1. Storia del piano Cartesiano2. Elementi del piano Cartesiano3. Le funzioni4. La retta nel piano Cartesiano5. La parabola

INDICEINDICE

1. Storia del piano Cartesiano• Euclide• Opere• Teoremi ed Assiomi• Dal piano Euclideo

al piano Cartesiano• Cartesio• Opere

2. Elementi del piano Cartesiano• Origine degli assi• Quadranti• Coordinate di un punto• Segmenti• Rette

3. Le funzioni• Definizione di funzione• Rappresentazione di una funzione• Funzione sul piano Cartesiano• Classificazione delle funzioni• Riepilogo

4. La retta nel piano Cartesiano• Definizione retta• Equazione retta (forma implicita e for

ma esplicita)• Rette incidenti• Rette parallele• Situazioni problematiche

5. Parabola• Introduzione• Definizione• Forma tipica• Rappresentazione grafica• Parabole particolari• Studio del segno• Parabola e disequazioni di 2° grado

IL PIANO CARTESIANO

...e la sua storia

Cardellini Mattia

Masetti Giovanni

De Luca Lorenzo

Morelli Davide

Le origini del piano Cartesiano

Il piano Euclideo

SOMMARIO

• EUCLIDE

• Opere

• Teoremi ed Assiomi

• Dal piano Euclideo al piano Cartesiano

• CARTESIO

• Opere

Euclide

Nasce ad Alessandria di Egitto intorno al 365a.C e muore intorno al 275a.C.

Fu un matematico in Grecia.

Una minoranza di storici dubita della sua esistenza.

Dall’aneddoto “in Geometria non esistono vie regie” si intuisce il carattere riservato e rigoroso.

Da lui prendono il nome la geometria e gli spazi Euclidei.

Opere di Euclide

• Elementi di geometria (13 libri).

• Legati alla matematica: Dati, Porismi, Luoghi superficiali, Coniche, Ottica e Catottrica.

• I fenomeni, trattato astronomico.

• Sezione del canone e Introduzione armonica, trattati di musica.

• E' sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque.

• E' sempre possibile prolungare una linea retta.

• E' sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque.

Assiomi e teoremi di Euclide

A B

H

CD E

K

• Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti.

• Data una retta ed un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto.

µ

α

β

µ=α=β=90°

A

r

p

• In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.

• In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti dell’ipotenusa.

A B

C

H

AH:AC=AC:AB

D K E

F

DK:FK=FK:KE

IL PIANO EUCLIDEO e i suoi elementi

• Il punto• La retta• Semiretta e segmento• L’angolo

P r

R

A

BV

A cosa mi servono gli elementi del piano euclideo?

Un insieme di segmenti adiacenti tra loro, dei quali l’estremo superiore dell’ultimo corrisponde all’estremo inferiore del primo, formano i poligoni, che sono suddivisi in base al numero dei loro lati:

• Triangoli (tre lati)• Quadrilateri (quattro lati)• Pentagoni (cinque lati)

E così via…

Ma...Con il piano Euclideo si giunse ad una situazione di stallo: come faccio a stabilire le misure di determinati segmenti su un piano dove non ci sono punti di riferimento?

Per questo Cartesio costruì un piano con determinati punti di riferimento: il Piano Cartesiano

CARTESIO

Nasce a La Haye in Turenna nel 1596 e muore nel 1650, colpito da una grave malattia polmonare.

Fu un matematico e filosofo francese

Il suo vero nome è René Descartes, latinizzato in Cartesius.

Insegnò filosofia e matematica a molti sovrani e principi.

Opere di Cartesio

• Discorso sul metodo• Meditationes de prima

Philosophia• Principia Philosophiae• Compendium musicae• Trattato delle passioni

“Cogito, ergo sum”

Elementi del piano Elementi del piano cartesianocartesiano

Creato da:Creato da: Bartolucci FilippoBartolucci Filippo

Costantini GiacomoCostantini Giacomo Mattioli Giacomo Mattioli Giacomo

Sanchini Pierpaolo Sanchini Pierpaolo

Il Piano CartesianoIl Piano Cartesiano

Si può introdurre il Si può introdurre il piano cartesianopiano cartesiano come come sistema di riferimento nel piano della sistema di riferimento nel piano della

geometria euclidea costituito da due rette geometria euclidea costituito da due rette perpendicolari, su ciascuna delle quali si perpendicolari, su ciascuna delle quali si

fissa un orientamento (rette orientate) e per fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che le quali si fissa anche una unità di misura che

consente di identificare qualsiasi punto del consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali. piano mediante numeri reali.

