Tema 2:Fundamentos de Conversión Electromecánica de EnergíaElectromecánica de Energía

Convertidor Elemental

Ecuación Diferencial

Leyes de Maxwell y Lorenz

Geometría Simple

Convertidor Electromagnéticos Prácticos

Diferenciación entre el Convertidor Elemental y el Convertidor

Práctico

Leyes de Maxwell y Lorenz

¿Ecuación Diferencial?Geometría Compleja

Balance de Energía

Balance de Coenergía

Principio de los Trabajos Virtuales

Fuerzas Eléctricas

¿Como analizar los convertidores electromagnéticos prácticos?

Esquema General de un Convertidor Electromagnético

M

Á

En general una máquina eléctrica posee varios ejes o puertos pordonde fluye la energía

Ejes

Elé

ctri

cos

Energía y Coenergía en el Campo

Á

Q

U

I

N

A

Ejes

Elé

ctri

cos

Ejes

Mec

ánic

os

Leyes de Kirchoff

Leyes de Newton

Ecuaciones Internas

Esquema General de un Convertidor Electromagnético Simple

:Es la variación de energía que se almacena en los camposeléctricos y magnéticos de la máquina

En las máquinas eléctricas, no toda la energía introducidaen los ejes eléctricos se entrega en los ejes mecánicos yviceversa. Es necesario que parte de la energía sealmacene en los campos electromagnéticos delconvertidor. En un balance de energía en la máquinaconvertidor. En un balance de energía en la máquinaeléctrica es necesario tener en cuenta la parte de laenergía que fluye hacia y desde los campos eléctricos ymagnéticos.

Comparación de la Capacidad de Acumular Energía de los Campos

Las máquinas que utilizan el campo magnético en la conversión deenergía son mucho más pequeña que una máquina equivalenteque utilice campo eléctrico

Principio de Conservación de la Energía

Para un sistema conservativo

Para obtener la energía eléctrica es necesario conocer ladependencia de la corriente con la posición del convertidor y conrespecto a los enlaces de flujo e integral con respecto aldiferencial de los enlaces de flujo.

Para obtener la energía mecánica es necesario conocer ladependencia de la fuerza con la posición del convertidor y conrespecto a los enlaces de flujo e integral con respecto aldiferencial de posición.

Diagrama Enlace de Flujo-Corriente de un Electroimán Elemental

Integral de la corriente con respectoa los enlaces de flujo para la posiciónfija

Diagrama Enlace de Flujo-Corriente de un Electroimán Elemental

Integral de la corriente con respectoa los enlaces de flujo para la posiciónfija

Integral de la corriente conrespecto a los enlaces de flujopara la posición fija

Integral de la corriente con respectoa los enlaces de flujo para la posiciónfija

Comparación de las Energías para las Distintas Posiciones del Yugo

En un sistema conservativo la energía es una función de

estado. Esto quiere decir que en estos sistemas la

energía acumulada no depende de la trayectoria

utilizada para alcanzar un determinada estado, sino del

valor de las variables en los estados iníciales y finalesvalor de las variables en los estados iníciales y finales

del proceso.

Para una posición fija del sistema mecánico (sistema mecánico enreposo):

¿Energía Acumulada en el Campo?

Es necesario calcular, la diferencia entre la energía eléctrica ymecánica después del proceso

Energía

Coenergía

Energía y Coenergía

Para la energía, el enlace de flujo es la variable independiente y lacorriente es la variable dependiente.

Para la coenergía, la corriente es la variable independiente y elenlace de flujo es la variable dependiente.

Sí el sistema físico es lineal; es decir, sí la relación entre los enlacesde flujo y la corriente del convertidor electromecánico esproporcional, la energía y la coenergía son iguales .

Energía

Coenergía

Coenergía

Energía

Coenergía

Energía

Coenergía Coenergía

La Energía como Función de Estado

1.-La variación de la energía eléctrica no depende de cómo seavanzó de un enlace de flujo a otro; sino de los valores iníciales yfinales de los enlaces de flujo.

2.-La variación de la energía mecánica no depende de cómo seavanzó en el cambio de posición del yugo; sino de la posicióninicial y de la posición final del yugo.

3.-La variación de la energía acumulada en el campo no depende3.-La variación de la energía acumulada en el campo no dependede cómo se avanzó en el cambio de las variables del sistema; sinodel valor de las variables en el inicio y final del proceso.

Electroimán en un Sistema Mecánico

¿Cuál es la variación de energía eléctrica que experimenta el¿Cuál es la variación de energía eléctrica que experimenta elsistema al cambiar los enlaces de flujos?

¿Cuál es la variación de energía mecánica que experimenta elsistema al cambiar la posición del yugo?

