt= λS

∫ x2

x1

∂2T

∂x2dx (2.16)

Disse to kan sammensættes og skrives som:

cρS

∫ x2

x1

∂T

∂tdx = λS

∫ x2

x1

∂2T

∂x2dx (2.17)

Det ses her, at S gar ud, og der divideres pa begge sider med cρ:∫ x2

x1

∂T

∂tdx =

λ

cρ

∫ x2

x1

∂2T

∂x2dx⇐⇒ (2.18)

∫ x2

x1

(∂T

∂t− λ

cρ

∂2T

∂x2

)dx = 0 (2.19)

Den eneste made dette udtryk kan give nul, uanset værdierne af x1 og x2, vil være idet,

funktionen i intergralet giver nul:

∂T

∂t− λ

cρ

∂2T

∂x2dx = 0 (2.20)

hvilket leder til den kendte varmediffusionsligning, hvor λcρ = D, der angiver ændringen i

temperaturen i et volumen:∂T

∂t−D∂

2T

∂x2= 0⇐⇒ (2.21)

∂T

∂t= D

∂2T

∂x2(2.22)

I tre dimentioner vil denne være givet ved:

∂T

∂t= DOT (2.23)

Denne er forarsaget af en mængde af varme, der flyder gennem et areal med en bestemt

tykkelse i løbet af en tid, som har en temperaturforskel mellem materialets overflade og

resten af materialet.

2.4. EFFUSIVITET 9

2.4 Effusivitet

I det forrige afsnit udledte vi varmediffusionsligningen, som skal bruges til at bestemme D.

Dette lægger nu op til muligheden for at kunne bestemme effusiviteten. Effusivitet siger

noget om, hvor stor admitansen (den reciprokke modstand) ved varmeoverførelse, fra et

legeme til et andet, bliver. Det vil i vores tilfælde f.eks. sige, at effusiviteten kan bruges

til at fortælle, hvad temperaturen mellem vores handflade og overfladen pa en tomat er.

Det er altsa effusiviteten, som giver os det endelige svar pa vores problemformulering.

Effusiviteten er givet ved:

ε =√λρc =

λ√D

= ρc√D (2.24)

hvor λ er varmeledningsevnen, ρ er densiteten, c er den specifikke varmekapacitet og D er

varmediffusionskonstanten. Effusiviteten er altsa proportional med, hvor meget varmee-

nergi der er pr. masse (c), hvor tæt pakket denne masse er (ρ) og kvadratet af, hvor hurtigt

temperaturen ændrer sig i volumenet (√D)

For at vise, hvordan effusiviteten spiller en rolle nar ens hand er i berøring med et andet

materiale, vil vi analysere et halv uendeligt materiale med starttemperatur T0, hvor over-

fladen bliver udsat for temperaturen T1

Vi starter med at se pa varmediffusionsligningen:

∂T

∂t= D

∂2T

∂x2(2.25)

For et halvuendeligt materiale har vi grænserne T (x = 0, t ≥ 0) = T1 og T (x > 0, t = 0) =

T0

Løsningen pa varmediffusionsligningen bliver da [Marin, 2006]:

T (x, t) = T1 + (T0 − T1)erfx

2√Dt (2.26)

Fouriers lov om varmeledning er:

Jq = −λ∂T (x, t)∂x

, (2.27)

hvor Jq er varmefluxen.

Indsætter vi løsningen pa varmediffusionsligningen i denne, far vi [Marin, 2006]:

Jq =λ(T1 − T0)√

πDtex2

4Dt (2.28)


Da det er en overfladetemperatur vi er interesserede i, indsættes x = 0:

jqλ(T1 − T0)√

πDt(2.29)

λ√D

=ε, sa vi kan skrive:

jq =ε(T1 − T0)√

πt(2.30)

Hvis man nu forstiller sig at sætte to halvuendelige materialer mod hinanden, ma var-

meledningen fra det ene materiale til det andet være lig hinanden. Samtidig vil de fa en

fælles kontakttemperatur pa deres overflade. Altsa den temperatur der vil være mellem

ens handflade og hvad man sætter den op imod. Denne sættes til TK og erstatter T0. Det

giver os altsa:ε1(T1 − TK)√

πt=ε1(T2 − TK)√

πt(2.31)

TK isoleres og giver ligningen:

TK =ε1T1 + ε2T2

ε1 + ε2(2.32)

hvor ε1 og T1 er hhv. effusiviteten og temperaturen af det ene legeme og ε2 og T2 er hhv.

effusiviteten og temperaturen af det andet legeme. Hvis ε1 = ε2, ligger TK midt mellem T1

og T2, men hvis ε1 > ε2 vil TK være tættere pa T1. Tilsvarende hvis ε1 < ε2, vil TK ligge

tættere pa T2.

Dette er grunden til, at to materialer med samme temperatur, men med forskellig effusi-

viteter, kan føles som om de har forskellige temperaturer.

Vi benytter eksemplet fra tidligere og udregner forskellen pa at sætte handen pa et stykke

træ og et stykke metal, der har den samme temperatur. I begge tilfælde repræsenterer vi

vores hand ved at sætte ε1 til at have værdien for menneskehud og T1 til 37oC (310K),

som er almindelig kropstemperatur. T2 bliver i begge tilfælde valgt til 25oC (298K). ε2

sættes til de respektive værdier for hhv. træ og metal (Se tabel 2.1).

1120Jm−2K−1s−1/2 · (37K + 273K) + 380Jm−2K−1s−1/2 · (25K + 273K)1120Jm−2K−1s−1/2 + 380Jm−2K−1s−1/2

= 307K = 34oC

(2.33)

Nu udregnes kontakttemperaturen for et metal; vi kan se at ε ligger omkring 15.000Jm−2K−1s−1/2

for metallerne:

2.4. EFFUSIVITET 11

Tabel 2.1: Egenskaber for forskellige homogene materialer ved stuetemperatur[Salazar,

2003]

Materiale K(Wm1K−1

)D(106m2s−1

)ε(Jm−2K−1s−1/2

)ρc(10−6Jm−3K−1

)Diamant 2300 1290 64040 1.78

Cu 400 116 37140 3.45

K 102 158 8150 0.65

Co 100 24.6 20150 4.05

Ni 91 23 19400 3.95

Pb 35 23 7300 1.52

Glas 1.11 0.56 1480 1.98

PVC 0.20 0.15 515 1.33

Hardt træ 0.16 1.77 380 0.09

Menneskehud 0.37 0.109 1120 3.39

1120Jm−2K−1s−1/2 · (37K + 273K) + 15000Jm−2K−1s−1/2 · (25K + 273K)1120Jm−2K−1s−1/2 + 15000Jm−2K−1s−1/2

= 299K = 26oC

(2.34)

Vi kan altsa se, at metal ved berøring vil føles som om det er 8oC koldere end træ, selvom

begge materialer har en temperatur pa 25oC.

