2 revistagata

Revista de matematic MATHGAL

1

Colectivul de redacie:

Preedinte de onoare : Prof. Fnica Stroiu

Redactor ef: Prof. Florin Antohe coala Gimnazial nr. 5 Galai Redactori principali: Prof. Bogdan Antohe - Colegiul Naional Mihail Koglniceanu Galai Prof. Marius Antonescu - coala Gimnazial Iordache Pcescu Coeti - Arge Prof. Florin Ciortan - coala cu clasele I-VIII, Mircea Vod, Brila Redactori: Prof. Lucia Popa- coala Gimnazial nr. 5 Galai Prof. Daniela Nicolaev-Malaxa - coala Gimnazial nr. 5 Galai Prof. nvmnt primar Tatiana Lbu coala Gimnazial nr. 5 Galai Prof. nvmnt primar Mariana Negrici - coala Nichita Stnescu Galai Institutor Constantina Hulua- coala Gimnazial nr. 5 Galai nvtor Lenua Gavriliu- coala Gimnazial nr. 5 Galai Prof. Violeta Anton-coala Gimnazial nr. 5 Galai Institutor Maricica Cuco - coala Nichita Stnescu Galai Colaboratori : Rodica Blan; Dumitru Blan; Sorin Borodi ; Dan Matica ; Irina Hum ; Gabriel Tic; Grecu Cristian; Ionel Patriche; Dua Culachi; Viorica Lungana; Corneliu Mnescu-Avram; Elena Boghe; Valentin Ciortan; Nicuor Zlota; Alexandru Popa; Arleziana Udma; Simona Andra; Liliana Cioac; Georgeta Tudor; Georgeta Sndulache; Maricel Nicolae Lazr;Claudia Pascariu; Tehnoredactare: Florin Antohe i Marius Antonescu ELEVI: Crina Roxana Ttaru, Alexandru Meran, George Butur, Alexandru Onu, Ioana Roman, Bianca Nenciu, Geanina Mihai, Elena Necula, Diana Pamfile, Halip Alexandru, Mihaela Popa, Felea Andrei, Maftei Andrei; Hagiu Alin, Boro Andreea, Berlea Bianca, Denisa Tlpu; Redacia revistei MATHGAL primete materiale pentru urmtorul numr care va aprea n luna noiembrie 2013. Materialele pot fi articole matematice, probleme propuse sau orice altceva interesant legat de domeniul matematicii. Avem rugmintea ca articolele s nu fie foarte lungi ( maximum 3-4 pagini).Problemele propuse s fie originale i obligatoriu nsoite de soluii clare. Toate materialele vor fi trimise n format word pe adresa: [email protected]. Totodat v propunem i un concurs al revistei care const n rezolvarea problemelor din revist. Elevii care vor rezolva probleme vor fi menionai la rubrica rezolvitorilor. Pentru fiecare problem rezolvat corect se acord 5 puncte. Soluiile problemelor le ateptm tot pe aceeai adres. Redacia mulumete tuturor colaboratorilor i ateapt noi colaborri din partea profesorilor de matematic i nu numai!


2

Asupra unei probleme de bacalaureat de Gabriel Tic

La proba scris de matematic a examenului de bacalaureat, sesiunea iunie-iulie 2003, programa M1,specializarea matematic-informatic, s-a propus i urmtoarea problem sub forma unor itemi tip gril.Prezentm problema n stilul clasic solicitnd s se justifice rspunsurile corecte.

Se consider irurile *( )n na i *( )n nb , n

iin

a1

221 i 2

221

nnn nab ,

*.n S se arate c:

a) irul *( )n na este strict cresctor; b)irul *( )n nb este strict descresctor; c) irurile *( )n na i *( )n nb sunt convergente i nn alim = nn blim =a; d) \ .a

n aceast not vom prezenta o generalizare a acestei probleme urmrind s dezvoltm exact etapele cerute de problem.Mai exact, ne propunem s rezolvm urmtoarea problem:

Se consider irurile ),( kpan =

n

iikp1

1 i ),( kpbn = ),( kpan + knk pnk 11 ,

unde ,2, kp *.n S se arate c: a) irul *( ( , ))n na p k este convergent; b)irul *( ( , ))n nb p k este convergent; c) ),(lim kpann = ),(lim knbnn =a; d) akpan ),(1 ),( kpbn ; e) \ .a

nainte de a ncepe rezolvarea acestei probleme vom demonstra inegalitatea lui Bernoulli: ,1)1( xx , ,x 1x i >1.

Demonstraie:Se consider funcia : ( 1, ) ,f .1)1()( xxxf ].1)1[()1()( 11' xxxf 0)(' xf x=0.Din studiul variaiei funciei f se obine

c x=0 este punct de minim pentru f. Atunci ,0)0()( fxf ).,1( x Trecem acum la rezolvarea propriu-zis a problemei. a) ),(1 kpan - ),( kpan =

1

1

1n

iikp

-

n

iikp1

1 = knp )1(1 >0.De aici rezult c irul *( ( , ))n na p k este

strict cresctor. (1) Din inegalitatea lui Bernoulli va rezulta c: ).1(1)11( pipp kii kk Dar )1(1 pik > .2iik Deci, kip > 2i . Atunci

n

iikp1

1


3

Vom demonstra c 1)1( )1( kn np k > kk nknk pnpnnk 112 )( knp )1( >

kk nk

nk pn

npnk

11

1 kk nnp )1(

11

1

k

k

nnnk . (4)

Dar kk nnp )1( )1)(1(1)11( 111 11 pnkpp knknk kk > 11 knk > .1

11

k

k

nnnk

Deci relaia (4) este adevrat , ceea ce este echivalent cu faptul c ),(1 kpbn - ),( kpbn 0, obinem c ),( kpbn >0, deci ),( kpbn este mrginit inferior . (6)

Din relaiile (5) i (6) rezult c irul *)),(( Nnn kpb este convergent.

c) Dac trecem la limit n relaia ),( kpbn = ),( kpan + knk pnk 11 obinem

),(lim kpann = ),(lim knbnn =a.

d) Deoarece irul *( ( , ))n na p k este strict cresctor, irul *( ( , ))n nb p k este strict descresctor i ),(lim kpann = ),(lim knbnn =a ,rezult ),(1 kpan


4

Demonstraii ale teoremei lui Pitagora de Irina Oana Hum

Amintesc teorema lui Pitagora: ntr-un triunghi dreptunghic ABC ( 090m A ) ptratul ipotenuzei este egal cu suma ptratelor catetelor: 2 2 2a b c , unde BC = a i AC = b, AB = c, b > c. Demonstraii:

A. Triunghiul dreptunghic ABC este completat cu dou triunghiuri astfel : se prelungete latura AB cu 1BA b . Apoi n 1A se duce o perpendicular pe 1BA de lungime 1 1A B c . Se unete apoi 1B cu B i cu C i astfel se obine trapezul dreptunghic 1 1AA B C , unghiul 1BB C este de

090 .

Aria trapezului dup formula cunoscut este :

1 1

2

1 1 112 2AA B B

b cA AC A B AA

Cum

1 1 1 1 1AA B B BAC BA B CBBA A A A

sau

1 1

2 22 2 2 21 1 1 2

2 2 2 2 2AA B Bb c bc aA bc bc a b c a

. B. n figura de mai jos ABCD este un ptrat,

AM BN CP DQ , AM a iar AQ BM CN DP , AQ b .

Triunghiurile AMQ, BNM, CPN, DQP sunt congruente (C.C) de unde deduce MNB NPC PQD QMA i

BMN NPC PQD AMQ iar pe baza sumei unghiurilor ntr-un triunghi, rezult c MNPQ este un dreptunghi, iar din congruena triunghiurilor deducem c MNPQ este ptrat, MN = c.

4ABCD MNPQ AMQA A A

Deci: 2 2 2 2 2 24 .2

aba b MN MN c a b C. Construim ptratele ACDE i EFGH cu

laturile b respectiv c , E AB , F ED i punctul K astfel ca D FK i DK c . Atunci ABC DKC HGB FGK i

BCKG este un ptrat de latur a i: 2 2 2

ACDE EFGH ACDFGH CBFD ABC HGB CBFD DKC FGK BCKGb c A A A A A A A A A A a


5

D. n figur ABCD este un ptrat, AM BN CP DQ , AM a iar AQ BM CN DP , AQ b .

Triunghiurile , , ,AMQ BNM CPN DQP sunt congruente (C.C) de unde deducem

MNB NPC PQD QMA i BMN NPC PQD AMQ iar pe baza

sumei unghiurilor ntr-un triunghi, rezult c MNPQ este un dreptunghi, iar din congruena triunghiurilor deducem c MNPQ este ptrat, MN c .

4ABCD MNPQ AMQA A A Deci: 2 2 2 2 2 24

2aba b MN MN c a b

2 2 2 2 2 242

aba b MN MN c a b .

E. BC BA AC AC AB nmulind scalar cu BC obinem: BC BC BA AC BA AC . Dar 2 2BC BC BC a i 2 2 2 2a b c BA AC ,

2 2 2 2 cosa b c b c A ; cum BA AC rezult 2 2 2.a b c Bibliografie [1]. Mihai Cocuz: Culegere de probleme de matematic, Ed. Academiei Republicii Socialiste Romnia, Bucureti, 1984. [2]. Ioan Dncil: Matematica gimnaziului, Ed. Corint, Bucureti, 1996. [3]. Elena-Genoveva Irimia i Elena Morariu: Elemente de calcul vectorial i transformri geometrice, Ed. Constantin Matas, Piatra Neam, 2000. [4]. Radu Miron: Geometrie Elementar, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti,1968. [5]. Viorel Gh. Vod: Triunghiul-ringul cu trei coluri, Ed. Albatros, Bucureti,1979.

profesor, Colegiul Tehnic Gheorghe Cartianu

B-dul Traian, nr. 165, cod 610143 Piatra-Neam, judeul Neam

e-mail: [email protected]

Inecuaii cu o singur necunoscut cu parametru de Florin Antohe

Fie date dou funcii numerice f(x) i g(x) i fie D mulimea ce reprezint intersecia

domeniilor de definiie a acestor funcii, adic gDfDD . Dac se cere s se afle toate numerele x0 din D pentru care este adevrat inegalitatea numeric 00 xgxf , atunci se spune c este dat o inecuaie cu o singur necunoscut xgxf . Mulimea D


6

este numit domeniul valorilor admisibile al necunoscutei,( DVA ), iar x0 este soluie a inecuaiei.

n mod analog trebuie formulate i nelese problemele : s se rezolve inecuaiile f(x) > g(x), f(x) g(x), f(x) g (x). Mulimea soluiilor unei inecuaii reprezint , de regul, o mulime infinit de numere i de aceea verificarea ei este dificil. Unica metod, care garanteaz justeea rspunsului const n faptul, c la rezolvarea inecuaiilor trebuie efectuate astfel de transformri, nct s se pstreze echivalena inecuaiilor.

Dou inecuaii sunt echivalente dac mulimile soluiilor lor coincid. Aducem afirmaiile de baz cu privire la echivalena inecuaiilor , care se formuleaz i se

demonstreaz pe baza proprietilor inegalitilor numerice. Inecuaiile f(x) > g(x) i f(x) g(x) > 0 sunt echivalente. Inecuaiile f(x) > g(x) i f(x) + a > g(x) + a sunt echivalente pentru orice a real. Inecuaiile f(x) > g(x) i af(x) > ag(x) sunt echivalente pentru orice a pozitiv. Inecuaiile f(x) > g(x) i af(x) < ag(x) sunt echivalente pentru orice a negativ. Inecuaiile xgxf aa i f(x) > g(x) sunt echivalente pentru orice numr fixat a > 1. Inecuaiile xgxf aa i f(x )< g(x) sunt echivalente pentru orice numr fixat 0 < a < 1. Fie n un numr natural i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt nenegative. Atunci pe aceast mulime inecuaiile f(x) > g(x) i nn xgxf sunt echivalente.