Il Piano CartesianoIl Piano Cartesiano

Tra le due rette si distingue l’Tra le due rette si distingue l’asse delle ascisseasse delle ascisse o o asse delle x (retta orizzontale) e l’ e l’asse delle ordinateasse delle ordinate o o asse delle y (retta

verticale)..

Elementi del piano cartesianoElementi del piano cartesiano

Origine degli assiOrigine degli assi QuadrantiQuadranti Coordinate di un puntoCoordinate di un punto SegmentiSegmenti RetteRette

Origine degli assiOrigine degli assi Una retta si dice Una retta si dice orientataorientata o o asseasse  quando su di   quando su di

essa è fissato un verso positivo. Si definisce un essa è fissato un verso positivo. Si definisce un sistema di riferimento scegliendo un punto sulla retta sistema di riferimento scegliendo un punto sulla retta detto origine O ed una unità di misura detto origine O ed una unità di misura uu..

QuadrantiQuadranti

QuadrantiIl piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:

1° quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;

2° quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;

3° quadrante: simmetrico al 1°quadrante rispetto all'origine;

4° quadrante: simmetrico al 2° quadrante rispetto all'origine.

Coordinate di un puntoCoordinate di un punto

  

A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P.

Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.

Lunghezza di un segmentoLunghezza di un segmento

Per trovare la lunghezza di un Per trovare la lunghezza di un segmento si utilizza la seguente segmento si utilizza la seguente formula:formula:

AB AB = = √(x√(xaa-x-xbb))22 + (y + (yaa-y-ybb))22

B

A

Punto medio di un segmentoPunto medio di un segmento

Per trovare il punto medio di un Per trovare il punto medio di un segmento si utilizza la segmento si utilizza la seguente formula:seguente formula:

A (Xa,, ya)

B (xb, yb)xm = xa+xb

2

ym = ya+yb

2

Rette Rette

Asse x e parallele Asse x e parallele Asse y e paralleleAsse y e parallele Bisettrice del I° e III° quadranteBisettrice del I° e III° quadrante Bisettrice del II° e IV° quadranteBisettrice del II° e IV° quadrante

All’interno del piano cartesiano si trovano anche rette particolari dette rette fondamentali associabili ai luoghi geometrici della geometria

Euclidea (figure geometriche piane formate da punti che godono tutti di una stessa proprietà):

Asse xAsse xL’asse x è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse y uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse x hanno ordinata uguale a 0 (y=0).

Parallele all’asse xParallele all’asse x

Le rette parallele all’asse x sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse x, quindi avranno tutti la stessa ordinata. I loro grafici sono :

Asse yAsse y

L’asse y è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse x uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse y hanno ascissa uguale a 0 (x=0).

Parallele all’asse yParallele all’asse y

Le rette parallele all’asse y sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse y, quindi avranno tutti la stessa ascissa. I loro grafici sono :

Bisettrice del 1° e 3° quadrante:Bisettrice del 1° e 3° quadrante:L’ equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante è y = x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata uguali.

Bisettrice del 2° e 4° Bisettrice del 2° e 4° quadrante quadrante

L’equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante è y = -x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata opposte tra loro.

Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria NicoliniNicolini

Argomenti trattatiArgomenti trattati

Definizione di funzione

Rappresentazione di una funzione

Funzione sul piano cartesiano

Classificazione delle funzioni

Riepilogo

Definizione di funzioneDefinizione di funzione

Una funzione è una relazione matematica tra due grandezze variabili X e Y, tali che ad ogni valore di X corrisponde uno ed un solo valore di Y.

XXVariabile Variabile

indipendenteindipendente

Y Y Variabile Variabile

dipendentedipendente

Rappresentazione di una Rappresentazione di una funzionefunzione

FORMA IMPLICITA

F(x,y) = 0

FORMA ESPLICITA

y = F(x)

Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione, Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione, questa deve essere in forma esplicitaquesta deve essere in forma esplicita

x

x1

x2

x3

y1

y2

y3

y

Funzione sul piano Funzione sul piano cartesianocartesiano

Per rappresentare graficamente una funzione si utilizza la tabella dei valori e si attribuisce un qualsiasi valore numerico alla X ottenendo il

corrispondente valore della Y. In questo modo si ricavano le coordinate del punto da posizionare sul

piano cartesiano. Infine si uniscono i punti da sinistra verso destra.

y = F (x)

A(x1, y1)

B(x2, y2)

C(x3, y3)

Riportiamo i valori sul grafico

y

x

Classificazione delle funzioniClassificazione delle funzioni

Funzioni algebriche

Funzioni trascendenti

Una funzione trascendente è

una funzione non algebrica.Una funzione si dice

algebrica se il legame che

esprime y in funzione di x

si può ridurre ad

un’equazione algebrica di

grado qualsiasi nelle due

incognite x e y.