¿Cuál es la variación de energía en los campos eléctricos ymagnéticos que experimenta el sistema al cambiar los enlaces deflujos y también la posición de yugo?

Experimento Teórico:

1.-Desplazamiento de la pieza móvil desde la posición

inicial hasta la posición final con el circuito eléctrico

desenergizado. En estas condiciones la fuerza eléctrica

es cero y no es necesario consumir energía mecánica

para desplazar el yugo a la posición final.

2.-Se fija la posición final de la pieza móvil y se2.-Se fija la posición final de la pieza móvil y se

incrementan los enlaces de flujo desde el valor inicial

hasta el valor final.

Para determinar la variación de la energía en el campo,es suficiente evaluar la integral de la corriente conrespecto a los enlaces de flujo cuando la pieza móvil estáen la posición final

Representación del Proceso de Apertura

Posición Inicial

Posición Final

Apertura del Electroimán

1.- Se debe conocer la energía eléctrica que se le suministra alelectroimán en la posición inicial. Sí la posición inicial permanecefija, ésta es también la energía almacenada en el campo.

2.-Se permite el cambio de posición en el electroimán desde laposición inicial hasta la posición final; con el sistema eléctricodesenergizado. La fuerza eléctrica es cero; por lo tanto no se gastaenergía mecánica.

Pasos:

energía mecánica.

3.-Con la posición final fija, se vuelve a energizar el electroimán ypara la misma corriente de régimen permanente anterior se midenlos enlaces de flujo. Se determina la energía eléctrica en la posiciónfinal que es también la energía almacenada en el campo

Se puede determinar la variación de la energía almacenada en elcampo a partir del punto 1 y el punto 3.

Considerando que el sistema tiene un comportamiento lineal:

La ecuación de mallas correspondiente a la red eléctrica es:

La ecuación diferencial que rige el comportamiento de la corriente

Paso 1:

La ecuación diferencial que rige el comportamiento de la corrienteeléctrica en el circuito es:

Resulta en una corriente exponencial cuyo valor en régimenpermanente es:

Paso 2:

Se permite el movimiento del electroimán desde la posición inicialhasta la posición final.

Paso 3:

Apertura del Electroimán

Representación del Proceso de Cierre

Posición Final

Posición Inicial

Cierre del Electroimán

Considerando que el sistema tiene un comportamiento lineal:

La ecuación de mallas correspondiente a la red eléctrica es:

La ecuación diferencial que rige el comportamiento de la corriente

Paso 1:

La ecuación diferencial que rige el comportamiento de la corrienteeléctrica en el circuito es:

Resulta en una corriente exponencial cuyo valor en régimenpermanente es:

Paso 2:

Se permite el movimiento del electroimán desde la posición inicialhasta la posición final.

Paso 3:

Representación del Proceso de Cierre

Cierre del Electroimán a Diferentes Velocidades

Balance Energético del Proceso de Cierre del Electroimán

Balance Energético

Desde que se cierra el interruptor, energizandoel circuito eléctrico con el yugo en la posición

Cuando se permite el movimiento mecánico dela pieza hasta alcanzar la posición

Desde que se cierra el interruptor, energizandoel circuito eléctrico con el yugo en la posición

Energía Eléctrica por Tramos:Energía Eléctrica por Tramos:

Energía acumulada en el campo por tramos:

Energía eléctrica en el proceso:

Energía acumulada en el campo en el proceso:

La energía mecánica realiza un trabajopositivo en el proceso de cierre delelectroimán: La fuerza mecánicaaplicada y el desplazamiento del yugotienen el mismo sentido. Contrario a lasagujas del reloj.

Trabajo Mecánico Negativo

La energía mecánica realiza un trabajonegativo en el proceso de apertura delelectroimán: La fuerza mecánicaaplicada y el desplazamiento del yugotienen el sentidos contrarios. Según lasagujas del reloj.

En esta parte es conveniente realizar algunas precisiones respectoal cambio de posición del electroimán:

�Se ha supuesto que el cambio de posición del electroimánocurre con el circuito eléctrico desenergizado. En este momentono hay fuerza eléctrica desarrollada; de tal manera que no se gastaenergía mecánica en pasar de una posición a otra. Es decir, serealiza un Trabajo Mecánico Virtual en el electroimán. Más alláde los enlaces de flujo cero, se resalta el hecho de que los enlacesde flujo son constantes.de flujo son constantes.

Este principio puede extenderse a los cambios de posición que serealizan manteniendo constantes los enlaces de flujo. Es decir; alos cambios de posición que se realizan a una velocidad teóricainfinita

�Sí durante el cambio de posición no hay variación de la energíaeléctrica, la energía que gasta el sistema mecánico en hacer eltrabajo proviene de la energía almacenada en el campo.

