2- complemento de schur
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Complemento de SchurTRANSCRIPT
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Aula 1 - Complemento de Schur, Transformacoes de Congruencia, LMIs e Estabilidade
IA892 Analise e Controle de Sistemas Lineares
por Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs)Aula 1: Complemento de Schur, Transformacoes de Congruencia, LMIs e
Estabilidade
Pedro L. D. Peres & Ricardo C. L. F. Oliveira
Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas
2o Semestre 2013
P. L. D. Peres & R. C. L. F. Oliveira IA892 - Analise e Controle de Sistemas Lineares por LMIs - Aula 1 1/35
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Topicos
1 Schur
2 Congruencia
3 LMIs
4 Estabilidade
5 Finsler
6 Lema da Projecao
7 Regioes
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Complemento de Schur
Considere a matriz quadrada simetrica X particionada
X =
[A BB C
]com A= A. Se det(A) 6= 0, a matriz C B A1B e o complemento de Schur deX em relacao a A.
Note por exemplo que
X =
[A BB C
]=
[I 0
B A1 I
][A 00 C B A1B
][I A1B0 I
]e portanto det(X ) = det(A)det(C B A1B).
Analogamente, se det(C) 6= 0, ABC1B e o complemento de Schur de X emrelacao a C e
X =
[A BB C
]=
[I BC1
0 I
][ABC1B 0
0 C
][I 0
C1B I
]
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Caracterizacao da positividade de X
Considere a matriz quadrada simetrica X particionada
X =
[A BB C
]
X > 0 se e somente se A> 0 e C B A1B > 0
X > 0 se e somente se C > 0 e ABC1B > 0
Se A> 0, X 0 se e somente se C B A1B 0
Se C > 0, X 0 se e somente se ABC1B 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Complemento de Schur
X =
[A BB C
]=
[I 0
B A1 I
]
T
[A 00 C B A1B
][I A1B0 I
]
T
Como T e uma matriz nao singular:[A BB C
]> 0
[A 00 C B A1B
]> 0
Analogamente,
X =
[A BB C
]=
[I BC1
0 I
][ABC1B 0
0 C
][I 0
C1B I
]
[A BB C
]> 0
[ABC1B 0
0 C
]> 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Transformacao de Congruencia
Q = T RT Rnn , T Rnn nao singular
Duas matrizes simetricas Q ,R Rnn sao congruentes se existir T Rnn naosingular tal que Q = T RT . Se Q e R sao congruentes, entao Q > 0 se e somentese R > 0.Prova: R > 0x 6= 0, x Rx > 0. Definindo y = T1x , tem-sex Rx = y T RTy = y Qy > 0, y 6= 0 Q > 0.
Note que para R = R Rnn e T Rnm, T RT Rmm. Neste caso,
R > 0 T RT 0 , R > 0 e rank(T ) =m T RT > 0
pois rank(T RT ) = rank(T ) e, se rank(T ) =m, nao existe x 6= 0 tal que Tx = 0
Note que para R = R Rnn e T Rnm
T RT > 0 6 R > 0 ! Por exemplo,[1 0
][1 00 1
][10
]= 1> 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Funcionais afins
Um funcional f () = f () e afim se, para matrizes quaisquer X ,Y e escalares1,2 R,
f (1X +2Y ) = 1f (X )+2f (Y )
Funcionais afins definem conjuntos convexos
{X : f (X ) 0
};{X : f (X )> 0
};{X : f (X ) 0
};{X : f (X )< 0
}
f (X ) 0, f (X ) 0, f (X )> 0 e f (X )< 0 sao desigualdades matriciais lineares,ou Linear Matrix Inequalities LMIs
Exemplos: para A e Q dadas,
AX +XA+Q 0 ; AXAX +Q < 0 ;
[X AXXA X
]> 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Desigualdades Matriciais Lineares LMIs
Convexidade
Existem programas computacionais especializados (algorimos convergem emtempo polinomial) na resolucao de LMIs: LMI Control Toolbox (Matlab), Lmitool(Matlab e Scilab), SeDuMi, LMI Solver
Inumeros problemas de controle podem ser formulados como LMIs
Outras aplicacoes (mecanica, otimizacao, etc.)
Formular um problema em termos de LMIs equivale a resolver o problema!
