2. LINEARNA ALGEBRA- nastavak

1. GAUSS- JORDANOVA METODA

Gauss-Jordanova metoda je metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. To je metoda

transformacije matrica u njima ekvivalentne matrice pomoću određenih „alata“ odnosno

elementarnih transformacija. Njih provodimo nad proširenom matricom sustava.

-CILJ: dobiti jediničnu matricu (jedinice na glavnoj dijagonali,a iznad i ispod su nule)

-ALATI: 1. zamjena redaka- smijemo mijenjati samo retke!

2. množenje i dijeljenje retka brojem

3.množenje retka brojem i dodavanje drugom retku

Postupak:

-sustav jednadžbi prebacujemo u matricu sustava

-u svaki redak pišemo koeficijente koji nam se nalaze uz nepoznanice

- u svakom stupcu element na dijagonali svodimo na jedinicu, a ostale elemente u stupcu svodimo na

nulu i to provodimo dokle god možemo!

KRONECKER- CAPELLI-JEV TEOREM: Kriterij za egzistenciju rješenja sustava linearnih jednadžbi

je ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava:

STRUKTURA rješenja sustava linearnih jednadžbi:

-ako sustav linearnih jednadžbi ima rješenje, ono može biti jedinstveno ili parametarsko:

1. Jedinstveno rješenje je rješenje u kojemu svaka nepoznanica poprima samo i

isključivo jednu vrijednost. Npr. . Sustav s jedinstvenim rješenjem

nazivamo regularan ili CRAMEROV sustav. Kod takvog sustava matrica tog sustava je

kvadratna i njena je determinanta različita od nule.

2. Parametarsko rješenje je rješenje u kojem barem jedna nepoznanica može poprimiti

više tj. beskonačno mnogo rješenja, a to vidimo po tome što nam na kraju barem

jedna nepoznanica bude zapisana pomoću neke druge nepoznanice. Npr. .

Kod parametarskih rješenje matrica sustava ne mora bit kvadratna. Ako je ipak

matrica takvog sustava kvadratna, njena je determinanta jednaka nuli.

Ako na kraju dobijemo matricu kojoj rang matrice sustava nije jednak rangu proširene matrice

sustava, tada taj sustav nema rješenja. Sustav koji nema rješenja nazivamo: neregularan, singularan,

nekonzistentan, nesuglasan, kotradiktoran. To je situacija u kojoj nam se pojavi da su nule jednake

nekom broju, odnosno npr. što je neistinita tvrdnja jer 0≠5. Netko u tom

sustavu laže! Tada sustav nema rješenja.

2. INVERZ MATRICE

Inverz matrice pronalazi se postupkom invertiranja. Postoje dva načina traženja inverza matrice:

1. Pomoću G-J transformacija: matricu A proširimo (iscrtkanom crtom) sa desne strane sa

jediničnom matricom odgovarajućeg formata (istog kao što je matrica A). Nad takvom

proširenom matricom provodimo Gauss-Jordanove transformacije sve dok sa lijeve strane ne

dobijemo jediničnu matricu, a tada nam je matrica koja je ostala s desne strane upravo taj

inverz kojeg smo tražili. Napomena: ako s lijeve strane proširene matrice mijenjamo stupce,

zamjenu odgovarajućih stupaca moramo provesti i na desnoj strani. To izgleda ovako:

2. Pomoću matrice algebarskih komponenti koju još nazivamo adjungirana matrica

(adjunkta). Inverz se računa po formuli:

. Adjunktu je najlakše izračunati ako se

radi o matrici 2x2 pa su to uglavnom slučajevi gdje koristimo ovaj postupak traženja inverzne

matrice. Adjunktu dobijemo tako da elementima na glavnoj dijagonali zamijenimo mjesta, a

elementima na sporednoj dijagonali promijenimo predznake.

