2 analiza naprezanja i deformacija

Osnove nosivih konstrukcija II

2. ANALIZA NAPREZANJA I DEFORMACIJA

2.1. Naprezanja

Utjecaj unutrašnjih sila na promatrani element ovisi o svojstvima materijala od kojeg je

element izrađen i dimenzijama elementa. Promatramo li dva elementa izrađena od istog

materijala, veću će silu moći preuzeti element većih dimenzija. Zbog toga se vrlo često pri

proračunu konstrukcije prikazuju naprezanja umjesto unutrašnjih sila u presjeku.

Naprezanje se može općenito definirati kao sila u presjeku elementa podijeljena s

površinom na koju djeluje. Jedinica za naprezanje je Pascal (Pa). Jedan Pascal je naprezanje

silom od 1N na površini od 1 m2 (1 Pa = 1 N/m2). Pascal je vrlo mala veličina pa se često

kao jedinica za naprezanje koristi megaPascal (1 MPa = 1 N/mm2).

Elementi u konstrukcijama su rijetko izloženi djelovanju samo jedne vrste sila. Na element

ravninske linijske konstrukcije kao jedne od jednostavnijih konstrukcija općenito djeluje

kombinacija uzdužne sile, poprečne sile i momenta savijanja. U prostornim konstrukcijama

stanje unutrašnjih sila je još složenije. Kao rezultat ovakvih djelovanja javlja se složeno

stanje naprezanja u presjeku koje se može podijeliti u dvije vrste: normalno naprezanje koje

djeluje okomito na ravninu promatranog presjeka i posmično naprezanje koje djeluje u

ravnini promatranog presjeka.

2.1.1 Normalno naprezanje

Promotrimo dio linijskog elementa izloženog djelovanju uzdužne sile N. Proračun

unutrašnjih sila linijskog elementa vršimo s pretpostavkom da su dimenzije poprečnog

presjeka elementa zanemarivo male u odnosu na njegovu duljinu. U stvarnosti poprečni

presjek ima konačne dimenzije koje treba uzeti u obzir pri proračunu naprezanja. Ako

presječemo element u presjeku x-x tada će se u promatranom presjeku kao rezultat

djelovanja uzdužne sile Nx javiti naprezanje σxx jednoliko raspoređeno po površini

poprečnog presjeka:

AN x

xx =σ


Prvi indeks određuje smjer vanjske normale na poprečni presjek, a drugi indeks smjer

naprezanja. Naprezanje σxx je normalno naprezanje koje djeluje u smjeru osi x u poprečnom

presjeku s vanjskom normalom u smjeru osi x.

Crtež. Normalno naprezanje u presjeku

Naprezanje ne mora uvijek biti jednoliko raspoređeno po površini poprečnog presjeka. U

tom slučaju uzimamo da na elementarnu površinu dA djeluje sila dNx pa je naprezanje dano

izrazom:

dAdN x

xx =σ

Integracijom prethodnog izraza po površini poprečnog presjeka dobivamo ukupnu silu:

∫σ=A

xxx dAN

2.1.2 Posmično naprezanje

Unutrašnja sila u presjeku linijskog nosača se obično sastoji od uzdužne komponente Nx i

poprečne komponente Ty. Komponenta Nx uzrokuje normalno naprezanje, dok komponenta

Ty koja djeluje u ravnini poprečnog presjeka uzrokuje posmično naprezanje.


Crtež. Normalno i posmično naprezanje u presjeku

Pretpostavimo li da je naprezanje jednoliko raspoređeno po površini poprečnog presjeka,

dobivamo izraz za posmično naprezanje:

ATy

xy =τ

Ako u presjeku djeluje i poprečna sila u smjeru z, tada će postojati i posmično naprezanje u

istom smjeru:

ATz

xz =τ

Indeksi uz posmično naprezanje određuju se analogno kao i kod normalnog naprezanja. Prvi

indeks određuje smjer vanjske normale na poprečni presjek, a drugi indeks smjer

naprezanja.