Fie a un numr fixat din domeniul ;1 i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe aceast mulime sunt echivalente inecuaiile xgxf aa loglog i f(x ) > g (x). Fie a un numr fixat din domeniul (0;1) i pe mulimea A funciile y = f(x) i y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe aceast mulime sunt echivalente inecuaiile xgxf aa loglog i f(x) < g(x) . Fie c pe mulimea M , care se conine n DVA al inecuaiei f(x) > g(x), funcia xy este pozitiv . Atunci pe aceast mulime snt echivalente inecuaiile xgxf i xxgxxf .

Fiecaredintreinecuaiiledeformaax>b,ax b , la rezolvarea creia vom deosebi urmtoarele cazuri : 1). Dac a > 0 atunci

abx .

2). Dac a < 0 atunci abx .

Exemplul 1. S se rezolve inecuaia : xaa 12 axaa 523 . Rezolvare: Efectund unele transformri , inecuaia dat ia forma axa 812 .

Dac 1a , atunci 1

82 a

ax .

Dac 1a , atunci 1

82 aax .

Dac a = 1, atunci inecuaia ia forma 0x > 8, care nu are soluii. Dac a = 1 , atunci inecuaia devine 0x > 8 , care este verificat de orice x real.


7

Exemplul 2. Pentru care valori ale parametrului k inecuaia 0121 kxk este verificat de

valorile necunoscutei 3x ? Rezolvare: Vom considera funcia 121 kxkxf . Graficul acesteia reprezint o linie

dreapt pentru orice valoare a parametrului k. Se observ c 0121 kxkxf pe segmentul 3;3 , atunci i numai atunci, cnd

03

03ff

.

Efectund cteva transformri necesare , obinem

4;52

524

02504

0253043

kk

k

kk

kfkf

Deci, pentru

4;52k inecuaia este verificat de valorile necunoscutei 3x .

Rspuns:

4;52k

Fiecare dintre inecuaiile de forma ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c 0 , ax2 + bx + c 0 ,unde a 0 se numete inecuaie de gradul doi sau inecuaie ptrat cu o necunoscut, iar a, b, c sunt numere reale sau depind de parametru. Rezolvarea inecuaiilor ptrate cu parametri necesit cunoaterea profund a proprietilor trinomului ptrat.

Exemplul 4 Determinai valorile reale ale parametrului a , pentru care funcia

2 3 21: , 1 1 2 13f f x a x a x x este cresctoare pe . Rezolvare :

O funcie este cresctoare pe atunci cnd f ' (x) 0. f ' (x ) = 2121 22 xaxa . S determinm valorile reale ale lui a pentru care are loc inecuaia 2121 22 xaxa 0. Observm, c este o inecuaie ptrat cu parametru. Verificm

pentru nceput

11

101 22aa

aa

Dac a=1 avem c f '(x) =2 > 0. Deci, este realizat condiia problemei. Dac a = 1 avem c f '(x) = 4x + 2, care nu este nenegativ pentru orice x real. Prin urmare, nu este realizat condiia problemei.

Dac a \ 1,1 obinem c: f'(x)0

22

2 2 2

1 11 0; 3 1;

0 4 1 4 1 2 0 2 3 0

a aaa

a a a a


8

Am obinut, c f '(x) 0 pentru

;13;;13;

1a

aa

Rspuns : Pentru ;13;a f ' (x) 0 pentru orice valoarea real a lui x , adic f (x) este cresctoare.

profesor, coala Gimnazial nr 5 str. Gorunului, nr. 6, cod 800437

Galai, judeul Galai e-mail:[email protected]

Coliniaritatea. Teorema lui Menelaus. de Alexandru Popa

1. Ce este o problem de coliniaritate? Prin figuri coliniare nelegem puncte, segmente, semidrepte care au aceeai dreapt

suport. Problema de coliniaritate este o problem n care se cere stabilirea coliniaritii unor

astfel de elemente: puncte, segmente, semidrepte. Cea mai important clas de probleme de coliniaritate o constituie coliniaritatea a trei sau mai multe puncte.

Problemele de coliniaritate a unor puncte reprezint un tip deosebit de probleme de geometrie, ele fiind probleme de demonstraie prin rezolvarea crora se urmrete stabilirea sau verificarea unei relaii, gsirea unor proprieti noi ale figurilor date, justificarea unei afirmaii formulate.

Avnd n vedere existena unui numr mare de propoziii matematice foarte elegante ce concluzioneaz proprieti de coliniaritate (puncte aparinnd aceleiai drepte), prezentm unele dintre cele mai utilizate metode de rezolvare a acestui tip de probleme, att n gimnaziu, ct i n liceu, fiecare metod fiind nsoit de exemple.

2. Observaii metodice privind locul acestor tipuri de probleme n coal.

Problemele de coliniaritate i concuren reprezint o categorie foarte important de probleme matematice ce se situeaz printre cele mai creative dar i cele mai dificile probleme ntlnite de ctre elevi pe durata colaritii. Aceste tipuri de probleme se studiaz ncepnd din gimnaziu, din clasa a VI-a, pn n ciclul inferior al liceului, n clasa a X-a. Evident c gradul de dificultate al acestor probleme crete odat cu creterea anului de studiu, dar i metodele de rezolvare difer n funcie de geometria studiat, adic n gimnaziu se studiaz coliniaritatea i concurena n geometria euclidian, n clasa a IX-a i a X-a se studiaz aceste probleme din punct de vedere vectorial, iar tot n clasa a X-a se studiaz coliniaritatea i concurena i din punct de vedere analitic. Cu toate acestea, tipurile acestea de probleme sunt insuficient studiate, timpul alocat pentru rezolvarea lor este foarte mic ca urmare a cantitii mari de materie ce trebuie studiat, n timp ce numrul de ore rezervat matematicii n noile programe este tot mai redus.

Studiul coliniaritii este tot mai dificil ca urmare a reducerii a numrului de ore alocat matematicii n planurile cadru, dar i a interesului tot mai sczut a elevilor pentru studiul matematicii, interes ce se rsfrnge automat i asupra cantitii de materie ce se aloc studiului n cadrul programelor colare.


9

3. Teorema lui Menelaus Fie ABC un triunghi i punctele coliniare distincte M, N i P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB. Atunci are loc relaia

1PBPA

NANC

MCMB

.

Demonstraie: Ducem prin C paralela la AB, care intersecteaz pe MN n Q. Din teorema fundamental a asemnrii rezult c MQC~MPB, de unde QC

PBMCMB i

NQC~NPA, de unde PAQC

NANC . nmulind cele

dou relaii membru cu membru obinem 1

PBPA

NANC

MCMB

.

Reciproca teoremei lui Menelaus

Fie ABC un triunghi i punctele distincte M, N i P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB. Dac are loc relaia 1 PB

PANANC

MCMB

, atunci punctele M, N i P sunt coliniare.

Demonstraie: Presupunem, prin absurd, c M, N i P nu

sunt coliniare. Atunci unim M i P printr-o dreapt ce taie pe AC ntr-un punct N diferit de N. Conform teoremei directe, avem relaia

1''

PBPA

ANCN

MCMB

. Cum, din ipotez, avem c 1

PBPA

NANC

MCMB

, rezult deci ANCN

NANC

'' i

deci N = N. Prin urmare M, N i P sunt coliniare. Avnd n vedere enunurile teoremei i reciprocei teoremei lui Menelaus, putem s

enunm teorema lui Menelaus astfel (condiie necesar i suficient): Fie ABC un triunghi i punctele M, N i P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB.

Punctele M, N i P sunt coliniare dac i numai dac are loc relaia 1

PBPA

NANC

MCMB

.

Demonstraie: Vezi demonstraia teoremei. Vezi demonstraia reciprocei. Observaie Teorema este adevrat i n cazul n care punctele M, N i P sunt situate

pe prelungirile laturilor triunghiului.


10

4. Criterii de coliniaritate Exist mai multe criterii prin care se poate arta coliniaritatea a trei puncte. Dintre

aceste amintim: C.1. Demonstrarea coliniaritii folosind reciproca teoremei lui Menelaus. C.2. Demonstrarea coliniaritii folosind postulatul lui Euclid (dac dreptele AB i

BC sunt paralele cu o dreapt d (semidrepte opuse), atunci, n baza postulatului lui Euclid, punctele A, B i C sunt coliniare).

C.3. Demonstrarea coliniaritii cu ajutorul unghiului alungit, sau a unghiurilor adiacente suplementare (dac punctele A i C sunt situate de o parte i de alta a dreptei BD i m ( ABD) + m(DBC) = 1800, atunci punctele A, B i C sunt coliniare).

C.4. Demonstrarea coliniaritii utiliznd reciproca teoremei unghiurilor opuse la vrf (dac punctul B este situat pe dreapta MN, iar A i C sunt de o parte i de alta a dreptei MN i ABM CBN, atunci punctele A, B i C sunt coliniare).

C.5. Demonstrarea coliniaritii prin identificarea unei drepte ce conine punctele respective (pentru a arta c punctele A, B i C sunt coliniare, se identific o dreapt creia ele i aparin).

C.6. Demonstrarea coliniaritii prin redefinirea unui punct ce figureaz n condiia de coliniaritate.

C.7. Demonstrarea coliniaritii folosind rezultatul c dac B i C sunt dou puncte distincte situate de aceeai parte a dreptei AD i dac DAB DAC, atunci punctele A, B i C sunt coliniare (acest criteriu este, n general completat cu criteriul C.3., deseori fiind necesar folosirea alternativ a lor n raport cu anumite poziii particulare).

C.8. Demonstrarea coliniaritii utiliznd identitatea AB+BC=AC, unde AB, BC i AC sunt segmente de dreapt (cu toate c, aparent, este cea mai simpl metod de demonstrare a coliniaritii punctelor A, B i C, ea este folosit foarte rar n probleme concrete).

C.9. Demonstrarea coliniaritii folosind rezultatul c dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singur perpendicular i numai una pe acea dreapt (fie d o dreapt dat i punctele A, B, C; pentru a arta c punctele A, B i C sunt coliniare, trebuie s artm c dreptele AB i AC sunt, amndou, perpendiculare pe dreapta d).

5. Aplicaii (Teoreme i probleme celebre de coliniaritate) Teorema 1 (Gauss) Mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sunt coliniare

(dreapta care le conine se numete dreapta lui Gauss). Demonstraie: Se va folosi n demonstraie teorema lui

Menelaus. Considerm patrulaterul complet ABCABC. Notm cu A, B i C mijloacele diagonalelor AA, BB i CC. Vom aplica teorema lui Menelaus n triunghiul ABC, cu punctele coliniare A, B i C. Avem

1''

''

''

BCAC

ABCB

CABA

(1).

