2. congruencia de triangulos

Congruencia de tringulos. 1

CONGRUENCIA DE TRINGULOS Dos figuras geomtricas son congruentes si tienen el mismo tamao y la misma forma. DEFINICIN: Dos tringulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ngulos.

Si ABC DEF , entonces:

; ;AB FD AC DE BC FE

; ; A D B F C E

Lados correspondientes son los que se oponen a ngulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS. POSTULADO LADO ANGULO LADO (L A L) Dos tringulos son congruentes si dos lados y el ngulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ngulo que forman en el otro.

Si

; ; AB DF BC FE B F

Entonces ABC DEF

DEFINICIN: Un corolario es una proposicin que no necesita prueba particular, sino que se deduce fcilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos tringulos rectngulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.

;AB DE BC EF ABC DEF


TEOREMA En todo triangulo issceles los ngulos de la base son congruentes

HIPTESIS: ABC es issceles con CA CB

TESIS: CAB CBA

RAZN AFIRMACIN

1. En CA se toma un punto D y en CB se

toma un punto E, tal que CD CE

1. Postulado de construccin de segmentos

2. Trazamos DB y AE 2. Dos puntos determinan un segmento

3. CA CB 3. De hiptesis

4. CD CE 4. De 1. Construccin.

5. C C 5. Propiedad reflexiva

6. CAE CBD 6. L A L. De 3, 4, 5 7. CAE CBD 7. De 6. ngulos correspondientes en

tringulos congruentes.

8. CD CE 8. De 1

9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adicin de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitucin de 3 en 9

11. AD BE 11. De 10. La ley cancelativa

12. ;CDB CEA DB AE 12. De 6. Partes correspondientes de tringulos congruentes

13. ABD EAB 13. De 11 y 12. L A L 14. EAB DBA 14. De 13. ngulos correspondientes en

tringulos congruentes. 15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ngulos.

NOTA: Este teorema tambin se puede enunciar as: Si dos lados de un tringulo son congruentes entonces los ngulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un tringulo equiltero sus ngulos son congruentes, es decir es equingulo.

HIPTESIS: ABC es un tringulo equiltero

TESIS: A B C


TEOREMA En todo triangulo issceles la bisectriz del ngulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base.

HIPTESIS: CDes la bisectriz de ACB

ABC es issceles con CA CB A D B

TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.

1. CA CB 1. De hiptesis.

2. 1 2 2. De hiptesis. Definicin de bisectriz.

3. CD CD 3. Propiedad reflexiva

4. CDA CDB 4. De 1, 2 y 3. Postulado L A L

5. AD DB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

6. D punto medio de AB 6. De 5. Definicin de punto medio

7. CD es mediana 7. De 6. Definicin de mediana

8. CDA CDB 8. De 4, por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes.

9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180 9. De hiptesis A D B. Forman un par lineal

10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180 10. Sustitucin de 8 en 9.

11. 2m ( CDA) = 180, m ( CDA) = 90 11. De 10. Propiedad de los Reales

12. CD AB 12. De 11. Definicin de perpendicularidad

13. CD es altura 13. De 12. Definicin de altura

14. CDes mediatriz 14. De 12 y 6. Definicin de mediatriz.

NOTA: Se demuestra tambin que si en un tringulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el tringulo es issceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demustrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A L A) Si dos tringulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ngulos respectivamente

congruentes, entonces los tringulos son congruentes. HIPTESIS:

; ;A P AB PQ B Q

TESIS: ABC PQR NOTA: Este teorema se demostrar cuando se vea el mtodo indirecto de demostracin.


TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS. LADO-LADO-LADO (L L L) Si dos tringulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.