U slučaju nejednolike raspodjele naprezanja u presjeku, posmična naprezanja možemo

odrediti prema izrazima:

dAdT,

dAdT z

xzy

xy =τ=τ

a odgovarajuće poprečne sile u presjeku integracijom po površini poprečnog presjeka:

∫∫ τ=τ=A

xzzA

xyy dAT,dAT

Umjesto oznaka , xyτ xzτ mogu se za posmična naprezanja koristiti i oznake , xyσ xzσ .


2.1.3 Prostorno stanje naprezanja

Promotrimo li tijelo u prostoru izloženo djelovanju vanjskih sila te ga prerežemo na dva

dijela, tada na presječnoj plohi djeluje vektor punog naprezanja kojeg možemo rastaviti na

komponentu naprezanja okomito na ravninu presjeka (normalno naprezanje) i komponentu

naprezanja u ravnini presjeka (posmično naprezanje).

Naprezanja na ravninu presjeka

Orjenitramo li ravnine presjeka okomito na koordinatne osi y i z, dobit ćemo na svakoj od tih ravnina tri komponente naprezanja, jednu normalnu i dvije posmične.

Promotrimo li diferencijalno mali trodimenzionalni element izrezan iz krutog tijela u

prostoru tada se na svakoj plohi elementa javljaju tri komponente naprezanja.


Crtež. Prostorno stanje naprezanja

Stanje naprezanja u prostoru potpuno je određeno s 9 komponenti naprezanja, tri normalne i

šest posmičnih komponenti, koje djeluju na tri međusobno okomite ravnine, a možemo ih

prikazati u obliku kvadratne matrice:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσσσσσσσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

=σ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

koju nazivamo matricom tenzora naprezanja ili kraće tenzorom naprezanja. Elementi jednog

retka matrice predstavljaju komponente naprezanja u jednoj ravnini. Normalna naprezanja

često označavamo s , a posmična iiσ iσ ijτ sa ijσ .

Komponente naprezanja su pozitivne ako djeluju u pozitivnim smjerovima koordinatnih

osi na površini s vanjskom normalom orjentiranom u smjeru koordinatne osi, odnosno ako

djeluju u negativnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom

orijentiranom suprotno od koordinatne osi. Komponenta naprezanja djeluje u smjeru

vanjske normale pa je to normalno vlačno naprezanje, a

ijσ

iiσ+

iiσ− je normalno tlačno naprezanje.

Iz tijela u stanju ravnoteže izrežimo beskonačno mali prostorni diferencijalni element sa

stranicama dx, dy, dz. Pri homogenom stanju naprezanja na paralelnim stanicama

prikazanog diferencijalnog elementa djeluju komponente iste veličine. U općem slučaju

komponente naprezanja su neprekinute funkcije koordinata )z,y,x(ijij σ=σ pa na paralelnim

stranicama elementa ne djeluju komponente naprezanja jednakog iznosa. Razlika između


komponeti može se prikazati preko diferencijalnih prirasta naprezanja na razmacima dx, dy,

dz.

Težištem prostornog diferencijalnog elementa postavimo os z0 paralelno s osi z i postavimo

jednadžbu ravnoteže . Moment u odnosu na os z0M0z =Σ 0 dat će samo posmične

komponente naprezanja okomite na tu os prikazane na crtežu. Iz uvjeta ravnoteže 0M0z =Σ

dobivamo:

02

dydzdxdxy2

dxdzdydyx2

dydzdx2

dxdzdy yxyx

xyxyxyxy =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

+τ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂τ∂

+τ+τ−τ

Crtež. Posmična naprezanja na diferencijalnom elementu u ravnini xy

Ako se jednadžba podijeli s i zanemare diferencijalni prirasti u odnosu na osnovne

veličine i dobivamo:

dzdydx

xyτ yxτ

yxxy τ=τ

Analogno bismo za 0M0x =Σ i 0M

0y =Σ dobili:

zxxzyzzy , τ=ττ=τ

Općenito ove izraze možemo prikazati u obliku:

)z,y,xj,i;ji(,jiij =≠τ=τ

Gornja jednadžba izražava zakon o uzajamnosti posmičnih naprezanja koji glasi:

U dvjema međusobno okomitim ravninama komponente posmičnih naprezanja

koje su okomite na presječnicu tih ravnina jednake su po iznosu i usmjerene su

prema presječnici tih ravnina ili od nje.

