1

Tehni�ka mehanika

1. dio

2

Tehni�ka mehanikaObavezna literatura:V. Andrejev: Mehanika I. dio – StatikaI. Alfirevi�: Nauka o �vrsto�i Iwww.sfsb.hr/ksk/statika/�vrsto�awww.mating.hr/prim_mehanikaOstala literatura:A. Kiri�enko: Tehni�ka mehanika I. dio-StatikaV. Špiranec: Tehni�ka mehanikaZbirke zadataka

3

Fizika Fizika je fundamentalna prirodna nauka koja

prou�ava:• op�a svojstva i • zakone gibanja materije.

Materija je u stalnom gibanju koje se zbiva prostoru i vremenu.

Najstarija i osnovna grana fizike je:MEHANIKA

4

MEHANIKA

Mehanika je prirodna nauka koja se temelji na opažanju, iskustvu i eksperimentu.

Mehanika prou�ava gibanja materijalnih tijela.

Gibanje je najop�enitiji oblik postojanjamaterije.

5

MehanikaZadatak mehanike je prou�avanje op�ih

zakona mehani�kog gibanja.

Mehani�ko gibanje je najjednostavniji oblik gibanja materije koje se prikazuje kao premještanje materijalnih tijela u prostoru i vremenu.

Uzrok gibanju tijela je djelovanje jednog tijela na drugo.

6

Materijalno tijelo

Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ograni�eni prostor ispunjen materijom.

7

Materijalno tijelo

Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ograni�eni prostor ispunjen materijom.

Glavna svojstva materijalnih tijela su:• oblik• obujam• položaj

i ona �ine prostorno stanje tijela.

8

Promjenu oblika i obujma tijela nazivamodeformacijom,

a promjenu položaja tijelagibanjem.

Gibanje tijela uzrokuje sila.

9

Gibanje

a) Translacija b) Rotacija

10

Desni koordinatni sustav

11

Idealizacija realnog �vrstog tijela u mehanici

Mehani�ke analize se za realno �vrsto tijelo izvode na idealiziranim modelima tijela.

1. Mehanika – kontinuum

2. Fizika – diskretna raspodjela materije po obujmu tijela

12

Kontinuum

Kontinuum je idealizirani model tijela za koji pretpostavljamo da je cijeli obujam tijela jednoliko ispunjen materijom.

13

Mehanika

1. Mehanika krutog tijelaa) kontinuumb) apsolutno kruto tijelo

2. Mehanika deformabilnih tijelaa) kontinuum

14

Apsolutno kruto tijelo

Apsolutno kruto tijelo je idealizirani model pod kojim podrazumijevamo tijelo koje ne mijenja niti oblik niti obujam pod djelovanjem vanjskih sila.

15

Materijalna to�ka

Kod materijalne to�ke sva materija tijela skoncentrirana je u težištu tijela

U mehani�koj analizi dimenzije tijela nemaju nekog zna�enja.

Materijalna to�ka predstavlja najgrublji stupanj idealizacije realnog �vrstog tijela.

16

Idealizacija realnog �vrstog tijela u mehanici

17

Podjela mehanike

18

Statika

Statika je grana mehanike koja prou�ava djelovanje sila na tijelo u stanju mirovanja.

To su slu�ajevi ravnoteža sila.

19

Kinematika

Kinematika je grana mehanike koja prou�ava gibanja materijalnih tijela, povezuje položaje tijela s vremenom ne uzimaju�i u obzir uzroke koji ta gibanja izazivaju.

Kinematika - geometrija gibanja

20

Dinamika

Dinamika je op�a nauka o mehani�kom gibanju koja prou�ava gibanja materijalnih tijela i uzroke zbog kojih ta gibanja nastaju i mijenjaju se.

Uzrok – sila Posljedica – gibanje

Gibanje je samo posljedica nekog uzroka a to je sila.

21

Statika

Statika materijalne

to�ke

Statika apsolutno krutog tijela

u ravnini u prostoru u ravnini u prostoru

Sile na tijelo

Vanjske sile

u ravnini u prostoru

22

Mehanika

• Newtonova mehanika koja se temelji na mehani�koj analizi inženjerskih problema (17. stolje�e)

• Kvantna mehanika koja prou�ava gibanje malih materijalnih �estica (atomi, elektroni)

• Relativisti�ka mehanika (Teorija relativnosti, Einstein 20. stolje�e) koja prou�ava gibanja materijalnih tijela velikim brzinama, reda veli�ine brzine svjetlosti c = 300 000 km/s.