Considerm apoi triunghiul determinat de mijloacele laturilor BC, CA i AB, notate cu


11

M, N i P. Paralela dus prin punctul A la dreapta BC conine punctele N i P (BNAC i

APAB). Analog BPM i CMN. Din (1) rezult 12'2'

2'2'

2'2'

BC

AC

AB

CB

CA

BA

, adic

1""

""

""

MCNC

PBMB

NAPA

. Deoarece B[MP], C[NM] i A[PN-[PN]], rezult c se poate folosi reciproca teoremei lui Menelaus pentru triunghiul MNP i punctele A, B i C. Astfel se obine c punctele A, B i C sunt coliniare, dreapta detertminat de ele numindu-se dreapta lui Gauss.

Teorema 2 (Lemoine) Tangentele la cercul circumscris unui triunghi neisoscel n

vrfurile lui taie laturile opuse n puncte situate pe o aceeai dreapt (numit dreapta lui Lemoine a triunghiului ABC).

Demonstraie: Fie ABC, BAC i CBC, astfel nct

AA, BB i CC sunt tangente cercului circumscris triunghiului ABC. Se demonstreaz c A, B i C sunt coliniare folosind reciproca teoremei lui Menelaus. Deci se va demonstra c:

1''

''

''

ACBC

BACA

CBAB

.

Se evalueaz fiecare raport din produs. Se observ c AABACA, avnd unghiulA comun i AAB ACA, de unde CA

AAACAB

AABA

''

'' .

Din ACAB

AABA

''

22

''

''

ACAB

AABA

AABA . nlocuim AA

BA''

cu CAAA

''

i obinem 22

''

''

ACAB

CAAA

AABA , de unde

2

2

''

ACAB

CABA .

Analog se obin relaiile 22

''

BCAB

CBAB i 2

2

''

ACCB

ACBC .

nlocuind n produsul considerat, obinem 122

2

2

2

2

ACBC

ABAC

BCAB

1''

''

''

ACBC

BACA

CBAB

, adic conform reciprocei teoremei lui Menelaus, punctele A, B i C sunt coliniare.

Teorema 3 (Dreapta antiortic) Se consider un triunghi neisoscel ABC.

Bisectoarea exterioar corespunztoare vrfului A intersecteaz dreapta BC n punctul A. Analog se obin punctele B i C. Atunci punctele A, B i C sunt situate pe o aceeai


12

dreapt (numit dreapta antiortic a triunghiului ABC). Demonstraie: Fie a, b, c lungimile laturilor

triunghiului. Conform teoremei bisectoarei

unghiului exterior avem c bc

CABA

''

.

Analog se obin egalitile ca

ABCB ''

i

ab

BCAC

''

. nmulim cele trei relaii i

obinem ab

ca

bc

BCAC

ABCB

CABA

''

''

''

de unde rezult 1''

''

''

BCAC

ABCB

CABA

i folosind reciproca teoremei lui Menelaus pentru ABC i punctele A, B i C situate pe prelungirile laturilor triunghiului, se obine c punctele A, B i C sunt coliniare.

Alte probleme celebre P1. O dreapt taie laturile BC, AC i AB ale unui ABC n punctele A, B i

respectiv, C. Se iau simetricele M, N i P ale fiecruia din aceste puncte fa de mijlocul laturii pe care este situat. S se arate c punctele M, N i P sunt coliniare.

Soluie: Pentru c punctele A, B i C sunt coliniare, rezult din teorema lui Menelaus c

1''

''

''

BCAC

ABCB

CABA

.

Fie A mijlocul lui BC MBMC

CABA

''

.

Fie B mijlocul lui AC NCNA

ABCB ''

.

Fie C mijlocul lui AB PAPB

BCAC

''

.

Din aceste patru relaii deeducem c 1

NCNA

PAPB

MBMC

. De aici rezult, conform reciprocei teoremei lui Menelaus, c punctele M, N i P sunt coliniare.

P2. Fie ABC un triunghi oarecare i punctul D aparinnd laturii BC astfel nct

BC=3DC. Notnd cu E mijlocul medianei CC, s se arate c punctele A, D i E sunt coliniare.

Soluie: Din datele problemei deducem c 2

1' ABAC

; 2DCDB

;

1'

ECEC

. nmulind relaiile membru cu membru rezult c

11221

''

ECEC

DCDB

ABAC

. Atunci, conform reciprocei


13

teoremei lui Menelaus, c punctele A, E i D sunt coliniare. P3. Fie un triunghi oarecare ABC i B, C dou puncte arbitrare considerate pe

laturile AC i AB, iar A mijlocul laturii AB. Paralela dus prin A la BC intersecteaz dreapta BC n M; AC i AB intersecteaz pe AC, respectiv AB n punctele N i P. S se demonstreze c punctele M, N i P sunt coliniare.

Soluie: Fie D i E punctele unde paralela prin A la BC intersecteaz dreptele AB i AC.

Utiliznd teorema lui Menelaus pentru ADE tiat de transversalele MC, NB i respectiv PC obinem: 1'

''''

' DBAB

ACEC

MEMD

, 1'''

'

AEAD

DBAB

NANE

, respectiv, 1'''' ACEC

AEAD

PDPA

.

nmulim relaiile membru cu membru i avem 1

'''

''''

' 22

2

2

2

2

AEAD

DBAB

ACEC

PDPA

NANE

MEMD

(1).

Din asemnarea triunghiurilor ACE i CBA, respectiv, ABD i ABC rezult c BA

AEAC

CE'''

' i

ADCA

DBAB '

''' care ridicate la ptrat i nmulite membru

cu membru dau 1'''

'''

2

2

2

2

2

2

AEAD

DBAB

ACEC

(2) (pentru

c AB AC). nlocuind (2) n (1) obinem 1'' PD

PANANE

MEMD

i conform reciprocei teoremei lui Menelaus, c punctele M, N i P sunt coliniare.

Bibliografie: [1].D. Brnzei, S. Ania, E. Onofra, Ghe. Isvoranu, Bazele raionamentului geometric, Editura Academiei Republicii Socialiste Romnia, Bucureti, 1983; [2].L. Nicolescu, V. Boskoff, Probleme practice de geometrie, Editura Tehnic, Bucureti, 1990;

profesor, coala Gimnazial Zdreni Zdreni, judeul Arad

Mai tii s mprii?

de Dan Matica Dup cum bine se tie sunt dou mari categorii de probleme cu mprire: mprirea fr rest i mprirea cu rest . S ncepem cu divizibilitatea. 1. S se arate c numrulul 2 3 20071 2 2 2 ... 2S se divide cu 15. Dac ncepem s facem suma dup regula cunoscut nu ajungem nicieri, deoarece numrul 20082 1 nu ne spune nimic. S ncercm s ne folosim de proprietile relaiei de


14

divizibilitate, mai precis: observm c 2 31 2 2 2 1 2 4 8 15 . Dac lum urmtorii 4 termeni: 4 5 6 7 4 2 3 42 2 2 2 2 1 2 2 2 2 15 , i acetia sunt divizibili mpreun cu 15 . Oare nu toat suma ar fi divizibil cu 15? Se poate ea mpri n grupe de cte 4? Ci termeni sunt n total? 2007? Nu cred. Trebuie s-l numrm i pe 1, deci 2008 termeni care se mpart n grupe de cte 4 astfel:

2 3 2007 2 3 4 5 6 7 2004 2005 2006 2007

2 3 4 2 3 2004 2 3 4 2004

1 2 2 2 ... 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2

1 2 2 2 2 1 2 2 2 ... 2 1 2 2 2 15 1 2 ... 2 15

S

Deci numrul dat este divizibil cu 15. 2. S se arate c numrulul 2 3 6471 3 3 3 ... 3S se divide pe rnd cu 4, 10, 13 i 40. Pentru nceput, innd cont de exerciiul precedent, trebuie s vedem cum grupm termenii, n cele 4 cazuri:

a)1 3 4 i cei 648 de termeni se mpart n grupe de cte 2. 2 646 647 2 646 2 6461 3 3 ... 3 3 4 3 4 ... 3 4 4 1 3 ... 3 4S

b) 21 3 10 i cei 648 de termeni se mpart n grupe de cte 2 astfel: primul cu al treilea , al doilea cu al patrulea.

2 3 644 646 645 647 644 645 644 6451 3 3 3 ... 3 3 3 3 10 3 10 ... 3 10 3 10 10 1 3 ... 3 3S c) 21 3 3 13 i cei 648 de termeni se mpart n grupe de cte 3.

2 3 2 646 2 3 6461 3 3 3 1 3 3 ... 3 1 3 3 13 1 3 ... 3S .d) 2 31 3 3 3 40 i cei 648 de termeni se mpart n grupe de cte 4.

4 645 4 64540 3 40 ... 3 40 40 1 3 ... 3S 3. S se arate c numrulul 2 17 7 7 41 n n nA n . Folosind proprietile puterilor: m n m nx x x avem:

2 1 2 27 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 7 41 41, n n n n n n n nA n 4. S se arate c numrulul 1 1 215 3 5 3 5 37, n n n n nB n . Care este cel mai mic numr natural n pentru care se divide cu 111?

11 1 2 1 2 1 1 1 2

2 2

15 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

3 3 5 5 3 3 5 3 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 37 37,

nn n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

B

n

Deoarece 111 se scrie ca produsul dintre 37 i 3, pentru ca B s fie divizibil cu 111, cel mai mic n numr natural posibil este 1.


15

5.S se arate c numrulul 2 1 2 2 1 25 9 3 25 19, n n n nC n . Este el divizibil cu 95? Ct trebuie s fie n pentru ca numrul C s se divid cu 513?

2 2 2 2 2 22 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

2 1 2 4 2 1 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 4

2 2 3 3 2 2 2 2

5 9 3 25 5 3 3 5 5 3 3 5

5 3 3 5 5 5 3 3 3 3 5 5 3 5 5 3 3 5

3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 152 3 5 3 5 8 19 19

n n n nn n n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n n n n n

C

n

Descompunem n factori primi pe 95 i 513, aadar 95=519 i 513=3319. 2 2 2 23 5 3 5 8 19 5 19 3 5 3 8 95,n n n nC n

2 2 2 2 *3 5 3 5 8 19 3 19 3 5 5 8 513,n n n nC n , pentru n=0 nu sunt suficieni factori de 3 n expresie.

6. Care sunt numerele de forma 5 9D xx . Pentru a fi divizibil cu 9 trebuie ca 95x x M , adic dac avem 5 9 2x x x ; iar pentru 5 18x x nu se poate i pentru multipli mai mari ai lui 9, x nu mai e cifr. S ncercm i altceva: 7.S se determine toate numerele de forma:13 2 45x y . Bun dar care este criteriul cu 45? Sau altfel spus, cnd un numr se divide cu 45? S vedem ce spune teoria:

; 1d ad b d a ba b

, adic dac d se divide cu dou numere distincte prime ntre ele, atunci

se divide i cu produsul lor. Atunci cele dou numere, prime ntre ele, care-l divid pe 45 sunt 5 i 9. Ca numrul dat s se divid cu 45, trebuie ca, n acelai timp, s se divid i cu 5 i cu 9. Le lum pe rnd: 13 2 5 0;5x y y . Pentru y=0 avem

9 913 2 9 1 3 2 0 6 3x y x M x M x , deci primul numr gsit este 13320. Dac facem 5y , avem 9 913 2 9 1 3 2 5 11 7x y x M x M x i al doilea numr care ndeplinete condiia este 13725. S trecem i la mprirea cu rest dat de , 0D I C r r I . Vom trece n revist dou tipuri de exerciii, care nu prea au priz la public, cu toate c nu sunt dificile deloc. 8.Aflai cel mai mic numr natural care prin mprire la 5, 7, 9 se obine de fiecare dat restul 3 i ctul diferit de zero. Notm acel numr cu a i cturile cu x, y, z. Scriem teorema mpririi cu rest n fiecare caz:


16

5 3 3 57 3 3 7 , adica 3 este multiplu comun pentru 5,7,9.9 3 3 6

a x a xa y a y aa z a z

Noua ne cere cel mai mic numr, deci a-3=c.m.m.m.c.[5,7,9]=579=315, adic numrul cutat este 318. 9.Care este cel mai mic numr natural pe care mprindu-l la 13, 17 i la 19 obinem resturile 3, 7, respectiv 9?