2.1. Dodatno: Općeniti postupak računanja adjunkte: za matricu A i jedan njezin element aij

prvo odredimo matricu Ai.j koja se dobije tako da iz matrice A izbrišemo redak i stupac u

kojem se nalazi element aij. Zatim odredimo determinantu te matrice. Onda odredimo

element nove matrice aij* tako da izračunatu determinantu pomnožimo odgovarajućim

predznakom i postupak ponovimo za sve elemente matrice A: .

Nakon toga, matricu s elementima aij* transponiramo i dobili smo adjunktu (sjeti se:

transponirati znači retke pretvoriti u stupce!)

SINGULARNA I REGULARNA MATRICA:

a) Za matricu kažemo da je REGULARNA ako ima inverz tj. ako postoji matrica

za koju vrijedi (gdje je jedinična matrica). Osnovni kriterij

da bi matrica bila regularna je ako je pripadna determinanta te matrice različita od nule

tj. . Rang matrice tada je maksimalan.

b) Za matricu kažemo da je SINGULARNA ako nije regularna Kod singularne matrice

pripadna determinanta je jednaka nuli . Rang tada nije maksimalan.

3. RANG MATRICE

Rang matrice je najveći broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca te matrice. (linearna zavisnost je

kada se jedan redak/stupac može prikazati kao linearna kombinacija drugih, dakle ovdje to nije

moguće)

Rang matrice određuje se tako da matricu svodimo na trokutasti oblik pomoću G-J metode (najčešće

gornje trokutasta matrica) jer želimo da su nam elementi ispod (ili iznad) glavne dijagonale nule. Iz

trokutastog oblika matrice potom iščitavamo rang: rang je jednak broju elemenata na glavnoj

dijagonali koji su RAZLIČITI od nule. Ili, rang je jednak broju „stepenica“, a stepenicu radimo ispod

svakog broja na glavnoj dijagonali koji nije nula, kada vidimo nulu nacrtamo „pod“.

Rang matrice je broj neponištenih redaka/stepenica svaki redak ima svoju stepenicu.

Kažemo da matrica ima rang ako je r maksimalan broj linearno nezavisnih redaka (stupaca) matrice.

Rang po stupcima jednak je rangu po recima. Rang matrice A označavamo sa r(A). Rang matrice

tražimo tako da ju pomoću elementarnih transformacija svedemo na kanonsku matricu ranga r.

4. DETERMINANTE

Određivanje determinante je zapravo „rješavanje matrice“ , tj. determinanta je preslikavanje koje

kvadratnim matricama pridružuje realan broj. Dakle od matrice (skup elemenata zapisanih u tablicu)

napravi jedan broj i to neka ti bude „vrijednost“ matrice. Determinanta matrice je realan broj

za koji vrijedi gdje je skup svih permutacija

, a je predznak koji se pridružuje svakoj permutaciji.

SVOJSTVA DETERMINANTE:

1. Ako su u retku/stupcu sve nule tada je det A≠0

2. Ako su dva retka/stupca jednaka ili proporcionalna, det A=0

3. Ako je determinanta gornje trokutasta tada je determinanta jednaka umnošku elemenata na

dijagonali

4. Red/stupac determinante možemo pomnožiti brojem i dodati drugom redu (kao kod G-J!)

5. Matrica i njena transponirana matrica imaju iste determinante detA=detAT

6. Ako zamijenimo dva stupca ili dva retka determinante, tada determinanta mijenja predznak

7. Za kvadratne matrice vrijedi BINET-CAUCHY-JEV TEOREM da je determinanta umnoška

kvadratnih matrica jednaka umnošku determinanti tih matrica

Ovisno o veličini matrice čiju determinantu računamo, postoje tri načina za izračunavanje vrijednosti

determinante:

1) Ako imamo kvadratnu matricu M2 tada determinantu računamo po pravilu ad-bc (to je isto

Laplaceov razvoj, ali najjednostavnija varijanta):

2) Ako imamo kvadratnu matricu M3 tada determinantu računamo pomoću Sarrusovog pravila

(pamti kao: glavne dijagonale minus sporedne): Postupak se provodi tako da nadopišemo prva dva

stupca determinante, a zatim računamo (zbroj umnožaka na glavnim dijagonalama)-(zbroj umnožaka

na sporednim dijagonalama).