Kapitel 3

Model

Vi har lavet følgende antagelser: Legemet der undersøges er kugleformet og homogent.

Temperaturen T1 omkring legemet er konstant under hele forsøget, og legemet har en uni-

form temperatur T0 ved starten af forsøget. Disse antagelser er valgt, fordi det muliggør

et forholdsvist simpelt eksperiment.

Vi har antaget, at varmediffusion alene beskriver den varmetransport der sker i en tomat og

ost. Derfor findes en løsning for varmediffusionsligningen med ovenstaende randbetingelser.

Saledes vil vi være i stand til at teste, om modellen stemmer overens med virkeligheden.

Derudover antages der, at det er to halvuendenlige materialer der er i berøring med hin-

anden, idet kontakttemperaturen findes.

Sidst antages det, at varmekapaciteten er konstant under temperaturforandringer.

3.1 Den sfæriske tomat

Følgende afsnit er udarbejdet efter [Blundell and Blundell, 2006], og tager udgangspunkt

i en tomat, som ligesa godt kunne have været erstattet af en ost

En tomat placeres i et termokar. Tomaten har en starttemperatur pa T0 og vandet omkring

tomaten antages at have temperaturen T1. Disse antagelser leder til følgende grænsevær-

dier:

T (a, t) = T1 ∧ T (r, 0) = T0 (3.1)

Der stræbes efter en løsning med disse grænseværdier, som beskriver varmediffusionen

gennem tomaten som funktion af tid (t) og afstand fra centrum (r). Vi starter med at lave

et matematisk trick:

T (r, t) = T ⇐⇒ T (r, t) = T + T1 − T1 (3.2)

13

14 KAPITEL 3. MODEL

Figur 3.1: Modellen viser vores randbetingelser.

T (r, t) = T1 + (T − T1)⇐⇒ T (r, t) = T1 +r (T − T1)

r(3.3)

Vi definerer nu B = r (T − T1), og derfor kan man lave følgende omskrivning:

T (r, t) = T1 +B (r, t)r

(3.4)

Denne differentieres i forhold til r og t, først udføres differentationen i forhold til t:

∂T

∂t=

1r

∂B

∂t(3.5)

Og sa r:

∂T

∂r= −B

r2+

1r

∂B

∂r(3.6)

Vi ganger igennem med r2:

r2∂T

∂r= −B + r

∂B

∂r(3.7)

Der differentieres i forhold til r:

3.1. DEN SFÆRISKE TOMAT 15

∂

∂r

[r2∂T

∂r

]= −∂B

∂r+ r

∂2B

∂r2+ 1

∂B

∂r⇐⇒ (3.8)

∂

∂r

[r2∂T

∂r

]= r

∂2B

∂r2(3.9)

Denne ligning vil blive brugt senere til at lave en smart omskrivning. Først skal vi se pa

O2T for sfæriske, polære koordinater.

3.1.1 Sfæriske polærkoordinater

Under antagelse af, at tomaten er en perfekt kugle, vil det være meget anvendeligt at

ændre koordinatsystemet til et sfærisk, polært koordinatsystem. Den dobbelte gradient til

T er givet ved følgende:

O2T =1r2

∂

∂r

(r2∂T

∂r

)+(

1r2 sin θ

)∂

∂θ

(sin θ

∂T

∂θ

)+

1r2

sin θ∂2T

∂φ2(3.10)

Det smarte ved at ændre koordinatsystemet er nu, at T hverken afhænger af θ eller φ

da det er en perfekt symmetrisk kugle, sa de to sidste led i ligning 3.10 forsvinder. Den

dobbelte gradient til T kan skrives som:

O2T =1r2

∂

∂r

(r2∂T

∂r

)(3.11)

16 KAPITEL 3. MODEL

Ved at udnytte ligning 2.22 fra 2.3, kan denne omskrives til:

∂T

∂t= D

1r2

∂

∂r

(r2∂T

∂r

)⇐⇒ (3.12)

∂T

∂t

1Dr2 =

∂

∂r

(r2∂T

∂r

)(3.13)

Denne kan nu indsættes i ligning 3.5.

∂

∂r

[r2∂T

∂r

]= r

∂2B

∂r2⇐⇒ ∂T

∂t

1Dr2 = r

∂2B

∂r2(3.14)

Nu kan ligning 3.9 indsættes sa man kommer frem til det pæne svar:

1r

∂B

∂t

1Dr2 = r

∂2B

∂r2⇐⇒ (3.15)

∂B

∂t= D

∂2B

∂r2(3.16)

Hvor D er varmediffusionskonstanten. Da problemet er blevet skrevet om i et nyt koordi-

natsystem, vil der ogsa opsta nye grænser. Disse grænser kommer udfra vores definition

B = r(T − T1)

1) r = 0→ B(0, t) = 0

2) a = r → T = T1 og B(a, t) = 0, hvor a er radius af legemet.

3) t = 0→ T = T0 og B(r, 0) = r(T0 − T1)

Nar tiden er 0, er der endnu ikke sket nogen ændring, og dermed er temperaturen i legemet

den samme som starttemperaturen.

Løsning

Vi tager udgangspunkt i ligning 3.16. Vi antager, at vores løsning kan skrives op som

to funktioner, hvor den ene kun afhænger af r og den anden kun af t. Dvs: B (r, t) =

R (r)T (t) . Dette sætter vi ind i ligning 3.16

∂T (t) ·R (r)∂t

= D∂2R (r) · T (t)

∂r2(3.17)


Vi dividerer igennem med R (r) · T (t) og med D, og far:

R′′

R=

T ′

DT= −γ2 (3.18)

Her har vi skiftet notationsform fradf (t)dt

til f ′ for overskuelighedens skyld.

