2-apostila de geometria espacial (3º anos, 13 páginas, 75 questões)
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E. E. E. F. M. MIN.
ALCIDES CARNEIRO
Turma:
PROF. GILBERTO SANTOS JR
GEOMETRIA ESPACIAL
I-ESTUDO DO PRISMA 1 . DEFINIÇÃO Denomina-se prisma a todo sólido geométrico
limitado por dois polígonos congruentes e pa-
ralelos denominados bases do prisma e fa-
ces, chamadas faces laterais, com o formato
de paralelogramos.
A denominação de um prisma é feita de
acordo com o tipo de sua base. Prisma trian-
gular é o prisma cuja base é um triângulo;
prisma quadrangular é o prisma cuja base é
um quadrilátero; prisma pentagonal é o
prisma em que a base é um pentágono; e as-
sim por diante.
2 . CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS
l
Lh
vértices
Aresta da base ( l ): é o lado do polígono
da base.
Aresta lateral (L): é o lado de uma face
lateral.
Altura (h): é a distância entre os planos
das bases.
Vértices: são as “quinas” (interseção en-
tre duas arestas da base).
3 . PRISMA RETO É todo prisma em que as arestas late-
rais são perpendiculares a cada base. Caso o
prisma não seja reto ele é chamado oblíquo.
No prisma reto as faces laterais são retângu-
los.
prisma reto
L = h
h
α
L
prisma oblíquo
4 . PRISMA REGULAR É todo prisma reto cuja base é um polí-
gono regular. Um prisma que a base seja um
quadrado (prisma quadrangular regular) ou
um triângulo equilátero (prisma triangular
regular), etc.
5 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS 5.1 Área Lateral (Aℓ): É a soma das áreas de todas as faces
laterais do prisma. No caso de um prisma reto
essas faces serão retângulos.
área lateral (A )l
Aℓ = 3.Aretângulo = 3. ℓ h
5.2 Área da base (Ab): É a área do polígono que constitui a ba-
se.
No exemplo acima o polígono da base é
um triângulo equilátero.
Ab = ATriângulo Equilátero = 4
32l
5.3 Área Total (At): É a soma das áreas de todas as faces
do prisma. Em um prisma pode-se calcular a
área total pela soma entre a área lateral e as
áreas das duas bases:
At = Aℓ + 2.Ab
área lateral (A )l
área da base (A )b
área da base (A )b
2
5.4 Volume (V): É um número que associado a uma uni-
dade conveniente fornece a quantidade de
espaço ocupado pelo sólido. A unidade ge-
ralmente utilizada como padrão de medida é a
cubagem (m3, cm3, mm3,...). Com base na
definição fica estabelecido que o volume V de
um prisma é diretamente proporcional à sua
área da base e à sua altura. O volume é o pro-
duto da área da base Ab pela altura h.
V = Ab . h
6 . PRISMAS ESPECIAIS 6.1 Paralelepípedo É todo prisma em que as bases são pa-
ralelogramos. No caso do paralelepípedo re-
to retângulo todas as faces são retangulares. O paralelepípedo apresenta a forma que
costumamos em nosso cotidiano chamar de
caixa. É, portanto, um exemplo de sólido bas-
tante frequente em nossa vida.
Área:
At = 2ab + 2ac + 2bc
At = 2(ab + ac + bc)
Volume:
V = a.b.c
6.2 Cubo É todo paralelepípedo que apresenta
arestas iguais.
O cubo também pode
ser chamado de hexa-
edro regular (hexa =
seis e edro = face). No
cubo todas as seis faces
apresentam o formato
quadrado.
Área:
At = 6.a.a At = 6a2
Volume:
V = a. a. a
V = a3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Um tijolo tem a forma de um prisma qua-
drangular regular em que a aresta da base
mede 4 cm e a altura 10 cm. Calcule: a) a área da base;
b) a área lateral;
c) a área total;
d) o volume.
2) Um objeto de decoração tem o formato de
um prisma triangular regular. As arestas da
base medem 8 cm cada e a altura do objeto é
de 20 cm. Calcule a área total e o volume des-
se objeto. (use 3 = 1,7)
3) Num prisma triangular regular, a aresta da
base mede 4 cm e aresta lateral mede 9 cm.
Calcule a área lateral e a área total do prisma.
(use 3 = 1,7)
4) Um sólido possui bases congruentes e pa-
ralelas no formato de triângulo retângulo. Sa-
bendo que os catetos dos triângulos medem 6
m e 8 m, a altura do sólido é 10 m, calcule o
volume, a área lateral e a área total do sólido.