3) Ako imamo kvadratnu matricu M4 ili veću, tada koristimo Laplaceov razvoj determinante, kako bi

vrijednost determinante reda nxn definirali pomoću vrijednosti determinante nižeg reda, koju onda

računamo po pravilu 1. ili 2. Laplaceov razvoj glasi : . Pri

rješavanju takvih zadataka, biramo red ili stupac sa što više nula kako bi što veći broj pribrojnika u

navedenoj sumi bio nula. se naziva podmatrica odnosno algebarski komplement elemenata

koju dobijemo tako da izbacimo redak i stupac koji sadrži element . Nakon što izbacimo taj redak i

stupac, preostaje nam determinanta 3x3 koju razvijamo po proizvoljnom j-tom stupcu i svaku od tih

determinanti, ako ju ne množi nula, dalje rješavamo po Laplaceovom razvoju ili preko Sarrusovog

pravila.

5. VEKTORI

Vektor je jednostupčana matrica dimenzije n koja nam ujedno govori i koliko vektor ima elemenata.

Vektor A tako možemo zapisati kao gdje označava vektorski prostor kojemu taj vektor

pripada.

S vektorima možemo raditi sve isto što i s matricama (+,-, *sa skalarom), ali kod vektora imamo još

dodatnu operaciju, skalarno množenje koju možemo naći i pod nazivom skalarni produkt vektora.(To

nije isto što i množenje skalarom!) Uvjet za skalarni produkt vektora je da vektori budu jednakih

dimenzija . Skalarni produkt vektora je zbroj umnožaka odgovarajućih koordinata, ili

možemo reći pojednostavljeno množenje matrica. Uzmemo element a1 prvog vektora, pomnožimo

ga s b1 i to redom zbrajamo sa pomnoženim a2*b2 itd. Matematički zapisano to izgleda ovako:

Ako se prisjetimo vektora iz srednje škole (tko ih je učio ), tada skalarni produkt vektora možemo

povezati sa geometrijskom okomitosti vektora. Ako vrijedi da je skalarni produkt , tada su

vektori okomiti (druga riječ ortogonalni).

Još jedna stvar koju treba znati kod vektora je tzv. NORMA vektora. Da nam bude lakše shvatiti što je

to, sada na vektor zaista gledamo kao usmjerenu dužinu u geometrijskom prostoru.

Zanima nas dujina tog vektora (kao duljina dužine). Ta duljina je broj koji se naziva norma. Ili, norma

vektora je funkcija koja vektoru pridružuje njegovu duljinu. Najpoznatiji način za dobivanje

norme je „Euklidska norma“ koja se računa po formuli:

. Tj. norma

se dobije kao korijen zbroja kvadriranih elemenata vektora. A je vektor iz prostora , a ili

samo je oznaka za normu vektora.

SVOJSTVA NORME:

1. Norma vektora je uvijek veća ili jednaka nuli

2. Ako vektor množimo skalarom c tada vrijedi: odnosno normu množimo

apsolutnom vrijednošću skalara

3. Ako je norma vektora 0, tada se radi o nul-vektoru, a isto kao i kod nul-matrice, to je vektor

čiji su svi elementi 0

4. Vrijedi nejednakost trokuta: odnosno duljina zbroja dvaju vektora

uvijek je manja od zbroja posebno duljine vektora a i vektora b jer sjetimo se, vektori se

geometrijski zbrajaju po pravilu trokuta

Osim norme, drugi pojam vezan uz vektore je METRIKA, a to je funkcija po kojoj računamo udaljenost

između dva vektora (ili općenito, između dva elementa nekog skupa; ne mora biti samo između

vektora). Metriku odnosno udaljenost između dva vektora označavamo s i računamo preko

norme tj. duljine razlike vektora:

