Kalkulus 3, Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma

11. Integral garis dan integral permukaan

Integral garisMisalkan C suatu kurva kontinu pada bidang, di mana C didefinisikan oleh

btatyytxx ),(),( dan C tidak melewati titik x = 0 dan y = 0 secara simultan.Kurva C berawal di ))(),(( ayaxA dan berakhir di ))(),(( bybxB .

Integral garis sepanjang kurva C untuk fungsi),( yxfz diberikan oleh:

C

b

a

dttytxtytxfdsyxf 22 )]('[)]('[))(),((),(

Q1: Hitung C

ydsx2 , di mana C didefinisikan oleh parameter

2/0 ,sin3,cos3 ttytxQ2: Hitung

C

xydydxyx 2)( 22 , di mana C didefinisikan oleh parameter

2332 0 ,, ttytx

Kebebasan tapakSuatu himpunan D dikatakan tersambung jika sebarang dua titik dalam D dapatdihubungkan oleh kurva yang seluruhnya terletak dalam D.Integral garis

C

drrF )( dikatakan bebas tapak dalam D jika untuk sebarang dua titik A

dan B dalam D, memiliki hasil yang sama untuk sebarang tapak C dalam D yang secarapositif terarah dari A ke B.Jika F adalah gradien fungsi f, maka

C

drrF )( adalah bebas tapak; demikian pula

sebaliknya.

Diberikan kjiF PNM . Maka F dikatakan konservatif ( fF ) jika dan hanya jika

yP

zN

xP

zM

xN

yM

, , .

Q3: Periksalah apakah jiF )66()94( 53223 yyxyxx konservatif. Jika demikianhalnya, tentukan fungsi f yang mempunyai F sebagai gradiennya.Q4: Gunakan F sebagaimana pada Q3. Hitung

C

drrF )( , dengan C adalah sebarang

tapak dari (0,0) ke (1,2).

Kalkulus 3, Ahmad Sabri, Universitas Gunadarma

Integral permukaan

Misalkan G suatu permukaan yang didefinisikan oleh ),( yxfz , dengan (x,y) di R. Jikaf mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dan )),(,,(),,( yxfyxgzyxg kontinu di R, maka:

G R

yx dydxffyxfyxgdSzyxg 1)),(,,(),,( 22

Q5: Hitung G

dSzxy )( , dengan G adalah bidang 32 zyx yang berada di atas

segitiga R pada bidang XY dengan titik sudut (0,0), (1,0), dan (1,1).Q6: Hitung

G

xyzdS , dengan G adalah bagian dari kerucut 222 yxz di antara

bidang z = 1 dan z = 4.