2-cap09 transf tensoes2015 2
DESCRIPTION
cap 09 tranf tensoesTRANSCRIPT
1
2 - Transformação de tensão - Cap 9
Prof. Alexandre Vieceli2015
2
Pás de turbinas mostrando níveis de tensões, através da técnica de fotoelasticidade.
3
Transformação de tensão no plano
4
O estado geral de tensão no plano em um ponto é representado por uma combinação de duas componentes de tensão normal x e y e uma componente de tensão de cisalhamento xy que agem nas 4 faces do plano.
Como fazer a transformação de tensões no caso de girar o elemento?
5
6
Estilo de problema – 9.1. O estado plano de tensão em um ponto na superfície da fuselagem do avião é representado no elemento orientado como mostra a figura. Represente o estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30° no sentido horário em relação à posição mostrada.
7
Equações Gerais da transformação de tensão no plano O EPT em um ponto é
unicamente representado por três componentes atuando em um elemento que tem uma orientação específica no ponto.
Convenção de sinais: Tensões normais positivas:
para fora das faces. Tensões de cisalhamento
positivas: para cima na face direita do elemento
8
Ambos os sistemas x-y e x’-y’ seguem a regra da mão direita.
A orientação de um plano inclinado, no qual as componentes de tensão normal e de cisalhamento devem ser determinadas, serão definidas usando um ângulo . O ângulo é medido do eixo x positivo para o eixo x’ positivo. Ele é positivo desde que siga a curvatura dos dedos da mão direita.
9
Seccionar o elemento e isolar o segmento de reta de comprimento A (hipotenusa).
10
Componente de tensão normal e de cisalhamento: Considerar o diagrama de corpo livre resultante para o segmento, aplicando as equações de equilíbrio de força para determinar as componentes.
11
+ΣFx’ = 0; σx’ ∆A – (τxy ∆A sin θ) cos θ – (σy ∆A sin θ) sin θ – ( τxy ∆A cos θ) sin θ – (σx ∆A cos θ) cos θ = 0 σx’ = σx cos2 θ + σy sin2 θ + τxy (2 sin θ cos θ)
+ΣFy’ = 0; τx’y’ ∆A + (τxy ∆A sin θ) sin θ – (σy ∆A sin θ) cos θ – ( τxy ∆A cos θ) cos θ + (σx ∆A cos θ) sin θ = 0 τx’y’ = (σy – σx) sin θ cos θ + τxy (cos2 θ – sin2 θ)
2cos2sin2
2sin2cos22
´´
´
xyyx
yx
xyyxyx
x
12
2sin2cos22
2cos2sin2
2sin2cos22
´
´´
´
xyyxyx
y
xyyx
yx
xyyxyx
x
2sin2cos22
2sin2cos22
2sin180cos2cos180sin2sin180sin2cos180cos22
902sin902cos22
´
´
´
´
xyyxyx
y
xyyxyx
y
xyyxyx
y
xyyxyx
y
13
Continuando exemplo 9.1
2sin2cos22
2cos2sin2
2sin2cos22
´
´´
´
xyyxyx
y
xyyx
yx
xyyxyx
x
MPa 15,460sin2560cos2
5080
2
5080
MPa 8,6860cos2560sin2
5080
MPa 8,2560sin2560cos2
5080
2
5080
30502580
´
´´
´
y
yx
x
yxyx
14
Exercícios O estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural é
mostrado em cada elemento. Determine as componentes de tensão que agem no plano inclinado AB para as duas ilustrações.
(1)
Obs: girar -50°
(2)
Obs: girar 60°
15
9.6 – O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado AB.
Respostas:
x = 90 MPa
y = 50 MPa
xy = -35 MPa
x’ = 49,69 MPa
y’ = 90,3 MPa
x’y’ = -34,82 MPa
16
9.17 – Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito aos dois estados de tensão sucessivos mostrados na figura. Determine o estado de tensão resultante representado no elemento orientado como mostrado à direita.
17
Tensões principais no plano Para determinar a tensão normal máxima e mínima, faz-se a diferencial e
iguala-se a zero.
2/2tan
2/2cos
2sin
2cos2sin2
02cos22sin22
02sin2cos22
´
yx
xyp
yx
xy
xyyx
xyyx
xyyxyxx
d
d
d
d
d
d
d
d
18
Tensões principais no plano A partir das duas soluções, pode-se calcular os valores das orientações de p1 e p2
para as duas tensões principais e substituir na equação para a tensão normal.
