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MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
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APOSTILA 2015
MATEMTICA
PROFESSOR: DENYS YOSHIDA
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MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
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Sumrio
1.Sequncias.................................................................................................................................4
1.1 Sequncias numricas............................................................................................................
2. Progresso Aritmtica...............................................................................................................6
2.1 Classificao de uma P.A........................................................................................................6
2.2 Termo geral de uma P.A.........................................................................................................6
2.3 Propriedades de uma P.A.......................................................................................................7
2.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.A...........................................................................10
3.Progresso Geomtrica............................................................................................................13
3.1 Frmula do termo geral.........................................................................................................13
3.2 Propriedades principais.........................................................................................................14
3.3 Soma dos n primeiros termos de uma P.G ..........................................................................16
3.4 Soma dos n primeiros termos de uma P.G infinita................................................................16
4. Matrizes...................................................................................................................................19
4.1 Representao genrica de uma matriz................................................................................19
4.2 Lei de formao de uma matriz.............................................................................................20
4.3 Tipos de matrizes..................................................................................................................20
4.4 Operaes com matrizes.......................................................................................................25
4.5 Matriz inversa........................................................................................................................32
5. Determinantes.........................................................................................................................34
5.1 Determinante de ordem 2x2..................................................................................................34
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5.2 Regra de Sarrus....................................................................................................................34
5.3 Teorema de Laplace..............................................................................................................36
6. Sistemas Lineares...................................................................................................................42
6.1 Equaes lineares.................................................................................................................42
6.2 Sistemas lineares..................................................................................................................42
6.3 Mtodo do escalonamento....................................................................................................43
6.4 Matrizes associadas a um sistema linear..............................................................................43
6.5 Regra de Cramer...................................................................................................................44
7. Trigonometria na circunferncia..............................................................................................53
7.1 Arcos e ngulos.....................................................................................................................53
7.2 Medidas de arcos e ngulos..................................................................................................54
7.3 Converso entre graus e radianos........................................................................................54
7.4 Comprimento da circunferncia.............................................................................................55
7.5 Congruncia de arcos...........................................................................................................55
7.6 Razes trigonomtricas.........................................................................................................59
7.7 Funes trigonomtricas.......................................................................................................61
7.8 Outras razes trigonomtricas..............................................................................................67
7.9 Relaes trigonomtricas......................................................................................................69
Exerccios de vestibulares...........................................................................................................73
Referncias bibliogrficas.........................................................................................................106
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1. Sequncias
Em nossas aulas estudaremos as sequncias, na qual seus elementos esto dispostos em
uma determinada ordem pr-estabelecida.
1.1 Sequncias numricas
Os elementos de uma sequncia numrica devem ser apresentados entre parnteses,
conforme os exemplos abaixo:
(2, 4, 6, 8, 10, 12,... ) uma sequncia de nmeros pares positivos.
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) uma sequncia de nmeros naturais.
(10, 20, 30, 40, 50...) uma sequncia de nmeros mltiplos de 10.
(10, 15, 20, 30,35,40) uma sequncia de nmeros mltiplos de 5, maiores que cinco e
menores que 45.
Existem dois tipos de sequncias, as sequncias finitas e as sequncias infinitas:
Sequncia finita uma sequncia numrica na que tem um ltimo elemento, ou seja, tem fim,
como por exemplo, a sequncia dos nmeros mltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 45.
Sequncia infinita uma sequncia que no possui um ltimo termo, ou seja, seus elementos
seguem ao infinito, por exemplo: a sequncia dos nmeros naturais.
Denominamos o primeiro termo de uma sequncia numrica por a1, o segundo termo por a2, o
terceiro por a3 e assim segue. O ltimo elemento de uma sequncia finita representado por
an. A letra n determina o nmero de elementos da sequncia.
(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequncia infinita.
(a1, a2, a3, a4, ... , an) sequncia finita.
Os elementos de uma sequncia numrica so determinados por uma lei matemtica. Por
exemplo:
Determine os cinco primeiros elementos de uma sequncia tal que an = 2n + 1, n N*.
a1 = 2.(1) + 1 = 2 + 1 = 3
a2 = 2.(2) + 1 = 4 + 1 = 5
a3 = 2.(3) + 1 = 6 + 1 = 7
a4 = 2.(4) + 1 = 8 + 1 = 9
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a5 = 2.(5) + 1 = 10 + 1 = 11
Portanto, a sequncia ser: (3,5,7,9,11).
Exerccios sobre sequncias numricas
1- Escreva os cinco primeiros termos das sequncias cujos termos gerais esto expressos a
seguir:
a) 2na n
b) 2 1na n
c) 1
nan
2- Escreva os quatro primeiros termos da sequencia na nn .)1( .
3- Calcule o 15 termo da sequncia cujo termo geral : 3 1na n .
4- Calcule o 20 termo da sequncia cujo termo geral : 2 1na n .
5- Obtenha o dcimo quarto termo da sequncia em que n
nA 102 .
6- Determine o quarto termo da sequncia, em que 15.2 nnA .
7- Determine os sete primeiros termos de uma sequncia tal que 10 1nna .
8- Determine o 5 termo da sequncia 1)2( nna .
9- Qual a posio do termo de valor 20 na sequncia dada por 2 6na n ?
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10- Qual a soma dos quatro primeiros termos da sequncia dada por 13 .( 1)nna n ?
2. Progresso Aritmtica
Denominamos Progresso Aritmtica (ou PA) qualquer sequncia numrica cujo termo
seguinte, igual ao anterior somado com um valor constante, denominado razo.
Por exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17,...) uma PA de razo 3.
2.1 Classificao de uma P.A:
Uma progresso aritmtica dita crescente se um termo qualquer for maior que seu anterior,
ou seja: an > an-1.
Uma progresso aritmtica dita decrescente se um termo qualquer for menor que seu
anterior, ou seja: an < an-1.
Outra forma de determinar se a PA crescente ou decrescente a partir da sua razo, se r > 0
a PA crescente, se r < 0 a PA decrescente.
2.2 Termo Geral de uma PA
Considere a PA genrica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razo r.
Conforme a definio, um termo a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
___________________________
an = an-1 + r = an = a1 + (n 1) . r
Denominamos a expresso: an = a1 + (n 1). r como o termo geral da PA.
Onde an o termo de ordem n (n-simo termo), r a razo e a1 o primeiro termo da
Progresso Aritmtica.
Clculo da Razo de uma PA:
Para saber a razo de uma PA qualquer (a1, a2, a3, ... , an, ...), podemos utilizar uma das
expresses utilizadas para determinar o termo geral da PA:
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an = an-1 + r r = an - an-1
Dessa maneira podemos deduzir que a razo obtida a partir da diferena entre quaisquer
termos consecutivos, como por exemplo:
r = an an-1 = an-1 an-2 = = a3 a2 = a2 a1
Exemplos:
Qual o centsimo termo da PA (1, 5, 9, 13, 17,...)?
Primeiro termo: a1= 1
Razo: r = a2 a1 =5 1 = 4
Como queremos o centsimo termo, n = 100
Para calcular o centsimo termo, utilizaremos a expresso que nos d o Termo Geral da PA.
an= a1 + (n 1) . r a100 = 1 + (100 - 1). 4 = 1 + 99.4 = 1 + 396 = 397.
Portanto 397 o centsimo termo da PA.
Qual o nmero de termos da PA: (100, 98, 96,..., 22)?
Como queremos saber o nmero de termos da PA, sabemos que esse nmero dado por n,
ento essa a incgnita que queremos encontrar.
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22
Substituindo na frmula do termo geral, temos:
22 = 100 + (n - 1). (- 2)
22 - 100 = - 2n + 2
22 - 100 - 2 = - 2n
- 80 = - 2n
n= 40
Portanto, a PA possui 40 termos.
2.3 Propriedades de uma P.A
P1. Cada termo de uma PA pode ser dado pela mdia aritmtica entre seu anterior e seu
posterior.
Exemplo:
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1. PA: (m, n, r); pela propriedade acima, temos: .
2. Na PA ( 2,x,12) calcule o valor de x.
Pela propriedade anterior, temos:
P2. A soma dos termos equidistantes dos extremos de uma PA constante.
1. Exemplo:
PA: (a, b, c, d, e, f), pela propriedade, temos: a+f = b+ e = c + d
2. Qual o segundo termo da PA (3,t,15,21,27)
Pela propriedade anterior, temos:
t+21 = 3+27
t+21 = 30
t = 30 21
t = 9
Exerccios sobre Progresso Aritmtica
11- Escreva:
a) Uma P.A de oito termos em que 1 6a e 4r .
b) Uma P.A de sete termos em que 1 4a e 2r .
c) Uma P.A de quatro termos em que 1 2a a e ar .
12- Calcule o nmero real x de modo que a sequncia (x+1, 3x-1, 2x+3,...) seja uma P.A.
13- Encontre o termo geral das seguintes Progresses Aritmticas:
a) (2, 7,...)
b) (1, 9,...)
c) (-1, 3,...)
d) ,...)5,3(
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e)
,...
4
11,
3
7
14- Qual o dcimo quarto termo da P.A(4,10,...)?
