2 el valor del dinero en el tiempo · recibir quien compra un producto o quien compra un título...

2 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Me inauguras el día con tus brazos Que me acogen, me salvan, me consuelan

Del empuje del tiempo velocísimo Donde somos el mar y el navegante.

Jorge Guillén. Más tiempo

Se habla mucho de depositar confianza, pero nadie dice qué interés te pagan.

QUINO. MANOLO, EN, ...Y YO DIGO

Análisis de rentabilidad En este capítulo se estudiará el problema que se plantea el decisor al enfrentarse con flujos

de dinero que ocurren en diferentes períodos. Para cualquier persona es muy claro, intuitivamente, que el individuo tiene preferencia por consumir ahora y no posponer ese consumo; también es muy claro para cualquier individuo que se prefiere tener una suma de dinero hoy y no tener que esperar un cierto tiempo para poder contar con la misma cantidad de dinero ofrecida para hoy. Sobre esta base, se desarrolla lo que se conoce como Matemáticas Financieras, que bien podría llamarse Aritmética Financiera. Para el manejo de esta herramienta, sólo es necesario aplicar las operaciones básicas de la aritmética, algo de sentido común y cierta capacidad de análisis de situaciones.

En el estudio de este tema se pueden identificar tres niveles de comprensión: 1. Conceptual. 2. Operativa o instrumental. 3. Situacional. El primer nivel se relaciona con el entendimiento de los conceptos básicos de interés,

tasa de interés, equivalencia y reglas de decisión de métodos basados en los anteriores conceptos. El segundo nivel tiene que ver con el uso de fórmulas y funciones preestablecidas, las cuales, por lo general, se encuentran en las hojas de cálculo. Por último, está la comprensión situacional que tiene que ver con la descripción de la realidad que se desea analizar; por ejemplo, las cláusulas de un contrato o de un pagaré o la descripción de una situación que se desea cambiar y para lo cual se tienen alternativas de solución. La experiencia indica que muchos se desaniman ante la dificultad del tercer nivel de comprensión y asocian esa dificultad con el tema mismo, o sea los niveles de comprensión conceptual y operativa. El tercer nivel se domina con la práctica y con el ejercicio de enfrentarse a múltiples situaciones para analizarlas. Es cuestión de tiempo y de paciencia. El concepto de equivalencia

Uno de los fundamentos de la economía es la psicología. El comportamiento del individuo en relación con sus decisiones, comportamiento de consumo y ahorro, es el elemento básico del estudio de la ciencia económica. Por ejemplo, los individuos obtienen satisfacción al consumir por consumir lo más pronto posible, y puede cambiar consumo actual por consumo futuro, siempre que la utilidad o satisfacción que obtenga de este último sea al menos equivalente, no necesariamente igual a la del consumo actual. Este es uno de los temas fundamentales de la Microeconomía.

La gente tiene una preferencia subjetiva a consumir hoy, por lo tanto, la postergación de un consumo actual implica la exigencia de una mayor cantidad de consumo futuro, para

alcanzar una satisfacción equivalente. Cuando esta necesidad compulsiva de consumir se inhibe, se produce una insatisfacción que de alguna manera debe compensarse; esa compensación la recibe el individuo al disponer de mayor capacidad de consumo en el futuro. Con ello se llega fácilmente a la conclusión que ya no se pueden sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son iguales.

Cuando se introduce el concepto de inversión, o sea que un individuo ahorra o invierte $1 para obtener más de $1 al final de un período, se encuentra que invertirá hasta cuando el excedente que le paguen por su dinero, no sea menor que la que el individuo asigna al sacrificio de consumo actual, o sea, a la tasa a la cual está dispuesto a cambiar consumo actual por consumo futuro.

Un modelo matemático que representa estas ideas, consiste en la siguiente ecuación: F= P + compensación por aplazar consumo (2.1) Donde: F = Suma futura poseída al final de n períodos. P = Suma de capital colocado en el período 0. Este modelo y los párrafos anteriores permiten introducir un concepto de mucha

importancia: el concepto de equivalencia. Se dice que dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando a la persona le es indiferente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) mayor al cabo de un (1) período de tiempo. En Microeconomía esta situación se mide con la tasa marginal de sustitución en el consumo. Esta relación es la base de todo lo que se conoce como matemáticas financieras.

Esta diferencia entre P y F responde por el valor que le asigna el individuo al sacrificio de consumo actual y al riesgo que percibe y asume al posponer el ingreso.

El concepto de equivalencia implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año. Interés y tasas de interés

Al hablar de equivalencia se ha involucrado en forma implícita un monto de interés que se puede representar como una fracción de la suma en el período inicial (hoy) o como un porcentaje i%, en general, diferente de cero. El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente arraigado en la mentalidad de quienes viven en un sistema capitalista. Es un conocimiento nocional, producto de la socialización, por eso no es totalmente intuitivo, es intuición socializada.

No se necesita formación académica para entender que cuando se recibe dinero en calidad de préstamo, es justo pagar una suma adicional al devolverlo. La aceptación de esta realidad económica, es común a todos los estratos socioeconómicos.

Para mostrar lo popular del concepto, se puede citar a la vieja Enciclopedia Salvat Diccionario, (Salvat Editores, S.A. Barcelona, Tomo 7, p. 1817, 1975) que define el concepto de interés así:

Provecho, ganancia, utilidad (...). "Lucro producido por el capital(...)" "El interés puede definirse, en una primera aproximación a su concepto, como el precio pagado en dinero, por el uso del dinero de otro. En economía, el interés se liga a los conceptos de capital, tiempo y riesgo; desde esta óptica puede ser considerado como la compensación que el poseedor del dinero recibe (...) por la cesión a otros, (y) por la utilización (por ese tercero)

durante un período de tiempo (...) de un capital determinado, empleo que en sí mismo, es siempre arriesgado".

El Diccionario de la Real Academia española define interés así: “(Del lat. interesse, importar). 1. m. Provecho, utilidad, ganancia. 2. m. Valor de algo. 3. m. Lucro producido por el capital.”

Recuperado de http://lema.rae.es/drae/?val=inter%C3%A9s) También podemos citar el evangelio de Mateo, la parábola de los talentos que dice: “En aquel tiempo, dijo Jesús a sus discípulos esta parábola: Un hombre que se iba al

extranjero llamó a sus siervos y les encomendó su hacienda: a uno dio cinco talentos, a otro dos y a otro uno, a cada cual según su capacidad; y se ausentó. Enseguida, el que había recibido cinco talentos se puso a negociar con ellos y ganó otros cinco. Igualmente el que había recibido dos ganó otros dos. En cambio el que había recibido uno se fue, cavó un hoyo en tierra y escondió el dinero de su señor. Al cabo de mucho tiempo, vuelve el señor de aquellos siervos y ajusta cuentas con ellos.” Felicitó a los dos primeros y al acercarse al tercero “[…] el que había recibido un talento dijo: Señor, sé que eres un hombre duro, que cosechas donde no sembraste y recoges donde no esparciste. Por eso me dio miedo, y fui y escondí en tierra tu talento. Mira, aquí tienes lo que es tuyo. Mas su señor le respondió: Siervo malo y perezoso, sabías que yo cosecho donde no sembré y recojo donde no esparcí; debías, pues, haber entregado mi dinero a los banqueros, y así, al volver yo, habría cobrado lo mío con los intereses.”

Entonces, el interés, I, es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar una suma P. El mercado le brinda al individuo (persona o firma), la posibilidad de invertir o la de recibir en préstamo; el hecho de que existan oportunidades de inversión o de financiación, hace que exista el interés. Este fenómeno económico real, se mide con la tasa de interés, i, la cual, a su vez, se representa por un porcentaje. Este porcentaje se calcula dividiendo el interés I recibido o pagado por período, por el monto inicial, P; de modo que la tasa de interés será:

P

Ii

(2.2) En otras palabras, el interés es la compensación que reciben los individuos, firmas o

personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar. En otras palabras, el interés es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar. Retomando el concepto de equivalencia, el modelo que lo expresa se puede redefinir así:

F= P + compensación por aplazar consumo F=P + Pi = P(1+i) (2.3) y se puede generalizar para cualquier número de períodos, n, así, F = P(1+i)n (2.4)

o también,

P (2.5)

Esta expresión es fundamental en el análisis de los movimientos de dinero. A partir de

esta fórmula se deducen todas las fórmulas de interés que se utilizan para hallar la equivalencia entre sumas de dinero en el tiempo; en realidad, no se necesitaría conocer más que esto. Las fórmulas ya mencionadas son derivaciones de la anterior y su uso y deducción son nada más que buenos ejercicios de aritmética. Se dice, entonces que P es el valor descontado o valor presente de una suma futura F.

La tasa de interés que establece esta equivalencia se llama tasa de descuento (discount rate o hurdle rate, en inglés) o tasa de rentabilidad mínima aceptable; algunos autores prefieren utilizar el nombre de costo o tasa de oportunidad; más adelante se estudia este punto con detalle y se define la forma de determinarla.

La tasa de descuento no debe confundirse con el porcentaje de descuento que puede recibir quien compra un producto o quien compra un título valor (bonos, por ejemplo) a descuento. La tasa de descuento se determina considerando el costo del dinero para el que toma decisiones; esto es, lo que paga por recibir dinero prestado, o lo que deja de ganar por el dinero que tiene. A este último costo se le denomina costo de oportunidad y aquí se utilizará el nombre de tasa de descuento. Esta tasa de interés es la que se utiliza para hacer cálculos que permiten evaluar la bondad de una inversión. Este tema se tratará con más detalle en el capítulo 14. Ejemplo 1

Alguien entrega hoy una suma P por valor de $1.000 a un amigo y al cabo de un año (n) éste le devuelve un valor F de $1.060. Si esta persona no intentaba ganar dinero con el amigo, pero tampoco perder, porque la tenía depositada en una cuenta de ahorros que producía 6% con el amigo, se dice que es indiferente entre $1.000 hoy y $1.060 después de un año. O sea que estas dos sumas de dinero son equivalentes, porque al año se han recibido 1.000 + i x 1.000 es decir $1.060, dado que la tasa de interés i% a la cual prestó, fue del 6%. Componentes de la tasa de interés

Se puede considerar que la magnitud de la tasa de interés corriente, o sea la que se encuentra en el mercado (la que usan los bancos o cualquier otra entidad financiera) tiene tres componentes o causas: la inflación, el riesgo y la tasa real de interés. Esta descomposición es muy útil para entender los capítulos 5 a 7 y 14 y 17. En el capítulo 14 para entender el elemento riesgo en las diferentes tasas que allí se estudian y en los demás capítulos para entender las proyecciones de los estados financieros y en el capítulo 17 el análisis de proyectos en inflación.

LA INFLACIÓN El efecto de la inflación más precisamente, las expectativas de inflación, un efecto propio

de la economía, donde se presenta el problema de decidir entre alternativas de inversión. La inflación es una medida del aumento del nivel general de precios, medido a través de la canasta familiar; su efecto se nota en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda. Esto

significa que cuando hay inflación, cada vez se puede comprar menos con la misma cantidad de dinero. A mayor inflación, mayor tasa de interés.

Para corroborar la relación entre inflación y tasa de interés corriente se puede examinar con datos reales de Colombia QUE entre enero de 2004 hasta junio de 2014, se encuentra una fuerte relación entre tasa de inflación y DTF (DTF es la tasa promedio de los Certificado de los Depósitos a Término). Dicha relación se puede observar en la siguiente gráfica. Los indicadores que resultan de la regresión de esos datos muestran un R2 de 0,884 y el coeficiente que se observa en la gráfica es 100% estadísticamente significativo (p-value = 7,2739E-60 o sea 0).

Figura 3.1a. Inflación y DTF

Banco de la República Colombia. Recuperado de http://www.banrep.gov.co/tasas-captacion-semanales y elaboración propia.

Otra evidencia:

"La Fed pondera medio punto. La amenaza de inflación empuja las tasas de interés. Las últimas informaciones sobre inflación en Estados Unidos aumentan las posibilidades, si bien no la

certeza, de que la Reserva Federal eleve nuevamente las tasas de interés en medio punto porcentual cuando sus autoridades se reúnan...

..... Distintos informes dados a conocer ayer por el gobierno mostraron fuertes alzas durante el primer

trimestre, en uno de los índices de precios más importantes para los economistas y en los costos laborales." Schlesinger, Jacob M. de The Wall Street Journal. La Fed pondera medio punto, The Wall Street Journal Americas. El Tiempo, abril 26 de 2000, p 12A.

En Colombia, el efecto de la inflación como componente de las tasas de interés, se reconoce con la corrección monetaria de la Unidad de poder adquisitivo constante, UPAC, hasta 1999. A partir de 2000 esto se reconoce con la Unidad de Valor Real UVR.