Da venstre side kun er afhængig af R og højre side kun er afhængig af T, er de to sider

uafhængige af hinanden og lig en konstant. Denne konstant kalder vi: −γ2

Gør vi dette far vi de to ligninger:

R′′ = −Rγ2 ⇐⇒ R′′ +Rγ2 = 0 (3.19)

T ′ = −DTγ2 ⇐⇒ T ′ +DTγ2 = 0 (3.20)

Ligning 3.19 er en 2. ordens differentialligning og har løsningen (Se appendix):

R(r) = A cos(γr) +B sin (γr) (3.21)

Ligning 3.20 er en 1. orden differentialligning og har løsningen (Se appendix):

T (t) = Ce(−Dγ2t) (3.22)

Det giver os ligningen:

B (r, t) = R (r)T (t) = (A cos (γr) +B sin (γr))Ce(−Dγ2t) (3.23)

Dette er løsningen pa ligning 3.16, vi skal nu bruge vores randbetingelser pa denne.

Randbetingelse 1

Randbetingelse 1 siger at r = 0→ B(0, t) = 0

Indsætter vi dette far vi:

B (0, t) = (A cos (γ0) +B sin (γ0))Ce(−γ2Dt) = 0 (3.24)

B (0, t) = (A cos (γ0) + 0)Ce(−γ2Dt) = 0 (3.25)

Det ses, at hvis udtrykket skal give 0, er A nødt til at være 0. Det giver os udtrykket:

B (r, t) = An sin (γr) e(−γ2Dt) (3.26)

Hvor An = BC

18 KAPITEL 3. MODEL

Randbetingelse 2

Randbetingelse 2 siger, at a = r → T = T1 og B (a, t) = 0. Hvis det skal kunne lade sig

gøre, skal sin (γa) = 0. Dermed skal γ = nπa , hvor n er et helt tal. Vi far:

B (r, t) = An sin(nπar)e

“−(nπa )2

Dt”

(3.27)

Den generelle løsning fas ved at summere over alle n og kan skrives:

B (r, t) =∞∑n=0

An sin(nπar)e

“−(nπa )2

Dt”

(3.28)

Randbetingelse 3

Randbetingelse 3 siger, at nar t = 0, er T = T0 og B (r, 0) = r (T0 − T1).

t = 0 indsættes:

B (r, t) = r (T0 − T1) =∞∑n=1

An sin(nπar)

(3.29)

Dette er en fourierrække og An kan udregnes ved hjælp af standardformlen for en fourier-

konstant:

br =2L

∫ x0+L

x0

f (x) sin(πrxL

)dx (3.30)

Her er br = An, L = a, f (x) = r (T0 − T1) , r = n, x = r og x0 = 0.

Det giver os:

An =2a

∫ a

0r (T0 − T1) sin

(πnra

)dr (3.31)

An =2a

(T0 − T1)∫ a

0r sin

(πnra

)dr (3.32)

=2a

(T0 − T1)[a2

n2π2sin(πnra

)− ar

nπcos(πnra

)]a0

(3.33)

=2a

(T0 − T1)(− a

2

nπcos (πn)

)=

2a

(T1 − T0) (−1)na2

nπ(3.34)

An = (T1 − T0) (−1)n2anπ

(3.35)

Vi har nu et udtryk for An som opfylder vores tredje og sidste randbetingelse. Vi kan nu

opstille det endelige udtryk for B (r, t):

B (r, t) = r (T − T1) = (T1 − T0)2aπ

∞∑n=1

(−1)n

nsin(nπra

)e

“−(nπa )2

Dt”

(3.36)

Da vi ønsker en ligning for temperaturen, isolerer vi T og opstiller det endelige udtryk:

T = T1 + (T1 − T0)2aπ

∞∑n=1

(−1)n

n

sin(nπra

)r

e

“−(nπa )2

Dt”

(3.37)


Ligning 3.37 giver os mulighed for at udregne temperaturen i et kugleformet legeme, ved

en bestemt afstand fra centrum, for r 0 til et bestemt tidspunkt. Se figur 3.2 for et plot af

denne funktion med 3 forskellige værdier for r sadan, at det danner et billede af, hvordan

vores forsøgsresultater forhabentligt vil se ud.

Figur 3.2: Figuren viser et plot af T = T1 + (T1 − T0) 2aπ

∑∞n=1

(−1)n

n

sin(nπra )r e

“−(nπa )2

Dt”

hvor a = 4, T1 = 37C0, T0 = 27C0 og D = 0.000019. r er valgt til 1, 2 og 3.

For r = 0 har vi særtilfældet, hvor vi vil dividere med 0, hvis vi bruger ligning 3.37. For

at undga dette, findes grænsen nar r→0. Dette kan vi gøre ved at finde grænsen for det

led som indeholder r:sin(nπra

)r

(3.38)

Vi benytter her L’Hopital’s grænseregel (se appendix 2) til at fa:

limr→0

sin(nπra

)r

= limr→0

nπ

a

cos(nπra

)1

=nπ

a(3.39)

Indsættes denne grænse, kommer vi frem til:

T = T1 + (T1 − T0)2aπ

∞∑n=1

(−1)n

n

nπ

ae

“−(nπa )2

Dt”⇐⇒ (3.40)

20 KAPITEL 3. MODEL

T = T1 + (T1 − T0) 2∞∑n=1

(−1)n e“−(nπa )2

Dt”

(3.41)

Ligning 3.41 giver os mulighed for at udregne temperaturen i centrum af et kugleformet

legeme til en given tid.

Ligning 3.37 og 3.41 kan bruges til at fitte vores eksperimentelle data udfra. Dette gi-

ver os en mulighed for at fastsla en værdi af varmediffusionskonstanten D for forskellige

kugleformede materialer.

Kapitel 4

Den eksperimentelle del

Dette kapitel omhandler vores forsøg. De forskellige komponenter af forsøget vil blive

beskrevet individuelt og et overordnet billede af forsøget vil blive dannet.

4.1 Forsøgsopstilling

For at udføre vores forsøg har vi gjort brug af følgende komponenter:

• 2 Termokar. (figur 4.2)

• Stativ. (figur 4.3)

• 4 Elektroniske termometre. (figur 4.5)

• Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit. (figur 4.6)

• Computer med Agilent BenchLink Data Logger. (figur 4.7)

• Tomat.

• Flødehavarti.

• Mellemlagret ost.

• Demineraliseret vand.

Osten/tomaten er placeret i stativet. Stativet stilles i termokarret, i kassen der sidder

fast til en bevægende arm se figur 4.1. I tomaten/osten er der sat termometre i bestemte

intervaller fra centrum og ud mod kanten af osten/tomaten. Disse termometre er forbundet

til Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit’en, der er forbundet til computeren. Pa

computeren køres programmet Agilent BenchLink Data Logger.