Procedm ca mai sus: Notm acel numr cu a i cturile cu x, y, z. Scriem teorema mpririi cu rest n fiecare caz:

10 13 113 3 10 13 1317 7 10 17 17 10 17 119 9 10 19 19 10 19 1

a xa x a xa y a y a ya z a z a z

, adic 10a este multiplu comun

pentru 13, 17 i 19. Noua ne cere cel mai mic numr, deci 10 13;17;19 13 17 19 4199a , adic numrul cutat este 4189.

profesor, coala Gimnazial tefan Bozian eitin, judeul Arad

e-mail:[email protected]

OLIMPIADE MATEMATICE 2012

Selecie i soluii de Corneliu Mnescu-Avram

1. Fie ABC un triunghi astfel nct AB AC . Se noteaz ortocentrul cu H, centrul cercului circumscris cu O i mijlocul lui BC cu D. Dreptele HD i AO se intersecteaz n P. S se demonstreze c triunghiurile AHP i ABC au acelai centru de greutate. (Africa de Sud)

2. S se demonstreze inegalitatea : 3 4 6 1, a a a a a . (Austria) 3. Un ir 1 2, ,..., ,...na a a de numere naturale este definit prin 1 ,n n na a b 1,n unde

nb este ultima cifr a lui .na S se demonstreze c irul conine o infinitate de puteri ale lui 2 dac i numai dac 1a nu este divizibil cu 5.

(Benelux) 4. Fie ABC un triunghi ascuitunghic cu AB AC . Fie cercul circumscris, H

ortocentrul i O centrul lui . M este mijlocul lui BC. Dreapta AM intersecteaz a doua oar n N, iar cercul cu diametrul AM intersecteaz a doua oar n P. S se demonstreze c dreptele , ,AP BC OH sunt concurente dac i numai dac AH HN .

(Frana) 5. Fie ABC un triunghi ascuitunghic. Fie , ,D E F puncte pe , ,BC CA AB astfel nct

AD este median, BE este bisectoare i CF este nlime. Presupunem c , FDE C DEF A i EFD B . S se arate c ABC este echilateral.

(India)


17

6. Fie n un numr natural nenul. S se demonstreze c ecuaia x y n are soluii ,x y numere naturale nenule dac i numai dac n se divide cu un ptrat perfect mai mare dect 1. (Indonezia)

7. ABCD este un ptrat. S se determine locul geometric al punctelor P din plan, diferite de A, B, C, D, pentru care 0180m APB m CPD .

(Italia) 8. n triunghiul ABC, tangenta n A la cercul circumscris intersecteaz dreapta BC n

P. Fie Q, R punctele simetrice lui P fa de dreptele AB, AC, respectiv. S se demonstreze c dreptele BC i QR sunt perpendiculare.

(Japonia) 9. Numrul 13...3 cu k > 1 cifre 3, este prim. S se demonstreze c 26 | 2 3k k . (Kazahstan) 10. Bisectoarele interioare ale triunghiului ABC intersecteaz cercul circumscris n

punctele D, E, F, respectiv. S se demonstreze c dreptele AD i EF sunt perpendiculare. (Puerto Rico) 11. S se stabileasc dac numrul 23 2 2n n este iraional, oricare ar fi n . (Spania) 12. Pentru un numr natural nenul n, fie d n numrul divizorilor pozitivi ai lui n.

Exist numerele naturale nenule a, b astfel nct d a d b i 2 2d a d b dar 3 3d a d b ? (Olimpiada Europei Centrale)

Soluii : 1. Avem ,h a b c 0o i 2 .d b c Se verific simplu c p a este punctul

comun al dreptelor HD i AO. Triunghiurile AHP i ABC au acelai centru de greutate, deoarece a h p .a b c h

2. Dac a (0, 1), atunci 4 210 ,1a a a deci inegalitatea din enun este

adevrat. Dac 0,1 ,a atunci 4 21 1 .2 1a a a ntr-adevr, a doua inegalitate se verific simplu, iar prima este echivalent cu

2 22 1 1 0,

2 2a a care este adevrat, q.

e. d. 3. Dac 1a se divide cu 5, atunci 2 0 mod10 ,na a 2,n deci irul nu conine

nicio putere a lui 2, deoarece puterile lui 2 au ultima cifr nenul. Dac 1a nu se divide cu 5, atunci na este par pentru 2n , irul nb este periodic, perioada

sa fiind o permutare ciclic a numerelor 2, 4, 8, 6 i 4 20n na a . Puterile lui 2 sunt congruente modulo 20 cu 12, 4, 8, 16, ncepnd cu 52 32. Se alege j cu 2,jb deci

2 mod10ja . Dac 12 mod 20,ja atunci irul conine toate puterile lui 2 congruente cu 12 modulo 20 i mai mari dect .ja Dac 4 mod 20 ,ja atunci irul conine toate puterile lui 2 congruente cu 4 nmodulo 20 i mai mari dect 1.ja


18

4. Se arat c punctele P, H, N sunt coliniare. Fie V punctul diametral opus lui A pe . Din ,VC AC rezult BH VC i la fel .CH VB Rezult c BHCV este un paralelogram cu centrul M, deci punctele H, M, V sunt coliniare. Fie U al doilea punct de intersecie al dreptei HV cu . Din conciclicitate se obine 0( ) ( ) 90 ,m AUV m ABV dar

( ) ( ) 90 ,m APV m APM aadar punctele U i P coincid, deci punctele P, H, M sunt coliniare. Fie J punctul de intersecie al dreptelor AP i BC. Cum AH i MP sunt nlimi n triunghiul AJM, rezult c H este ortocentru i pentru triunghiul AJM. Se deduce c OH trece prin J dac i numai dac .OH AN Din OA = ON rezult c OH AN dac i numai dac OH este mediatoarea lui AN, deci dac i numai dac AH = HN.

5. Triunghiul BFC este dreptunghic n F, deci ,2aFD BD CD de unde

.BFD B Din ,EFD B rezult 2 ,AFE B iar din ,DEF A rezult 2 .CED B Se aplic teorema sinusurilor n DEF i se obine

,sin sin sinDE EF FD

B C A de unde

2bDE i .

2cEF Se aplic teorema sinusurilor n :CDE

,sin sin 2DE CD

C B aadar sinb

C .

2sin cosaB B

Se deduce 2cos .2acBb

Se aplic

teorema sinusurilor n AEF : sinEF

A ,sin 2

AEB de unde, ca mai sus, folosind

,bcAEa c

se deduce cos .aB

a c Egalnd cele dou valori ale lui cos B, rezult

22 .b c a c Din teorema cosinusului avem

22 2 2 22 cos ,a ca b c ac B

a c iar prin eliminarea lui b

avem 23 2 32 3 2 0,a a c c a c a c aadar .a c De aici 2 22 2b c a c c , deci ,b c a aadar ABC este echilateral.

6. Dac 2n a b , a, b *, 2a , atunci 22 , ,1 1x bt y b a t t a ,este soluie. Dac n este liber de ptrate i ,x y este soluie, atunci a) x y implic 4n x nu e liber de ptrate, contradicie: b) x y implic x y c * i ,x y cx y

x y n de unde

2 ,cx nn

aadar 2

4 2 .cx n cn

Se deduce c 2|n c , astfel c |n c (n liber de ptrate!), de unde c nd d * i 24 1x n d . Dac d = 1, atunci y = 0, contradicie; dac d > 1, atunci x nu e liber de ptrate, contradicie.

7. E clar c diagonalele ptratului i cercul sau circumscris sunt incluse n locul geometric. Se arat c acest loc geometric nu mai conine alte puncte. Fie P un punct situat strict ntre dreptele AB i CD. Dac P este translatatul de vector BC al lui P, atunci prin construcie DPCP este inscriptibil; din PP = CD, rezult ' ,CP DP deci P se afl pe diagonala AC; Asemanator, n mod simetric, rezulta c P se afl pe diagonala BD.


19

Dac P nu se afl ntre dreptele AB i CD, presupunem c este situat de acea parte a dreptei AB care nu conine ptratul. Fie P simetricul lui P fa de mediatoarea segmentului BC. Patrulaterul 'PAP B este inscriptibil prin construcie, iar centrul cercului circumscris se afl pe mediatoarea lui 'PP , care este mediatoarea lui BC i de asemenea pe mediatoarea lui AB. Rezult c patrulaterul 'PAP B i ptratul ABCD au acelai cerc circumscris.

8. Tangenta n A la cercul circumscris i latura BC au respectiv ecuaiile : 2 2 ,z a z a ,z bcz b c deci 22 .a b cp a bc

Avem i ,q ab p a b

,r ac p a c q r 21 ,a b b c c ab c a p a bc de unde ,q r bcq r deci .BC QR

9. Pentru k = 2n, numrul 2 10 1 2 10 14 10 113...33 3

n nk

N

nu este

prim. Pentru 6 1k n , numrul 64 10 1 4 10 10 1 4 10 1 0 mod13 ,nk deci N nu este prim. Se deduce 6 3k n sau 6 5k n . Aceste numere sunt singurele care satisfac condiia din enun.ntr-adevr, pentru 0,1,2,3,4,5 mod 6 ,k avem

2 2 3 3,2,3,0,5,0 mod 6 ,k k q.e.d. 10. Dac 2 2 2, ,a b c sunt afixele vrfurilor triunghiului, atunci D bc i analoagele.

Calculm coeficienii unghiulari compleci ai dreptelor AD i EF : 2

22

,a bc a bca bc

2 ,ab ac a bcab ac

deci drepteleAD i EF sunt perpendiculare. 11. Dac 0,1,2,3n (mod 4), atunci 23 2 2 2,3,2,3n n (mod 4), respectiv, deci

acest numr nu este ptrat perfect, deoarece ptratele modulo 4 sunt 0 i 1. 12. Se constat uor c dac numerele a i b au cel mult cte doi factori primi distinci, atunci condiiile din enun nu pot fi ndeplinite. un exemplu de numere cu cte trei factori primi este

17 72 3 5a , 31 2 22 3 5b ,pentru care 18 8 2 32 3 3d a d b , 2 35 15 3 63 5 5d a , dar 3 352 22 4 94 7 7d a d b . Dac ,30 1m , atunci perechea ,am bm satisface condiiile din enun, deoarece funcia d este multiplicativ. Bibliografie [1] Hahn, Liang-shin, Complex Numbers and Geometry, The Mathematical Association of America, 1994 [2] www.mathlinks.ro

profesor, Liceul Tehnologic de Transporturi, str. Vleni, nr. 144G, cod 100132

Ploieti, judeul Prahova, e-mail: [email protected]


20

Ct de mare este rolul desenului n geometrie? de Dan Matica

Fie N i M centrele feelor ABCD, respectiv DEFG ale cubului ABCDEFGH. Se prelungete [MN] cu [NI], MN=2NI. S se calculeze msura unghiului dintre planele:

(IFG) i (IBC) (IFG) i (BCG) (IFG) i (ACG) (IFG) i (ABF) Rezolvare:

Ducem IK i IL perpendiculare pe BC, respectiv FG, i prin I o dreapt d FG (deci i cu BC). De asemenea IL d i IK d ,m LIK m IFG IBC . Notm cu a latura cubului. Avem: LK a ,

22

aIL , 102

aIK . Fie O proiecia lui L pe IK i x lungimea segmentului IO.