15- Qual o quadragsimo nmero natural mpar?
16- Qual o nono termo da P.A ,...)4,2,( mamaa ?
17- Calcule trs nmeros em P.A tais que sua soma seja 6 e seu produto 24.
18- Escreva uma P.A de trs termos, de modo que a sua soma seja igual a -3 e seu produto
seja igual a 8.
19- Obtenha trs nmeros em P.A de modo que sua soma seja 12 e seu produto 48.
20- Um estacionamento no centro de So Paulo cobra R$ 20,00 pela primeira hora de
estacionamento. A partir da segunda, h um decrscimo dos preos segundo uma
progresso aritmtica. O preo da segunda hora R$ 18,00 e o preo da quarta hora R$
12,00. Assim, se um automvel ficar estacionado 6 horas nesse estacionamento, qual valor
dever ser pago pelo proprietrio do carro estacionado?
21- Numa P.A de razo 5, o primeiro termo igual a 4. Qual a posio do termo igual a 44.
22- Considere a P.A(100, 93, 86,...). Determine a posio do termo de valor 37.
23- Quantos termos tem a P.A(4,7,10,...,157)?
24- Quantos termos tem a P.A(-1,2,...,86)?
25- Interpole cinco meios aritmticos entre 6 e 30.
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26- Interpole oito meios aritmticos entre 26 e -1.
27- Insira cinco meios aritmticos entre -5 e 13.
28- Insira quatro meios aritmticos entre 0 e 2.
29- Quantos mltiplos de 4 existem entre 15 e 200?
30- Quantos nmeros mpares h entre 18 e 272?
31- Um corpo, em queda livre, percorre 4,9m durante o 1 segundo. Depois disso, em cada
segundo percorre sempre 9,8m a mais do que no segundo anterior. Quantos metros o
corpo percorrer em 8 segundos?
32- Quantos so os mltiplos de 6 compreendidos entre 100 e 1000?
33- Determine quantos mltiplos de 3 existem entre 1 e 100.
34- Quantos mltiplos de 5 existem entre 100 e 1500?
35- Quantos mltiplos de 6 maiores que 17 e menores que 972 existem?
2.4 Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA genrica (a1, a2, a3,..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an, pode ser deduzida a partir da
propriedade P2:
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an
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Aplicando a propriedade P2:
Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parnteses possuem o mesmo
valor (so iguais soma dos termos extremos a1 + an), de onde conclumos inevitavelmente
que:
2. Sn = (a1 + an). n, onde n o nmero de termos da PA.
Da ento vem finalmente que:
Exemplo: Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A(4,7,10,...).
31
3.94
).1(
10
10
1
A
A
rnAAn
175
2
10).314(
2
).(
10
1
S
S
naaS
n
nn
Exerccios sobre soma dos termos de uma P.A
36- Calcule a soma dos trinta primeiros nmeros mpares positivos.
37- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A(7,4,...).
38- Calcule a soma dos cem primeiros nmeros naturais pares.
39- Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A (-7,-9,-11,...).
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40- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.A em que o primeiro termo 2
1 e a razo
.2
3
41- Obtenha a soma dos vinte primeiros termos de uma P.A, sabendo que 21 A e 3r .
42- Calcule a soma dos mltiplos positivos de 4 formados por dois algarismos.
43- Calcule a soma dos mltiplos de 5 compreendidos entre 16 e 91.
44- Obtenha a soma dos mltiplos de 3 entre 13 e 100.
45- Calcule a soma dos nmeros mpares compreendidos entre 100 e 258.
46- Calcule a soma dos nmeros pares compreendidos entre 200 e 357.
47- Determine a soma dos nmeros pares positivos, menores que 101.
48- Qual a soma de todos os nmeros pares positivos de 2 a 450?
49- Determine a expresso que fornece a soma dos n primeiros nmeros mpares positivos.
50- (FGV-SP) Epaminondas corre sempre 500 metros a mais do que no dia anterior. Sabendo-
se que ao final de 15 dias ele correu um total de 67500 metros, quantos metros ele
percorreu no final do 3 dia?
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3. Progresso Geomtrica
Entenderemos por progresso geomtrica -PG - como qualquer sequncia de nmeros reais
ou complexos, onde cada termo a partir do segundo igual ao anterior, multiplicado por uma
constante denominada razo.
Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razo 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razo 1
(100,50,25, ... ) PG de razo 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razo -3
3.1 Frmula do termo geral
Seja a PG genrica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 o primeiro termo, e an o n-simo
termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razo da PG, da definio podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q
3
................................................
................................................
Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1
, que denominada frmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k
Exemplos:
a) Dada a PG (2, 4, 8,...), pede-se calcular o dcimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o dcimo termo ou seja a10, vem pela
frmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 2
9 = 2. 512 = 1024
b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente igual a 20 e o oitavo termo igual a
320. Qual a razo desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4. q8-4
. Da vem: 320 = 20. q4
Ento q4 =16 e portanto q = 2.
Nota: Uma PG genrica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q a razo da PG.
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3.2 Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo a mdia geomtrica dos termos imediatamente anterior e
posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos ento: B2 = A . C; C
2 = B. D; D
2 = C. E; E
2 = D. F etc.
P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos ento: A . G = B. F = C. E = D. D = D2
Exerccios sobre P.G
51- Escreva:
a) Uma P.G de cinco termos em que 31 A e 3q .
b) Uma P.G de cinco termos em que 51 A e 2q .
52- Determine x de modo que a sequncia (x+6, 2-x, 2-4x,...) seja uma P.G.
53- A medida do lado, o permetro e a rea de um quadrado formam, nessa ordem, uma P.G.
Quanto mede o lado desse quadrado?
54- Encontre trs nmeros em P.G, sendo 26 a sua soma e 216 o seu produto.
55- Trs nmeros reais formam uma P.G de soma 13 e produto 27. Determine esses nmeros.
56- Encontre o termo geral da P.G(1, 5,...).
57- Calcule:
a) O quinto termo da P.G
,...
3
4,4,12 .
b) O dcimo termo da P.G (8,-16,32,...).
58- Determine o oitavo termo da P.G ( ,...)16
1,
32
1,
64
1.
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59- Insira seis meios geomtricos entre 3 e 384.
60- Insira sete meios geomtricos entre 3 e 768.
61- Insira cinco meios geomtricos entre 4 e 256.
62- Insira trs meios geomtricos entre 9 e .9
1
63- Determine o primeiro termo de uma P.G em que 312507 A e 5q .
64- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 1536)?
65- Quantos termos existem na P.G(3, 6,..., 3072)?
66- Em uma P.G cujo 1 termo 2 e a razo -3, qual a posio do termo -486?
67- Calcule a razo de uma P.G, sabendo que 4055 A , 51 A e que a P.G possui 5
termos.
68- Numa P.G, dados 21 A , 5q e 1250nA , calcule n .
69- Quantos termos possui a P.G onde 61 A , 384nA e
2q.
70- Em uma colnia de bactrias, uma bactria divide-se em duas a cada hora. Determinar o
nmero de bactrias originadas de uma s bactria dessa colnia depois de 15 horas.
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3.3 Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4,..., an,...). Para o clculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos
considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
Multiplicando ambos os membros pela razo q vem:
Sn . q = a1. q + a2. q + .... + an-1. q + an. q.
Logo, conforme a definio de PG podemos reescrever a expresso acima como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an. q
Observe que a2 + a3 + ... + an igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn. q = Sn - a1 + an. q
Da, simplificando convenientemente, chegaremos seguinte frmula da soma:
Se substituirmos a n = a1. qn-1
, obteremos uma nova apresentao para a frmula da soma, ou
seja:
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8,...)
Temos:
Observe que neste caso a1 = 1.
3.4 Soma dos termos de uma PG infinita
Considere uma PG ILIMITADA (infinitos termos) e decrescente. Nestas condies, podemos
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na frmula anterior, encontraremos:
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Exerccios sobre soma dos termos de uma P.G
71- Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.G(-5, -5, -5,-5,...).
72- Obtenha a soma dos dez primeiros termos da P.G .,...2
1,
,2
1,
2
1
73- Determine a soma dos termos da P.G (-8, -16, -32, -64, -128, -256, -512).
74- Considere a P.G(7, 14, 28, 56,...). Calcule a soma dos oito primeiros termos dessa P.G.
75- Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G(3, 6, 12,...).
76- Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G(2, 4, 8,...).
77- Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G(1, 3, 9,...).
78- Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G(-3, -6, -12,...).
79- Determine a soma dos dez primeiros termos da P.G(1000, 100, 10,...).
80- Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.G(2, 6, 18,...).
81- Quantos termos tem a P.G finita (1, 3, 9,..., x), se a soma de todos os seus termos 1093?
82- Calcule a soma dos 9 primeiros termos da P.G( ...)2,2,2,2 3210 .
83- Calcule a soma dos 5 primeiros termos da P.G( ...)3,3,3,3 3210 .
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84- Calcule a soma 108642 222221 .
85- Determine a soma de cada P.G infinita:
a)
,...
18
1,
6
1,
2
1
b)
,...
3
1,1,3
c) ,...25,50,100
d)
,...