23

Povijest

• Mehanika je prirodna nauka koja se temelji na opažanju, iskustvu i eksperimentu.

• Tijesno je povezana sa životom �ovjeka koji svjesno ili nesvjesno primjenjuje zakone mehanike.

• Najstarija grana fizike (Grci, Egip�ani, Babilonci i drugi).

24

1. Arhimed 3. st. prije Krista2. Leonardo da Vinci 15. st.3. Galileo Galilei 16. st.4. Isaac Newton 17. st.

25

1. Arhimed 3. st. prije Krista - Arhimedov zakon(poklik Heureka!); položio osnove hidrostatici, zakon plivanja, zakon poluge i odredio približnu vrijednost broja Π

(Aristotel 4. st. prije Krista – geocentri�ki sustav)(Giordano Bruno)

(Kopernik 15. st. heliocentri�ki sustav; Kepler)

2. Leonardo da Vinci 15. st. bavio se prou�avanjem �vrsto�e tehni�kih konstrukcija, eksperimentalnim istraživanjima proste grede i konzole.

26

3. Galileo Galilei (16. st.) prvi je primijetio da mehanika krutih tijela nije dovoljna za rješavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija te da se moraju uzeti u obzir fizikalna svojstva materijala.

Postavio temelje mehanike deformabilnihtijela.(“Eppur si muove” - Ipak se kre�e!)

27

4. Isaac Newton 17. st.

28

4. Isaac Newton 17. st.

“Matemati�ka na�ela prirodne filozofije” (Philosophiae naturalis principia matematica)

položio je temelje mehanici kao znanosti.

Aksiomi mehanike

29

• Robert Hooke (1635-1703) prou�ava elasti�na svojstva materijala. Eksperimentalnim ispitivanjima na oprugama, žicama i drvenim konzolama pronalazi Zakon o linearnoj ovisnosti optere�enja i deformacija pri rastezanju, na kojoj je kasnije izgra�ena mehanika elasti�nih tijela.

• Jakob Bernoulli (1654-1705) prou�avao je oblik savijene grede i postavio jednu od važnijih hipoteza u znanosti o otpornosti materijala - hipotezu ravnih presjeka.

• L. Euler (1700-1783) istraživao je stabilnost pritisnutih štapova. • C. A. Coulomb (1785-1806) prou�ava me�u prvima torziju okruglog štapa,

mehani�ka svojstva materijala, odredio granicu elasti�nosti za neke materijale, dao to�no rješenje savijanja konzole

• T. Young (1773-1829) dao je matemati�ku formulaciju Hookeovog zakona i uveo pojam modula elasti�nosti E pri rastezanju i pritisku, koji se naziva Youngovimmodulom. Uvodi i pojam posmi�nog naprezanja. Prvi je po�eo prou�avanje djelovanje dinami�kog optere�enja.

• L. Navier (1785-1836) izdaje 1862. prvi udžbenik o otpornosti materijala. Za razliku od ostalih istraživa�a, koji su tražili optere�enje koje dovodi do rušenja konstrukcije, on je tražio optere�enje do kojeg se konstrukcija ponaša potpuno elasti�no bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulirao op�e jednadžbe ravnoteže.

• A. L. Cauchy (1789-1857) uvodi pojam glavnih naprezanja i glavnih deformacija te dokazuje zakon o uzajamnosti posmi�nih naprezanja.

• Ostali istraživa�i su: Poisson (koeficijent ν), Lame (koeficijenti λ i µ), Mohr (kružnice naprezanja), Saint-Venant (teorija plasti�nosti), Huber, Mises, Hencky (HMH teorija loma), Rankin, Maxwell, Clapeyron, Castiglian, Betti, Prandtl, Timošenko, Mushelšvilia, Ostrogradski i dr...

30

Aksiomi mehanike

1. Aksiom: Zakon tromosti

2. Aksiom: Temeljni zakon gibanja

3. Aksiom: Princip akcije i reakcije

31

1. Aksiom - Zakon tromostiTijelo ustraje u stanju mirovanja ili jednolikog

pravolinijskog gibanja sve dok ne bude prisiljeno djelovanjem drugog tijela promijeniti to stanje.

Tromost tijela je svojstvo tijela da ne mijenja svoju brzinu kojom se jednoliko giba po pravcu.

Veli�inu opiranja tijela promjeni brzine nazivamo masom tijela m.