5) Em um prima hexagonal regular, a aresta
da base mede 3 cm e a aresta da face lateral
mede 6 cm. Calcule a área total e o volume do
prisma. (use 3 = 1,7)
6) Um sólido de 6 cm de altura tem por base
um hexágono regular que pode ser inscrito
numa circunferência de 4 cm de raio. Calcule
sua área total e seu volume.
7) É dado um prisma pentagonal regular no
qual a aresta da base mede 5 cm e a aresta
lateral mede 10 cm. Calcule a área lateral do
prisma.
8) Um cubo possui 2 m de aresta. Calcule:
a) a área de uma de suas faces;
b) área lateral;
c) área total;
d) seu volume;
e) sua diagonal.
9) Uma indústria precisa fabricar 10.000 cai-
xas de sabão com as medidas da figura abaixo.
Desprezando as abas calcule, aproximadamen-
te, quantos m2 de papelão serão necessários.
14 cm
20 cm
40 cm
a
b
c
a
a
a
3
10) Quantos cm2 de cartolina, aproximada-
mente, foram usados para montar um cubo de
10 cm de aresta?
11) Um cubo tem área total de 96 m2. Qual é
a medida da aresta do cubo?
12) Qual é o volume de concreto necessário
para fazer uma laje de 20 cm de espessura
em uma sala de 3 m por 4 m?
13) Num paralelepípedo retângulo, a área
total é de 582 cm2. As dimensões desse para-
lelepípedo estão em P.A. de razão 3. Determi-
ne as dimensões do paralelepípedo.
14) O volume de ar contido em um galpão
com a forma e dimensões dadas pela figura
abaixo é: (a altura do galpão é igual 5) (a) 288
(b) 384
(c) 480
(d) 360
(e) 768
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
15)(UNAMA-2007) Considere o texto a se-
guir para responder à questão abaixo.
O RIO AMAZONAS
O Rio Amazonas nasce no lago Laurico-
cha, no Andes do Peru, possui 5.825 km de ex-
tensão e sua bacia é a mais vasta do mundo com
5.846.100 km2. A diferença entre os níveis mí-
nimo e máximo de suas águas chega a 10,5 m e,
em alguns trechos, a distância entre as margens
mede 15 km. Em 1963, constatou-se que a va-
zão do Amazonas, num determinado trecho, é de
216.000 m3/s de água. Nos trechos de baixo e
médio curso as águas correm a uma velocidade
de 2,5 km/h, chegando à velocidade de 8 km/h
na parte mais estreita.
O volume de água despejado, por se-
gundo, na vazão em determinado trecho do
Amazonas pode ser armazenado em um recipi-
ente de formato cúbico de aresta L. Nestas
condições, o valor de L, em metros, estaria
compreendido:
(a) 10 e 36 (d) 80 e 95
(b) 35 e 65 (e) 105 e 120
(c) 65 e 80
16)(UEPA-2011)Leia o texto XVI para res-
ponder a questão.
Texto XVI
O matapi é um instrumento especialmen-
te projetado para a captura de camarão, fei-
to de talas de folha de palmeira (miriti)
amarradas com cipó titica e muito utilizada
na região amazônica. Esse é um estilo de
pesca artesanal que não agride o meio ambi-
ente. A forma do matapi é composta por dois
cones dentro do cilindro. Internamente há
abertura nos ápices dos cones, funcionando
como funis, por onde o camarão entra para
comer a isca ali colocada, ficando preso no
interior do artefato.
Considere, com as necessárias e devi-
das aproximações, que a altura do cone é 1/3
da altura do cilindro e que os raios dessas duas
figuras são iguais. Desse modo, a razão entre
o volume do cone e o volume do cilindro é:
(a) 1/9 (b) 1/6 (c) 1/3 (d) 3 (e) 9
17)(UEPA-2012) A ideologia dominante
também se manifesta por intermédio do acesso
aos produtos do mercado, sobretudo daqueles
caracterizados por tecnologias de ponta. O
“Cubo Magnético” é um brinquedo constituído
por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo
que esse brinquedo possa ser colocado perfei-
tamente ajustado den-
tro de uma caixa, tam-
bém no formato de um
cubo, com aresta igual
a 30 mm, a razão en-
tre o volume total das
esferas que constituem
o “Cubo Magnético” e o
volume da caixa que
lhe serve de depósito é:
(a) 6
(b)
5
(c)
4
(d)
3
(e)
2
18) (UEPA-2011) A construção da Usina de
Belo Monte, no Rio Xingu, deverá ser a terceira
maior hidrelétrica do mundo e irá inundar ter-
ras de três municípios, principalmente da Vitó-
ria do Xingu e Altamira, formando um lago com
aproximadamente 516 m2 de área. Alguns
especialistas defendem que a alteração do re-
gime do rio deve afetar a fauna e a flora da
região, enquanto outros defendem o projeto
pela importância econômica, gerando milhares
de empregos e grande oferta de energia. Con-
sidere que, hipoteticamente, a forma do lago
se assemelha a um paralelepípedo e a profun-
didade média do lago seja de 20 m. Desse
modo, o volume de água aproximado que terá
esse lago será:
(a) 1,032 Km3 (d) 1.032 Km3
(b) 10,32 Km3 (e) 10.320 Km3
4
(c) 103,2 Km3
19)(UEPA-2011) Leia o texto XV para res-
ponder a questão.