4,
2,
222 aaa
86- Calcule a soma dos infinitos termos da P.G(32, 8, 2,...).
87- A soma dos termos da P.G ,...)5,5,5,5( 32 aaa 3. Determine o valor de a.
88- Escreva a frao geratriz das seguintes dzimas:
a) 0,555...
b) 0,121212...
c) 3,44....
d) -2,66...
89- Determine a frao geratriz da dzima peridica 1,49494949....
90- Qual a geratriz da dzima peridica 2,718181818...
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4. Matrizes
As matrizes so estruturas matemticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas,
utilizadas na organizao de dados e informaes. Na lgebra, as matrizes so responsveis
pela soluo de sistemas lineares. Chamamos ordem de uma matriz a relao entre linhas e
colunas, uma matriz que tenha n linhas e m colunas uma matriz da ordem n x m, para obter
o nmero de elementos de uma matriz, basta multiplicar m.n. Observe os exemplos de
matrizes abaixo:
, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna), o nmero de elementos dessa matriz 3 x
1 = 3
1 2
3 4
5 6
, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas), o nmero de elementos dessa matriz
3 x 2 = 6
1 2
3 4
, matriz quadrada de ordem 2 x 2. O nmero de elementos dessa matriz 2 x 2 = 4
4.1 Representao genrica de uma matriz
Seja A uma matriz qualquer de ordem m x n, podemos representar A por:
Ou tambm, , onde i {1, ,m} o ndice de linha e j {1, , n}
o ndice de coluna.
Quanto aos elementos de cada matriz l-se:
a11: A um, um.
a12: A um, dois.
1
2
3
-
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20
A21: A dois, um.
amn: A m, n.
4.2 Lei de formao de uma matriz
Chamamos lei de formao de uma matriz, a sentena matemtica que determina quais sero
cada um dos elementos da mesma, definida da maneira: (aij)m x n | Lei de Formao
Por exemplo: temos que: (aij)2x3= 2j i, uma matriz 2x3 onde cada elemento obtido atravs
da lei 2j i, vamos resolver a lei para cada elemento da matriz:
(a11)= 2(1) 1 = 2 1 = 1
(a12)= 2(2) 1 = 4 1 = 3
(a13)= 2(3) 1 = 6 1 = 5
(a21)= 2(1) 2 = 2 2 = 0
(a22)= 2(2) 2 = 4 2 = 2
(a23)= 2(3) 2 = 6 2 = 4
Logo a matriz 11 12 13
21 22 23
1 3 5
0 2 4
a a aA
a a a
4.3 Tipos de matrizes
Matriz linha: Qualquer matriz com uma nica linha. Esse tipo de matriz pode tem sempre
ordem 1 x m.
Por exemplo, a matriz A =[1, 2, 3, 4], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna: Qualquer matriz com uma nica coluna. Esse tipo de matriz pode tem sempre
ordem 1 x m.
-
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21
Por exemplo, a matriz
1
2
3
B
do tipo 3 x 1.
Matriz quadrada: Chamamos matriz quadrada de ordem n a toda matriz que tem o mesmo
nmero de linhas e colunas. Por exemplo, a matriz 3 8
2 12C
do tipo 2 x 2, isto ,
quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundria. A principal
formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundria, temos i + j = n + 1.
Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
Matriz nula: matriz em que todos os elementos so nulos; representada por 0m x n.
Por exemplo, .
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que no esto na diagonal
principal so nulos. Por exemplo:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
22
Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal so
iguais a 1 e os demais so nulos; representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por
exemplo:
Assim, para uma matriz identidade .
Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas
por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, At do tipo n x m.
Note que a 1 linha de A corresponde 1 coluna de At e a 2 linha de A corresponde 2
coluna de At.
Exerccios sobre construo e definio de matrizes
91- Dada a matriz:
-
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23
a- Qual a sua ordem?
b- Quantos elementos ela possui?
c- D o valor dos seguintes elementos: 31122111 ,,, aaaa .
d- Calcule o valor de 33222113 aaaa .
e- Ela uma matriz quadrada? Justifique
92- D o tipo de cada matriz:
a) 81
b)
5,04
97
c)
653
684
791
d)
6867
5698
7735
43,051
93- Construa a matriz A= 22)( xija , sendo jiaij .
94- Construa a matriz A= 23)( xija , sendo jiaij 2 .
520
11142
418
A
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
24
95- Construa a matriz A= 32)( xija , sendo 222 jiaij .
96- Construa a matriz 32)( xijcC , com 2 jicij .
97- Determine a matriz A= 22)( xija tal que:
a) ija 0, se ji e ija 1, se ji .
b) 2iaij , se ji e
2jaij , se ji .
98- Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal
secundria da matriz 33)( xijaA em que jiaij 2 .
99- Quantos elementos tem uma matriz quadrada de ordem 6?
100- D a matriz transposta de:
a)
6
3
1
A
b)
3
17
50B
c)
101128
6483
1802
73,05,11
C
-
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25
4.4 Operaes com Matrizes
Igualdade de matrizes
Sejam A e B duas matrizes reais, temos que A e B sero iguais se forem do mesmo tipo e se
os elementos correspondentes forem iguais. Logo teremos:
Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais
1 2 1 4,
2 5 8 5
xA B
y
,
Soluo:
2 4 2
2 8 10
x x
y y
Adio de matrizes
Assim como nos nmeros, equaes e funes que vimos at agora, podemos realizar
algumas operaes com matrizes e a soma uma delas, podemos somar duas matrizes desde
que elas sejam de um mesmo tipo. Sejam A e B duas matrizes de ordem m x n, chamamos
matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.
Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A + B:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
e a a a b b b
A Ba a a b b b
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
a a a b b b a b a b a bA B
a a a b b b a b a b a b
-
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26
Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B:
2 4 9 3 5 9 e
8 1 2 6 2 2A B
Soluo:
2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9) =
8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)A B
=
5 1 0
2 1 -4A B
Propriedades da adio
Sendo A, B, C e O (matriz nula) so matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades:
- Comutativa: A+B = B+A
- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C
- Elemento neutro: A+O = O+A = A
Subtrao de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz diferena (A-B) a matriz obtida
subtraindo-se os elementos correspondentes de A e B.
Sejam as A e B as matrizes abaixo, vamos definir A - B:
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
e a a a b b b
A Ba a a b b b
-
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27
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
a a a b b b a b a b a bA B
a a a b b b a b a b a b
Exemplo: Determine a matriz A+B, sendo A e B:
2 4 9 3 5 9 e
8 1 2 6 2 2A B
Soluo:
2 4 9 3 5 9 2 3 4 5 9 ( 9) =
8 1 2 6 2 2 8 ( 6) 1 2 2 ( 2)A B
=
1 9 18
14 3 0A B
Multiplicao de uma Matriz por um nmero escalar
Seja k um nmero escalar real qualquer, definimos que a multiplicao de k por uma matriz A
ser dada pela multiplicao de cada elemento de A pelo nmero real k, assim:
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
. . .. .
. . .
a a a a a a k a k a k aA k A k
a a a a a a k a k a k a
Exemplo: seja A, a matriz dada abaixo, calcule 3.A:
1 1
4 10A
Soluo:
1 1 3.( 1) 3.1 3 33. 3.
4 10 3.( 4) 3.10 12 30A
Matriz oposta
-
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28
Chama-se matriz oposta de A a matriz A, cuja soma com A resulta na matriz nula. A matriz
oposta a multiplicao de uma matriz A por (-1), Ento:
11 12 13 11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23
( 1). ( 1).a a a a a a a a a
A A Aa a a a a a a a a
Exemplo:
1. Obtenha A, dada a matriz
1 1
3 9A
, Ento:
1 1 1 1( 1) ( 1)
3 9 3 9A A
Observe que, sempre que tivermos uma matriz oposta A+(-A) = O (Matriz Nula)
Soluo
Temos acima que:
1 1 1 1
e -3 9 3 9
A A
, Ento:
1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 0 0( ) (Matriz Nula)
3 9 3 9 3 ( 3) 9 9 0 0A A O
Multiplicao de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A
pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:
Em outras palavras, cada elemento de C calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a
seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:
-
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29
O produto entre duas matrizes A e B definido se , e somente se, o nmero de colunas da
matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:
O elemento neutro da multiplicao de matrizes a matriz identidade (I).
Exerccios sobre operaes com matrizes
101- Calcule os valores de x e y nas seguintes igualdades:
a)
26
11
166
31
y
x
b)
01
1123
01
58 2 yx
-
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30
c)
y
x
36
1002
816
2 2
102- Dada a matriz
210
432
011
A
, obtenha a matriz X tal que a matriz X seja a soma da
matriz A com a sua transposta.
103- Considere as seguintes matrizes:
32)( xijaA , definida por jiaij e 32)( xijbB , definida por jibij . Determine o
elemento 23C da matriz BAC .
104- Dada a matriz
500
121
432
A , determine 3IAT .
105- Sendo 31)( xijaA tal que jiaij 2 e 31)( xijbB tal que 1 jibij , calcule
BA .