2
2
2,1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
22
222cos
22sin
222cos
22sin
xyyxyx
xyyxyx
p
xyyx
xyp
xyyxyx
p
xyyx
xyp
19
Tensões principais no plano
20
Tensão de cisalhamento máxima no plano A orientação de um elemento, cujas faces estão sujeitas à tensão de cisalhamento
pode ser determinada derivando-se a equação abaixo e igualando-a a zero.
xy
yxs
xy
yx
xyyx
xyyx
xyyxyx
d
d
d
d
d
d
2/2tan
2/
2cos
2sin
2sin2cos2
02sin22cos22
02cos2sin2
´´
21
Tensão de cisalhamento máxima no plano Há duas raízes s1 e s2 para as duas tensões de cisalhamento. Os planos para tensão de cisalhamento máxima podem ser determinados
orientando um elemento 45° em relação à posição de um elemento que define os planos de tensão principal.
Há uma tensão normal nos planos (med) onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima.
2
22
2
yxmed
xyyx
máx
22
Exemplo 9.3 – Quando a carga de torção T é aplicada à barra da figura, ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material. Determinar: (a) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada e (b) as tensões principais.
23
A partir da convenção de sinais:
a) A tensão máxima no plano é:
b) Para as tensões principais:
xyyx 0 0
02
2
2
2
plano nomax
yx
medxyyx
22
135,452/
2tan
2
2
2,1
12
xyyxyx
ppyx
xyp
2
1
24
Materiais dúcteis falham devido à tensão de cisalhamento. Materiais frágeis falham por conta da tensão normal.
Material frágil
Material dúctil
25
Exemplo 9.4 – Quando uma carga axial P é aplicada à barra, produz uma tensão de tração no material. Determine:
(a) as tensões principais
(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada.
26
Da convenção de sinais:
a) Tensão principal
Já que não atua cisalhamento neste elemento:
b) Tensão de cisalhamento máxima no plano:
0 21
0 0 xyyx
22
0
2
2
02
0
2
45,45;0
2/02/2tan
med
22
2
2
plano no max
21
yx
xyyx
ssxy
yxs
2090sin
2
02cos2sin
2''
xyyx
yx
27
Materiais dúcteis falham devido à tensão de cisalhamento. Materiais frágeis falham por conta da tensão normal.
Material frágil
Material dúctil
28
Exemplo 9.5/9.6 – O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é mostrado no elemento abaixo.
(a) Represente este estado de tensão em termos de tensões principais.
(b) Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada.
29
30
31
Exercícios9.18 - A barra de aço tem espessura de 12 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine as tensões principais desenvolvidas na barra.
32
9.19 – Uma placa de aço tem espessura de 10 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média desenvolvida no aço
Respostas:
max = 0,5MPa
med = 3,5 MPa
1 = 4 MPa
2 = 3 MPa
33
9.22/23 – O grampo de fixação força a superfície lisa contra o ponto E quando o parafuso é apertado. Se a força de tração no parafuso for 40 kN, determine as tensões principais nos quatro pontos A, B, C e D, e mostre os resultados em elementos localizados em cada um desses pontos.
Respostas:Ponto A1 = 0 MPa
2 = -192 MPa
Ponto B1 = 24 MPa
2 = -24 MPa
Ponto C1 = 256 MPa
2 = 0 MPa
Ponto D1 = 0,68 MPa
2 = -154,3 MPa
34
9.30 – A viga de abas largas está sujeita às cargas mostradas. Determine a tensão principal na viga no ponto A e no ponto B. Esses pontos estão localizados na parte superior e na parte inferior da alma, respectivamente. Embora a precisão não seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento para calcular a tensão de cisalhamento.