Texto XV
A construção das
eclusas de Tucuruí é
essencial para que
uma embarcação
transponha a dife-
rença de nível exis-
tente e o rio seja
navegável entre os dois lados da barragem
da hidrelétrica, permitindo o desenvolvimen-
to de atividades econômicas e sociais da po-
pulações que vivem na região. A eclusa é um
reservatório em forma de câmara, que funci-
ona como uma espécie de elevador, através
de seu enchimento e esvaziamento.
Sabendo-se que a forma da câmara das
eclusas de Tucuruí é de um paralelepípedo,
com dimensões internas de 210 m de compri-
mento, 33 m de largura e 35 m de altura, e
que a velocidade média de enchimento da é de
300 m3/s, o tempo médio de enchimento da
câmara será de aproximadamente:
(a) 2 minutos (d) 10 minutos
(b) 5 minutos (e) 13 minutos
(c) 7 minutos
20)(PROSEL-2008) O Iterpa, dando conti-
nuidade ao programa de reforma agrária do
Governo Federal, assentou certo número de
famílias em terras na região Amazônica. Para
minimizar os problemas de falta d’água, foram
construídas duas caixas d’água I e II, de um
mesmo material, com tampas e formato de
paralelepípedo retângulo. A caixa I, de base
quadrada, de lado 4m e altura 3m, e a caixa
II, de base retangular de dimensões 3m e 4m
e altura 4m. Nessas condições, afirma-se que:
(a) as quantidades de material gasto na cons-
trução das caixas I e II são iguais.
(b) o volume da caixa I é maior que o volume
da caixa II.
(c) na construção da caixa I se gastará mais
material que na caixa II.
(d) o volume da caixa II é maior que o
volume da caixa I.
(e) na construção da caixa II, se gastará mais
material que na da caixa I.
21)(PROSEL-2005) Um tipo de lata rasa
utilizada pelos ribeirinhos para o armazena-
mento do açaí tem o formato de um prisma
quadrangular regular cuja base tem área de
576 cm² e altura igual a 3
2 da aresta da base.
O volume desta lata, em cm3, é:
(a) 20.736 (d) 10.368
(b) 17.280 (e) 9.216
(c) 13.824
22)(UFRA-2004) Um criador de cavalos quer
construir um estábulo para alojar seus 50 ca-
valos, de modo que cada animal tenha para
seu conforto no recinto 240 metros cúbicos de
ar. Se a forma da construção é de um parale-
lepípedo retângulo com 25 metros de frente
por 75 metros de fundos, qual deve ser, em
metros, a altura dessa construção?
(a) 4,8 (b) 5,4 (c) 6 (d) 6,4 (e) 6,8
II - CILINDRO CIRCULAR 1 . DEFINIÇÃO Sejam e dois planos paralelos distin-
tos, uma reta S secante a esses planos e um
círculo C de centro O contido em . Conside-
remos todos os segmentos de reta, paralelos a
S, de modo que cada um deles tenha um ex-
tremo pertencente ao círculo C e o outro ex-
tremo pertencente a .
hg
O
O’
C
C’
s
A reunião de todos esses segmentos de
reta é um sólido chamado de cilindro circular
limitado de bases C e C’ ou simplesmente
cilindro circular.
2 . ELEMENTOS DO CILINDRO CIRCU-LAR Bases do cilindro: são os círculos C e C’
de centros O e O’, respectivamente;
Eixo do cilindro: é o segmento de reta
que liga os centros das bases, isto é, o
segmento oo' ;
Altura (h): é a distância entre as bases;
Geratriz (g): todo segmento de reta para-
lelo ao eixo oo' que tem extremidades
pertencentes as circunferências das bases.
5
3 . CILINDRO CIRCULAR RETO É o sólido obtido pela rotação completa
de um retângulo em torno de um de seus la-
dos. A base do cilindro de revolução é um cír-
culo.
4 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS
4.1 Área Lateral (Aℓ): Para determinar a área lateral do cilin-
dro é necessário planificar sua superfície late-
ral. Fazendo-se esse processo verifica-se que a
planificação resultará em um retângulo de
mesma altura que o cilindro, e cuja base é o
comprimento da base do mesmo.