106- Se
41
72A e
06
23B , determine a matriz X em cada caso:
a) BXA
b) ABX
c) ABX 2
d) BXA 32
107- Dadas as matrizes
32
10A e
11
02B , calcule ABC 3 . Calcule o produto
dos elementos da diagonal principal dessa matriz.
-
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31
108- Dadas as matrizes: A
12
46 e
53
21B determine:
a) AB 2
b) BA 32
c) TT BA 2
d) BA.
e) AB.
f) 2A
g) 2B
109- Dada a matriz
20
01A , determine AA .3
2 .
110- Dada a matriz
100
001
012
A , calcule 2A .
111- (UFRJ) Seja
10
11A . Determine o valor de
3A .
112- Dadas as matrizes
41
14M ,
14
41N e
51
32P , calcule
PNM ).( .
113- So dadas as matrizes
13
12A e
01
43B .
a) Calcule BA. .
b) Calcule ..AB
c) Calcule 2A .
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
32
4.5 Matriz Inversa
Considere que A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos A de uma matriz inversvel se
existir uma matriz B, tal que:
nA B B A I
Nessas condies dizemos que B inversa de A, e indicamos por A-1
.
Exemplos:
Determine a Inversa de A, dado:
1 2
4 2A
Temos que A-1
, uma matriz quadrada de ordem 2, com elementos ainda desconhecidos,
portanto:
1a b
Ac d
, tal que 1
2A A I , ento:
11 2 1 0 2 2 1 0
4 2 0 1 4 2 4 2 0 1
a b a c b dA A
c d a c b d
Para identificarmos a, b, c e d precisamos resolver, baseados no conceito de igualdade de
matrizes:
2 6 1 1 2,
5 0 5 5
a ca c
a c
2 6 0 1 1,
5 1 5 10
b db d
b d
Portanto 1
1 1
5 5
2 1
5 10
A
Exerccios sobre matriz inversa
114- Calcule a matriz inversa de:
-
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33
a)
52
83B
b)
31
20D
115- Dada a matriz
11
32A , determine a matriz X tal que: X TAA 1 .
116- So dadas as matrizes
57
23A e
11
11B . Calcule 1. ABA .
117- Calcule 21)( AA , sendo
43
21A .
118- Dada a matriz
23
35A , determine o valor de AA 21 .
119- Calcule a matriz inversa de
21
11B . Prove que a multiplicao da matriz B pela
sua inversa igual matriz identidade.
120- Dadas as matrizes
11
12A e
12
01M :
a) Determine 1M .
b) Determine o trao da matriz MAM ..1 , sabendo que o trao de uma matriz a soma dos
elementos da diagonal principal.
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
34
5. Determinantes
Uma das partes mais interessantes do estudo de matrizes so os Determinantes, esses so a
associao de uma matriz quadrada com um nmero real, atravs dos determinantes podemos
definir se uma matriz tem ou no matriz inversa, de forma que caso o determinante de uma
matriz A seja igual a 0 (zero) a matriz A no inversvel.
Para representao do determinante temos a insero de uma nova simbologia. O
determinante de uma matriz A, ser dado como abaixo:
Seja a b
Ac d
uma matriz, seu determinante ser representado por deta b
Ac d
.
5.1 Determinante de ordem 2 x 2
Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, o valor do determinante ser dado por:
deta b a b
A A a d b cc d c d
5.2 Regra de Sarrus
Para obter o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3, podemos utilizar a regra de
Sarrus, para definirmos a regra de Sarrus vamos primeiro s definies de Diagonal Principal e
Diagonal Secundria. Na figura abaixo temos as duas diagonais destacadas, de maneira que:
Diagonal principal: a11, a22 e a33.
Diagonal secundria: a13, a22, a31.
Para aplicao prtica da regra de sarrus, devemos repetir as duas primeiras colunas do
determinante e traar a partir delas trs diagonais principais e trs diagonais secundrias.
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
35
O determinante ser calculado por meio da diferena entre a soma do produto das trs
diagonais principais e a soma do produto das trs diagonais secundrias. Conforme abaixo:
Somatrio da Diagonal principal
(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)
Somatrio da Diagonal secundria
(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)
Clculo do Determinante
D = {(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)} {(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 .
a21 . a33)}
Exemplo:
1. Calcule o determinante de
1 1 2
2 3 0
2 3 4
A
utilizando a regra de Sarrus:
1 1 2 1 1 2 1 1
( ) 2 3 0 2 3 0 2 3
2 3 4 2 3 4 2 3
Det A
Somatria das diagonais principais:
[1.( 3).4] (1.0.2) (2.2.3) 12 0 12 0p
Somatria das diagonais secundrias:
(1.2.3) (1.0.3) [2.( 3).( 2)] 6 0 12 18s
Regra de Sarrus:
Det(A) = p s =0 18= -18
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
36
5.3 Teorema de Laplace
O teorema de Laplace consiste num mtodo de calcular o determinante de matrizes quadradas
de ordem n 2 utilizando o cofator.
Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada o nmero:
Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n 2 utilizando o Teorema
de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:
1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.
2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.
3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M ser a soma dos produtos dos
elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.
Como j dispomos de mtodos prticos para o clculo do determinante de matrizes quadradas
de ordem 2 e 3, interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou
igual a 4.
Para melhor explicao do mtodo vamos a um exemplo numrico de sua aplicao.
Exemplo
1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prtico de Sarrus e o
Teorema de Laplace.
Soluo
Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
37
Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:
Logo, o determinante ser a soma desses produtos, ou seja:
D = 6 + 3 +( 1) = 4.
Observe que nesse caso o dispositivo prtico de Sarrus torna o clculo do determinante bem
mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.
Exerccios sobre determinantes
121- Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
a) 2A
b)
41
23B
c)
16
34C
d)
32
46D
e)
236
1
2
1
E
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
38
f)
23
32F
122- Calcule o determinante da matriz 22)( xijaA tal que jiaij 23 .
123- Se
20
11A , encontre o valor do determinante de AA .22 .
124- (Vunesp-SP) Dadas as matrizes
42
31A e
13
21B , calcular o determinante da
matriz BA. .
125- Resolva as equaes:
a) 075
2
xx
b) 1213
22
x
c) 38
2
43
122 xxx
d) x
x
x 0
2
4
43
126- Utilizando a Regra de Sarrus calcule o determinante das seguintes matrizes:
a)
432
314
523
A
-
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39
b)
524
132
030
B
c)
552
287
402
C
127- Calcule o determinante das matrizes:
a) 33)( xijAA tal que jiAij 32 .
b) 33)( xijBB tal que jiBij 23 .
c) 33)( xijCC tal que jiCij .
128- Se 33)( xijAA tal que jiaij , calcule o valor de
Adet e
tAdet.
129- Determine o valor de x para que:
a) 0
321
412
31
x
b) 3
025
112
312
x
c) 0
213
42
142
x
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
40
130- Para que valores de x o determinante
101
00
10
x
x
positivo?
131- Dada a matriz
321
401
132
A , determine:
a) )( 12acof
b) )( 31acof
c) )( 22acof
d) )( 13acof
e) )( 23acof
f) )( 33acof
132- Dada a matriz
662
542
301
A , determine a soma dos cofatores dos elementos da
2 linha.
133- (UFSC) Dada a matriz
2244
0731
0085
0010
A
, calcule o determinante dessa matriz.
134- Utilizando o Teorema de Laplace calcule o determinante das seguintes matrizes:
a)
87
43A
b)
35
41B
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
41
c)
401
312
001
C
d)
1012
3121
1312
1010
D
e)
1010
2101
4312
0101
E
135- Resolva as equaes:
a) 0
1011
1021
10
15112
xx
b) 0
5070
436
33
00402
x
xxx
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
42
6. Sistemas Lineares
6.1 Equaes lineares
Chamamos equaes lineares a toda equao da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b de maneira que a1, a2, a3,... , an so nmeros reais, que so
chamados coeficientes das incgnitas x1, x2, x3,... , xn, e b um nmero real chamado termo
independente (quando b=0, a equao recebe o nome de linear homognea).
Seja k o grau das incgnitas, a equao denominada linear, se e somente se, k = 1.
Exemplos
1. So equaes lineares
a) x + y = 3
b) 2x y = 0
c) y +3x = 7
2. No so equaes lineares
a) x - 4x = - 2
b) 2x y = 7
c) x + y = 1
6.2 Sistemas lineares
Um conjunto de equaes lineares da forma:
denominado um sistema linear de m equaes e n incgnitas.
Um sistema linear tem n solues, representadas pela n-upla de nmeros reais (r1, r2,
r3,..., rn) que , simultaneamente, soluo de todas as equaes do sistema.
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
43
Um sistema linear pode ser classificado quanto ao nmero de solues da seguinte forma:
Sistema linear possvel: quando admite soluo.
Sistema linear impossvel: quando no admite soluo.
Um sistema linear possvel pode ser classificado em:
Determinado: quando admite uma nica soluo.
Indeterminado: quando admite infinitas solues.
6.3 Mtodo do escalonamento
Um sistema linear dito escalonado quando est disposto nas seguintes formas:
10
43
yx
yx
700
150
22
zyx
zyx
zyx
O processo de resoluo de um sistema linear que envolve a eliminao de incgnitas
denominado mtodo do escalonamento.
