1_mehanika_2-kinematika_tacke

7/27/2019 1_Mehanika_2-Kinematika_tacke

1/33

Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 1

KINEMATIKA TAKE

POLOAJ POKRETNE TAKE U PROSTORU KOORDINATNI SISTEMI

Dekartov pravougli sistem

Polarno cilindrini koordinatni sistem

Sferni koordinatni sistem

Prirodni koordinatni sistem

BRZINA TAKE

UBRZANJE TAKE NEKI POSEBNI SLUAJEVI KRETANJA TAKE

Nastavni plan i program predmeta MEHANIKA II


2/33


Poloaj pokretne take u prostoru

MM

M

M

OI

1

2

0

0r

r(t)

21 t

+-

)(trrGG

=

I osnovno, referentno telo,

Apsolutno kretanje kretanje odreeno u odnosu na nepokretno telo.

- vektor poloaja take M.

- Zakon kretanja ili jednaina u vektorskom obliku

- linija putanje

- putanja (trajektorija) ],[*

0 ttt


3/33


Koordinatni sistemi

- Dekartov pravougli sistem- Polarno cilindrini koordinatni sistem

- Sferni koordinatni sistem

- Prirodni koordinatni sistem


4/33


Dekartov pravougli sistem

Zakoni ili jednaine kretanja take u Dekartovim koordinatama.

Odreivanje jedna

ine putanje

MM

O

0

r(t)

x

y

z

ji

k

y(t)

x(t)

z(t)

kzjyixrGGGK

++=

ktzjtyitxtrrGGGKK

)()()()( ++==

)(txx = )(tyy =)(tzz =

0),(1 =yxf

0),(2 =zyf

0),,(1 =zyxF

0),,(2 =zyxF


5/33


Primer 1Neka su zakoni kretanja take dati jednainama:

)sin( tbx = )2cos( tby = )2cos( tbz =gde su b i pozitivne konstante. Odrediti jednaine linije putanje.

Iz prve i poslednje jednaine se dobija:

2

1

2

)2cos(1 b

z

bt

bx

=

=

b

xbz

22=

Eliminacijom parametra t, dobija se:

Vrednosti koordinata x, y, z za t0=0 su:0=+ zy

0=x by = bz =


6/33


Polarno cilindrini koordinatni sistem

Koordinate take M: , , z.

cos=x

sin=yzz =

)(t =

)(t=

)(tzz =

ktztttr

GGK

)()()()( 0 +=

Zakoni ili jednaine kretanja take u polarno - cilindrinim koordinatama.


7/33


Eliminacijom parametara t mogu se dobiti jednaine oblika:

koje predstavljaju liniju putanje take.

Pri kretanju take u ravni z=0, zakoni kretanja su dati jednainama:

0),(1 =f 0),(2 =zf

)(trr = )(t=

Jednaina linije putanje je

)(rr =

r=pri emu je:


8/33


Primer 2Neka su zakoni kretanja take oblika:

t Re= t = ktz =

gde su R, i k pozitivne konstante, a t vreme. Odrediti jednaine linije

putanje i prikazati je geometrijski.

Eliminacijom parametra t iz prve

dve jednaine, a zatim iz druge i

tree, dobijaju se:

Re=

kz =


9/33


Sferni koordinatni sistem

Zakoni ili jednaine kretanja take u sfernom

koordinatnom sistemu:

Koordinate take M:

r,

- (0 2),

-

22

Jedinini vektori: 000 ,, GGG

cr

coscosrx = sincosry =

sinrz =

)()( 0 trtrrGG = )(trr =

)(t =

)(t=


10/33


Prirodni koordinatni sistem

Zakon kretanja take M: )(tss =

0),,(1 =zyxF0),,(2 =zyxF),,( 0000 zyxM

0),,(1 =z 0),,(1 = r0),,(2 =z 0),,(2 = r

0),,( 0000 =zM 0),,( 0000 =rM

)(tss =)(tss =)(tss =

TG

TdTGG

+

ds

rdT

GG

=

Ravni:

- oskulatorna,

- normalna,

- rektifikaciona.


11/33


Odreivanje zakona kretanja u prirodnom obliku , ako su zakoni

dati u drugom koordinatnom sistemu.