Principio de Trabajo Virtual

Cambio de Posición con Enlace Constante

Energía Eléctrica es Cero

Para una posición fija:

Para un enlace de flujo constante:Para un enlace de flujo constante:

Nótese que la trayectoria de flujo constante coincide con una velocidad deoperación teóricamente infinita.

¿Cómo se determina la fuerza eléctrica desarrollada?

La ecuación anterior, se conoce como la ecuación del Principio de losTrabajos Virtuales, indica que para calcular la fuerza eléctrica sobre lapieza móvil, es necesario conocer la variación de la energía del campo enfunción del desplazamiento, cuando se mantiene constante el enlace deflujo. Cuando en el convertidor, la energía acumulada en el campo esindependiente de la posición, la fuerza eléctrica es cero.

Sí en el convertidor existe una característica lineal entre losenlaces de flujo y la corriente:

Para el electroimán en análisis

Sí el cambio de posición se realiza muy lentamente, la corriente semantiene constante.

No se induce fuerzaelectromotriz debido a quelos enlaces de flujo cambianmuy lentamente y suderivada con respecto alderivada con respecto altiempo es prácticamentenula.

La energía mecánica se puede evaluar mediante diferencias de lacoenergía en el campo.

Se señala lo siguiente:

1.-La fuerza eléctrica depende de la variación de la energía en elcampo cuando el cambio de posición se realiza con los enlaces deflujo constante.

2.-La fuerza eléctrica depende de la variación de la coenergía en elcampo cuando el cambio de posición se realiza con la corrienteconstante.

Principio de Trabajo Virtual

Cambio de Posición con Corriente Constante

No existe fuerza electromotriz debido a que los enlaces de flujo cambian muy lentamente y su

derivada con respecto al tiempo es derivada con respecto al tiempo es prácticamente nula

1.-Cuando el sistema es lineal, se puede determinar la fuerzaaplicando la energía o coenergía del campo.

2.-Cuando el sistema no es lineal, sí se conocen los enlaces de flujoen función de las corrientes, es más conveniente utilizar ladefinición de coenergía en el campo.

Resumen del Principio de los Trabajos Virtuales:

definición de coenergía en el campo.

3.-Cuando el sistema no es lineal, sí se conocen las corrientes enfunción de los enlaces, es más conveniente utilizar la definición deenergía en el campo.

Ecuaciones Internas del Convertidor

:Fuerza eléctrica producida por la interacción electromagnética.Se puede determinar a partir de la energía o la coenergía delcampo.

:Fuerza producida por la aceleración de la pieza móvil

:Fuerza producida por el rozamiento de la pieza móvil

:Coeficiente de rozamiento:Coeficiente de rozamiento

:Termino de la fuerza electromotriz que depende de lavelocidad de la pieza móvil, denominado termino degeneración.

:Termino que depende de la variación de la corriente en lamáquina, denominado termino de transformación.

Ecuaciones Internas de la máquina son:

Coenergía:

Energía:

Es necesario conocer:

1.-Las condiciones iníciales de las variables de estado:

2.-Las condiciones de borde:

Ecuaciones de PotenciaPotencia Mecánica Utilizada:

Potencia Eléctrica Absorbida:

Las condiciones en régimen permanente son:1.-Corriente y velocidad constante.2.-Se desprecian las pérdidas por fricción y por efecto joule

Balance Energético en una máquina eléctrica en régimen continuo

No es posible construir una máquina que funcione solo concorriente continua.

La argumentación anterior se puede cuestionar debido a que sonmuy frecuentes en la industria las “Máquinas de CorrienteContinua” . Sin embargo, en este caso el término corriente continuase aplica a la fuente utilizada para alimentar el convertidor. Lasmáquinas de corriente continua requieren de un dispositivoinversor electromecánico; las escobillas y el colector, que permite lavariación de la corriente en el devanado de la máquina.

Generalización de las Ecuaciones

Sí se varia la posición, el intercambio energético se produce entrelos ejes eléctricos y el eje mecánico.

Sí la posición permanece fija, el intercambio energético se produceentre los ejes eléctricos únicamente.

Sí la posición se mantiene fija:

En los casos lineales:

Generalizando:

Electroimán con Yugo rotativo

Para el análisis de los convertidores electromecánicos resulta deutilidad la aplicación de los balances de energía o coenergía comométodo para la determinación de las fuerzas involucradas en elproceso. Los métodos de análisis directo a partir de las leyes deMaxwell y la relación de Lorenz pueden ser muy difíciles de aplicaren las máquinas reales.