Exemplo: Escalone e resolva o seguinte sistema linear:
95
824
yx
yx.
Primeiro multiplicamos a segunda equao por -4 para eliminamos a incgnita x:
295
4422
95
36820244
y
yx
y
yx
yyxx
Como j achamos o valor de y, basta substituir esse valor na outra equao:
12 xy
6.4 Matrizes associadas a um sistema linear
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
44
Podemos associar determinadas matrizes a um sistema linear, sendo essas de dois tipos, a
matriz incompleta e a matriz completa.
Matriz incompleta
Seja o sistema linear abaixo:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
Podemos associar ao sistema dado uma matriz A, chamada incompleta, quando formada
apenas pelos coeficientes das incgnitas, conforme abaixo:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
Matriz completa
Seja o mesmo sistema linear utilizado acima, podemos associar ao sistema dado uma matriz B,
chamada matriz completa, de maneira que basta adicionar uma ultima coluna matriz A, com
os termos independentes de cada equao.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
A a b c
a b c
6.5 Regra de Cramer
Consideremos um sistema linear de n equaes e n incgnitas:
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
31 1 32 2 33 3 3n n 3
n1 1 n2 2 n3 3 n
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a
n n nx b
-
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45
Como vimos esse sistema linear pode ser associado a uma matriz incompleta A, de maneira
que cada um de seus coeficientes seja um elemento da matriz, seja a matriz A, existe um
determinante D, tal que:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
D a a a a
a a a a
Seja Dxi o determinante da matriz que se obtm do sistema
dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incgnita
xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ...
, bn, assim sendo:
Segundo a regra de Cramer:
Os valores das incgnitas de um sistema linear de n
equaes e n incgnitas so dados por fraes cujo
denominador o determinante D dos coeficientes das
incgnitas e o numerador o determinante D xi, ou seja:
iiDx
xD
Exemplos
Para resolver um sistema linear pelo mtodo de escalonamento, precisamos ter conhecimentos
de algumas propriedades fundamentais dos sistemas lineares, pertinentes equivalncia de
dois ou mais sistemas lineares.
1. A permutao entre as linhas de um sistema linear no alteram o sistema em si, uma vez
que sua soluo permanece a mesma.
Exemplo
Os sistemas de equaes lineares
x 3y 7
5x 2y 1 e
5x 2y 1
x 3y 7
So sistemas lineares equivalentes, fica bvio que a dupla ordenada (1, 2) satisfaz a
ambos.
1 12 13 1
2 22 23 2
1 3 32 33 3
2 3
11 1 13 1
21 2 23 2
2 31 3 33 3
1 3
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33
n
n
n
n n n nn
n
n
n
n n n nn
n
b a a a
b a a a
Dx b a a a
b a a a
a b a a
a b a a
Dx a b a a
a b a a
a a a b
a a a b
Dx a a a
3
1 2 3n n n n
b
a a a b
-
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46
2. Podemos multiplicar a um sistema linear qualquer valor k, e podemos garantir que seu
resultado no ser alterado.
Exemplo
Os sistemas de equaes lineares
x 3y 7
5x 2y 1 e
x 3y 7
10x 4y 2
O segundo sistema tem a segunda linha sendo o dobro do sistema anterior, no entanto,
afirmamos que esses sistemas lineares so equivalentes, a dupla ordenada (1, 2)
satisfaz a ambos.
3. Um sistema de equaes lineares no se altera, quando substitumos uma equao
qualquer por outra obtida a partir da adio membro a membro desta equao, com outra
na qual foi aplicada a transformao T2.
Exemplo:
Os sistemas
15x 3y 22
5x 2y 32
e
15x 3y 22
9y -74
So obviamente, pois a segunda equao foi substituda pela adio da primeira
equao, com a segunda multiplicada por ( -3 ).
Seja o sistema de equaes lineares:
x + 3y - 2z = 3 (e1)
2x - y + z = 12 (e2)
4x + 3y - 5z = 6 (e3)
SOLUO:
1 - Aplicando a transformao T1, permutando as posies das equaes 1 e 2, vem:
2x - y + z = 12
x + 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6
2 - Multiplicando ambos os membros da equao 2, por (- 2) - uso da transformaoT2 -
-
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47
somando o resultado obtido com a equao 1 e substituindo a equao 2 pelo resultado obtido
- uso da transformao T3 - vem:
2x - y + z = 12
7y - 2z = 6
4x + 3y - 5z = 6
3 - Multiplicando ambos os membros da equao 1 por (-2), somando o resultado obtido com a
equao 3 e substituindo a equao 3 pela nova equao obtida, vem:
2x - y + z = 12
-7y + 5z = 6
5y - 7z =-18
4 - Multiplicando a segunda equao acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x - y + z = 12
-35y+25z = 30
35y -49z =-126
5 - Somando a segunda equao acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado
obtido, vem:
2x - y + z = 12
-35y+25z = 30
-24z = -96
6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que:
96z= 4
24, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fcil achar os valores das outras incgnitas:
Teremos:
- 35y + 25(4) = 30 y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equao acima, fica:
2x - 2 + 4 = 12 x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a soluo do sistema dado. Podemos ento escrever
que o conjunto soluo S do sistema dado, o conjunto unitrio formado por um terno
-
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48
ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }
Verificao:
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) - 2(4) = 3
2(5) - (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) soluo do sistema dado.
Exerccios sobre sistemas Lineares
136- Dada a equao 534 yx , determine a soluo em que 5y .
137- Verifique se (3,-4,5) soluo da equao 45 zyx .
138- Determine o valor de k para que (-1, 0,1) seja soluo da equao 53 zykx .
139- Ache duas solues da equao: 02
1 yx .
140- Calcule a, de modo que (-1, a+1, 2) no seja soluo da equao 042 zyx .
141- Verifique se cada um dos pares ordenados soluo para este sistema:
02
022
0
zyx
zyx
zyx
a) (0,0,0)
-
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49
b) (0, 1, -1)
c) (1,1,1)
142- Quais as matrizes incompletas e completas dos sistemas abaixo?
a)
253
0
12
cba
ca
cba
b)
542
13
02
2
tzyx
tzy
tyx
tzyx
143- Represente o sistema
523
2
yx
yx na sua forma matricial e, depois, resolva-o.
144- Resolva os sistemas a seguir utilizando a Regra de Cramer:
a)
652
443
yx
yx
b)
25
72
yx
yx
c)
1
323
yx
yx
-
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50
d)
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
e)
5
023
1
zyx
yx
zyx
f)
42
032
632
zyx
zyx
zyx
145- Escalone, e resolva se possvel, os sistemas:
a)
623
2
yx
yx
b)
25
72
yx
yx
c)
1
323
yx
yx
d)
423
26
yx
yx
146- (Fuvest-SP)
186
2354
1432
z
zy
zyx
, o valor de x igual a:
-
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51
a) 27
b) 3
c) 0
d) -2
e) 1
147- A soluo do sistema
733
822
542
zyx
zyx
zyx
:
a) (-1, -2,2)
b) (-1, 2, -2)
c) (1,-2,-2)
d) (1, 2, -2)
e) (1,-2,2)
148- (FUVEST-SP) Dado o sistema linear abaixo:
1
83
74
zy
yx
zx
Calcule o valor de zyx .
149- A soma de dois nmeros inteiros 10 e a diferena entre eles 2. Quais so esses
nmeros?
150- (Faap-SP) Ache dois nmeros reais cuja soma 9 e cuja diferena 29.
-
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52
151- Certa escola de ensino mdio tem 107 alunos nas 1 e 2 sries, 74 nas 2 e 3 sries e
91 nas 1 e 3 sries. Qual o total de alunos dessa escola?
152- (UEL-PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam R$ 70,00, dois artigos A mais um C
custam R$ 105,00 e a diferena de preo entre os artigos B e C, nessa ordem, R$ 5,00.
Qual o preo do artigo C?
153- Classifique os sistemas em impossvel, possvel e determinado ou possvel e
indeterminado:
a)
523
45
yx
yx
b)
9333
02
6
zyx
zyx
zyx
154- Determine o valor de a para que o sistema
93
155
ayx
yx seja possvel e determinado.
155- Determine o valor de k de modo que o sistema
kyx
yx
63
12 seja impossvel.
-
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53
7. Trigonometria na circunferncia
Considere o ponto de origem do plano, e a partir dele uma medida denominada raio que mede
uma unidade, sendo assim com o movimento de rotao do raio pela origem temos a
circunferncia trigonomtrica.
7.1 Arcos e ngulos
Considere a circunferncia de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B.
Ento, tomando um terceiro ponto M, distinto dos anteriores. A circunferncia fica dividida em
duas partes, cada uma das quais um arco de circunferncia:
Arco de circunferncia AMB, e
Arco de circunferncia AM'B.
A partir de agora consideraremos apenas os arcos orientados do ciclo trigonomtrico com
origem no ponto A=(1,0) , que so chamados arcos trigonomtricos. O ponto A=(1,0)
chamado origem dos arcos.