Una rápida exploración a los valores de las tasas de interés libres de riesgo del mercado de algunos países, en la Tabla 2.1, muestra la relación entre la inflación y la tasa de interés.

y = 1,1228x + 0,0141

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% 9,00%

DTF

Tasa de inflación

Inflación y DTF

TABLA 2.1 Tasas de inflación e interés de algunos países julio 5 de 2014 País Inflación, π Tasa de

interés* País Inflación Tasa de

interés* Alemania 1,00% 1,29% Irlanda 0,30% 2,40% Australia 2,70% 3,56% Israel 1,20% 2,85% Austria 1,70% 1,60% Italia 0,50% 2,91% Bélgica 0,90% 1,72% Japón 2,70% 0,56% Brasil 6,50% 12,10% Lituania 0,80% 2,80% Canadá 2,30% 2,32% Malasia 3,20% 4,01% Chile 4,00% 4,78% México 4,00% 7,75% China 2,10% 3,86% Noruega 2,00% 2,48% Colombia 2,90% 6,57% Nueva Zelandia 1,50% 4,46% Corea del Sur 1,60% 3,11% Pakistán 7,70% 13,00% Dinamarca 0,90% 1,66% Polonia 0,90% 3,48% Eslovaquia 0,40% 2,73% Portugal -0,10% 3,62% España 0,10% 2,67% República Checa 1,10% 1,54% Estados Unidos 1,40% 2,63% Rusia 6,00% 8,53% Filipinas 4,00% 4,16% Singapur 2,20% 2,27% Finlandia 1,30% 1,47% Suecia 0,20% 1,71% Francia 0,80% 1,64% Suiza 0,20% 0,71% Gran Bretaña 1,70% 2,92% Sur África 5,90% 8,19% Grecia -0,80% 5,96% Tailandia 2,70% 3,52% Holanda 0,80% 1,48% Taiwán 1,40% 1,60% Hong Kong 3,60% 2,11% Turquía 8,90% 8,90% Hungría 0,70% 4,35% Unión Europea 0,70% 1,29% India 8,20% 8,66% Vietnam 5,70% 8,62%

Fuente: The Economist, julio 5 de 2014. Recuperado de http://www.economist.com/news/economic-and-financial-indicators/21606312-trade-exchange-rates-budget-balances-and-interest-rates y

http://www.economist.com/news/economic-and-financial-indicators/21606311-output-prices-and-jobs

*Tasas de interés: Bonos del gobierno a 10 años. Se eliminaron los países con información incompleta.

La relación que se presenta en la Tabla 2.1 se aprecia en la Gráfica 2.2.

Gráfica 2.1b. Tasa libre de riesgo vs tasa de inflación.

Debe distinguirse entre inflación, devaluación y depreciación, términos que algunos

utilizan indistintamente. La inflación, como se dijo, tiene que ver con el cambio en el nivel general de precios de los artículos que componen una canasta de consumo (canasta familiar); la devaluación se refiere al precio de una divisa extranjera (en Colombia es el dólar de los Estados Unidos) y la depreciación es un concepto contable, que trata de medir, entre otras cosas, el desgaste de un bien debido a su uso.

Tener en cuenta la inflación es muy importante cuando se trata de determinar los niveles de las tasas de interés futuras y evaluar inversiones en inflación (capítulo 17). El riesgo

El efecto del riesgo, que es intrínseco al negocio o inversión en que se INVIERTE el dinero o capital; a mayor riesgo, mayor tasa de interés. El riesgo es producido por diversos factores: la inflación futura, la inestabilidad económica y política, la proliferación de normas que hacen inestable la situación de los inversionistas, la devaluación, etcétera El elemento riesgo en la tasa de interés es muy importante en el reconocimiento de las tasas de interés que esperan obtener los inversionistas (capítulo 8), en la proyección de las tasas de interés cuando se estructura un proyecto o inversión futura (capítulo 5 y 6) y cuando se trata de evaluar el riesgo de una inversión. Tasa de interés real

El interés real o la productividad en su uso, que es un efecto intrínseco del capital, independiente de la existencia de inflación o riesgo. Refleja también la abundancia o escasez de dinero en el mercado (grado de liquidez del mercado) y la preferencia que tengan los ahorradores por la liquidez, o sea, la disponibilidad de dinero en efectivo para consumo. La relación de Fisher

Irving Fisher, economista de principios del siglo XX propuso una relación entre la tasa real de interés, la tasa de inflación y la tasa de interés corriente de manera aditiva, sino multiplicativa, o sea que la tasa de interés corriente, se puede expresar así:

1 + tasa de interés corriente (libre de riesgo)

y = 1,0311x + 0,0149

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

‐2,00% 0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00%

Tasa libre de riesgo

s a 10 años

Tasa de inflación

Tasa de interés*

= (1 + tasa real de interés)×(1 + tasa de inflación, π) (2.6a) Esta idea la desarrolló para relacionar la tasa de inflación, la tasa de interés corriente o

nominal (llamada así porque tiene inflación) y la tasa real de interés. La relación de Fisher dice en su versión original que una tasa de interés de mercado libre de riesgo es una función de la tasa de inflación y la tasa real de interés:

Rf= 1+π × 1+ireal -1 = π + ireal + π×ireal (2.6b) Donde π es la tasa de inflación, Rf es la tasa de interés nominal e ireal es la tasa real de

interés. Se puede añadir un elemento adicional como una componente de riesgo y replantear esta

relación como 1 + tasa de interés corriente (con riesgo)

= (1 + tasa real de interés)×(1 + π) + prima de riesgo (2.6c) Esta es la más utilizada y es la base del modelo conocido como Capital Asset Pricing

Model (CAPM). Esto se considera en el capítulo 14 sobre el costo de capital, más adelante. Esta será aplicada repetidamente en el ejercicio de proyecciones en capítulos posteriores.

Esta relación se puede aplicar a otras situaciones. En general podemos suponer que cuando ocurren fenómenos en forma simultánea que afectan una variable, podemos utilizar este tipo de relación. Por ejemplo, podemos calcular el aumento nominal de los precios usando esta relación y combinando el aumento real de los precios con la inflación; podemos encontrar el efecto del cambio de precio de una moneda extranjera con la tasa de interés que una inversión en esa moneda extranjera gana en el mercado extranjero; o podemos combinar el efecto combinado de aumento de precios con el aumento de volumen para hallar el aumento en el total de las ventas y así sucesivamente. En el caso de un aumento de precios el planteamiento sería

1 + aumento nominal = (1 + π)×(1 + tasa real de aumento) (2.6d) En la ecuación (2.6c) tenemos tres elementos de los cuales dos son observables en la

economía: las tasas corrientes y la inflación. En el caso de los precios observamos también dos elementos: los precios corrientes (o mejor, los aumentos de esos precios) y la inflación. Por lo tanto, el tercer elemento, la tasa real de interés o el aumento real de precios se puede calcular.

De la ecuación (2.6a) podemos entonces deducir que la tasa real de interés es

Tasarealdeinterés é

π1 (2.6e)

En el caso de los precios se tiene algo similar

Aumentorealdeprecio

π1 (2.6f)

Los precios corrientes o tasas corrientes se conocen también como nominales. Hay que

enfatizar que las tasas reales son una construcción matemática y no son observables. Lo que cualquier persona observa y “sufre” o “disfruta” son las tasas corrientes o nominales.

Como se verá a lo largo del capítulo 7 crear escenarios para la tasa de inflación, π, es un elemento clave para nuestras proyecciones. De la tasa de inflación que se proyecte van a depender muchas variables: los aumentos de precios, las tasas de interés, el cambio de precio de las divisas, etcétera

Hay quienes proponen, al analizar las consecuencias de la utilización del capital en términos de dinero, que se deben deflactar o reducir las consecuencias a unidades monetarias constantes. Al hacer esto y utilizar además una tasa no deflactada de interés se estará teniendo en cuenta dos veces el efecto de la inflación. Esto se estudia en detalle en el capítulo 18. Obviamente, como se sugiere en el párrafo anterior, en una economía inflacionaria debe tenerse en cuenta el precio actual de los activos o capital comprometido.

Se debe ser muy cuidadoso al establecer tasas de interés corriente pues no se deben confundir con tasas de interés con subsidio, ni lo contrario, tasas de interés de usura o agio. Ejemplos de las primeras son los créditos de fomento, ejemplo de las segundas, son las tasas de interés que muchas veces tienen que pagar las clases menos favorecidas y aun las pequeñas empresas y microempresas, el 5% al 7% mensual o mucho más. Es posible encontrar situaciones coyunturales en las que la tasa de interés real es negativa, o sea que la tasa de interés corriente es menor que la inflación y como consecuencia, la tasa de interés real es negativa. (ver la Tabla 2.2).

Esta noción de componentes es pertinente para descomponer, más que para componer la tasa de interés comercial, ic. Esto es, que a partir de una determinada tasa de interés comercial ic, conociendo una o dos componentes, se puede determinar la tercera. Por ejemplo, si se conoce la inflación, π y se tiene una tasa de interés libre de riesgo, se puede determinar el interés real, ir; si se conoce la componente inflacionaria, π y la tasa de interés real, ir, se puede calcular la magnitud del riesgo, percibido por quien fijó la tasa de interés comercial.

Sin embargo, cuando se hacen proyecciones para evaluar alternativas de inversión, es recomendable proyectar las componentes (inflación, tasa real y riesgo) para estimar el valor futuro de una tasa de interés. Un caso de composición de la tasa de interés, es el de las corporaciones de ahorro y vivienda en Colombia, que cobran y estipulan por separado, la corrección monetaria (inflación, π) y el interés real, ir, se puede considerar que debido a

todos los mecanismos de protección codeudores, seguros, hipotecas estas tasas deberían ser libres de riesgo, ip.

El comportamiento de la tasa real en Colombia a partir de los datos de la DTF, ya presentada, se muestra en las siguientes gráficas.

Gráfica 2.1c. DTF y tasa de inflación en Colombia

y = 0,0989x + 0,0143

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

0,00% 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% 9,00%

Tasa DTF rea

l

Tasa de inflación

Tasa DTF real y tasa de inflación

Fuente: Banco de la República Colombia. Recuperado de http://www.banrep.gov.co/tasas-captacion-semanales y elaboración propia.

Figura 3.1d. DTF real en Colombia en el tiempo desde octubre 2006

El análisis estadístico de las dos figurass anteriores (del conjunto de datos) indica que

entre la tasa DTF real e inflación sigue habiendo una relación significativa, aunque leve. Por otro lado, si se utilizan los datos de la Tabla 2.1, se puede estimar el monto de la tasa

de interés real en esos países, utilizando la expresión mencionada arriba, que se deduce de la relación entre los componentes, suponiendo que la tasa de corto plazo es prácticamente libre de riesgo, o sea que ip=0. La tasa real calculada se presenta en la siguiente tabla

y = ‐3E‐05x + 0,0204

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

0 20 40 60 80 100 120 140

Tasa DTF rea

l

Meses

Comportamiento de la DTF real en el tiempo

Tabla 2.2 Tasas de interés real de algunos países País Tasa real País Tasa real Alemania 0,29% Irlanda 2,09% Australia 0,84% Israel 1,63% Austria -0,10% Italia 2,40% Bélgica 0,81% Japón -2,08% Brasil 5,26% Lituania 1,98% Canadá 0,02% Malasia 0,78% Chile 0,75% México 3,61% China 1,72% Noruega 0,47% Colombia 3,57% Nueva Zelandia 2,92% Corea del Sur 1,49% Pakistán 4,92% Dinamarca 0,75% Polonia 2,56% Eslovaquia 2,32% Portugal 3,72% España 2,57% República Checa 0,44% Estados Unidos 1,21% Rusia 2,39% Filipinas 0,15% Singapur 0,07% Finlandia 0,17% Suecia 1,51% Francia 0,83% Suiza 0,51% Gran Bretaña 1,20% Sur África 2,16% Grecia 6,81% Tailandia 0,80% Holanda 0,67% Taiwán 0,20% Hong Kong -1,44% Turquía 0,00% Hungría 3,62% Unión Europea 0,59% India 0,43% Vietnam 2,76%

Elaboración propia basado en The Economist, julio 5 de 2014. Recuperado de http://www.economist.com/news/economic-and-financial-indicators/21606312-trade-exchange-rates-budget-balances-and-interest-rates y http://www.economist.com/news/economic-and-financial-indicators/21606311-output-prices-and-jobs

La tasa real promedio es de 1,56%, las variaciones pueden responder a situaciones de abundancia o escasez de dinero, o a medidas de control administrativo, que toma el gobierno.

Por el otro lado, y con base en estos datos, también se encontró que no existe una relación significativa entre la tasa de inflación y la tasa real. Esto se puede interpretar como que al deflactar la tasa de interés, se eliminó todo el efecto de la inflación, lo cual es lo que se desea.

El comportamiento de la tasa real para los países registrados en la Tabla 2.2 es el siguiente

Figura 3.2a Tasa real e inflación (de las tablas 3.1 y 3.2)

Figura 3.2b Comportamiento de la tasa real desde enero 2004

Cómo opera la relación entre las componentes La interacción de los componentes de la tasa de interés se puede asimilar a lo que ocurre

con la devaluación y las tasas de interés en países con devaluación. Ejemplo 1

y = 0,0093x + 0,0151

‐3,00%

‐2,00%

‐1,00%

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

7,00%

8,00%

‐2,00% 0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00%

Tasa real

Inflación

Tasa real e inflación

y = ‐3E‐05x + 0,0204

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

0 20 40 60 80 100 120 140

Tasa DTF rea

l

Meses

Comportamiento de la DTF real en el tiempo

Supóngase que se cuenta con un millón de pesos, que el precio del dólar es hoy de $1.000, que se prevé una devaluación de 20% anual. Si se puede convertir un millón de pesos a dólares e invertirlo al 10% anual en los Estados Unidos, al regresar los dólares un año después, ¿qué porcentaje se habrá obtenido en la transacción?