32

2. Aksiom Temeljni zakon gibanja

Sila je promjena koli�ine gibanja u vremenu

[ ] N )(

dtvmd

F⋅=

33

3. Aksiom:Princip akcije i reakcije

Dva tijela djeluju uvijek uzajamno, jedno na drugo, silama koje su po veli�ini jednake ali suprotna smjera.

Akciji je uvijek jednaka i suprotno usmjerena reakcija

Važna posljedica: sila nikada ne djeluje pojedina�no nego se sile uvijek javljaju u paru paru!

34

Zakoni mehanike – kruto tijelo

4. Zakon o privla�enju masa

5. Zakon o paralelogramu sila

6. Zakon superpozicije

7. Zakon o održanju istog djelovanja (+, -)

8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja

9. Princip o održanju mehani�ke energije

10. D´ Alembert-ov princip

35

4. Zakon o privla�enju masa

221

rmm

kF⋅⋅=

36

Zakoni mehanike – kruto tijelo5. Zakon o paralelogramu sila – Stevinus 17. st.

Djelovanje na tijelo sustava sila F1 i F2ekvivalentno djelovanju jedne sile – rezultante FR– koja predstavlja dijagonalu paralelograma.

1221R F F F F F +=+=

37

6. Zakon superpozicijeZakon o neovisnosti djelovanja sila

Sile u pridržajnim štapovima ?

38

6. Zakon o neovisnosti djelovanja sila - zakon superpozicije

= +

Sile u pridržajnim štapovima:

)H(3

)V(33

)H(2

)V(22

)H(1

)V(11

RRR

RRR

RRR

+=

+=

+=

39

7. Zakon o održanju istog djelovanja

Stanje ravnoteže ili jednolikog gibanja ne�e se promijeniti ako se tijelu doda (+)ili oduzme uravnoteženi sustav sila.

40

7. Zakon o održanju istog djelovanja

Stanje ravnoteže ili jednolikog gibanja ne�e se promijeniti ako se tijelu doda ili oduzme (-)uravnoteženi sustav sila

41

8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja

(+)

(-)

42

8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja

Sila na kruto tijelo je klizni vektor !

43

9. Princip o održanju mehani�ke energijeEk + Ep = konstantan

10. D´ Alembert-ov principAko na tijelo koje se giba dodamo silu inerciju u

smjeru suprotnom od smjera gibanja uspostavljamo fiktivnu ravnotežu u promatranom trenutku gibanja. Tako dinami�ki problemi svodimo na stati�ki problem i rješavamo slu�aj ravnoteže sila.

44

Veli�ine u mehanici

1. Skalari (tenzori 0. reda)

2. Vektori (tenzori I. reda)

3. Tenzori II. reda

4. Tenzori IV. reda

45

1. Skalari: 30= 1 podatak + mjerna jedinica(tenzori nultog reda)

2. Vektori: 31= 3 podatka + mjerna jedinica(tenzori prvog reda)

3. Tenzori drugog reda 32= 9 podataka + mjerna jedinica

4. Tenzori �etvrtog reda 34= 81 podatak + mjerna jedinica

46

Me�unarodni sustav mjere (SI)

Naziv Oznaka Jedinica Nazivduljina l m metarmasa m kg kilogramvrijema t s sekunda

47

1. Skalari1. duljina l (m)2. masa m (kg)3. vrijeme t (s)4. površina A (m2)5. obujam V (m3)6. gusto�a ρ (kg/m3)7. kut α (°) (rad)8. temperatura T (°C) (K)9. rad W (J = Nm)10. snaga P (W = Nm/s)11. energija E (J= Nm)12. pritisak p (Pa = N/m2)

48

Rad: Sila na putu(Skalarni produkt vektora)

Moment na kutu

Snaga: Rad u jedinici vremena

α⋅⋅=⋅=→→

cossFs FW

dtdW

P =

→→

ϕ⋅= MW

49

Energija

Kineti�ka energija

Potencijalna energija

2mv

E2

k =

mghEp =

50

2. Vektori1. radijus vektor (m)

2. vektor pomaka (m)

3. brzina (m/s)

4. ubrzanje (m/s2)

5. koli�ina gibanja (kgm/s=Ns)

6. sila (N=kgm/s2)

→r→s→v→a

→→⋅= am F

→→⋅= vm K

51

Vektori - nastavak5. koli�ina gibanja (kgm/s=Ns)

6. sila (N=kgm/s2)

7. stati�ki moment sile obzirom na neki pol (Nm)

8. moment koli�ine gibanja (Nms)