LINEARNA KOMBINACIJA VEKTORA X, Y je vektor gdje su realni brojevi (može biti

i više od dva vektora).

a) Vektori su linearno ZAVISNI ako se jedan može prikazati kao linearna kombinacija drugog (ili

drugih ako ih ima više). Vektor je linearno zavisan o vektorima X1, X2, …, Xk ako

se vektor A može prikazati kao linearna kombinacija tih vektora tj. ako postoje realni brojevi

c1, c2,…,ck takvi da je A= c1 X1+ c2 X2+…+ ck Xk odnosno da postoje neki koeficijenti kojima

možemo pomnožiti te vektore i kada ih zbrojimo dobiti vektor A.

b) Vektori su linearno NEZAVISNI ako se niti jedan od njih ne može prikazati kao linearna

kombinacija drugog/preostalih (ako ih ima više). Također za skup vektora X1, X2, …, Xk

kažemo da su linearno nezavisni ako sustav jednadžbi c1 X1+ c2 X2+…+ ck Xk=0 ima samo

trivijalno rješenje,a to znači da je jedino rješenje sustava c1 = c2 =…=ck =0.

6. INPUT-OUTPUT ANALIZA

Neka je gospodarstvo neke zemlje podijeljeno u n sektora. Koristimo slijedeće oznake:

Qi je oznaka za ukupnu količinu proizvoda u nekom i-tom sektoru.

Qij je oznaka za količinu outputa i-tog sektora koja će prijeći u j-ti sektor.

qi je količina finalne potražnje i-tog sektora.

i=1,2,…,n j=1,2,…,n

Input output tablica tada izgleda ovako:

Vektor outputa Qi Međusektorska potražnja Qij Finalna potražnja qi

Q1 Q11 … Q1n q1

Qn Qn1 … Qnn qn

Jedna od temeljnih pretpostavki input-output modela je da je za svaki redak vektor outputa jednak

zbroju međusektorske potražnje i finalne potražnje:

To nam daje odgovor na pitanje koliko trebamo proizvoditi (Q1) da bi međusektorska i finalna

potražnja bile zadovoljene.

MATRICA TEHNIČKIH KOEFICIJENATA A je fiksni dio svake input-output tablice.

-popunjava se po formuli

Tehnički koeficijent nam govori kolika je količina proizvoda i-tog sektora

potrebna da se proizvede jedinica proizvoda j-tog sektora.

MATRICA TEHNOLOGIJE T:

U opisanom modelu želimo da ekonomske veličine budu nenegativne tj. da inverz matrice

tehnologije ima sve nenegativne elemente . Da bi se to postiglo matrica tehnologije

mora zadovoljavati Hawkins-Simonov uvjet koji kaže: kako bi matrica imala sve

nenegativne elemente, sve vodeće minore matrice moraju biti pozitivne.

Sada da još objasnimo što su vodeće minore. Vodeće minore matrice su vrijednosti determinanti

kvadratnih podmatrica koje obuhvaćaju jedan, dva odnosno sva tri elementa glavne dijagonale. Svaka

vodeća minora je za jednu dimenziju veća od prethodne, te niz nastavljamo dok ne dođemo do

determinante cijele zadane matrice. Tj. krenemo od matrice koja se sastoji od samo jednog broja,

početnog elementa gore lijevo i računamo njenu determinantu što je samo apsolutna vrijednost tog

broja. Zatim to proširimo na matricu 2x2 pa računamo njenu determinantu. Pa na matricu 3x3 pa

njenu determinantu itd. dok na kraju ne obuhvatimo cijelu matricu. Ako su svi tako izračunati brojevi

odnosno vodeće minore pozitivni, onda i inverz takve matrice tehnologije T ima sve nenegativne

članove.