Figura 3.3. Moneda dura y blanda: tasa de interés y devaluación

Hoy Hoy + un año

$1.000.000

lo cual resulta en $1.320.000

Se cambian a dólares al precio de

suma en dólares que se cambia a pesos al

$1.000/US$

lo cual resulta en

idev =20%

precio de $1.200/US$

US$1.000 que invertidos a

idura=10%

se convierten en

US$1.100 Interés obtenido por el inversionista: 32%. Este ejemplo ilustra, por analogía, la idea

anterior, ya que la relación entre interés en moneda blanda, iblanda, (tasa de interés en Colombia), tasa de interés en moneda dura, idura, y devaluación, idev, está dada por la siguiente expresión:

11)1( devdurablanda iii (2.7)

De esta expresión se puede deducir la tasa en moneda dura, cuando el proceso es inverso;

cuando en el ejemplo se tienen dólares y se invierte en pesos. Estas expresiones se conocen como el efecto Fisher.

En este caso, iblanda = 1,1x1,2 –1 = 1,32 – 1= 32%

Diagrama de flujo de caja El diagrama de flujo de caja consiste en un modelo gráfico que se utiliza para representar

los flujos de caja positivos y negativos a través del tiempo. Lo primero que se debe hacer es representar el eje del tiempo.

0 1 2 3 n

Aquí cada número indica el final del período correspondiente. Así, el número cero indica

el momento presente, o sea cuando el decisor se encuentra tomando una decisión; el número uno indica el final del período uno, etcétera. En este eje de tiempo, el período

puede ser un día, un mes, un año o cualquier otra unidad de tiempo. En este contexto se usa la convención de fin de período. Es decir, es similar a lo usado en contabilidad que registra en los estados financieros lo que sucede en un período como si todo ocurriera al final del mismo.

Los flujos de caja negativos, convencionalmente se expresan con una flecha hacia abajo; los positivos, con una flecha hacia arriba; al escribir un flujo de caja negativo, en una hoja de cálculo, debe respetarse el signo, o sea, se debe escribir con signo menos.

En el habla común se utiliza el nombre flujo de caja, para nombrar al flujo de tesorería o pronóstico de efectivo o de fondos; este informe mide el nivel de liquidez, o sea, la disponibilidad de dinero al final de cada período. Sin embargo, aquí se utilizará el nombre flujo de caja para denominar los fondos disponibles para los accionistas y dueños de la deuda en un proyecto de inversión o firma y al instrumento que permite medir la liquidez, se le denominará Flujo de Tesorería.

Los flujos de caja negativos convencionalmente se expresan con una flecha hacia abajo. Ejemplo 3

1.000

1.500

500

0 1 2 3 4 5 6

O sea que ocurren al final del instante cero (hoy) por $1.000, al final del período dos, por

$1.500 y al final del período seis por $500. Los flujos de caja positivos, convencionalmente se representan por flechas hacia arriba.

1.000

1.500

0 1 2 3 4 5

600

En este caso se indica que en el período 0 (final del período, hoy) se reciben $1.000, en el

tres se reciben $1.500 y en el cinco, $600. De esta manera se puede expresar en forma gráfica y sencilla una inversión de recursos en una fecha determinada y los beneficios que produzca en otro período.

Ejemplo 4

1.500

1.000

1 2 3 4 5

Esto indica que una persona deposita $1.000 y después de 5 meses recibe $1.500. Una forma de comparar sumas de dinero en diferentes instantes de tiempo consiste en

reducirlas a sumas equivalentes. Para este fin se han desarrollado fórmulas, las cuales se presentan a continuación. Interés simple e interés compuesto

La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El interés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la suma inicial, a diferencia del interés compuesto que genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos intereses no pagados que ingresan o se suman al capital inicial. Ejemplo 5

$1.000 de hoy P prestados al interés simple del 2% mensual i%, durante dos meses n producen 1.000 x 0,02 más 1.000 x 0,02 o sea $40 al final de dos meses (F=1.040); en cambio esos mismos $1.000 P prestados a interés compuesto i% producirán 1.000 x 0,02 en el primer mes o sea, $20 y al final del segundo mes, producirán 1.020 x 0,02 o sea, $40,40 (F=1.040,40).

La Tabla 2.3, que ilustra el valor acumulado de una suma de dinero invertida a interés simple y a interés compuesto, permite aclarar estas ideas.

Tabla 2.3 Valor acumulado de una suma de dinero

Mes Capital $

Tasa de interés simple 1% ($)

Total $

Tasa de interés compuesto 1% ($)

Total $

1 1.000 10 1.010 10 1.020 2 1.000 10+10 1.020 10+(1010×0,01) 1.020,10 3 1.000 10+10+10 1.030 20,10+(1020,10×0,01) 1.030,30 4 1.000 10+10+10+10 1.040 30,30+(1.030,30×0,01) 1.040,60 A partir de la Tabla 2.3 y recordando la aritmética básica, se puede generalizar el

comportamiento del interés compuesto, y en particular de la suma total, así: (1+i)n. El valor final de 1.040.60 que aparece en la esquina inferior derecha en la tabla anterior, es igual a 1.000×(1,01)4. Cuando se estudió el concepto de equivalencia, se dijo que F=P(1+i), y que esto se puede generalizar, según lo que se concluye de este ejemplo, como F=P(1+i)n.

En otras palabras, el monto del interés simple acumulado, se calcula como P×i×n y el monto del interés compuesto acumulado, se calcula como P(1+i)n -P.

Como se verá más adelante, la expresión (1+i)n establece la relación entre dos sumas de dinero, P en el período 0 y F en el período n.

Al trabajar con la hoja de cálculo, se hacen estas sugerencias útiles: dibujar el diagrama de flujo de caja y escribir en celdas los datos que entran en la función de la hoja de cálculo; y al utilizar el Asistente de funciones de la hoja de cálculo, introducir las celdas donde están los valores y no los valores. Fórmulas de interés o factores de conversión

El desarrollo metódico de estas fórmulas se conoce en la literatura con el nombre de Matemáticas Financieras. Aquí se trata de encontrar una variable entre cinco, dadas tres de ellas, de las cuales una es el número de períodos (n) o la tasa de interés (i). La condición para hallar esa variable desconocida es que se mantenga válida la equivalencia entre flujos de caja.

Las variables son: n =Número de períodos que se analizan (año, mes, día, trimestre, semana, etcétera). Es

claro que se trata de períodos iguales. Nombre como parámetro en la función de la hoja de cálculo, nper.

i =Tasa de interés, expresada en porcentaje por unidad de tiempo (año, mes, día, trimestre, semana, etcétera). Este interés debe ser estipulado por unidad de tiempo igual al período indicado en n. Se supone interés compuesto. Nombre como parámetro en la función de la hoja de cálculo, tasa.

P = Suma presente o valor actual, situada al final del instante cero. Nombre como parámetro en la función de la hoja de cálculo, VA.

F = Suma futura o valor futuro, situada al final del período n. En otros textos usan la letra S. Nombre como parámetro en la función de la hoja de cálculo, VF.

C= Cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entre el 1 y el n. En otros textos se llama A, de anualidad; aquí se prefiere nombrarla como cuota C, porque es más general. Estas cuotas pueden ser anuales, semestrales, trimestrales, mensuales, etcétera Nombre como parámetro en la función de la hoja de cálculo, pago.

Al escribir estas funciones en el texto, se reemplazará el nombre del parámetro de la

función en la hoja de cálculo, por los nombres que aquí se han indicado. Entre estas variables se pueden establecer relaciones cuando se cumplen ciertos patrones;

de manera gráfica y resumida son así: 1. Se puede transformar una suma de dinero presente P en el período 0, en una suma

de dinero mayor, F en el período n y viceversa.

P F

0 n0n

2. Se puede transformar una suma de dinero presente P, en el período 0, en una serie

de cuotas uniformes C, que comienzan en el período 1 y terminan en el período n y viceversa.

0 n 0 1 n

C C C C C P

3. Se puede transformar una suma de dinero futura F, en el período n, en una serie de

cuotas uniformes C, que comienzan en el período 1 y terminan en el período n y viceversa.

0 n 0 1 n

C C C C C F

Todas estas transformaciones se pueden hacer a partir de la relación ya conocida

F=P(1+i)n y su recíproca, P=F/(1+i)n Las fórmulas para cada caso se describen, con ejemplos, en el Apéndice de Matemáticas

Financieras, al final del capítulo.

La hoja de cálculo usa “, coma” o “; punto y coma” para separar los argumentos. En español se usa punto y coma, mientras que en inglés usa coma.

Resumen de funciones de la hoja de cálculo =VF(tasa;nper;;va) Convierte una suma presente P al comienzo del período 1, o sea

final del período 0 a una suma futura F al final del período n. =VA(tasa;nper;;vf) Convierte una suma futura F al final del período n a una suma

presente P al comienzo del período 1, o sea final del período 0. =VA(tasa;nper;pago) Convierte una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del

período 1 y termina al final del período n a una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del período 0.

=PAGO(tasa;nper;va) Convierte una suma presente P al comienzo del período 1, o sea final del período 0 a una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n.

=VF(tasa;nper;pago) Convierte una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n, a una suma futura F, al final del período n.

=PAGO(tasa; nper;;vf) Convierte una suma futura de valor F, situada en el final del período n a una serie uniforme de valor C, que se inicia en el final del período 1 y termina al final del período n.

=TASA(nper;pago;va;vf;tipo;isemilla), =TIR(rango;i semilla): Calcula la tasa de interés que hace equivalentes unos flujos negativos a unos positivos. Responde a la pregunta ¿a qué tasa de interés se invirtió un dinero que produjo determinado flujo de beneficios? Para la función TASA se le debe indicar los parámetros C, F, P, e i semilla.

Para la función TIR se le debe indicar al programa una tasa de interés inicial (i semilla), con la cual inicia los cálculos y el rango donde aparecen todos los flujos que se desean analizar.

=VNA(tasa;rango) Calcula el valor presente de un flujo de caja a la tasa de interés indicada y lo expresa en unidades monetarias del período inmediatamente anterior al que inicia el rango que se indicó en la fórmula.

=nper(tasa;pago;va;vf;tipo;isemilla) Encuentra el número de períodos que se requieren para que una inversión se convierta en un determinado monto al final de esos períodos o el número de cuotas que se requieren para pagar un préstamo con una cuota determinada o el número de depósitos iguales necesarios para obtener una cierta suma de dinero al final de los períodos calculados. En todos los casos se debe estipular una tasa de interés.

Tabla 2.4 Resumen de uso de funciones de hoja de cálculo

Operación Patrón típico (a partir de P, F, C, nper y/o i%)

Patrón no típico (irregular)

A suma presente VA VNA A suma futura VF No hay A cuota uniforme PAGO No hay Tasa de interés TASA TIR Número de períodos NPER No hay

Estos factores se encuentran en calculadoras financieras y otras hojas electrónicas de

manera que pueden obtenerse con gran precisión y rapidez. También se pueden utilizar tablas de factores de interés que se encuentran en los libros viejos de matemáticas financieras. Ejercicios 1. Resolver los siguientes ejemplos utilizando los siguientes valores de P, F, C, n e i para

hallar lo que se pide en cada numeral. La solución está en el archivo MATFIN.XLS

(recuperable de http://cashflow88.com/decisiones/matfin.xls) anunciado en la presentación y que es parte integral de este texto.

P = $2.000.000

n = 12 C = $200.000,00 i = 1,00% F = $5.000.000

1.1. Calcular el número de períodos, que se demora una inversión P, para convertirse en un valor determinado F, a una tasa de interés i.

1.2. Calcule el valor futuro F, de una cuota uniforme C, a una tasa de interés i%, al final de n períodos.

1.3. Calcule la cuota uniforme C, equivalente a una suma presente P, en n períodos al i%.

1.4. Calcule el valor presente de una cuota uniforme durante n períodos, a la tasa de i%. 1.5. Calcule la tasa de interés i, que hace que una inversión hoy P, se convierta en

determinado valor F, al final de n períodos.

1.6. Calcule el número de cuotas C, que se requieren para obtener una suma determinada F, a una tasa de interés i%.

2. Calcule la tasa de interés i% que hace equivalentes los flujos positivos y los negativos.

Año 0 1 2 3 4 Flujo $ -10 2 5 6 7

3. Calcule el valor presente del flujo de caja entre el año 1 y el 4 a una tasa de interés i%,

según los datos anteriores. Tablas de amortización

Una tabla de amortización muestra cómo un pago de una deuda se divide entre interés y abono o amortización de la deuda; o, en el caso que así fuera, cómo un determinado esquema de abonos o amortizaciones conduce, al sumarle los intereses, a una cierta cuota o pago. Con una tabla de amortización se puede también determinar el saldo pendiente al final de cada período. Algo similar puede hacerse con una tabla de capitalización; la diferencia radica en que en lugar de amortizar (disminuir una deuda), se capitalizan los ahorros y los intereses que ellos producen y, por ende, se puede calcular el saldo acumulado del capital ahorrado con sus intereses.