Aℓ = 2 R.h
4.2 Área da Base (Ab):
Área de cada base é a área do círculo
do raio r:
Ab = r2
4.3 Área Total (At): É a soma entre a área lateral e as áreas
das duas bases do cilindro.
At = Aℓ + 2.Ab
4.4 Volume (V): Como o cilindro circular reto possui du-
as bases paralelas e congruentes, como o
prisma, calcula-se o seu volume pela mesma
expressão do prisma, o produto da área da
base pela altura:
V = Ab . h
Observações: Secção meridiana: é o retângulo que se
obtém ao cortar o cilindro com um plano
que contenha o seu eixo.
Caso a medida da altura do cilindro seja
igual à medida de seu diâmetro (h = 2R),
será chamado de cilindro equilátero.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
23) Um cilindro circular reto possui raio da
base igual a 2 m e altura igual a 5 m. Calcule
o volume desse cilindro. (use = 3,1)
24) Uma lata de refrigerante tem raio igual a
4 cm e altura de 10 cm. Quantos cm3 de lí-
quido podem ser colocados dentro dessa lata? (use = 3,1)
25) Um cilindro equilátero possui volume igual
a 16 cm3. Calcule a área desse cilindro. (use = 3,14)
26) A área lateral de um cilindro é 20 dm2.
Se o diâmetro mede 4 dm, calcule o volume e a área total desse cilindro em cm. (use =
3,1)
27) Qual a área lateral do cilindro equilátero
de 54 cm3 de volume.
28) Um cilindro de revolução tem 16 m2 de
área total. Sabendo que o raio é a terça parte
da altura, a área lateral mede:
29) Um produto é embalado em recipientes
com formato de cilindros retos. O cilindro A
tem altura 20 cm de raio da base 5 cm. O
cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10
cm. (considere = 3,1)
a) Em qual das embalagens se gasta menos
material?
b) O produto embalado no cilindro em A é
vendido a R$ 4,00 a unidade e o do cilindro B
a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual
a embalagem mais vantajosa?
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
30)(UEPA-2010) Uma das máximas utiliza-
das nas pesquisas para o desenvolvimento do
“produto perfeito” é que ele deve possuir o
menor número de componentes, de tal modo
6
que possa conseguir um justo equilíbrio entre
forma, produção e custo. Uma fábrica de leite
em pó investe na produção de duas embala-
gens para a comercialização de um novo lan-
çamento. O modelo A é um cilindro reto de
raio R e o modelo B é um prisma reto de base
quadrada cujo lado mede L. Fonte: Limites do design, Dijon de Moraes – 2 ed., São Paulo, Studio Nobel, 1999.Texto adaptado.
Sabendo-se que os dois modelos devem ter o
mesmo volume e que a altura do modelo B é
duas vezes a altura de A, então, a razão R/L,
nessas condições, é:
(a)
2 (c)
2 (e)
2
(b) 2 (d) 2
31)(PROSEL-2003) Os profissionais da área
de nutrição tem orientado a população de que
uma boa alimentação deve ser balanceada em
elementos nutritivos, ocasionando maior resis-
tência física, vida mais saudável e mais longa
aos cidadãos. Portanto, adquirir hábitos ali-
mentares salutares, é hoje uma prática indis-
pensável para aqueles que desejam obter uma
boa saúde. Um desses hábitos, segundo os
nutricionistas, é beber água somente entre as
refeições, 6 a 8 copos diariamente, jamais du-
rante.
A quantidade aproximada de água, em
litros, ingerida por um indivíduo que bebe dia-
riamente 8 vezes os 4
3 do copo indicado na
figura abaixo é: (dado = 3,14)
(a) 1,0 l
(b) 1,3 l
(c) 1,5 l
(d) 2,0 l
(e) 2,5 l
III-ESTUDO DA PIRÂMIDE 1 . DEFINIÇÃO Uma pirâmide pode ter por base qual-
quer tipo de polígono. E define-se pirâmide a
conjunto de todos os segmentos de reta que
partem dessa base e convergem para um pon-
to V do espaço, situado fora do plano do polí-
gono da base. O ponto V é chamado ”o vértice
da pirâmide”, e a distância desse ponto à base
é a altura da pirâmide.
2 . CLASSIFICAÇÃO E ELEMENTOS
A
l
L
V
O
h
M
Aresta da base ( l ): é o lado do polígono
da base;
Aresta lateral (L): é o lado de uma face
lateral;
Altura (h): é a distância entre o vértice e
o plano da base, isto é, V O;
Apótema da pirâmide (A): é a altura do
triângulo da face lateral;
Apótema da base da pirâmide: é o apó-
tema do polígono regular da base, na figu-
ra, o segmento O M;
Pirâmide regular: é toda pirâmide cuja
base é um polígono regular e cuja projeção
do vértice da pirâmide, coincide com o cen-
tro da base.