HIPTESIS:

AB DE

AC DF

BC EF

TESIS: ABC DEF

1. En el semiplano de borde AB que no

contiene a C, se traza AP , tal que

y BAP D AP DF

1. Postulado de construccin de ngulos y segmentos.

2. Trazamos PB 2. Dos puntos determinan un segmento

3. AB DE 3. De hiptesis.

4. APB DEF 4. De 3 y 1. L A L

5. PB EF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

6. PB EF BC 6. De hiptesis y 5. Propiedad transitiva

7. PBC es issceles 7. De 6 y definicin de triangulo Issceles 8. BCP BPC 8. De 7. En un tringulo issceles a los lados

congruentes se oponen ngulos congruentes.

9. AP DF AC 9. De hiptesis y de 1

10. CAP es issceles 10. De 9. Definicin de triangulo issceles. 11. ACP APC 11. De 10. En un tringulo issceles a los

lados congruentes se oponen ngulos congruentes.

12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 12. Adicin de ngulos.

13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 13. Adicin de ngulos

14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 14. Sustitucin de 8 y 11 en 13

15. m ( ACB) = m( APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva

16. ABC APB 16. De 15, 6, 9. L A L 17. ABC DEF 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva


EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRINGULOS Demostrar que en un tringulo issceles las bisectrices de los ngulos de la base son

congruentes.

HIPTESIS: ABC es issceles con AB AC

y CEBD son bisectrices

TESIS: CEBD

1. m ACB m ABC 1. De hiptesis. Los ngulos opuestos a los lados congruentes de un tringulo issceles son congruentes.

2.

2m ACB

m DBC 2. De hiptesis. Definicin de bisectriz

3.

2m ABC

m ECB 3. De hiptesis. Definicin de bisectriz

4. m DBC m ECB 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ngulos congruentes.

5. BC BC 5. Propiedad reflexiva.

6. ECB DBC 6. De 1, 4, 5. A L A

7. BD CE 7. De 6. Por ser lados correspondientes de tringulos congruentes.

Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) 2)AC BD AD BC

HIPTESIS: K es punto medio de AB

K es punto medio de CD

TESIS: AC BD y AD BC

1. K es punto medio de AB 1. De hiptesis

2. AK KB 2. De 1. Definicin de punto medio

3. K es punto medio de DC 3. De hiptesis.

4. CK KD 4. De 3. Definicin de punto medio.

5. AKC DKB 5. Por ser opuestos por el vrtice.

6. AKC DKB 6. De 5, 4, 2. Postulado L A L

7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.


HIPTESIS: ABC es equiltero.

AE BF CD

TESIS: EFD es equiltero.

1. A B C 1. De hiptesis. Un tringulo equiltero es equingulo.

2. AE BF CD 2. De hiptesis.

3. AB = BC = CA 3. De hiptesis. Definicin de tringulo equiltero.

4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adicin de segmentos 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitucin de 2 en 4 6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa

7. AED EBF FCD 7. De 6, 2, 1. L A L

8. DE EF FD 8. De7. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes.

9. DEF es equiltero. 9. De 8. Definicin de tringulo equiltero

HIPTESIS: DE AE

;DE EC AE EB

D A D F H B; A G H C

TESIS: 1)

2)

CEG BEF

CFH BGH

1. D A 1. De hiptesis.

2. DE AE 2. De hiptesis.

3. AEG = DEF 3. De hiptesis. Son ngulos rectos.

4. DEF EAG 4. De 1,2, 3, A L A 5. DFE EGA 5. De 4. ngulos correspondientes en tringulos congruentes


6. EFH EGH 6. De 5. Por tener el mismo suplemento

7. FEG FEG 7. Propiedad reflexiva

8. EF EG 8. De 4. Lados correspondientes en tringulos congruentes

9. CEG BEF 9. De 6, 7, 8. A L A 10. C B 10. De 9. ngulos correspondientes en tringulos congruentes

11. HFC HGB 11. Tienen el mismo suplemento

12. EC EB 12. De 9. Lados correspondientes en tringulos congruentes

13. FC GB 13. De 12 y 8. Resta de segmentos

14. FHC BGH 14. De 10, 11, 13. A L A

HIPTESIS: AB EF

DB LF

AC y EH son medianas

AC EH

TESIS: LEF ABD

1. LF DB 1. De hiptesis.

2. AC y EH son medianas 2. De hiptesis

3. H y C son puntos medios 3. De 2. Definicin de mediana

4. LH HF y DC CB 4. De 3. Definicin de punto medio

5. ( )