Se pueden construir tablas de amortización con todos los esquemas de pago posibles. Tradicionalmente y con la ausencia de medios eficientes de cálculo, se han reducido las tablas de amortización a unos cuantos esquemas: cuotas uniformes o abonos uniformes como los mencionados en el ejercicio 3 y, si acaso, a esquemas con períodos de gracia (cuando se pagan sólo los intereses y no se hace la amortización de la deuda). Con la ayuda de las hojas de cálculo se pueden hacer esquemas tan variados que el límite lo impone la imaginación del usuario.

Una tabla de amortización tiene que cumplir varias condiciones para ser correcta: 1. La cuota que se paga siempre debe ser igual a la suma del abono a capital más los

intereses, es decir, C = A+I 2. Al final del plazo el saldo debe ser cero, lo que significa que se ha pagado el préstamo

más los intereses. Algunos ejemplos son las cuotas escalonadas que se promocionan para el pago de deudas

de vivienda. El secreto para trabajar estos esquemas es hacer depender todas las cuotas futuras de la primera cuota y construir el modelo en función de esa primera cuota; hecho esto, hay que encontrar el valor de la primera cuota que haga cero el saldo final. Esto se puede lograr con una opción de la hoja de cálculo que está en la etiqueta Datos, Análisis de Hipótesis y se llama Buscar objetivo.

Figura 3.4a. Buscar objetivo en hoja de cálculo

Escogida esta opción, aparece el siguiente cuadro de diálogo: Figura 3.4b. Buscar objetivo en hoja de cálculo. Paso 2.

En la casilla Definir la celda se indica la celda que nos interesa que tome cierto valor, por

ejemplo, el saldo final. En la casilla con el valor, se indica el valor que se desea que tome la casilla anterior y en la casilla para cambiar la celda, se indica la celda que debe ser cambiada hasta cuando se obtenga el valor deseado.

En realidad hay dos grandes clases de tablas de amortización: a) aquellas en que se define el pago o cuota y b) aquellas en que se define la amortización o abono. En el primer caso, la amortización se calcula como el pago o cuota menos los intereses; en el segundo, la cuota se define como la amortización más los intereses. Sólo se necesita definir de cuál caso se trata y crear la estructura.

También podría haber una combinación de ellas como en el caso de los préstamos con períodos de gracia. Se llama período de gracia cuando sólo se cobran los intereses y no hay abono de capital.

Lo más importante al construir la tabla de amortización es su estructura básica, así:

Caso 1. Cuando se define la cuota o pago Tabla 2.5. Esquema de tabla de amortización cuando se define la cuota

Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo final Saldo final del período anterior

Saldo inicial por tasa de interés

Pago menos interés

Definido a Voluntad

Saldo inicial menos abono

Ejemplo 6a

Este ejemplo se elaboró por sugerencia y colaboración de José Vicente Trucco, estudiante de un curso sobre el tema en 2012.

Un préstamo de $1.000 al 3% mensual pagadero en 6 meses con cuotas que se duplican cada dos meses. La primera aproximación podría ser:

Tabla 2.6a. Tabla tentativa para definir cuota B C D E F G 2 Mes Saldo

inicial $ Interés $ Amortización

o abono $ Pago o cuota $

Saldo final $

3 0 1.000,00 4 1 1.000,00 30,00 -25,00 5,00 1.025,00 5 2 1.025,00 30,75 -25,75 5,00 1.050,75 6 3 1.050,75 31,52 -21,52 10,00 1.072,27 7 4 1.072,27 32,17 -22,17 10,00 1.094,44 8 5 1.094,44 32,83 -12,83 20,00 1.107,27 9 6 1.107,27 33,22 -13,22 20,00 1.120,49 Si se hace manualmente como en la tabla anterior, se ve que aunque se cumple que las

cuotas se duplican cada dos cuotas, el resultado indica que no es correcto porque debe ser cero.

En la hoja de cálculo hay que construir las fórmulas de la columna Pago de manera que indiquen que la segunda cuota es igual a la primera, la tercera es el doble de la segunda, la cuarta igual a la tercera y así sucesivamente.

Tabla 2.6b. Construcción de Tabla tentativa para definir cuota

B C D E F G 2 Mes Saldo

inicial $ Interés $ Amortización

o abono $ Pago o cuota $

Saldo final $

3 0 4 1 5,00 5 2 =F4 6 3 =F5*2 7 4 =F6 8 5 =F6*2 9 6 =F8 Para resolver este ejemplo hay que usar la opción de Buscar Objetivo de la hoja de

cálculo. Para la hoja de cálculo, se tiene Figura 3.5a. Buscar objetivo en dos versiones de hoja de cálculo

Figura 3.5b. Buscar objetivo Paso 2.

Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obtenido será: Tabla 2.6c. Tabla final de amortización al definir cuota.

B C D E F G 2 Mes Saldo inicial

$ Interés

$ Amortización o

abono $

Pago o cuota $

Saldo final $

3 0 1.000,00 4 1 1.000,00 30,00 51,16 81,16 948,84 5 2 948,84 28,47 52,70 81,16 896,14 6 3 896,14 26,88 135,44 162,32 760,70 7 4 760,70 22,82 139,50 162,32 621,20 8 5 621,20 18,64 306,01 324,65 315,19 9 6 315,19 9,46 315,19 324,65 0,00 Como el saldo final es cero, quiere decir que esa es la solución. Ejemplo 6b Un préstamo de $1.000 al 3% mensual pagadero en 12 meses con cuotas que se duplican

cada dos meses. La primera aproximación podría ser:

Tabla 2.6c. Tabla inicial de amortización al definir cuota 12 meses. Mes Saldo inicial

$ Interés

$ Amortización

$ Pago

$ Saldo final

$ 0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 - 25,00 5,00 1.025,00 2 1.025,00 30,75 - 25,75 5,00 1.050,75 3 1.050,75 31,52 - 21,52 10,00 1.072,27 4 1.072,27 32,17 - 22,17 10,00 1.094,44 5 1.094,44 32,83 - 12,83 20,00 1.107,27 6 1.107,27 33,22 - 13,22 20,00 1.120,49 7 1.120,49 33,61 6,39 40,00 1.114,11 8 1.114,11 33,42 6,58 40,00 1.107,53 9 1.107,53 33,23 46,77 80,00 1.060,76 10 1.060,76 31,82 48,18 80,00 1.012,58 11 1.012,58 30,38 129,62 160,00 882,96 12 882,96 26,49 133,51 160,00 749,44 En la hoja de cálculo hay que construir las fórmulas de la columna Pago de manera que

indiquen que la segunda cuota es igual a la primera, la tercera es el doble de la segunda, la cuarta igual a la tercera y así sucesivamente.

Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obtenido será: Tabla 2.6d. Tabla final de amortización al definir cuota 12 meses. Mes Saldo inicial

$ Interés $

Amortización $

Pago $

Saldo final $

0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 -19,46 10,54 1.019,46 2 1.019,46 30,58 -20,04 10,54 1.039,50 3 1.039,50 31,19 -10,10 21,08 1.049,61 4 1.049,61 31,49 -10,41 21,08 1.060,01 5 1.060,01 31,80 10,36 42,16 1.049,65 6 1.049,65 31,49 10,67 42,16 1.038,98 7 1.038,98 31,17 53,16 84,33 985,82 8 985,82 29,57 54,75 84,33 931,07 9 931,07 27,93 140,72 168,65 790,35 10 790,35 23,71 144,94 168,65 645,41 11 645,41 19,36 317,94 337,30 327,48 12 327,48 9,82 327,48 337,30 -0,00

El mismo préstamo, pero con un solo pago al final se podría solucionar de la siguiente

forma.

Tabla 2.6e. Tabla inicial de amortización al definir pago al final de 12 meses. Mes Saldo inicial

$ Interés

$ Amortización

$ Pago

$ Saldo final

$ 0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 - 30,00 - 1.030,00 2 1.030,00 30,90 - 30,90 - 1.060,90 3 1.060,90 31,83 - 31,83 - 1.092,73 4 1.092,73 32,78 - 32,78 - 1.125,51 5 1.125,51 33,77 - 33,77 - 1.159,27 6 1.159,27 34,78 - 34,78 - 1.194,05 7 1.194,05 35,82 - 35,82 - 1.229,87 8 1.229,87 36,90 - 36,90 - 1.266,77 9 1.266,77 38,00 - 38,00 - 1.304,77 10 1.304,77 39,14 - 39,14 - 1.343,92 11 1.343,92 40,32 - 40,32 - 1.384,23 12 1.384,23 41,53 - 39,53 2,00 1.423,76

Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obtenido será: Tabla 2.6f. Tabla final de amortización al definir pago al final de 12 meses.

Mes Saldo inicial $

Interés $

Amortización $

Pago $

Saldo final $

0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 -30,00 0 1.030,00 2 1.030,00 30,90 -30,90 0 1.060,90 3 1.060,90 31,83 -31,83 0 1.092,73 4 1.092,73 32,78 -32,78 0 1.125,51 5 1.125,51 33,77 -33,77 0 1.159,27 6 1.159,27 34,78 -34,78 0 1.194,05 7 1.194,05 35,82 -35,82 0 1.229,87 8 1.229,87 36,90 -36,90 0 1.266,77 9 1.266,77 38,00 -38,00 0 1.304,77 10 1.304,77 39,14 -39,14 0 1.343,92 11 1.343,92 40,32 -40,32 0 1.384,23 12 1.384,23 41,53 1.384,23 1.425,76 0

Un ejemplo de cuota o pago escalonado es el de pagar un préstamo de $1.000 a la tasa

del 3% mensual y pagarlo en cuotas que crecen $10 cada mes. El primer esquema sería:

Tabla 2.6g. Tabla inicial de amortización al definir pago que aumenta suma fija. Período Saldo

Inicial $ Interés

$ Amortización

$ Pago

$ Saldo

Final $ 0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 -29,00 1,00 1.029,00 2 1.029,00 30,87 -19,87 11,00 1.048,87 3 1.048,87 31,47 -10,47 21,00 1.059,34 4 1.059,34 31,78 -0,78 31,00 1.060,12 5 1.060,12 31,80 9,20 41,00 1.050,92 6 1.050,92 31,53 19,47 51,00 1.031,45 7 1.031,45 30,94 30,06 61,00 1.001,39 8 1.001,39 30,04 40,96 71,00 960,43 9 960,43 28,81 52,19 81,00 908,25 10 908,25 27,25 63,75 91,00 844,49 11 844,49 25,33 75,67 101,00 768,83 12 768,83 23,06 87,94 111,00 680,89

En la hoja de cálculo, la segunda cuota es igual a la primera más $10 y así

sucesivamente. La primera cuota puede tener cualquier valor; lo importante es que las demás cuotas de

la segunda en adelante dependan de la primera; así, cuando se cambie la primera, las demás cuotas y el resto de la tabla cambiarán también. Esa cuota de la cual dependen las demás deberá ser un número, no una fórmula y el resto debe estar encadenado a esta primera celda por medio de fórmulas. Habrá que cambiar el valor de la primera cuota hasta cuando el saldo final sea cero. Esto se puede hacer a mano, pero el computador lo hace más rápido. Con la opción Buscar objetivo ya mencionada, se define la celda donde está el saldo final de último período con el valor cero y se le pide que cambie la celda donde está la primera cuota.

Hecho esto, se obtiene el siguiente resultado: Tabla 2.6h. Tabla final de amortización al definir pago que aumenta suma fija.

Período Saldo Inicial $

Interés $

Amortización $ Pago $

Saldo Final $

0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 18,98 48,98 981,02 2 981,02 29,43 29,55 58,98 951,48 3 951,48 28,54 40,43 68,98 911,04 4 911,04 27,33 51,65 78,98 859,40 5 859,40 25,78 63,20 88,98 796,20 6 796,20 23,89 75,09 98,98 721,11 7 721,11 21,63 87,34 108,98 633,77 8 633,77 19,01 99,96 118,98 533,80 9 533,80 16,01 112,96 128,98 420,84 10 420,84 12,63 126,35 138,98 294,49 11 294,49 8,83 140,14 148,98 154,35 12 154,35 4,63 154,35 158,98 0,00

Este ejemplo indica que se pueden construir tablas de amortización con cualquier esquema de pago y siempre será posible encontrar saldo final igual a cero o a cualquier otro valor. El esquema de pago puede ser tal que la cuota sea menor que los intereses que deben pagarse; en este caso, el saldo final aumentará en lugar de disminuir. Esto es lo que ocurre en algunos planes de pago de vivienda tanto en UVR como en pesos. Lo cual demuestra que los males que se le atribuyeron al UPAC (a finales de los años 90) no obedecen sino al esquema de pago de cuotas que se adopte. Si las primeras cuotas son menores que los intereses, con deuda en UPAC o en pesos, el problema es igual. Caso 2. Cuando se define el abono o amortización

Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo final Saldo final del período anterior

Saldo inicial por la tasa de interés

Definida a Voluntad

Abono más interés

Saldo inicial menos Abono

Ejemplo 7 En este caso se debe garantizar que la suma de las amortizaciones sea igual a la deuda. Es

LA forma más sencilla de plantear una tabla de amortización y sólo hay que hacer las operaciones para calcular el abono (Préstamo/# de cuotas) y los intereses (saldo anterior por tasa).