3 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS
3.1 Área Lateral (Aℓ): É a soma das áreas de todas as faces
laterais da pirâmide. No caso da pirâmide es-
sas faces serão triângulos.
3.2 Área Total (At): É a soma das áreas de todas as faces
da pirâmide. Em uma pirâmide calcular-se a
área total pela soma entre a área lateral e a
área da base:
At = Aℓ + Ab
3.3 Volume (V): O volume V de uma pirâmide é direta-
mente proporcional à sua área da base e à sua
altura. O volume da pirâmide pode-se deduzir
é 1/3 do produto da área da base Sb pela altu-
ra h.
V = 3
.hAb
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
32) Uma pirâmide quadrangular regular, onde
a aresta da base mede 6 cm e a altura da pi-
râmide é igual a 4 cm. Calcule: a) a área da base;
b) o apótema da pirâmide;
c) a área lateral;
7
d) a área total; e) o volume.
33) Determine a área total de uma pirâmide
regular cuja altura é 15 cm e cuja base é um
quadrado de 16 cm de lado.
34) Calcule a área lateral de uma pirâmide
regular triangular cuja aresta lateral mede 13
cm e o apótema da pirâmide mede 12 cm.
35) Uma pirâmide regular hexagonal tem 10
cm de altura e a aresta da sua base mede 4
cm. Considerando 3 = 1,7, calcule:
a) o apótema da base;
b) o apótema da pirâmide;
c) a aresta lateral;
d) a área da base;
e) a área lateral;
f) a área total.
36) Numa pirâmide hexagonal regular, a ares-
ta da base mede 3 cm e a altura mede 2
cm. Obter:
a) a área total b) o volume
37) Uma pirâmide triangular regular possui
aresta da base igual a 6 cm e altura igual a 10
cm. Calcule o volume dessa pirâmide.
38) Uma pirâmide quadrangular regular pos-
sui todas as suas arestas iguais a 4 m. Calcule
a área total dessa pirâmide.
39) Uma pirâmide triangular regular possui 6
cm de aresta da base e 5 cm de altura. Calcu-
le seu volume e sua área lateral.
40) Uma pirâmide triangular regular possui
todas as suas arestas iguais a a. Calcule: (essa
pirâmide recebe o nome de tetraedro regu-
lar) a) a sua altura;
b) sua área lateral;
c) sua área total;
d) seu volume.
41) Em uma pirâmide regular hexagonal, a
altura mede 12 m e o apótema da base vale 5
m. A área total é:
(a) 130 3 m2 (d) 180 3 m2
(b) 130 m2 (e) 210 3 m2
(c) 180 m2
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
42)(Enem-2012) Maria quer inovar em sua
loja de embalagens e decidiu vender caixas
com diferentes formatos. Nas imagens
apresentadas estão as planificações dessas
caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria
obterá a partir dessas planificações?
(a) Cilindro, Prisma de Base Pentagonal E
Pirâmide.
(b) Cone, prisma de base pentagonal e
pirâmide.
(c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
(d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
(e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
IV-CONE CIRCULAR 1 . DEFINIÇÃO
Sejam um círculo C contido em um pla-
no , e um ponto V (vértice) não pertencente a
. Consideremos todos os segmentos de reta
que possuem um extremo pertencente ao cír-
culo e o outro extremo é V. A reunião de todos
esses segmentos de reta é um sólido chamado
de cone circular limitado de base C e vértice
V ou simplesmente cone circular.
2 . ELEMENTOS DO CONE CIRCULAR Dado o cone a seguir, consideramos os
seguintes elementos:
C
h
r
g
V
o
Altura (h): distância do vértice V ao plano
.
Geratriz (g): segmento com uma extremi-
dade no ponto V e outra num ponto do cír-
culo C.
Raio da base: raio r do círculo C.
Eixo de rotação: reta determinada pelo
centro do círculo e pelo vértice do cone.
8
C
h
r
g
V
3 . CONE RETO Todo cone cujo eixo de
rotação é perpendicular à base
é chamado cone reto, tam-
bém denominado cone de
revolução. Ele pode ser gera-
do pela rotação completa de
um triângulo retângulo em
torno de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teo-
rema de Pitágoras, temos a
seguinte relação:
g2 = h2 + r2
3.1 Secção Meridiana:
É o triângulo isósceles
resultante da intersecção do
cone com um plano que passa
pelo eixo de rotação.