Los convertidores electromecánicos pueden poseer varios ejes o

Resumen

Los convertidores electromecánicos pueden poseer varios ejes opuertos eléctricos y mecánicos. Al menos un eje eléctrico y unomecánico para definir que una máquina es un convertidorelectromecánico. Los ejes son las puertas de entrada y salida deenergía. Los puertos eléctricos están definidos por la fuerzaelectromotriz y la corriente. Los puertos mecánicos lo están por lavelocidad angular o lineal y por el par y la fuerza.

El principio de los trabajos virtuales permite la evaluación de lafuerza o el par en un sistema electromecánico. Conocida la energíao la coenergía en función de las variables de estado, le derivadaparcial de la energía o coenergía con respecto a la posición;desplazamiento virtual, determinan la fuerza o el par.

Las ecuaciones internas de fuerza electromotriz se obtienen porderivación con respecto al tiempo de los enlaces de flujo. En lossistemas lineales, la matriz de inductancia determina elsistemas lineales, la matriz de inductancia determina elcomportamiento electromagnético del convertidor.

Cuando se incluyen las condiciones de contorno que unen lamáquina con los sistemas eléctricos y mecánicos, utilizando lasleyes de Kirchoff y la segunda ley de Newton, se completa elconjunto de ecuaciones diferenciales que definen elcomportamiento dinámico del convertidor

Ejemplo 1: Determinación de las Ecuaciones Internas delConvertidor

Las relaciones no lineales entre los enlaces de flujo y la corrientepor las bobinas de un convertidor son:

De las relaciones dadas; se tiene que el convertidor está constituidopor dos puertos eléctricos (bobinas 1 y 2) y dos puertos mecánicospor dos puertos eléctricos (bobinas 1 y 2) y dos puertos mecánicos(x, y). Existen por lo tanto cuatro ecuaciones internas : dos fuerzaselectromotrices; una en cada puerto eléctrico, y dos fuerzaseléctricas; una en cada eje mecánico.

Ejemplo 2: Ecuaciones de Par en un Convertidor rotativo

La relación entre las corrientes y los enlaces de flujo de unconvertidor electromecánico rotativo es:

Se determina el par mediante el concepto de energía en el campo:

Determine la condición necesaria para obtener un par eléctricopromedio diferente de cero; sí el enlace con la primera bobina esconstante, y con la segunda bobina varia sinusoidalmente con eltiempo a una frecuencia

Prueba Diagnóstica:

1.-Establezca de manera general la dificultad para analizar losconvertidores electromagnéticos prácticos mediante las leyes deMaxwell y la relación de Lorentz.

2.-Dibuje el esquema general de un convertidor electromecánico deenergía, señalando los puertos eléctricos y mecánicos por donde seproduce en intercambio energético.

3.-Dibuje el esquema general de un convertidor electromecánico de3.-Dibuje el esquema general de un convertidor electromecánico deenergía que consta de un solo puerto eléctrico y de un solo puertomecánico teniendo en éste último la fuerza y la velocidad linealcomo variables mecánicas.

4.-Dibuje el esquema general de un convertidor electromecánico deenergía que consta de un solo puerto eléctrico y de un solo puertomecánico teniendo en éste último el par y la velocidad angular comovariables mecánicas.

5.-Mencione las herramientas analíticas con que se cuenta paraanalizar los convertidores electromagnéticos prácticos.

6.-Establezca el principio de conservación de la energía en losconvertidores electromagnéticos prácticos.

7.-Explique mediante un ejemplo numérico porque las máquinaseléctricas están basadas en su mayoría en campo magnéticos y noen campos eléctricos.

8.-Qué significa que la energía sea una función de estado.8.-Qué significa que la energía sea una función de estado.

9.-Qué son las variables de estado.

10.-Dibuje de manera general un gráfico de los enlaces de flujo enfunción de la corriente y señale la energía y coenergía.

11.-Dibuje de manera general un gráfico de los enlaces de flujo enfunción de la corriente con una relación lineal entre ambos y señalela energía y coenergía.

12.-Para un sistema conservativo, escriba la ecuación de la variaciónde la energía eléctrica en función de la corriente teniendo a losenlaces de flujo como variable independiente.

13.-Para un sistema conservativo, escriba la ecuación de la variaciónde la energía mecánica en función de la fuerza mecánica y eldesplazamiento.

14.-Establezca el principio de conservación de la energía para unconvertidor electromecánico que se energiza manteniendoconstante su posición.

15.-Enuncie las dos modalidades del principio del trabajo virtual.

16.-Explique la necesidad del término de transformación en laecuación de voltaje de un convertidor electromecánico.

17.-Escriba y explique cada uno de los términos de las ecuacionesgeneralizadas de un convertidor electromecánico.