Respostas:
1,A = 150 MPa
2,A = -1,52 MPa
1,B = 1,60 MPa
2,B = -143 MPa
35
9.31 – O eixo tem diâmetro d = 30 mm e está sujeito às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvida em qualquer lugar na superfície do eixo. F = 1000 N; T0 = 400.000 N.mm
Resposta:
1 = 74,7 MPa
2 = -76,2 MPa
máx = 75,5 MPa
36
equações. duas as se-Somam
2sin2cos2
22cos2sin2
2sin2cos2
22sin2cos22
2cos2sin2
2sin2cos22
:quadrado ao equação cada Elevando
2cos2sin2
2sin2cos22
222
2
2''
222
22
'
2
2''
22
'
''
'
yxxyxy
yxyx
yxxyxy
yxyxx
xyyx
yx
xyyxyx
x
xyyx
yx
xyyxyx
x
Círculo de Mohr – tensão no plano Representação geométrica das equações:
37
Círculo de Mohr – tensão no plano Representação geométrica das equações:
22''
2'
2
2
2
2
2''
2
'
:Resulta
2
2
:se-Define
22
:se-Tem
R
R
yxmedx
xyyx
yxmed
xyyx
yxyx
x
38
Representação geométrica das equações:
0, em centro e
raio de círculo um representa
2
2
22''
2'
2
2
med
yxmedx
xyyxyx
med
C
RR
R
Christian Otto Mohr
1835 - 1918
Círculo de Mohr – tensão no plano
),(saber se-precisa
tegraficamen raio oobter Para
xyxA
R
Atenção: observe o sentido dos eixos e
39
Uma rotação do eixo x’ no elemento corresponderá a uma rotação 2no círculo na mesma direção.
40
Uma rotação do eixo x’ no elemento corresponderá a uma rotação 2no círculo na mesma direção.
41
Exemplo 9.4 cont. – A carga axial P produz o estado de tensão no material. Construa o círculo de Mohr.
a) Construção do círculo:
b) Tensões:
0 21
)0,(22
0
2
0 0
med
A
yx
xyyx
2
2
med
plano no max
42
Exemplo 9.3 cont. – A carga de torção T produz o estado de tensão no material. Construa o círculo de Mohr.
a) Construção do círculo:
b) Tensões:
),0(
02
0 0
A
yxmed
xyyx
0
plano nomax
med
2
1
43
Exemplo 9.9 – Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A sobre o cilindro maciço está sujeito ao estado de tensão mostrado. Determine as tensões principais que agem neste ponto, construindo o círculo de Mohr.
44
a) Construção do círculo
O centro do círculo é:
Os pontos de referência A(-12,-6) e o centro C(-6, 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio de:
b) Tensões
MPa 62
012
med
MPa 60MPa,12 xyyx , τ σ σ
MPa 49,862
012 22
R
MPa 5,1449,86 :D Ponto
MPa 49,2649,8 :B Ponto
, :se-Tem
2
1
21
5,22
0,45612
6tan2
2
2
1
p
p
45
Exemplo 9.10 – O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento sobre o qual ela age.
46
a) Construção do círculo
O centro do círculo é:
Os pontos de referência A(-20, 60) e o centro C(35, 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio de:
b) Tensões
MPa 35 MPa, 81,4:E Ponto
MPa 4,46 :D Ponto
MPa 4,116 :B Ponto
plano nomax
2
1
med
60 e 90 ,20 xyyx
MPa 4,815560 22 R
MPa 352
9020
med
3,2160
3520tan2
11
1ss
47
Exemplo 9.11 – O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento abaixo. Represente esse estado de tensão em um elemento orientado a 30° em sentido anti-horário em relação à posição mostrada.
48
a) Construção do círculo
O centro do círculo é:
Os pontos de referência A(-8, -6) e o centro C(2, 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio de:
b) Tensões a 30°
6 e 12 ,8 xyyx
66,11610 22 R
MPa 22
128
med
MPa 66,504,29cos66,11
MPa 20,804,29cos66,112
04,2996,3060 96,3010
6tan
''
'
1
yx
x
)(confere! MPa 66,504,29sin66,11
MPa 22,1204,29cos66,112
y'x'
'
y
49
Exemplo 9.12 – Uma força axial de 900 N e um torque de 2.500 N.mm são aplicados ao eixo de diâmetro 40 mm da figura abaixo. Determine as tensões principais em um ponto P sobre a superfície.
50
kPa 2,716MPa 7162,0
20
900
kPa 9,198MPa 1989,020
202500
2
42
A
Pσ
J
Tc
kPa 1,3582
2,7160
med
Os pontos de referência A(0; 198,9) e o centro C(358,1; 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio R = 409,7 kPa.