El mismo préstamo del ejemplo anterior: Tabla 2.6h. Tabla final de amortización al definir abono constante. Mes Saldo inicial

$ Interés $

Abono $

Pago $

Saldo final $

0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 83,333 113,33 916,67 2 916,67 27,50 83,333 110,83 833,33 3 833,33 25,00 83,333 108,33 750,00 4 750,00 22,50 83,333 105,83 666,67 5 666,67 20,00 83,333 103,33 583,33 6 583,33 17,50 83,333 100,83 500,00 7 500,00 15,00 83,333 98,33 416,67 8 416,67 12,50 83,333 95,83 333,33 9 333,33 10,00 83,333 93,33 250,00 10 250,00 7,50 83,333 90,83 166,67 11 166,67 5,00 83,333 88,33 83,33 12 83,33 2,50 83,333 85,83 -0,00 1.000,00 Ejemplo 8 Se desea calcular el plan de pago de un préstamo de $1.000.000 para pagarlo en 12

meses. Se quiere estudiar tres formas de pago con diferentes supuestos: 1. Cuota uniforme con tasas de interés mensuales diferentes 2. Cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales iguales y 3. Cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales diferentes. Para todos los casos se debe construir la estructura de la forma de pago y de la respectiva

tabla de amortización. Como se desea encontrar una forma de pago de la deuda, entonces se debe cumplir la condición de tener un saldo igual a cero al final del último mes.

Para el primer caso, cuota uniforme con tasas de interés mensuales diferentes, se construye la estructura de una cuota uniforme, dentro de la tabla de amortización, caso a).

Tabla 2.6i. Tabla inicial de amortización al definir pago uniforme (aumento 0%). Mes Saldo

inicial Interés Amortización Cuota

uniforme Saldo final

Tasa de interés

Aumento %

0 1.000 1 1.000,00 29,96 -24,96 5,00 1.025 2,996% 0,0% 2 1.024,96 29,36 -24,36 5,00 1.049 2,865% 0,0% 3 1.049,32 32,26 -27,26 5,00 1.077 3,074% 0,0% 4 1.076,58 29,09 -24,09 5,00 1.101 2,702% 0,0% 5 1.100,66 29,75 -24,75 5,00 1.125 2,703% 0,0% 6 1.125,42 31,48 -26,48 5,00 1.152 2,797% 0,0% 7 1.151,90 33,35 -28,35 5,00 1.180 2,895% 0,0% 8 1.180,26 40,02 -35,02 5,00 1.215 3,391% 0,0% 9 1.215,27 38,03 -33,03 5,00 1.248 3,129% 0,0% 10 1.248,31 36,84 -31,84 5,00 1.280 2,951% 0,0% 11 1.280,15 40,88 -35,88 5,00 1.316 3,193% 0,0% 12 1.316,03 37,24 -32,24 5,00 1.348 2,830% 0,0%

Como se observa, todas las cuotas (y las demás celdas) deberán depender de la primera

cuota. Por tanto, si esta cifra se cambia, todo lo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuando el saldo sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada, puede hacer el trabajo.

Al aplicar esta opción Tabla 2.6j. Tabla final de amortización al definir pago uniforme (aumento 0%).

Mes Saldo inicial

Interés Amortización Cuota uniforme

Saldo final

Tasa de interés

Aumento %

0 1,000.00 1 1.000,00 29,96 70,08 100,04 930 2,996% 0,0% 2 929,92 26,64 73,40 100,04 857 2,865% 0,0% 3 856,52 26,33 73,71 100,04 783 3,074% 0,0% 4 782,81 21,15 78,89 100,04 704 2,702% 0,0% 5 703,92 19,03 81,01 100,04 623 2,703% 0,0% 6 622,91 17,43 82,61 100,04 540 2,797% 0,0% 7 540,30 15,64 84,39 100,04 456 2,895% 0,0% 8 455,91 15,46 84,58 100,04 371 3,391% 0,0% 9 371,33 11,62 88,42 100,04 283 3,129% 0,0% 10 282,91 8,35 91,69 100,04 191 2,951% 0,0% 11 191,22 6,11 93,93 100,04 97 3,193% 0,0% 12 97,29 2,75 97,29 100,04 0 2,830% 0,0% En este ejemplo, la cuota uniforme es de $100,04. Obsérvese que ya no es posible usar la

función de la hoja de cálculo Pago, por tener varias tasas de interés. Para la cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales iguales, se

construye la estructura de una cuota uniforme, dentro de la tabla de amortización (también caso a en que se fija la cuota o pago). La construcción de la estructura es igual a la anterior. Aquí la diferencia radica en los datos; el crecimiento no es 0%, sino 1%, y la tasa mensual es constante es 2,5%.

Tabla 2.6k. Tabla inicial de amortización al definir pago que aumenta un %

Mes Saldo inicial

Interés Amortización Cuota creciente

Saldo final

Tasa de interés

Aumento %

0 1.000,00 1 1.000,00 25,00 -20,00 5,00 1.020,00 2,50% 1,00% 2 1.020,00 25,50 -20,45 5,05 1.040,45 2,50% 1,00% 3 1.040,45 26,01 -20,91 5,10 1.061,36 2,50% 1,00% 4 1.061,36 26,53 -21,38 5,15 1.082,74 2,50% 1,00% 5 1.082,74 27,07 -21,87 5,20 1.104,61 2,50% 1,00% 6 1.104,61 27,62 -22,36 5,26 1.126,97 2,50% 1,00% 7 1.126,97 28,17 -22,87 5,31 1.149,84 2,50% 1,00% 8 1.149,84 28,75 -23,39 5,36 1.173,22 2,50% 1,00% 9 1.173,22 29,33 -23,92 5,41 1.197,14 2,50% 1,00% 10 1.197,14 29,93 -24,46 5,47 1.221,60 2,50% 1,00% 11 1.221,60 30,54 -25,02 5,52 1.246,61 2,50% 1,00% 12 1.246,61 31,17 -25,59 5,58 1.272,20 2,50% 1,00% Igual que en el caso anterior, todas las cuotas (y las demás celdas) dependen de la

primera cuota. Por lo tanto, si esta cuota se cambia, todo lo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuando el saldo sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada, puede hacer el trabajo. Al aplicar esta opción Tabla 2.6l. Tabla final de amortización al definir pago que aumenta un %

Mes Saldo Inicial

Interés Amortización Cuota creciente

Saldo final

Tasa de

interés

Aumento %

0 1.000,00 1 1.000,00 25,00 67,51 92,51 932,49 2,50% 1,00% 2 932,49 23,31 70,12 93,44 862,36 2,50% 1,00% 3 862,36 21,56 72,81 94,37 789,55 2,50% 1,00% 4 789,55 19,74 75,58 95,31 713,98 2,50% 1,00% 5 713,98 17,85 78,42 96,27 635,56 2,50% 1,00% 6 635,56 15,89 81,34 97,23 554,22 2,50% 1,00% 7 554,22 13,86 84,35 98,20 469,87 2,50% 1,00% 8 469,87 11,75 87,44 99,18 382,43 2,50% 1,00% 9 382,43 9,56 90,62 100,18 291,82 2,50% 1,00% 10 291,82 7,30 93,88 101,18 197,94 2,50% 1,00% 11 197,94 4,95 97,24 102,19 100,69 2,50% 1,00% 12 100,69 2,52 100,69 103,21 0,00 2,50% 1,00%

En este ejemplo, la primera cuota es de 92.51 y crece 1% cada mes. Obsérvese que ya no

es posible usar la función de la hoja de cálculo pago, por no ser una cuota uniforme. Para la cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales diferentes, se

construye la estructura de una cuota uniforme, dentro de la tabla de amortización (también caso a, donde se fija la cuota o pago). La construcción de la estructura es igual a la primera. Aquí la diferencia con el anterior radica en los datos; el crecimiento es 1%, pero las tasas son diferentes.

Tabla 2.6m. Tabla inicial de amortización al definir pago que aumenta un % y tasa variable Mes Saldo


Saldo final

Tasa de interés

Aumento %

0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 -25,00 5,00 1.025,00 3,00% 1% 2 1.025,00 29,32 -24,27 5,05 1.049,27 2,86% 1% 3 1.049,27 32,21 -27,11 5,10 1.076,38 3,07% 1% 4 1.076,38 29,06 -23,91 5,15 1.100,29 2,70% 1% 5 1.100,29 29,71 -24,50 5,20 1.124,79 2,70% 1% 6 1.124,79 31,49 -26,24 5,26 1.151,03 2,80% 1% 7 1.151,03 33,38 -28,07 5,31 1.179,10 2,90% 1% 8 1.179,10 39,97 -34,61 5,36 1.213,71 3,39% 1% 9 1.213,71 37,99 -32,57 5,41 1.246,29 3,13% 1% 10 1.246,29 36,77 -31,30 5,47 1.277,59 2,95% 1% 11 1.277,59 40,76 -35,23 5,52 1.312,82 3,19% 1% 12 1.312,82 37,15 -31,57 5,58 1.344,39 2,83% 1%

Igual que en el caso anterior, todas las cuotas (y las demás celdas) dependen de la

primera cuota. Por lo tanto, si esta cuota se cambia, todo lo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuando el saldo sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada, puede hacer el trabajo. Al aplicar esta opción Tabla 2.6n. Tabla final de amortización al definir pago que aumenta un % y tasa variable Mes Saldo


Saldo final

Tasa de interés

Aumento %

0 1.000,00 1 1.000,00 30,00 64,98 94,98 935,02 3,00% 1% 2 935,02 26,74 69,19 95,93 865,83 2,86% 1% 3 865,83 26,58 70,31 96,89 795,53 3,07% 1% 4 795,53 21,48 76,38 97,86 719,15 2,70% 1% 5 719,15 19,42 79,42 98,84 639,73 2,70% 1% 6 639,73 17,91 81,91 99,82 557,82 2,80% 1% 7 557,82 16,18 84,65 100,82 473,17 2,90% 1% 8 473,17 16,04 85,79 101,83 387,38 3,39% 1% 9 387,38 12,13 90,72 102,85 296,66 3,13% 1% 10 296,66 8,75 95,13 103,88 201,54 2,95% 1% 11 201,54 6,43 98,49 104,92 103,05 3,19% 1% 12 103,05 2,92 103,05 105,96 0,00 2,83% 1%

Hay que observar que cuando las tasas de interés no son constantes las funciones ya

conocidas de la hoja de cálculo no se pueden utilizar. Hay que diseñar la estructura de los pagos y utilizar la opción Buscar objetivo.

Obviamente, los aumentos pueden ser variables o constantes porcentualmente. Asimismo, se puede incluir un aumento por un monto monetario más los aumentos porcentuales de las cuotas o de los abonos y con tasas variables. Las posibilidades son

infinitas. Se puede inclusive, tener un aumento porcentual y a la vez un aumento en valor absoluto de dinero.

Para plantear una generalización podemos observar la tabla siguiente: Tabla 2.4. Resumen de los esquemas de tablas de amortización

Saldo inicial

SI

Interés I

Abono A

Cuota C

Saldo final SF

Tasa de interés i%

Aumento

SF anterior

SI×i% C - I Definida a voluntad

SI - A Constante o variable

% o $

Saldo inicial

SI

Interés I

Abono A

Cuota C Saldo final SF

Tasa de interés i%

Aumento

SF anterior

SI×% A voluntad

C= A + I SI - A Constante o variable

% o $

En este punto es importante considerar una forma de calcular el valor presente de una serie de flujos cuando las tasas de descuento son variables.

La fórmula para hacerlo es la siguiente:

1t

1t1tt i1

FCVPVP

(2.8)

Tabla 2.5. Ejemplo de descuento con tasas variables

Año 0 1 2 3

FC 3 4 6

Tasa 10% 9% 7%

VP 10,74 8,81 5,61

Si se aplica la fórmula propuesta para calcular el Valor presente del flujo de caja de la

tabla anterior, se tiene: Para el año 2

0 61 7%

5,61

Para el año 1 5,61 41 9%

8,81

Para el instante 0 8,81 31 10%

10,74

Esta es la forma más sencilla de calcular el valor presente de un flujo de caja con tasas de descuento variables. Se utilizará en varios capítulos más adelante.

Ver videos: Valor Presente con tasas variables. http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=xYJI9-Zc-UY Valor presente con tasas variables Explicación y comparación http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=lWBrNr5sTkE#t=0

Resumen En este capítulo se ha estudiado el concepto de equivalencia, que establece la relación

entre sumas de dinero en diferentes períodos de tiempo. A partir de allí se estudió el concepto de interés (I) y la tasa de interés (i%). Se analizaron los componentes de una tasa de interés: inflación, riesgo y tasa de interés real.