Kako su posmične komponente naprezanja s jednakim indeksima jednake, broj nezavisnih

komponenti naprezanja tenzora naprezanja se smanjuje s 9 na 6. Matrica tenzora naprezanja

ima oblik:


[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

=σ

zyzxz

yzyxy

xzxyx

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

ij

Primjer:

Štap poprečnog presjeka površine A izložen je djelovanju uzdužne sile F. Potrebno je

izračunati normalno i posmično naprezanje u ravnini s normalom pod kutem ϕ u odnosu na

os štapa. Kod štapa izloženog djelovanju uzdužne sile naprezanja u presjeku su raspoređena

jednoliko po površini poprečnog presjeka.

φF F

a a

Nφ R=

A

T Crtež. Naprezanja u presjeku štapa

Vanjsku silu F možemo u poprečnom presjeku pod kutem ϕ prikazati kao zbroj normalne

komponente i tangencijalne komponente ϕ= cosFN ϕ= sinFT . Naprezanju u presjeku

iznose:

- normalno ϕ=

ϕ

ϕ==σϕ

2cosAF

cosA

cosFAN

- posmično ϕ=ϕϕ=

ϕ

ϕ==τϕ

2sinA2Fcossin

AF

cosA

sinFAT

Uvrštavajući različite vrijednosti za kut ϕ vidljivo je da normalno naprezanje opada s

povećanjem kuta ϕ. Najveće normalno naprezanje je u poprečnom presjeku okomitom na os

štapa (ϕ=0°) i iznosi A/F=σ . Posmično naprezanje raste s povećanjem kuta ϕ od 0° do 45°.

Najveće je u poprečnom presjeku pod kutem od 45° i iznosi . S daljnjim

povećavanjem kuta posmično naprezanje opada.

A/F5.0=τ


2.1.4 Ravninsko stanje naprezanja

Tenzor naprezanja: [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σττσ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σττσ

=σyyx

xyx

yyyx

xyxxij

Jednadžbe transformacije

σ σ

σ

x

n n

y

τ

τ

τ

x

nt

t

y

y

x

φ

φA

B

O x

y

Jednadžbe transformacije služe za

određivanje naprezanja u proizvoljnom

smjeru ako su poznate komponente

naprezanja u dva međusobno okomita

smjera.

φ⋅=φ⋅=

cosABOBsinABOA

Uvjeti ravnoteže:

0X =∑ ; φ⋅⋅τ−φ⋅⋅σ=⋅τ+⋅σ sinABcosABA0B0 ntnxyx

⇓ φ⋅τ−φ⋅σ=φ⋅τ+φ⋅σ sincossincos ntnxyx (1)

0Y =∑ ; φ⋅⋅τ−φ⋅⋅σ=⋅τ+⋅σ cosABsinABB0A0 ntnxyy

φ⋅τ+φ⋅σ=φ⋅τ+φ⋅σ cossincossin ntnxyy (2)

Iz (1) i (2) slijedi sustav od 2x2 jednadžbi:

1sincos)S(DET

cossincossin

sincossincos

22

xyyntn

xyxntn

=φ+φ=

φ⋅τ+φ⋅σ=τ⋅φ+σ⋅φ

φ⋅τ+φ⋅σ=τ⋅φ−σ⋅φ


Rješenje sustava:

φ⋅τ+φ⋅σ−σ

=τ

φ⋅τ+φ⋅σ+φ⋅σ=σ

2cos2sin2

2sinsincos

xyxy

nt

xy2

y2

xn

analogno je: φ+π

=φ21

φ⋅τ+φ⋅σ−σ

=τ

φ⋅τ−φ⋅σ+φ⋅σ=σ

2sincos2

2sincossin

xyxy

tn

xy2

y2

xt

Smjerovi i veličine glavnih naprezanja

Traži se kut φe=α za koji su normalna naprezanja σn i σt ekstremna. To je kut za koji je . 0tnnt =τ=τ0nt =τ ;

yx

xye

yx

xye

exyexy

2arctg

21

22tg

2cos2sin2

σ⋅σ

τ=φ=α

σ−σ

τ=φ

φτ−=φσ−σ

Kutovi α i ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

±α2

određuju pravce

glavnih naprezanja. Pravci glavnih naprezanja nazivaju se glavnim osima naprezanja.