21

22 KAPITEL 4. DEN EKSPERIMENTELLE DEL

Figur 4.1: Forsøgsopstilling. Figuren viser en skitse af vores eksperimentet.

Termokar

Der er brugt to termokar til at udføre forsøget. Det ene blev sat til starttemperaturen T0

og det andet til sluttemperaturen T1. Termokarrene blev benyttet for at holde vandets

temperatur konstant over tid. I bunden af termokarret er der placeret et varmelegeme.

Udfra den indre side af termokaret stikker en arm ud, denne kan bevæge sig frem og

tilbage med en ønsket frekvens. Pa denne arm er der monteret en mindre kasse. Denne

kasse har store runde huller i bunden, sa vandet har let ved at strømme gennem kassen. I

hver af de korte sider af kassen stikker der sma flader ud, sadan at vandet bliver holdt i

bevægelse, nar armen bevæger sig. Se figur 4.2. Denne bevægelse gør, at vi kan antage at

temperaturen i termokarret er konstant.

Figur 4.2: Termokar. Billedet viser termokarrene der er blevet benyttet til eksperimentet.

Stativ

Stativet bruges til at holde tomaten/osten fast under forsøget. Stativet bestar af plexiglas,

plast og metal. Basen af stativet er lavet af plexiglas (se figur 4.3). Der er runde huller i den

4.1. FORSØGSOPSTILLING 23

for, at vandet kan flyde frit rundt om tomaten/osten. Derudover er der en udhulning i den

sa tomaten/osten holdes bedre fast. Pa basen er der placeret to søjler af metal, som bærer

en stang over basen. Fra denne stang nedsænkes en holder som spænder tomaten/osten

fast.

Figur 4.3: Stativet. Billedet viser stativet der bliver brugt til at holde tomaten/osten fast

under vandet.

Elektroniske termometre

I forsøget bruges der fire elektriske termometre til at male temperaturen ind gennem to-

maten/osten.

Termometeropbygning: Termometrene er opbygget af termoelementer. Termoelementer

bestar af to metaller, som er loddet sat sammen i to punkter. Se figur 4.4. Vores termoe-

lement er af typen k, opbygget af Nickel belagt med henholdsvis Chrom og Aluminium,

og kan male fra omkring -200C til 1250C, med en absolut præcision pa 1-1,5oC. Nar man

sætter de to punkter til forskellige temperaturer, vil der bliver skabt en spænding mellem

dem. Denne spænding ændrer sig proportionalt med temperaturforskellen pa de to punk-

ter. Temperaturen i et punkt kan altsa let beregnes ved at sætte det andet punkt til en

kendt temperatur, og sa male spændingen mellem de to punkter.

I vores system bliver det kendte punkt styret af computerprogrammet Agilent BenchLink

Data Logger. Her kan vi ved hjælp af programmet kunstigt ændre temperaturen af punk-

tet. Pa den made er det muligt at give samme referencepunkt til alle fire termometre vi

benytter.


Figur 4.4: Figuren viser opbygningen af termometeret

Figur 4.5: Termometre. Billedet viser termometrene brugt til at udføre forsøget.

Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit

Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit styrer termometrene (se figur 4.6). Den

er forbundet til computeren sadan, at den kan styres ved hjælp af programmet Agilent

BenchLink Data Logger.

Figur 4.6: Agilent 34970A Data Acquisition/switch unit

Agilent BenchLink Data Logger

Computerprogrammet vi har brugt til at styre vores forsøg hedder Agilent BenchLink Data

Logger. Programmet gør det muligt at styre hastigheden hvormed termometrene maler.

Derudover viser programmet termperaturen malt af hvert af de enkelte termometre, samt

plotter malingerne som en funktion af tid og temperatur (se figur 4.7 for at se programmets

interface).

4.1. FORSØGSOPSTILLING 25

Figur 4.7: Agilent BenchLink Data Logger. Billedet viser programmets interface.

Tomaten

Tomaterne brugt i forsøget er tomater af almindelig standard fra supermarkedet. Vi har

dog prøvet at udvælge de tomater, som havde den mest kuglerunde form.

Osten

Vi har udført forsøget med to forskellige oste, en Havarti og en Klovborg.

Havarti er en mild flødehavarti 60+ (38 % fedt) fra Mejlyst. Ekstra fuldfed, modnet og

uden skorpe. Ingredienser: 98% mælk, salt mælkesyrekultur og osteløbe. Saltindhold: 1,7

gr. pr. 100 gr.

Den anden ost der blev brugt, er en klovborg mellemlageret 45+ (25% fedt) fra arla.

Ingredienser: Mælk, salt, mælkesyrekultur og osteløbe. Saltindhold 2 gr. pr. 100 gr. For

at fa flødehavartien til at blive kuglerund, varmede vi den først i hænderne, hvorefter den

blev sa blød, at man med lidt masen med fingrene kunne forme den til en kugle. Klovborg

mellemlagret var dog ikke ligesa medgørelig. Grundet det lavere fedtindhold var den mere

fast, og skulle derfor snittes til den kuglerunde form.


Figur 4.8: Ostene. Billedet viser de oste der blev brugt til at udføre forsøget.

Demineraliseret vand

I forsøget bruges der demineraliseret vand i termokarret for at undga rustning af termokar-

ret.

4.2. RESULTATER & DATABEHANDLING 27

4.2 Resultater & databehandling

De forskellige malinger der blev foretaget ved hvert enkelt forsøg er blevet plottet og ved

hjælp af mindste kvadraters metode, blev der fittet en værdi af D. Matlab koden er at

finde i appendix.

4.2.1 Mellemlagret ost

0 500 1000 1500 2000 2500 300015

20

25

30

35

40mellem1

time [s]

tem

pera

ture

[C]

Figur 4.9: Kurven viser de fire termometres maledata. De røde linjer viser de udregnede

kurver, som er fundne med den fittede gennemsnitsværdi for D = 8.62 · 10−8m2s−1.

Konstanterne er malt og sat til: T0 = 18oC, T1 = 37oC og a = 0.025m.

Malingerne blev foretaget for: r1 = 0m, r2 = 0.005m, r3 = 0.01m og r4 = 0.015m.