Lyapunov, 1890. A equacao diferencial x = Ax e estavel (trajetorias iniciandoem qualquer ponto convergem para x = 0) se e somente se existir P = P tal que
P > 0 ; AP+PA< 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Desigualdades Matriciais Lineares LMIs
Empilhando as variaveis de decisao (incognitas) em um unico vetor x Rm,pode-se re-escrever uma LMI na forma
F (x), F0+x1F1+ +xmFm > 0
com Fi Rnn, i = 0, . . . ,m matrizes contantes simetricas. Note que F (x)> 0
significa que F (x) deve ser definida positiva para todo x , ou seja, y F (x)y > 0para todo vetor y 6= 0.
A LMI F (x)> 0 e equivalente a um conjunto de n desigualdades polinomiaisem x , obtidas impondo-se que os menores principais lderes de F (x) devem sertodos positivos.
A LMI F (x)> 0 e uma restricao convexa, isto e, o conjunto{x : F (x)> 0
}e um conjunto convexo.
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Desigualdades Matriciais Lineares LMIs
Exemplo
X =
[x1 x2x2 x3
]=
[1 00 0
]
F1
x1+
[0 11 0
]
F2
x2+
[0 00 1
]
F3
x3 > 0
AX +XA= (AF1+F1A)x1+(AF2+F2A)x2+(A
F3+F3A)x3 < 0
Note que X > 0 equivale a`s restricoes x1 > 0, x3 > 0 e x1x3 > x22 (nao-linear!)
X > 0 pode tambem ser expressa como um numero infinito de restricoes linearesdo tipo aix bi , pois X > 0 z
Xz > 0, z Rn. Escolhendo por exemplo
z1 =
[10
]; z2 =
[01
]; z3 =
[11
]e impondo z iXzi > 0, chegam-se respectivamente a`s restricoes
x1 > 0 ; x3 > 0 ; x1+2x2+x3 > 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Desigualdades Matriciais Lineares LMIs
Desigualdades convexas podem ser convertidas em LMIs por meio docomplemento de Schur.
[Q(X ) S(X )S(X ) R(X )
]> 0 R(X )> 0 , Q(X )S(X )R(X )1S(X ) > 0
Exemplo: A restricao sobre a norma da matriz M(X ) < 1 (maximo valorsingular), com M(X ) Rpq dependendo de maneira afim em X , pode ser escritacomo a LMI [
Ip M(X )M(X ) Iq
]> 0
pois M< 1 equivale a IpMM > 0. O caso q = 1 reduz-se a umadesigualdade quadratica convencional em x .
Exemplo: A restricao c(X )P(X )1c(X )< 1, P(X )> 0, com c(X ) Rn eP(X ) = P(X ) Rnn dependendo de maneira afim em X , pode ser expressa emtermos da LMI [
P(X ) c(X )c(X ) 1
]> 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Definicoes de estabilidade
O sistema linear contnuo no tempo descrito por x = Ax , com A Rnn, eassintoticamente estavel se qualquer uma das condicoes abaixo for verificada:
limt
x(t) 0, para condicao inicial x(0) arbitraria
maxi
Re{i (A)}< 0, i = 1, . . . ,n
A estabilidade de x = Ax (ou simplesmente a estabilidade de A) pode sertambem investigada por meio de uma funcao de Lyapunov v(x). Para que osistema seja assintoticamente estavel, duas condicoes devem ser verificadas:
v(x)> 0 x 6= 0
v(x)< 0 x 6= 0 solucao de x = Ax
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Teorema de Lyapunov
Escolhendo como candidata a` funcao de Lyapunov uma funcao quadraticav(x) = x Px , com P = P a determinar, tem-se
v(x) = x Px > 0, x 6= 0 P > 0
v(x) = x Px+x Px = x (AP+PA)x < 0 AP+PA< 0
Portanto, para determinar se A e estavel, basta procurar uma solucao factvelP = P Rnn para o problema (LMIs):
P > 0 ; AP+PA< 0
Teorema 1 (Lyapunov)
Os autovalores de A tem parte real negativa se e somente se para qualquer matrizsimetrica definida positiva Q a equacao de Lyapunov
AP+PA=Q
tiver uma unica solucao P = P > 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Sistema de equacoes
Resolvendo a equacao de Lyapunov AP+PA+Q = 0
Matlab: [P]=lyap(A,Q)
Ou: Definindo o produto de Kronecker de duas matrizes A Rmn, B Rpq
AB =
a11B a1nB...