Os eixos x e y do sistema cartesiano dividem a circunferncia trigonomtrica em quatro
quadrantes, que so partes iguais, com angulao 90 cada uma. Assim, na figura acima, I Q
representa o primeiro quadrante, II Q o segundo quadrante e assim por diante.
-
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54
7.2 Medidas de arcos e ngulos
Existem maneiras diferentes de se medir ngulos e arcos, nesse curso utilizaremos as mais
usuais, graus e radianos.
Grau
Graus a forma como usualmente medimos ngulos, esses tem medida igual a 1/360 da
circunferncia que contm o arco. Assim sendo uma circunferncia tem medida 360o
Radiano
O radiano (notao: rad) definido como a medida de um ngulo central subtendido por um
arco cujo comprimento igual ao raio da circunferncia que contm o arco. A circunferncia
toda contm 2 raios, o que significa que seu comprimento igual a 2r e que a medida dela
(correspondente ao arco de uma volta) de 2 rad.
7.3 Converso entre graus e radianos
Podemos relacionar determinados valores inicialmente em graus para radianos e vice-versa,
para isso utilizaremos procedimentos matemticos simples, sim a partir de uma regra de trs
simples podemos converter de graus para radianos e de radianos para graus, observe.
Para todos os efeitos, temos que 2 r tem o mesmo valor que 360o, assim sendo, temos
facilmente que: r = 180o, utilizaremos essa notao e nossas converses. Observe o
exemplo:
Exemplo
1. Converta 45o em radianos:
Soluo:
Considerando que as 180o equivale a rad, sabemos que 45
o tem um valor x rad
correspondente em radianos, assim sendo, podemos dizer:
180 1804
45 445
o
ox
x xx
Ento temos que 45o equivalem a
4 rad.
2. Converta
3 radianos em graus
Soluo:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
55
Da mesma forma temos que r = 180o, ento podemos relacionar as medidas de
3
para x graus.
180180 3 180 180
. 601 3
3 3
o
xx xx
Ento, temos que
3 radianos equivalem a 60
o.
7.4 Comprimento da circunferncia
O clculo do comprimento da circunferncia (permetro) foi obtido da seguinte forma: como
todas as circunferncias so semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro
foi concludo que a razo entre os comprimentos de qualquer circunferncia pelo seu
respectivo dimetro ser sempre uma mesma constante.
E essa constante foi provada pelo matemtico grego Arquimedes de Siracura que seria
aproximadamente 3,14, e como esse valor no era exato foi estipulado que poderia ser
representado pela letra do alfabeto grego , facilitando os clculos.
Sendo C o comprimento da circunferncia, temos: rC ..2 , onde r o raio da
circunferncia.
7.5 Congruncia de arcos
Dois arcos so considerados cngruos (ou congruentes) quando tm a mesma posio no
crculo trigonomtrico, diferindo-se apenas no nmero de voltas inteiras.
Ento, se um arco mede rad, a expresso geral dos arcos cngruos a ele dada por +
2k em que k Z. Na figura abaixo exibimos vrios arcos cngruos ao arco de 60 ou de /3
rad.
Como por exemplo, temos um arco de 60 (ou /3 rad)
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
56
E abaixo, seus cngruos:
Para identificar os valores representantes na primeira volta de um ngulo cngruo, basta
subtrair o valor de 360 quantas vezes forem necessrias, at que 0 360o
.
Exemplo
1. Encontre o representante cngruo de 1200.
Soluo:
Reduzindo uma volta: 1200 - 360 = 840
Como 840 > 360, podemos continuar reduzindo.
Reduzindo mais uma volta, temos: 840 - 360 = 480.
Repetindo o procedimento, temos: 480 - 360 = 120.
Como 0 120 360o o , temos que o representante cngruo a 1200 na primeira
volta do ciclo trigonomtrico 120.
Exerccios sobre trigonometria na circunferncia
156- Converta em radianos:
-
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57
a) 30
b) 60
c) 120
d) 210
e) 225
f) 300
g) 315
h) 330
157- Converta em graus:
a) rad3
4
b) rad8
c) rad6
7
d) rad12
e) rad4
7
158- Expresse:
a) 12 para radianos
b) 75 para radianos
c) 5
para graus
d) 12
5 para graus
159- Um atleta percorre um tero de uma pista circular, correndo sobre a linha de uma
circunferncia. Determine a medida do arco percorrido em graus e radianos.
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
58
160- Calcule o comprimento das seguintes circunferncias:
a) Raio igual a 10 cm
b) Raio igual a 7,5cm
c) Dimetro igual a 18 cm
d) Dimetro igual a 21 cm
161- Ronycleisson d 8 voltas em torno de uma pista circular de dimetro 28 m. Qual a
distncia percorrida por Ronycleisson?
162- A bicicleta um veiculo com duas rodas presas a um quadro movido pelo esforo de um
ciclista por meio de pedais. Em alguns lugares ela bastante utilizada no dia a dia por ser
um meio de transporte barato, ecolgico e saudvel.
a) Se as rodas de uma bicicleta tiverem 60 cm de dimetro, qual a distncia, em metros,
que ela percorrer dando uma volta inteira?
b) Se a roda dianteira der 1600 voltas, quantos quilmetros a bicicleta percorrer?
163- Determine a que quadrante pertencem os seguintes arcos:
a) 1300
b) 440
c) -1640
d) 4
21
e) 7
8
f) 6
37
164- Quantas voltas completas d e em que quadrante pra um mvel que, partindo da
origem dos arcos, percorre, na circunferncia trigonomtrica, um arco de:
-
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59
a) 1810?
b) 2350?
c) -1200?
d) rad8
17?
165- (UFGD-MS) Um dispositivo mecnico pode girar no sentido horrio e anti-horrio, e um
contador registra o ngulo, em graus, que mede o quanto o dispositivo girou em relao ao
ponto de partida. Se o contador marca um ngulo de 5000 negativos, o ngulo positivo
correspondente :
a) 32
b) 320
c) 13
d) 40
e) 328
7.6 Razes trigonomtricas
Conhecemos as definies de seno, cosseno e tangente para o tringulo retngulo, agora
iremos ampliar esses conceitos rea onde eles foram originalmente concebidos, o circulo
trigonomtrico, ou a circunferncia de raio unitrio.
Seno
No plano cartesiano consideremos uma circunferncia trigonomtrica, de centro em (0,0) e raio
unitrio. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferncia, localizado no primeiro quadrante que
determina um arco AM correspondente ao ngulo central a. Chamamos de seno do ngulo a,
medida da projeo ortogonal de AM no eixo y, indicamos por sen(a).
-
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60
O sinal dos senos ser positivo no primeiro e segundo quadrante, e negativo no terceiro e
quarto:
Cosseno
Considerando o mesmo sistema anterior, chamamos de cosseno do ngulo a, medida da
projeo ortogonal de AM no eixo x, indicamos por cos (a).
O sinal dos cossenos ser positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e
terceiro:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
61
Tangente
Seja a reta t tangente circunferncia trigonomtrica no ponto A=(1,0). Tal reta perpendicular
ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferncia intersecta a reta
tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, definida como a tangente do arco AM
correspondente ao ngulo a.
Quando o arco apresentado no segundo ou terceiro quadrantes, podemos represent-los no
primeiro ou quarto quadrante, dessa maneira, por exemplo, caso queiramos indicar a tangente
de um ngulo a no segundo quadrante, basta ver tg (a + 180), sendo que esses valores de
tangente so equivalentes. Assim como os valores de um ngulo a no terceiro quadrante, so
equivalentes aos valores da tangente no primeiro quadrante, nesse caso basta ver a tg (a -
180). Com isso podemos deduzir que o sinal da tangente ser positivo no primeiro e terceiro
quadrante, e negativo no segundo e quarto.
7.1 Funes trigonomtricas
Podemos associar nossos conhecimentos adquiridos recentemente com funes, no caso das
funes trigonomtricas, essas tm um grupo especfico de funes, as funes
trigonomtricas, que estudaremos de agora em diante.
Funo seno
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
62
Definio
Denominamos funo seno a funo f: , que a cada nmero real x, associa o seno desse
nmero: f: , f(x) = sen x
Domnio de f(x) = sen x; D(sen x) = .
Imagem de f(x) = sen x; Im (sen x) = [-1,1], pois o raio no crculo trigonomtrico mede 1.
Sinal da Funo
Assim como j vimos, referente ao sinal dos senos, o valor de sen(x) ser positivo no primeiro e
segundo quadrante, e negativo no terceiro e quarto, assim como em seus valores cngruos.
Grfico
Chamamos ao grfico da funo seno de senide, para sua construo podemos utilizar o
meio de construo atravs de pontos notveis e tabela.
Funo cosseno
Definio
Denominamos funo cosseno a funo f: , que a cada nmero real x, associa o cosseno
desse nmero: f: , f(x) = cos x.
Domnio de f(x) = cos x; D(cos x) =
Imagem de f(x) = cos x; Im (cos x) = [-1,1].
Sinal da Funo
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
63
O sinal de f(x) = Cos (x) ser positivo no primeiro e quarto quadrante, e negativo no segundo e
terceiro quadrantes.