As tensões são:
1,292
MPa 6,51 :D Ponto
kPa 6,767 :B Ponto
2
2
1
p
51
Exercícios9.67 - Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 60° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado.
52
9.68 - Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 30° em sentido horário em relação ao elemento mostrado.
Respostas:
x' = 735,7 MPa;
y' = -155,7 MPa;
x'y' = -188 MPa.
53
9.76 - Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.
Respostas:
1 = 115,6 MPa;
2 = -10,6 MPa;
max = -63,1 MPa.
med = 52,5 MPa
s2 = 28,15°
54
9.79 – Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito a dois estados de tensão sucessivos como mostra a figura. Determine o estado de tensão resultante como referência a um elemento orientado.
55
Tensão de cisalhamento máxima absoluta
É possível desenvolver equações de transformação de tensão e determinar as componentes de e em qualquer plano oblíquo do elemento.
Também pode-se determinar uma orientação sobre cujas faces ajam somente tensões principais.
56
Parte-se da condição de tensão triaxial, isto é, com a orientação principal do elemento e as tensões principais conhecidas.
57
2
2
minmaxmed
minmaxmax abs
Tensão de cisalhamento máxima absoluta
58
Tensão de cisalhamento máxima absolutaCaso particular no EPT: quando max> 0 e min < 0
Quando max> 0 e int > 0, tendo min = 0, qual o valor da abs máx ?
59
Exemplo 9.15 – O ponto na superfície do vaso de pressão cilíndrico está sujeito ao estado plano de tensão. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto.
60
a) Construção do círculo
b) Tensões
0 e 16 ,32 minintmax
MPa 162
032
2
MPa 162
032
2
minmaxmed
minmaxmax abs
61
Exercícios9.91 – A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
62
9.90 – A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
63
9.95 – O eixo maciço de diâmetro d = 50 mm está sujeito a torque, momento fletor e força de cisalhamento como mostra a figura. Determine as tensões principais que agem nos pontos A e B e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
Respostas:
max,A = 5,49 MPa
int,A = 0 MPa
min,A = -0,61 MPa
max abs,A = 3,05 MPa
max,B = 1,29 MPa
int,B = 0 MPa
min,B = -1,29 MPa
max abs,B = 1,29 MPa
64
9.87 – A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está sujeita à força de 600 N. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvido no ponto A e no ponto B. Mostre os resultados em elementos localizados nesses pontos.
65
Variações de tensão ao longo de uma viga prismática Em geral uma seção arbitrária a-a ao longo de um eixo, o
cisalhamento interno V e o momento M são desenvolvidos de uma distribuição de tensão de cisalhamento parabólica e distribuição de tensão normal linear.
66
Variações de tensão ao longo de uma viga prismática
67
Variações de tensão ao longo de uma viga prismática
68
69
Exemplo 9.13 – A viga mostrada na figura abaixo está sujeita ao carregamento distribuído w = 120 kN/m. Determine as tensões principais na viga no ponto P, que se encontra na parte superior da alma. Despreze o tamanho dos filetes e as concentrações de tensão neste ponto.
70
Cargas internas: a reação de apoio sobre a viga em B é determinada e o equilíbrio da viga seccionada mostrado ao lado
V = 120 – 36 = 84 kN
M = 120x0,3 – 36x0,15 = 30,6 kN.m
Componentes de tensão no ponto P:
MPa 2,3510104,67
5,710015175000.84
MPa 4,45104,67
)100(106,30
mm104,6712
2005,822
12
230175
6
6
6
4633
It
VQ
I
My
I
71
Tensões principais: pelo círculo de Mohr
O centro do círculo é:
Os pontos de referência A(-45,4; -35,2) e o centro C(-22,7; 0) são plotados. O círculo é construído tendo um raio de:
Tensões:
MPa 6,64
MPa 2,19
2
1
2,35 e 0 ,4,45 xyyx
MPa 9,417,222,35 22 R
MPa 7,222
04,45
med
6,28
2,577,22
2,35tan2
2
2
1
p
p
72
9.26 – A viga T está sujeita ao carregamento distribuído aplicado ao longo de sua linha central. Determine as tensões principais nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos localizados em cada um desses pontos.
Respostas:
1,A = 152,15MPa
2,A = 0 MPa
1,B = 0,23 MPa
2,B = -195,23 MPa