. . ....
am1B amnB
Rmpnq
e a operacao vec (A), A Rmn, como
vec A=[a11 am1 a12 am2 a1n amn
]pode-se reescrever a equacao de Lyapunov AP+PA=Q como
[InA
+A In]vec (P) =vec (Q) sistema de equacoes lineares
Como P e Q sao simetricas, e tambem a equacao de Lyapunov e simetrica,pode-se reduzir o sistema de n2 equacoes lineares acima a n(n+1)/2 equacoescom n(n+1)/2 incognitas.
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Solucao por LMIs
Usando LMIs, programe
min Tr(P)
P > 0 ; AP+PA+Q < 0
A minimizacao do traco leva a solucao P para a igualdade
Solucao P = P > 0 existe sempre que A for estavel;
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Condicoes equivalentes
Existe P = P > 0 tal queAP+PA< 0
se e somente se existir W =W > 0 tal que
AW +WA < 0
Se P satisfaz a primeira LMI, entao W = P1 satisfaz a segunda e vice-versa
W1(AW +WA)W1 = AW1+W1A
P1(AP+PA)P1 = AP1+P1A
Autovalores de A e A sao os mesmos
A e estavel se e somente se A tambem o for
Homogeneidade:P = P > 0 : AP+PA< 0 P = P > 0 : AP+PA
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Estabilidade: caso discreto
O sistema linear discreto no tempo descrito por x(k+1) = Ax(k), com A Rnn
e assintoticamente estavel se qualquer uma das condicoes abaixo for verificada:
limk
x(k) 0, condicao inicial x(0) arbitraria
maxi
|i (A)|< 1, i = 1, . . . ,n
A estabilidade de x(k+1) = Ax(k) (ou simplesmente a estabilidade de A)pode ser tambem investigada por meio de uma funcao de Lyapunov v(x). Paraque o sistema seja assintoticamente estavel, duas condicoes devem ser verificadas:
v(x)> 0 x 6= 0
v(x(k+1))v(x(k)) < 0 x 6= 0 solucao de x(k+1) = Ax(k)
P. L. D. Peres & R. C. L. F. Oliveira IA892 - Analise e Controle de Sistemas Lineares por LMIs - Aula 1 17/35
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Teorema de Lyapunov
Funcao de Lyapunov v(x) = x Px
v(x) = x Px > 0, x 6= 0 P > 0
v(x(k+1))v(x(k)) = x(k+1)Px(k+1)x(k)Px(k) =
= x(k)(APAP)x(k)< 0 APAP < 0
Portanto, para determinar se A e estavel, basta procurar uma solucao factvelP = P Rnn para o problema (LMIs):
P > 0 ; APAP < 0
Teorema 2 (Lyapunov)
Os autovalores de A tem valor absoluto menor do que 1 se e somente se paraqualquer matriz simetrica definida positiva Q a equacao discreta de Lyapunov
APAP =Q
tiver uma unica solucao P = P > 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Sistema de Equacoes
Resolvendo a equacao de Lyapunov APAP+Q = 0
Matlab: [P]=dlyap(A,Q)
A equacao de Lyapunov APAP =Q pode ser reescrita como
[AA
]vec (P) = vec (P)vec (Q) sistema de equacoes lineares
Pode ser reduzido a um sistema de n(n+1)/2 equacoes e n(n+1)/2 incognitas.
Usando LMI solversmin Tr(P)
P > 0 ; APAP+Q < 0
Usando complemento de Schur
minP > 0
Tr(P)
[P PAAP PQ
]> 0 APP1PAP+Q < 0
[PQ APPA P
]> 0
P. L. D. Peres & R. C. L. F. Oliveira IA892 - Analise e Controle de Sistemas Lineares por LMIs - Aula 1 19/35
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Condicoes equivalentes
Existe P = P > 0 tal queAPAP < 0
se e somente se existir W =W > 0 tal que
AWAW < 0
[P APPA P
]> 0
[P1 00 P1
][P APPA P
][P1 00 P1
]=
[P1 P1A
AP1 P1
]> 0
Note ainda que
[0 I
I 0
][P APPA P
][0 I
I 0
]=
[P PAAP P
]
Autovalores de A e A sao os mesmos
A e estavel se e somente se A tambem o for
Homogeneidade:P = P > 0 : APAP < 0 P = P > 0 : APAP
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Lema de Finsler
Teorema 3 (Finsler)
Considere w Rn, Q Rnn e B Rmn com rank (B)< n e B uma basepara o espaco nulo de B (isto e, BB = 0).