2

2 2

2

2 2

22 10 2 5cos

5 5102

aLO xa IOx LIO

ILaLO a x

.

Unghiul plan corespunztor diedrului cerut este suplementul ILK , adic 0 0 0180 135 45 . IFG ACG IG . Fie FT IG . Deoarece NF ING (cu reciproca teoremei celor 3 perpendiculare) ,NT IG m NTF m IFG ACG , 66NI NG aNT IG , 03 60NFtg NTF m NTF

NT .

FG ABFIFG ABF

FG IFG

Fie ABCDABCD un cub de latur x . Punctele M,N i P sunt mijloacele laturilor AD, AB, respectiv DC.

1). Desenai seciunea determinat n cub de planul (MNP). 2). Determinai msura unghiului plan corespunztor diedrului determinat de planele (MNP) i (ABC).


21

3). Calculai aria seciunii. Planul MNP intersecteaz planele ABC i ' ' 'A B C dup dou drepte paralele: MN i paralela la MN dus prin punctul P, adic PR (R mijlocul lui (BC)). PR AB H ; PR AD G ;

EN AB H ; 'GM DD F ; 'EN BB S ; 'GM AA E ;

Seciunea n cub determinat de planul MNP este hexagonul NMFPRS . 2). Notm AC PR O , EO MN V .

,

AO PREO PR m EOA m MNP ABCPR MNP ABC

.

3 3 2 3; ' ;4 4 2 2

x x xAO AC EA EA .

03 2 2 2cos 45 .4 3 2

AO xEOA m EOAEA x

Hexagonul ' 'M N BRPD este proiecia pe planul ABC a hexagonului NMFPRS . 2 2

2 ' '' ' 0

3 3 22 222 4 cos 45 4

M N BRPDM N BRPD NMFPRS

x xAx xA x A

.

profesor, coala Gimnazial tefan Bozian

eitin, judeul Arad e-mail:[email protected]


22

Concursul de matematic aplicat MATHGAL prezentare de Florin Antohe

Smbt 28 ianuarie 2012 s-a desfurat la coala nr 5 Cuza Vod Galai , n colaborare cu inspectoratul colar judeean Galai , prima ediie a concursului de matematic pe echipe MATHGAL. S-au nscris n concurs 12 echipe a cte 4 elevi de la 8 coli din municipiul Galai: echipele Ireductiblii i Alfa de la coala 5 , echipele Sperane si Invincibilii de la coala 29, echipa Inventivii de la coala 22, echipele Math 007 i Ptrica 28 de la coala 28 , echipa Traian de la coala 20 , echipele Smart i Deltamath de la coala 38 , echipa Temerarii de la coala 40 i echipa Campionii de la coala 41.

Comisia de organizare a concursului a fost alctuit din : Prof. Florin Antohe- coordonatorul concursului , Prof. Daniela Nicolaev-Malaxa- director al colii 5 , Prof. Gavril Geo-Alex i Prof. Lucia Popa- responsabila comisie metodice Matematic i tiine. Catedra de matematic a colii 5 aduce mulumiri urmtorilor profesori de matematic: Dua Culachi, Dida Isaia, Corina Pralea, Ecaterina Roman care au participat la evaluarea lucrrilor. Concursul s-a desfurat n 3 runde . La fiecare rund echipele au avut de rezolvat trei probleme n 45 de minute. Pauza dintre runde a fost de 15 minute. n timpul pauzelor membrii echipelor s-au relaxat urmrind filmulee puse la dispoziie de doamna profesor Lucia Popa. Subiectele propuse au fost alese cu deosebit atenie pentru a ilustra ct mai clar faptul c matematica nu este o tiin pur teoretic ci are o mare aplicabilitate n viaa de zi cu zi.

n urma evalurii lucrrilor s-au acordat 3 premii i 3 meniuni. Premiile au fost n bani : 25 ron/ membru echip la premiul I, 20 ron/ membru echip la premiul al II-lea i 15 ron/ membru echip la premiul al III-lea. Membrii echipelor care au luat meniuni au fost premiai cu reviste sau cri. Toi elevii au primit diplom de participare. Bugetul total pentru organizarea concursului a fost de 400 ron fiind acoperit integral din vnzarea numrului 3 al revistei de matematic MATHGAL , care poate fi vizualizat n format pdf pe site-ul colii www.cuzavoda.ro la seciunea revista colar. Premiile i meniunile au fost obinute astfel:

Nume echip Membrii echipei coala Premiul obinut IREDUCTIBILII Hagiu Alin, Halip Alexandru, Boro

Andreea, Melinte Ana-Maria 5 PREMIUL I

TEMERARII Secuianu Denis, Ioan Diana, Bejan Ctlina, Milea Carmen 40 PREMIUL II

MATH 007 Grigore Alexandru, Trziman Mihnea, Voicu tefan, Cotea Antoniu

28 PREMIUL III

PTRICA 28 Savin Mihnea, Popa Adrian, Ilie Cristian, Macovei Alina

28 MENIUNE I CAMPIONII Iorga Beatrice, Maftei Andreea,

Iorga Lorena, Lungeanu Cristian 41 MENIUNE II

ALFA Maftei Andrei, Berlea Bianca, Felea Andrei, Avram Andrei

5 MENIUNE III

Organizatorii concursului felicit att echipele premiate ct i pe cele care nu au reuit s obin premii la aceast ediie a concursului i le ureaz succes tuturor participanilor la viitoarea ediie a concursului.


23

S

figura 1 B

C A

M

O B

D A

C

D

figura 2 A B

C

Test pentru evaluarea naional propus de Marius Antonescu

SUBIECTUL I - Pe foaia de examen scriei numai rezultatele. 1. Rezultatul calculului 1112 11 este 2. 40% din numrul 15 este 3. Numrul x care verific relaia 4 2x = 2 este 4. Un dreptunghi are lungimea 7 cm i limea cu 2 cm mai mic.

Aria dreptunghiului este cm2. 5. Se consider piramida triunghiular regulat SABC din figura

1. Msura unghiului dintre muchiile AB i SC este . 6. n tabelul urmtor sunt prezentate nlimile precolarilor de

grupa mare din cadrul unei grdinie. Conform tabelului numrul precolarilor cu nlimea sub un metru este

nlimea (cm) 90 94 95 99 100 104 Nr. precolari 8 9 4

SUBIECTUL II - Pe foaia de examen scriei rezolvrile complete. 1. Desenai, pe foaia de examen, o prism patrulater regulat i notai-o PERSONAL. 2. Dou numere naturale au media aritmetic 7 i media geometric 34 . Aflai suma

ptratelor celor dou numere. 3. La ora 6 dintr-o autogar pleac simultan trei autobuze. Primul revine n autogara la

fiecare 3 ore, al doilea la fiecare 4 ore iar al treilea la fiecare 6 ore. Care este urmtoarea or la care cele trei autobuze se vor afla din nou simultan n autogar?

4. Fie funcia : 2;4;5 , 1f f x x . a) Verificai dac punctul A(3; 2) se afl pe graficul funciei f. b) Aflai distana maxim de la originea sistemului de axe ortogonale la un punct al

graficului funciei f(x). 5. Artai c numrul 443232 xxxxp este un numr natural pentru orice

numr x(2; 3). SUBIECTUL III - Pe foaia de examen scriei rezolvrile complete. 1. n figura 2, este reprezentat schematic o sticlu de parfum

sub forma unui paralelipiped dreptunghic ABCDABCD, n care arcul de cerc BM i segmentul MO reprezint tubul de evacuare a parfumului. Arcul de cerc BM este un sfert din cercul de diametru BB. Se cunosc AB = 24 mm i BC = 18 mm. a) Determinai lungimea segmentului BD. b) Aflai capacitatea sticluei exprimat n mililitri. c) Artai c lungimea tubului de evacuare a parfumului este

mai mic de 38,7 mm. (3,14 < < 3,15) 2. n figura 3, este reprezentat schematic o geant de dam n

form de dreptunghi, semicercul reprezentnd clapeta genii

C

A N M B

D

figura 1


24

iar punctul O este ncuietoarea sa. Se cunoate AB = 36 cm i MN = 18 cm. a) Determinai lungimea arcului DC. b) Aflai aria poriunii din semicerc situat n afara dreptunghiului ABCD. c) tiind c DN CM = {O} aflai distana de la punctul O la segmentul CD.

Testul propus de domnul profesor Marius Antonescu este extras din lucrarea Matematic.Evaluarea Naional 2013 pas cu pas aprut la editura Rovimed n septembrie 2012 i coordonat de domnul profesor Florin Antohe.Cei interesai pot cumpra lucrarea la preul de 16 ron. Comenzile se fac pe adresa: [email protected].

Cum determinm suma cifrelor unui numr ntreg n cu 3 cifre?

de Violeta Anton Date de intrare: n (ntreg) Date de ieire: s (ntreg) START citete n; s0; ss + n mod 10; nn div 10; ss + n mod 10; ss + n div 10; scrie s; STOP program suma_cifre; var n,s:integer; begin write('n='); readln(n); s:=0; s:=s+n mod 10; n:=n div 10; s:=s+n mod 10; s:=s+n div 10; write('Suma cifrelor numrului este: ',s); end. sau START citete n; sn mod 10+n div 10 mod 10+n div 100; scrie s; STOP program suma_cifre; var n,s:integer; begin write('n='); readln(n); s:=n mod 10+n div 10 mod 10+n div 100; write('Suma cifrelor numrului este: ',s); end.

profesor, coala Gimnazial nr. 5 Galai


25

SOLUIILE PROBLEMELOR PROPUSE n MATHGAL nr 3/2011

Clasa a V-a

Problema G:89, pagina 37 Aflai x din relaia: 232 :16 8x x

Elena Boghe, profesor, Trgovite Soluie. Scriind numerele 32, 16 i 8 ca puteri ale lui 2, obinem x = 5. Problema G:90, pagina 37 Comparai numerele: 994 497 993374 187 i 6358 121 17a b

Florin Antohe, profesor, Galai Soluie. 994 994 994374 11 17 374 11 17a , 4972 993 994 993 994 9946358 11 17 6358 11 17 374 11 17b . Deci cele dou numere sunt egale. Problema G:91, pagina 37 Pentru a numerota paginile unei cri s-a folosit de 141 ori cifra 1. Care este numrul minim i numrul maxim de file al crii?

Marius Antonescu, profesor, Arge Soluie. De la pagina 1 la pagina 9, s-a folosit o dat cifra 1, de la pagina 10 la pagina 99, s-a folosit de 19 ori cifra 1, de la pagina 100 la pagina 200, s-a folosit de 120 ori cifra 1. Pn la pagina 200 s-a folosit de 140 ori cifra 1. Pentru urmtoarele pagini ale crii s-a mai folosit o singur dat cifra 1. Prima pagin pentru care se folosete cifra 1 este pagina 201. Deoarece o fil are dou pagini ,cartea are un numr par de pagini , numrul minim de pagini este 202. Numrul minim de file este 101. Problema G:93, pagina 37 Aflai restul mpririi numrului 2 1271 4 4 ... 4n la 21.