Pravci na kojima ne djeluje posmično naprezanje nazivaju se glavne osi naprezanja, a normalna naprezanja koja djeluju na tim pravcima nazivaju se glavna naprezanja i označavaju s σ1, σ2.

Veličine glavnih naprezanja: 2121 min,,max σ≥σ=σ=σ

2xy

2yxyx

2

2xy

2yxyx

1

222

22)(

τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ−

σ+σ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ασ=σ

τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ+

σ+σ=ασ=σ

Zbroj normalnih naprezanja u bilo koja dva okomita smjera:

yx

xy2

y2

xxy2

y2

xtn 2sincossin2sinsincos

σ+σ=

φ⋅τ−φ⋅σ+φ⋅σ+φ⋅τ+φ⋅σ+φ⋅σ=σ+σ

121yxtn I=σ+σ=σ+σ=σ+σ I1 – prva invarijanta naprezanja


σ σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

x x

y

1

1

2

2

y

τ τ

τ

τ

x x

y

y

y y

x

x

S

1

2

α

A

B

Dijagonala posmika – pravac koji spaja vrhove

kvadrata prema kojem djeluju posmična naprezanja τxy

Maksimalno naprezanje ima pravac koji leži

između dijagonale posmika i algebarski većeg

normalnog naprezanja.

Smjerovi i veličina maksimalnih posmičnih naprezanja:

Nalaze se pod kutom 4παβ −=

( ) 2xy

2yx21

max τ2σσ

2σστ +

−=

−=

Mohr-ova kružnica naprezanja Grafička konstrukcija za transformaciju naprezanja i određivanje smjerova i veličine glavnih naprezanja.

σ σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

x x

y

1

1

2

2

y

τ τ

τ

τ

x x

y

y

y y

x

x

S

1

2

ασ

τ

α 2α

σ σ1 2+2

σ σ1 2-

2


Posebni slučajevi naprezanja

σσ x 1x xx

S

σ

=

=

0

0 =2

β = 45

σσ

xx

σx

τ

σ

σ

y

y

max=2

τmax=σ

ββ

= 45

2β

JEDNOOSNO STANJE NAPREZANJA

σx

σ = 0σ y

maxτmax

σ

σ σσ

σ

σ

xx x

1 2

x

τσ

σ

σ

σ

σσ

y

y

=

=

=

= =

= σ

σ σσ

σ

σ

xx x

1 2

x

τσ

σ

σ

σ

σσ

y

y

=

=

=

= =

=

IZOTROPNO STANJE NAPREZANJA /TLAČNO, VLAČNO/

Mohr-ova kružnica

degenerira u točku.

Nema glavnih osiju.

Nema posmika.

ČISTI POSMIK σ=σ=σ yx

σ

τ

τ

τ

σ

Max

y

a

b

c

d

a1

b1

c1

d1 0

π/2 + γπ/2 − γ

=

τ

ττ

x x

σ

σ

σ

σ

σ

y

y

x

a

b

c

d

a1

b1

c1

d1 0

π/2 + γπ/2 − γ

=


2.2. Pomaci i deformacije

Djelovanje sila na tijelo izaziva pomicanje tijela koje možemo pratiti u odabranom

koordinatnom sustavu preko komponenti pomaka )z,y,x(ww),z,y,x(vv),z,y,x(uu ===

u smjeru odgovarajućih koordinatnih osi.

z

x

y

V

V

A

0

F

F

F

F

1 1

n

i

2k

r 1

r

u

wv

p

ij

Ukupan pomak može se izraziti kao zbroj komponenti:

kwjviuwvurrrrrrr

⋅+⋅+⋅=++=δ

Pored pomaka moguće je pratiti i deformaciju tijela. Promjena razmaka među promatranim

točkama tijela A i B naziva se apsolutna deformacija dužine AB. Važnija veličina od

apsolutne deformacije je relativna deformacija koja predstavlja promjenu udaljenosti

među točkama podijeljenu s početnom duljinom.

Kao što naprezanja mogu biti normalna i posmična tako postoji normalna i posmična

relativna deformacija. Promotrimo štap izložen djelovanju uzdužne vlačne sile.