Grfico
Chamamos ao grfico da funo cosseno de cossenide, para sua construo podemos utilizar
o meio de construo atravs de pontos notveis e tabela.
Funo tangente
Definio
Denominamos funo tangente a funo f: , que a cada nmero x associa a tangente
desse nmero: f: , f(x) = tg x.
Domnio de f(x) = tg x; D(tg x) = / x
Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = .
Sinal da Funo
O sinal da funo tg (x) ser positivo no primeiro e terceiro quadrante, e negativo no segundo e
quarto.
Grfico
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
64
Chamamos o grfico da funo tangente de Tangentide, tambm podendo ser construdo
ponto a ponto.
Exerccios sobre seno, cosseno e tangente
166- Determine o valor do seno e do cosseno dos seguintes arcos:
a) 3
2
b) 240
c) 300
d) 135
e) 225
f) 150
g) 6
h) 2
7
i) 21
j) 2
29
167- Calcule o nmero
3
4cos
3
23
4
3
2cos
sen
sen
A .
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
65
168- Calcule o nmero
4
3
4
3cos
4
5cos
4
7
sen
sen
B
.
169- Calcule o valor da expresso xsen
xxsenA
3
8cos42
, para
2
x .
170- Calcule o valor de 2460cos330 sen .
171- (FEI-SP) Qual o valor da expresso )31.(cos2
7
seny ?
172- Determine o valor da expresso:
2
3
2
1510cos
sensenA .
173- O fenmeno da mar em determinado ponto da costa brasileira pode ser obtido pela
expresso:
4
5.
6cos.2
2
21)(
ttP , em que t o tempo decorrido aps o inicio da
operao )0( t , e P(t) a profundidade da gua no instante t. Qual a profundidade
aproximada da gua no inicio da operao?
174- Determine o valor de:
a) 900tg
b) 1500tg
c) 11tg
d) 150tg
e) 240tg
f) 300tg
g) 3
16tg
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
66
175- Ache o valor de 4
3510cos
tg .
176- Que nmero maior: 70tg ou 760tg ? Justifique sua resposta.
177- Simplifique a expresso:
24
.3 tgtgA .
178- Determine o valor numrico da expresso: 2
60
)15(
3cos)30(
xtg
xtg
xxsen, para
60x .
179- Construa a partir de senxy os grficos das funes indicadas abaixo. Escreva o
domnio e determine o conjunto imagem:
a) senxxf 2)(
b) senxxf 1)(
c) senxxf 1)(
d) senxxf )(
180- Construa o grfico da funo dada por 2
)(x
senxf , destacando o domnio, o conjunto
imagem e o perodo.
181- Construa a partir de xxf cos)( os grficos das funes indicadas abaixo. Escreva o
domnio e determine o conjunto imagem:
a) xxf cos1)(
b) xxf cos1)(
c) xxf cos)(
d) xxf cos2)(
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
67
182- Determine o perodo de cada uma das seguintes funes:
a) xseny 6
b) 3
xseny
c) xy 8cos
d) xy 6cos1
7.8 Outras razes trigonomtricas
Secante
Podemos calcular a secante de um arco atravs da relao: x
xcos
1sec .
Cossecante
Podemos calcular a cossecante de um arco atravs da relao senx
x1
seccos . .
Cotangente
Podemos calcular a cotangente de um arco atravs da relao tgx
gx1
cot .
Exerccios sobre outras razes trigonomtricas
183- Determine o valor da tangente e da cotangente dos seguintes arcos:
a) 0
b) 30
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
68
c) 3
d) 2
e) 2
f) 2
3
g) 4
7
h) 4
5
184- Determine o valor da secante e da cossecante dos seguintes arcos:
a) 0
b) 30
c) 45
d) 4
17
e) 120
f) 2
3
g) 150
h)
185- Calcule a cotangente, a secante e a cossecante dos seguintes arcos:
a) 4
b) 150
c) 270
d) 2
5
186- Calcule:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
69
a) 45sec60sec
b) 45sec.230sec.3
c) 2
3seccos
4seccos.2
187- Obtenha o valor de:
a) )180(sec8)60(sec 3
b) 2
30seccos.360seccos3
7.9 Relaes trigonomtricas
Dentro da trigonometria, h algumas relaes que so fundamentais em problemas do
cotidiano. Veremos algumas dessas relaes:
No crculo trigonomtrico, o eixo horizontal representado pelo seno e o eixo vertical, pelo
cosseno. Ao determinarmos um ponto qualquer sobre a extremidade do crculo, temos sua
projeo no eixo dos senos e dos cossenos. Ao traarmos um segmento de reta do eixo das
origens do crculo at o ponto determinado, formamos um ngulo , como mostram os
esquemas a seguir:
Com base no tringulo retngulo formado, vamos aplicar os fundamentos do Teorema de
Pitgoras:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
70
Logo temos 1cos22 sen .
H algumas outras relaes fundamentais que j conhecemos:
x
senxtgx
cos
senx
xgx
coscot
xx
cos
1sec
senxx
1seccos
H duas relaes trigonomtricas derivadas da relao fundamental que so importantes em
problemas do nosso cotidiano:
xtgx 22 1sec e xgx 22 cot1seccos .
Exemplo: Sabendo que 5
3senx e Qx 2 , calcular:
a) xcos
b) tgx
c) xsec
a)
5
4cos
25
16cos
25
91cos
1cos25
9
1cos5
3
1cos
2
2
2
2
2
22
x
x
x
x
x
xxsen
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
71
b) 4
3
5
45
3
cos
x
senxtgx
c) 4
5
5
4
1
cos
1sec
x
x
Exerccios sobre relaes fundamentais
188- Sabendo que 5
3senx e que Qx 1 , calcule:
a) xcos
b) tgx
c) gxcot
d) xsec
e) xseccos
189- Dado 5
4cos x e Qx 4 determine:
a) senx
b) tgx
c) gxcot
d) xsec
e) xseccos
190- Calcule o valor de tgx e xsec , sendo 2
1senx e Qx 3 .
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
72
191- Sabendo que 2
3cos x e Qx 2 , calcule:
a) xsec
b) gxcot
192- Dado 4sec x calcule o valor de xcos .
193- Sabendo que 2seccos x calcule o valor de senx .
-
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73
Questes de Vestibulares
Questo 1
(Cefet-SP) Considerando que a seqncia numrica (95, 79, 63, ..., x) tem soma dos
termos igual a 2 425, x igual a:
a) 113
b) 225
c) 289
d) 321
e) 385
Questo 2
(ESPM-SP) A soma de todos os nmeros naturais de 2 algarismos distintos igual a:
a) 4 905
b) 4 540
c) 4 410
d) 4 210
e) 4 090
Questo 3
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
74
(ESPM-SP) De 1995 a 2004, a populao de uma cidade vem aumentando anualmente em
progresso aritmtica. Em 2004 constatou-se que o nmero de habitantes era 8% maior que no
ano anterior. Pode-se concluir que, de 1995 a 2004, a populao dessa cidade aumentou em:
a) 80%
b) 100%
c) 160%
d) 180%
e) 200%
Questo 4
(ESPM-SP) Se os nmeros inteiros estritamente positivos forem escritos obedecendo
seqncia abaixo, o nmero 300 estar na:
a) 15. linha e 13. coluna.
b) 13. linha e 17. coluna.
c) 11. linha e 18. coluna.
d) 14. linha e 15. coluna.
e) 13. linha e 16. coluna.
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
75
Questo 5
(Fatec-SP) Sendo n o oitavo elemento da seqncia (1, 2, 6, 24, 120, ...), correto afirmar que:
a) 0 < n < 12 000
b) 12 000 < n < 24 000
c) 24 000 < n < 36 000
d) 36 000 < n < 48 000
e) 48 000 < n < 60 000
Questo 6
(FGV-RJ) Considere a seqncia cujo termo geral an = (1)n (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, .
a) Escreva os seis primeiros termos dessa seqncia.
b) Calcule a soma dos 2 007 primeiros termos dessa seqncia.
Questo 7
(FGV-SP) A figura indica infinitos tringulos issceles, cujas bases medem, em centmetros, 8,
4, 2, 1, ... .
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
76
Sabendo que a soma da rea dos infinitos tringulos hachurados na figura igual a 51, pode-
se afirmar que a rea do retngulo de lados h e d igual a:
a) 68
b) 102
c) 136
d) 153
e) 192
Questo 8
(Fuvest-SP)
a) Quantos mltiplos de 9 h entre 100 e 1 000?
b) Quantos mltiplos de 9 ou 15 h entre 100 e 1 000?
Questo 9
(Fuvest-SP) Em uma progresso aritmtica a1, a2, ..., an, ... a soma dos n primeiros termos
dada por Sn = bn2 + n, sendo b um nmero real. Sabendo-se que a3 = 7, determine:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
77
a) o valor de b e a razo da progresso aritmtica;
b) o 20.o termo da progresso;
c) a soma dos 20 primeiros termos da progresso.
Questo 10
(Fuvest-SP) Sabe-se sobre a progresso geomtrica a1, a2, a3, ... que
a1 > 0 e a6 = 9 . Alm disso, a progresso geomtrica a1, a5, a9, ... tem razo igual a 9.