Tabel 4.1: r og D for alle fire termometre.

r[m] D[10−8m2s1]

0 8.21

0.005 8.27

0.010 7.7

0.015 10.3


Gennemsnitsværdien af D findes til (8.62 ± 0.1) · 10−8m2s−1. Se appendix for udregning

af variansen.

4.2.2 Havarti ost

0 2000 4000 6000 8000 100005

10

15

20

25

30

35

40Havarti1

time [s]

tem

pera

ture

[C]


kurver fundne med den fittede gennemsnitsværdi af D = 7.1 · 10−8m2s−1.

Konstanterne er malt og sat til: T0 = 8.2oC, T1 = 37oC og a = 0.04m.

Malingerne er foretaget i: r1 = 0m, r2 = 0.01m, r3 = 0.02m og r4 = 0.03m.


r[m] D[10−8m2s1]

0 7

0.01 7.6

0.02 7.2

0.03 6.5

Gennemsnitsværdien af D findes til (7.1± 0.0645) · 10−8m2s−1. Se appendix for udregning

af variansen.

4.2. RESULTATER & DATABEHANDLING 29

4.2.3 Tomat 1

0 500 1000 1500 2000 2500 300020

25

30

35

40Tomat1

time [s]

tem

pera

ture

[C]



Konstanterne er malt og sat til: T0 = 25oC, T1 = 37oC og a = 0.036m.



r[m] D[10−7m2s1]

0 1.61

0.007 1.61

0.014 1.68

0.021 1.58

Gennemsnitsværdien af D findes til (1.62±0.0262) ·10−7m2s−1. Se appendix for udregning

af variansen.


4.2.4 Tomat 2

0 500 1000 1500 2000 2500 30005

10

15

20

25

30

35

40Tomat2

time [s]

tem

pera

ture

[C]



Konstanterne er malt og sat til: T0 = 9.5oC, T1 = 37oC og a = 0.036m.


Tabel 4.4: D for alle fire termometrer[m] D[10−7m2s1]

0 1.52

0.01 1.62

0.02 1.56

0.027 1.63

Gennemsnitsværdien af D findes til (1.58±0.0329) ·10−7m2s−1 Se appendix for udregning

af variansen.

4.3. EFFUSIVITETSBEREGNING 31

4.3 Effusivitetsberegning

Vi vil benytte vores fundne D-værdier til at udregne en teoretisk effusivitet for tomat og

ost, hvilken kan give svaret pa, hvad der føles varmest ved berøring.

Af de to tomatforsøg far vi en gennemsnitsværdi af D pa 1.6 · 10−7m2s−1.

Mellemlagret ost: D = 8.62 · 10−8m2s−1

Havarti ost D = 7.1 · 10−8m2s−1.

Vi benytter formlen:

Tk =ε1T1 + ε2T2

ε1 + ε2(4.1)

Da det ikke lykkedes os at finde ρc eksperimentielt, vil vi beregne effusiviteten ved hjælp

af værdier vi har fundet i litteraturen.

ctomat = 3980J

kg ·K, ρtomat = 960

kg

m3, cost = 3250

J

Kg ·Kog ρost = 1030

kg

m3

Disse værdier er tager fra følgende hjemmesider:

http : //www.engineeringtoolbox.com/specific− heat− capacity − food− d295.html

http : //www.person.sdu.dk/kvc/2007fall/V armetransmission/opgavetekst/Opgavetekst2007.pdf

http : //www.springerlink.com/content/6479372833621247/fulltext.pdf

http : //da.wikipedia.org/wiki/Massefylde

Vi sætter ε1 = 1120J ·m−2K−1s−1/2, som er værdien for menneskehud T1 = 310K. Pizza-

ens temperatur sætter vi til T2 = 353K og ε beregnes for osten og tomaten.

Først udregnes ε for tomaten:

εtomat = 3980J

Kg ·K· 960

kg

m3·√

1.6 · 10−7m2s−1 = 1528.3J ·m−2K−1s−1/2 (4.2)

ε for Havartiosten:

εHavarti = 3250J

Kg ·K· 1030

kg

m3·√

7.1 · 10−8m2s−1 = 892J ·m−2K−1s−1/2 (4.3)

ε for den mellemlagrede ost:

εmellem = 3250J

Kg ·K· 1030

kg

m3·√

8.62 · 10−8m2s−1 = 983J ·m−2K−1s−1/2 (4.4)

Vi udregner nu kontakttemperaturen mellem hud og tomat:

TK =1120 · 310 + 1528.3 · 353

1120 + 1528.3K = 334K = 61oC (4.5)


Vi udregner nu kontakttemperaturen mellem hud og Havartiosten:

TK =1120 · 310 + 892 · 353

1120 + 892K = 329K = 56oC (4.6)

Vi udregner nu kontakttemperaturen mellem hud og den mellemlagrede ost:

TK =1120 · 310 + 983 · 353

1120 + 983K = 330K = 57oC (4.7)

Ved 800C vil tomaten føles som om den er 40C varmere end den mellemlagrede ost og 50C

varmere end Flødehavartien.

4.4 Fejlkilder

Usikkerhed i male-radius

Der vil være en maleusikkerhed idet radius af tomaten/osten males og ogsa en usikkerhed

idet, der males med hvilken afstand termometeret nedsættes. For at fa omrørt vandet var

tomaten placeret i en rystekasse, hvilket gjorde at termometerne bevægede sig lidt. Da

tomaten er rund vil termometerne sidde bedre fast jo tættere de sidder pa centrum, sa

de yderste termometre kan risikere at rive sig løs. Altsa vil termometerne ikke male tem-

peraturen i den afstand fra centrum, som er noteret, og usikkerheden vil blive større som

radius bliver større. Et eksempel pa, at termometrene har revet sig løs, ses pa4.13.

I dette forsøg revnede skallen pa tomaten og termometerne rev sig løst og bevægede sig

frem og tilbage. Dette betød at temperaturerne svang meget mere i malingerne og samtidig

steg meget hurtigere for nogle af termometrene.

Usikkerhed i geometri

I modellen antages det, at bade tomaten og osten er kuglerunde. Dette er tydeligvis ikke

i virkeligheden, og dette kan føre til en ikke-uniform opvarmning af tomaten og osten.

Usikkerhed i materialet

Vi antager, at tomaten er homogen. Dette er ikke helt sandt, da tomaten er delt op i

kamre med kerner og saft, og disse kamre er adskildt med vægge af frugtkød. Dette kan

gøre opvarmningen ikke-uniform. Hvis to termometre er blevet stukket ned pa hver sin

side af en sadan væg kan det medføre, at varmen er længere tid om at komme ind til det

ene termometer end det andet. Osten vil heller ikke være helt homogen.