)(tss =

a) Ako je poznato: )(txx = )(tyy = )(tzz =( ) 22222

222

2222 dtzyxdtdt

dz

dt

dy

dt

dxdzdydxds ++=

+

+

=++=

dtzyxds

222

++= Cdtzyxs +++= 222

b) Ako je poznato: )(t = )(t = )(tzz =

ddrdz

z

xd

xdr

xdx sincos =

+

+

=

ddrdzz

yd

ydr

ydy cossin =

+

+

=

dzdzz

zd

zdr

zdz =

+

+

=

dtzdzdddzdydxds 22222222222 ++=++=++=

+++= Cdtzs 2222


12/33


Primer 5Odredi zakon kretanja ako su zakoni kretanja dati jednainama:)(tss =

)sin( tbx = )2cos( tby = )2cos( tbz =gde su b i pozitivne konstante.

)cos( tbx = )2sin(2 tby = )2sin(2 tbz =

Cdtttbs ++= )2(sin8)(cos22

Cdtttbs ++= )(sin321)cos(2

ut =)sin(

++= Cduubs2321

Cttttb

s +

++++= )(sin321)sin(24ln)(sin321)sin(24

28

22

Tada je:


13/33


M

O

r

ds

r + r

r

v

vsr

T

M

M dsv

T

r

O

Brzina take

trv defsr

=

G

dt

rd

t

rvv

tsr

t

defGG

GG

=

== 00 limlim

rt

r

vG

GG

=

dt

ds

t

rv =

=

GG

Brzina take je jednaka izvodu

vektora poloaja take po vremenu.

[ ] 1= TLv


14/33


a) Dekartov koordinatni sistem

[ ] kzjyixktzjtyitxdtdv GGGGGGG ++=++= )()()(

xvx

= yvy

= zvz

=

2222 zyxvvv GG

++==

222 zyxv ++=

v

xv

=cos

v

yv

=cos

v

zv

=cos

+= 1)( Cdttvx x += 2)( Cdttvy y += 3)( Cdttvz z

0=t 0xx = 0yy = 0zz = C1, C2 , C3


15/33


Primer 7Neka su zakoni kretanja take dati jednainama:

)sin( tbx = )2cos( tby =gde su b i pozitivne konstante.

)2cos( tbz =

Tada, primenom jednaina , , sledi:xv x = yv y = zvz =

)cos( tbxvx ==

)2sin(2 tbyvy ==

)2sin(2 tbzvz ==

)(sin8)(cos 22222 ttbzyxv +=++=

0)(sin321)cos( 2 += ttbv


16/33


b) Polarno cilindrini koordinatni sistem

kzr

GGG

+= 0 kzkzrvGG

GG

GG +++== 00

tttttt

=

=

=

=

=

2

2sin

2

2

2sin

22sin2

2sin2 0

00

G

G

==

==

dt

d

tdt

d

t tt1lim

2

2sin

limlim00

00

0


17/33


00 c

dt

d G

G

=

kzcvG

G

G

G

++= 00

=v =cv zvz =

22222 ),( zvvv GG

++==

jiGGG

sincos0 +=

= consti

= constj

00 cossin cjiG

GG

G

=+=

jicGGG

cossin0 +=

komponente:

konano je:

II nain:


18/33


Primer 8

Odrediti projekcije brzine i intenzitet brzine, ako su zakoni kretanja oblikat Re= t= ktz =

teRv ==

t

c eRv

== kzvz ==

22222 keRv t +=

=v =cv zvz =Primenom jednaina:

22222 ),( zvvv GG

++==

Sledi:

gde su R, , i k pozitivne konstante, a t vreme.


19/33


c) Prirodni koordinatni sistem

Tdsrd GG =

TsT

dt

dsv

G

GG=

Ts

dt

ds

ds

rd

dt

rdv

def G

GGG

===

svT =

222 zyxv ++=

2222 zv ++=

= + + 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3v A q A q A q

Cdttvs T += )(


20/33


UBRZANJE TAKE

t

v

t

tvttva

def

sr

=

+=

GGGG )()(

dt

vd

t

vaa

tsr

t

def

sr

KGGG

=

==

00limlim

vdt

vda

GG

K=

rdt

rda

GG

G=

2

2

Ubrzanje se moe izraziti kao drugi izvod

vektora poloaja po vremenu.