Nessas condies, o produto a2 a7 vale:
a) 27
b) 3
c)
d) 3
e) 27
Questo 11
(Fuvest-SP) Trs nmeros positivos, cuja soma 30, esto em progresso aritmtica.
Somando-se, respectivamente, 4, 4 e 9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa
progresso aritmtica, obtemos trs nmeros em progresso geomtrica. Ento, um dos
termos da progresso aritmtica :
a) 9
b) 11
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
78
c) 12
d) 13
e) 15
Questo 12
(Fuvest-SP) Uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica tm, ambas, o primeiro
termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos so estritamente positivos e coincidem.
Sabe-se ainda que o segundo termo da progresso aritmtica excede o segundo termo da
progresso geomtrica em 2. Ento, o terceiro termo das progresses :
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Questo 13
(PUC-MG) De 1996 a 2005, a populao de certa cidade aumentou anualmente em progresso
aritmtica. Em 2005, constatou-se que o nmero de habitantes dessa cidade era 5% maior do
que no ano anterior. Com base nessas informaes, pode-se concluir que, de 1996 a 2005, a
populao dessa cidade aumentou em:
a) 45%
b) 60%
c) 75%
d) 90%
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
79
Questo 14
(PUC-MG) O tempo destinado propaganda eleitoral gratuita dividido entre trs coligaes
partidrias em partes diretamente proporcionais aos termos da progresso aritmtica: t, t + 6,
t2. Nessas condies, de cada hora de propaganda eleitoral gratuita, a coligao partidria
qual couber a maior parte do tempo t, medido em minutos, ficar com:
a) 26 min
b) 28 min
c) 30 min
d) 32 min
Questo 15
(UEL-PR) A mdia aritmtica dos nmeros a e b (a + b)/2 e a mdia geomtrica de a e b
ab. Dois nmeros tm mdia aritmtica 4,1 e mdia geomtrica 4. A alternativa correta que
apresenta o maior deles :
a) 1
b) 4
c) 2
d) 8,2
e) 5
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
80
Questo 16
(UFMT-MT) Admita que a populao humana mundial cresa, em progresso geomtrica, 1%
ao ano, e a produo de alimentos para essa populao cresa, em progresso aritmtica,
tambm 1% ao ano. Admita ainda que a quantidade de alimentos produzidos em 2007 seja
suficiente, sem sobras, para toda essa populao. Mantidos esses percentuais de crescimento,
quando a populao humana dobrar, que percentual mximo dessa populao poder ser
alimentado?
Considere:
log2 = 0,3
log1,01 = 0,004
a) 87,5%
b) 50%
c) 100%
d) 77,5%
e) 90%
Questo 17
(Unesp-SP) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que s abre aos sbados.
No dia da inaugurao, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir da, o nmero de fregueses
que passaram a freqentar a pizzaria cresceu em progresso aritmtica de razo 6, at que
atingiu a cota mxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O nmero de sbados que se
passaram, excluindo-se o sbado de inaugurao, para que a cota mxima de fregueses fosse
atingida pela primeira vez, foi:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
81
e) 26
Questo 18
(Unicamp-SP) A Anatel determina que as emissoras de rdio FM utilizem as freqncias de
87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferena de 0,2 MHz entre as emissoras com freqncias
vizinhas. A cada emissora, identificada por sua freqncia, associado um canal, que um
nmero natural que comea em 200. Desta forma, emissora cuja freqncia de 87,9 MHz
corresponde o canal 200; seguinte, cuja freqncia de 88,1 MHz, corresponde o canal 201,
e assim por diante. Pergunta-se:
a) Quantas emissoras FM podem funcionar (na mesma regio), respeitando-se o intervalo de
freqncias permitido pela Anatel? Qual o nmero do canal com maior freqncia?
b) Os canais 200 e 285 so reservados para uso exclusivo das rdios comunitrias. Qual a
freqncia do canal 285, supondo que todas as freqncias possveis so utilizadas?
Questo 19
Sabendo que o primeiro termo de uma PG positivo, o quarto termo 192 e o segundo termo
12, calcule o primeiro e o stimo termo.
Questo 20
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
82
Uma empresa deve instalar telefones de emergncia a cada 42 quilmetros, ao longo da
rodovia de 2 184 km, que liga Macei ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses
telefones instalado no quilmetro 42, e o ltimo, no quilmetro 2 142. Assim, a quantidade de
telefones instalados igual a:
a) 50
b) 51
c) 52
d) 53
Questo 21
(ESPM-SP) Considere o determinante D = e o determinante D que se obtm
substituindo-se cada elemento de D pela soma dos outros trs. Se D = D, podemos afirmar
que:
a) x = 4 ou x = 6
b) x = 2 ou x = 4
c) x = 6 ou x = 4
d) x = 1 ou x = 5
e) x = 4 ou x = 2
Questo 22
(FGV-SP) A e B so matrizes e At a matriz transposta de A.
Se e , ento a matriz At B ser nula para:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
83
a) x + y = 3
b) x y = 2
c) = 4
d) x y2 = 1
e) = 8
Questo 23
(FGV-SP) A uma matriz quadrada de ordem 2 e det (A) = 7. Nessas condies, det (3A) e det
(A1
) valem respectivamente:
a) 7 e 7
b) 21 e 1/7
c) 21 e 7
d) 63 e 7
e) 63 e 1/7
Questo 24
(FGV-SP) Considere as matrizes e .
Se o determinante da matriz A igual a 2, ento o determinante da matriz B igual a:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
84
Questo 25
(FGV-SP) O sistema linear admite soluo no trivial, se:
a) = 2
b) 2
c) = 2
d) 2
e) R, sendo R o conjunto dos nmeros reais
Questo 26
(FGV-SP) O sistema linear abaixo:
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
85
a) impossvel
b) admite apenas uma soluo
c) admite apenas duas solues
d) admite apenas trs solues
e) admite infinitas solues
Questo 27
(FGV-SP) Se o sistema linear
for resolvido pela regra de Cramer, o valor de x ser dado por uma frao cujo denominador
vale:
a) 41
b) 179
c) 179
d) 9
e) 9
Questo 28
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
86
(Fuvest-SP) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas no nula e
as outras so mltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz
3x3.
tem posto 1.
Questo 29
(Fuvest-SP) O sistema , onde c 0 admite uma soluo (x, y) com x = 1.
Ento, o valor de c :
a) 3
b) 2
c) 1
d) 1
e) 2
Questo 30
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
87
(Fuvest-SP) Se as matrizes A = e B = so tais que AB = BA, pode-se afirmar
que:
a) A inversvel
b) detA = 0
c) b = 0
d) c = 0
e) a = d = 1
Questo 31
(ITA-SP) Considere as afirmaes dadas a seguir, em que A uma matriz quadrada n x n, n
2:
I. O determinante de A nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.
II. Se A = (aij) tal que aij = 0 para i > j, com i, j = 1, 2, ..., n, ento detA = a11a22...ann.
III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por + 1 e a segunda por
1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, ento detB = detA.
Ento, podemos afirmar que (so) verdadeira(s):
a) apenas II
b) apenas III
c) apenas I e II
d) apenas II e III
e) todas
Questo 32
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
88
(ITA-SP) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduches, 7 xcaras de caf e 1
pedao de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduches, 10 xcaras de
caf e 1 pedao de torta totalizou R$ 42,00. Ento, o consumo de 1 sanduche, 1 xcara de
caf e 1 pedao de torta totaliza o valor de:
a) R$ 17,50
b) R$ 16,50
c) R$ 12,50
d) R$ 10,50
e) R$ 9,50
Questo 33
(ITA-SP) O sistema linear no admite soluo se, e somente se, o nmero real b
for igual a:
a) 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 2
Questo 34
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
89
(ITA-SP) Seja x R e a matriz A = . Assinale a opo correta.
a) x R, A possui inversa.
b) Apenas para x > 0, A possui inversa.
c) So apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa.
d) No existe valor de x para o qual A possui inversa.
e) Para x = log25, A no possui inversa.
Questo 35
(PUC-RS) Sendo A = , B = e C = A x B, o elemento c33 da matriz C
:
a) 9
b) 0
c) 4
d) 8
e) 12
Questo 36
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
90
(UEM-PR) Considere o sistema de equaes lineares .
Se z = a, em que a um nmero real qualquer, pode-se afirmar que:
a) x = 1.
b) y = a 3.
c) x = a 3.
d) x + y = a + 4.
e) z = x y.
Questo 37
(UFG-GO) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados num muro retangular de 5 metros
de comprimento por 2,2 metros de altura, conforme a figura abaixo.
Os lados dos quadrados sero paralelos s laterais do muro e as distncias entre os
quadrados e entre cada quadrado e a borda do muro sero todas iguais. Nessas condies, a
medida do lado de cada quadrado, em metros, ser:
a) 0,52
b) 0,60
c) 0,64
d) 0,72
e) 0,80
-
MATEMTICA - 2 ANO ENSINO MDIO REGULAR - 2015
91
Questo 38
(UFSCar-SP) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que com
p inteiro positivo. Em tais condies, correto afirmar que, necessariamente