4.4. FEJLKILDER 33

Figur 4.13: Kurven viser forsøgsresultater fra et forsøg, hvor termometrene har revet sig

løs.

Varians

Vi finder i vores forsøgsresultater meget sma varianser. Det betyder, at vores fejlkilder

har haft en lille betydning for vores resultater og at resultaterne kan bruges til videre

beregning.

Kapitel 5

Diskussion

Vi har gennem dette projekt fundet ud af, at varmeledning er det fænomen, som i vores til-

fælde hovedsageligt beskriver varmetransporten, mens konvektionens og varmestralingens

indflydelse har vist sig at være ubetydelig. Vha. varmeledningsligningen og termodynamik-

kens love har vi opstillet varmediffusionsligningen, som beskriver varmestrømmen gennem

et materiale i forhold til tid og sted. Effusiviteten viste sig at være den faktor, der giver

det endelige svar pa den opstillede problemformulering. Effusiviteten fortæller, hvor varme

forskellige materialer føles ved berøring og er afhængig af varmediffusionskonstanten D,

den specifikke varmekapacitet c, og densiteten ρ. Kun D blev bestemt udfra vores ekspe-

riment; c ρ er tabelværdier.

Vi har udregnet en effusivitet ε (med enheden J ·m−2K−1s−1/2) for tomat og ost, og faet

resultaterne 1528.3 for tomat, 983 for mellemlagret og 892 for flødehavartien. Ved udreg-

ning har det vist sig, at tomaten føles 5oC varmere end havartiosten, og 4oC varmere end

den mellemlagrede ost. Dette svarer pa vores problemformulering;

Man brænder sig mere pa tomaten end pa osten, fordi dens effusivitet er større

end ostens.

Vi har gjort den antagelse, at effusiviten er konstant, dog varierer denne med temperaturen

da bade ρ og varmekapaciteten er temperaturafhængige. Vi har udregnet vores effusivitet

ved 80oC, hvor de reelle værdier for ρ og c er gældende ved lavere temperaturer (15oC).

Dette har vi dog ikke taget højde for i vores resultater.

Desuden har vi ved vores forsøg malt D ved 8-37oC, og bade osten og tomaten har haft

en fast struktur under malingerne.

Ved 80oC vil osten være smeltet, og dermed ga fra fast form til flydende. Tomatens struk-

35

36 KAPITEL 5. DISKUSSION

tur vil ogsa ændre sig. Det kan altsa være, at D ville have ændret sig, hvis vi havde malt

ved højere temperaturer.

Vores problem var bare dels, at termokarrene ikke kunne indstilles til den temperatur og

dels, at vores legemer ikke ville holde samme struktur, og de derfor ikke længere ville være

kuglerunde nar de smeltede/fordampede. Pa den anden side var vi nødt til at udregne

kontakttemperaturen ved 80oC og ikke 37oC, da det er en mere realistisk temperatur for

pizzaen, nar den tages ud af ovnen, og da 37oC er vores referencepunkt i forhold til krop-

pens temperatur, og vi derfor ville have faet samme resultat af TK for alle tre legemer,

nemlig 37oC.

Vi er altsa klar over, at bade D, ρ og c kan have haft en anden værdi ved højere tempe-

raturer, som vi ikke har været i stand til at inddrage i vores beregninger.

Vi opstillede en model, som vi ville teste eksperimentielt. Vi omskrev varmediffusionslig-

ningen til sfærisk geometri og løste den med kendte randbetingelser, sa den underbyggede

vores model.

Vores forsøg gav nogle gode, brugbare data, som vi kunne bearbejde ved hjælp af mat-

lab og løsningen for varmediffusionsligningen, og danne et fit af varmediffusionskonstanten

med.

Vi fandt resultater for D, som kun har haft sma afvigelser af værdien ved hvert ter-

mometer, sa forsøgene har altsa været vellykkede, og vores model har fungeret.

Man kan undre sig over, at effusiviteten/diffusiviteten er forskellig i de to oste (flødehavartien

føles 0,5oC koldere end den mellemlagrede ost). Havartien indeholder mere fedt end den

mellemlagrede ost, og føles mere fugtig end den mellemlagrede ost. Forklaringen kan være,

at den mellemlagrede ost indeholder mere vand end havartien, hvis man sammenholder

fedtindhold i den oprindelige ost med fedtindhold i tørstoffet. Vandindholdet i den mel-

lemlagrede ost er altsa grunden til at flødehavartien føles koldere end den mellemlagrede

ost.

Kapitel 6

Konklusion

Arsagen til, at to materialer med samme temperatur føles som om de har forskellige

temperaturer er, at der opstar forskellige kontakttemperaturer mellem forskellige materi-

aler. Kontakttemperaturen bestemmes af effusiviteten, som er givet ved ε = cρ√D hvor

D = λcρ , λ er varmeledningsevnen, c er varmekapaciteten og ρ er densiteten. Varmedif-

fusionskonstanten blev bestemt eksperimentielt, mens der blev fundet data i litteraturen

for varmekapaciteten og densiteten af ostene og tomaten. Kontakttemperaturen mellem

to materialer vil nærme sig temperaturen af det materiale der har den højeste effusivitet.

Vores beregninger af effusiviteten viste, at tomaten havde den højeste effusivitetskonstant,

og resultaterne viste, at tomaten føltes 4◦C varmere end den mellemlagrede ost og 5◦C

varmere end flødehavartien ved 80◦C. Grundet den højere effusivitet, brænder man sig

altsa mere pa tomaten end man vil gøre pa osten.

37

38 KAPITEL 6. KONKLUSION

Kapitel 7

Perspektivering

Perspektiveringen er delt op i tre dele: Hvad vi kunne gøre hvis vi havde mere tid, hvad

vi kunne have gjort anderledes fra starten og hvad der vil være interessant for videre un-

dersøgelse.

Hvis vi havde mere tid.

Man kunne have valgt at bestemme densiteten og varmekapacatiten for tomaten og osten

med to forholdsvist simple forsøg. Dette ville maske gøre den udregnede effusivitet mere

realistisk.

Derudover kunne ekstra osteforsøg laves med samme ost for at bekræfte resultaterne fra

det første forsøg, ligesom det er gjort med tomaten. Evt. med forskellige radier og andre

start- og sluttemperaturer.