Basándose en los conceptos anteriores, se trabajaron las funciones y fórmulas que permiten hacer las transformaciones entre sumas presentes, futuras y cuotas uniformes; se estudió también la forma de hallar el número de períodos que establecen la equivalencia, las tasas de interés tanto para flujos con cuotas uniformes y para flujos con cuotas no uniformes; se estudió la forma de calcular el valor presente de una serie de flujos no uniformes. Asimismo, se ilustró la manera de construir tablas de amortización.

Apéndice de Matemáticas Financieras

En este apéndice se presentan las fórmulas tradicionales para hallar las sumas equivalentes en el tiempo. Para usar estas fórmulas se manejarán las siguientes variables:

Tabla A1

Variable Símbolo la hoja de cálculo Tiempo n Nper Tasa de interés i Tasa Suma presente P VA Suma futura F VF Cuota o serie uniforme C Pago

Suma presente a suma futura Para hallar el valor de una suma futura F al final de n períodos, equivalente a una suma

presente, a una tasa de interés compuesto i%, se utiliza la siguiente fórmula: F=P(1+i)n (A.1) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. El cálculo del valor futuro

se hace aplicando en forma sucesiva la fórmula básica F=Px(1+i)n Esta aplicación se hizo en el ejemplo sobre interés compuesto en el capítulo. En la hoja de cálculo (en español) = VF(i;n;C;P;tipo). Esta función en la Hoja de cálculo sirve para calcular F a partir de C o de P; también

permite calcular el valor de F indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular F a partir de P, se omite el valor de C; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.

En Hoja de cálculo, se recomienda el uso del botón Pegar función o Asistente de Funciones. Al oprimir este botón aparece el menú de funciones y allí se escoge la función que se desea.

Figura 3.6a. Asistente para insertar funciones

Gráficamente se tiene:

P

0 n 0 n

F

Para trabajar los ejemplos que se presentan a continuación, se recomienda usar la hoja de

cálculo y construir una tabla como ésta:

Ejemplo 1 Suponer que se invierten $500.000 en una cuenta de ahorros que produce el 22% anual.

Si no se retira ninguna cantidad y se paga interés compuesto, ¿cuánto se podrá retirar al finalizar el año 5?

Sugerencias útiles: dibujar el diagrama de flujo de caja y escribir en celdas los datos que entran en la función de la hoja de cálculo; y al utilizar el Asistente de funciones, introducir las celdas y no los valores

Figura 3.6b. Función insertada.

Al introducir los datos se observan las celdas en las cuales se encuentra cada dato. Figura 3.6c. Cómo se inserta la información en el asistente

En una hoja de cálculo el flujo de caja sería: =VF(12%;5;;-500000)=$881.170,8416 La hoja de cálculo es consistente con la convención que se adoptó arriba, considerar que

un ingreso es una cifra positiva y que un egreso es una cifra negativa, de manera que cuando se introducen los valores de los flujos en las funciones, se debe tener en cuenta introducirlos con signo negativo si son egresos y la hoja de cálculo calculará el resultado como un ingreso y viceversa. Sin embargo, se dan casos en los cuales, por ejemplo, no se desea saber cuánto hay que invertir para obtener ciertos beneficios, sino a cuánto equivalen hoy ciertos beneficios futuros, o a cuánto equivalen hoy ciertos pagos futuros; en estos casos no se aplica lo dicho, sino que es necesario ajustar los signos, para que se produzca el

resultado deseado. Si se desea saber a cuánto equivalen unos flujos positivos futuros, esos flujos habrá que introducirlos a la función, con signo negativo, para que arroje un resultado positivo.

Ejercicio de autocorrección 1. La solución se encuentra al final del apéndice. ¿Cuánto se tendrá al cabo de 12 meses, si se ha depositado una suma de $1.000.000 a una

tasa del 2% mensual? Suma futura a suma presente

Para hallar la suma presente en el período cero, equivalente a una suma futura situada al final del período n, a una tasa de interés compuesto, i%, se utiliza la siguiente fórmula que se desprende de la anterior.

ni

FP

1 (A.2) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. El cálculo del valor futuro

se hace aplicando en forma sucesiva la fórmula básica F=P/(1+i)n En la hoja de cálculo = VA(i;n;C;F;tipo). Esta función en la hoja de cálculo sirve para calcular P a partir de C o de F; también

permite calcular el valor de P, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular P a partir de F, se omite el valor de C; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.


P F

0 n0 n

Ejemplo 2

Si se necesita tener $15.000.000 dentro de 3 años para pagar una matrícula, ¿cuánto debe ahorrarse hoy, por una sola vez, en una cuenta de ahorro que ofrece una tasa de interés de 15% anual?

En una hoja de cálculo el flujo de caja sería:

Año Flujo 0 P=? 1 0 2 0 3 15.000.000 =VA(15%;3;;-15000000)= $9.862.743,49


Ejercicio de autocorrección 2. La solución se encuentra al final del apéndice. ¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 1% mensual, para tener $2.000.000 al final

de 12 meses? Serie de cuotas uniformes a suma presente

A su vez, para hallar la suma al final del período cero (o sea hoy) a la tasa de interés compuesto i%, que sea equivalente a una suma uniforme durante n períodos al final de cada uno, 1, 2, ... , n, se utiliza la fórmula:

n

n

ii

iCP

1

11

(A.3) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya conocida F=P(1+i)n o

de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica concepto de equivalencia de todo el análisis que se trata de hacer, por lo tanto no se presenta (hay varios textos que sí lo hacen). Se debe insistir al lector que no es necesario memorizar las fórmulas.

En detalle:

nn i

C

i

C

i

C

i

C

i

CP

11111 1321

Esta expresión da origen a la fórmula (A.3) En la hoja de cálculo = VA(i;n;C;F;tipo). Esta función en la hoja de cálculo sirve para calcular P a partir de C o de F; también

permite calcular el valor de P, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular P a partir de C, se omite el valor de F; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.


0 n 0 1 n

C C C C C P

Donde P es la suma situada al final del período cero, C es la suma uniforme al final de

cada período 1.2,..., n, i es la tasa de interés y n el número de períodos. Cuando n es muy grande, entonces:

i

C

iC

i

iClimP

i

ii

ii

i

Climii

iClimP

n

n

n

n

nn

n

nn

n

n

011

11

1

1

1

1

1

1

1

11

(A.4)

Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. En este caso se llama costo capitalizado. Se puede demostrar que cuando las sumas de dinero futuras experimentan un crecimiento

porcentual de g, entonces esta expresión queda modificada así:

giC

P

(A.5)

Esto es válido para i>g; para g=i, el valor de P no está determinado. Tanto la ecuación A2.4 como la A2.5 pueden ser útiles cuando se trata de calcular el valor de salvamento o final de un proyecto o firma (véanse capítulos 6 y 8). Ejemplo 3

Si hoy se deben 10 cuotas de $43.077,28, calculadas al 2,76% mensual, ¿cuánto se debe pagar en este momento, para pagar la totalidad de la deuda?


Año Flujo 0 P=? 1 -43.077,28 2 -43.077,28 3 -43.077,28 4 -43.077,28 5 -43.077,28 6 -43.077,28 7 -43.077,28 8 -43.077,28 9 -43.077,28 10 -43.077,28 Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya conocida F=P(1+i)n o

de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica concepto de equivalencia de todo el análisis que se

trata de hacer, por lo tanto no se presenta (hay varios textos que sí lo hacen). Se debe insistir al lector que no es necesario memorizar las fórmulas.

=VA(2,76%;10;43077,28)=-$371.999,92


Calcular el valor de P, cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500. Explore qué sucede

cuando introduce en la casilla tipo, el valor 1. ¿Cambia el resultado? ¿Por qué cambia? Ejercicio de autocorrección 3. La solución se encuentra al final del apéndice. ¿A cuánto equivale hoy una serie de ingresos de $1.000 mensuales, recibidos al final de

cada mes, durante 12 meses, si la tasa de interés es del 1,5% mensual? Suma presente a serie de cuotas uniformes

Para hallar la suma uniforme durante determinado número de períodos 1.2,..., n, equivalente a una suma presente en cero a una tasa de interés compuesto i%, se utiliza la fórmula:

11

1

n

n

i

iiPC

(A.6) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. Esta fórmula es la inversa de la anterior. La deducción matemática de esta expresión no

aporta a la comprensión de la idea básica concepto de equivalencia de todo el análisis que se trata de hacer, por lo tanto no se presenta (hay varios textos, ya mencionados, que sí lo hacen). Se debe insistir al lector que no es necesario memorizar las fórmulas.

Si se despeja C de

nn i

C

i

C

i

C

i

C

i

CP

11111 1321

se tiene

nn iiiii

PC

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11321

y cuando se hacen simplificaciones, se obtiene la fórmula (A.6). En la hoja de cálculo = PAGO (i;n;P;F;tipo). Esta función en la hoja de cálculo sirve para calcular C a partir de P o de F; también

permite calcular el valor de C, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular C a partir de P, se omite el valor de F; si se desea que sea vencida, se

omite el valor tipo. Cuando n es muy grande, de manera similar al caso anterior:

Pii

Plim

i

iPlim

ii

i

i

ii

Plimi

iiPlimC

n

n

n

nn

n

n

n

nn

n

n

01

1

11

1

1

1

1

1

1

11

1

(A.7) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. Gráficamente se tiene:

0 0 1 n

C C C C C P

Ejemplo 4

Existe la posibilidad de diferir una compra con tarjeta de crédito por valor de $435.000 en 12 cuotas iguales, a 2,76% mensual. ¿Cuál es el valor de la cuota C?


Año Flujo 0 435.000 1 C=? 2 C=? 3 C=? 4 C=? 5 C=? 6 C=? 7 C=? 8 C=? 9 C=?

10 C=? La fórmula (A.6) se deduce de la misma expresión de la fórmula (A.3) y es exactamente

la inversa: En la hoja de cálculo: =PAGO(2,76%;12;435000) = -$43.077,28


Esta cuota se compone de dos partes: un abono a capital que aumenta con el tiempo y un pago de interés que disminuye. En general, es cierto que una cuota para pagar un préstamo

se compone de un abono o amortización más los intereses pactados; esto es cierto en todos los casos. Hay un caso muy particular, que es el estudiado aquí, en que la suma de esas dos componentes es siempre igual, porque se trata de una cuota uniforme. Para entender esto, se sugiere resolver el ejercicio 3 del final del capítulo.

En forma matemática, siempre se tendrá: Cuota = intereses + abono o amortización Con los datos del ejemplo 4, se tiene:

Mes Saldo inicial Intereses Abono Cuota Saldo final Tasa 0 435.000 1 435.000,0 12.006,0 31.071,3 43.077,3 403.928,7 2,76% 2 403.928,7 11.148,4 31.928,8 43.077,3 371.999,9 2,76% 3 371.999,9 10.267,2 32.810,1 43.077,3 339.189,8 2,76% 4 339.189,8 9.361,6 33.715,6 43.077,3 305.474,2 2,76% 5 305.474,2 8.431,1 34.646,2 43.077,3 270.828,0 2,76% 6 270.828,0 7.474,9 35.602,4 43.077,3 235.225,6 2,76% 7 235.225,6 6.492,2 36.585,0 43.077,3 198.640,5 2,76% 8 198.640,5 5.482,5 37.594,8 43.077,3 161.045,7 2,76% 9 161.045,7 4.444,9 38.632,4 43.077,3 122.413,3 2,76% 10 122.413,3 3.378,6 39.698,7 43.077,3 82.714,6 2,76% 11 82.714,6 2.282,9 40.794,4 43.077,3 41.920,3 2,76% 12 41.920,3 1.157,0 41.920,3 43.077,3 0,0 2,76% Calcular el valor de C cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500. Calcular el valor de

P, cuando n es muy grande, por ejemplo, n=500. Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo, el valor 1. ¿Cambia el resultado? ¿Por qué cambia?

Ejercicio de autocorrección 4. La solución se encuentra al final del apéndice. Si se depositan $1.500.000 en una caja de ahorros al 1,5% mensual, ¿cuánto se podrá

retirar mensualmente durante 12 meses, al final de cada mes, de modo que después del último retiro el saldo sea cero? Serie de cuotas uniformes a suma futura

Para calcular la suma futura al final del período n equivalente a una serie uniforme durante n períodos, a la tasa de interés compuesto i%, al final de cada uno, 1, 2....n, se utiliza la fórmula:

i

iCF

n 11

(A.8) Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1. Esta fórmula resulta de la sucesiva aplicación de la expresión ya conocida F=P(1+i)n o

de su inversa P=F/(1+i)n. Una vez hecho esto, se utiliza el manejo de series y progresiones de aritmética de escuela secundaria. La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica concepto de equivalencia de todo el análisis que se

trata de hacer, por lo tanto no se presenta (hay varios textos, ya mencionados, que sí lo hacen). Se debe insistir al lector que no es necesario memorizar las fórmulas.

onn

onn

iiiiC

iCiCiCiCF

1111

1111121

121

Al hacer las simplificaciones se llega a la fórmula (A.8) En la hoja de cálculo = VF(i;n;C;P;tipo). Esta función en la hoja de cálculo sirve para calcular F a partir de C o de P; también

permite calcular el valor de F, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular F a partir de C, se omite el valor de P; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.