Entao, as seguintes condicoes sao equivalentes:
w Qw < 0, w 6= 0 : Bw = 0 BQB < 0 R : QBB < 0 X Rnm : Q+X B+BX < 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Prova
[ ] Todo w tal que Bw = 0 pode ser escrito como w = By . Portanto,
w Qw < 0 w 6=0 : Bw =0 = y BQB
y < 0 y 6=0 = BQB
< 0
[ ]
B
QB< 0 = y B
QB
y < 0 y 6=0 = w Qw < 0 w 6=0 : Bw =0
[ ], [ ] Multiplicando a` esquerda por B e a` direita por B,recupera-se B
QB < 0
[ ] A matriz B pode ser escrita como B = BLBR com BL, BR de rankcompleto. Entao, defina D = BR (BRB
R )
1(BLBL)1/2 e note que
[D
B
](QBB)
[D B
]=
[DQD I D QB
BQD B
QB
]
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Comentarios
Como por hipotese e verificado, BQB < 0, e portanto existe R tal que[D QD I D QB
BQD B
QB
]< 0
Consequentemente, existe R tal que QBB < 0
[ ] Se e verificado X =2
B satisfaz a condicao
Comentarios
o Lema de Finsler pode ser utilizado para expressar condicoes de estabilidade(como as condicoes de Lyapunov) em termos de desigualdades matriciais
Introduz novas variaveis (, X ) em condicoes que envolvem apenas Q, B eB
Novos graus de liberdade na analise de sistemas incertos, possibilidade deeliminacao de variaveis e de nao linearidades, possibilidade de estender condicoesde analise para a sntese de controladores e filtros
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Condicoes equivalentes (sistemas contnuos)
w =
[xx
]; B =
[A I
]; B =
[I
A
]; Q =
[0 PP 0
]
P = P > 0 tal que[xx
] [0 PP 0
][xx
]< 0 x , x 6= 0 :
[A I
][ xx
]= 0
P = P > 0 tal que[
I
A
] [0 PP 0
][I
A
]= AP+PA< 0
R,P = P > 0 tais que[0 PP 0
]
[A I
] [A I
]=
[AA A+PA+P I
]< 0
X R2nn,P = P > 0 tais que[0 PP 0
]+X
[A I
]+
[A
I
]X
< 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Condicoes equivalentes (sistemas discretos):
w =
[x(k)
x(k+1)
]; B =
[A I
]; B =
[I
A
]; Q =
[P 00 P
]
P = P > 0 : w [P 00 P
]w < 0 w 6= 0 :
[A I
]w = 0
P = P > 0 :[
I
A
] [P 00 P
][I
A
]= APAP < 0
R,P = P > 0:
[P 00 P
]
[A
I
][A I
]=
[AAP A
A I+P
]< 0
X R2nn,P = P > 0 :[P 00 P
]+X
[A I
]+
[A
I
]X
< 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Particionando os multiplicadores
Definindo as particoes X1 Rnn, X2 R
nn em X
X =
[X1X2
]
a condicao pode ser reescrita como X1 Rnn, X2 Rnn e P = P > 0 taisque
[X1A+A
X 1 PX1+AX 2
P+X2AX1 X2X
2
]< 0 (caso contnuo)
[P+X1A+A
X 1 X1+AX 2
X2AX1 PX2X
2
]< 0 (caso discreto)
Note que, no caso discreto, com a escolha X1 = 0, X2 = X2 = P recupera-se a
forma de Schur de APAP < 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Abordagem descritora
Sistemas equivalentes
x = Ax ,
[I 00 0
][xy
]=
[0 IA I
][xy
], y = x
Ao sistema , pode-se associar a seguinte funcao de Lyapunov (aumentada):
v(x) = [P 00 0
] = x Px
Como [P 00 0
]=
[P F0 G
][I 00 0
]=
[I 00 0
][P 0F G
]tem-se que
v(x) = [P F0 G
][I 00 0
] =
[I 00 0
][P 0F G
]
e assim (o smbolo representa um bloco simetrico na LMI)
v(x) = [P F0 G
][0 IA I
] +
[0 A
I I
][P 0F G
] =
[AF +FA PF +AG
G G
]
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Lema da Projecao
Dados Q = Q Rnn, A Rmn e B Rrn, existe X Rrm tal que
Q+A X B+BX A < 0
se e somente se
AQA < 0 e B
QB < 0 com A A = 0 , BB = 0
Note que, no caso particular B = I, obtem-se a equivalencia do Lema deFinsler.