Hvad kunne man have gjort anderledes fra starten?

Man kunne have valgt at designe eksperimentet anderledes ved at styre varmestrømmen i

stedet for temperaturen. Havde man gjort dette, ville man kunne fa varmeledningsevnen

ud af eksperimentet sammen med varmediffusionskonstanten og det ville være muligt at

udregne effusiviteten derfra. Pa denne made ville det ikke være nødvendigt at kende hver-

ken densiteten eller varmekapaciteten for tomaten og osten.

Det kunne f.eks. tænkes løst ved at placere en modstand i midten af tomaten eller osten

og sa sende en strøm igennem, sa man fandt en effekt. Dette ville muliggøre at fa alle de

ønskede oplysninger i et enkelt forsøg.

39

40 KAPITEL 7. PERSPEKTIVERING

Hvad kan undersøges nu?

Det ville være interessant at udføre lignende forsøg ved højere temperaturer. Dette ville

give svar pa, hvorvidt det er okay at antage, at effusiviteten er uændret i temperatursprin-

get fra 40◦C som vores forsøg er udført ved, til de 80◦C, som vi antager pizzaen er i vores

effusivitetsberegninger.

Vi har mistanke om, at ostens effusivitet ændrer sig nar osten bliver flydende, ligesom den

er pa pizzaen. Dette kan man fa svar pa ved at lave forsøg ved temperaturer, hvor osten

vil være flydende.

Det vil ligeledes være interessant at lave lignende forsøg med en tomat der er skaret i

skiver, som den er pa en pizza. Dette ville give indsigt i, hvor stor en betydning tomatens

skal har for effusiviteten.

Vores forsøg blev udført med en Havarti og en mellemlagret ost fra Klovborg. Dette er

ikke standardost til pizza. Man kunne udføre forsøg med ost fra et pizzeria for at komme

tættere pa det virkelige fænomen. Da der er forskel pa effusiviteten for Havarti og den

mellemlagrede ost, kan der ogsa være det for osten pa et pizzeria.

Kapitel 8

Appendix

8.0.1 Differentialligning af 1. orden

En homogen første ordens differentialligning kan skrives pa formen:

dy (t)dt− ky (t) = 0 (8.1)

Hvor k er en konstant. Dvs.dy (t)dt

= ky (t) (8.2)

Dividere vi igennem med y (t) og integere pa begge sider far vi:

∫ dy(t)dt

y (t)=∫ky (t)y (t)

(8.3)

Laver vi en substitution med y = y (t) pa venstre siden far vi at

dy =dy (t)dt

dt (8.4)

Det giver os: ∫1ydy =

∫kdt (8.5)

Vi integrere og far:

ln |y|+ c1 = kt+ c2 (8.6)

ln |y| = kt+ c2 − c1 = kt+ c (8.7)

Tager vi eksponentialfunktionen pa begge sider fas:

y = ekt+c = ektec (8.8)

41

42 KAPITEL 8. APPENDIX

Da c er konstant kan vi sætte ec = C, hvor C bliver en ny konstant. Hvis vi samtidig

substituere tilbage med y = y (t) far vi det endelige svar:

y = Cekt (8.9)

I vores tilfælde har vi:

T ′ +DTγ2 = 0 (8.10)

Her kan man uden at regne se at svaret er:

T (t) = Ce−Dγ2t (8.11)

8.0.2 Differentialligning af 2. orden

En homogen 2 ordens differentialligning skrives pa formen:

ad2y (t)dt2

+ bdy (t)dt

+ cy (t) = 0 (8.12)

Den løses ved at omskrive ligningen til det man kalder den karakteristiske ligning: ar2 +

br + c Rødderne bruges til at finde en løsning til differentialligningen og findes som i en

almindelig anden gradsligning:

r1 = −b+√b2−4ac

2a og r2 = −b−√b2−4ac

2a Vi kan her fa tre forskellige tilfælde alt efter hvilke

rødder vi far:

1 To forskellige reelle rødder giver os løsningen: y (t) = Aer1t +Ber2t

2 En dobbelt rod giver os løsningen: y (t) = Aert +Btert

3 Hvis vi far komplekse rødder bliver de to rødder hinandens konjugerede dvs: r1 =

u+ iv og r2 = u− iv.

Da bliver løsningen: y (t) = Aeut cos (vt) +Beut sin (vt)

I vores tilfælde har vi ligningen:

R′′ +Rγ2 = 0 (8.13)

Den karakteristiske ligning er da:

r2 + γ2 = 0 (8.14)

Rødderne findes til: iγ og−iγ Det giver os altsa løsning 3:R (r) = Ae0r cos (γr)+Be0r sin (γr) =

A cos (γr) +B sin (γr)

8.1. MATLAB KODE 43

8.0.3 L’Hopital’s regel

I udledningen af varmedifusionen for en kugle postulerer vi at:

limx→0

sin (x)x

= 1 (8.15)

For finde denne, benytter vi os af L’Hopital’s regel for grænseværdier. Den siger at hvis

limx→0

f (x) = limx→0

g (x) = 0 (8.16)

og

limx→0

f ′ (x)g′ (x)

= L (8.17)

Hvor L kan være endeligt, ∞ eller −∞

I vores tilfælde er f (x) = sinx og g (x) = x sa:

limx→0

sin (x)dxxdx

=cos (x)

1= 1 (8.18)

8.1 MatLab kode

8.1.1 Fil 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Databehandling af tomat-ost forsøget

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

tomat=load(’ost.txt’);%loader data text fil

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Konstanter

%%%%%%%%%%%%%%%%%

T0 = 8.2; % temperatur før forsøg

T1 = 37; % temperatur efter

D = 0.0000002; % gæt pa diffusionskonstanten

a = 0.04; % radius i m


%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Justerer for t0

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

ind = find(tomat(:,1)); % bestemmer t¿0

t = tomat(ind,1); % tidsvektor

Tr0 = tomat(ind,2); % temperaturvektor for r = 0

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Fitter D

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

r = 0.0; % radius for kurve der fittes til

Dfit = FitDiff(t,Tr0,D,T0,T1,a,r); % kalder fittefunktionen med relevante parametre

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Teoretisk fittet kurve for r=0

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

T = calT(t,7.1e-8,r,a,T0,T1); %for r=0

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Teoretiske kurver for øvrige radier ved brug af samme D

% - til gengæld gætter jeg pa r her...