( )2

m LFm HF y

( )( )

2

m DBm CB

5. De 4. Definicin de punto medio.

6. HF CB 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva

7. ;EH AC EF AB 7. De hiptesis

8. EHF ACB 8. De 6 y 7. L L L 9. F B 9. De 8. ngulos correspondientes en

tringulos congruentes

10. ABD LEF 10. De 1, 7, 9. L A L


HIPTESIS: CA CB

DA DB C E D ; A E B

TESIS: AB CD

1. AC BC 1. De hiptesis.

2. ABC es issceles. 2. De 1. Definicin de triangulo issceles. 3. 1 2 3. De 2. Los ngulos de la base de un tringulo

issceles son congruentes

4. AD BD 4. De hiptesis.

5. ADB es issceles. 5. De 4. Definicin de triangulo issceles. 6. 3 4 6. De 5. En un tringulo issceles a los lados

congruentes se oponen ngulos congruentes. 7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 7. Adicin de ngulos.

8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 8. Adicin de ngulos

9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 9. Sustitucin de 3 y 6 en 8

10. m ( CAD) = m ( CBD) 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.

11. CAD CBD 11. De 10 y de hiptesis. L A L 12. ACD DCB 12. De 11. ngulos correspondientes en tringulos

congruentes.

13. CE es bisectriz 13. De 12. Definicin de bisectriz

14. CE es altura 14. De 13 y 2. En un triangulo issceles la bisectriz del ngulo opuesto a la base es tambin altura.

15. CE AB 15. De 14. Definicin de altura.

16. CD AB 16. De 15 y de hiptesis C E D


HIPTESIS: AB AF

AC AE A B C; A F E

TESIS: 1)BE CF

2)AD es bisectriz de CAE

1. AB AF 1. De hiptesis

2. A A 2. Propiedad reflexiva

3. AC AE 3. De hiptesis

4. ABE ACF 4. De 1, 2, 3. L A L

5. BE CF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes

6. BC AC AB 6. Resta de segmentos 7. FE AE AF 7. Resta de segmentos. 8. FE AC AB 8. Sustitucin de 1 y 3 en 7.

9. BC FE 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.

10. ABE AFC 10. De 4. Por ser ngulos correspondientes en tringulos congruentes.

11. CBD es el suplemento de ABE

11. De hiptesis. A B C. Definicin de ngulos suplementarios

12. DFE es el suplemento de AFC

12. De hiptesis. A F E. Definicin de ngulos suplementarios

13. CBD DFE 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento. 14. C E 14. De 4. Por ser ngulos correspondientes en tringulos

congruentes.

15. BDC DFE 15. De 14, 9, 13. A L A

16. DB DF 16. De 15. Por ser lados correspondientes en tringulos congruentes

17. AD AD 17. Propiedad reflexiva.

18. BAD FAD 18. De1, 16, 17. L L L 19. BAD FAD 19. De 18. Por ser ngulos correspondientes en tringulos

congruentes.

20. AD es bisectriz de CAE

20. De 19. Definicin de bisectriz.


PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO

1. Dos tringulos son congruentes si dos ngulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ngulos y el lado del otro. ( )

2. Si los catetos de un tringulo rectngulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectngulo, entonces los tringulos son congruentes. ( )

3. Dos tringulos son congruentes si dos lados y un ngulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ngulo del otro. ( )