Elena Boghe, profesor, Trgovite Soluie. Suma 2 1271 4 4 ... 4 are 128 de termeni. Grupndu-i cte trei, de la dreapta la stnga, obinem: 2 3 4 125 126 127 2 1251 4 4 4 4 ... 4 4 4 5 4 21 ... 4 21n n

2 12521 4 ... 4 5n .Deci restul mparirii lui n la 21 este 5. Problema G:96, pagina 37 Demonstrai c numrul n axbxcx cxbxax se divide cu 6 oricare ar fi

, ,a b c cifre consecutive i oricare ar fi cifra x n baza 10. Marius Antonescu, profesor, Arge

Solutie. Deoarece a , b , c sunt cifre consecutive , atunci b = a + 1 i c = a + 2. Numrul axbxcx are suma cifrelor: a + x + b + x + c + x = a + x + a + 1 + x + a + 2 + x = = 3a + 3x + 3 = = 3 ( a + x + 1 ) 3| axbxcx 3|n Analog se arat c 3 | cxbxax Deoarece ultima cifr a numrului n este dat de suma x + x, adic de 2x, n este un numr par , atunci 2 | n. Deoarece 3 | n i 2 | n 6 | n.


26

Clasa a VI-a

Problema G:102, pagina 38 S se arate c 510 679nx , n nu poate fi ptrat perfect.

Elena Boghe, profesor, Trgovite Soluie. x = 100...000 679 = 99...9321 ( n+5 zerouri; de n+2 ori cifra 9).Se observ c x este divizibil cu 3 dar nu este divizibil cu 9. Prin urmare, x nu poate fi ptrat perfect. Problema G:103, pagina 38 n jurul unui punct sunt 16 unghiuri, unele cu msura de 015 iar altele cu msura de 035 . Care este numrul unghiurilor cu msura 015 ?

Elena Boghe, profesor, Trgovite Solutie. Notm cu x numrul unghiurilor cu msura 015 . Numrul unghiurilor cu msura 350 va fi 16- x. Rezolvnd ecuaia x 150 + ( 16 x) 350 = 3600 , obinem x = 10. Problema G:104, pagina 38

S se demonstreze inegalitatea: 2 2 2 21 1 1 1 2011...2 4 6 2012 4024 Florin Antohe, profesor, Galai

Soluie. 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 1 ...2 4 6 2012 4 1 2 1006 4 1 2 2 3 1005 1006

1 1 1 1 20111 ... 1 11 2 2 3 1005 1006 1006 1006

2 2 2 21 1 1 1 2011...2 4 6 2012 4024

. Problema G:105, pagina 38 n triunghiul ABC , 2AB AC i 0120m BAC . Bisectoarea unghiului

BAC intersecteaz perpendiculara dus n C pe AC n D . Artai c AC BD . Marius Antonescu, profesor, Arge

Soluie. Dac AD este bisectoarea unghiului BAC m( BAD) = m(CAD) = 60 n ACD (dreptunghic), m( ADC) = 90 - m(CAD) m( ADC) = 30 (conform T 30) AD = 2AC Deoarece AB = 2AC [AB] [AD] ABD este isoscel cu m( BAD) = 60 AD = 2AC ABD este echilateral m( ADB) = 60 Se consider AC i BD tiate de secanta AD. Deoarece m( ADB) = m(CAD) = 60 (alterne interne) AC || BD. Problema G:107, pagina 38 n triunghiul ABC bisectoarea unghiului A i mediatoarea laturii AB se intersecteaz ntr-un punct M BC . S se demonstreze c msura unghiului dintre ele este mai mare de 030 .

Marius Antonescu, profesor, Arge Soluie. Presupunem c m( AMD) 30. n AMD (dreptunghic) , deoarece m( AMD) 30 m(DAM) 60 m( BAC) 120. Deoarece DM = mediatoare ABM este isoscel m( ABC) 60. n ABC se obine m( BAC) + m( ABC) 180 (imposibil). Presupunerea fcut este fals , atunci m(AMD)>30.


27

Clasa a VII-a

Problema G:112, pagina 39 Determinai suma tuturor numerelor de forma abc , unde : 23 ..... 2 1abc n n k n , , primn k

Cristian Grecu, profesor, Gura uii, Dmbovia Soluie.

42 22 2 2 42 1 13 ..... 2 1 1 3 .... 2 1

2kabc n n k n n k n n k

2 22 16 100 16 999 3;4;5;6;7k abc n n n 144;256;400;576;784abc 2 23 81 100 81 999 2;3k abc n n n 324;729abc .

2 25 625 100 625 999 1k abc n n n 625abc Deci suma este 3838 . Problema G:114, pagina 39 n paralelogramul ABCD se consider punctul P AC . Prin punctul P se construiete MN BD , M AB i N AD . Fie DP NC E i PB MC F . S se demonstreze c EF BD .

Marius Antonescu, profesor, Arge Soluie. n ABD , AO este median , iar MN || BD P este mijlocul lui MN [MP] [NP] (1); Fie CN BD =G i CM BD = H n CMN , CP este median , iar GH||MN O este mijlocul lui GH [GO] [OH] Deoarece [DO] [OB] [DG] [BH] (2) [GO] [OH] NP // DG (conform T.F.A.) NEP DEG

DGNP

EGNE

EDPE (3)

MP // BH (conform T.F.A.) MFP BFH BHMP

FHMF

FBPF (4)

Din relaiile (1) , (2) , (3) i (4) obinem:FBPF

EDPE (conform R.T. Th.) EF // BD.

Problema G:115, pagina 39

Artai c dac 2 2 2 2 2 3 5 0a b a b , atunci 2 3 1b aa b

. Valentin Ciortan, student, Univ. Galai

Soluie: 2 22 2 2 2 2 3 5 0 2 3 0 2; 3a b a b a b a b ; 2 3 3 2 1

2 3 .


Artai c: 2011

920112010...

1514

1312

1110

Florin Antohe, profesor, Galai


28

Soluie. Ridicnd la ptrat inegalitatea obinem : 2011

920112010...

1514

1312

1110

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

201112010...

15114

13112

11110

20112010...

1514

1312

1110

20019

201120112009...

151513

131311

11119

20112010...

1514

1312

1110

22222

2

2

2

2

2

2

2

.

Deci 2011

920112010...

1514

1312

1110 .

Clasa a VIII-a


a) S se arate c xx 3 31 , 1.n n n nx x x x n+ = + " S se calculeze 3

3 2lim .nn

xn

Rodica i Dumitru Blan, profesori, Galai

L:74 Se consider sistemul de ecuaii liniare

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

1

1

a x a y a z xp

a x a y a z yp

a x a y a z zp

,unde coeficienii 11 33,...a a sunt numere ntregi, iar p este un

numr prim. S se arate c sistemul are numai soluia banal. Corneliu Mnescu-Avram, profesor, Ploieti

L:75 Fie irul lui Lucas L0=2, L1=1, Ln+1=Ln+Ln-1 , 1n . 1)S se arate c 0 10 1 2.... nn n n n nC L C L C L L 2)S se demonstreze inegalitatea :

0 2

4k nn nk k n

CL L

Nicuor Zlota, profesor, Focani

L:76 Se dau matricele ( )2, ,A B C M care satisfac relaia ABC CBA+ = .BAC CAB+ S se demonstreze c pentru orice *p are loc egalitatea

( ) ( )2 1 2 1 .p pAB BA C C AB BA+ +- = - Rodica i Dumitru Blan, profesori, Galai

L:77 S se calculeze 3 2

1

4 2 3lim( 1)! ( 2)!

n

n k

k k kk k

Nicuor Zlota, profesor, Focani

Clasa a XII-a

L:78 Fie irurile Nnna i Nnnb care verific relaiile ,24

324

1

1

nnn

nnn

bab

baaunde n iar

0a i 0b sunt dai. S se determine nn ba , n funcie de 0a , 0b . Rodica i Dumitru Blan, profesori, Galai


48

L:79 S se determine toate numerele ntregi care satisfac simultan congruenele :

1 mod 2 ,x 2 mod3 ,x 3 mod5 ,x 4 mod 7 ,x 5 mod11 .x Corneliu Mnescu-Avram , profesor, Ploieti

L:80 Fie , 0a b cu 1a b . S se calculeze 2 211

( 1) ( 1)

b

a

xarctgx dx

x x arctg x x

. Nicuor Zlota, profesor, Focani

L:81 S se rezolve n inelul 12 ecuaia: ( )( )( )8 4 2 4 1 1 1 2 0.x x x x+ + + + + =

Rodica i Dumitru Blan, profesori, Galai

L:82 S se arate c polinomul ^4 1X este reductibil n 71[X] i n 73[X] i s se scrie cte o descompunere a polinomului ca produs de polinoame neconstante cu coeficieni n corpurile 71, respectiv 73.

Corneliu Mnescu-Avram , profesor ,Ploieti

n sprijinul pregtirii elevilor pentru Olimpiada de Astronomie i Astrofizic: Msurarea strlucirii unui astru. Elemente de fotometrie astronomic.

1. Magnitudini aparente ale astrelor

ntr-o noapte senin, pe bolta cereasc, o persoan cu vederea normal poate distinge pn la 3000 de stele. Unele strlucesc att de puternic nct ne ajut s identificm constelaiile din care fac parte. Altele sunt att de slabe n strlucire, nct abia le putem distinge pe cer. i altele, miliarde de miliarde de stele, pot fi vzute doar cu ajutorul instrumentelor optice. Diferenele ntre strlucirile stelelor sunt produse n principal de distanele diferite care ne despart de ele. nc din antichitate au existat ncercri de a msura strlucirea stelelor, de a asocia o anumit valoare unei anumite strluciri. Astronomul grec Hiparh (sec II, i.Hr.) a mprit stelele vizibile cu ochiul liber dup stralucirea lor aparent n 6 clase de magnitudini. Stelele cele mai strlucitoare le-a considerat de magnitudinea 1 iar cele aflate la limita vizibilitii (pe cer perfect senin, n nopi fr Lun) de magnitudinea 6. Clasificarea lui Hiparh s-a pstrat mult timp n astronomie, fiind extins apoi la corpuri mai stralucitoare ( cu magnitudini negative) sau la cele vizibile numai prin telescoape (magnitudini mai mari de valoarea 6). mprirea stelelor n aceste clase de magnitudini s-a fcut pe baza senzaiei luminoase produse de strlucirea lor asupra ochiului observatorului. Pe la mijlocul secolului al XIX-lea au fost inventate metode obiective de msurare a strlucirii stelare, pe baza unor instrumente precum bolometrul, capabile s determine energia radiaiilor recepionate de la o stea. S-a dovedit c mprirea lui Hiparh se poate explica pe baza unei legi psihofiziologice care poate fi formulat astfel: Variaia intensitii senzaiei produse de o surs de lumin este proporional cu raportul dintre variaia strlucirii aparente i valoarea strlucirii aparente iniiale a stelei.


49

(1) Em KE , unde K este un coeficient de proporionalitate.

Am notat cu E stralucirea aparent a stelei. Ea este o mrime echivalent cu puterea energetic a luminii recepionate de la o stea pe unitatea de suprafa a receptorului, aezat perpendicular pe direcia ctre stea. E se msoar n 2watt / m . Prin urmare, magnitudinea este o mrime inventat ca s se potriveasc cu sensibilitatea la lumin a ochiului uman. Legea amintit mai sus ne arat c sensibilitatea ochiului la diferenele de strlucire scade la valori mari ale strlucirii i crete la observarea unor obiecte puin luminoase. Din formula (1) rezult : 0

0

lg Em m KE

(2)

Considernd c stele cu m=6 sunt de 100 de ori mai puin strlucitoare dect cele cu 0 1m , obinem din (2) : 16 1 lg 2,5

100K k .