Le funzioni algebricheLe funzioni algebriche

Si classificano in:

Funzioni razionali intere

Funzioni razionali fratte

Funzioni irrazionali

Funzioni razionali intereFunzioni razionali intere

Una funzione di primo grado, o lineare, viene rappresentata sul piano cartesiano da una RETTA

Funzioni di grado superiore al primoFunzioni di grado superiore al primo

Funzione di secondo grado

È rappresentato da una PARABOLA

Funzione di grado superiore al secondo

È rappresentata da una

CURVA

Funzioni di primo gradoFunzioni di primo grado

Funzioni razionali fratteFunzioni razionali fratte

)(

)()(

xD

xNxf

La funzione si dirà funzione razionale fratta nella variabile x.

Una funzione razionale fratta in una variabile è definibile in un

qualsiasi insieme di numeri reali o complessi che non contenga

gli zeri del denominatore.

Funzioni irrazionaliFunzioni irrazionaliLe funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il

valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore della y.

Una funzione irrazionale è del tipo

dove g(x) è una funzione razionale definita nell’insieme dei numeri reali.

Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice.

n xgxf )()(

• se n è dispari allora il dominio della funzione

appartiene all’insieme dei numeri irrazionali.

• se n è pari allora il dominio D della funzione è

dato dall'insieme degli elementi che soddisfano la

funzione

Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte.

Il dominio della funzione irrazionale può essere:Il dominio della funzione irrazionale può essere:

Le funzioni trascendentiLe funzioni trascendenti

Si classificano in:

Funzioni goniometriche

Funzioni logaritmiche

Funzioni esponenziali

RiepilogoRiepilogo

Funzioni

Algebriche Trascendenti

Razionali Irrazionali Logaritmiche Goniometriche Esponenziali

Intere Fratte

La retta nel piano La retta nel piano cartesianocartesiano

Indice:Indice:

• Definizione retta

• Rappresentazione di una retta

• Equazione retta (forma implicita e forma esplicita)

• Rette incidenti

• Rette parallele

• Situazioni problematiche

Definizione di rettaDefinizione di retta

La retta è una funzione algebrica razionale, intera di primo grado.

indice

Rappresentazione di una rettaRappresentazione di una retta

r) y=mx+q

x y

a m*a+q=b P(a, b)

c m*c+q=d Z (c, d)

Si riportano i P e Z sul piano

cartesiano e si uniscono

trovando la retta dell’equazione

data.

P

Z r

a c

b

d

indice

Equazione della rettaEquazione della retta

coefficiente angolare

m=-a/b

Intercetta

q=-c/b

Forma esplicita: y=mx+q

Forma implicita: ax+by+c=0

indice

Coefficiente angolareCoefficiente angolare Il coefficiente angolare indica il tipo di angolo che la retta forma con

il semiasse positivo delle ascisse.

Se m<0

Se m>0

l’ angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso.

l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto.

Se m=0 l’angolo non esiste e la retta è parallela all’asse x.

indice

m<0m<0

y= - 1/3 x+q

m= -1/3

-1/3 <0

l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso

indice

m>0m>0

y=4x+q

m=4

4>0

l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto

y=4x+q

indice

m=0m=0

y=0x+q

y=q

l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse non esiste poiché la retta è parallela all’asse x

rQ

indice

IntercettaIntercetta

L’intercetta è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y.

Se q=0 la retta passa per l’origine degli assi

Se q≠0 la retta interseca l’asse y in q

indice

Rette incidentiRette incidenti

Due rette sono incidenti se si incontrano in un punto.

Rette perpendicolari.

s

indice

Rette perpendicolariRette perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se incidendosi formano 4 angoli retti.

srs) y=m1x-1

r) y=m2x+1

indice

Se r) ┴ s) m1*m2 =-1 v m1=-1/m2

Rette paralleleRette parallele

Due rette sono parallele quando hanno uguali coefficienti angolari.

r) // s) m1=m2

r

sr) y=m1x+1

s) y=m2+3

indice

Situazioni problematicheSituazioni problematiche

Come trovare il punto di intersezione fra due rette.