Se o triângulo AVB for
equilátero, o cone será chama-
do cone equilátero:
2R 2R
2R
h
4 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS 4.1 Área Lateral (Aℓ):
A superfície lateral de um cone de revo-
lução é equivalente a um setor circular de raio
g e comprimento de arco 2πr, veja figura a
seguir:
montado planificado ou‘desmontado’
h
r
g
V
gg
2 r
V
árealateral
Fazendo uma regra de três (área lateral Aℓ está para o comprimento 2πr, assim como,
a área de todo o círculo gerado pela área late-ral πg2 está para o comprimento de todo do
círculo gerado pela área lateral 2πg), temos:
g2
g
r2
A 2
π
π
πl Aℓ = πrg
4.2 Área da Base (Ab):
Área da base é a área do círculo da ba-
se de raio r:
Ab = r2
4.3 Área Total (At):
É a soma da área lateral com a área da
base:
At = Aℓ + 2.Ab
4.4 Volume (V): É um terço do produto da área da base
pela medida da altura:
V = 3
h . Ab
Observação: A medida do setor circular
equivalente a superfície lateral do cone é tal
que:
g2
360
r2
=
g
360º.r ou = rad
g
r2.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
43) Calcule a medida da altura de um cone
circular reto cujo raio da base mede 5 cm e
uma geratriz mede 13 cm.
44) Um cone tem 10 cm de altura e raio da
base igual a 4 cm. Calcule a: a) medida da sua geratriz;
b) área lateral;
c) área da base;
d) área total. (use π = 3,14 e 29 = 5,38.)
e) medida do ângulo do setor circular. (use π
= 3,14.)
45) A geratriz de um cone circular reto mede
10 cm e o raio da base é igual a 4 cm. Calcu-
le: a) a altura do cone;
b) a área lateral;
c) a área da base;
d) a área total;
e) a medida do ângulo do setor circular.
46) Quantos cm2 de car-
tolina serão gastos para
fazer o chapéu de palhaço
cujas medidas estão na
figura ao lado?
47) Um tanque cônico tem 4 m de profundi-
dade e seu topo circular tem 6 m de diâmetro.
Qual é o volume máximo, em litro, que esse
tanque pode conter de líquido?
V
o
A
B
20 cm
30 cm
9
48) Quantos cm2 de vidro são
necessários para fabricar uma
ampulheta cujas dimensões
estão na figura ao lado?
49) Desenvolvendo a superfície lateral de um
cone, obtemos um setor circular de raio 6 cm
e ângulo central de 60°. Calcule a área lateral
do cone.
50) Há um pirulito em forma de guarda-
chuvinha, com 7 cm de altura e 2 cm de diâ-
metro. Qual é o volume desse pirulito?
51) Observe a ampulheta cu-
jas dimensões estão indicadas
na figura. Qual é o volume de
areia necessário para encher
completamente um dos cones
dessa ampulheta?
52) O volume de um cone circular reto é 18π
cm3. A altura do cone é igual ao diâmetro da
base. Quanto mede a altura desse cone?
53) Calcule a área total e o volume de um
cone equilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24π cm2.
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
54)(UFRA-2004) Três cones equiláteros
idênticos em forma e peso, têm juntos volume
igual a 8 3 cm3. Calcule, em centímetros, a
altura de cada um deles.
(a) 2 3 (b) 3 (c) 3 2 (d) 3 (e) 4
5-TRONCO DE PIRÂMIDE Consideremos um plano paralelo a
base de uma pirâmide separando-a em dois
poliedros. Um desses dois poliedros é uma pi-
râmide, e o outro é um tronco de pirâmide de
bases paralelas.
Note que o volume VT do tronco é igual à dife-
rença entre os volumes VP, das pirâmides P e
P’, respectivamente, isto é:
VT = VP - VP’
6-TRONCO DE CONE Consideremos um plano paralelo a
base de um cone separando-a em dois polie-
dros. Um desses dois poliedros é uma cone, e
o outro é um tronco de cone de bases parale-
las.
8 cm
20 cm
12 cm
30 cm
10
O volume de tronco de cone se calcu-
la do mesmo modo que o tronco de pirâmide,
ou seja, a medida do volume de tronco de
cone é a diferença do volume do cone
maior pela medida do volume do cone
menor gerado.
VT = Vc – VC’
Para cálculo de volume do tronco de
cone também se utiliza a seguinte expressão:
V = 3
Κ (r2 +rR + R2)
Sendo, K-altura do tronco;
R-o raio da base menor e
R-o raio da base maior.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
55) A altura de uma pirâmide regular qua-
drangular mede 18 cm, e cada aresta da base
12 cm. Um plano , paralelo à base e distan-
te 9 cm do vértice, intercepta a pirâmide. cal-
cular o volume do tronco de pirâmide assim
determinado.
56) Os raios das bases de um tronco de cone
são 3 m e 2 m. A altura do tronco é 6 m. Cal-cule o seu volume. ( = 3,14)
57) O copo da figura tem a
forma da figura dad. Suas me-
didas são: 10 cm e 8 cm de
diâmetro nas bases e 9 cm de
altura. Qual é o volume máxi-
mo de água que esse copo po-de conter em lm ?