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

r = 0.01; % gæt pa radius

T2 = calT(t,7.1e-8,r,a,T0,T1);


T3 = calT(t,7.1e-8,r,a,T0,T1);


T4 = calT(t,7.1e-8,r,a,T0,T1);

8.1. MATLAB KODE 45

%%%%%%%%%%%%%%%%

% Plotter resultatet

%%%%%%%%%%%%%%%%

figure01=figure(’PaperSize’,[20.98 29.68],’InvertHardcopy’,’off’,...

’Color’,[1 1 1]);

% Create axes

axes01=axes(’Parent’,figure01,’FontSize’,20);

title([’Havarti ost, D=’ num2str(7.1e-8)])

xlabel(’time [s]’)

ylabel(’temperature [C]’)

xlim([0 11000])

ylim([5 40])

hold on

box(’on’)

grid(’on’)

plot(t,Tr0,’k.’)

plot(t,T,’r–’,’LineWidth’,2)

plot(t,tomat(ind,[3 5 4]),’k.’)

plot(t,T2,’r–’,’LineWidth’,2)



legend(’data’,’fit’)

exportfig(figure01,’tomat’,’Color’,’cmyk’)

8.1.2 Fil 2

function T = calT(t,D,r,a,T0,T1)

if r==0

r = r+eps;

end

s1 = zeros(size(t));


for i=1:15

s1 = s1 + (-1).(i)/i ∗ sin(i ∗ pi ∗ r/a)/r. ∗ exp(−D ∗ (i ∗ pi/a).2. ∗ t);

end

T = T1 + 2 ∗ a/pi ∗ (T1− T0). ∗ s1;

8.1.3 Fil 3

function koeff = FitDiff(x,y,Guesses,T0,T1,a,r)

% options=optimset(’Display’,’iter’,’tolx’,1e-7,’tolfun’,1e-7,’MaxFunEvals’,1e5,’MaxIter’,1e5);

options=optimset(’Display’,’off’,’tolx’,1e-7,’tolfun’,1e-7,’MaxFunEvals’,10e5,’MaxIter’,10e5);

% i options kan man foretage et utal af valg om ens fminsearch funktion

koeff=fminsearch(’fitfnktDiff’, Guesses, options, x,y,T0,T1,a,r);

% her findes minimum af funktionen ’parameterfit, med startværdierne givet ved ’Star-

ting’,

% options definerer formen af kapacitans, mens ’Temp’ og ’lpfr’ er fastholdte parametrer.

8.1.4 Fil 4

% denne funktion er et delprogram af fittealgoritmen, som givet

% funktion og parametrene i funktionen kan udregne afstandskvadratet

% mellem funktionen og maleværdierne

function sse = fitfnktDiff(param, input, output,T0,T1,a,r)

%parameten som indgar i funktionen

D = param;

%funktion der skal fittes til.

T = calT(input,D,r,a,T0,T1);

error-vector = (T-output);

% kvadratsummen af forskellen

sse = sum(error-vector.2);

8.2. UDREGNELSE AF VARIANS 47

8.2 Udregnelse af varians

Variansen udregnes ved hjælp af formlen [Kelley et al.]:

s =

√∑ni=1

(Xi −X

)2n− 1

(8.19)

Hvor n er antal malinger, Xi er de malte værdier, og X er den gennemsnitlige værdi af

den malte variabel.

8.2.1 Udregnelse af varians for tomatforsøg 1

s =

√(1.61 · 10−7 −Dt1

)2 +(1.61 · 10−7 −Dt1

)2 +(1.68 · 10−7 −Dt1

)2 +(1.58 · 10−7 −Dt1

)23

= 4.242640687 · 10−9 (8.20)

Hvor Dt1 = 1.62 · 10−7.

Dt1 = Dt1 ±s

Dt1

= 1.62 · 10−7 ± 4.242640687 · 10−9

1.62 · 10−7= 1.62± 0.0262 · 10−7 (8.21)

8.2.2 Udregnelse af varians for tomatforsøg 2

s =

√(1.52 · 10−7 −Dt2

)2 +(1.62 · 10−7 −Dt2

)2 +(1.56 · 10−7 −Dt2

)2 +(1.63 · 10−7 −Dt2

)23

= 5.196152423 · 10−9 (8.22)

Hvor Dt2 = 1.58 · 10−7

Dt2 = Dt2 ±s

Dt2

= 1.58 · 10−7 ± 5.196152423 · 10−9

1.58 · 10−7= 1.58± 0.0329 · 10−7 (8.23)

8.2.3 Udregnelse af varians for Havarti

s =

√(7 · 10−7 −Dh

)2 +(7.6 · 10−7 −Dh

)2 +(7.2 · 10−7 −Dh

)2 +(6.5 · 10−7 −Dh

)23

= 4.582575695 · 10−9 (8.24)

Hvor Dh = 7.1 · 10−8.

Dh = Dh ±s

Dh

= 7.1 · 10−8 ± 4.582575695 · 10−9

7.1 · 10−8= 7.1± 0.0645 · 10−8 (8.25)


8.2.4 Udregnelse af varians for den mellemlagret ost

s =

√(8.21 · 10−8 −Dm

)2 +(8.27 · 10−8 −Dm

)2 +(7.7 · 10−8 −Dm

)2 +(1.03 · 10−8 −Dtm )23

= 1.148825487 · 10−8 (8.26)

Hvor Dm = 8.62 · 10−8.

Dm = Dm ±s

Dm

= 8.62 · 10−8 ± 1.148825487 · 10−8

8.62 · 10−8= 8.62± 0.13 · 10−8 (8.27)

Litteratur

Stephen J. Blundell and Kathrine M. Blundell. Concepts in Thermal Physics. Oxford

University Press, 2006. ISBN 0198567707.

Erik Both and Gunnar Christiansen. Termodynamik.

William D. Kelley, Thomas A. Ratliff jr., and Charles Nenadic. Basic Statistics for Labo-

ratories.

E Marin. The role of thermal properties in periodic time-varying phenomena. European

Journal of Physics, 2006.

redwoods. The one dimensional heat equation. URL

http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/DEProj/sp02/AbeRichards/paper.pdf.

Agustin Salazar. On thermal diffusivity. European Journal of Physics, 2003.

49

2. semester, natbas, 14.2 gruppe 4 pizza …rapporter.hersing.dk/2/2semester.pdf2. semester, natbas,...

Documents