∆l/2∆l/2 lx

Crtež. Deformiranje štapa izloženog djelovanju uzdužne sile

Štap se uzdužno rasteže za veličinu ∆lx i istovremeno se poprečno sužava, ali ćemo u ovom

trenutku to zanemariti. Ako početnu duljinu štapa označimo s lx, a produljenje (apsolutnu

deformaciju) s ∆lx, veličina x

xxx l

l∆=ε naziva se relativna normalna deformacija. Kako


normalno naprezanje izaziva samo promjenu duljine štapa, neće doći do promjene kuta

među slojevima koji se pomiču.

Položaj prije deformiranja

Položaj deformiranjanakon

Crtež. Normalna deformacija štapa

Na slijedećem crtežu prikazana je pravokutna ploča koja je zglobnim ležajevima vezana s

podlogom i opterećena posmičnom silom na gornjem rubu.

ly

ux

Crtež. Deformiranje pravokutne ploče izložene posmičnoj sili

Dimenzije ploče uslijed djelovanja zadane sile se ne mijenjaju, međutim cijela ploča se

posmično deformira na način da dolazi do međusobnog klizanja horizontalnih slojeva te do

promjene kuta među stranicama.

međusobno pomicanje slojeva

Crtež. Posmično deformiranje pravokutne ploče Ovakva deformacija naziva se kutna deformacija ili relativna posmična deformacija i

predstavlja relativnu promjenu kuta među stranicama u odnosu na početni pravi kut.

y

xxy l

utg =γ≈γ


U prostoru su deformacije funkcije pomaka u, v, w u smjeru tri međusobno okomite

koordinatne osi i općenito su male u odnosu na dimenzije konstrukcije, mijenjaju se od

točke do točke pa se izražavaju u obliku derivacija.

Relativnu normalnu deformaciju u smjeru koordinatnih osi x,y,z označavamo s εxx, εyy, εzz, a

relativnu posmičnu deformaciju u koordinatnim ravninama s γxy, γyz, γzx. Pored ovih oznaka

u analizi kutnih deformacija upotrebljavaju se oznake:

zxzxyzyzxyxy 21;

21;

21

γ=εγ=εγ=ε

Tenzor deformacija u prostoru je oblika:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

εεεεεεεεε

ε

Slično kao i kod naprezanja vrijedi uzajamnost posmičnih deformacija 3,2,1j,i,jiij =ε=ε . Veza između relativnih deformacija i pomaka izvest će se za pravokutnu ploču smještenu u ravnini x-y. Promatrani problem je dvodimenzionalan.

u

A x

y

A’

dx

dy

dxxuu ⋅

∂+

B’

D’

C’

B0

d xxv

⋅∂

v

CD

α

β

xu

∂∂ - relativna promjena pomaka ″u″ u x smjeru

Normalna deformacija: xu

dx

udxxuu

xx ∂∂

=−

∂∂

+=ε

Analogno je yv

dy

vdyyvv

yy ∂∂

=−

∂∂

+=ε


xv

1xv

dxxudx

dxxv

tanxx ∂

∂≈

ε+∂∂

=

∂∂

+

∂∂

=α za 1xx <<ε ; yutan

∂∂

=β

Posmična deformacija (ukupna promjena kuta):

yu

xvtantanxy ∂

∂+

∂∂

=β+α=γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=ε=εyu

xv

21

yxxy

Analogno izvedenim izrazima za relativne deformacije u ravnini, za diferencijalno mali element u prostoru dimenzija dx-dy-dz i komponente pomaka u, v, w u smjeru koordinatnih osi x-y-z relativne normalne deformacije su prikazane izrazom:

zw;

yv;

xu

zzyyxx ∂∂=ε

∂∂=ε

∂∂=ε

a posmične deformacije:

zw

zu;

zy

yw;

yu

xv

zxyzxy ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ

Primijetimo da u slučaju slobodnog pomicanja konstrukcije može doći do translacijskih pomaka i rotacija, ali pri tome ne dolazi do deformacije konstrukcije. Deformacija se događa samo u uvjetima spriječenih pomaka odnosno rotacija. Primjer translatornog pomaka (nema deformacija):

δ t

Primjer rotacijskog pomaka (nema deformacija):

θ

2 analiza naprezanja i deformacija

Documents