58) Um depósito de combustível tem a forma
de um tronco de cone. Suas dimensões são
dadas na figura. Se apenas 30% de sua capa-
cidade estão ocupados por combustível, qual é
a quantidade, em litros, de combustível exis-
tente no depósito? (1 dm3 = 1 l )
59) A garrafa da figura contém
líquido até onde começa o gar-
galo. Abaixo dele, aparte inferi-
or é um cilindro e a parte supe-
rior é um tronco de cone. Qual é
o volume do líquido contido na
garrafa, em ml?
60) Qual é o volume de madeira usado para
fazer um carretel cujas dimensões estão na
figura?
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
61)(UEPA) A figura abaixo representa uma
pirâmide quadrangular regular, cuja aresta da
base mede 6 cm e a altura 10 cm. Calcule:
11
a) o volume da pirâmide;
b) a área da secção transversal feita a 4cm do
vértice;
c) o volume do tronco obtido.
Definição: Secção transversal de uma pirâmide
é qualquer intersecção não-vazia e não-
unitária da pirâmide com um paralelo à sua
base.
V-ESFERA 1 . DEFINIÇÃO
Chamamos de esfera de centro O e
raio R o conjunto de pontos do espaço cuja
distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
O = centro da
esfera;
O P = raio da
esfera;
PQ = diâmetro
da esfera;
R = medida do
raio da esfera.
A “casquinha” ou a fronteira da esfera
chama-se superfície esférica.
Considerando a rotação completa de um
semicírculo em torno de um eixo, a esfera é o
sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é
limitada por uma superfície esférica e formada
por todos os pontos pertencentes a essa super-
fície e ao seu interior.
2 . CÁLCULO DAS CARACTERÍSTICAS
2.1 Área Superfície Esfera: A superfície esférica de centro O e raio
R é o conjunto de pontos do espaço cuja dis-
tância ao ponto O é igual ao raio R.
A área da superfície esférica é dada por:
A = 4 R2
2.2 Volume(V): O volume da esfera de raio R é dado
por:
V = 3R3
4
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
62) Determine a área da superfície esférica
cujo raio é 6 cm.
63) Numa esfera, o diâmetro é 10 cm. Qual é
a área da superfície dessa esfera?
64) Quantos m2 de
plástico aproximadamen-
te são gastos para fazer
o balão da figura ao la-
do?
65) Quanto de borracha (em cm2) se gasta
para fazer a bola cuja medida está na figura?
30 cm
66) Qual é o volume de uma bola de basquete
cujo diâmetro mede 26 cm?
67) O diâmetro de esfera de ferro fundido é 6
cm. Qual é o volume dessa esfera?
68) Considere uma laranja como uma esfera
composta por 12 gomos exatamente iguais. Se
a laranja tem 8 cm de diâmetro, qual é o vo-
lume de cada gomo?
69) A soma de todas as
arestas de um cubo é 36 cm.
Uma esfera está inscrita nes-
se cubo (figura ao lado). Qual
é a área da superfície dessa
esfera?
Desafio) Você sabia que:
Três quartos da superfície da Terra são co-
bertos de água?
A linha do Equador mede, aproximadamen-
te, 40000 km?
Pense agora nas seguintes questões,
relativas ao planeta Terra:
Qual é o volume e qual a área de sua
superfície?
QR
Po
12 cm
12
Qual é a área coberta de água (em km2)
em sua superfície? (Obs.: considere π = 3,14)
MAIS EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
Questões Analíticas discursivas
70)(PRISE-2001) Uma fábrica de azeite usa,
para embalar sua produção, latas de 2.240 ml
com a forma de um paralelepípedo reto-
retângulo cujas dimensões estão em progres-
são aritmética (P.A.) e somam 42 cm. Decide
mudar a embalagem, passando a usar latas
cilíndricas com 3 dm de altura e 1 dm de diâ-
metro. Entre as duas latas, uma de cada tipo,
calcule qual a mais vantajosa para essa indús-
tria, levando em consideração o material gasto
para a confecção e a capacidade das mesmas (use π = 3,14).
71)(PRISE-2004) “Os vasos sanitários re-
presentam cerca de um terço do consumo de
água em uma casa. O Brasil tem hoje 100 mi-
lhões de bacias sanitárias antigas, que gastam
em média 40 litros por descarga” (Fonte:
Galileu, nº140, março de 2003).
Visando à economia de água, foi ideali-
zada uma caixa de descarga de bacia sanitária
com formato de um paralelepípedo reto retân-
gulo, cuja base possui 32 cm de comprimento
e 10 cm de largura, sendo o consumo por des-
carga, em média, 20% do volume de água
consumido na descarga das bacias antigas.