Come trovare l’equazione di una retta passante per due punti.

indice

Punto di intersezione tra due rettePunto di intersezione tra due rette

Per trovare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il sistema fra le equazioni delle due rette

r) y=m1x+q1 x=xp

s) y=m2+q2 y=yp

rs

P

indice

L’equazione di una retta passante L’equazione di una retta passante per due puntiper due punti

Per trovare l’equazione di una retta passante per due punti bisogna trovare il coefficiente numerico e l’intercetta dell’equazione della retta risolvendo il seguente sistema:

ya = mxa + q m

yb = mxb + q q

xa è l’ascissa del punto A

ya è l’ordinata del punto A

xb è l’ascissa del punto B

yb è l’ordinata del punto B

A

B

indice

LaLa

ParabolParabolaa

LaLa

ParabolParabolaa

Mariana De Mariana De BiagiBiagiLaura Di Laura Di LenaLenaMartina Martina TombariTombariFederica Federica UgoliniUgolini

• IntroduzioneIntroduzione• DefinizioneDefinizione

• Forma tipicaForma tipica• Rappresentazione graficaRappresentazione grafica

• Parabole particolariParabole particolari• Studio del segnoStudio del segno

• Parabola e disequazioni di Parabola e disequazioni di 2° grado2° grado

F(x)Espressione algebrica in x

intera: l’incognita si trova solo al numeratore

fratta: l’incognita si trova solo o anche al denominatore

irrazionale: l’incognita si trova sotto il segno di radice

Lineare o di primo grado: RETTA

Y=mx+q m,q

Di secondo grado: PARABOLA

cbxaxy 2

cba ,,

0a

IntroduzioneIntroduzione

DefinizioneDefinizioneLa parabola è il

luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE

Non ci soffermeremo sulla definizione di fuoco e direttrice per analizzare in modo più approfondito altri aspetti della parabola

Forma TipicaForma Tipicacbxaxy 2 cba ,, 0a

STUDIO dei COEFFICIENTI:

>0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle ordinate.

a

<0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse negativo delle ordinate

ci consente di conoscere l’asse di simmetrial’asse di simmetria della parabola

ordinata del punto di intersezione della parabola con l’asse y

Asse di SimmetriaAsse di Simmetria (nella parabola): retta che divide la parabola in due rami simmetrici

b

c

Rappresentazione Rappresentazione GraficaGrafica

Data una funzione del tipo: >0 a <0 P(0,c) Punti di intersezione con l’asse x:

cbxaxy 2

0y

cbxaxy 2

Equazione dell’asse x

sostituzione

Equazione risolvente

02 cbxax

1x 2x

1)

2) c

3)

y=2x2+3x-21)a=2>0 2)c=-2 P(0,-2)3) y=2x2+3x-2 2x2+3x-2=0 y=0 =-2

=½

2x1x

x

y

0

EsempioEsempio

-2

-2

½

Parabole Parabole ParticolariParticolari

Possiamo individuare tre tipi di parabole particolari:1. y=ax2 la parabola avrà il vertice coincidente con l’origine degli assi

2. y= ax2+bx La parabola avrà un punto di intersezione con l’asse x coincidente con l’origine degli

assi

3. y= ax2+bx+c dove il trinomio ax2+bx+c è un

quadrato perfetto. La parabola

avrà allora un solo punto in comune con l’asse x

Studio del segnoStudio del segnoData una funzione del tipo:Il trinomio ax2+bx+c assume valori diversi al variare della x: >0 prenderemo in considerazione i rami di parabola sopra l’asse x y>0 =0 prenderemo in considerazione i valori sull’asse x, ovvero x1 e x2. y=0

<0 prenderemo in considerazione i rami di

parabola sotto l’asse x y<0

Di conseguenza possiamo dire che: ax2+bx+c>0 ax2+bx+c=0 ax2+bx+c<0

cbxaxy 2

ax2+bx+c

disequazioni

Parabola e Parabola e disequazioni di 2° disequazioni di 2°

gradogrado

Data una disequazione di secondo grado del tipo:

ax2 + bx + c >0

1. Prendiamo la parabola associata: y= ax2 + bx + c

2. Disegniamo la relativa parabola

3. In base al segno richiesto dal testo della disequazione prendiamo in considerazione i rami di parabola

4. Troviamo gli intervalli richiesti

EsempioEsempio 2x2+3x-2>01) y=2x2+3x-22) a=2>0 U c=-2 P(0,-2) y=2x2+3x-2 y=0 x1 =-2 x2=½

x0

y

-2 ½

-2

3) Il segno è > quindi prendiamo in considerazione i rami di parabola sopra l’asse x

4) I valori di x che determinano tali rami appartengono agli intervalli:

x<-2 V x> ½

2x2+3x-2=0