[ ] 2= TLa


21/33


a) Dekartov koordinatni sistem

kzjyixr

GGGK

++=kzjyixaG

G

G

G

++=

xax

= yay = zaz =222 zyxa ++=

ax

a=cos

ay

a=cos

az

a=cos

++= 00)( xtxdtdttax x

++= 00)( ytydtdttay y

++= 00)( ztzdtdttaz z


22/33


Primer 11

Nalaenjem drugih izvoda po vremenu sledi:

Neka su zakoni kretanja take dati jednainama:

)sin( tbx = )2cos( tby = )2cos( tbz =

gde su b i pozitivne konstante.

)sin(2

tbxax == )2cos(4 2 tbyay ==

)2cos(4 2 tbzaz ==

)2(cos32)(sin 222 ttba +=


23/33


b) Polarno cilindrini koordinatni sistem

kzcv

G

G

G

G

++= 00 kzkzccc

dt

vda

G

G

G

G

G

G

G

GK

++++++== 00000

kjicGGGG

++= 0cossin0

( ) ( ) 00 sincossincos G

GG

GG

G

=+== jijic

jiGGG

sincos0 +=


24/33


( ) kzcaG

G

G

G

+++= 002 2

2 =a

( )

21

2

dt

dac =+=

zaz =

222 zc aaaa ++=

0== zaz

2 = rar ( )21

rdt

d

rac =

22cr aaa +=


25/33


Primer 12Neka su zakoni kretanja take oblika:

t Re= t= ktz =gde su R, i k pozitivne konstante, a t vreme.

Tada vai:

teR =t

eR

2

= =

0=

0=z

Konano: 022 == tt eReRa t

c eRa

2

2=0=za

= + + =2 2 2 22 tc za a a a R e


26/33


c) Prirodni koordinatni sistem

( ) TsTsTsdtd

dt

vd

a

defG

G

G

GK

+===

dt

ds

ds

Td

dt

Td=

GG

NR

Nkds

Td

k

GG

G

1==

NR

sTsa

k

GG

K2

+=

saT =k

N

R

sa

2= 0=

B

a

dt

dva TT =

kN

R

va

2

= 2v

vR

a

atg Tk

N

TN

==


27/33


d) Kinematski nain odreivanja poluprenika krivine

222)( zyxtv ++=

222)( zyxta ++= vzzyyxx

zyx

zzyyxx

aT

G ++

=++

++

= 222

v

av

aT

GGG

=

dt

dvaT =G

TavavavavGGGGG

== ),cos(

Ako su zakoni kretanja dati u Dekartovom sistemu tada je:

( )22 vdt

d

dt

dvv =

( )v

vdt

d

aT2

2

=

222TN aaa +=

2222TTN aaaaa =

Nk

a

vR

2

=


28/33


2222 zv ++=

v

avavav

vava zzccT

++=

=

GGG

)(lim11 tRR kttk tt ==

Ako su zakoni kretanja dati u polarno cilindrinom koordinatnom sistemu

tada je:


29/33


NEKI POSEBNI SLUAJEVI KRETANJA TAKE

a) Jednoliko kretanje

= constv0

== constvx 0 00 viv

GG

=

0vdt

dx= dtvdx 0=

Cdtvdx += 0Ctvx o +=

0=t 0xx = Cvx += 000

0xC =

0xtvx o +=

constvsvT === 0

0stvs o +=

0=Ta

kN

R

va

20=

Pravolinijsko - slika a): Krivolinijsko - slika b):


30/33


b) Jednako promenljivo kretanjeb1 ) Jednako ubrzano kretanje

0>== constax

1

Catx +=

0=t 00 vCvx ==

0vatx +=

002

2

1xtvatx ++=

0>=== constaas T

0vats +=

002

2

1stvats ++=

( )202 1

vatRR

sa

kkN +==

Pravolinijsko - slika a): Krivolinijsko - slika b):


31/33


b2) Jednako usporeno kretanje

0


32/33


c) Kruno kretanjeRs =

RsvT ==

RsaT ==2

222

RR

R

R

sa

kN ===

4222 +=+= Raaa NT

2

==

N

T

a

atg

consts =

const==

0 += t

0,0 ==t0=== RsaT

constRaN ==2


33/33


T =2

2

=T [ ]

1= s

0>== constRs

0>== const

002

2

1 ++= tt

)( 0 +== tRRv

RRaT == 2

02 )( +== tRRaN

1_mehanika_2-kinematika_tacke

Documents