Nestas condições, pede–se: a) A altura da caixa de descarga atual.
b) Quantos litros de água são economizados
em 30 dias, em uma residência com 5 pessoas
que acionam, em média, a descarga 4 vezes
ao dia, considerando que as bacias antigas
foram substituídas pelas atuais?
72)(PROSEL-2003) Um empresário paraen-
se, querendo aproveitar o estoque de caixas de
papelão existente no almoxarifado, contratou
uma empresa para produzir embalagens cilín-
dricas de tal forma que cada caixa contivesse
12 unidades do produto, conforme secção reta
abaixo. Sabendo-se que a altura das caixas de
papelão é de 30 cm e que a altura das emba-
lagens deve coincidir com a altura dessas cai-
xas, pergunta-se:
a) Qual o raio da embalagem cilíndrica a ser
produzida?
b) Qual o volume da embalagem cilíndrica a
ser produzida?
73)(PRISE-2005) As questões de 01 a 03
referem-se ao texto abaixo:
O LIXO ELÉTRICO E ELETRÔNICO
Os detritos gerados por equipamentos
elétricos e eletrônicos representam uma
das questões ambientais mais graves do
planeta. Um dos centros mais modernos de
reciclagem, localizado na Suíça, reciclou
30.000 toneladas desse tipo de lixo em
2003 e tem como previsão aumentar, li-
nearmente, a quantidade reciclada em
12.000 toneladas anuais. Como exemplo
podemos citar que, para produzir um com-
putador, são usados combustíveis fósseis e
substâncias químicas pesadas, além de 3
toneladas de água, recurso natural es-
casso em várias partes do planeta. Em
2003, o número de refrigeradores e ce-
lulares que foram descartados atingiu a
marca de 5 milhões de aparelhos. Estima-
se que, em 2004, o número de refrigera-
dores descartados aumente em 10% e o
de celulares aumente em 20%, totalizan-
do 5,7 milhões de aparelhos. Todos os
esforços de governos, fabricantes e socie-
dade ainda não são suficientes para dar um
fim apropriado a esse tipo de lixo que pre-
judica a melhoria da qualidade de vida da
humanidade. (Texto adaptado da revista EXAME de 24/11/2004)
01. Tomando como base o ano de 2003 e se-
guindo as previsões (linhas 03 a 06), em que
ano a produção de lixo reciclado será de
150.000 toneladas?
02. De acordo com as linhas 06 a 08, qual
deve ser o raio de um reservatório de formato
cilíndrico reto e altura igual a π
30 m, que irá
armazenar o volume de água gasto na fabrica-
ção de 1.000 computadores?
(considere: 1 litro de água igual a 1kg) R: raio = 10m.
03. A partir das informações contidas nas li-
nhas 08 a 11, qual o número de celulares des-
cartados em 2003?
74)(PRISE-2003) Devido às mudanças cli-
máticas e à poluição ambiental, o manancial de
água doce do planeta está reduzindo. Um pro-
grama de combate ao desperdício de água tra-
tada mostra, na televisão, uma torneira que
13
vaza 1,5 cm3 a cada 6 segundos. Nestas con-
dições, pergunta-se:
a) Quantos m3 de água tratada será desperdi-
çado em 30 dias, por 1.000 torneiras iguais à
mostrada na televisão?
b) Qual deve ser a altura do tanque de forma-
to de um prisma retangular reto, cuja base
possui 6 m de largura por 9 m de comprimen-
to, de modo a conter exatamente a água des-
perdiçada pelas 1.000 torneiras nos 30 dias?
ARMAZÉM DE FÓRMULAS
A = π r2 V = ABh
A = 2πrh V = ABh /3
A = πrg V = 4 πr3 /3
A = 4πr2 V = 2πr2h /3
AT = AL + AB
V = h (B1 + 21 B B +
B2) /3
AT = AL + 2AB
V = π h (r 12 + r1 r2 +
r22) /3
75)(UFPA-2003) É comum nos campi da
UFPA existirem espaços em forma de “maloca”,
geralmente utilizados para atividades de lazer.
Os atalhos desses espaços têm a forma de um
cone circular reto. Se desejarmos cobrir um
desses cônicos, de 3 metros de altura e 8 me-
tros de diâmetros, com telhas que distribuem à
razão de 30 delas por m2, quantas telhas, no
mínimo, serão necessárias para cobrir o telha-do? (usar π = 3,14)
“A perseverança alimenta a esperança.”
Nunca deixe que lhe digam:
Que não vale a pena
Acreditar no sonho que se tem
Ou que seus planos
Nunca vão dar certo
Ou que você nunca
Vai ser alguém... Renato Russo
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