9. impuls sile (Ns)

→→⋅= vm K

→→→×= F rMo

→→→⋅×= vmr L

→→⋅= tF I

→→⋅= am F

52

3. Tenzori II. reda

1. Tenzor naprezanja

2. Tenzor deformacija

���

�

�

���

�

�

σσσσσσσσσ

=σ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

���

�

�

���

�

�

εεεεεεεεε

=ε

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

53

3. Tenzori II. reda

Tenzor naprezanja

Tenzor deformacija

���

�

�

���

�

�

στττστττσ

=σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

������

�

�

������

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

εγγ

γεγ

γγε

ε

21

21

21

21

21

21

54

Prefiksi dekadskih jedinica

piko p 10–12

nano n 10–9

mikro µ 10–6

mili m 10–3

centi c 10–2

deci d 10–1

osnovna jedinica 100 =1

55

Prefiksi dekadskih jedinica

osnovna jedinica 100 =1deka da 101

hekto h 102

kilo k 103

Mega M 106

Giga G 109

Tera T 1012

56

Sila

Vektor - Tenzor I. reda31= 3 podatka + mjerna jedinica

1. Hvatište2. Pravac ili smjer djelovanja3. Intenzitet – iznos

Mjerna jedinica: Newton (N)

57

Sila

58

Sila II. Newton-ov aksiom

Sila vlastite težine:

1. Hvatište: u težištu2. Pravac djelovanja: vertikalan3. Iznos:

)s

m kg(N am

dtvd

m dt

v)d(m F

2=⋅===

gm G ⋅=

gmG ⋅=

59

Gravitacija g

- Pol g = 9,83 m/s2

- Ekvator g = 9,78 m/s2

- 45 paralela sjeverne geografske širine (Senj – sun�ani sat)

g = 9,81 m/s2

60

Mjerenje sile

• vaganjem mase m• dinamometrom

a) pomo�u deformacije oprugeb) pomo�u deformacija prstena s ���������enim mikrometrom

61

Opruga

Prsten

ukF ⋅=

xkF ⋅=

62

Vrste vektora:

1. Vezani vektor- stati�ki moment sile obzirom na pol

2. Klizni vektor - sila na kruto tijelo; 8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja mehanike

3. Slobodni vektor- moment sprega sila

FhM ⋅=

F

FF - ;

→→→×= F rMo

63

1. Stati�ki moment sile obzirom na pol O

→→→×= F rMo

64

2. Sila na kruto tijelo je klizni vektor !

(8. Zakon o prenosivosti sile duž pravca djelovanja)

65

3. Spreg sila

• Dvije sile jednakih intenziteta na paralelnim pravcima suprotnog smjera

FhM ⋅=

66

Sustav sila (n>1)

A. Podjela sustava sila:

a) kolinearne sile (na pravcu)b) komplanarne sile (u ravnini)c) prostorne sile.

67

Sustav sila

B. Podjela sustava sila prema me�usobnom položaju pravaca djelovanja:

a) konkurentne sileb) paralelne silec) op�e sile.

68

69

Komplanarne sile

op�e

konkuretne paralelne

kolinearne

70

Prostorne sile

op�e

konkuretne paralelne

71

Sustav sila

C. Podjela sustava sila:a) koncentrirane sileb) kontinuirane sile

jednolikog ili nejednolikog intenziteta q

1. po dužini (pravcu)

2. po površini

3. po obujmu

(N/m) q

)(N/m q 2

)(N/m q 3

(N) F

72

kontinuirano optere�enje po pravcu:jednolikog intenziteta

kontinuirano optere�enje:nejednolikog intenziteta

kontinuirano optere�enje po površini

73

Sustav sila

D. Podjela sustava sila:

a) stati�ke sile

b) dinami�ke sile

onstantnok F =

F(t) Fdin =

74

Sile na tijelo

Vanjske sile Sile presjeka iliunutrašnje sile

75

Sile na tijelo

Vanjske sile Sile presjeka iliunutrašnje sile

Aktivne sile Reaktivne sile

76

Sile na tijelo

Vanjske sile Sile presjeka iliunutrašnje sile

Aktivne sile Reaktivne sile

Sile veza Sile trenja

77

Sile na tijelo

Vanjske sile Sile presjeka iliunutrašnje sile

Aktivne sile Reaktivne sile

Sile veza Sile trenja

Normalna sila N

Popre�na sila Tz

Moment uvijanja Mt

Moment savijanjaMy

78

Hvala na pažnji!