Formula magnitudinilor aparente (Pogson) este 00

2,5lg Em mE

(3).

Acest gen de rspuns al vzului uman la sursele de lumin este de natur s asigure o sensibilitate mare pe timpul nopii i o protecie la lumin foarte puternic. Subiectivismul observatorului unei stele se manifest printr-o funcie logaritmic ce, putem spune c, este ncorporat n organismul uman.

2. Ce este funcia logaritmic? Definiie i proprieti

Funcia logaritmic este o funcie definit prin : 0; , log , 0; 1af f x x a a . log ; 0;a xa x x . Numrul a se numete baza funciei . Vom folosi n formulele din

astronomie baza 10 (logaritmul zecimal) i baza e (logaritmul natural) , e fiind numrul catre care tinde expresia 11

n

n . 2,718...e

De exemplu: 4

104

log lg 4 10

log lne

x x xx x x e .

Proprietile logaritmilor: 101) log 1; log 10 1;ln 1aa e ;

2) lg lgnx n x ; 3) lg lg lgx x y

y ;

4) lg lg lgx y x y 5) log 1 0a ;

3. Formula lui Pogson i sistemul modern de magnitudini stelare

Prin msurtori fotometrice, Pogson (1856) a stabilit c raportul strlucirilor aparente a dou stele avnd magnitudinile 1, respectiv 6, este egal cu 100. Formula lui Pogson poate fi scris: 00,4

0

10 m mEE

. (4)


50

Pe baza acestei formule s-au introdus i magnitudini intermediare, fracionare. De exemplu Soarele are magnitudinea 26,7m , iar cele mai slabe stele vizibile doar prin telescoape spaiale 30m . Strlucirea aparent a unei stele depinde att de puterea de emisie a stelei respective ct i de distana r a acelei stele fa de observator. Pentru a compara radiaia emis de atri diferii se introduce noiunea de magnitudine absolut (M). Magnitudinea absolut a unui astru este magnitudinea pe care ar avea-o acel astru dac s-ar afla la distana standard de 10 parseci (1 parsec =3,26 ani lumin). Strlucirea aparent a unei stele este invers proportional cu ptratul distanei pn la ea. Stralucirea standard , stE , este strlucirea stelei adus imaginar la distana de 10 pc. Relaia (4) se scrie 0,4210 10 M m

st

EE r

(5) sau 5 5lgM m r (6), unde r este exprimat n pc. Exemplu: Soarele, aflat la 150000000 kmr , are strlucirea aparent 26,7m i vzut de la 10 pcr , are 4,87M . Relaia (6) ne permite s aflm distana pn la o stea atunci cnd tim magnitudinea aparent i absolut a acelei stele. De exemplu, steaua Sirius, cea mai strlucitoare stea vizibil pe cer cu ochiul liber, are 1, 4m i 1, 4M . Aplicnd formula (6): 0,445lg lg 0,44 10 2,75 pc 8,97 a.l

5m Mr r r r r

Diferena m M se numete modul de distan al astrului considerat. Incercai s determinai distanele pn la cteva stele foarte strlucitoare vizibile din ara noastr, pe baza tabelului de mai jos: Denumirea Stelei

ALDEBARAN ( Taurus )

ANTARES ( Scorpius)

FOMALHAUT(Pisces Austrinus)

REGULUS (Leo)

SPICA (Virgo)

Magnitudine absolut

-0,2 -4,5 +2,0 -0,6 -3,6

Magnitudine aparent

+0,9 +0,9 +1,2 +1,4 +0,9

4.Cum determinm dimensiunile i temperatura unei stele cunoscnd strlucirea ei ? Stelele au proprieti i compoziie asemntoare cu a Soarelui. Ele sunt enorme sfere de plasm fierbinte (gaz ionizat) i conin, ntr-un procent foarte mare, hidrogen i heliu. Aceste gaze particip la reacia numit fuziune nuclear, degajnd cantiti enorme de energie sub form de lumin i cldur. Spunem c stelele sunt surse de radiaie termic. Energia radiaiei totale emise de suprafaa unui astru n unitatea de timp (o secund) se numete luminozitate. Luminozitatea unei stele, ca mrime fizic , are dimensiune de putere i se msoar n watt(w). Luminozitatea Soarelui este 263,8 10 WL . De la distanele foarte mari care ne despart de stele noi primim doar o mic parte din aceast energie. Energia total emis de stea ntr-o secund se mprtie n tot spaiul din jurul stelei i, la un anumit moment, se va distribui pe suprafaa unei sfere cu centrul n centrul stelei. Energia sub form de radiaii termice (lumin i cldur), pe care noi o recepionm n fiecare secund de la o stea, se numete strlucire aparent a stelei E.


51

Deci, 24LEr (7) , unde r este distana pn la stea. Majoritatea stelelor au luminozitate

constant. Rezult c strlucirea aparent a unei stele este invers proportional cu distana pn la ea. Luminozitatea (L) depinde de raza stelei (R) i de temperatura (T) la suprafaa ei:

2 44L R T (8). n formula de mai sus, este constanta lui Stefan ( 8 2 45,67 10 Wm K

) din legea Stefan - Boltzmann. Pentru foarte puine stele se poate determina raza R n mod direct, din observaii. Majoritatea stelelor apar ca surse punctiforme de lumin. Formulele amintite mai sus ne permit s determinm dimensiunile stelelor. Se msoar luminozitatea integral a stelei i temperatura ei prin metodele analizei spectrale, apoi se aplic formula (8). O alt cale e s scriem relaia (8) pentru o stea i pentru Soare. Obinem:

2 4

2 4st

st

E L R TE L R T

(9).

Din formula (5) rezult: 0,410 M MLL

(10). Din (9) i (10) obinem:

5lg 10lgR TM MR T

(11).

Introducnd valorile cunoscute pentru M i T i considernd raza Soarelui ( 1R ), unitatea de raz stelar, obinem: 42,3 5lg 10 lgM R T (12), unde R se exprim n raze solare, iar T n grade Kelvin. Exist i alte metode, particularizate la anumite sisteme stelare, de determinare a razelor stelare. De exemplu la stelele duble fizice (sisteme binare) razele componentelor se pot deduce din analiza curbei de lumin i a curbei vitezelor radiale. Razele stelare variaz ntre cteva mii de raze solare i cteva miimi de raz solar. Excepie fac pulsarii (stelele neutronice) i gurile negre, cu dimensiuni mult mai mici dect a stelelor obinuite, doar de cteva zeci de km. Material inspirat din urmtoarele surse bibliografice:

1. Vasile Ureche, Universul. Astronomie, vol. I 2. Vasile Ureche, Universul. Astrofizic, vol. II

Probleme propuse 1. Distana pn la o stea este r = 100 pc i magnitudinea sa aparent este m = 6. Ct este magnitudinea absolut a stelei? 2. Steaua Vega are magnitudinea aparent m=0,03 i se afl la distana de 27 ani lumin de noi. a) S se afle magnitudinea absolut a stelei Vega i raza stelei, tiind temperatura ei T=10 000 K. b) Ce magnitudine aparent are Soarele dac este observat din steaua Vega? 26,7m . 3. Magnitudinea unei stele variabile crete cu 7 uniti ntre minim i maxim. Dac temperatura la suprafa nu se modific, s se afle de cte ori se modific raza stelei. O stea variabil intrisec i modific dimensiunile (pulseaz).


52

3.O stea dubl are componentele de magnitudini aparente 1 2,6m i 2 4,1m . Privite cu ochiul liber, cele dou componente se confund. Ce magnitudine aparent are steaua? 1 2m m m . 4. Magnitudinea absolut a unei stele este M =2 i magnitudinea aparent este m = 8. Ct este distana pn la stea? 5. Magnitudinea absolut a unei stele din galaxia Andromeda (distana 690 kpc) este M=5. Steaua explodeaz ca supernov, devenind de un miliard de ori mai strlucitoare. Ct va fi magnitudinea sa aparent n acest caz? 6. Magnitudinea aparent total a unui sistem stelar triplu este 0,0. Dou dintre componente au magnitudinile 1,0 i 2,0. Ct este magnitudinea celei de-a treia componente? 7. Un asteroid cu diametrul de 100 m i cu un albedo de 0,1, se apropie de Pmnt cu o vitez de 30 km /s. S se afle magnitudinea aparent a asteroidului : a) cu o sptmn nainte de coliziunea cu Pmntul; b) cu o zi nainte de coliziune .

Material realizat de profesor Lucia Popa, coala nr. 5 Galai

CONCURSUL DE MATEMATIC MATHGAL 28 IANUARIE 2012 EDIIA I

RUNDA I

Un grup de elevi a plecat n excursie. La trecerea peste un ru au gsit un numr de brci, astfel nct dac se mbarcau cte 6, 4 elevi rmneau fr loc , iar dac se mbarcau cte 8, rmnea o barc liber. Ci elevi i cte brci erau? Suma preurilor a trei produse dintr-un magazin este 87 lei. Dac preul primului produs se mrete cu 150% din el, preul celui de-al doilea se micoreaz cu 25% din el, iar cel de-al treilea pre scade cu 5 lei, preurile obinute sunt egale. Aflai preurile iniiale ale celor trei produse. Ionel a decupat dintr-o coal de hrtie un dreptunghi ABCD cu lungimea de dou ori mai mare dect limea. A marcat apoi un punct M pe latura AD astfel nct 1

3MDMA

i un alt punct N pe latura DC astfel nct 2DN NC , dup care a tiat colul dreptunghiului dup segmentul MN .

a) Determinai a cta parte din suprafaa dreptunghiului reprezint suprafaa colului ndeprtat n urma tieturii?

b) Dac suprafaa iniial a dreptunghiului a fost de 72 cm2, calculai lungimea diagonalei AC .

c) Dac lungimea dreptunghiului a fost de 12 cm, determinai perimetrul figurii rmase. Aproximai rezultatul la o sutime prin adaos.

RUNDA II

Am mai puin de 300 de cri i vreau s le aranjez n bibliotec. Dac pun cte 5 cri pe un raft mi mai rmn 3, dac le pun cte 6, mi mai rmn 4 cri, iar dac le pun cte 8 mi mai rmn 6 cri. Cte cri am n bibliotec tiind c dac le pun cte 7 nu mai rmne nicio carte de aezat?


53

E

C D A B

B D C

A

Un teren dreptunghiular are perimetrul de 660 m, iar lungimea i limea sunt exprimate prin numere ntregi mai mari dect 10. Dac lungimea terenului ar fi fost mai mare cu 25 m, atunci terenul se putea mpri n parcele ptrate de latur egal cu limea terenului. Calculai aria terenului. n figur, este reprezentat schematic o cutie de chibrituri n form de paralelipiped dreptunghic cu AB = 35 mm, BC = 15 mm i AA = 50 mm. a) Un b de chibrit cu lungimea 45 mm este aezat cu un capt n vrful B i cellalt capt n punctul E pe muchia DD. Artai c distana de la punctul n care bul de chibrit atinge muchia DD la planul bazei ABCD este mai mic de 24 mm. b) Aflai cosinusul unghiului dintre chibrit i muchia AB.