Lema da Projecao Recproca
Dados P = P > 0, P Rnn e Q = Q Rnn, tem-se
Q+S+S < 0
se e somente se existir W Rnn tal que[Q+P (W +W ) S +W
S+W P
]< 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Lema da Projecao: prova
Prova: usando o Lema da Projecao, com X =W e
A =[I I
]; A =
[I
I
]; B =
[I 0
]; B =
[0
I
]; Q =
[Q+P S
S P
]tem-se [
Q+P S
S P
]+
[II
]W
[I 0
]+
[I
0
]W
[I I
]< 0
se e somente se
[I I
][Q+P S S P
][I
I
]=Q+S+S < 0 e
[0 I
][Q+P S S P
][0
I
]=P < 0
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Aplicacao: Condicoes Equivalentes de Estabilidade
maxi
Re{i (A)}< 0, i = 1, . . . ,nse e somente se existir P = P Rnn tal que
AP+PA< 0 , P > 0
ou, equivalentemente, se e somente se existir Y = Y Rnn tal que
AY +YA < 0 , Y > 0
Escolhendo Q = 0, S = AY e S =YA no Lema da Projecao Recproca, tem-se ascondicoes equivalentes[
PW W AY +W
YA+W P
]< 0
[WT 00 Y 1
][PW W AY +W
YA+W P
][WT 00 Y 1
]< 0
com WT = (W1).
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Schur Congruencia LMIs Estabilidade Finsler Lema da Projecao Regioes
Fazendo as mudancas de variaveis V =W1, X = Y1 , tem-se[V PV V V V A+X
AV +X XPX
]< 0
aplicando Schur no termo V PV , tem-seV V V A+X V AV +X XPX 0
V 0 P1
< 0
impondo P = X1, tem-seV V V A+X V AV +X X 0
V 0 X
< 0
Note que na ultima expressao a matriz de Lyapunov X nao multiplica a matriz A.
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Regioes no plano complexo
O estudo da estabilidade de uma matriz A Rnn resume-se a` identificar umaregiao no plano complexo na qual estao os autovalores i , i = 1, . . . ,n da matriz.
Im
Re
Re{i (A)}< 0 , i = 1, . . . ,n
m
P = P > 0 : AP+PA< 0
Im
Re
1
|i (A)|< 1 , i = 1, . . . ,n
m
P = P > 0 : APAP < 0
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Regioes no plano complexo
Estabilidade em relacao ao semiplano esquerdo deslocado e em relacao aocrculo de raio centrado na origem
Im
Re
Re{i (A+ I)}< 0 , i = 1, . . . ,n
m
P=P > 0 : (A+ I)P+P(A+ I)< 0
Im
Re
1
|i (A/)|< 1 , i = 1, . . . ,n
m
P = P > 0 : APA2P < 0
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Regioes no plano complexo
Estabilidade em relacao a um crculo de raio centrado em ( ,0), distanted do eixo imaginario
Im
Re
d
i{A+ I
}< 1 P = P > 0 : (A+ I)P(A+ I)2P < 0 P = P > 0 :
1
(A+dI)P(A+dI)+(A+dI)P+P(A+dI)< 0
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D-estabilidade
Uma regiao D no plano complexo pode ser descrita como
D ={z C : R11+R12z+R
12z
+R22zz < 0
}com R11 = R
11 R
dd , R22 = R22 R
dd submatrizes de R R2d2d dada por
R =
[R11 R12R 12 R22
]sendo que d e a ordem da regiao. Assumindo-se R22 0, tem-se que Drepresenta regioes convexas simetricas em relacao ao eixo real.
i (A)D P =P > 0 : R11P+R12(PA)+R 12(AP)+R22APA< 0
Exemplos (d = 1): Rcont. =
[0 11 0
]; Rdisc. =
[1 00 1
]
RC =
[2d+d2/ 1+d/1+d/ 1/
]crculo de raio centrado em (d,0)
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