Gráficamente se tiene: 0 1 n 0 n

C C C C C F

Ejemplo 5

Se desea calcular cuánto se tendrá en una cuenta de ahorros al final de 27 meses, si se depositan $35.000 mensuales y la cuenta de ahorros paga el 2,5% mensual.


Año Flujo 0 0 1 -35.000 2 -35.000 3 -35.000 ... ... 22 -35.000 23 -35.000 24 -35.000 25 -35.000 26 -35.000 27 -35.000 + F=?


=VF(2,5%;27;-35000)=$1.326.920,03 Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo, el valor 1. ¿Cambia el resultado?

¿Por qué cambia? Ejercicio de autocorrección 5. La solución se encuentra al final del apéndice.

Si una persona ahorra mensualmente $2.500 y le liquidan intereses mensuales del 1,2%, ¿cuánto podrá retirar al final de 24 meses? Suma futura a serie de cuotas uniformes

Para obtener el valor de la serie uniforme al final de cada período 1, 2...n, equivalente a una suma futura al final del período n, a la tasa de interés compuesto i%, se utiliza la fórmula:

11

ni

iFC (A.9)

Esta fórmula es la inversa de la anterior. Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.

La deducción matemática de esta expresión no aporta a la comprensión de la idea básica concepto de equivalencia de todo el análisis que se trata de hacer, por lo tanto no se presenta (hay varios textos, ya mencionados, que sí lo hacen). Se debe insistir al lector que no es necesario memorizar las fórmulas.

iiii

FC

nn 1111 121

En la hoja de cálculo = PAGO(i;n;P;F;tipo). Esta función en la hoja de cálculo sirve para calcular C a partir de P o de F; también

permite calcular el valor de C, indicando si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si se desea calcular C a partir de F, se omite el valor de P; si se desea que la cuota sea vencida, se omite el valor tipo.


0 n 0 1 n

C C C C C F

Ejemplo 6 Supóngase ahora, que se desea retirar de una cuenta de ahorros la suma $35.000.000,

después de haber ahorrado una cuota mensual durante 36 meses, a una tasa de 2,5% mensual. ¿Cuál debe ser esa cuota?


Año Flujo 0 0 1 C=? 2 C=? 3 C=? ... ... 31 C=? 32 C=? 33 C=? 34 C=? 35 C=? 36 C=? + 35.000.000 En la hoja de cálculo: =PAGO(2,5%;36;35000000)=-$610.805,19


Explore qué sucede cuando introduce en la casilla tipo, el valor 1. ¿Cambia el resultado? ¿Por qué cambia?

Ejercicio de autocorrección 6. La solución se encuentra al final del apéndice. ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente esa misma persona durante 36 meses, si quiere

retirar al final $300.000 y la cuenta de ahorros le paga 3% mensual? Cálculo de número de períodos

En estos factores sólo se ha trabajado en el cálculo de P, F o C, pero se puede también calcular las otras variables n e i. Para calcular n, se utiliza la función:

=NPER(i;C;P;F;tipo) para la hoja de cálculo. Donde las variables corresponden a las indicadas en la tabla 1.

Ejemplo 7 Supóngase ahora que se desea retirar de una cuenta de ahorros, la suma $35.000 después

de haber depositado $5.000 por una sola vez a una tasa de 2,5% mensual. ¿Cuánto se debe esperar?


Año Flujo 0 -5.000 1 0 2 0 3 0 ... ... n-2 0 n-1 0 n =? 35.000

=NPER(2,5%;;-5000;35000)=78,81

Ejercicio de autocorrección 7. La solución se encuentra al final del apéndice. ¿En cuánto tiempo se duplica un ahorro de $2.300.000, si se reconocen intereses de 1,5%

mensual? La función que calcula el número de períodos, que se expresa

=NPER(tasa;pago;va;vf;tipo), contiene las variables P (VA), C (pago) y F (VF), lo cual significa que se puede encontrar el número de períodos, combinando no sólo P y F como en el ejemplo anterior, sino también P y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercicio de jugar con esta función. Cálculo de tasa de interés

En el caso del cálculo de i, vale la pena precisar que dados valores de P, F, C y n, el valor calculado es aquella tasa de interés que hace equivalentes dos flujos de caja de distinto signo. Por lo tanto, los signos de las cifras involucradas en el cálculo deben ser consistentes con el diagrama de flujo de caja respectivo; esto es, una inversión debe ser un egreso y con signo negativo y un ingreso debe tener signo positivo.

Cuando se trabaja con la hoja de cálculo, se utiliza =TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) o =TIR(rango;i semilla). La primera se utiliza, como ya se ilustró, en el caso en que hay cuotas uniformes; la segunda, cuando los flujos de caja no son uniformes. En Pegar función o Asistente de funciones para la función TIR, aparece estimar en lugar de i semilla; cuando no se escribe ningún valor, el programa supone que es 0,1. Esta tasa de interés inicial que se le introduce a la función es el valor que utiliza el programa para iniciar una secuencia de iteraciones.

Por ejemplo, si se tiene la siguiente inversión: Período Flujo $ 0 -1.000 1 1.400 El lector, que es inteligente, sabrá de inmediato que la tasa que hace equivalente el flujo

positivo con el flujo negativo es 40%. El computador, que es torpe, pero veloz, tendrá que hacer un proceso de prueba y error e intentará con 20% y después con 50%, etcétera, hasta que después de varios intentos, descubrirá que es 40%. La tasa de interés que utiliza para la primera prueba es la i semilla o estimar de las funciones TASA o TIR de la hoja de cálculo.

La función de la hoja de cálculo Tasa, se utiliza cuando se tienen flujos de caja uniformes y sólo hay que introducir un valor C o Pago en la hoja de cálculo, para indicar el flujo de caja uniforme. Cuando el flujo de caja no es uniforme, obviamente no hay un valor único, uniforme, para introducir en la función. En ese caso no es posible utilizar la función Tasa y deberá utilizarse la función TIR. Con esa función hay que indicar el rango donde se hallan los valores, desde el instante cero hasta el final del período n.

En el caso de la función de la hoja de cálculo TIR, se le debe indicar al programa el rango donde aparecen todos los flujos que se desean analizar. Rango se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se encuentran los datos. Este rango debe incluir todos los valores, desde el período cero hasta el final, o período n. Las cifras de las inversiones

Sugerencias útiles: dibujar el diagrama de flujo de caja libre y escribir en celdas los datos que entran en la función de la hoja de cálculo; y al utilizar el Asistente de funciones, introducir las celdas y no los valores

deben escribirse con signo negativo. Si en los flujos analizados se encuentra un período con valor cero (0), debe escribirse como tal; la hoja de cálculo no considera una celda en blanco como cero. En caso de hallar una celda en blanco, no la toma en cuenta como período del flujo de caja analizado.

Con las funciones que utilizan rango en sus parámetros se puede utilizar un flujo de caja no uniforme.

Estas funciones responden a la pregunta ¿a qué tasa de interés se invirtió un dinero que produjo determinado flujo de beneficios? Ejemplo 8

Si una persona puede retirar la suma de $35.000 después de haber depositado $15.000 hace 36 meses ¿a qué tasa de interés mensual ahorró?


Año Flujo 0 -15.000 1 0 2 0 3 0 ... ... 34 0 35 0 36 35.000 i = =TASA(36;;-15000;35000) =2,38%


Ejercicio de autocorrección 8. La solución se encuentra al final del apéndice. Si una persona ahorra $5.000 mensuales durante 36 meses y puede retirar $300.000 el

último mes ¿a qué tasa de interés ahorró? La función que calcula la tasa de interés, que se expresa =TASA(nper;pago;va;vf;tipo;i

semilla), contiene las variables P (VA), C (pago) y F. (VF), lo cual significa que se puede encontrar la tasa de interés, combinando no sólo P y F como en el ejemplo anterior, sino también P y C, C y F y P, C y F. Se deja al lector el ejercicio de jugar con esta función. Ejemplo 9

Si una persona invierte $20.000 y recibe en el primer mes $9.000, en el segundo mes $5.000 y en el tercer mes $7.000, ¿a qué tasa de interés mensual invirtió?

B C 30 Mes Flujo $ 31 0 -20.000 32 1 9.000 33 2 5.000 34 3 7.000 Figura 3.6d. Inserción de datos en función TIR

=TIR(Rango)=2,61% Rango se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se encuentran los datos.

Este rango debe incluir todos los valores, desde el período cero hasta el final, o período n. Las cifras de las inversiones deben escribirse con signo negativo.


Ejercicio de autocorrección 9. La solución se encuentra al final del apéndice. Si se recibe un préstamo de $10.000 y se paga en cuatro cuotas así: la primera, $3.400; la

segunda $3.175; la tercera, $2.950 y la cuarta $2.725, ¿a qué tasa de interés prestaron? Suma presente equivalente a flujo no uniforme

Existe un caso muy común y consiste en saber cuál es el equivalente en pesos de hoy (valor actual o valor presente) de un flujo de caja que no tiene un patrón determinado; es decir, que los flujos de caja pueden ser diferentes.

En la hoja de cálculo esto se calcula con la función =VNA(i;rango). Estas funciones calculan la suma equivalente en el período cero de un flujo de caja a la tasa de interés indicada y lo expresa en unidades monetarias del período inmediatamente anterior al que inicia el rango que se indicó en la función. Esto es, que si se calcula el valor presente de una serie de flujos desde 1 hasta n, el resultado será una cifra en valor presente o actual, en el período 0. El lector debe pensar qué sucede (en unidades monetarias de qué período) si se utiliza todo el rango desde 0 hasta n.

Gráficamente: 0 1 2 3 n 0 n

P

Ejemplo 10

Con los datos del ejemplo 13, si esa persona desea vender el derecho a recibir los flujos de caja futuros de su inversión y su tasa de interés es de 2% mensual, ¿por cuál suma mínima debe hacer la transacción?

Mes Flujo $ 0 -20.000 1 9.000 2 5.000 3 7.000 Figura 3.6e. Cómo se usa la función VNA

=VNA(2%;Rango –desde 1 hasta 3-)=$20.225,63 Rango se refiere al rango continuo en la hoja de cálculo donde se encuentran los datos.

Este rango debe incluir sólo los valores, desde el período uno hasta el final, o período n. Las cifras de las inversiones deben escribirse con signo negativo.


Ejercicio de autocorrección 10. La solución se encuentra al final del apéndice. Calcule la suma presente en período cero 0 del siguiente flujo de caja a una tasa de

interés de 15% por período:

Año 0 1 2 3 4 Flujo $ 8 4 8 12

El lector deberá referirse a los Factores y funciones de la hoja de cálculo que se presentaron en el cuerpo del capítulo. Conclusiones

Obsérvese que en la hoja de cálculo sólo se requieren tres funciones para manejar los casos de transformación entre sumas de dinero P, F y C. Éstas son:

= VF (i;n;C;P;tipo) para transformar P a F o C a F. = VA (i;n;C;F;tipo) para transformar F a P o C a P. = PAGO (i;n;P;F;tipo) para transformar P a C o F a C. Obsérvese también que estas funciones se pueden utilizar con más de una variable; por

ejemplo, se puede calcular una cuota uniforme equivalente a una suma inicial VA o P y una suma futura VF o F. Se puede calcular una suma presente equivalente a una serie de cuotas uniformes pago o C y una suma futura VF o F, etcétera.

Al llegar a este punto es posible que algunos lectores familiarizados con el tema, hayan extrañado que ciertas fórmulas tradicionales como los gradientes, no aparezcan en el texto. La razón es muy simple: muchas de las simplificaciones que se han venido utilizando en este tema, como los gradientes, eran válidas hace más de cincuenta años. En esa época, era necesario asimilar el comportamiento de unos flujos de caja crecientes (o decrecientes) a una línea recta que aumenta o decrece por un gradiente constante g para poder condensar su cálculo en una fórmula compacta. Después de que se ha desarrollado el conjunto de funciones de hojas electrónicas, como la hoja de cálculo, que se presentó arriba, se tiene la esperanza de que ya no se utilicen más estos malabarismos algebraicos que cumplieron su función muy bien en la primera mitad del siglo veinte y comienzos de la segunda.

Las funciones, en forma resumida y en función de los patrones típicos cuando hay cuota uniforme, suma presente o suma futura es:

Tabla 8. Resumen de uso de fórmulas de hoja de cálculo

Operación Patrón típico (a partir de P, F, C, nper y/o i%)

Patrón no típico (irregular)

A suma presente VA VNA A suma futura VF No hay A cuota uniforme PAGO No hay Tasa de interés TASA TIR Número de períodos NPER No hay

Solución a los ejercicios de autocorrección 1. ¿Cuánto se tendrá al final de 12 meses, si se ha depositado una suma de $1.000.000

a una tasa del 2% mensual? F =VF(2%;12;;-1000000)=$1.268.242 2. ¿Cuánto se debe depositar hoy a una tasa del 1% mensual, para tener $2.000.000 al

final de 12 meses? P = VA(1%;12;;2000000)= -$1.774.898,45 3. ¿A cuánto equivale hoy una serie de ingresos de $1.000 mensuales, recibidos al

final de cada mes, durante 12 meses, si la tasa de interés periódica es del 1,5% mensual? P =VA(1,5%;12;-1000)= $10.907,51 4. Si se depositan $1.500.000 en una caja de ahorros al 1,5% mensual, ¿cuánto se

podrá retirar mensualmente durante 12 meses, al final de cada mes, de modo que después del último retiro el saldo sea cero?