RUNDA III

Cum putem aduce 6 litri de ap de la ru dac dispunem numai de dou vase: unul de 4 litri i altul de 9 litri? Civa turiti au luat masa la o caban. Dac ar fi cu 5 mai muli i dac preul total al mesei ar fi fost cu 600 lei mai mare, fiecare ar fi pltit cu 20 lei mai mult, iar dac ar fi fost 15 turiti n plus i masa ar fi costat cu 400 lei mai mult, fiecare ar fi pltit cu 20 lei mai puin.

a) Ci turiti au luat masa la caban? b) Ct a pltit fiecare turist pentru mas?

Se consider o piramid patrulater regulat cu vrful V i baza ABCD (VA VB VC VD a ), iar unghiurile de la vrf ale feelor sunt de 030 .O furnic pornete din punctul A i merge pe toate feele laterale, n linie dreapt, pn revine n punctul A . Se noteaz cu 'B , 'C , 'D punctele unde furnica traverseaz, respectiv, muchiile ,VB VC i VD . S se precizeze cnd drumul acesta este cel mai scurt i, n acest caz, s se calculeze lungimea lui.

Concursul de matematic MATHGAL-ediia a II-a 26 ianuarie 2013

Catedra de matematic a colii Gimnaziale nr 5 Galai organizeaz n data de 26 ianuarie 2013 concursul de matematic MATHGAL. Comisia de organizare a concursului: Preedintele concursului: prof. Bogdan Antohe C.N.M.K Galai. Coordonatorul concursului: prof. Florin Antohe- coala Gimnazial nr 5 Galai. Director al colii Gimnaziale nr 5: prof. Daniela Nicolaev Malaxa. Inspector colar pentru nvmnt primar: prof. Maricel Nicolae Lazr. Inspector colar matematica:prof. Viorica Bujor. Comisia de selectare a subiectelor: institutor Constantina Hulua- clasa a III-a. prof. nvmnt primar Tatiana Lbu- clasa a IV-a. prof. Marius Antonescu- clasa a V-a.


54

prof. Bogdan Antohe- clasa a VI-a. prof. Florin Antohe- clasa a VII-a. prof. Daniela Nicolaev Malaxa- clasa a VIII-a. Concursul are dou probe. Proba individual. La proba individual poate participa orice elev care achit taxa de participare de 10 RON. Subiectul probei individuale va fi alctuit din 20 de itemi tip gril cu cinci variante de rspuns i o problem care va constitui subiect de departajare n caz de egalitate. Pentru fiecare item rezolvat corect se acord 4 puncte, iar pentru fiecare item greit se scade un punct. ntrebrile fr rspuns nu se vor puncta sau depuncta. Din oficiu se acord 20 de puncte. Proba de concurs ncepe la ora 9:00. Durata probei este de 2 ore. La fiecare clas se vor acorda premiile I,II,III i un numr de meniuni, care va fi stabilit de ctre coordonatorul concursului n funcie de numrul participanilor. Perioada de nscriere este cuprins ntre 3 decembrie 2012 i 20 ianuarie 2013, ns nscrierile se vor sista n momentul atingerii capacitii maxime a colii. Programa de concurs: Clasa a III-a:Materia claselor precedente i materia semestrului I. Clasa a IV-a:Materia claselor precedente i materia semestrului I. Clasa a V-a: Materia parcurs pe semestrul I: pn la capitolul fracii. Clasa a VI-a: Algebr: pn la media aritmetic ponderat a numerelor raionale pozitive.Geometrie: pn la capitolul Perpendicularitate. Clasa a VII-a: Algebr: pn la capitolul calcul algebric. Geometrie: pn la asemnarea triunghiurilor. Clasa a VIII-a: Algebra: pn la capitolul funcii. Geometrie: Pn la capitolul calcul de arii i volume n poliedre. Proba pe echipe. Pentru gimnaziu echipele vor fi formate din 4 elevi (cte unul din fiecare clas), iar pentru ciclul primar echipele vor avea n componen doi elevi de clasa a III-a i doi de clasa a IV-a. Componenii echipelor care nu au participat la proba individual vor achita taxa de participare de 10 ron/ elev. Dup desfurarea celor trei runde se vor face dou clasamente , unul pentru gimnaziu i altul pentru ciclul primar. n continuare prezentm cte un model de subiect pentru proba individual. La selectarea subiectelor au lucrat: prof. nvmnt primar Tatiana Lbu, institutor Constantina Hulua, prof. Florin Antohe, prof. Bogdan Antohe.

Clasa a III-a-MODEL DE SUBIECT PROBA INDIVIDUAL 1. Aflai termenul necunoscut din exerciiul m 629 = 198. Valoarea lui m este:

A B C D E 431 827 817 531 Alt rspuns

2. Din suma numerelor 527 i 285 scdei diferena lor. Rezultatul obinut este: A B C D E

812 242 630 570 Alt rspuns 3. Din suma numerelor 46 i 36 scade produsul numerelor 7 i 9. Rezultatul obinut este:

A B C D E 19 82 63 29 Alt rspuns

4. O carte cost 7 lei i un caiet 6 lei. Ce rest primete David de la 100 lei, dac a cumprat 8 cri i 7 caiete?

A B C D E


55

56 42 2 98 Alt rspuns 5. Precedesorul i succesorul numrului 100 sunt urmtoarele numere:

A B C D E 101; 102 98; 99 100; 101 99; 101 Alt rspuns

6. Cu ce numr trebuie adunat numrul n care 8 se repet ca termen al adunrii de 9 ori pentru a obine 100?


7. Din cel mai mare numr natural par scris cu trei cifre diferite scade cel mai mic numr impar scris cu 3 cifre diferite. Rezultatul obinut este:

A B C D E 876 886 883 887 Alt rspuns

8. tefan s-a ntors de la joac la ora 18:00. El s-a jucat n parc 3 ore. La ce or a plecat tefan la joac?


9. Care este diferena dintre dou numere pare consecutive? A B C D E 2 1 3 4 Alt rspuns

10. Acum doi ani, Dorel i tatl su aveau mpreun 45 ani. Ci ani are acum Dorel, dac tatl su are 37 de ani?


11. Cosmina hrnete animalele din curtea bunicii: 7 rae, 7 iepuri, 9 gini i un cine. Cte picioare sunt n curte?


12. Vlad are 9 ani. Anul trecut vrsta lui era de 4 ori mai mic dect a tatlui su. Ci ani are tatl su?


13. Diana taie o panglic n buci cu lungimea de 4 metri. Ce lungime avea panglica dac a fcut 5 tieturi?


14. 5 perechi de iepuri au cte 3 iepurai. mpreun sunt... A B C D E 30 15 8 25 Alt rspuns

15. Sunt un numr care are 36 de zeci, iar suma cifrelor mele este 17. Care numr este succesorul meu?


16. O turm format din 10 oi albe i 7 oi negre se amestec cu o turm format din 20 de oi albe i negre. Care este cel mai mare numr posibil de oi albe din turma astfel format?


17. O ciocolat mare cost 4 lei, una medie cost 2 lei, una mic 1 leu. Mama a cumprat 10 ciocolate, cel puin cte una din fiecare fel i a pltit 15 lei. Cte ciocolate mari a cumprat?

A B C D E


56

3 4 2 1 Alt rspuns 18. Se tie c b+c=246 i b+b+c+c+b=500. Aflai valoarea lui c.


19. Dan, Ioana i Cornelia se pregtesc pentru concurs. Ei au rezolvat 257 de probleme. Cte probleme a rezolvat fiecare, dac Dan mpreun cu Ioana au rezolvat 165 probleme, iar Cornelia mpreun cu Ioana au rezolvat 179 de probleme ?

A B C D E 14; 100; 143 57; 65; 135 78; 87; 92 Alt rspuns

20. Determinai toate numerele pare de forma abc , tiind c ab este rsturnatul produsului dintre 9 i 8.


Clasa a IV-a MODEL DE SUBIECT PROBA INDIVIDUAL

1.Suma vecinilor numrului 13129 este mai mic dect numrul 27514 cu: A B C D E

1356 2056 256 1256 Alt rspuns 2.Un numr adunat cu jumtatea i sfertul su d rezultatul 147. Numrul este egal cu:


3.Gsete valoarea lui " "m din : : 1m m m m m ? A B C D E 5 2 1 4 Alt rspuns

4.Afl numrul de forma amam despre care se tie c 3m a iar suma cifrelor este 16. A B C D E

3131 2828 2626 1010 Alt rspuns 5.Un gospodar are n curte gini i oi, n total 33 de capete i 82 de picioare. Cte gini i cte oi are gospodarul?

A B C D E 20;30 15:15 8;25 11;19 Alt rspuns

6.Afl valoarea lui " "a din 275 300 26 :8 306a : A B C D E 5 2 10 52 Alt rspuns

7.Dublul numrului 27 este egal cu un sfert din sfertul numrului " "a .mptritul lui a este: A B C D E

216 3454 54 864 Alt rspuns 8.Suma a dou numere este 949.mprind un numr la altul obinem ctul 8 i restul 4. Numerele sunt:

A B C D E 804;105 459;207 398;27 109;356 Alt rspuns

9.Un caiet i o carte cost 35 lei.Alin cumpr 6 cri i 6 caiete. Ce rest primete de la o bancnot de 500 lei?


10.Ctul a dou numere este 5, iar diferena lor este 36. Numerele sunt: A B C D E

9;45 48;24 15;10 12;48 Alt rspuns


57

11.Din cel mai mare numr de 5 cifre diferite iau dublul celui mai mare numr de 4 cifre diferite pare. Rezultatul este:

A B C D E 81481 71578 11671 10307 Alt rspuns

12.Un numr l nmulesc cu 10, apoi cu 2, iau din rezultat dublul lui 17 i adaug jumtatea lui 50. Obin numrul 851. Numrul este :


13.Cte numere de 3 cifre au suma cifrelor 5 i produsul 0? A B C D E 3 9 5 6 Alt rspuns

14. O carte cost cu 22 lei mai mult dect un caiet, iar 3 caiete cost ct o carte. Ct cost o carte?


15.ntr-un co sunt mere.Daca s-ar mai pune inc pe attea, nc jumtate i nc un sfert din cte sunt n co, ar fi n total 550 de mere.Cte mere erau n co la nceput?


16.Diferena a dou numere este 320, iar ctul lor este 5. Suma numerelor este: A B C D E

280 480 60 540 Alt rspuns 17.Calculai a b c , tiind c 680a b , 692b c , 628a c :

A B C D E 360 490 730 780 Alt rspuns

18.Cnd tatl avea 42 de ani, Andrei avea 8 ani.Acum tatl are vrsta de dou ori mai mare dect a lui Andrei. Ci ani are Andrei?


19.Dac 5x y , : 3y z si 756 : 3z , suma numerelor , ,x y z este: A B C D E

367 245 427 298 Alt rspuns 20.8 perechi de iepuri au cte 7 iepurai. Cte picioare sunt n total?


Clasa a V-a MODEL DE SUBIECT PROBA INDIVIDUAL

1.Valoarea lui x din 10 10 : 10 10 10 :10 10 11x este: A B C D E 1 11 10 12 Alt rspuns

2.Un caiet, 3 creioane i 5 reviste cost 64 lei, iar 5 caiete, 4 creioane i 3 reviste cost 56 lei.Ct cost la un loc un creion i dou reviste?


3.O persoan urc treptele unei scri dup regula: urc 3 trepte , coboar 2 trepte, urc din nou 5 trepte i coboar o treapt.Dup ci pai ajunge pe treapta 736?

A B C D E 1500 1634 1512 1618 Alt rspuns


58

4.Fie 2003 cifre

9 99 999 .... 999..99A . Cte cifre de 1 are numrul A? A B C D E

2007 2005 100

2 revistagata

Documents