4. L L A siempre se cumple en la congruencia de tringulos. ( ) 5. Dos tringulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados

congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos tringulos equilteros son congruentes. ( ) 7. Dos tringulos equilteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un

lado del otro. ( ) 8. Dos tringulos son congruentes si tienen sus ngulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un tringulo issceles son congruentes s los lados

congruentes de otro triangulo issceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un tringulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos tringulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ngulos

correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos tringulos tienen sus ngulos correspondientes congruentes, entonces los lados

correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningn par de ngulos de un tringulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un tringulo son rectas. ( ) 15. Existe un tringulo RST en el cual el ngulo R sea congruente con el ngulo T. ( ) 16. El suplemento de un ngulo, siempre es un ngulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un tringulo issceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un tringulo equiltero es equingulo. ( ) 20. Si dos ngulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ngulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ngulo de un tringulo biseca al lado opuesto al ngulo. ( )

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En la figura se tiene que:

AG GE ED FG GB BC .

Demostrar que: D C


2.

HIPTESIS: CD es altura. AD DB

TESIS: 1) ACD BCD

2) CA CB

3. Demostrar que en un tringulo issceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.

4.

HIPTESIS: ; ; E B ADE ACB B C D E

TESIS: EAD BAC

5.

HIPTESIS: ;AB AD AE es bisectriz de BAD

A C E

TESIS: 1)

2)

BC CD

BCE DCE

6.

HIPTESIS: ABC es equiltero

AE BF CD TESIS: EFD es equiltero.


7. Sea ABC un tringulo issceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto

medio de BC . Demostrar que el tringulo ACE es congruente con el tringulo BCD. 8.

HIPTESIS: E F C; E G B; A G H C; D F H B

ED EA

DE EC

AE EB D A

TESIS: 1)

2)

CEG BEF

CFH BGH

9.

HIPTESIS: AI IC CD BI IH HF

TESIS: EH EC

10.

HIPTESIS: B es punto medio de AC

;AD CE BD BE

TESIS: 1)

2) es isosceles.

E D

APC


11.

HIPTESIS:

AB AF

BD DF

BAC FAE

TESIS: 1)

2)

AC AE

BC FE

12. Demostrar que en un triangulo issceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ngulos opuestos a los lados congruentes son

congruentes.

13. Si en un tringulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado

AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ;RC DB .En base con esta informacin se

puede demostrar que ?AR AD Justificar la respuesta. 14.

HIPTESIS: AE BC

AC BE

TESIS: 1)

2) es isosceles

DEA DCB

ABD

15.

HIPTESIS: 1 2

3 4

A E C y D E B

TESIS: 1)

2)

AE EC

DE AC


16.

HIPTESIS: ; ; 1 2AB AF DB DF

TESIS: 1)

2)

B F

DC DE

SUGERENCIA: Trazar AD

17.

HIPTESIS:

OED ODE

A C

AE DC

TESIS: 1)

2)

BF BH

OF OH

18.

HIPTESIS: ; ;AF AB FE BC DF DB

TESIS: 1)

2)

EAD CAD

ED CD

19.

HIPTESIS: EAD CAD

AF AB

TESIS: 1)

2)

DF DB

EF CB


20.

HIPTESIS: ; ;AR SC AB CD BS DR

TESIS: 1)

2)

BSA DRS

PR PS

21.

HIPTESIS: BD es mediana

;AE BF CF BF

TESIS: AE CF

22.

HIPTESIS: y son medianas

AC AE

CF EB

TESIS: AD CE

23.

HIPTESIS: ;AB BC DC BC

ABD DCA

TESIS: ABC DCB

24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un tringulo issceles al punto medio de la base son congruentes.

25. Si el segmento de recta que une el vrtice B del tringulo ABC al punto medio M de AC

se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB 26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triangulo

equiltero forman otro tringulo equiltero.


27.

HIPTESIS: ;TR TS PR PS

TESIS: TRP TSP

28.

HIPTESIS: A B C D 1 2

AB CD

TESIS: A D

Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometra Euclidiana de Nelson Londoo Geometra Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometra. Reunin de profesores Geometra de Clemens y otros, de la serie Awli Geometra de Edwin E. Moise

Recopilados por: Jos Manuel Montoya Misas.

2. congruencia de triangulos

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