C =PAGO(1,5%;12;-1500000)=$137.519,98 5. Si una persona ahorra mensualmente $2.500 y le liquidan intereses mensuales del

1,2% ¿cuánto podrá retirar al final de 24 meses? F=VF(1,2%;24;-2500)= $69.056,83 6. ¿Cuánto debe ahorrar mensualmente esa misma persona durante 36 meses, si quiere

retirar al final $300.000? C =PAGO(1,2%;36;;300000)= -$6.711,67 7. ¿En cuánto tiempo se duplica un ahorro de $2.300.000, si se reconocen intereses de

1,5% mensual? n=NPER(1,5%;;-2300000;4600000)= 46,56 meses. 8. Si una persona ahorra $5.000 mensuales durante 36 meses y puede retirar $300.000

el último mes ¿a qué tasa de interés periódica ahorró? i =TASA(36;-5000;;300000)=2,73% 9. Si se recibe un préstamo de $10.000 y se paga en cuatro cuotas semestrales, así: la

primera, $3.400; la segunda $3.175; la tercera, $2.950 y la cuarta $2.725, ¿a qué tasa de interés periódica prestaron?

=TIR(Rango desde período 0 a 4)=9,0% semestral

Período Flujo de caja $

0 10.000 1 -3.400 2 -3.175 3 -2.950 4 -2.725

1. Calcule la suma presente en período cero (0) del siguiente flujo de caja a una tasa de

tasa de interés periódica de 2% por período:

Año 0 1 2 3 4 Flujo $ 8 4 8 12

=VNA(2%,rango desde período 1 hasta 4)=$30,31 Ejercicios

1. Analice los siguientes puntos. a. ¿Por qué es distinto el valor del derecho a $1 hoy, de un derecho igual dentro de un

año? De acuerdo con esto, ¿qué es el interés? b. ¿Qué se entiende por concepto de equivalencia? c. ¿Cuántos flujos de caja en n años, podrían ser equivalentes a una suma presente de

$P al i% anual? 2. Se tiene un préstamo de $10.000 para pagar en cuatro pagos trimestrales. Este

ejercicio equivale a lo que llamamos tablas de amortización. a. Describir el plan de pago de $10.000 para pagar esta deuda en cuatro pagos

trimestrales iguales (cuota uniforme), que incluyen intereses de 3% trimestral y se pagan al final de cada trimestre, sobre el saldo no pagado, al comienzo del período.

Trimestre

Saldo al inicio del trimestre

Interés Abono a la deuda

Cuota uniforme

Saldo al final del trimestre

Tasa

0 1 2 3 4 b. Resolver también, bajo el supuesto de que los abonos a la deuda son iguales

Trimestre

Saldo al inicio del trimestre

Interés Abono a la deuda

Cuota Saldo al final del trimestre

Tasa

0 1 2 3 4 Juegue con los abonos en la hoja de cálculo y ajuste los valores hasta lograr que el saldo

final se mantenga en cero. Al hacer esto en forma repetida, usted podrá verificar la respuesta del ejercicio 2.

3. En una casa de cambios de Bogotá, le dijeron a una secretaria que le prestaban $200.000 al 5%. Cuando llevó a su fiador para recibir el dinero y entregar los cheques para el pago del préstamo, se enteró de que le entregarían $ 198.000, pues le descontaban $2.000 por concepto de estudio del crédito. Debió girar estos cheques:

Mes $ Mes $ 1 54.000 4 42.000 2 50.000 5 38.000 3 46.000 6 34.000

Como necesitaba el dinero, ella y su fiador le dieron las gracias al amable señor de la casa de cambios. ¿Verdaderamente le prestaron el dinero al 5%? ¿A qué tasa le prestaron? R. No. 9,71%

4. Si la liquidación es mensual, ¿a qué tasa de interés debe colocarse la suma de $1.000.000 para:

a. ¿acumular $1.000.000 de intereses en 2 años? b. ¿acumular $2.000.000 de intereses en 3 años y medio? 5. En un almacén deportivo le ofrecen una bicicleta cuyo precio de lista es de

$340.000 y se puede comprar a través de una tarjeta de crédito a 6 y 12 meses. Sin embargo, si usted paga de contado, le hacen un descuento y la bicicleta valdría

$306.000. Los factores que utiliza la tarjeta de crédito para calcular la cuota mensual (multiplica el valor del pagaré por el factor para calcular la cuota mensual) que se debe pagar en cada caso, son:

Plan Factor 6 meses 0,17980 12 meses 0,09579

¿Cuál es la tasa de interés que dice cobrar la tarjeta de crédito? ¿Cuál es la verdadera tasa

de interés que usted paga al comprar con la tarjeta? Suponga que se difiere la totalidad de la compra. R. 2,21%, 5,44% (6 meses), 3,98% (12 meses). La tarjeta aplica el factor al valor por el cual se firma el volante de compra por tarjeta de crédito.

6. Suponer que un banco anuncia que las tasas anuales de interés en cada uno de los próximos cuatro años serán 11%, 10%, 9% y 12%.

a. Elaborar una tabla que muestre la cantidad acumulada al final de cada año por cada peso depositado hoy.

b. ¿Cuánto habrá que depositar hoy para tener $10.000.000 al finalizar el cuarto año? R. $6.708.722,31.

c. ¿Qué tasa de interés anual constante sería equivalente a la serie de las tasas dadas, para alguien que desea invertir hoy y recibir la inversión después de cuatro años; (en otras palabras, ¿qué tasa de interés transformaría la suma presente que se encontró en el punto 19.2) en $10.000.000 dentro de cuatro años?). R. 10,49%.

d. A la tabla del punto a) añadir una columna que muestre la cantidad que se debe depositar ahora, si se desea tener un saldo de $1 al final del año 1. ¿Al final del año 2? ¿Y del año 3? ¿Y del año 4?

7. Suponer que una corporación de ahorros paga una tasa del 25% de interés anual y usted invierte $ 2.000.000 en enero de 2012 y desea hacer tres retiros anuales iguales a partir del año 2014, de tal manera que al hacer el último retiro (en 2016) la cuenta queda en $0. ¿Cuál es el valor de los retiros iguales que se podrían hacer?

8. ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1.000.000 si la tasa de interés es del 7% semestral? ¿En cuánto tiempo se triplica? ¿Se cuadruplica?

9. Si usted invierte hoy $1.000.000 y desea que en 10 años tal suma se haya triplicado, ¿a qué tasa de interés deberá hacer su inversión? Si desea que su capital se duplique en ese mismo período, ¿a qué tasa de interés debe invertirlo?

10. ¿En cuánto tiempo se duplicará un capital a una tasa de interés del 8% anual? ¿Del 12% anual? ¿Del 18% anual? ¿Del 24% anual? ¿Del 30% anual?

11. Si un capital se duplica cada cuatro años, ¿qué tasa de interés está ganando? ¿Si se duplica cada 10 años?

12. ¿Cuánto se acumulará en un fondo al final de 25 años si se invierten hoy $2.000.000 al 14% anual?

13. ¿Cuál es el valor presente de $5.000.000, que se recibirán dentro de 37 años, si la tasa de interés es del 11% anual?

14. Se desea tener $22.000.000 al final de 30 años, ¿qué suma uniforme de dinero se debe invertir al final de cada uno de los 30 años si la tasa de interés es del 11% anual?

15. ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir ahora para recibir $1.000.000 al año a perpetuidad, si la tasa de interés es del 11% anual?

16. Este ejercicio tiene varias partes a. ¿Cuánto debe ser el ahorro recibido al final de 5 años, para justificar un gasto de

$2.000.000 ahora, otro gasto de $15.000.000 al final del tercer año y de $2.000.000 al final del cuarto año, teniendo en cuenta que la tasa de interés es del 16% anual?

b. ¿Cuál es la suma acumulada de $1.000.000 al final de 60 años, si la tasa de interés es del 10%.

c. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar usted hoy, por la promesa de recibir $1.000.000 durante 5 años, al final de cada año, si su tasa de interés es del 18% anual?, ¿Si su tasa de interés fuera 24%?, ¿Si fuera 12%?

d. Si la tasa de interés es del 15%, hasta qué cantidad se podría pagar hoy por $1.000.000 anuales (pagaderos al final de cada año, empezando el año hoy), durante: a. 5 años; b. 10 años; Tiempo indefinido.

17. Si usted deposita en su cuenta de ahorros $500.000 al final de cada año, comenzando al final de 2014 y finalizando en el 2020, ¿qué suma tendrá usted en su cuenta entonces, si el interés anual es del 12%?

18. Si usted desea disponer, al final del 2032, de una suma de $4.000.000 en una cuenta de ahorros al 8% anual, ¿cuándo debería depositar la suma de $1.000.000?

19. ¿Qué cantidad debe depositarse en una cuenta de ahorros a una tasa de interés anual del 9% a finales de 2014, para que se pueda retirar de la cuenta $1.000.000 anuales, comenzando al final de 2018 y terminando a fines de 2032?

20. Si usted se entera de que alguien ha depositado $1.000.000 en una cuenta bancaria al final de 1998, 2000 y 2001 y que esa cuenta ha alcanzado la suma de $10.270.000 al finalizar 2004, ¿qué tasa de interés devengó esa cuenta?

21. ¿Cuál es la rentabilidad de un papel de descuento a 1 año, si se ha comprado con un descuento del 16% del valor nominal?

22. Existen títulos valores que se negocian en la Bolsa que tienen la estructura genérica de un bono; un bono es la promesa de pago que hace una firma con la cual se compromete a pagar el valor nominal (valor del bono) al vencimiento (maduración o redención) y unos intereses pactados (cupones) que se pagan periódicamente. La firma los puede vender a descuento o no (a descuento significa que los vende por menor valor que el nominal). Asimismo, puede ofrecer intereses periódicos (cupones) o no. Una universidad ha emitido bonos convertibles en matrícula, cuya adquisición se puede hacer por medio de una financiación (un préstamo) del 70% del monto a una tasa del 12% anual, pagadera por trimestre anticipado; la universidad ofrece una tasa de interés mensual del 1,0% vencido sobre el valor nominal y espera recibir al final de los 36 meses de plazo, sus bonos por

matrícula, cuyo valor es equivalente al 105% del valor nominal de los bonos. Usted ha estudiado esta posibilidad y decide comprar $1.000.000 en bonos. ¿Qué rentabilidad le produjeron los $300.000 que le correspondió aportar de su bolsillo? Suponga que el préstamo se devuelve al final de los 36 meses.

23. Un amigo le dice que es mejor pagar de contado un carro que vale $2.400.000 a pagar una cuota inicial de $1.300.000 y 10 cuotas de $136.000, porque con el sistema a plazos, usted termina pagando $2.660.000 por un carro que vale $2.400.000. ¿Qué le contestaría usted? ¿Qué tasa de interés estarían cobrando por la financiación del saldo del carro?

24. Carlos nació el 17 de octubre de 2007; al cumplir 1 año, una tía le abrió una cuenta de ahorros a su nombre y consignó $100.000; consignó sumas anuales de $50.000 en la caja de ahorros, hasta que él tuvo la edad de 18 años. En esa cuenta se le reconoce una tasa de interés periódica del 10% anual liquidado anualmente. Carlos espera comenzar a retirar sumas anuales de $1.200.000 a partir del 17 de octubre de 2027 y a los 23 años, espera retirar el saldo. a) Calcule este saldo. b) Si la tía deseara hacer sólo un depósito el 17 de octubre de 2007 y que Carlos pudiera hacer todos los retiros mencionados y terminar con el mismo saldo calculado, ¿cuál sería esa suma de dinero? R: a) $290.290,04

25. Una empresa es propietaria de una flota de buses y tiene su propio taller de mantenimiento. Un cierto tipo de bus usado normalmente durante 5 años, tiene un costo inicial de $4.500.000 y al final de esos 5 años, se puede vender en $5.000.000. Los costos de mantenimiento son de $300.000 el primer año y crecen en $100.000 cada año, si se supone una tasa de interés del 16% anual, ¿cuánto sería lo máximo que se puede pagar por un servicio equivalente, es decir por arrendar anualmente un bus similar en lugar de comprarlo?

26. Su empresa recibe un préstamo de $100.000.000 y lo debe pagar en 6 años en pagos iguales, que incluyen el interés sobre saldos. Si la tasa de interés es del 12,5% anual, ¿cuál es la cuota que debe ser pagada al final de cada año? De esa cuota uniforme, ¿cuánto es la suma que se amortiza cada año y cuánto es el monto de los intereses que se pagan cada año?

27. Siguiendo las instrucciones que se encuentran en el texto, construir la tabla de amortización de un plan de pago de $1.000.000 a 180 meses, 1,1% de interés mensual y con aumentos anuales de 7%. Cada año la cuota sube un 7%, pero durante el año su valor no cambia; esto da lugar a cuotas escalonadas.

2 el valor del dinero en el tiempo · recibir quien compra un producto o quien compra un título...

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